Piramidă triunghiulară dreaptă. Piramidă. Ghid vizual (2019)

• apotema- înălțimea feței laterale a unei piramide regulate, care este desenată din vârful acesteia (în plus, apotema este lungimea perpendicularei, care este coborâtă de la mijlocul poligonului regulat la una dintre laturile sale);
• fetele laterale (ASB, BSC, CSD, DSA) - triunghiuri care se întâlnesc la vârf;
• coaste laterale ( CA , B.S. , C.S. , D.S. ) — laturile comune ale fețelor laterale;
• vârful piramidei (t. S) - un punct care leagă nervurile laterale și care nu se află în planul bazei;
• înălţime ( AŞA ) - un segment perpendicular trasat prin vârful piramidei până la planul bazei acesteia (capetele unui astfel de segment vor fi vârful piramidei și baza perpendicularei);
• secțiunea diagonală a piramidei- o sectiune a piramidei care trece prin varful si diagonala bazei;
• baza (ABCD) - un poligon care nu aparține vârfului piramidei.

Proprietățile piramidei.

1. Când toate marginile laterale au aceeași dimensiune, atunci:

• este ușor să descrii un cerc lângă baza piramidei, iar vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc;
• nervurile laterale formează unghiuri egale cu planul bazei;
• Mai mult, este adevărat și opusul, adică. când nervurile laterale se formează cu planul bazei unghiuri egale, sau când un cerc poate fi descris lângă baza piramidei și vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc, ceea ce înseamnă că toate marginile laterale ale piramidei au aceeași dimensiune.

2. Când fețele laterale au un unghi de înclinare față de planul bazei de aceeași valoare, atunci:

• este ușor să descrii un cerc lângă baza piramidei, iar vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc;
• înălțimile fețelor laterale sunt de lungime egală;
• aria suprafeței laterale este egală cu ½ produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea feței laterale.

3. O sferă poate fi descrisă în jurul unei piramide dacă la baza piramidei există un poligon în jurul căruia poate fi descris un cerc (necesar și condiție suficientă). Centrul sferei va fi punctul de intersecție al planurilor care trec prin mijlocul marginilor piramidei perpendicular pe acestea. Din această teoremă concluzionăm că o sferă poate fi descrisă atât în ​​jurul oricărei piramide triunghiulare, cât și în jurul oricărei piramide regulate.

4. O sferă poate fi înscrisă într-o piramidă dacă planurile bisectoare ale unghiurilor diedrice interne ale piramidei se intersectează în punctul 1 (condiție necesară și suficientă). Acest punct va deveni centrul sferei.

Cea mai simplă piramidă.

Pe baza numărului de unghiuri, baza piramidei este împărțită în triunghiular, patruunghiular și așa mai departe.

Va fi o piramidă triunghiular, patruunghiular, și așa mai departe, când baza piramidei este un triunghi, un patrulater și așa mai departe. O piramidă triunghiulară este un tetraedru - un tetraedru. Patraunghiular - pentagonal și așa mai departe.

O figură tridimensională care apare adesea în problemele geometrice este piramida. Cea mai simplă dintre toate figurile din această clasă este triunghiulară. În acest articol vom analiza în detaliu formulele de bază și proprietățile corecte

Idei geometrice despre figură

Înainte de a trece la luarea în considerare a proprietăților unei piramide triunghiulare obișnuite, să aruncăm o privire mai atentă la ce fel de figură vorbim.

Să presupunem că există un triunghi arbitrar în spațiul tridimensional. Să selectăm orice punct din acest spațiu care nu se află în planul triunghiului și să-l conectăm cu cele trei vârfuri ale triunghiului. Avem o piramidă triunghiulară.

Este format din 4 laturi, toate fiind triunghiuri. Punctele în care trei fețe se întâlnesc se numesc vârfuri. Figura are și patru dintre ele. Liniile de intersecție a două fețe sunt muchii. Piramida în cauză are 6 muchii. Figura de mai jos prezintă un exemplu al acestei figuri.

Deoarece figura este formată din patru laturi, se mai numește și tetraedru.

Piramida corectă

Mai sus am considerat o figură arbitrară cu o bază triunghiulară. Acum să presupunem că desenăm un segment perpendicular de la vârful piramidei până la baza acesteia. Acest segment se numește înălțime. Evident, puteți desena 4 înălțimi diferite pentru figură. Dacă înălțimea intersectează baza triunghiulară în centrul geometric, atunci o astfel de piramidă se numește dreptă.

O piramidă dreaptă, a cărei bază este un triunghi echilateral, se numește regulată. Pentru ea, toate cele trei triunghiuri formându-se suprafata laterala figurile sunt isoscele și egale între ele. Un caz special al unei piramide regulate este situația în care toate cele patru laturi sunt triunghiuri identice echilaterale.

Să luăm în considerare proprietățile unei piramide triunghiulare obișnuite și să dăm formulele corespunzătoare pentru calcularea parametrilor acesteia.

Latura de bază, înălțimea, marginea laterală și apotema

Oricare doi dintre parametrii enumerați determină în mod unic celelalte două caracteristici. Să prezentăm formule care relaționează aceste cantități.

Să presupunem că latura bazei unei piramide triunghiulare regulate este a. Lungimea marginii sale laterale este b. Care va fi înălțimea unei piramide triunghiulare regulate și a apotema ei?

Pentru înălțimea h obținem expresia:

Această formulă decurge din teorema lui Pitagora pentru care sunt marginea laterală, înălțimea și 2/3 din înălțimea bazei.

Apotema unei piramide este înălțimea oricărui triunghi lateral. Lungimea apotemului a b este egală cu:

a b = √(b 2 - a 2 /4)

Din aceste formule este clar că indiferent de latura bazei unei piramide regulate triunghiulare și de lungimea marginii sale laterale, apotema va fi întotdeauna mai mare decât înălțimea piramidei.

Cele două formule prezentate conțin toate cele patru caracteristici liniare ale figurii în cauză. Prin urmare, având în vedere cele două dintre ele cunoscute, restul le puteți găsi prin rezolvarea sistemului de egalități scrise.

Volumul figurii

Pentru absolut orice piramidă (inclusiv una înclinată), valoarea volumului spațiului limitat de aceasta poate fi determinată prin cunoașterea înălțimii figurii și a zonei bazei acesteia. Formula corespunzătoare este:

Aplicând această expresie figurii în cauză, obținem următoarea formulă:

Unde înălțimea unei piramide triunghiulare regulate este h și latura de bază este a.

Nu este dificil să obțineți o formulă pentru volumul unui tetraedru în care toate laturile sunt egale între ele și reprezintă triunghiuri echilaterale. În acest caz, volumul figurii este determinat de formula:

Adică este determinată în mod unic de lungimea laturii a.

Suprafata

Să continuăm să luăm în considerare proprietățile unei piramide triunghiulare regulate. Aria totală a tuturor fețelor unei figuri se numește suprafața acesteia. Acesta din urmă poate fi studiat convenabil luând în considerare dezvoltarea corespunzătoare. Figura de mai jos arată cum arată dezvoltarea unei piramide triunghiulare regulate.

Să presupunem că știm înălțimea h și latura bazei a figurii. Atunci aria bazei sale va fi egală cu:

Fiecare școlar poate obține această expresie dacă își amintește cum să găsească aria unui triunghi și, de asemenea, ia în considerare faptul că altitudinea unui triunghi echilateral este, de asemenea, o bisectoare și o mediană.

Suprafața laterală formată din trei triunghiuri isoscele identice este:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Această egalitate rezultă din expresia apotemului piramidei în ceea ce privește înălțimea și lungimea bazei.

Suprafața totală a figurii este:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Rețineți că pentru un tetraedru în care toate cele patru laturi sunt triunghiuri echilaterale identice, aria S va fi egală cu:

Proprietățile unei piramide triunghiulare trunchiate regulate

Dacă vârful piramidei triunghiulare considerate este tăiat cu un plan paralel cu baza, atunci restul partea de jos va fi numită piramidă trunchiată.

În cazul unei baze triunghiulare, rezultatul metodei de secționare descrisă este un nou triunghi, care este și echilateral, dar are o lungime mai mică a laturii decât latura bazei. Trunchiat piramidă triunghiulară prezentat mai jos.

Vedem că această cifră este deja limitată de două baze triunghiulare și trei trapeze isoscele.

Să presupunem că înălțimea figurii rezultate este egală cu h, lungimile laturilor bazei inferioare și superioare sunt a 1 și, respectiv, a 2, iar apotema (înălțimea trapezului) este egală cu a b. Apoi, aria suprafeței piramidei trunchiate poate fi calculată folosind formula:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Aici primul termen este aria suprafeței laterale, al doilea termen este aria bazelor triunghiulare.

Volumul figurii se calculează după cum urmează:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

Pentru a determina fără ambiguitate caracteristicile unei piramide trunchiate, trebuie să cunoașteți cei trei parametri ai acesteia, ceea ce este demonstrat de formulele date.

O piramidă triunghiulară este o piramidă care are un triunghi la bază. Înălțimea acestei piramide este perpendiculara care este coborâtă de la vârful piramidei până la baza acesteia.

Aflarea înălțimii unei piramide

Cum să afli înălțimea unei piramide? Foarte simplu! Pentru a găsi înălțimea oricărei piramide triunghiulare, puteți utiliza formula de volum: V = (1/3)Sh, unde S este aria bazei, V este volumul piramidei, h este înălțimea acesteia. Din această formulă, derivați formula înălțimii: pentru a găsi înălțimea unei piramide triunghiulare, trebuie să înmulțiți volumul piramidei cu 3, apoi să împărțiți valoarea rezultată la aria bazei, aceasta va fi: h = (3V)/S. Deoarece baza unei piramide triunghiulare este un triunghi, puteți utiliza formula pentru a calcula aria unui triunghi. Dacă știm: aria triunghiului S și latura sa z, atunci conform formulei ariei S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, unde h este înălțimea piramidei, γ este marginea triunghiului; unghiul dintre laturile triunghiului și cele două laturi în sine, folosind următoarea formulă: S = (1/2)γφsinQ, unde γ, φ sunt laturile triunghiului, găsim aria triunghiului. Valoarea sinusului unghiului Q trebuie analizată în tabelul sinusurilor, care este disponibil pe Internet. Apoi, înlocuim valoarea ariei în formula înălțimii: h = (2S)/γ. Dacă sarcina necesită calcularea înălțimii unei piramide triunghiulare, atunci volumul piramidei este deja cunoscut.

Piramidă triunghiulară regulată

Aflați înălțimea unei piramide triunghiulare regulate, adică a unei piramide în care toate fețele sunt triunghiuri echilaterale, cunoscând dimensiunea muchiei γ. În acest caz, marginile piramidei sunt laturile triunghiurilor echilaterale. Înălțimea unei piramide triunghiulare regulate va fi: h = γ√(2/3), unde γ este marginea triunghiului echilateral, h este înălțimea piramidei. Dacă aria bazei (S) este necunoscută și sunt date numai lungimea muchiei (γ) și volumul (V) poliedrului, atunci variabila necesară din formula din pasul anterior trebuie înlocuită. prin echivalentul său, care este exprimat în termeni de lungime a muchiei. Aria unui triunghi (regulat) este egală cu 1/4 din produsul lungimii laturii acestui triunghi la pătrat cu rădăcina pătrată a lui 3. Înlocuim această formulă în locul ariei bazei din precedentul formula, și obținem următoarea formulă: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Volumul unui tetraedru poate fi exprimat prin lungimea muchiei sale, apoi din formula de calcul a înălțimii unei figuri, puteți elimina toate variabilele și lăsați doar latura feței triunghiulare a figurii. Volumul unei astfel de piramide poate fi calculat prin împărțirea la 12 din produsul lungimii cuburi a feței sale la rădăcina pătrată a lui 2.

Înlocuind această expresie în formula anterioară, obținem următoarea formulă de calcul: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2 /3) = (1/3)γ√6. De asemenea, o prismă triunghiulară regulată poate fi înscrisă într-o sferă, iar cunoscând doar raza sferei (R) se poate găsi înălțimea tetraedrului însuși. Lungimea muchiei tetraedrului este: γ = 4R/√6. Înlocuim variabila γ cu această expresie în formula anterioară și obținem formula: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Aceeași formulă se poate obține cunoscând raza (R) a unui cerc înscris într-un tetraedru. În acest caz, lungimea marginii triunghiului va fi egală cu 12 rapoarte între rădăcină pătrată de 6 si raza. Înlocuim această expresie în formula anterioară și avem: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Cum să găsiți înălțimea unei piramide patruunghiulare obișnuite

Pentru a răspunde la întrebarea cum să găsiți lungimea înălțimii unei piramide, trebuie să știți ce este o piramidă obișnuită. O piramidă pătraunghiulară este o piramidă care are la bază un patrulater. Dacă în condițiile problemei avem: volumul (V) și aria bazei (S) a piramidei, atunci formula pentru calcularea înălțimii poliedrului (h) va fi următoarea - împărțiți volumul înmulțit cu 3 de aria S: h = (3V)/S. Având în vedere o bază pătrată a unei piramide cu un volum dat (V) și lungimea laturii γ, înlocuiți aria (S) din formula anterioară cu pătratul lungimii laturii: S = γ 2 ; H = 3V/y2. Înălțimea unei piramide regulate h = SO trece exact prin centrul cercului care este circumscris lângă bază. Deoarece baza acestei piramide este un pătrat, punctul O este punctul de intersecție al diagonalelor AD și BC. Avem: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. În continuare, în triunghiul dreptunghic SOC găsim (folosind teorema lui Pitagora): SO = √(SC 2 -OC 2). Acum știi cum să găsești înălțimea unei piramide obișnuite.

Introducere

Când am început să studiem figurile stereometrice, am atins subiectul „Piramida”. Ne-a plăcut acest subiect pentru că piramida este foarte des folosită în arhitectură. Și de la noi viitoare profesie arhitect, inspirat de această figură, credem că ne poate împinge spre proiecte mărețe.

Rezistența structurilor arhitecturale este cea mai importantă calitate a acestora. Legarea rezistenței, în primul rând, cu materialele din care sunt create și, în al doilea rând, cu caracteristicile soluțiilor de proiectare, se dovedește că rezistența unei structuri este direct legată de forma geometrică care este de bază pentru aceasta.

Cu alte cuvinte, despre care vorbim despre acea figură geometrică care poate fi considerată ca model al formei arhitecturale corespunzătoare. Se dovedește că formă geometrică determină şi rezistenţa unei structuri arhitecturale.

Din cele mai vechi timpuri, piramidele egiptene au fost considerate cele mai durabile structuri arhitecturale. După cum știți, au forma unor piramide patruunghiulare obișnuite.

Această formă geometrică este cea care oferă cea mai mare stabilitate datorită suprafeței mari de bază. Pe de altă parte, forma piramidei asigură că masa scade pe măsură ce înălțimea deasupra solului crește. Aceste două proprietăți sunt cele care fac piramida stabilă și, prin urmare, puternică în condițiile gravitației.

Scopul proiectului: învață ceva nou despre piramide, aprofundează-ți cunoștințele și găsește aplicații practice.

Pentru a atinge acest obiectiv, a fost necesar să se rezolve următoarele sarcini:

· Aflați informații istorice despre piramidă

· Considerați piramida ca figură geometrică

· Găsiți aplicații în viață și arhitectură

· Găsiți asemănări și diferențe între piramidele situate în diferite părți ale lumii

Partea teoretică

Informații istorice

Începutul geometriei piramidei a fost pus în Egiptul Antic și Babilonul, dar a fost dezvoltat activ în Grecia antică. Primul care a stabilit volumul piramidei a fost Democrit, iar Eudox din Cnidus a dovedit-o. Vechiul matematician grec Euclid a sistematizat cunoștințele despre piramidă în volumul XII al „Elementelor” sale și, de asemenea, a derivat prima definiție a unei piramide: o figură solidă delimitată de planuri care converg de la un plan la un punct.

Mormintele faraonilor egipteni. Cele mai mari dintre ele - piramidele lui Keops, Khafre și Mikerin din El Giza - au fost considerate una dintre cele șapte minuni ale lumii în antichitate. Construcția piramidei, în care grecii și romanii au văzut deja un monument al mândriei fără precedent a regilor și a cruzimii care a condamnat întregul popor al Egiptului la o construcție fără sens, a fost cel mai important act de cult și trebuia să exprime, aparent, identitatea mistică a țării și a conducătorului ei. Populația țării a lucrat la construirea mormântului în perioada anului lipsită de muncă agricolă. O serie de texte mărturisesc atenția și grija pe care regii înșiși (deși dintr-o perioadă mai târziu) le-au acordat construcției mormântului lor și a constructorilor acestuia. Se știe și despre onorurile speciale de cult care au fost acordate piramidei în sine.

Concepte de bază

Piramidă se numește poliedru a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri care au un vârf comun.

Apotema- inaltimea fetei laterale a unei piramide regulate, trasa din varful acesteia;

Fețe laterale- triunghiuri întâlnite la un vârf;

Coaste laterale- laturile comune ale fetelor laterale;

Vârful piramidei- un punct care leagă nervurile laterale și care nu se află în planul bazei;

Înălţime- un segment perpendicular trasat prin vârful piramidei până la planul bazei acesteia (capetele acestui segment sunt vârful piramidei și baza perpendicularei);

Secțiunea diagonală a unei piramide- sectiune a piramidei care trece prin varful si diagonala bazei;

Baza- un poligon care nu aparține vârfului piramidei.

Proprietățile de bază ale unei piramide obișnuite

Marginile laterale, fețele laterale și respectiv apotemele sunt egale.

Unghiurile diedrice de la bază sunt egale.

Unghiurile diedrice la marginile laterale sunt egale.

Fiecare punct de înălțime este echidistant de toate vârfurile bazei.

Fiecare punct de înălțime este echidistant de toate fețele laterale.

Formule piramidale de bază

Zona laterală și suprafata intreaga piramide.

Aria suprafeței laterale a unei piramide (plină și trunchiată) este suma ariilor tuturor fețelor sale laterale, aria suprafeței totale este suma ariilor tuturor fețelor sale.

Teoremă: Aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătate din produsul perimetrului bazei și apotema piramidei.

p- perimetrul de bază;

h- apotema.

Aria suprafețelor laterale și pline ale unei piramide trunchiate.

p 1, p 2 - perimetrele de bază;

h- apotema.

R- suprafața totală a unei piramide trunchiate obișnuite;

partea S- zona suprafeței laterale a unei piramide trunchiate regulate;

S1 + S2- suprafata de baza

Volumul piramidei

Formă volumul ula este folosit pentru piramide de orice fel.

H- inaltimea piramidei.

Colțurile piramidei

Unghiurile formate de fața laterală și baza piramidei se numesc unghiuri diedrice la baza piramidei.

Un unghi diedru este format din două perpendiculare.

Pentru a determina acest unghi, de multe ori trebuie să utilizați teorema celor trei perpendiculare.

Se numesc unghiurile formate de marginea laterală și proiecția acesteia pe planul bazei unghiuri dintre marginea laterală și planul bazei.

Unghiul format din două margini laterale se numește unghi diedru la marginea laterală a piramidei.

Se numește unghiul format din două muchii laterale ale unei fețe ale piramidei unghiul din vârful piramidei.

Secțiuni piramidale

Suprafața unei piramide este suprafața unui poliedru. Fiecare dintre fețele sale este un plan, prin urmare secțiunea unei piramide definită de un plan de tăiere este o linie întreruptă constând din linii drepte individuale.

Secțiune diagonală

Secțiunea unei piramide printr-un plan care trece prin două margini laterale care nu se află pe aceeași față se numește secțiune diagonală piramide.

Secțiuni paralele

Teorema:

Dacă piramida este intersectată de un plan paralel cu baza, atunci marginile laterale și înălțimile piramidei sunt împărțite de acest plan în părți proporționale;

Secțiunea acestui plan este un poligon asemănător bazei;

Zonele secțiunii și ale bazei sunt legate între ele ca pătratele distanțelor lor de la vârf.

Tipuri de piramide

Piramida corectă– o piramidă a cărei bază este un poligon regulat, iar vârful piramidei este proiectat în centrul bazei.

Pentru o piramidă obișnuită:

1. coastele laterale sunt egale

2. feţele laterale sunt egale

3. apotemele sunt egale

4. unghiurile diedrice la bază sunt egale

5. unghiurile diedrice la marginile laterale sunt egale

6. fiecare punct de înălțime este echidistant de toate vârfurile bazei

7. fiecare punct de înălțime este echidistant de toate marginile laterale

Piramida trunchiată- parte a piramidei cuprinsă între baza sa și un plan de tăiere paralel cu baza.

Baza și secțiunea corespunzătoare a unei piramide trunchiate se numesc bazele unei piramide trunchiate.

Se numește perpendiculară trasată din orice punct al unei baze pe planul alteia înălțimea unei piramide trunchiate.

Sarcini

nr 1. Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită, punctul O este centrul bazei, SO=8 cm, BD=30 cm Aflați muchia laterală SA.

Rezolvarea problemelor

nr 1. ÎN piramida corecta toate fețele și marginile sunt egale.

Luați în considerare OSB: OSB este un dreptunghi dreptunghiular, deoarece.

SB2 =SO2 +OB2

SB2 =64+225=289

Piramida în arhitectură

O piramidă este o structură monumentală sub forma unui regulat obișnuit piramida geometrica, în care laturi converg la un moment dat. De scop functional Piramidele în antichitate erau locuri de înmormântare sau de cult. Baza unei piramide poate avea formă triunghiulară, pătrangulară sau poligonală, cu un număr arbitrar de vârfuri, dar cea mai comună versiune este baza pătraunghiulară.

Există un număr considerabil de piramide construite de diferite culturi. Lumea anticăîn principal ca temple sau monumente. Piramidele mari includ piramidele egiptene.

Pe tot Pământul puteți vedea structuri arhitecturale sub formă de piramide. Clădirile piramidale amintesc de cele mai vechi timpuri și arată foarte frumos.

Piramidele egiptene cele mai mari monumente de arhitectură Egiptul antic, printre care una dintre „Șapte minuni ale lumii” este Piramida lui Keops. De la picior până în vârf ajunge la 137,3 m, iar înainte de a pierde vârful, înălțimea sa era de 146,7 m.

Clădirea postului de radio din capitala Slovaciei, asemănătoare cu o piramidă inversată, a fost construită în 1983. Pe lângă birouri și spații de servicii, în interiorul volumului se află o sală de concerte destul de spațioasă, care are una dintre cele mai mari orgi din Slovacia.

Luvru, care este „tăcut, neschimbat și maiestuos, ca o piramidă”, a suferit multe schimbări de-a lungul secolelor înainte de a deveni cel mai mare muzeu din lume. S-a născut ca cetate, ridicată de Filip Augustus în 1190, care a devenit curând reședință regală. În 1793 palatul a devenit muzeu. Colecțiile sunt îmbogățite prin legaturi sau achiziții.