Trigonometrinių funkcijų sumažinimo lentelė. Sinusas (sin x) ir kosinusas (cos x) – savybės, grafikai, formulės

Trigonometrija Redukcijos formulės.

Sumažinimo formulių nereikia mokyti, jas reikia suprasti. Suprasti jų išvedimo algoritmą. Tai labai lengva!

Paimkime vienetinį apskritimą ir ant jo uždėkime visus laipsnius (0°; 90°; 180°; 270°; 360°).

Išanalizuokime funkcijas sin(a) ir cos(a) kiekviename ketvirtyje.

Atminkite, kad mes žiūrime į sin(a) funkciją išilgai Y ašies, o funkciją cos(a) – išilgai X ašies.

Pirmajame ketvirtyje aišku, kad funkcija sin(a)>0
Ir funkcija cos(a)>0
Pirmąjį ketvirtį galima apibūdinti laipsniais, pvz., (90-α) arba (360+α).

Antrajame ketvirtyje aišku, kad funkcija sin(a)>0, nes Y ašis šį ketvirtį yra teigiama.
Funkcija cos(a), nes X ašis šiame kvadrante yra neigiama.
Antrąjį ketvirtį galima apibūdinti laipsniais, pvz., (90+α) arba (180-α).

Trečiajame ketvirtyje aišku, kad funkcijos nuodėmė (a) Trečiąjį ketvirtį galima apibūdinti laipsniais, pvz., (180+α) arba (270-α).

Ketvirtajame ketvirtyje aišku, kad funkcija sin(a), nes Y ašis šiame ketvirtyje yra neigiama.
Funkcija cos(a)>0, nes X ašis šiame ketvirtyje yra teigiama.
Ketvirtąjį ketvirtį galima apibūdinti laipsniais, pvz., (270+α) arba (360-α).

Dabar pažvelkime į pačias redukcijos formules.

Prisiminkime paprastą algoritmas:
1. ketvirtis.(Visada žiūrėkite, kuriame kvartale esate).
2. Pasirašyti.(Dėl ketvirčio žr. teigiamą arba neigiamos funkcijos kosinusas arba sinusas).
3. Jei skliausteliuose yra (90° arba π/2) ir (270° arba 3π/2), tada funkcijų pokyčiai.

Taigi mes pradėsime analizuoti šį algoritmą ketvirčiais.

Sužinokite, kam bus lygi išraiška cos(90-α).
Mes samprotaujame pagal algoritmą:
1. Ketvirtis vienas.

valio cos(90-α) = sin(α)

Sužinok, kam bus lygi sin(90-α) išraiška
Mes samprotaujame pagal algoritmą:
1. Ketvirtis vienas.

valio sin(90-α) = cos(α)

Sužinok, kam bus lygi išraiška cos(360+α).
Mes samprotaujame pagal algoritmą:
1. Ketvirtis vienas.
2. Pirmąjį ketvirtį kosinuso funkcijos ženklas yra teigiamas.

valio cos(360+α) = cos(α)

Sužinok, kam bus lygi sin(360+α) išraiška
Mes samprotaujame pagal algoritmą:
1. Ketvirtis vienas.
2. Pirmajame ketvirtyje sinuso funkcijos ženklas yra teigiamas.
3. Skliausteliuose nėra (90° arba π/2) ir (270° arba 3π/2), tada funkcija nesikeičia.
valio nuodėmė (360+α) = nuodėmė (α)

Sužinok, kam bus lygi išraiška cos(90+α).
Mes samprotaujame pagal algoritmą:
1. Antras ketvirtis.

3. Skliausteliuose yra (90° arba π/2), tada funkcija keičiasi iš kosinuso į sinusą.
valio cos(90+α) = -sin(α)

Sužinok, kam bus lygi sin(90+α) išraiška
Mes samprotaujame pagal algoritmą:
1. Antras ketvirtis.

3. Skliausteliuose yra (90° arba π/2), tada funkcija pasikeičia iš sinuso į kosinusą.
valio sin(90+α) = cos(α)

Sužinokite, kam bus lygi išraiška cos(180-α).
Mes samprotaujame pagal algoritmą:
1. Antras ketvirtis.
2. Antrajame ketvirtyje kosinuso funkcijos ženklas yra neigiamas.
3. Skliausteliuose nėra (90° arba π/2) ir (270° arba 3π/2), tada funkcija nesikeičia.
valio cos(180-α) = cos(α)

Sužinok, kam bus lygi sin(180-α) išraiška
Mes samprotaujame pagal algoritmą:
1. Antras ketvirtis.
2. Antrajame ketvirtyje sinuso funkcijos ženklas yra teigiamas.
3. Skliausteliuose nėra (90° arba π/2) ir (270° arba 3π/2), tada funkcija nesikeičia.
valio nuodėmė (180-α) = nuodėmė (α)

Aš kalbu apie trečią ir ketvirtą ketvirčius, sudarykime lentelę panašiai:

Prenumeruoti į kanalą YOUTUBE ir žiūrėkite vaizdo įrašą, ruoškitės matematikos ir geometrijos egzaminams su mumis.

Pamoka ir pristatymas tema: „Redukcijos formulių taikymas sprendžiant uždavinius“

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų. Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Mokymo priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 10 klasei
1C: mokykla. Interaktyvios konstravimo užduotys 7-10 kl
1C: mokykla. Geometrijos uždavinių sprendimas. Interaktyvios užduotys apie pastatymą erdvėje 10–11 klasėms

Ką mes studijuosime:
1. Truputį pakartokime.
2. Redukcijos formulių taisyklės.
3. Redukcijos formulių perskaičiavimo lentelė.
4. Pavyzdžiai.

Trigonometrinių funkcijų apžvalga

Vaikinai, jūs jau susidūrėte su vaiduoklių formulėmis, bet dar jų taip nepavadinote. Ką manote: kur?

Pažvelkite į mūsų brėžinius. Teisingai, kai buvo įvesti trigonometrinių funkcijų apibrėžimai.

Redukcijos formulių taisyklė

Įveskime pagrindinę taisyklę: jei po trigonometrinės funkcijos ženklu yra π×n/2 + t formos skaičius, kur n yra bet koks sveikasis skaičius, tai mūsų trigonometrinę funkciją galima sumažinti iki daugiau paprastas vaizdas, kuriame bus tik argumentas t. Tokios formulės vadinamos vaiduoklio formulėmis.

Prisiminkime keletą formulių:

sin(t + 2π*k) = sin(t)
cos(t + 2π*k) = cos(t)
sin(t + π) = -sin(t)
cos(t + π) = -cos(t)
sin(t + π/2) = cos(t)
cos(t + π/2) = -sin(t)
tan(t + π*k) = tan(x)
ctg(t + π*k) = ctg(x)

yra daug vaiduoklio formulių, sudarykime taisyklę, pagal kurią nustatysime savo trigonometrines funkcijas vaiduoklio formulės:

Jei trigonometrinės funkcijos ženkle yra tokios formos skaičiai: π + t, π - t, 2π + t ir 2π - t, tai funkcija nepasikeis, tai yra, pavyzdžiui, sinusas liks sinusu, kotangentas liks kotangentas.
Jei trigonometrinės funkcijos ženkle yra tokios formos skaičiai: π/2 + t, π/2 - t,
3π/2 + t ir 3π/2 - t, tada funkcija pasikeis į susijusią, tai yra sinusas taps kosinusu, kotangentas – liestine.
Prieš gautą funkciją turite įdėti ženklą, kurį transformuota funkcija turėtų su sąlyga 0

Šios taisyklės taip pat taikomos, kai funkcijos argumentas pateikiamas laipsniais!

Taip pat galime sukurti trigonometrinių funkcijų transformacijų lentelę:

Redukcijos formulių naudojimo pavyzdžiai

1. Transformuokite cos(π + t). Funkcijos pavadinimas išlieka, t.y. gauname cos(t). Darykime prielaidą, kad π/2

2. Transformuoti sin(π/2 + t). Keičiasi funkcijos pavadinimas, t.y. gauname cos(t). Tada tarkime, kad 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. Transformuokite tg(π + t). Funkcijos pavadinimas išlieka, t.y. gauname įdegį(t). Dar tarkime, kad 0

4. Transformuoti ctg(270 0 + t). Pasikeičia funkcijos pavadinimas, tai yra, gauname tg(t). Dar tarkime, kad 0

Uždaviniai su redukcijos formulėmis savarankiškam sprendimui

Vaikinai, konvertuokite patys pagal mūsų taisykles:

1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) vaikiška lovelė (π - t),
4) tg(π/2 – t),
5) cotg(3π + t),
6) nuodėmė (2π + t),
7) nuodėmė(π/2 + 5t),
8) nuodėmė (π/2 – t),
9) nuodėmė (2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 – t),
13) cos(π - t).

Redukcijos formulės yra ryšiai, leidžiantys pereiti nuo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento su kampais `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` į tas pačias kampo `\alpha` funkcijas, kurios yra pirmajame vieneto apskritimo ketvirtyje. Taigi mažinimo formulės „veda“ mus prie darbo su kampais nuo 0 iki 90 laipsnių, o tai yra labai patogu.

Iš viso yra 32 redukcijos formulės. Jie neabejotinai pravers per vieningą valstybinį egzaminą, egzaminus ir testus. Tačiau iš karto perspėsime, kad nereikia jų įsiminti! Turite praleisti šiek tiek laiko ir suprasti jų taikymo algoritmą, tada jums nebus sunku tinkamu metu išvesti reikiamą lygybę.

Pirmiausia užsirašykime visas redukcijos formules:

Jei kampas (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) arba (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha

Kampui (`\pi \pm \alpha`) arba (`180^\circ \pm \alpha`):

`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha

Jei kampas (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) arba (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha

Kampui (`2\pi \pm \alpha`) arba (`360^\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha

Redukcijos formules dažnai galite rasti lentelės pavidalu, kur kampai parašyti radianais:

Norėdami jį naudoti, turite pasirinkti eilutę su reikalinga funkcija ir stulpelį su būtinas argumentas. Pavyzdžiui, norint su lentele sužinoti, kam bus lygus ` sin(\pi + \alpha)`, pakanka rasti atsakymą eilutės ` sin \beta` ir stulpelio ` \pi + sankirtoje. \alfa. Gauname ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

Ir antroji, panaši lentelė, kurioje kampai rašomi laipsniais:

Mnemoninė redukcinių formulių taisyklė arba kaip jas atsiminti

Kaip jau minėjome, visų minėtų santykių nereikia įsiminti. Jei atidžiai juos pažvelgėte, tikriausiai pastebėjote keletą modelių. Jie leidžia suformuluoti mnemoninę taisyklę (mnemoninę – prisiminti), kurios pagalba nesunkiai gauname bet kokią redukcijos formulę.

Iš karto atkreipkime dėmesį, kad norint taikyti šią taisyklę, reikia gerai identifikuoti (arba atsiminti) trigonometrinių funkcijų požymius skirtinguose vieneto apskritimo ketvirčiuose.
Pati vakcina susideda iš 3 etapų:

1. Funkcijos argumentas turi būti pateiktas kaip \frac (\pi)2 \pm \alpha, \pi \pm \alpha, \frac (3\pi)2 \pm \alpha, 2\pi \ pm \alpha“ ir „\alpha“ būtina aštrus kampas(nuo 0 iki 90 laipsnių).
2. Argumentams \frac (\pi)2 \pm \alpha, \frac (3\pi)2 \pm \alpha transformuotos išraiškos trigonometrinė funkcija pasikeičia į kofunkciją, tai yra priešinga (sinusas kosinusui, kotangentui ir atvirkščiai). Argumentams „\pi \pm \alpha“, „2\pi \pm \alpha“ funkcija nesikeičia.
3. Nustatomas pradinės funkcijos ženklas. Dešinėje pusėje gauta funkcija turės tą patį ženklą.

Norėdami pamatyti, kaip šią taisyklę galima pritaikyti praktiškai, paverskime keletą išraiškų:

1. „cos(\pi + \alpha)“.

Funkcija nekeičiama. Kampas `\pi + \alpha` yra trečiajame ketvirtyje, kosinusas šiame ketvirtyje turi „-“ ženklą, todėl transformuota funkcija taip pat turės „-“ ženklą.

Atsakymas: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`

2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)'.

Pagal mnemoninę taisyklę funkcija bus atvirkštinė. Kampas `\frac (3\pi)2 - \alpha` yra trečiame ketvirtyje, sinusas čia turi „-“ ženklą, todėl rezultatas taip pat turės „-“ ženklą.

Atsakymas: "sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha"

3. „cos(\frac (7\pi)2 – \alpha)“.

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2–\alpha))“. Pavaizduokime „3\pi“ kaip „2\pi+\pi“. „2\pi“ yra funkcijos laikotarpis.

Svarbu: funkcijų „cos \alpha“ ir „sin \alpha“ laikotarpis yra „2\pi“ arba „360^\circ“, jų reikšmės nepasikeis, jei argumentas bus padidintas arba sumažintas šiomis reikšmėmis.

Remiantis tuo, mūsų išraišką galima parašyti taip: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Du kartus pritaikę mnemoninę taisyklę, gauname: `cos (\pi+(\frac(\) pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.

Atsakymas: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha.

Arklio taisyklė

Antrasis aukščiau aprašytos mnemoninės taisyklės punktas dar vadinamas redukcijos formulių arklio taisykle. Įdomu, kodėl arkliai?

Taigi, turime funkcijas su argumentais „\frac (\pi)2 \pm \alpha”, „\pi \pm \alpha”, „\frac (3\pi)2 \pm \alpha”, „2\pi \ pm \alpha, taškai \frac (\pi)2, \pi, \frac (3\pi)2, 2\pi yra raktai, jie yra koordinačių ašyse. „\pi“ ir „2\pi“ yra horizontalioje x ašyje, o „\frac (\pi)2“ ir „\frac (3\pi)2“ yra vertikalioje ordinatėje.

Užduodame sau klausimą: „Ar funkcija virsta kofunkcija? Norėdami atsakyti į šį klausimą, turite pasukti galvą išilgai ašies, kurioje yra pagrindinis taškas.

Tai yra, į argumentus, kurių pagrindiniai taškai yra horizontalioje ašyje, atsakome „ne“ purtydami galvas į šonus. O į kampus, kurių pagrindiniai taškai yra vertikalioje ašyje, atsakome „taip“ linksėdami galvą iš viršaus į apačią, kaip arklys :)

Rekomenduojame žiūrėti vaizdo pamoką, kurioje autorius išsamiai paaiškina, kaip atsiminti mažinimo formules jų neįsiminti.

Praktiniai redukcijos formulių naudojimo pavyzdžiai

Sumažinimo formulės pradedamos naudoti 9 ir 10 klasėse. Daug problemų naudojant juos buvo pateikta vieningam valstybiniam egzaminui. Štai keletas problemų, dėl kurių turėsite taikyti šias formules:

uždaviniai stačiajam trikampiui išspręsti;
skaitinių ir abėcėlinių trigonometrinių reiškinių transformavimas, jų reikšmių skaičiavimas;
stereometrines užduotis.

1 pavyzdys. Apskaičiuokite naudodami redukcijos formules a) „sin 600^\circ“, b) „tg 480^\circ“, c) „cos 330^\circ“, d) „sin 240^\circ“.

Sprendimas: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

b) „tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3“;

c) „cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2“;

d) „sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2“.

2 pavyzdys. Išreikšdami kosinusą per sinusą naudodami redukcijos formules, palyginkite skaičius: 1) "sin \frac (9\pi)8" ir "cos \frac (9\pi)8"; 2) „sin \frac (\pi)8“ ir „cos \frac (3\pi)10“.

Sprendimas: 1)`sin \frac (9\pi)8 = sin (\pi+\frac (\pi)8) = -sin \frac (\pi)8

„cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8“

„-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8“.

„sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8“.

2) „cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5) = sin \frac (\pi)5“

`sin \frac (\pi)8

Pirmiausia įrodykime dvi argumento `\frac (\pi)2 + \alpha sinuso ir kosinuso formules: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` ir ` cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Likusi dalis yra kilusi iš jų.

Paimkime vienetinį apskritimą ir jame nurodykime tašką A su koordinatėmis (1,0). Leiskite atsivertę kampas „\alpha“ pateks į tašką „A_1(x, y)“, o pasukus kampu „\frac (\pi)2 + \alpha“ į tašką „A_2(-y, x)“. Numetę statmenus iš šių taškų į tiesę OX, matome, kad trikampiai `OA_1H_1` ir `OA_2H_2` yra lygūs, nes jų hipotenuzės ir gretimi kampai yra lygūs. Tada, remdamiesi sinuso ir kosinuso apibrėžimais, galime parašyti „sin \alpha=y“, „cos \alpha=x“, „sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x“, „cos“ (\frac (\pi)2 + \alpha)=-y`. Kur galime parašyti, kad ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` ir ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, kas įrodo redukciją sinuso ir kosinuso kampų formulės `\frac (\pi)2 + \alpha`.

Iš tangento ir kotangento apibrėžimo gauname ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` ir ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\) frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, kuris įrodo kampo liestinės ir kotangento redukcijos formulės `\frac (\pi)2 + \alpha.

Norint įrodyti formules su argumentu `\frac (\pi)2 - \alpha`, pakanka pateikti ją kaip `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` ir eiti tuo pačiu keliu, kaip nurodyta aukščiau. Pavyzdžiui, „cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)“.

Kampai `\pi + \alpha` ir `\pi - \alpha` gali būti pavaizduoti kaip `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` ir `\frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` atitinkamai.

Ir „\frac (3\pi)2 + \alpha“ ir „\frac (3\pi)2 - \alpha“ kaip „\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)“ ir „\pi“ +(\frac (\pi)2-\alpha)`.

Yra dvi redukcijos formulių naudojimo taisyklės.

1. Jei kampas gali būti pavaizduotas kaip (π/2 ±a) arba (3*π/2 ±a), tada keičiasi funkcijos pavadinimas nuodėmės į cos, cos į nuodėmę, tg į ctg, ctg į tg. Jei kampas gali būti pavaizduotas forma (π ±a) arba (2*π ±a), tada Funkcijos pavadinimas lieka nepakitęs.

Pažiūrėkite į žemiau esantį paveikslėlį, kuriame schematiškai parodyta, kada reikia pakeisti ženklą, o kada ne.

2. Taisyklė „koks buvai, toks ir išliksi“.

Sumažėjusios funkcijos ženklas išlieka toks pat. Jei pradinė funkcija turėjo pliuso ženklą, tai sumažinta funkcija taip pat turi pliuso ženklą. Jei pradinė funkcija turėjo minuso ženklą, tai sumažinta funkcija taip pat turi minuso ženklą.

Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduoti pagrindinių trigonometrinių funkcijų ženklai, priklausantys nuo ketvirčio.

Apskaičiuokite nuodėmę (150˚)

Naudokime redukcijos formules:

Sin(150˚) yra antrame ketvirtyje; iš paveikslo matome, kad nuodėmės ženklas šiame ketvirtyje yra lygus +. Tai reiškia, kad nurodyta funkcija taip pat turės pliuso ženklą. Pritaikėme antrąją taisyklę.

Dabar 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ yra π/2. Tai yra, mes susiduriame su atveju π/2+60, todėl pagal pirmąją taisyklę funkciją keičiame iš sin į cos. Dėl to gauname Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Jei pageidaujama, visas redukcijos formules galima apibendrinti vienoje lentelėje. Tačiau vis tiek lengviau atsiminti šias dvi taisykles ir jomis naudotis.