गणितीय अपेक्षा की गणना कैसे करें. गणितीय अपेक्षा और उसके गुण। गणितीय अपेक्षा के सबसे सरल गुण

अर्थात्, यदि sl. तो फिर, मात्रा का एक वितरण नियम होता है

बुलायाइसकी गणितीय अपेक्षा. यदि sl. एक मात्रा में मूल्यों की अनंत संख्या होती है, तो गणितीय अपेक्षा एक अनंत श्रृंखला के योग से निर्धारित होती है, बशर्ते कि यह श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण हो (अन्यथा वे कहते हैं कि गणितीय अपेक्षा मौजूद नहीं है) .

के लिए निरंतर क्रम. संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन f(x) द्वारा निर्दिष्ट मान, गणितीय अपेक्षा को एक अभिन्न के रूप में परिभाषित किया गया है

बशर्ते कि यह अभिन्न मौजूद है (यदि अभिन्न विचलन करता है, तो वे कहते हैं कि गणितीय अपेक्षा मौजूद नहीं है)।

उदाहरण 1. आइए हम वितरित यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा निर्धारित करें पॉइसन का नियम. परिभाषा से

या चलो निरूपित करें

तो पैरामीटर , पॉइसन यादृच्छिक चर के वितरण का परिभाषित कानून इस चर के औसत मूल्य के बराबर है।

उदाहरण 2. घातीय वितरण कानून वाले एक यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा बराबर है

(इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि पूर्णांक में सीमाएँ लें कि f (x) केवल धनात्मक x के लिए अशून्य है)।

उदाहरण 3. वितरण कानून के अनुसार यादृच्छिक चर वितरित किया गया कॉची, का कोई माध्य मान नहीं है। वास्तव में

गणितीय अपेक्षा के गुण.

संपत्ति 1. किसी स्थिरांक की गणितीय अपेक्षा इस स्थिरांक के ही बराबर होती है।

स्थिरांक C इस मान को प्रायिकता एक के साथ लेता है और, परिभाषा के अनुसार, M(C)=C×1=C

संपत्ति 2. यादृच्छिक चरों के बीजगणितीय योग की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के बीजगणितीय योग के बराबर होती है।

हम स्वयं को इस गुण को केवल दो असतत यादृच्छिक चरों के योग के लिए सिद्ध करने तक ही सीमित रखते हैं, अर्थात्। आइए इसे साबित करें

दो अलग-अलग शब्दों के योग के अंतर्गत. मात्राओं को इस प्रकार समझा जाता है। एक मात्रा जो संभावनाओं के साथ मान लेती है

परिभाषा से

इस शर्त के तहत घटना की संभावना की गणना कहां की जाती है। अंतिम समानता का दाहिना भाग घटना के घटित होने के सभी मामलों को सूचीबद्ध करता है, इसलिए यह घटना के घटित होने की कुल संभावना के बराबर है, अर्थात। . वैसे ही। अंततः हमारे पास है

संपत्ति 3. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है।

यू			…
क्यू			…
एक्स			…
आर			…

हम केवल अलग-अलग मात्राओं के लिए इस संपत्ति के प्रमाण प्रस्तुत करते हैं। निरंतर यादृच्छिक चर के लिए इसे इसी प्रकार सिद्ध किया जाता है।

मान लीजिए कि X और Y स्वतंत्र हैं और उनके पास वितरण कानून हैं

इन यादृच्छिक चर का उत्पाद एक यादृच्छिक चर होगा जो यादृच्छिक चर की स्वतंत्रता के कारण समान संभावनाओं वाले मान लेता है। तब

परिणाम. स्थिरांक कारक को गणितीय अपेक्षा के संकेत के रूप में निकाला जा सकता है। इसलिए शताब्दी स्थिरांक C इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि शब्द क्या मान लेता है। मान X, फिर संपत्ति 3 से। हमारे पास है

एम(सीएक्स)=एम(सी)×एम(एक्स)=सी×एम(एक्स)

उदाहरण. यदि a और b स्थिरांक हैं, तो M(ax+b)=aM(x)+b.

स्वतंत्र परीक्षणों के डिज़ाइन में किसी घटना की घटनाओं की संख्या की गणितीय अपेक्षा।

मान लीजिए कि n स्वतंत्र प्रयोग किए जा रहे हैं, जिनमें से प्रत्येक में किसी घटना के घटित होने की संभावना P के बराबर है। इन n प्रयोगों में किसी घटना के घटित होने की संख्या द्विपद नियम के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर X है। हालाँकि, सीधे तौर पर इसके औसत मूल्य की गणना करना बोझिल है। सरल बनाने के लिए, हम विस्तार का उपयोग करेंगे, जिसे हम भविष्य में एक से अधिक बार उपयोग करेंगे: n प्रयोगों में किसी घटना की घटनाओं की संख्या में व्यक्तिगत प्रयोगों में घटना की घटनाओं की संख्या शामिल होती है, अर्थात।

वितरण कानून कहाँ है (यदि घटना किसी दिए गए प्रयोग में घटित हुई तो मान 1 लेता है, और यदि घटना किसी दिए गए प्रयोग में प्रकट नहीं हुई तो मान 0 लेता है)।

आर	1	आर

इसीलिए

वे। n स्वतंत्र प्रयोगों में किसी घटना के घटित होने की औसत संख्या प्रयोगों की संख्या और एक प्रयोग में किसी घटना के घटित होने की संभावना के उत्पाद के बराबर होती है।

उदाहरण के लिए, यदि एक शॉट से लक्ष्य को हिट करने की संभावना 0.1 है, तो 20 शॉट्स में हिट की औसत संख्या 20x0.1=2 है।

परिभाषा 1.गणितीय अपेक्षा वितरण के केंद्र को दर्शाने वाली एक संख्या है।

एक असतत यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा की गणना यादृच्छिक चर के मूल्यों और संबंधित संभावनाओं के उत्पादों के योग के रूप में की जाती है, अर्थात।

यदि किसी यादृच्छिक चर के मानों की संख्या सीमित है।

यदि किसी यादृच्छिक चर के मानों की संख्या अनंत है, तो एम(एक्स)यदि दी गई श्रृंखला अभिसरण करती है तो मौजूद है।

एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा की गणना यादृच्छिक चर के एक निश्चित अभिन्न अंग के माध्यम से की जाती है एक्स, संभाव्यता तत्व से गुणा किया गया डीपी = एफ(एक्स)डीएक्स, यानी

यदि किसी यादृच्छिक चर के मान केंद्रित हैं [ए; बी]।

यदि एक यादृच्छिक चर के मान संपूर्ण संख्या रेखा पर कब्जा कर लेते हैं। इस मामले में एम(एक्स)यदि अनुचित अभिन्न अभिसरण होता है तो मौजूद होता है।

गणितीय अपेक्षा को यादृच्छिक चर का औसत मान भी कहा जाता है। इसमें यादृच्छिक चर के समान माप की इकाइयाँ होती हैं।

परिभाषा 2.फैलाव एक संख्या है जो यादृच्छिक चर के माप की वर्ग इकाइयों में वितरण के केंद्र से एक यादृच्छिक चर के विचलन को दर्शाती है।

किसी भी यादृच्छिक चर के विचरण को गणितीय अपेक्षा से यादृच्छिक चर के वर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा के रूप में परिभाषित किया गया है, अर्थात।

डी(एक्स) = एम (एक्स – एम (एक्स)) 2

यह सूत्र इस प्रकार दिखता है:

क्योंकि यदि यादृच्छिक चर असतत है।

यदि यादृच्छिक चर निरंतर है, तो

विचरण की गणना एक यादृच्छिक चर के वर्ग की गणितीय अपेक्षा और एक यादृच्छिक चर के गणितीय अपेक्षा के वर्ग के बीच अंतर के रूप में भी की जा सकती है, अर्थात। निम्नलिखित सूत्र के अनुसार:

डी(एक्स) = एम (एक्स 2) – एम 2 (एक्स),

जहां, यदि यादृच्छिक चर असतत है।

यदि निरंतर.

परिभाषा 3.मानक विचलन विचरण के वर्गमूल के अंकगणितीय मान के बराबर एक संख्या है।

मानक विचलन में यादृच्छिक चर के समान माप की इकाइयाँ होती हैं।

उदाहरण क्रमांक 1.खोजो एम(एक्स), डी(एक्स), σ(एक्स), असतत यादृच्छिक चर, यदि

एक्स मैं
पी मैं	0.3	0.1	0.3	0.2	0.1

समाधान।

आइए भिन्नता खोजें:

डी(x)=(0-2.7) 2 0.3+(1-2.7) 2 0.1+(3-2.7) 2 0.3+(5-2.7) 2 0 .2+(7-2.7) 2 0.1=5.41

या D(x)=M(x 2)-M 2 (x);

डी(एक्स) = 12.7-(2.7) 2 = 5,41

उदाहरण क्रमांक 2.एम(एक्स) खोजें , D(x), σ(x) एक सतत यादृच्छिक चर का यदि

0; यदि एक्स<0

एफ(एक्स)=

; यदि 0≤x<3

0; यदि x≥3

समाधान।आइए गणितीय अपेक्षा खोजें:

आइए सूत्र का उपयोग करके विचरण ज्ञात करें:

आइए सूत्र का उपयोग करके फैलाव ज्ञात करें: D(x) = M(x 2) - M 2 (x)

डी(x)= 4.5-(2) 2 =4.5-4 = 0.5

आइए मानक विचलन ज्ञात करें:

टिप्पणी।संख्यात्मक विशेषताएँ एम(एक्स)और डी(एक्स)निम्नलिखित गुण हैं:

2 एम(के एक्स) = केएम(एक्स)

3 एम(एक्स ± वाई) = एम(एक्स) ± एम(वाई)
4. एम(एक्स ± एस) = एम(एक्स) ± एस

5 M(xy) = M(x)M(y), यदि x और y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं

2. डी(केएक्स) = के 2 डी(एक्स)

3. D(x ± y) = D(x) ± D(y), यदि x और y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं।

§ 4. यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएँ।

संभाव्यता सिद्धांत और इसके कई अनुप्रयोगों में, यादृच्छिक चर की विभिन्न संख्यात्मक विशेषताओं का बहुत महत्व है। मुख्य हैं गणितीय अपेक्षा और विचरण।

1. एक यादृच्छिक चर और उसके गुणों की गणितीय अपेक्षा।

आइए पहले निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें। पौधे को एक बैच प्राप्त करने दें एनबियरिंग्स. इस मामले में:

मी 1 एक्स 1,
मी 2- बाहरी व्यास वाले बीयरिंगों की संख्या एक्स 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
एम एन- बाहरी व्यास वाले बीयरिंगों की संख्या एक्स एन,

यहाँ एम 1 +एम 2 +...+एम एन =एन. आइए अंकगणितीय माध्य ज्ञात करें x औसतबेयरिंग का बाहरी व्यास. ज़ाहिर तौर से,
यादृच्छिक रूप से निकाले गए बेयरिंग के बाहरी व्यास को मान लेने वाला एक यादृच्छिक चर माना जा सकता है एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्स एन, संगत संभावनाओं के साथ पी 1 =एम 1 /एन, पी 2 =एम 2 /एन, ..., पी एन =एम एन /एन, संभावना के बाद से पी मैंबाहरी व्यास वाले बेयरिंग की उपस्थिति एक्स मैंके बराबर एम मैं /एन. इस प्रकार, अंकगणित माध्य x औसतसंबंध का उपयोग करके बेयरिंग का बाहरी व्यास निर्धारित किया जा सकता है
किसी दिए गए संभाव्यता वितरण कानून के साथ एक असतत यादृच्छिक चर होने दें

मान	एक्स 1	एक्स 2	. . .	एक्स एन
संभावनाओं	पी 1	पी2	. . .	पी एन

गणितीय अपेक्षा असतत यादृच्छिक चरएक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों के युग्मित उत्पादों का योग उनकी संगत संभावनाओं द्वारा होता है, अर्थात। *
इस मामले में, यह माना जाता है कि समानता के दाईं ओर अनुचित अभिन्न अंग (40) मौजूद है।

आइए गणितीय अपेक्षा के गुणों पर विचार करें। इस मामले में, हम खुद को केवल पहले दो गुणों के प्रमाण तक सीमित रखेंगे, जिन्हें हम असतत यादृच्छिक चर के लिए करेंगे।

1°. स्थिरांक C की गणितीय अपेक्षा इस स्थिरांक के बराबर है.
सबूत।स्थिर सीइसे एक यादृच्छिक चर के रूप में सोचा जा सकता है जो केवल एक मान ले सकता है सीएक के बराबर संभावना के साथ. इसीलिए

2°. स्थिर कारक को गणितीय अपेक्षा के चिह्न से परे ले जाया जा सकता है, यानी
सबूत।संबंध (39) का उपयोग करते हुए, हमारे पास है

3°. कई यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा इन चरों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है:

प्रत्येक यादृच्छिक चर पूरी तरह से उसके वितरण फ़ंक्शन द्वारा निर्धारित होता है।

उसी समय, व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समय, कई संख्यात्मक मापदंडों को जानना पर्याप्त है जो आपको एक यादृच्छिक चर की मुख्य विशेषताओं को संपीड़ित रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देता है। इन मात्राओं में, सबसे पहले, गणितीय अपेक्षा और फैलाव शामिल हैं।

गणितीय अपेक्षा वह संख्या है जिसके चारों ओर एक यादृच्छिक चर के मान केंद्रित होते हैं। एक यादृच्छिक चर x की गणितीय अपेक्षा को निरूपित किया जाता है एमएक्स.

वितरण वाले असतत यादृच्छिक चर x की गणितीय अपेक्षा

एक्स 1	एक्स 2	...	एक्स एन
पी 1	पी 2	...	पी एन

यदि यादृच्छिक चर के मानों की संख्या सीमित है तो मात्रा कहलाती है।

यदि किसी यादृच्छिक चर के मानों की संख्या गणनीय है, तो। इसके अलावा, यदि समानता के दाईं ओर की श्रृंखला अलग हो जाती है, तो यादृच्छिक चर x को कोई गणितीय अपेक्षा नहीं कहा जाता है।

संभाव्यता घनत्व के साथ एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा पी एक्स(एक्स) सूत्र द्वारा गणना की जाती है . इसके अलावा, यदि समानता के दाईं ओर का अभिन्न अंग अलग हो जाता है, तो यादृच्छिक चर x को कोई गणितीय अपेक्षा नहीं कहा जाता है।

यदि यादृच्छिक चर h, यादृच्छिक चर x, h का एक फलन है =एफ(एक्स), वह

.

असतत यादृच्छिक चर के कार्यों के लिए समान सूत्र मान्य हैं:

, .

गणितीय अपेक्षा के मूल गुण:

• किसी स्थिरांक की गणितीय अपेक्षा इस स्थिरांक के बराबर है, एमसी=सी ;

• गणितीय अपेक्षा यादृच्छिक चर के स्थान पर एक रैखिक कार्यात्मक है, अर्थात। किन्हीं दो यादृच्छिक चर x, h और मनमाना स्थिरांक के लिए एऔर बीगोरा: एम (कुल्हाड़ी+ बिहार) = ए एम (एक्स)+ बी एम (एच);

• दो के गुणनफल की गणितीय अपेक्षा स्वतंत्रयादृच्छिक चर उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है, अर्थात। एम (एक्स एच) = एम (एक्स) एम (एच)।

एक यादृच्छिक चर का विचरण उसकी गणितीय अपेक्षा के आसपास एक यादृच्छिक चर के प्रसार के माप को दर्शाता है।

यदि एक यादृच्छिक चर x की गणितीय अपेक्षा है एमएक्स, वह फैलावयादृच्छिक चर x मात्रा है डीएक्स = एम (एक्स - एमएक्स) 2 .

ये दिखाना आसान है डीएक्स = एम (एक्स - एमएक्स) 2 =एमएक्स 2 - एम (एक्स) 2.

यह सार्वभौमिक सूत्र असतत यादृच्छिक चर और निरंतर दोनों पर समान रूप से लागू होता है। परिमाण एमएक्स 2 >क्रमशः असतत और निरंतर यादृच्छिक चर के लिए, सूत्रों का उपयोग करके गणना की जाती है

, .

यादृच्छिक चर के मूल्यों के फैलाव का माप निर्धारित करने के लिए, इसका उपयोग अक्सर किया जाता है मानक विचलन, संबंध द्वारा फैलाव से संबंधित।

फैलाव के मूल गुण:

• स्थिरांक का प्रसरण शून्य है, डीसी=0;

• एक मनमाना स्थिरांक के लिए डी (सीएक्स) = सी 2 डी (एक्स);

• दो के योग का विचरण स्वतंत्रयादृच्छिक चर उनके प्रसरणों के योग के बराबर: डी (x± एच) = डी (एक्स) + डी (एच)।

संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों में, गणितीय अपेक्षा और फैलाव के अलावा, यादृच्छिक चर की अन्य संख्यात्मक विशेषताओं का उपयोग किया जाता है। सबसे पहले ये प्रारंभिकऔर केंद्रीयक्षण.

यादृच्छिक चर x के kवें क्रम का प्रारंभिक क्षण गणितीय अपेक्षा है केयादृच्छिक चर x की th शक्ति, अर्थात ए क = एमएक्स के.

यादृच्छिक चर x के kवें क्रम का केंद्रीय क्षण मात्रा m है के, सूत्र m k = द्वारा परिभाषित एम (एक्स - एमएक्स) के .

ध्यान दें कि एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा पहले क्रम का प्रारंभिक क्षण, 1 है = एमएक्स, और फैलाव दूसरे क्रम का केंद्रीय क्षण है,

एक 2 = एमएक्स 2 = एम (एक्स - एमएक्स) 2 = डी एक्स।

ऐसे सूत्र हैं जो आपको किसी यादृच्छिक चर के केंद्रीय क्षणों को उसके प्रारंभिक क्षणों के माध्यम से व्यक्त करने की अनुमति देते हैं, उदाहरण के लिए:

मी 2 =ए 2 -ए 1 2 , म 3 = ए 3 - 3ए 2ए 1 + 2ए 1 3 .

यदि एक सतत यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण घनत्व सीधी रेखा के संबंध में सममित है एक्स = एमएक्स, तो इसके विषम क्रम के सभी केंद्रीय क्षण शून्य के बराबर हैं।

संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों में, वितरण विषमता का माप विषमता गुणांक है, जो सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है,

जहां एम 3 तीसरे क्रम का केंद्रीय क्षण है, - मानक विचलन.

सामान्य वितरण का उपयोग अक्सर संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों में किया जाता है, इसलिए सामान्य वितरण की संभाव्यता घनत्व प्लॉट एक प्रकार का मानक बन गया है जिसके साथ अन्य वितरणों की तुलना की जाती है। एक पैरामीटर जो यादृच्छिक चर x के वितरण और सामान्य वितरण के बीच अंतर निर्धारित करता है वह कर्टोसिस है।

एक यादृच्छिक चर x का कर्टोसिस जी समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है।

सामान्य वितरण में स्वाभाविक रूप से जी होता है = 0. यदि g(x) > 0, तो इसका मतलब है कि संभाव्यता घनत्व ग्राफ पी एक्स(एक्स) सामान्य वितरण की तुलना में अधिक "तेज" है, लेकिन यदि g (x)< 0, то “заостренность” графикаपी एक्स(एक्स) सामान्य वितरण से कम है।

यादृच्छिक चर का हार्मोनिक माध्य और ज्यामितीय माध्य आर्थिक गणना में उपयोग की जाने वाली संख्यात्मक विशेषताएं हैं।

सकारात्मक मान लेने वाले यादृच्छिक चर का हार्मोनिक माध्य मात्रा है .

उदाहरण के लिए, एक सतत यादृच्छिक चर के लिए समान रूप से वितरित [ ए, बी],

0 < ए< बी, हार्मोनिक माध्य की गणना निम्नानुसार की जाती है:

और .

किसी यादृच्छिक चर का ज्यामितीय माध्य जो सकारात्मक मान लेता है, मात्रा कहलाता है।

"ज्यामितीय माध्य" नाम एक असतत यादृच्छिक चर के ज्यामितीय माध्य की अभिव्यक्ति से आया है जिसका एक समान वितरण है

0.577 यूलर स्थिरांक है।

दो यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं और सहसंबंध क्षण के उत्पाद के बराबर है:

सबूत। हम सहसंबंध क्षण की परिभाषा से आगे बढ़ेंगे:

आइए गणितीय अपेक्षा के गुणों का उपयोग करके इस अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

जो स्पष्टतः सूत्र (10.2.17) के समतुल्य है।

यदि यादृच्छिक चर असंबद्ध हैं, तो सूत्र (10.2.17) रूप लेता है:

अर्थात्, दो असंबद्ध यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है।

इस स्थिति को गणितीय अपेक्षाओं के गुणन के प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

फॉर्मूला (10.2.17) दूसरे मिश्रित प्रारंभिक क्षण और गणितीय अपेक्षाओं के माध्यम से सिस्टम के दूसरे मिश्रित केंद्रीय क्षण की अभिव्यक्ति से ज्यादा कुछ नहीं है:

. (10.2.19)

इस अभिव्यक्ति का उपयोग अक्सर व्यवहार में सहसंबंध क्षण की गणना करते समय उसी तरह किया जाता है जैसे एक यादृच्छिक चर के लिए विचरण की गणना अक्सर दूसरे प्रारंभिक क्षण और गणितीय अपेक्षा के माध्यम से की जाती है।

गणितीय अपेक्षाओं के गुणन के प्रमेय को कारकों की एक मनमानी संख्या के लिए सामान्यीकृत किया जाता है, केवल इस मामले में, इसके अनुप्रयोग के लिए, यह पर्याप्त नहीं है कि मात्राएँ असंबद्ध हों, बल्कि कुछ उच्च मिश्रित क्षणों की आवश्यकता होती है, जिनकी संख्या निर्भर करती है उत्पाद में शब्दों की संख्या गायब हो जाती है। यदि उत्पाद में शामिल यादृच्छिक चर स्वतंत्र हैं तो ये शर्तें निश्चित रूप से संतुष्ट हैं। इस मामले में

अर्थात्, स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है।

इस प्रस्ताव को पूर्ण प्रेरण द्वारा आसानी से सिद्ध किया जा सकता है।

स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद का प्रसरण

आइए हम इसे स्वतंत्र मात्राओं के लिए सिद्ध करें

सबूत। चलो निरूपित करें. विचरण की परिभाषा के अनुसार

चूँकि मात्राएँ स्वतंत्र हैं, और

स्वतंत्र होने पर मात्राएँ भी स्वतंत्र होती हैं; इस तरह,

,

लेकिन परिमाण के दूसरे प्रारंभिक क्षण से अधिक कुछ नहीं है, और इसलिए, फैलाव के माध्यम से व्यक्त किया जाता है:

;

इसी तरह

.

इन भावों को सूत्र (10.2.22) में प्रतिस्थापित करने और समान पदों को लाने पर, हम सूत्र (10.2.21) पर पहुंचते हैं।

ऐसे मामले में जब केंद्रित यादृच्छिक चर (शून्य के बराबर गणितीय अपेक्षाओं वाले चर) को गुणा किया जाता है, सूत्र (10.2.21) रूप लेता है:

, (10.2.23)

अर्थात्, स्वतंत्र केन्द्रित यादृच्छिक चरों के उत्पाद का प्रसरण उनके प्रसरणों के गुणनफल के बराबर होता है।

यादृच्छिक चरों के योग का उच्चतम क्षण

कुछ मामलों में स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग के उच्चतम क्षणों की गणना करना आवश्यक है। आइए कुछ संबंधित संबंधों को सिद्ध करें।

1) यदि मात्राएँ स्वतंत्र हैं, तो