Formula de înălțime a unei piramide triunghiulare. Piramidă. Formule și proprietăți ale piramidei

Vei avea nevoie

În funcție de situație, cunoașteți volumul piramidei, aria fețelor laterale ale piramidei, lungimea muchiei, lungimea diametrului poligonului de la bază.

Instrucțiuni

O modalitate de a găsi înălţime, și nu numai corectă - este să o exprimi prin volumul piramidei. Formula cu care îi puteți afla volumul arată astfel:
V = (S*h)/3, unde S este aria tuturor piramidelor laterale în total, h este aria acestei piramide.
Apoi din această formulă puteți deriva alta pentru a găsi:
h = (3*V)/S
De exemplu, se știe că aria fețelor laterale ale piramidei este de 84 cm², iar volumul este de 336 cm cubi. Atunci găsește înălţime poți sa faci asta:
h = (3*336)/84 = 12 cm
Răspuns: înălțimea acestei piramide este de 12 cm

Având în vedere o piramidă regulată, la baza căreia se află un poligon regulat, putem ajunge la concluzia că format din înălțimea, jumătate din diagonală și una dintre fețele piramidei, este un triunghi dreptunghic (de exemplu, acest este triunghiul AEG din figura de mai sus). Conform teoremei lui Pitagora, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor (a² = b² + c²). În cazul unei piramide obișnuite, ipotenuza este fața piramidei, unul dintre catete este jumătate din diagonala de la bază, iar celălalt picior este înălțimea piramidei. În acest caz, marginile și diagonalele pot fi calculate și înălţime. Ca exemplu, luați în considerare triunghiul AEG:
AE² = EG²+GA²
De aici înălţime Piramidele GA pot fi exprimate după cum urmează:
GA = √(AE²-EG²).

Pentru a fi mai clar cum să găsești înălţime a unei piramide obișnuite, putem lua în considerare un exemplu: într-una obișnuită, lungimea feței este de 12 cm, lungimea diagonalei poligonului de la bază este de 8 cm Pe baza acestor date, trebuie să găsiți lungimea acestei piramide Soluție: 12² = 4² + c², unde c este piciorul necunoscut (înălțimea) dată piramidei (triunghiul dreptunghic).
144 = 16 + 128
Astfel, înălțimea acestei piramide este √128 sau aproximativ 11,3 cm

Surse:

piramidă patruunghiulară regulată găsiți înălțimea
Rezolvarea sarcinilor C2 Unified State Exam la matematică

O piramidă este un corp geometric complex. Este format dintr-un poligon plat (baza piramidei), un punct care nu se află în planul acestui poligon (vârful piramidei) și toate segmentele care leagă punctele bazei piramidei cu top. Cum să găsești aria piramidei?

Vei avea nevoie

riglă, creion și hârtie

Instrucțiuni

Baza piramidei este un poligon. Dacă un poligon dat este împărțit în triunghiuri, atunci poligonul poate fi calculat pur și simplu ca sumă a ariilor obținute prin împărțirea triunghiurilor după formula deja cunoscută nouă.

Dacă aria bazei este necunoscută din condițiile problemei și sunt date numai volumul (V) și lungimea muchiei (a), atunci variabila lipsă din formula de la pasul anterior poate fi înlocuită prin echivalentul său, exprimat în termeni de lungime a muchiei. Aria (așa cum vă amintiți, se află la baza piramidei tipului în cauză) este egală cu un sfert din produsul rădăcinii pătrate de trei ori lungimea pătrată a laturii. Înlocuiți această expresie în loc de aria bazei în formula de la pasul anterior și obțineți următorul rezultat: H = 3*V*4/(a²*√3) = 12*V/(a²*√3) ).

Deoarece volumul unui tetraedru poate fi exprimat și în termeni de lungime a muchiei, toate variabilele pot fi eliminate din formula de calcul a înălțimii unei figuri, lăsând doar latura feței sale. Volumul acestei piramide se calculează împărțind la 12 produsul rădăcinii pătrate a lui doi la lungimea în cuburi a feței. Înlocuiți această expresie în formula de la pasul anterior și obțineți rezultatul: H = 12*(a³*√2/12)/(a²*√3) = (a³*√2)/(a²*√3) = a* √⅔ = ⅓*a*√6.

Într-o piramidă obișnuită, toate muchiile sunt egale între ele, toate fețele sunt triunghiuri isoscele egale. Înălţime piramide este perpendiculara coborâtă de la vârf la bază.

Găsirea înălțimii piramide depinde de ceea ce este dat în enunțul problemei. Utilizați formule în care să găsiți orice parametri piramide se folosește înălțimea acestuia. De exemplu, dat: V – volum piramide; S – zona de bază. Utilizați formula de volum piramide V=SH/3, unde H – înălțime piramide. Urmează: H=3V/S.

Deplasându-se în aceeași direcție, rezultă că, dacă aria bazei nu este dată, în unele cazuri poate fi găsită folosind formula pentru găsirea ariei unui poligon regulat. Introduceți notația: p - semiperimetrul bazei (semiperimetrul este ușor de găsit dacă se cunoaște numărul de laturi și dimensiunea unei laturi h - apotema poligonului (o apotema este o perpendiculară căzută din). centrul poligonului pe oricare dintre laturile sale); a este latura poligonului n este numărul de laturi. Astfel, p=an/2 și S=ph= (an/2)h. De aici rezultă: H=3V/ (an/2) h.

O apotema dintr-o piramidă este un segment trasat de la vârful său până la baza uneia dintre fețele laterale, dacă segmentul este perpendicular pe această bază. Fața laterală a unei astfel de figuri tridimensionale are întotdeauna o formă triunghiulară. Prin urmare, dacă este necesar să se calculeze lungimea unei apotem, este permisă utilizarea proprietăților atât ale unui poliedru (piramide), cât și ale unui poligon (triunghi).

Vei avea nevoie

- parametrii geometrici ai piramidei.

Instrucțiuni

Într-un triunghi al feței laterale, apotema (f) este înălțimea, prin urmare, cu o lungime cunoscută a marginii laterale (b) și unghiul (γ) dintre aceasta și marginea pe care este coborât apotema, puteți utilizați formula binecunoscută pentru calcularea înălțimii triunghiului. Înmulțiți lungimea muchiei dată cu sinusul unghiului cunoscut: f = b*sin(γ). Acest lucru se aplică piramidelor de orice formă (sau neregulată).

Pentru a calcula corect fiecare dintre cele trei apoteme (f), este suficient să cunoașteți un singur parametru - lungimea muchiei (a). Acest lucru se explică prin faptul că fețele unei astfel de piramide au triunghiuri echilaterale identice. Pentru a afla înălțimile fiecăruia dintre ele, calculați jumătate din produsul lungimii muchiei și rădăcina pătrată a trei: f = a*√3/2.

Dacă zona (e) feței laterale a piramidei, în plus față de aceasta, este suficient să cunoaștem lungimea (a) a muchiei comune a acestei fețe cu baza figurii volumetrice. În acest caz, găsiți lungimea apotemului (f) dublând raportul dintre aria și lungimea muchiei: f = 2*s/a.

Cunoscând suprafața totală a piramidei (S) a bazei sale (p), putem calcula și apotema(f), dar numai pentru forma corectă. Dublați suprafața și împărțiți rezultatul la perimetru: f = 2*S/p. Forma bazei în acest caz nu contează.

Numărul de vârfuri sau laturi ale bazei (n) trebuie cunoscut dacă condițiile dau muchiile (b) ale feței laterale și valoarea unghiului (α) format din două muchii laterale adiacente. În aceste condiții inițiale, calculați apotema(f) înmulțirea numărului de laturi ale bazei cu sinusul unui unghi cunoscut și lungimea pătrată a muchiei laterale, urmată de împărțirea la jumătate a valorii rezultate: f = n*sin(α)*b²/2.

O piramidă este un poliedru cu un poligon la bază. Toate fețele, la rândul lor, formează triunghiuri care converg la un singur vârf. Piramidele sunt triunghiulare, patrulatere și așa mai departe. Pentru a determina ce piramidă se află în fața ta, este suficient să numeri numărul de unghiuri de la baza acesteia. Definiția „înălțimii unei piramide” se găsește foarte des în problemele de geometrie din programa școlară. În acest articol vom încerca să analizăm diferite moduri de a-l găsi.

Părți ale piramidei

Fiecare piramidă este formată din următoarele elemente:

fețele laterale, care au trei colțuri și converg la vârf;
apotema reprezintă înălțimea care coboară de la vârful ei;
vârful piramidei este un punct care leagă nervurile laterale, dar nu se află în planul bazei;
baza este un poligon pe care nu se află vârful;
înălțimea unei piramide este un segment care intersectează vârful piramidei și formează un unghi drept cu baza acesteia.

Cum se află înălțimea unei piramide dacă este cunoscut volumul acesteia

Prin formula pentru volumul piramidei V = (S*h)/3 (în formula V este volumul, S este aria bazei, h este înălțimea piramidei) aflăm că h = (3*V)/S. Pentru a consolida materialul, să rezolvăm imediat problema. Într-o piramidă triunghiulară, aria bazei este de 50 cm 2, în timp ce volumul ei este de 125 cm 3. Înălțimea piramidei triunghiulare este necunoscută, ceea ce trebuie să găsim. Totul este simplu aici: introducem datele în formula noastră. Obținem h = (3*125)/50 = 7,5 cm.

Cum se află înălțimea unei piramide dacă lungimea diagonalei și marginile ei sunt cunoscute

După cum ne amintim, înălțimea piramidei formează un unghi drept cu baza sa. Aceasta înseamnă că înălțimea, marginea și jumătatea diagonalei formează împreună un triunghi dreptunghic. Mulți, desigur, își amintesc de teorema lui Pitagora. Cunoscând două dimensiuni, nu va fi greu să găsiți a treia cantitate. Să ne amintim binecunoscuta teoremă a² = b² + c², unde a este ipotenuza, iar în cazul nostru muchia piramidei; b – primul picior sau jumătate din diagonală și c – respectiv al doilea picior, sau înălțimea piramidei. Din această formulă c² = a² - b².

Acum problema: într-o piramidă obișnuită diagonala este de 20 cm, când lungimea marginii este de 30 cm. Trebuie să găsiți înălțimea. Rezolvăm: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Prin urmare, c = √ 500 = aproximativ 22,4.

Cum să găsești înălțimea unei piramide trunchiate

Este un poligon cu o secțiune transversală paralelă cu baza. Înălțimea unei piramide trunchiate este segmentul care leagă cele două baze ale acesteia. Înălțimea poate fi găsită pentru o piramidă obișnuită dacă sunt cunoscute lungimile diagonalelor ambelor baze, precum și marginea piramidei. Fie diagonala bazei mai mari d1, în timp ce diagonala bazei mai mici este d2, iar muchia are lungimea l. Pentru a găsi înălțimea, puteți coborî înălțimile din cele două puncte superioare opuse ale diagramei până la baza acesteia. Vedem că avem două triunghiuri dreptunghiulare, nu rămâne decât să găsim lungimile picioarelor. Pentru a face acest lucru, scădem pe cea mai mică din diagonala mai mare și împărțim la 2. Așa că vom găsi un catet: a = (d1-d2)/2. După care, conform teoremei lui Pitagora, tot ce trebuie să facem este să găsim al doilea picior, care este înălțimea piramidei.

O piramidă triunghiulară este o piramidă care are la bază un triunghi. Înălțimea acestei piramide este perpendiculara care este coborâtă de la vârful piramidei până la baza acesteia.

Aflarea înălțimii unei piramide

Cum să afli înălțimea unei piramide? Foarte simplu! Pentru a găsi înălțimea oricărei piramide triunghiulare, puteți utiliza formula de volum: V = (1/3)Sh, unde S este aria bazei, V este volumul piramidei, h este înălțimea acesteia. Din această formulă, derivați formula înălțimii: pentru a găsi înălțimea unei piramide triunghiulare, trebuie să înmulțiți volumul piramidei cu 3, apoi să împărțiți valoarea rezultată la aria bazei, aceasta va fi: h = (3V)/S. Deoarece baza unei piramide triunghiulare este un triunghi, puteți folosi formula pentru a calcula aria unui triunghi. Dacă știm: aria triunghiului S și latura sa z, atunci conform formulei ariei S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, unde h este înălțimea piramidei, γ este marginea triunghiului; unghiul dintre laturile triunghiului și cele două laturi în sine, folosind următoarea formulă: S = (1/2)γφsinQ, unde γ, φ sunt laturile triunghiului, găsim aria triunghiului. Valoarea sinusului unghiului Q trebuie analizată în tabelul sinusurilor, care este disponibil pe Internet. Apoi, înlocuim valoarea ariei în formula înălțimii: h = (2S)/γ. Dacă sarcina necesită calcularea înălțimii unei piramide triunghiulare, atunci volumul piramidei este deja cunoscut.

Piramidă triunghiulară regulată

Aflați înălțimea unei piramide triunghiulare regulate, adică a unei piramide în care toate fețele sunt triunghiuri echilaterale, cunoscând dimensiunea muchiei γ. În acest caz, marginile piramidei sunt laturile triunghiurilor echilaterale. Înălțimea unei piramide triunghiulare regulate va fi: h = γ√(2/3), unde γ este marginea triunghiului echilateral, h este înălțimea piramidei. Dacă aria bazei (S) este necunoscută și sunt date numai lungimea muchiei (γ) și volumul (V) poliedrului, atunci variabila necesară din formula din pasul anterior trebuie înlocuită. prin echivalentul său, care se exprimă în termeni de lungime a muchiei. Aria unui triunghi (regulat) este egală cu 1/4 din produsul lungimii laturii acestui triunghi la pătrat cu rădăcina pătrată a lui 3. Înlocuim această formulă în locul ariei bazei din precedentul formula, și obținem următoarea formulă: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Volumul unui tetraedru poate fi exprimat prin lungimea muchiei sale, apoi din formula de calcul a înălțimii unei figuri, puteți elimina toate variabilele și lăsați doar latura feței triunghiulare a figurii. Volumul unei astfel de piramide poate fi calculat prin împărțirea la 12 din produsul lungimii cuburi a feței sale la rădăcina pătrată a lui 2.

Înlocuind această expresie în formula anterioară, obținem următoarea formulă de calcul: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2 /3) = (1/3)γ√6. De asemenea, o prismă triunghiulară regulată poate fi înscrisă într-o sferă, iar cunoscând doar raza sferei (R) se poate găsi înălțimea tetraedrului însuși. Lungimea muchiei tetraedrului este: γ = 4R/√6. Înlocuim variabila γ cu această expresie în formula anterioară și obținem formula: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Aceeași formulă se poate obține cunoscând raza (R) a unui cerc înscris într-un tetraedru. În acest caz, lungimea marginii triunghiului va fi egală cu 12 rapoarte între rădăcina pătrată a lui 6 și rază. Înlocuim această expresie în formula anterioară și avem: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Cum să găsiți înălțimea unei piramide patruunghiulare obișnuite

Pentru a răspunde la întrebarea cum să găsiți lungimea înălțimii unei piramide, trebuie să știți ce este o piramidă obișnuită. O piramidă pătraunghiulară este o piramidă care are la bază un patrulater. Dacă în condițiile problemei avem: volumul (V) și aria bazei (S) a piramidei, atunci formula pentru calcularea înălțimii poliedrului (h) va fi următoarea - împărțiți volumul înmulțit cu 3 de aria S: h = (3V)/S. Având în vedere o bază pătrată a unei piramide cu un volum dat (V) și lungimea laturii γ, înlocuiți aria (S) din formula anterioară cu pătratul lungimii laturii: S = γ 2 ; H = 3V/y2. Înălțimea unei piramide regulate h = SO trece exact prin centrul cercului care este circumscris lângă bază. Deoarece baza acestei piramide este un pătrat, punctul O este punctul de intersecție al diagonalelor AD și BC. Avem: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. În continuare, în triunghiul dreptunghic SOC găsim (folosind teorema lui Pitagora): SO = √(SC 2 -OC 2). Acum știi cum să găsești înălțimea unei piramide obișnuite.

Părți ale piramidei

Fiecare piramidă este formată din următoarele elemente:

fețele laterale, care au trei colțuri și converg la vârf;
apotema reprezintă înălțimea care coboară de la vârful ei;
vârful piramidei este un punct care leagă nervurile laterale, dar nu se află în planul bazei;
baza este un poligon pe care nu se află vârful;
înălțimea unei piramide este un segment care intersectează vârful piramidei și formează un unghi drept cu baza acesteia.

Cum se află înălțimea unei piramide dacă este cunoscut volumul acesteia

Prin formula V = (S*h)/3 (în formula V este volumul, S este aria bazei, h este înălțimea piramidei) aflăm că h = (3*V)/ S. Pentru a consolida materialul, să rezolvăm imediat problema. Baza triunghiulară este de 50 cm 2 , în timp ce volumul ei este de 125 cm 3 . Înălțimea piramidei triunghiulare este necunoscută, ceea ce trebuie să găsim. Totul este simplu aici: introducem datele în formula noastră. Obținem h = (3*125)/50 = 7,5 cm.

Cum se află înălțimea unei piramide dacă lungimea diagonalei și marginile ei sunt cunoscute

După cum ne amintim, înălțimea piramidei formează un unghi drept cu baza sa. Aceasta înseamnă că înălțimea, muchia și jumătatea diagonalei formează împreună. Mulți, desigur, își amintesc de teorema lui Pitagora. Cunoscând două dimensiuni, nu va fi greu să găsiți a treia cantitate. Să ne amintim binecunoscuta teoremă a² = b² + c², unde a este ipotenuza, iar în cazul nostru muchia piramidei; b - primul picior sau jumătate din diagonală și, respectiv, c - al doilea picior, sau înălțimea piramidei. Din această formulă c² = a² - b².

Cum să găsești înălțimea unei piramide trunchiate

Acum să ne uităm la toată chestia asta în practică. Avem o sarcină în față. O piramidă trunchiată are un pătrat la bază, lungimea diagonală a bazei mai mari este de 10 cm, în timp ce cea mai mică este de 6 cm, iar marginea este de 4 cm. În primul rând, găsim un picior: a = (10-6)/2 = 2 cm Un picior este egal cu 2 cm, iar ipotenuza este de 4 cm. 4 = 12, adică h = √12 = aproximativ 3,5 cm.

Aici ne vom uita la exemple legate de conceptul de volum. Pentru a rezolva astfel de sarcini, trebuie să cunoașteți formula pentru volumul unei piramide:

h – înălțimea piramidei

Baza poate fi orice poligon. Dar în majoritatea problemelor de la examenul de stat unificat, condiția se referă de obicei la piramidele obișnuite. Permiteți-mi să vă reamintesc una dintre proprietățile sale:

Vârful unei piramide obișnuite este proiectat în centrul bazei sale

Priviți proiecția piramidelor regulate triunghiulare, patrulatere și hexagonale (VEDERE DE SUS):

Puteți pe blog, unde s-au discutat probleme legate de găsirea volumului unei piramide.Să luăm în considerare sarcinile:

27087. Aflați volumul unei piramide triunghiulare regulate ale cărei laturi de bază sunt egale cu 1 și a cărei înălțime este egală cu rădăcina lui trei.

S– zona bazei piramidei

h– înălțimea piramidei

Să găsim aria bazei piramidei, acesta este un triunghi obișnuit. Să folosim formula - aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul laturilor adiacente și sinusul unghiului dintre ele, ceea ce înseamnă:

Răspuns: 0,25

27088. Aflați înălțimea unei piramide triunghiulare regulate ale cărei laturi de bază sunt egale cu 2 și al cărei volum este egal cu rădăcina lui trei.

Concepte precum înălțimea unei piramide și caracteristicile bazei acesteia sunt legate prin formula de volum:

S– zona bazei piramidei

h– înălțimea piramidei

Cunoaștem volumul în sine, putem găsi aria bazei, deoarece cunoaștem laturile triunghiului, care este baza. Cunoscând valorile indicate, putem găsi cu ușurință înălțimea.

Pentru a găsi aria bazei, folosim formula - aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul laturilor adiacente și sinusul unghiului dintre ele, ceea ce înseamnă:

Astfel, înlocuind aceste valori în formula de volum, putem calcula înălțimea piramidei:

Înălțimea este de trei.

Raspuns: 3

27109. Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită, înălțimea este 6 și marginea laterală este 10. Aflați volumul acesteia.

Volumul piramidei se calculează cu formula:

S– zona bazei piramidei

h– înălțimea piramidei

Știm înălțimea. Trebuie să găsiți zona bazei. Permiteți-mi să vă reamintesc că vârful unei piramide obișnuite este proiectat în centrul bazei sale. Baza unei piramide patruunghiulare obișnuite este un pătrat. Îi putem găsi diagonala. Luați în considerare un triunghi dreptunghic (evidențiat cu albastru):

Segmentul care leagă centrul pătratului cu punctul B este un picior care este egal cu jumătate din diagonala pătratului. Putem calcula acest picior folosind teorema lui Pitagora:

Aceasta înseamnă BD = 16. Să calculăm aria pătratului folosind formula pentru aria unui patrulater:

Prin urmare:

Astfel, volumul piramidei este:

Răspuns: 256

27178. Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită, înălțimea este 12 și volumul este 200. Aflați marginea laterală a acestei piramide.

Înălțimea piramidei și volumul acesteia sunt cunoscute, ceea ce înseamnă că putem găsi aria pătratului, care este baza. Cunoscând aria unui pătrat, putem găsi diagonala acestuia. În continuare, luând în considerare un triunghi dreptunghic folosind teorema lui Pitagora, calculăm muchia laterală:

Să găsim aria pătratului (baza piramidei):

Să calculăm diagonala pătratului. Deoarece aria sa este 50, latura va fi egală cu rădăcina lui cincizeci și conform teoremei lui Pitagora:

Punctul O împarte diagonala BD în jumătate, ceea ce înseamnă catetul triunghiului dreptunghic OB = 5.

Astfel, putem calcula cu ce marginea laterală a piramidei este egală cu:

Raspuns: 13

245353. Aflați volumul piramidei prezentate în figură. Baza sa este un poligon, ale cărui laturi adiacente sunt perpendiculare, iar una dintre marginile laterale este perpendiculară pe planul bazei și egală cu 3.

După cum s-a spus de multe ori, volumul piramidei se calculează prin formula:

S– zona bazei piramidei

h– înălțimea piramidei

Marginea laterală perpendiculară pe bază este egală cu trei, ceea ce înseamnă că înălțimea piramidei este de trei. Baza piramidei este un poligon a cărui arie este egală cu:

Prin urmare:

Raspuns: 27

27086. Baza piramidei este un dreptunghi cu laturile 3 și 4. Volumul său este 16. Aflați înălțimea acestei piramide.

Formula de înălțime a unei piramide triunghiulare. Piramidă. Formule și proprietăți ale piramidei

Aflarea înălțimii unei piramide

Piramidă triunghiulară regulată

Cum să găsiți înălțimea unei piramide patruunghiulare obișnuite

Articole noi

Articole populare