Kaip internete konvertuoti trupmeną į dešimtainį skaičių. Internetinis skaičiuotuvas Dešimtainių trupmenų konvertavimas į paprastas trupmenas

Dešimtainė trupmena susideda iš dviejų dalių, atskirtų kableliais. Pirmoji dalis yra visas vienetas, antroji dalis yra dešimtys (jei yra vienas skaičius po kablelio), šimtai (du skaičiai po kablelio, kaip du nuliai iš šimto), tūkstantosios ir kt. Pažvelkime į dešimtainių trupmenų pavyzdžius: 0, 2; 7, 54; 235.448; 5.1; 6,32; 0.5. Tai visos dešimtainės trupmenos. Kaip paversti dešimtainę trupmeną į paprastąją trupmeną?

Vienas pavyzdys

Mes turime trupmeną, pavyzdžiui, 0,5. Kaip minėta aukščiau, jis susideda iš dviejų dalių. Pirmasis skaičius 0 rodo, kiek sveikųjų vienetų turi trupmena. Mūsų atveju jų nėra. Antrasis skaičius rodo dešimtis. Trupmena netgi skaitoma nuliu tašku penki. Dešimtainis skaičius konvertuoti į trupmeną Dabar nebus sunku, rašome 5/10. Jei matote, kad skaičiai turi bendrą koeficientą, galite sumažinti trupmeną. Turime šį skaičių 5, padalijus abi trupmenos puses iš 5, gauname - 1/2.

Antras pavyzdys

Imkime daugiau kompleksinė trupmena- 2.25. Jis skamba taip: du taškai du ir dvidešimt penkios šimtosios dalys. Atkreipkite dėmesį - šimtosios dalys, nes po kablelio yra du skaičiai. Dabar galite konvertuoti jį į bendrą trupmeną. Užrašome - 2 25/100. Visa dalis yra 2, trupmeninė dalis yra 25/100. Kaip ir pirmame pavyzdyje, šią dalį galima sutrumpinti. Bendras skaičių 25 ir 100 koeficientas yra skaičius 25. Atkreipkite dėmesį, kad mes visada pasirenkame didžiausią bendrą koeficientą. Abi trupmenos puses padaliję iš GCD, gavome 1/4. Taigi 2,25 yra 2 1/4.

Trečias pavyzdys

O norėdami konsoliduoti medžiagą, paimkime dešimtainę trupmeną 4,112 - keturių taškų vienas ir šimtas dvylika tūkstantųjų dalių. Kodėl tūkstantosios, manau, aišku. Dabar užrašome 4 112/1000. Naudodami algoritmą randame skaičių 112 ir 1000 gcd. Mūsų atveju tai yra skaičius 6. Gauname 4 14/125.

Išvada

Dalį suskaidome į sveikąsias ir trupmenines dalis.
Pažiūrėkime, kiek skaitmenų yra po kablelio. Jei vienas yra dešimtys, du yra šimtai, trys yra tūkstantosios ir pan.
Trupmeną rašome įprasta forma.
Sumažinkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį.
Užrašome gautą trupmeną.
Patikriname ir skirstome viršutinė dalis frakcijos iki apačios. Jeigu ten visa dalis, pridėkite prie gautos dešimtainės trupmenos. Pradinė versija pasirodė puiki, vadinasi, viską padarėte teisingai.

Naudodamas pavyzdžius parodžiau, kaip dešimtainę trupmeną galite konvertuoti į paprastąją trupmeną. Kaip matote, tai padaryti labai lengva ir paprasta.

Jau sakėme, kad yra trupmenos įprastas Ir dešimtainis. Šiuo metu mes šiek tiek sužinojome apie trupmenas. Sužinojome, kad yra reguliarios ir netinkamos trupmenos. Taip pat sužinojome, kad bendrąsias trupmenas galima sumažinti, sudėti, atimti, dauginti ir dalyti. Taip pat sužinojome, kad yra vadinamųjų mišriųjų skaičių, kuriuos sudaro sveikasis skaičius ir trupmeninė dalis.

Dar ne iki galo ištyrėme bendrąsias trupmenas. Yra daug subtilybių ir smulkmenų, apie kurias reikėtų kalbėti, tačiau šiandien mes pradėsime studijuoti dešimtainis trupmenomis, nes dažnai tenka derinti paprastąsias ir dešimtaines trupmenas. Tai yra, sprendžiant uždavinius, reikia naudoti abiejų tipų trupmenas.

Ši pamoka gali atrodyti sudėtinga ir paini. Tai visai normalu. Tokios pamokos reikalauja, kad jos būtų studijuojamos, o ne perskaitytos paviršutiniškai.

Pamokos turinys

Kiekių išreiškimas trupmenine forma

Kartais patogu ką nors parodyti trupmenine forma. Pavyzdžiui, dešimtoji decimetro dalis parašyta taip:

Ši išraiška reiškia, kad vienas decimetras buvo padalintas į dešimt dalių, o iš šių dešimties dalių buvo paimta viena dalis:

Kaip matote paveikslėlyje, viena dešimtoji decimetro yra vienas centimetras.

Apsvarstykite toliau pateiktą pavyzdį. Rodykite 6 cm ir dar 3 mm centimetrais trupmenine forma.

Taigi, jums reikia išreikšti 6 cm ir 3 mm centimetrais, bet trupmenine forma. Jau turime 6 ištisus centimetrus:

bet dar liko 3 milimetrai. Kaip parodyti šiuos 3 milimetrus ir centimetrais? Į pagalbą ateina frakcijos. 3 milimetrai yra trečioji centimetro dalis. O trečioji centimetro dalis parašyta cm

Trupmena reiškia, kad vienas centimetras buvo padalintas iš dešimties lygiomis dalimis, o iš šių dešimties dalių jie paėmė tris dalis (trys iš dešimties).

Dėl to mes turime šešis ištisus centimetrus ir tris dešimtąsias centimetro:

Šiuo atveju 6 rodo sveikų centimetrų skaičių, o trupmena - trupmeninių centimetrų skaičių. Ši trupmena skaitoma kaip "šeši taškai trys centimetrai".

Trupmenas, kurių vardiklyje yra skaičiai 10, 100, 1000, galima rašyti be vardiklio. Pirmiausia parašykite visą dalį, o tada trupmeninės dalies skaitiklį. Sveikoji dalis nuo trupmeninės dalies skaitiklio atskiriama kableliu.

Pavyzdžiui, rašykime be vardiklio. Norėdami tai padaryti, pirmiausia užsirašykite visą dalį. Sveikoji dalis yra skaičius 6. Pirmiausia užrašome šį skaičių:

Visa dalis įrašoma. Iš karto parašę visą dalį dedame kablelį:

O dabar užrašome trupmeninės dalies skaitiklį. Mišriajame skaičiuje trupmeninės dalies skaitiklis yra skaičius 3. Po kablelio rašome trejetą:

Iškviečiamas bet koks skaičius, pavaizduotas šioje formoje dešimtainis.

Todėl galite parodyti 6 cm ir dar 3 mm centimetrais naudodami dešimtainę trupmeną:

6,3 cm

Tai atrodys taip:

Tiesą sakant, dešimtainės dalys yra tokios pačios kaip paprastosios trupmenos ir mišrūs skaičiai. Tokių trupmenų ypatumas yra tas, kad jų trupmeninės dalies vardiklyje yra skaičiai 10, 100, 1000 arba 10 000.

Kaip ir mišrus skaičius, dešimtainė trupmena turi sveikąją dalį ir trupmeninę dalis. Pavyzdžiui, mišraus skaičiaus sveikoji dalis yra 6, o trupmeninė dalis yra .

Dešimtainėje trupmenoje 6.3 sveikoji dalis yra skaičius 6, o trupmeninė dalis yra trupmenos skaitiklis, tai yra skaičius 3.

Taip pat atsitinka, kad paprastosios trupmenos, kurių vardiklyje skaičiai 10, 100, 1000 pateikiami be sveikosios dalies. Pavyzdžiui, trupmena pateikiama be visos dalies. Norėdami parašyti tokią trupmeną dešimtainiu tikslumu, pirmiausia parašykite 0, tada padėkite kablelį ir parašykite trupmenos skaitiklį. Trupmena be vardiklio bus rašoma taip:

Skaito kaip "nulis taškas penki".

Mišrių skaičių konvertavimas į dešimtaines

Kai rašome mišrius skaičius be vardiklio, taip juos konvertuojame į dešimtaines trupmenas. Konvertuodami trupmenas į dešimtaines, turite žinoti keletą dalykų, apie kuriuos dabar pakalbėsime.

Užrašius visą dalį, reikia suskaičiuoti nulių skaičių trupmeninės dalies vardiklyje, nes trupmeninės dalies nulių skaičius ir skaitmenų skaičius po kablelio dešimtainėje trupmenoje turi būti tas pats. Ką tai reiškia? Apsvarstykite šį pavyzdį:

Iš pradžių

Ir jūs galite iš karto užsirašyti trupmeninės dalies skaitiklį ir dešimtainė trupmena yra paruošta, tačiau būtinai reikia suskaičiuoti nulių skaičių trupmeninės dalies vardiklyje.

Taigi, skaičiuojame nulių skaičių mišraus skaičiaus trupmeninėje dalyje. Trupmeninės dalies vardiklis turi vieną nulį. Tai reiškia, kad dešimtainėje trupmenoje po kablelio bus vienas skaitmuo ir šis skaitmuo bus mišraus skaičiaus trupmeninės dalies skaitiklis, tai yra skaičius 2

Taigi, pavertus dešimtainę trupmeną, mišrus skaičius tampa 3,2.

Ši dešimtainė trupmena skamba taip:

"Trys taškai du"

„Dešimtosios“, nes skaičius 10 yra mišraus skaičiaus trupmeninėje dalyje.

2 pavyzdys. Konvertuoti mišrų skaičių į dešimtainę.

Užrašykite visą dalį ir padėkite kablelį:

O trupmeninės dalies skaitiklį būtų galima iškart užrašyti ir gauti dešimtainę trupmeną 5.3, bet taisyklė sako, kad po kablelio turi būti tiek skaitmenų, kiek mišraus skaičiaus trupmeninės dalies vardiklyje yra nulių. Ir matome, kad trupmeninės dalies vardiklis turi du nulius. Tai reiškia, kad mūsų dešimtainė trupmena turi turėti du skaitmenis po kablelio, o ne vieną.

Tokiais atvejais trupmeninės dalies skaitiklį reikia šiek tiek pakeisti: prieš skaitiklį pridėkite nulį, tai yra prieš skaičių 3

Dabar galite konvertuoti šį mišrų skaičių į dešimtainę trupmeną. Užrašykite visą dalį ir padėkite kablelį:

Ir užrašykite trupmeninės dalies skaitiklį:

Dešimtainė trupmena 5.03 skaitoma taip:

"Penki taškai trys"

„Šimtai“, nes mišraus skaičiaus trupmeninės dalies vardiklyje yra skaičius 100.

3 pavyzdys. Konvertuoti mišrų skaičių į dešimtainę.

Iš ankstesnių pavyzdžių sužinojome, kad norint sėkmingai konvertuoti mišrų skaičių į dešimtainį skaičių, trupmenos skaitiklio skaitmenų skaičius ir trupmenos vardiklyje esančių nulių skaičius turi būti vienodas.

Prieš paverčiant mišrų skaičių į dešimtainę trupmeną, jo trupmeninę dalį reikia šiek tiek pakeisti, būtent, įsitikinti, kad trupmeninės dalies skaitiklio skaitmenų skaičius ir trupmeninės dalies vardiklyje esančių nulių skaičius yra tas pats.

Visų pirma, mes žiūrime į nulių skaičių trupmeninės dalies vardiklyje. Matome, kad yra trys nuliai:

Mūsų užduotis yra sutvarkyti tris skaitmenis trupmeninės dalies skaitiklyje. Vieną skaitmenį jau turime – tai skaičius 2. Belieka pridėti dar du skaitmenis. Jie bus du nuliai. Pridėkite juos prieš skaičių 2. Dėl to nulių skaičius vardiklyje ir skaitmenų skaičius skaitiklyje bus toks pat:

Dabar galite pradėti konvertuoti šį mišrų skaičių į dešimtainę trupmeną. Pirmiausia užrašome visą dalį ir dedame kablelį:

ir tuoj pat užrašykite trupmeninės dalies skaitiklį

3,002

Matome, kad skaitmenų skaičius po kablelio ir nulių skaičius mišraus skaičiaus trupmeninės dalies vardiklyje yra vienodi.

Dešimtainė trupmena 3,002 skaitoma taip:

„Trys taškai dvi tūkstantosios dalys“

„Tūkstančiosios dalys“, nes mišraus skaičiaus trupmeninės dalies vardiklyje yra skaičius 1000.

Trupmenų konvertavimas į dešimtaines

Paprastosios trupmenos, kurių vardikliai yra 10, 100, 1000 arba 10 000, taip pat gali būti konvertuojamos į dešimtaines dalis. Kadangi paprastoji trupmena neturi sveikosios dalies, pirmiausia užrašykite 0, tada dėkite kablelį ir užrašykite trupmeninės dalies skaitiklį.

Čia taip pat turi sutapti nulių skaičius vardiklyje ir skaitmenų skaičius skaitiklyje. Todėl turėtumėte būti atsargūs.

1 pavyzdys.

Trūksta visos dalies, todėl pirmiausia rašome 0 ir dedame kablelį:

Dabar žiūrime į nulių skaičių vardiklyje. Matome, kad yra vienas nulis. O skaitiklis turi vieną skaitmenį. Tai reiškia, kad galite saugiai tęsti dešimtainę trupmeną, parašydami skaičių 5 po kablelio

Gautoje dešimtainėje trupmenoje 0,5 skaitmenų skaičius po kablelio ir nulių skaičius trupmenos vardiklyje yra vienodas. Tai reiškia, kad trupmena išversta teisingai.

Dešimtainė trupmena 0,5 skaitoma taip:

"Nulis taškas penki"

2 pavyzdys. Konvertuoti trupmeną į dešimtainę.

Trūksta visos dalies. Pirmiausia rašome 0 ir dedame kablelį:

Dabar žiūrime į nulių skaičių vardiklyje. Matome, kad yra du nuliai. O skaitiklis turi tik vieną skaitmenį. Norėdami, kad skaitmenų ir nulių skaičius būtų vienodas, skaitiklyje prieš skaičių 2 pridėkite vieną nulį. Tada trupmena įgis formą . Dabar nulių skaičius vardiklyje ir skaitmenų skaičius skaitiklyje yra vienodas. Taigi galite tęsti dešimtainę trupmeną:

Gautoje dešimtainėje trupmenoje 0,02 skaitmenų skaičius po kablelio ir nulių skaičius trupmenos vardiklyje yra vienodas. Tai reiškia, kad trupmena išversta teisingai.

Dešimtainė trupmena 0,02 skaitoma taip:

„Nulis taško du“.

3 pavyzdys. Konvertuoti trupmeną į dešimtainę.

Parašykite 0 ir padėkite kablelį:

Dabar skaičiuojame nulių skaičių trupmenos vardiklyje. Matome, kad yra penki nuliai, o skaitiklyje yra tik vienas skaitmuo. Kad nulių skaičius vardiklyje ir skaitmenų skaičius skaitiklyje būtų vienodas, prieš skaičių 5 skaitiklyje turite pridėti keturis nulius:

Dabar nulių skaičius vardiklyje ir skaitmenų skaičius skaitiklyje yra vienodas. Taigi galime tęsti dešimtainę trupmeną. Užrašykite trupmenos skaitiklį po kablelio

Gautoje dešimtainėje trupmenoje 0,00005 skaitmenų skaičius po kablelio ir nulių skaičius trupmenos vardiklyje yra vienodas. Tai reiškia, kad trupmena išversta teisingai.

Dešimtainė trupmena 0,00005 skaitoma taip:

„Nulis penkių šimtų tūkstantųjų dalių“.

Netinkamų trupmenų konvertavimas į dešimtaines

Netinkama trupmena yra trupmena, kurios skaitiklis yra didesnis už vardiklį. Yra netinkamų trupmenų, kurių vardiklyje yra skaičiai 10, 100, 1000 arba 10 000. Tokias trupmenas galima paversti dešimtainiais. Tačiau prieš konvertuojant į dešimtainę trupmeną, tokias trupmenas reikia atskirti į visą dalį.

1 pavyzdys.

Trupmena yra netinkama trupmena. Norėdami konvertuoti tokią trupmeną į dešimtainę trupmeną, pirmiausia turite pasirinkti visą jos dalį. Prisiminkime, kaip atskirti visą netinkamųjų trupmenų dalį. Jei pamiršote, patariame sugrįžti ir pastudijuoti.

Taigi, paryškinkime visą dalį netinkamoje trupmenoje. Prisiminkite, kad trupmena reiškia padalijimą į tokiu atveju skaičių 112 padalijus iš 10

Pažiūrėkime į šį paveikslėlį ir surinkime naują mišrų skaičių, pavyzdžiui, vaikišką konstravimo rinkinį. Skaičius 11 bus sveikoji dalis, skaičius 2 – trupmeninės dalies skaitiklis, o skaičius 10 – trupmeninės dalies vardiklis.

Gavome mišrų skaičių. Paverskime jį į dešimtainę trupmeną. Ir mes jau žinome, kaip tokius skaičius paversti dešimtainėmis trupmenomis. Pirmiausia užrašykite visą dalį ir padėkite kablelį:

Dabar skaičiuojame nulių skaičių trupmeninės dalies vardiklyje. Matome, kad yra vienas nulis. O trupmeninės dalies skaitiklis turi vieną skaitmenį. Tai reiškia, kad nulių skaičius trupmeninės dalies vardiklyje ir skaitmenų skaičius trupmeninės dalies skaitiklyje yra vienodas. Tai suteikia mums galimybę iškart po kablelio užrašyti trupmenos dalies skaitiklį:

Gautoje dešimtainėje trupmenoje 11.2 skaitmenų skaičius po kablelio ir nulių skaičius trupmenos vardiklyje yra vienodas. Tai reiškia, kad trupmena išversta teisingai.

Tai reiškia, kad neteisinga trupmena tampa 11,2, kai konvertuojama į dešimtainį skaičių.

Dešimtainė trupmena 11.2 skaitoma taip:

– Vienuolika taško du.

2 pavyzdys. Konvertuoti netinkamą trupmeną į dešimtainę.

Tai neteisinga trupmena, nes skaitiklis yra didesnis už vardiklį. Tačiau jį galima konvertuoti į dešimtainę trupmeną, nes vardiklyje yra skaičius 100.

Pirmiausia parinkkime visą šios trupmenos dalį. Norėdami tai padaryti, padalykite 450 iš 100 kampu:

Surinkime naują mišrų skaičių – gauname . Ir mes jau žinome, kaip mišrius skaičius konvertuoti į dešimtaines trupmenas.

Užrašykite visą dalį ir padėkite kablelį:

Dabar skaičiuojame nulių skaičių trupmeninės dalies vardiklyje ir skaitmenų skaičių trupmeninės dalies skaitiklyje. Matome, kad nulių skaičius vardiklyje ir skaitmenų skaičius skaitiklyje yra vienodas. Tai suteikia mums galimybę iškart po kablelio užrašyti trupmenos dalies skaitiklį:

Gautoje dešimtainėje trupmenoje 4,50 skaitmenų skaičius po kablelio ir nulių skaičius trupmenos vardiklyje yra vienodas. Tai reiškia, kad trupmena išversta teisingai.

Tai reiškia, kad neteisinga trupmena tampa 4,50, kai konvertuojama į dešimtainį skaičių.

Sprendžiant uždavinius, jei dešimtainės trupmenos gale yra nuliai, juos galima atmesti. Taip pat palikime nulį savo atsakyme. Tada gauname 4,5

Tai vienas iš įdomių savybių dešimtainės trupmenos. Taip yra dėl to, kad trupmenos pabaigoje esantys nuliai nesuteikia šiai trupmenai jokio svorio. Kitaip tariant, dešimtainiai 4,50 ir 4,5 yra lygūs. Padėkime tarp jų lygybės ženklą:

4,50 = 4,5

Kyla klausimas: kodėl taip atsitinka? Juk atrodo 4,50 ir 4,5 skirtingos frakcijos. Visa paslaptis slypi pagrindinėje trupmenų savybėje, kurią tyrėme anksčiau. Bandysime įrodyti, kodėl dešimtainės trupmenos 4,50 ir 4,5 yra lygios, tačiau išnagrinėję kitą temą, kuri vadinasi „dešimtainės trupmenos pavertimas mišriu skaičiumi“.

Dešimtainės dalies konvertavimas į mišrų skaičių

Bet kurią dešimtainę trupmeną galima konvertuoti atgal į mišrų skaičių. Norėdami tai padaryti, pakanka mokėti skaityti dešimtaines trupmenas. Pavyzdžiui, konvertuokime 6.3 į mišrų skaičių. 6,3 yra šeši taškai trys. Pirmiausia užrašome šešis sveikuosius skaičius:

ir šalia trijų dešimtųjų:

2 pavyzdys. Konvertuokite dešimtainį skaičių 3,002 į mišrų skaičių

3,002 yra trys sveikos ir dvi tūkstantosios dalys. Pirmiausia užrašome tris sveikuosius skaičius

ir šalia jo rašome dvi tūkstantąsias dalis:

3 pavyzdys. Paverskite dešimtainį 4,50 į mišrų skaičių

4,50 yra keturi taškai penkiasdešimt. Užrašykite keturis sveikuosius skaičius

ir kitos penkiasdešimt šimtųjų:

Beje, prisiminkime paskutinį pavyzdį iš ankstesnės temos. Sakėme, kad dešimtainiai 4,50 ir 4,5 yra lygūs. Taip pat sakėme, kad nulį galima atmesti. Pabandykime įrodyti, kad dešimtainiai 4,50 ir 4,5 yra lygūs. Norėdami tai padaryti, abi dešimtaines trupmenas paverčiame mišriais skaičiais.

Kai konvertuojamas į mišrų skaičių, dešimtainis skaičius 4,50 tampa , o dešimtainis skaičius 4,5

Turime du mišrius skaičius ir . Paverskime šiuos mišrius skaičius į netinkamas trupmenas:

Dabar turime dvi trupmenas ir . Atėjo laikas prisiminti pagrindinę trupmenos savybę, kuri sako, kad trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginus (arba padalijus) iš to paties skaičiaus, trupmenos reikšmė nekinta.

Pirmąją trupmeną padalinkime iš 10

Mes gavome , ir tai yra antra frakcija. Tai reiškia, kad abu yra lygūs vienas kitam ir yra vienodi:

Pabandykite skaičiuotuvu padalyti iš pradžių 450 iš 100, o paskui 45 iš 10. Tai bus juokinga.

Dešimtainės trupmenos pavertimas trupmena

Bet kurią dešimtainę trupmeną galima konvertuoti atgal į trupmeną. Norėdami tai padaryti, vėl pakanka mokėti nuskaityti dešimtaines trupmenas. Pavyzdžiui, paverskime 0,3 į bendrą trupmeną. 0,3 yra nulis taškas trys. Pirmiausia užrašome nulį sveikųjų skaičių:

ir šalia trijų dešimtųjų 0. Nulis tradiciškai nerašomas, todėl galutinis atsakymas bus ne 0, o tiesiog .

2 pavyzdys. Paverskite dešimtainę trupmeną 0,02 į trupmeną.

0,02 yra nulis taškas du. Mes nenurašome nulio, todėl iškart užrašome dvi šimtąsias dalis

3 pavyzdys. Konvertuoti 0,00005 į trupmeną

0,00005 yra nulis taškas penki. Mes nenurašome nulio, todėl iškart užrašome penkis šimtus tūkstantąsias dalis

Ar patiko pamoka?
Prisijunkite prie mūsų naujos VKontakte grupės ir pradėkite gauti pranešimus apie naujas pamokas

Trupmeną galima paversti sveikuoju arba dešimtainiu skaičiumi. Netinkama trupmena, kurios skaitiklis didesnis už vardiklį ir dalijasi iš jo be liekanos, paverčiama sveikuoju skaičiumi, pavyzdžiui: 20/5. Padalinkite 20 iš 5 ir gaukite skaičių 4. Jei trupmena yra tinkama, tai yra, skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, konvertuokite jį į skaičių (dešimtainę trupmeną). Daugiau informacijos apie trupmenas galite gauti mūsų skyriuje -.

Būdai paversti trupmeną į skaičių

Pirmasis būdas paversti trupmeną į skaičių tinka trupmenai, kurią galima konvertuoti į skaičių, kuris yra dešimtainė trupmena. Pirmiausia išsiaiškinkime, ar galima duotąją trupmeną konvertuoti į dešimtainę trupmeną. Norėdami tai padaryti, atkreipkite dėmesį į vardiklį (skaičius, esantis žemiau linijos arba į dešinę nuo pasvirosios linijos). Jei vardiklis gali būti koeficientas (mūsų pavyzdyje - 2 ir 5), kuris gali būti kartojamas, tada šią trupmeną iš tikrųjų galima konvertuoti į galutinę dešimtainę trupmeną. Pavyzdžiui: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). Ši bendroji trupmena bus konvertuojama į skaičių (dešimtainį) su baigtiniu skaičiumi po kablelio. Tačiau trupmena 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) bus paversta skaičiumi su begaliniu skaičiumi po kablelio. Tai yra, tiksliai apskaičiuojant skaitinę reikšmę, gana sunku nustatyti galutinį dešimtainį skaičių, nes tokių ženklų yra be galo daug. Todėl sprendžiant problemas paprastai reikia suapvalinti reikšmę iki šimtųjų ar tūkstantųjų dalių. Toliau reikia padauginti ir skaitiklį, ir vardiklį iš tokio skaičiaus, kad vardiklis gautų skaičius 10, 100, 1000 ir tt Pavyzdžiui: 11/40 = (11∙25)/(40∙25) = 275/1000 = 0,275
Antrasis būdas trupmeną paversti skaičiumi yra paprastesnis: skaitiklį reikia padalyti iš vardiklio. Norėdami pritaikyti šį metodą, mes tiesiog atliekame padalijimą, o gautas skaičius bus norima dešimtainė trupmena. Pavyzdžiui, jums reikia paversti trupmeną 2/15 į skaičių. Padalinkite 2 iš 15. Gauname 0,1333... – begalinė trupmena. Rašome taip: 0.13(3). Jei trupmena neteisinga, tai yra, skaitiklis yra didesnis už vardiklį (pavyzdžiui, 345/100), tada konvertavus ją į skaičių bus gautas sveikasis skaičius skaitinė reikšmė arba dešimtainis su visa trupmenine dalimi. Mūsų pavyzdyje jis bus 3,45. Norėdami mišrią trupmeną, pvz., 3 2/7, konvertuoti į skaičių, pirmiausia turite konvertuoti ją į netinkamą trupmeną: (3∙7+2)/7 = 23/7. Tada padalinkite 23 iš 7 ir gaukite skaičių 3,2857143, kurį sumažiname iki 3,29.

Lengviausias būdas trupmeną paversti skaičiumi yra naudoti skaičiuotuvą ar kitą skaičiavimo įrenginį. Pirmiausia nurodome trupmenos skaitiklį, tada paspauskite mygtuką su piktograma „padalyti“ ir įveskite vardiklį. Paspaudę "=" klavišą, gauname norimą skaičių.

Jeigu 497 reikia dalinti iš 4, tai dalindami pamatysime, kad 497 iš 4 nesidalija tolygiai, t.y. lieka likusi padalijimo dalis. Tokiais atvejais sakoma, kad baigta padalijimas su likusia dalimi, o sprendimas parašytas taip:
497: 4 = 124 (1 likutis).

Kairėje lygybės pusėje esantys padalijimo komponentai vadinami taip pat, kaip ir dalijant be liekanos: 497 - dividendas, 4 - skirstytuvas. Vadinamas padalijimo rezultatas, kai padalintas su liekana nepilnas privatus. Mūsų atveju tai yra skaičius 124. Ir galiausiai paskutinis komponentas, kuris nėra įprastame padalinyje, yra priminimas. Tais atvejais, kai likučio nėra, vienas skaičius yra padalintas iš kito be pėdsakų arba visiškai. Manoma, kad su tokiu padalijimu likusi dalis yra lygi nuliui. Mūsų atveju likusi dalis yra 1.

Likusi dalis yra visada mažiau nei daliklis.

Dalybą galima patikrinti dauginant. Jei, pavyzdžiui, yra lygybė 64: 32 = 2, tada patikrinimą galima atlikti taip: 64 = 32 * 2.

Dažnai tais atvejais, kai dalijama su likusia dalimi, patogu naudoti lygybę
a = b * n + r,
kur a yra dividendas, b yra daliklis, n yra dalinis koeficientas, r yra liekana.

Natūraliųjų skaičių dalinys gali būti parašytas trupmena.

Trupmenos skaitiklis yra dividendas, o vardiklis yra daliklis.

Kadangi trupmenos skaitiklis yra dividendas, o vardiklis yra daliklis, mano, kad trupmenos eilutė reiškia padalijimo veiksmą. Kartais yra patogu rašyti padalijimą kaip trupmeną nenaudojant „:“ ženklo.

Natūraliųjų skaičių m ir n dalybos koeficientas gali būti parašytas trupmena \(\frac(m)(n)\), kur skaitiklis m yra dividendas, o vardiklis n yra daliklis:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

Šios taisyklės yra teisingos:

Norint gauti trupmeną \(\frac(m)(n)\), reikia padalinti vienetą į n lygių dalių (akcijų) ir paimti m tokių dalių.

Norėdami gauti trupmeną \(\frac(m)(n)\), skaičių m reikia padalyti iš skaičiaus n.

Norint rasti visumos dalį, reikia skaičių, atitinkantį visumą, padalyti iš vardiklio ir padauginti rezultatą iš trupmenos, išreiškiančios šią dalį, skaitiklio.

Norėdami rasti visumą iš jos dalies, turite padalyti šią dalį atitinkantį skaičių iš skaitiklio ir padauginti rezultatą iš trupmenos, išreiškiančios šią dalį, vardiklio.

Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami iš to paties skaičiaus (išskyrus nulį), trupmenos reikšmė nepasikeis:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis dalijami iš to paties skaičiaus (išskyrus nulį), trupmenos reikšmė nepasikeis:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Ši savybė vadinama pagrindinė trupmenos savybė.

Paskutinės dvi transformacijos vadinamos sumažinant dalį.

Jei trupmenas reikia pavaizduoti kaip trupmenas su tuo pačiu vardikliu, tada šis veiksmas vadinamas mažinant trupmenas iki Bendras vardiklis .

Tinkamos ir netinkamos trupmenos. Mišrūs skaičiai

Jau žinote, kad trupmeną galima gauti padalijus visumą į lygias dalis ir paėmus kelias tokias dalis. Pavyzdžiui, trupmena \(\frac(3)(4)\) reiškia tris ketvirtadalius vieneto. Daugelyje ankstesnės pastraipos uždavinių trupmenos buvo naudojamos visumos dalims pavaizduoti. Sveikas protas reikalauja, kad dalis visada būtų mažesnė už visumą, bet kaip su trupmenomis, pvz., \(\frac(5)(5)\) arba \(\frac(8)(5)\)? Akivaizdu, kad tai nebėra įrenginio dalis. Tikriausiai todėl vadinamos trupmenos, kurių skaitiklis yra didesnis už vardiklį arba jam lygus netinkamos trupmenos. Likusios trupmenos, ty trupmenos, kurių skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, vadinamos teisingos trupmenos.

Kaip žinote, bet kokia bendroji trupmena, tiek tinkama, tiek netinkama, gali būti laikoma skaitiklio padalijimu iš vardiklio. Todėl matematikoje, skirtingai nei įprastoje kalboje, terminas „netinkama trupmena“ nereiškia, kad kažką padarėme ne taip, o tik tai, kad šios trupmenos skaitiklis yra didesnis arba lygus vardikliui.

Jei skaičius susideda iš sveikosios dalies ir trupmenos, tada toks trupmenos vadinamos mišriomis.

Pavyzdžiui:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 yra sveikoji dalis, o \(\frac(2)(3) \) yra trupmeninė dalis.

Jei trupmenos \(\frac(a)(b) \) skaitiklis dalijasi iš natūraliojo skaičiaus n, tai norint padalyti šią trupmeną iš n, jos skaitiklį reikia padalyti iš šio skaičiaus:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Jei trupmenos \(\frac(a)(b)\) skaitiklis nesidalija iš natūraliojo skaičiaus n, tada norint padalinti šią trupmeną iš n, jos vardiklį reikia padauginti iš šio skaičiaus:
\(\didelis \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Atkreipkite dėmesį, kad antroji taisyklė taip pat galioja, kai skaitiklis dalijasi iš n. Todėl jį galime naudoti, kai iš pirmo žvilgsnio sunku nustatyti, ar trupmenos skaitiklis dalijasi iš n, ar ne.

Veiksmai su trupmenomis. Sudėjus trupmenas.

Su trupmeniniais skaičiais galite atlikti aritmetinius veiksmus, kaip ir su natūraliaisiais skaičiais. Pirmiausia pažiūrėkime, kaip pridėti trupmenas. Lengvai pridėkite frakcijas su tie patys vardikliai. Raskime, pavyzdžiui, \(\frac(2)(7)\) ir \(\frac(3)(7)\) sumą. Nesunku suprasti, kad \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius ir vardiklį palikti tą patį.

Naudojant raides, trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimo taisyklę galima parašyti taip:
\(\didelis \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Jei reikia pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, pirmiausia jas reikia sumažinti iki bendro vardiklio. Pavyzdžiui:
\(\didelis \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Trupmenoms, kaip ir natūraliems skaičiams, galioja komutacinės ir asociatyvinės sudėties savybės.

Sumaišytų frakcijų pridėjimas

Iškviečiami tokie žymėjimai kaip \(2\frac(2)(3)\). mišrios frakcijos. Tokiu atveju vadinamas skaičius 2 visa dalis mišri trupmena, o skaičius \(\frac(2)(3)\) yra jos trupmeninė dalis. Įrašas \(2\frac(2)(3)\) skaitomas taip: „du ir du trečdaliai“.

Padalinę skaičių 8 iš skaičiaus 3, galite gauti du atsakymus: \(\frac(8)(3)\) ir \(2\frac(2)(3)\). Jie išreiškia tą patį trupmeninį skaičių, ty \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Taigi netinkama trupmena \(\frac(8)(3)\) vaizduojama kaip mišri trupmena \(2\frac(2)(3)\). Tokiais atvejais sakoma, kad iš netinkamos trupmenos pabrėžė visą dalį.

Trupmenų atėmimas (trupmeniniai skaičiai)

Atimtis trupmeniniai skaičiai, kaip ir natūralūs skaičiai, nustatomas pagal sudėjimo veiksmą: iš vieno skaičiaus atėmus kitą reiškia surasti skaičių, kurį pridėjus prie antrojo gaunamas pirmasis. Pavyzdžiui:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) nuo \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9)\)

Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimo taisyklė yra panaši į tokių trupmenų pridėjimo taisyklę:
Norėdami rasti skirtumą tarp trupmenų su tais pačiais vardikliais, turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį iš pirmosios trupmenos skaitiklio ir vardiklį palikti tą patį.

Naudojant raides, ši taisyklė parašyta taip:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Trupmenų dauginimas

Norėdami padauginti trupmeną iš trupmenos, turite padauginti jų skaitiklius ir vardiklius ir įrašyti pirmąjį sandaugą kaip skaitiklį, o antrąjį - kaip vardiklį.

Naudojant raides, trupmenų dauginimo taisyklę galima parašyti taip:
\(\didelis \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Naudodami suformuluotą taisyklę galite padauginti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, iš mišrios trupmenos, taip pat padauginti mišrias trupmenas. Norėdami tai padaryti, turite parašyti natūralųjį skaičių kaip trupmeną, kurios vardiklis yra 1, o mišrią trupmeną - kaip netinkamą trupmeną.

Daugybos rezultatas turėtų būti supaprastintas (jei įmanoma), sumažinant trupmeną ir išskiriant visą netinkamos trupmenos dalį.

Trupmenoms, kaip ir natūraliems skaičiams, galioja komutacinės ir kombinacinės daugybos savybės, taip pat daugybos skirstomoji savybė sudėjimo atžvilgiu.

Trupmenų padalijimas

Paimkime trupmeną \(\frac(2)(3)\) ir „apverskime“ sukeisdami skaitiklį ir vardiklį. Gauname trupmeną \(\frac(3)(2)\). Ši trupmena vadinama atvirkščiai trupmenos \(\frac(2)(3)\).

Jei dabar „atsuksime“ trupmeną \(\frac(3)(2)\), gausime pradinę trupmeną \(\frac(2)(3)\). Todėl tokios trupmenos kaip \(\frac(2)(3)\) ir \(\frac(3)(2)\) vadinamos abipusiai atvirkštinis.

Pavyzdžiui, trupmenos \(\frac(6)(5) \) ir \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) ir \(\frac (18) )(7)\).

Naudojant raides, grįžtamąsias trupmenas galima parašyti taip: \(\frac(a)(b) \) ir \(\frac(b)(a) \)

Aišku, kad atvirkštinių trupmenų sandauga lygi 1. Pavyzdžiui: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Naudodami abipuses trupmenas, galite sumažinti trupmenų padalijimą iki daugybos.

Trupmenos padalijimo iš trupmenos taisyklė yra tokia:
Norėdami padalyti vieną trupmeną iš kitos, turite padauginti dividendą iš daliklio atvirkštinės vertės.

Naudojant raides, trupmenų padalijimo taisyklę galima parašyti taip:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Jei dividendas arba daliklis yra natūralusis skaičius arba mišri frakcija, tada norint naudoti trupmenų padalijimo taisyklę, ji pirmiausia turi būti pavaizduota kaip netinkama trupmena.

Taip atsitinka, kad skaičiavimų patogumui įprastą trupmeną reikia konvertuoti į dešimtainę ir atvirkščiai. Apie tai, kaip tai padaryti, kalbėsime šiame straipsnyje. Pažvelkime į paprastųjų trupmenų konvertavimo į dešimtaines ir atvirkščiai taisykles, taip pat pateikite pavyzdžių.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Apsvarstysime galimybę paprastąsias trupmenas konvertuoti į dešimtaines, laikydamiesi tam tikros sekos. Pirmiausia pažiūrėkime, kaip paprastos trupmenos, kurių vardiklis yra 10 kartotinis, paverčiamos dešimtainiais skaitmenimis: 10, 100, 1000 ir tt Trupmenos su tokiais vardikliais iš tikrųjų yra sudėtingesnis dešimtainių trupmenų žymėjimas.

Toliau apžvelgsime, kaip paprastas trupmenas su bet kokiu vardikliu, o ne tik 10 kartotiniais, paversti dešimtainėmis trupmenomis. Atkreipkite dėmesį, kad paprastąsias trupmenas konvertuojant į dešimtaines, gaunamos ne tik baigtinės, bet ir begalinės periodinės dešimtainės trupmenos.

Pradėkime!

Paprastųjų trupmenų, kurių vardikliai 10, 100, 1000 ir kt., vertimas. po kablelio

Visų pirma, tarkime, kad kai kurias trupmenas reikia šiek tiek paruošti prieš konvertuojant į dešimtainę formą. Kas tai? Prieš skaičių skaitiklyje reikia pridėti tiek nulių, kad skaitmenų skaičius skaitiklyje taptų lygus nulių skaičiui vardiklyje. Pavyzdžiui, trupmenai 3100 skaičių 0 reikia vieną kartą pridėti skaitiklio kairėje nuo 3. Frakcijos 610 pagal pirmiau nurodytą taisyklę keisti nereikia.

Pažvelkime į dar vieną pavyzdį, po kurio suformuluosime taisyklę, kurią ypač patogu naudoti iš pradžių, o trupmenų konvertavimo patirties nėra daug. Taigi, trupmena 1610000 pridėjus nulius skaitiklyje atrodys kaip 001510000.

Kaip paversti bendrąją trupmeną, kurios vardiklis yra 10, 100, 1000 ir kt. po kablelio?

Įprastų tinkamų trupmenų konvertavimo į dešimtaines taisyklė

Užrašykite 0 ir po jo padėkite kablelį.
Užrašome skaičių iš skaitiklio, kuris buvo gautas pridėjus nulius.

Dabar pereikime prie pavyzdžių.

1 pavyzdys: trupmenų konvertavimas į dešimtaines

Paverskime trupmeną 39 100 į dešimtainę.

Pirmiausia žiūrime į trupmeną ir matome, kad nereikia atlikti jokių parengiamųjų veiksmų – skaitmenų skaičius skaitiklyje sutampa su nulių skaičiumi vardiklyje.

Vadovaudamiesi taisykle rašome 0, po jo dedame kablelį ir rašome skaičių iš skaitiklio. Gauname dešimtainę trupmeną 0,39.

Pažvelkime į kito pavyzdžio šia tema sprendimą.

2 pavyzdys. Trupmenų konvertavimas į dešimtaines

Parašykime trupmeną 105 10000000 dešimtainiu tikslumu.

Nulių skaičius vardiklyje yra 7, o skaitiklis turi tik tris skaitmenis. Pridėkime dar 4 nulius prieš skaičių skaitiklyje:

0000105 10000000

Dabar užrašome 0, po jo dedame kablelį ir užrašome skaičių iš skaitiklio. Gauname dešimtainę trupmeną 0,0000105.

Visuose pavyzdžiuose nagrinėjamos trupmenos yra paprastosios tikrosios trupmenos. Bet kaip neteisingą trupmeną konvertuoti į dešimtainę? Iš karto pasakykime, kad nereikia ruoštis pridedant nulių tokioms trupmenoms. Suformuluokime taisyklę.

Įprastų netinkamųjų trupmenų konvertavimo į dešimtaines taisyklė

Užrašykite skaičių, esantį skaitiklyje.
Mes naudojame dešimtainį tašką, kad atskirtume tiek skaitmenų dešinėje, kiek pradinės trupmenos vardiklyje yra nulių.

Žemiau pateikiamas šios taisyklės naudojimo pavyzdys.

3 pavyzdys. Trupmenų konvertavimas į dešimtaines

Paverskime trupmeną 56888038009 100000 iš įprastos netaisyklingos trupmenos į dešimtainę.

Pirmiausia užsirašykime skaičių iš skaitiklio:

Dabar, dešinėje, mes atskiriame penkis skaitmenis kableliu (nulių skaičius vardiklyje yra penki). Mes gauname:

Kitas natūraliai kylantis klausimas yra toks: kaip mišrųjį skaičių paversti dešimtaine trupmena, jei jo trupmeninės dalies vardiklis yra skaičius 10, 100, 1000 ir kt. Norėdami konvertuoti tokį skaičių į dešimtainę trupmeną, galite naudoti šią taisyklę.

Mišrių skaičių konvertavimo į dešimtaines taisyklė

Jei reikia, paruošiame trupmeninę skaičiaus dalį.
Užrašome visą pradinio skaičiaus dalį ir po jos dedame kablelį.
Užrašome skaičių iš trupmeninės dalies skaitiklio kartu su pridėtais nuliais.

Pažiūrėkime į pavyzdį.

4 pavyzdys: mišrių skaičių konvertavimas į dešimtaines

Paverskime mišrų skaičių 23 17 10000 į dešimtainę trupmeną.

Trupmeninėje dalyje turime išraišką 17 10000. Paruoškime jį ir skaitiklio kairėje pridėkime dar du nulius. Gauname: 0017 10000.

Dabar užrašome visą skaičiaus dalį ir po jos dedame kablelį: 23, . .

Po kablelio užrašykite skaičių iš skaitiklio kartu su nuliais. Gauname rezultatą:

23 17 10000 = 23 , 0017

Paprastųjų trupmenų keitimas į baigtines ir begalines periodines trupmenas

Žinoma, galite konvertuoti į dešimtaines ir paprastas trupmenas, kurių vardiklis nėra lygus 10, 100, 1000 ir kt.

Dažnai trupmeną galima lengvai sumažinti iki naujo vardiklio, o tada naudoti taisyklę, išdėstytą šio straipsnio pirmoje pastraipoje. Pavyzdžiui, pakanka trupmenos 25 skaitiklį ir vardiklį padauginti iš 2 ir gauname trupmeną 410, kuri lengvai paverčiama dešimtaine forma 0,4.

Tačiau šis trupmenos konvertavimo į dešimtainis metodas ne visada gali būti naudojamas. Žemiau mes apsvarstysime, ką daryti, jei neįmanoma taikyti nagrinėjamo metodo.

Iš esmės naujas būdas bendrosios trupmenos konvertavimas į dešimtainį skaičių sumažinamas iki skaitiklio dalijimo iš vardiklio su stulpeliu. Ši operacija labai panaši į natūraliųjų skaičių dalijimą stulpeliu, tačiau turi savo ypatybes.

Dalinant skaitiklis vaizduojamas kaip dešimtainė trupmena – paskutinio skaitiklio skaitmens dešinėje dedamas kablelis ir pridedami nuliai. Gautame koeficiente dešimtainis kablelis dedamas, kai baigiasi skaitiklio sveikosios dalies padalijimas. Kaip tiksliai veikia šis metodas, paaiškės pažiūrėjus pavyzdžius.

5 pavyzdys. Trupmenų konvertavimas į dešimtaines

Paverskime bendrąją trupmeną 621 4 į dešimtainę formą.

Pavaizduokime skaičių 621 iš skaitiklio kaip dešimtainę trupmeną, po kablelio pridedant kelis nulius. 621 = 621,00

Dabar 621,00 padalinkime iš 4 naudodami stulpelį. Pirmieji trys dalybos žingsniai bus tokie pat kaip ir dalijant natūraliuosius skaičius, ir gausime.

Kai pasieksime dividendo kablelį, o likusi dalis skiriasi nuo nulio, į koeficientą dedame po kablelį ir toliau dalijame, nebekreipiame dėmesio į kablelį dividende.

Kaip rezultatas, mes gauname dešimtainę trupmeną 155, 25, kuri yra paprastosios trupmenos 621 4 apvertimo rezultatas.

621 4 = 155 , 25

Pažvelkime į kitą pavyzdį, kaip sustiprinti medžiagą.

6 pavyzdys. Trupmenų konvertavimas į dešimtaines

Apverskime bendrąją trupmeną 21 800.

Norėdami tai padaryti, padalinkite dalį 21 000 į stulpelį iš 800. Visos dalies padalijimas baigsis pirmuoju žingsniu, todėl iškart po jo į koeficientą dedame po kablelio kablelį ir tęsiame dalijimą, nekreipdami dėmesio į kablelį dividende, kol gausime liekaną, lygią nuliui.

Kaip rezultatas, mes gavome: 21 800 = 0,02625.

Bet ką daryti, jei dalydami vis tiek negausime likučio 0. Tokiais atvejais dalyba gali būti tęsiama neribotą laiką. Tačiau, pradedant nuo tam tikro žingsnio, likučiai bus periodiškai kartojami. Atitinkamai, koeficiento skaičiai bus kartojami. Tai reiškia, kad paprastoji trupmena paverčiama dešimtaine begaline periodine trupmena. Iliustruojame tai pavyzdžiu.

7 pavyzdys. Trupmenų konvertavimas į dešimtaines

Paverskime bendrąją trupmeną 19 44 į dešimtainę. Norėdami tai padaryti, mes atliekame padalijimą pagal stulpelius.

Matome, kad padalijimo metu pasikartoja 8 ir 36 liekanos. Šiuo atveju skaičiai 1 ir 8 kartojasi koeficientu. Tai laikotarpis po kablelio. Įrašant šie skaičiai pateikiami skliausteliuose.

Taigi pradinė paprastoji trupmena paverčiama begaline periodine dešimtaine trupmena.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Pažiūrėkime į neredukuojamą paprastąją trupmeną. Kokia forma ji bus? Kurios paprastosios trupmenos paverčiamos baigtinėmis dešimtainėmis, o kurios – į begalines periodines?

Pirma, tarkime, kad jei trupmeną galima sumažinti iki vieno iš vardklių 10, 100, 1000..., tada ji turės galutinės dešimtainės trupmenos formą. Kad trupmena būtų sumažinta iki vieno iš šių vardiklių, jos vardiklis turi būti bent vieno iš skaičių 10, 100, 1000 ir kt. Iš skaičių faktoringo į pirminius koeficientus taisyklių išplaukia, kad skaičių daliklis yra 10, 100, 1000 ir kt. Įskaitant pirminius veiksnius, turi būti tik skaičiai 2 ir 5.

Apibendrinkime tai, kas buvo pasakyta:

Paprastoji trupmena gali būti sumažinta iki paskutinio kablelio, jei jos vardiklį galima įtraukti į pirminius koeficientus 2 ir 5.
Jei be skaičių 2 ir 5, vardiklio išplėtime yra ir kitų skaičių pirminiai skaičiai, trupmena sumažinama iki begalinės periodinės dešimtainės trupmenos formos.

Pateikime pavyzdį.

8 pavyzdys. Trupmenų konvertavimas į dešimtaines

Kuri iš šių trupmenų 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 paverčiama galutine dešimtaine trupmena, o kuri – tik periodine. Atsakykime į šį klausimą tiesiogiai nekonvertuodami trupmenos į dešimtainį skaičių.

Trupmena 47 20, kaip nesunku pastebėti, padauginus skaitiklį ir vardiklį iš 5, sumažinama iki naujo vardiklio 100.

47 20 = 235 100. Iš to darome išvadą, kad ši trupmena konvertuojama į galutinę dešimtainę trupmeną.

Skaičiuojant trupmenos 7 12 vardiklį, gaunama 12 = 2 · 2 · 3. Kadangi pirminis koeficientas 3 skiriasi nuo 2 ir 5, ši trupmena negali būti pavaizduota kaip baigtinė dešimtainė trupmena, ji turės begalinės periodinės trupmenos formą.

Pirmiausia reikia sumažinti 21 56 frakciją. Sumažinus 7, gauname neredukuojamąją trupmeną 3 8, kurios vardiklis koeficientinamas taip, kad gautume 8 = 2 · 2 · 2. Todėl tai yra paskutinė dešimtainė trupmena.

Trupmenos 31 17 atveju vardiklis yra pats pirminis skaičius 17. Atitinkamai, ši trupmena gali būti konvertuojama į begalinę periodinę dešimtainę trupmeną.

Paprastoji trupmena negali būti konvertuojama į begalinę ir neperiodinę dešimtainę trupmeną

Aukščiau kalbėjome tik apie baigtines ir begalines periodines trupmenas. Bet ar bet kurią paprastąją trupmeną galima paversti begaline neperiodine trupmena?

Atsakome: ne!

Svarbu!

Konvertuojant begalinę trupmeną į dešimtainę, gaunamas arba baigtinis dešimtainis, arba begalinis periodinis dešimtainis.

Likusi padalijimo dalis visada yra mažesnė už daliklį. Kitaip tariant, pagal dalijimosi teoremą, jei kurį nors natūralųjį skaičių padalinsime iš skaičiaus q, tai dalybos liekana bet kuriuo atveju negali būti didesnė už q-1. Pasibaigus padalijimui, galima viena iš šių situacijų:

Mes gauname 0 likutį, ir čia baigiasi padalijimas.
Mes gauname likutį, kuri kartojama vėliau dalijant, todėl gaunama begalinė periodinė trupmena.

Konvertuojant trupmeną į dešimtainį skaičių, kitų parinkčių negali būti. Taip pat tarkime, kad periodo ilgis (skaitmenų skaičius) begalinėje periodinėje trupmenoje visada yra mažesnis už skaitmenų skaičių atitinkamos paprastosios trupmenos vardiklyje.

Dešimtainių skaičių konvertavimas į trupmenas

Dabar atėjo laikas apsvarstyti atvirkštinis procesas paverčiant dešimtainę trupmeną į paprastąją trupmeną. Suformuluokime vertimo taisyklę, kurią sudaro trys etapai. Kaip paversti dešimtainę trupmeną į paprastąją trupmeną?

Dešimtainių trupmenų pavertimo paprastosiomis trupmenomis taisyklė

Skaitiklyje rašome skaičių iš pradinės dešimtainės trupmenos, išmesdami kablelį ir visus nulius kairėje, jei tokių yra.
Vardiklyje rašome vieną, o po to tiek nulių, kiek pradinėje dešimtainėje trupmenoje yra skaitmenų po kablelio.
Jei reikia, sumažinkite gautą paprastąją frakciją.

Pažvelkime į šios taisyklės taikymą naudodami pavyzdžius.

8 pavyzdys. Dešimtainių trupmenų pavertimas paprastosiomis trupmenomis

Įsivaizduokime skaičių 3,025 kaip paprastąją trupmeną.

Pačią dešimtainę trupmeną įrašome į skaitiklį, atmesdami kablelį: 3025.
Vardiklyje rašome vieną, o po jo tris nulius - būtent tiek skaitmenų yra pradinėje trupmenoje po kablelio: 3025 1000.
Gautą trupmeną 3025 1000 galima sumažinti 25, todėl gaunama: 3025 1000 = 121 40.

9 pavyzdys. Dešimtainių trupmenų pavertimas paprastosiomis trupmenomis

Paverskime trupmeną 0,0017 iš dešimtainės į paprastąją.

Skaitiklyje įrašome trupmeną 0, 0017, išmesdami kablelį ir nulius kairėje. Tai bus 17.
Vardiklyje įrašome vieną, o po jo – keturis nulius: 17 10000. Ši dalis yra neredukuojama.

Jei dešimtainė trupmena turi sveikąją dalį, tada tokią trupmeną galima iš karto paversti mišriu skaičiumi. Kaip tai padaryti?

Suformuluokime dar vieną taisyklę.

Dešimtainių skaičių konvertavimo į mišrius skaičius taisyklė.

Skaičius prieš trupmenos kablelį rašomas kaip sveikoji mišraus skaičiaus dalis.
Skaitiklyje užrašome skaičių po trupmenos kablelio, išmesdami nulius kairėje, jei tokių yra.
Trupmeninės dalies vardiklyje pridedame vieną ir tiek nulių, kiek trupmeninėje dalyje yra skaitmenų po kablelio.

Paimkime pavyzdį

10 pavyzdys. Dešimtainės dalies pavertimas mišriu skaičiumi

Įsivaizduokime trupmeną 155, 06005 kaip mišrų skaičių.

Skaičius 155 rašome kaip sveikąją dalį.
Skaitiklyje skaičius rašome po kablelio, atmesdami nulį.
Vardiklyje rašome vieną ir penkis nulius

Išmoksime mišrų skaičių: 155 6005 100 000

Trupmeninę dalį galima sumažinti 5. Sutrumpiname ir gauname galutinį rezultatą:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Begalinių periodinių dešimtainių skaičių konvertavimas į trupmenas

Pažvelkime į pavyzdžius, kaip periodines dešimtaines trupmenas paversti paprastosiomis trupmenomis. Prieš pradėdami, paaiškinkime: bet kurią periodinę dešimtainę trupmeną galima konvertuoti į paprastąją trupmeną.

Paprasčiausias atvejis, kai trupmenos periodas lygus nuliui. Periodinė trupmena su nuliniu tašku pakeičiama galutine dešimtaine trupmena, o tokios trupmenos apvertimo procesas sumažinamas iki paskutinės dešimtainės trupmenos apvertimo.

11 pavyzdys. Periodinės dešimtainės trupmenos pavertimas bendrąja trupmena

Apverskime periodinę trupmeną 3, 75 (0).

Panaikinus nulius dešinėje, gauname galutinę dešimtainę trupmeną 3,75.

Konvertuodami šią trupmeną į paprastąją trupmeną, naudodami ankstesnėse pastraipose aptartą algoritmą, gauname:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Ką daryti, jei trupmenos periodas skiriasi nuo nulio? Periodinė dalis turėtų būti laikoma geometrinės progresijos narių suma, kuri mažėja. Paaiškinkime tai pavyzdžiu:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Yra begalinės mažėjančios geometrinės progresijos terminų sumos formulė. Jei pirmasis progresijos narys yra b, o vardiklis q yra toks, kad 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Pažvelkime į kelis pavyzdžius naudodami šią formulę.

12 pavyzdys. Periodinės dešimtainės trupmenos pavertimas bendrąja trupmena

Turėkime periodinę trupmeną 0, (8) ir turime ją konvertuoti į paprastąją trupmeną.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Čia turime begalinę mažėjančią geometrinę progresiją, kurios pirmasis narys yra 0, 8 ir vardiklis 0, 1.

Taikome formulę:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Tai yra būtina paprastoji trupmena.

Norėdami konsoliduoti medžiagą, apsvarstykite kitą pavyzdį.

13 pavyzdys. Periodinės dešimtainės trupmenos pavertimas bendrąja trupmena

Apverskime trupmeną 0, 43 (18).

Pirmiausia trupmeną įrašome kaip begalinę sumą:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Pažvelkime į terminus skliausteliuose. Šią geometrinę progresiją galima pavaizduoti taip:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Rezultatą pridedame prie galutinės trupmenos 0, 43 = 43 100 ir gauname rezultatą:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Pridėjus šias trupmenas ir sumažinus, gauname galutinį atsakymą:

0 , 43 (18) = 19 44

Baigdami šį straipsnį pasakysime, kad neperiodinės begalinės dešimtainės trupmenos negali būti paverstos paprastosiomis trupmenomis.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter