Numerele prime: banalitatea unei ghicitori nerezolvate

Articolul discută conceptele de numere prime și compuse. Definițiile unor astfel de numere sunt date cu exemple. Oferim dovezi că cantitatea numere prime nelimitat și scrieți în tabelul numerelor prime folosind metoda lui Eratostene. Vor fi date dovezi pentru a determina dacă un număr este prim sau compus.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Numere prime și compuse - Definiții și exemple

Numerele prime și compuse sunt clasificate ca numere întregi pozitive. Ele trebuie să fie mai mari decât unul. Divizorii sunt, de asemenea, împărțiți în simpli și compoziți. Pentru a înțelege conceptul de numere compuse, trebuie mai întâi să studiați conceptele de divizori și multipli.

Definiția 1

Numerele prime sunt numere întregi mai mari decât unu și au doi divizori pozitivi, adică ele însele și 1.

Definiția 2

Numerele compuse sunt numere întregi mai mari decât unu și au cel puțin trei divizori pozitivi.

Unul nu este nici prim, nici numar compus. Are un singur divizor pozitiv, deci este diferit de toate celelalte numere pozitive. Toate numerele întregi pozitive se numesc numere naturale, adică sunt folosite în numărare.

Definiția 3

numere prime sunt numere naturale care au doar doi divizori pozitivi.

Definiția 4

Numar compus este un număr natural care are mai mult de doi divizori pozitivi.

Orice număr care este mai mare decât 1 este prim sau compus. Din proprietatea divizibilității avem că 1 și numărul a va fi întotdeauna divizori pentru orice număr a, adică va fi divizibil cu el însuși și cu 1. Să dăm o definiție a numerelor întregi.

Definiția 5

Numerele naturale care nu sunt prime se numesc numere compuse.

Numerele prime: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Ele sunt divizibile numai prin ele însele și 1. Numere compuse: 6, 63, 121, 6697. Adică, numărul 6 poate fi descompus în 2 și 3, iar 63 în 1, 3, 7, 9, 21, 63 și 121 în 11, 11, adică divizorii săi vor fi 1, 11, 121. Numărul 6697 este descompus în 37 și 181. Rețineți că conceptele de numere prime și numere coprime sunt concepte diferite.

Pentru a ușura utilizarea numerelor prime, trebuie să utilizați un tabel:

Un tabel pentru toate numerele naturale existente este nerealist, deoarece există un număr infinit de ele. Când numerele ajung la dimensiuni de 10000 sau 1000000000, atunci ar trebui să vă gândiți să utilizați Sita lui Eratosthenes.

Să luăm în considerare teorema care explică ultima afirmație.

Teorema 1

Cel mai mic divizor pozitiv, altul decât 1, al unui număr natural mai mare decât unu este un număr prim.

Dovada 1

Să presupunem că a este un număr natural care este mai mare decât 1, b este cel mai mic divizor non-unic al lui a. Este necesar să se demonstreze că b este un număr prim folosind metoda contradicției.

Să presupunem că b - numar compus. De aici avem că există un divizor pentru b, care este diferit de 1, precum și de b. Un astfel de divizor este notat cu b 1. Este necesară această condiție 1< b 1 < b a fost completat.

Din condiție este clar că a este împărțit la b, b este împărțit la b 1, ceea ce înseamnă că conceptul de divizibilitate se exprimă după cum urmează: a = b qși b = b 1 · q 1 , de unde a = b 1 · (q 1 · q) , unde q și q 1 sunt numere întregi. Conform regulii înmulțirii numerelor întregi, avem că produsul numerelor întregi este un număr întreg cu o egalitate de forma a = b 1 · (q 1 · q) . Se poate observa că b 1 este divizorul pentru numărul a. Inegalitatea 1< b 1 < b Nu corespunde, deoarece constatăm că b este cel mai mic divizor pozitiv și non-1 al lui a.

Teorema 2

Există un număr infinit de numere prime.

Dovada 2

Se presupune că luăm un număr finit de numere naturale n și le notăm ca p 1, p 2, …, p n. Să luăm în considerare opțiunea de a găsi un număr prim diferit de cele indicate.

Să luăm în considerare numărul p, care este egal cu p 1, p 2, ..., p n + 1. Nu este egal cu fiecare dintre numerele corespunzătoare numerelor prime de forma p 1, p 2, ..., p n. Numărul p este prim. Atunci teorema este considerată a fi demonstrată. Dacă este compus, atunci trebuie să luați notația p n + 1 și arătați că divizorul nu coincide cu niciunul dintre p 1, p 2, ..., p n.

Dacă nu ar fi așa, atunci, pe baza proprietății de divizibilitate a produsului p 1, p 2, ..., p n , constatăm că ar fi divizibil cu pn + 1. Rețineți că expresia p n + 1 împărțirea numărului p este egală cu suma p 1, p 2, ..., p n + 1. Obținem că expresia p n + 1 Al doilea termen al acestei sume, care este egal cu 1, trebuie împărțit, dar acest lucru este imposibil.

Se poate observa că orice număr prim poate fi găsit între orice număr de numere prime date. Rezultă că există infinit de numere prime.

Deoarece există o mulțime de numere prime, tabelele sunt limitate la numerele 100, 1000, 10000 și așa mai departe.

Atunci când compilați un tabel cu numere prime, ar trebui să țineți cont de faptul că o astfel de sarcină necesită verificarea succesivă a numerelor, începând de la 2 la 100. Dacă nu există divizor, acesta este înregistrat în tabel; dacă este compus, atunci nu este introdus în tabel.

Să ne uităm la asta pas cu pas.

Dacă începeți cu numărul 2, atunci are doar 2 divizori: 2 și 1, ceea ce înseamnă că poate fi introdus în tabel. La fel și cu numărul 3. Numărul 4 este compus; trebuie descompus în 2 și 2. Numărul 5 este prim, ceea ce înseamnă că poate fi înregistrat în tabel. Faceți asta până la numărul 100.

Această metodă este incomodă și necesită timp. Puteți crea o masă, dar va trebui să cheltuiți un numar mare de timp. Este necesar să se utilizeze criterii de divizibilitate, care vor grăbi procesul de găsire a divizorilor.

Metoda care utilizează sita lui Eratosthenes este considerată cea mai convenabilă. Să ne uităm la tabelele de mai jos ca exemplu. Pentru început, se notează numerele 2, 3, 4, ..., 50.

Acum trebuie să tăiați toate numerele care sunt multipli ai lui 2. Efectuați barajuri secvențiale. Obținem un tabel ca:

Trecem la tăierea numerelor care sunt multipli de 5. Primim:

Taiați numerele care sunt multiple ai lui 7, 11. În cele din urmă, masa arată ca

Să trecem la formularea teoremei.

Teorema 3

Cel mai mic divizor pozitiv și non-1 al numărului de bază a nu depășește a, unde a este rădăcina aritmetică a numărului dat.

Dovada 3

Trebuie desemnat b cel mai mic divizor număr compus a. Există un număr întreg q, unde a = b · q, și avem că b ≤ q. Inegalitățile de formă sunt inacceptabile b > q, deoarece condiția este încălcată. Ambele părți ale inegalității b ≤ q ar trebui înmulțite cu orice număr pozitiv b care nu este egal cu 1. Obținem că b · b ≤ b · q, unde b 2 ≤ a și b ≤ a.

Din teorema dovedită este clar că tăierea numerelor din tabel duce la faptul că este necesar să începem cu un număr care este egal cu b 2 și satisface inegalitatea b 2 ≤ a. Adică, dacă tăiați numerele care sunt multipli de 2, atunci procesul începe cu 4, iar multiplii de 3 cu 9 și așa mai departe până la 100.

Compilarea unui astfel de tabel folosind teorema lui Eratostene sugerează că atunci când toate numerele compuse sunt tăiate, vor rămâne numere prime care nu depășesc n. În exemplul în care n = 50, avem că n = 50. De aici rezultă că sita lui Eratosthenes cerne toate numerele compuse care nu sunt semnificative ca valoare. valoare mai mare rădăcină de 50. Căutarea numerelor se face prin tăiere.

Înainte de a rezolva, trebuie să aflați dacă numărul este prim sau compus. Criteriile de divizibilitate sunt adesea folosite. Să ne uităm la asta în exemplul de mai jos.

Exemplul 1

Demonstrați că numărul 898989898989898989 este compus.

Soluţie

Suma cifrelor unui număr dat este 9 8 + 9 9 = 9 17. Aceasta înseamnă că numărul 9 · 17 este divizibil cu 9, pe baza testului de divizibilitate cu 9. Rezultă că este compus.

Astfel de semne nu sunt capabile să demonstreze primitatea unui număr. Dacă este necesară verificarea, ar trebui luate alte măsuri. Cel mai mod adecvat- este o grămadă de numere. În timpul procesului, pot fi găsite numere prime și compuse. Adică, numerele nu trebuie să depășească o valoare. Adică, numărul a trebuie descompus în factori primi. dacă acest lucru este satisfăcut, atunci numărul a poate fi considerat prim.

Exemplul 2

Determinați numărul compus sau prim 11723.

Soluţie

Acum trebuie să găsiți toți divizorii numărului 11723. Trebuie evaluat 11723 .

De aici vedem că 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 , și 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

Pentru mai mult evaluare precisa numărul 11723, trebuie să scrieți expresia 108 2 = 11 664 și 109 2 = 11 881 , Acea 108 2 < 11 723 < 109 2 . Rezultă că 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

La extindere, constatăm că 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 sunt toate numere prime. Toate acest proces poate fi descris ca o împărțire după o coloană. Adică, împărțiți 11723 la 19. Numărul 19 este unul dintre factorii săi, deoarece obținem împărțirea fără rest. Să reprezentăm împărțirea ca o coloană:

Rezultă că 11723 este un număr compus, deoarece în plus față de el și 1 are un divizor de 19.

Răspuns: 11723 este un număr compus.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Toate celelalte numere naturale se numesc compuse. Numărul natural 1 nu este nici prim, nici compus.

Exemplu

Exercițiu. Care dintre numerele naturale scrise mai jos sunt prime:

Răspuns.

Factorizarea unui număr

Reprezentarea unui număr natural ca produs al numerelor naturale se numește factorizarea. Dacă în descompunerea unui număr natural toți factorii sunt numere prime, atunci se numește o astfel de descompunere factorizare primara.

Teorema

(Teorema fundamentală a aritmeticii)

Fiecare număr natural, altul decât 1, poate fi descompus în factori primi și într-un mod unic (dacă identificăm descompunerea în factori și , unde și sunt numere prime).

Combinând factori primi identici în descompunerea unui număr, obținem așa-numita descompunere canonică a unui număr:

unde , sunt diverse numere prime și sunt numere naturale.

Exemplu

Exercițiu. Găsiți expansiunea canonică a numerelor:

Soluţie. Pentru a găsi descompunerea canonică a numerelor, trebuie mai întâi să le descompuneți în factori primi, apoi să combinați aceiași factori și să scrieți produsul lor ca putere cu un exponent natural:

Răspuns.

Referință istorică

Cum se determină ce număr este prim și care nu? Cea mai comună metodă de găsire a tuturor numerelor prime din orice interval de numere a fost propusă în secolul al III-lea. î.Hr e. Eratosthenes (metoda se numește „sita lui Eratosthenes”). Să presupunem că trebuie să determinăm care numere sunt prime. Să le scriem pe rând și să tăiem fiecare al doilea număr dintre cele care urmează numărului 2 - toate sunt compuse, deoarece sunt multipli ai numărului 2. Primul dintre numerele rămase netașate - 3 - este prim. Să tăiem fiecare al treilea număr din cei care urmează numărului 3; următorul dintre numerele neîncrucișate - 5 - va fi și el prim. Folosind același principiu, vom tăia fiecare al cincilea număr din cei care urmează numărului 5 și, în general, fiecare dintre cei care urmează numărului . Toate numerele rămase neîncrucișate vor fi numere prime.

Pe măsură ce numerele prime cresc, ele devin treptat din ce în ce mai puțin comune. Cu toate acestea, vechii erau deja conștienți de faptul că există o infinitate de ei. Dovada lui este dată în Elementele lui Euclid.

• Traducere

Proprietățile numerelor prime au fost studiate pentru prima dată de matematicieni Grecia antică. Matematicienii școlii pitagoreice (500 - 300 î.Hr.) au fost interesați în primul rând de proprietățile mistice și numerologice ale numerelor prime. Au fost primii care au venit cu idei despre numere perfecte și prietenoase.

Un număr perfect are o sumă a propriilor divizori egală cu el însuși. De exemplu, divizorii proprii ai numărului 6 sunt 1, 2 și 3. 1 + 2 + 3 = 6. Împărțitorii numărului 28 sunt 1, 2, 4, 7 și 14. Mai mult, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Numerele sunt numite prietenoase dacă suma divizorilor proprii ai unui număr este egală cu altul și invers - de exemplu, 220 și 284. Putem spune că un număr perfect este prietenos cu el însuși.

Pe vremea Elementelor lui Euclid în 300 î.Hr. mai multe au fost deja dovedite fapte importante referitor la numere prime. În Cartea a IX-a a Elementelor, Euclid a demonstrat că există un număr infinit de numere prime. Acesta, apropo, este unul dintre primele exemple de utilizare a demonstrației prin contradicție. El demonstrează, de asemenea, Teorema fundamentală a aritmeticii - fiecare număr întreg poate fi reprezentat în mod unic ca un produs al numerelor prime.

El a mai arătat că dacă numărul 2n-1 este prim, atunci numărul 2n-1 * (2n-1) va fi perfect. Un alt matematician, Euler, a reușit să arate în 1747 că toate numerele par perfecte pot fi scrise în această formă. Până în prezent nu se știe dacă există numere perfecte impare.

În anul 200 î.Hr. Greacul Eratosthenes a venit cu un algoritm pentru găsirea numerelor prime numit Sita lui Eratosthenes.

Și apoi a avut loc o mare pauză în istoria studiului numerelor prime, asociată cu Evul Mediu.

Următoarele descoperiri au fost făcute deja la începutul secolului al XVII-lea de către matematicianul Fermat. El a demonstrat conjectura lui Albert Girard că orice număr prim de forma 4n+1 poate fi scris unic ca sumă a două pătrate și a formulat, de asemenea, teorema că orice număr poate fi scris ca sumă a patru pătrate.

A dezvoltat metoda noua factorizarea numere mari, și a demonstrat-o pe numărul 2027651281 = 44021 × 46061. El a demonstrat și Teorema Mică a lui Fermat: dacă p este un număr prim, atunci pentru orice număr întreg a va fi adevărat că a p = a modulo p.

Această afirmație dovedește jumătate din ceea ce era cunoscut sub numele de „conjectura chineză” și datează de 2000 de ani: un număr întreg n este prim dacă și numai dacă 2 n -2 este divizibil cu n. A doua parte a ipotezei s-a dovedit a fi falsă - de exemplu, 2.341 - 2 este divizibil cu 341, deși numărul 341 este compus: 341 = 31 × 11.

Mica Teoremă a lui Fermat a servit drept bază pentru multe alte rezultate în teoria numerelor și metode pentru a testa dacă numerele sunt numere prime - dintre care multe sunt încă folosite astăzi.

Fermat a corespuns foarte mult cu contemporanii săi, mai ales cu un călugăr pe nume Maren Mersenne. Într-una dintre scrisorile sale, el a emis ipoteza că numerele de forma 2 n +1 vor fi întotdeauna prime dacă n este o putere a doi. El a testat acest lucru pentru n = 1, 2, 4, 8 și 16 și a fost încrezător că, în cazul în care n nu este o putere a doi, numărul nu este neapărat prim. Aceste numere se numesc numerele lui Fermat și numai 100 de ani mai târziu Euler a arătat că următorul număr, 2 32 + 1 = 4294967297, este divizibil cu 641 și, prin urmare, nu este prim.

Numerele de forma 2 n - 1 au făcut, de asemenea, obiectul cercetării, deoarece este ușor de arătat că dacă n este compus, atunci numărul în sine este și compus. Aceste numere sunt numite numere Mersenne pentru că le-a studiat pe larg.

Dar nu toate numerele de forma 2 n - 1, unde n este prim, sunt prime. De exemplu, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Acesta a fost descoperit pentru prima dată în 1536.

Timp de mulți ani, numerele de acest fel au oferit matematicienilor cele mai mari numere prime cunoscute. Că M 19 a fost dovedit de Cataldi în 1588 și timp de 200 de ani a fost cel mai mare număr prim cunoscut, până când Euler a demonstrat că M 31 a fost și prim. Acest record a durat încă o sută de ani, apoi Lucas a arătat că M 127 este prim (și acesta este deja un număr de 39 de cifre), iar după aceea cercetările au continuat odată cu apariția computerelor.

În 1952, a fost dovedită caracterul prim al numerelor M 521, M 607, M 1279, M 2203 și M 2281.

Până în 2005, au fost găsite 42 de numere prime Mersenne. Cel mai mare dintre ele, M 25964951, este format din 7816230 de cifre.

Lucrarea lui Euler a avut un impact imens asupra teoriei numerelor, inclusiv asupra numerelor prime. El a extins Teorema Mică a lui Fermat și a introdus funcția φ. S-a factorizat al 5-lea număr Fermat 2 32 +1, a găsit 60 de perechi de numere prietenoase și a formulat (dar nu a putut dovedi) legea reciprocității pătratice.

El a fost primul care a introdus metode de analiză matematică și a dezvoltat teoria analitică a numerelor. El a demonstrat că nu numai seria armonică ∑ (1/n), ci și o serie de formă

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Diverge și rezultatul obținut prin suma reciprocelor numerelor prime. Suma n termeni ai seriei armonice crește aproximativ ca log(n), iar a doua serie diverge mai lent ca log[ log(n) ]. Aceasta înseamnă că, de exemplu, suma reciprocelor tuturor numerelor prime găsite până în prezent va da doar 4, deși seria încă diverge.

La prima vedere, se pare că numerele prime sunt distribuite destul de aleatoriu între numere întregi. De exemplu, printre cele 100 de numere imediat înainte de 10000000 există 9 numere prime, iar dintre cele 100 de numere imediat după această valoare sunt doar 2. Dar pe segmente mari numerele prime sunt distribuite destul de uniform. Legendre și Gauss s-au ocupat de problemele distribuției lor. Gauss i-a spus odată unui prieten că în orice 15 minute libere el numără întotdeauna numărul de numere prime din următoarele 1000 de numere. Până la sfârșitul vieții, numărase toate numerele prime până la 3 milioane. Legendre și Gauss au calculat în mod egal că pentru n mare densitatea primului este 1/log(n). Legendre a estimat numărul de numere prime în intervalul de la 1 la n ca

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Și Gauss este ca o integrală logaritmică

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

Cu un interval de integrare de la 2 la n.

Afirmația despre densitatea primelor 1/log(n) este cunoscută sub numele de Teorema distribuției prime. Ei au încercat să demonstreze acest lucru de-a lungul secolului al XIX-lea, iar progresul a fost realizat de Cebyshev și Riemann. Au legat-o cu ipoteza Riemann, o ipoteză încă nedovedită despre distribuția zerourilor funcției zeta Riemann. Densitatea numerelor prime a fost demonstrată simultan de Hadamard și Vallée-Poussin în 1896.

Există încă multe întrebări nerezolvate în teoria numerelor prime, unele dintre ele vechi de sute de ani:

• Ipoteza prime gemene este despre un număr infinit de perechi de numere prime care diferă între ele cu 2
• Conjectura lui Goldbach: orice număr par, începând cu 4, poate fi reprezentat ca suma a două numere prime
• Există un număr infinit de numere prime de forma n 2 + 1?
• Este întotdeauna posibil să găsim un număr prim între n 2 și (n + 1) 2? (faptul că există întotdeauna un număr prim între n și 2n a fost demonstrat de Cebyshev)
• Numărul primelor Fermat este infinit? Există numere prime Fermat după 4?
• există oare progresie aritmetică de numere prime consecutive pentru orice lungime dată? de exemplu, pentru lungimea 4: 251, 257, 263, 269. Lungimea maximă găsită este 26.
• Există un număr infinit de mulțimi de trei numere prime consecutive într-o progresie aritmetică?
• n 2 - n + 41 este un număr prim pentru 0 ≤ n ≤ 40. Există un număr infinit de astfel de numere prime? Aceeași întrebare pentru formula n 2 - 79 n + 1601. Aceste numere sunt prime pentru 0 ≤ n ≤ 79.
• Există un număr infinit de numere prime de forma n# + 1? (n# este rezultatul înmulțirii tuturor numerelor prime mai mici decât n)
• Există un număr infinit de numere prime de forma n# -1?
• Există un număr infinit de numere prime de forma n? + 1?
• Există un număr infinit de numere prime de forma n? - 1?
• dacă p este prim, 2 p -1 nu conține întotdeauna pătrate prime printre factorii săi?
• secvența Fibonacci conține un număr infinit de numere prime?

Cele mai mari numere prime gemene sunt 2003663613 × 2 195000 ± 1. Sunt formate din 58711 cifre și au fost descoperite în 2007.

Cel mai mare număr prim factorial (de tipul n! ± 1) este 147855! - 1. Este format din 142891 de cifre și a fost găsit în 2002.

Cel mai mare număr prim primar (un număr de forma n# ± 1) este 1098133# + 1.

În acest articol vom explora numere prime și compuse. În primul rând, vom oferi definiții ale numerelor prime și compuse și, de asemenea, vom da exemple. După aceasta vom demonstra că există infinit de numere prime. În continuare, vom scrie un tabel de numere prime și vom lua în considerare metode de compilare a unui tabel de numere prime, acordând o atenție deosebită metodei numite sita lui Eratosthenes. În concluzie, evidențiem principalele puncte care trebuie luate în considerare atunci când dovedim acest lucru număr dat este simplu sau compus.

Navigare în pagină.

Numere prime și compuse - Definiții și exemple

Conceptele de numere prime și numere compuse se referă la numere care sunt mai mari decât unu. Astfel de numere întregi, în funcție de numărul divizorilor lor pozitivi, sunt împărțite în numere prime și numere compuse. Deci ca sa inteleg definițiile numerelor prime și compuse, trebuie să înțelegeți bine ce sunt divizorii și multiplii.

Definiție.

numere prime sunt numere întregi, unități mari, care au doar doi divizori pozitivi, și anume ei înșiși și 1.

Definiție.

Numerele compuse sunt numere întregi, mari, care au cel puțin trei divizori pozitivi.

Separat, observăm că numărul 1 nu se aplică nici numerelor prime, nici numerelor compuse. Unitatea are un singur divizor pozitiv, care este numărul 1 însuși. Acest lucru distinge numărul 1 de toate celelalte numere întregi pozitive care au cel puțin doi divizori pozitivi.

Având în vedere că numerele întregi pozitive sunt , și că unul are un singur divizor pozitiv, putem da alte formulări ale definițiilor declarate ale numerelor prime și compuse.

Definiție.

numere prime sunt numere naturale care au doar doi divizori pozitivi.

Definiție.

Numerele compuse sunt numere naturale care au mai mult de doi divizori pozitivi.

Rețineți că fiecare număr întreg pozitiv mai mare decât unu este fie un număr prim, fie un număr compus. Cu alte cuvinte, nu există un singur întreg care să nu fie nici prim, nici compus. Aceasta rezultă din proprietatea divizibilității, care afirmă că numerele 1 și a sunt întotdeauna divizori ai oricărui număr întreg a.

Pe baza informațiilor din paragraful anterior, putem da următoarea definiție a numerelor compuse.

Definiție.

Se numesc numere naturale care nu sunt prime compozit.

Să dăm exemple de numere prime și compuse.

Exemplele de numere compuse includ 6, 63, 121 și 6.697. Această afirmație necesită, de asemenea, clarificări. Numărul 6, pe lângă divizorii pozitivi 1 și 6, are și divizori 2 și 3, deoarece 6 = 2 3, prin urmare 6 este cu adevărat un număr compus. Factorii pozitivi ai lui 63 sunt numerele 1, 3, 7, 9, 21 și 63. Numărul 121 este egal cu produsul 11·11, deci divizorii săi pozitivi sunt 1, 11 și 121. Și numărul 6.697 este compus, deoarece divizorii săi pozitivi, pe lângă 1 și 6.697, sunt și numerele 37 și 181.

În încheierea acestui punct, aș dori să atrag atenția și asupra faptului că numerele prime și numerele coprime sunt departe de același lucru.

Tabelul numerelor prime

Numerele prime, pentru comoditatea utilizării lor ulterioare, sunt înregistrate într-un tabel numit tabel de numere prime. Mai jos este tabelul numerelor prime până la 1.000.

Apare o întrebare logică: „De ce am completat tabelul numerelor prime doar până la 1.000, nu este posibil să creăm un tabel cu toate numerele prime existente”?

Să răspundem mai întâi la prima parte a acestei întrebări. Pentru majoritatea problemelor care necesită utilizarea numerelor prime, numerele prime în intervalul o mie vor fi suficiente. În alte cazuri, cel mai probabil, va trebui să apelezi la niște soluții speciale. Deși cu siguranță putem crea un tabel de numere prime până la un număr întreg pozitiv finit arbitrar mare, fie el 10.000 sau 1.000.000.000, în paragraful următor vom vorbi despre metode de creare a tabelelor de numere prime, în special, ne vom uita la o metodă numit.

Acum să ne uităm la posibilitatea (sau mai degrabă, imposibilitatea) de a compila un tabel cu toate numerele prime existente. Nu putem face un tabel cu toate numerele prime deoarece există infinit de numere prime. Ultima afirmație este o teoremă pe care o vom demonstra după următoarea teoremă auxiliară.

Teorema.

Cel mai mic divizor pozitiv, altul decât 1, al unui număr natural mai mare decât unu este un număr prim.

Dovada.

Lăsa a este un număr natural mai mare decât unu, iar b este cel mai mic divizor pozitiv al altuia decât unu. Să demonstrăm că b este un număr prim prin contradicție.

Să presupunem că b este un număr compus. Apoi există un divizor al numărului b (să-l notăm b 1), care este diferit atât de 1, cât și de b. Dacă mai ținem cont că valoarea absolută a divizorului nu depășește valoare absolută divizibil (știm acest lucru din proprietățile divizibilității), atunci condiția 1 trebuie îndeplinită

Deoarece numărul a este divizibil cu b conform condiției și am spus că b este divizibil cu b 1, conceptul de divizibilitate ne permite să vorbim despre existența numerelor întregi q și q 1 astfel încât a=b q și b=b 1 q 1 , de unde a= b 1 ·(q 1 ·q) . Rezultă că produsul a două numere întregi este un număr întreg, atunci egalitatea a=b 1 ·(q 1 ·q) indică faptul că b 1 este un divizor al numărului a. Luând în considerare inegalitățile de mai sus 1

Acum putem demonstra că există infinit de numere prime.

Teorema.

Există un număr infinit de numere prime.

Dovada.

Să presupunem că nu este cazul. Adică, să presupunem că există numai n numere prime, iar aceste numere prime sunt p 1, p 2, ..., p n. Să arătăm că putem găsi întotdeauna un număr prim diferit de cele indicate.

Se consideră numărul p egal cu p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Este clar că acest număr este diferit de fiecare dintre numerele prime p 1, p 2, ..., p n. Dacă numărul p este prim, atunci teorema este demonstrată. Dacă acest număr este compus, atunci în virtutea teoremei anterioare există un divizor prim al acestui număr (îl notăm p n+1). Să arătăm că acest divizor nu coincide cu niciunul dintre numerele p 1, p 2, ..., p n.

Dacă nu ar fi așa, atunci, conform proprietăților de divizibilitate, produsul p 1 ·p 2 ·…·p n ar fi împărțit la p n+1. Dar numărul p este și divizibil cu p n+1, egal cu suma p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Rezultă că p n+1 trebuie să împartă al doilea termen al acestei sume, care este egal cu unul, dar acest lucru este imposibil.

Astfel, s-a dovedit că se poate găsi întotdeauna un număr prim nou care nu este inclus între niciun număr de numere prime predeterminate. Prin urmare, există infinit de numere prime.

Deci, datorită faptului că există un număr infinit de numere prime, atunci când alcătuiești tabele cu numere prime, te limitezi întotdeauna de sus la un număr, de obicei 100, 1.000, 10.000 etc.

Sita lui Eratosthenes

Acum vom discuta modalități de a crea tabele de numere prime. Să presupunem că trebuie să facem un tabel cu numere prime până la 100.

Cea mai evidentă metodă de rezolvare a acestei probleme este verificarea succesivă a numerelor întregi pozitive, începând de la 2 și terminând cu 100, pentru prezența unui divizor pozitiv care este mai mare decât 1 și mai mic decât numărul testat (din proprietățile divizibilității pe care le cunoaștem că valoarea absolută a divizorului nu depășește valoarea absolută a dividendului, diferit de zero). Dacă nu se găsește un astfel de divizor, atunci numărul testat este prim și este introdus în tabelul numerelor prime. Dacă se găsește un astfel de divizor, atunci numărul testat este compus; NU este introdus în tabelul numerelor prime. După aceasta, există o tranziție la următorul număr, care este verificat în mod similar pentru prezența unui divizor.

Să descriem primii pași.

Începem cu numărul 2. Numărul 2 nu are alți divizori pozitivi decât 1 și 2. Prin urmare, este simplu, prin urmare, îl introducem în tabelul numerelor prime. Aici trebuie spus că 2 este cel mai mic număr prim. Să trecem la numărul 3. Posibilul său divizor pozitiv, altul decât 1 și 3, este numărul 2. Dar 3 nu este divizibil cu 2, prin urmare, 3 este un număr prim și, de asemenea, trebuie inclus în tabelul numerelor prime. Să trecem la numărul 4. Divizorii săi pozitivi, alții decât 1 și 4, pot fi numerele 2 și 3, să le verificăm. Numărul 4 este divizibil cu 2, prin urmare, 4 este un număr compus și nu trebuie inclus în tabelul numerelor prime. Vă rugăm să rețineți că 4 este cel mai mic număr compus. Să trecem la numărul 5. Verificăm dacă cel puțin unul dintre numerele 2, 3, 4 este divizorul său. Deoarece 5 nu este divizibil cu 2, 3 sau 4, atunci este prim și trebuie notat în tabelul numerelor prime. Apoi, există o tranziție la numerele 6, 7 și așa mai departe până la 100.

Această abordare de a compila un tabel de numere prime este departe de a fi ideală. Într-un fel sau altul, el are dreptul să existe. Rețineți că, cu această metodă de construire a unui tabel de numere întregi, puteți utiliza criterii de divizibilitate, care vor accelera ușor procesul de găsire a divizorilor.

Există o modalitate mai convenabilă de a crea un tabel de numere prime, numită. Cuvântul „sită” prezent în nume nu este întâmplător, deoarece acțiunile acestei metode ajută, parcă, la „cernerea” numerelor întregi și a unităților mari prin sita lui Eratostene pentru a separa cele simple de cele compuse.

Să arătăm sita lui Eratostene în acțiune atunci când alcătuim un tabel cu numere prime până la 50.

Mai întâi, notează numerele 2, 3, 4, ..., 50 în ordine.

Primul număr scris, 2, este prim. Acum, de la numărul 2, ne deplasăm secvențial la dreapta cu două numere și tăiem aceste numere până ajungem la sfârșitul tabelului cu numere în curs de compilare. Acest lucru va elimina toate numerele care sunt multipli de doi.

Primul număr care urmează după 2 care nu este tăiat este 3. Acest număr este prim. Acum, de la numărul 3, ne deplasăm succesiv la dreapta cu trei numere (ținând cont de numerele deja tăiate) și le tăiem. Acest lucru va elimina toate numerele care sunt multipli de trei.

Primul număr care urmează după 3 care nu este tăiat este 5. Acest număr este prim. Acum de la numărul 5 ne deplasăm în mod constant la dreapta cu 5 numere (luăm în considerare și numerele tăiate mai devreme) și le tăiem. Acest lucru va elimina toate numerele care sunt multipli de cinci.

Apoi, tăiem numerele care sunt multiplii lui 7, apoi multiplii lui 11 și așa mai departe. Procesul se termină când nu mai sunt numere de tăiat. Mai jos este tabelul completat al numerelor prime până la 50, obținute folosind sita lui Eratostene. Toate numerele neîncrucișate sunt prime și toate numerele tăiate sunt compuse.

Să formulăm și să demonstrăm și o teoremă care va grăbi procesul de compilare a unui tabel de numere prime folosind sita lui Eratostene.

Teorema.

Cel mai mic divizor pozitiv al unui număr compus a care este diferit de unul nu depășește , unde este de la a .

Dovada.

Să notăm cu litera b cel mai mic divizor al unui număr compus a care este diferit de unul (numărul b este prim, după cum reiese din teorema demonstrată chiar la începutul paragrafului precedent). Atunci există un număr întreg q astfel încât a=b·q (aici q este un număr întreg pozitiv, care decurge din regulile de înmulțire a numerelor întregi) și (pentru b>q condiția ca b este cel mai mic divizor al lui a este încălcată , întrucât q este și un divizor al numărului a datorită egalității a=q·b ). Înmulțind ambele părți ale inegalității cu un pozitiv și un număr întreg mai mare decât unu (ne este permis să facem acest lucru), obținem , din care și .

Ce ne oferă teorema dovedită cu privire la sita lui Eratostene?

În primul rând, tăierea numerelor compuse care sunt multipli ai unui număr prim b ar trebui să înceapă cu un număr egal cu (aceasta rezultă din inegalitate). De exemplu, tăierea numerelor care sunt multipli de doi ar trebui să înceapă cu numărul 4, multiplii de trei cu numărul 9, multiplii de cinci cu numărul 25 și așa mai departe.

În al doilea rând, alcătuirea unui tabel de numere prime până la numărul n folosind sita lui Eratostene poate fi considerată completă atunci când toate numerele compuse care sunt multipli de numere prime nu depășesc . În exemplul nostru, n=50 (deoarece facem un tabel cu numere prime până la 50) și, prin urmare, sita lui Eratostene ar trebui să elimine toate numerele compuse care sunt multiple ai numerelor prime 2, 3, 5 și 7 care nu nu depășește rădăcina pătrată aritmetică a lui 50. Adică, nu mai trebuie să căutăm și să tăiem numere care sunt multipli de numere prime 11, 13, 17, 19, 23 și așa mai departe până la 47, deoarece acestea vor fi deja tăiate ca multipli de numere prime mai mici 2. , 3, 5 și 7 .

Acest număr este prim sau compus?

Unele sarcini necesită a afla dacă un anumit număr este prim sau compus. În general, această sarcină este departe de a fi simplă, mai ales pentru numerele a căror scriere constă dintr-un număr semnificativ de caractere. În cele mai multe cazuri, trebuie să căutați o modalitate specifică de a o rezolva. Cu toate acestea, vom încerca să dăm direcție trenului de gândire pentru cazuri simple.

Desigur, puteți încerca să utilizați teste de divizibilitate pentru a demonstra că un anumit număr este compus. Dacă, de exemplu, un test de divizibilitate arată că un anumit număr este divizibil cu un număr întreg pozitiv mai mare decât unu, atunci numărul inițial este compus.

Exemplu.

Demonstrați că 898.989.898.989.898.989 este un număr compus.

Soluţie.

Suma cifrelor acestui număr este 9·8+9·9=9·17. Deoarece numărul egal cu 9·17 este divizibil cu 9, atunci prin divizibilitate cu 9 putem spune că și numărul inițial este divizibil cu 9. Prin urmare, este compozit.

Un dezavantaj semnificativ al acestei abordări este că criteriile de divizibilitate nu permit să se dovedească caracterul prim al unui număr. Prin urmare, atunci când testați un număr pentru a vedea dacă este prim sau compus, trebuie să faceți lucrurile diferit.

Cea mai logică abordare este de a încerca toți divizorii posibili ai unui număr dat. Dacă niciunul dintre divizorii posibili nu este un adevărat divizor al unui număr dat, atunci acest număr va fi prim, în caz contrar va fi compus. Din teoremele demonstrate în paragraful precedent rezultă că divizorii unui număr dat a trebuie căutați între numerele prime care nu depășesc . Astfel, un număr dat a poate fi împărțit succesiv la numere prime (care sunt luate în mod convenabil din tabelul numerelor prime), încercând să găsim divizorul numărului a. Dacă se găsește un divizor, atunci numărul a este compus. Dacă printre numerele prime care nu depășesc , nu există niciun divizor al numărului a, atunci numărul a este prim.

Exemplu.

Număr 11 723 simplu sau compus?

Soluţie.

Să aflăm până la ce număr prim pot fi divizorii numărului 11.723. Pentru a face acest lucru, să evaluăm.

Este destul de evident că , deoarece 200 2 =40.000 și 11.723<40 000 (при необходимости смотрите статью compararea numerelor). Astfel, posibilii factori primi ai lui 11.723 sunt mai mici de 200. Acest lucru ne face deja sarcina mult mai ușoară. Dacă nu am ști asta, atunci ar trebui să trecem prin toate numerele prime nu până la 200, ci până la numărul 11.723.

Dacă doriți, puteți evalua mai precis. Deoarece 108 2 =11.664 și 109 2 =11.881, atunci 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . Astfel, oricare dintre numerele prime mai mici de 109 este potențial un factor prim al numărului dat 11.723.

Acum vom împărți succesiv numărul 11.723 în numere prime 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Dacă numărul 11.723 este împărțit la unul dintre numerele prime scrise, atunci va fi compus. Dacă nu este divizibil cu niciunul dintre numerele prime scrise, atunci numărul inițial este prim.

Nu vom descrie întreg acest proces monoton și monoton de divizare. Să spunem imediat că 11.723

Numerele prime sunt unul dintre cele mai interesante fenomene matematice, care au atras atenția oamenilor de știință și a cetățenilor de rând de mai bine de două milenii. În ciuda faptului că acum trăim în era computerelor și a celor mai moderne programe de informare, multe ghicitori ale numerelor prime nu au fost încă rezolvate; există chiar unele pe care oamenii de știință nu știu cum să le abordeze.

Numerele prime sunt, după cum se știe din cursul aritmeticii elementare, acelea care sunt divizibile fără rest doar cu unul și cu el însuși. Apropo, dacă un număr natural este divizibil, pe lângă cele enumerate mai sus, cu orice alt număr, atunci se numește compus. Una dintre cele mai faimoase teoreme afirmă că orice număr compus poate fi reprezentat ca un produs posibil unic al numerelor prime.

Câteva fapte interesante. În primul rând, unitatea este unică în sensul că, de fapt, nu aparține nici numerelor prime, nici numerelor compuse. În același timp, în comunitatea științifică este încă obișnuit să-l clasifice în mod specific ca aparținând primului grup, deoarece formal își satisface pe deplin cerințele.

În al doilea rând, singurul număr par strâns în grupul „numerelor prime” este, desigur, doi. Orice alt număr par pur și simplu nu poate ajunge aici, deoarece prin definiție, pe lângă el însuși și unul, este și divizibil cu doi.

Numerele prime, a căror listă, după cum am menționat mai sus, poate începe cu unul, reprezintă o serie infinită, la fel de infinită ca și seria numerelor naturale. Pe baza teoremei fundamentale a aritmeticii, putem ajunge la concluzia că numerele prime nu sunt niciodată întrerupte și nu se termină niciodată, deoarece altfel seria numerelor naturale ar fi inevitabil întreruptă.

Numerele prime nu apar aleatoriu în seria naturală, așa cum ar putea părea la prima vedere. După ce le-ați analizat cu atenție, puteți observa imediat mai multe caracteristici, dintre care cele mai interesante sunt asociate cu așa-numitele numere „gemene”. Se numesc așa pentru că într-un fel de neînțeles au ajuns unul lângă altul, despărțiți doar de un delimitator par (cinci și șapte, șaptesprezece și nouăsprezece).

Dacă te uiți cu atenție la ele, vei observa că suma acestor numere este întotdeauna un multiplu de trei. Mai mult, la împărțirea celui din stânga la trei, restul rămâne întotdeauna doi, iar cel din dreapta rămâne întotdeauna unul. În plus, însăși distribuția acestor numere de-a lungul seriei naturale poate fi prezisă dacă ne imaginăm această serie întreagă sub formă de sinusoide oscilatorii, ale căror puncte principale se formează atunci când numerele sunt împărțite la trei și doi.

Numerele prime nu sunt doar obiectul unei atenții atente de către matematicienii din întreaga lume, dar au fost de multă vreme folosite cu succes în compilarea diferitelor serii de numere, care stă la baza, printre altele, pentru criptografie. Trebuie recunoscut că un număr mare de mistere asociate cu aceste elemente minunate așteaptă încă să fie rezolvate; multe întrebări au o semnificație nu numai filosofică, ci și practică.