Definiția unui tetraedru regulat. Tetraedru obișnuit (piramidă). Tetraedre în microcosmos

Toate fețele sale sunt triunghiuri egale. Dezvoltarea unui tetraedru izoedric este un triunghi împărțit de trei linii mediane în patru triunghiuri egale. Într-un tetraedru izoedric, bazele înălțimilor, punctele mijlocii ale înălțimilor și punctele de intersecție ale înălțimilor fețelor se află pe suprafața unei sfere (o sferă de 12 puncte) (un analog al cercului Euler pentru un triunghi). ).

Proprietățile unui tetraedru izoedric:

• Toate fețele sale sunt egale (congruente).
• Marginile de încrucișare sunt egale în perechi.
• Unghiurile triedrice sunt egale.
• Unghiurile diedrice opuse sunt egale.
• Două unghiuri plane care se sprijină pe aceeași muchie sunt egale.
• Suma unghiurilor plane la fiecare vârf este de 180°.
• Dezvoltarea unui tetraedru este un triunghi sau paralelogram.
• Paralepipedul descris este dreptunghiular.
• Tetraedrul are trei axe de simetrie.
• Perpendicularele comune ale muchiilor de încrucișare sunt perpendiculare în perechi.
• Liniile mediane sunt perpendiculare în perechi.
• Perimetrele fețelor sunt egale.
• Suprafețele fețelor sunt egale.
• Înălțimile tetraedrului sunt egale.
• Segmentele care leagă vârfurile cu centrele de greutate ale fețelor opuse sunt egale.
• Razele cercurilor circumscrise fețelor sunt egale.
• Centrul de greutate al tetraedrului coincide cu centrul sferei circumscrise.
• Centrul de greutate coincide cu centrul sferei înscrise.
• Centrul sferei circumscrise coincide cu centrul sferei înscrise.
• Sfera înscrisă atinge fețele din centrele cercurilor circumscrise acestor fețe.
• Suma normalelor unității exterioare (vectori unitari perpendiculari pe fețe) este zero.
• Suma tuturor unghiurilor diedrice este zero.

tetraedru ortocentric

Toate înălțimile scăzute de la vârfuri la fețele opuse se intersectează într-un punct.

Proprietățile unui tetraedru ortocentric:

• Altitudinile tetraedrului se intersectează într-un punct.
• Bazele altitudinilor tetraedrului sunt ortocentrii fețelor.
• Fiecare două margini opuse ale unui tetraedru sunt perpendiculare.
• Sumele pătratelor muchiilor opuse ale unui tetraedru sunt egale.
• Segmentele care leagă punctele medii ale muchiilor opuse ale tetraedrului sunt egale.
• Produsele cosinusurilor unghiurilor diedrice opuse sunt egale.
• Suma pătratelor ariilor fețelor este de patru ori mai mică decât suma pătratelor produselor muchiilor opuse.
• U tetraedru ortocentric Cercurile cu 9 puncte (cercurile Euler) ale fiecărei fețe aparțin unei sfere (sfera cu 24 de puncte).
• U tetraedru ortocentric centrele de greutate și punctele de intersecție ale înălțimilor fețelor, precum și punctele care împart segmentele fiecărei înălțimi a tetraedrului de la vârf la punctul de intersecție al înălțimilor în raport de 2: 1, se află pe o sferă (sfera de 12 puncte).

Tetraedru dreptunghiular

Toate muchiile adiacente unuia dintre vârfuri sunt perpendiculare între ele. Un tetraedru dreptunghiular se obține prin tăierea tetraedrului cu un plan dintr-un cuboid.

Cadru tetraedru

Acesta este un tetraedru care îndeplinește oricare dintre următoarele condiții:

• există o sferă care atinge toate marginile,
• sumele lungimilor marginilor de încrucișare sunt egale,
• sumele unghiurilor diedrice la muchiile opuse sunt egale,
• cercuri înscrise în fețe se ating în perechi,
• sunt descrise toate patrulaterele rezultate din dezvoltarea unui tetraedru,
• perpendiculare ridicate pe fețele din centrele cercurilor înscrise în ele se intersectează într-un punct.

Tetraedru proporțional

Proprietățile unui tetraedru proporțional:

• Bi-înălțimile sunt egale. Bialtitudinile unui tetraedru sunt perpendicularele comune pe două dintre muchiile sale care se intersectează (muchiile care nu au vârfuri comune).
• Proiecția unui tetraedru pe un plan perpendicular pe oricare bimedianele, există un romb. Bimedianele Un tetraedru se numește segmentele care leagă punctele medii ale muchiilor sale care se intersectează (care nu au vârfuri comune).
• Fețele paralelipipedului descris au dimensiuni egale.
• Următoarele relații sunt valabile: $4a^2(a\_1)^2-\; (b^2+(b\_1)^2-c^2-(c\_1)^2)^2=4b^2(b\_1)^2-\; (c^2+(c\_1)\; ^2-a^2-(a\_1)^2)^2=4c^2(c\_1)^2-\; (a^2+(a\_1)^2-b^2-(b\_1)^2)^2$, Unde $A$Și $a\_1$, $b$Și $b\_1$, $c$Și $c\_1$- lungimi ale coastelor opuse.
• Pentru fiecare pereche de muchii opuse ale unui tetraedru, planurile trasate prin unul dintre ele și mijlocul celui de-al doilea sunt perpendiculare.
• O sferă poate fi înscrisă în paralelipipedul descris al unui tetraedru proporțional.

tetraedru incentric

La acest tip, segmentele care leagă vârfurile tetraedrului cu centrele cercurilor înscrise în fețe opuse se intersectează într-un punct. Proprietățile unui tetraedru incentric:

• Segmentele care leagă centrele de greutate ale fețelor tetraedrului cu vârfuri opuse (mediane ale tetraedrului) se intersectează întotdeauna într-un punct. Acest punct este centrul de greutate al tetraedrului.
• cometariu. Dacă în ultima condiție înlocuim centrele de greutate ale fețelor cu ortocentrii fețelor, atunci se va transforma într-o nouă definiție tetraedru ortocentric. Dacă le înlocuim cu centrele cercurilor înscrise în fețe, uneori numite incentre, obținem definiția unei noi clase de tetraedre - incentric.
• Segmentele care leagă vârfurile tetraedrului cu centrele cercurilor înscrise pe fețe opuse se intersectează într-un punct.
• Bisectoarele unghiurilor a două fețe trasate la marginea comună a acestor fețe au o bază comună.
• Produsele lungimilor muchiilor opuse sunt egale.
• Triunghiul format din al doilea punct de intersecție a trei muchii care ies dintr-un vârf cu orice sferă care trece prin cele trei capete ale acestor muchii este echilateral.

Tetraedru regulat

Acesta este un tetraedru izoedric, ale cărui fețe sunt triunghiuri regulate. Este unul dintre cele cinci solide ale lui Platon.

Proprietățile unui tetraedru regulat:

• toate marginile tetraedrului sunt egale între ele,
• toate fețele unui tetraedru sunt egale între ele,
• perimetrele și ariile tuturor fețelor sunt egale.
• Un tetraedru obișnuit este ambele ortocentric, cadru, echilateral, incentric și proporțional.
• Un tetraedru este regulat dacă aparține oricăreia dintre următoarele tipuri de tetraedre: ortocentric, cadru, incentric, proporțional, izoedric.
• Un tetraedru este regulat dacă este izoedricși aparține unuia dintre următoarele tipuri de tetraedre: ortocentric, cadru, incentric, proporțional.
• Un octaedru poate fi înscris într-un tetraedru obișnuit, în plus, patru (din opt) fețe ale octaedrului vor fi combinate cu patru fețe ale tetraedrului, toate cele șase vârfuri ale octaedrului vor fi combinate cu centrele a șase muchii ale tetraedrului. .
• Un tetraedru obișnuit este format dintr-un octaedru înscris (în centru) și patru tetraedre (la vârfuri), iar marginile acestor tetraedre și ale octaedrului au jumătate din dimensiunea muchiilor tetraedrului obișnuit.
• Un tetraedru obișnuit poate fi înscris într-un cub în două moduri, cu cele patru vârfuri ale tetraedrului aliniate cu cele patru vârfuri ale cubului.
• Un tetraedru obișnuit poate fi înscris într-un icosaedru, în plus, cele patru vârfuri ale tetraedrului vor fi combinate cu cele patru vârfuri ale icosaedrului.
• Muchiile de încrucișare ale unui tetraedru regulat sunt reciproc perpendiculare.

Volumul unui tetraedru

• Volumul unui tetraedru (ținând cont de semn), ale cărui vârfuri sunt situate în puncte $\backslash mathbf(r)\_1\; (x\_1,y\_1,z\_1),$ $\backslash mathbf(r)\_2\; (x\_2,y\_2,z\_2),$ $\backslash mathbf(r)\_3\; (x\_3,y\_3,z\_3),$ $\backslash mathbf(r)\_4\; (x\_4,y\_4,z\_4),$ egală

$V\; =\; \backslash frac16$

\begin(vmatrix) 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end(vmatrix) = \frac16 \begin( vmatrix) x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1\\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1& z_3 - z_1\\ x_4 - x_1 & y_4 - y_1& z_4 - z_1 \end(vmatrix), sau

$V\; =\; \backslash frac(1)(3)\backslash \; S\; H,$

Unde $S$ este zona oricărei fețe și $H$– înălțimea coborâtă la această față.

• Volumul unui tetraedru în termeni de lungimi de muchii este exprimat folosind determinantul Cayley-Menger:

$288\; \backslash cdot\; V^2\; =$

0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & d_(12)^2 & d_(13)^2 & d_(14)^2 \\ 1 & d_(12)^2 & 0 & d_( 23)^2 și d_(24)^2 \\ 1 și d_(13)^2 și d_(23)^2 și 0 și d_(34)^2 \\ 1 și d_(14)^2 și d_( 24)^2 și d_(34)^2 și 0

\end(vmatrix).

• Această formulă are un analog plat pentru aria unui triunghi sub forma unei variante a formulei lui Heron printr-un determinant similar.
• Volumul unui tetraedru prin lungimile a două muchii opuse AȘi b, precum liniile de încrucișare care sunt distanțate h unul de altul și formează un unghi unul cu celălalt $\backslash phi$, se gaseste prin formula:

$V\; =\; \backslash frac(1)(6)\; ab\; h\; \backslash sin\; \backslash phi\; .$

$V\; =\; \backslash frac(1)(3)\backslash \; abc\; \backslash sqrt\; (D)\; ,$

Unde $$D=\backslash begin(vmatrix)$$

1 & \cos \gamma & \cos \beta \\ \cos \gamma & 1 & \cos \alpha \\ \cos \beta & \cos \alpha & 1 \end(vmatrix).

• Analogul pentru planul ultimei formule este formula pentru aria unui triunghi în ceea ce privește lungimile celor două laturi ale sale AȘi b, ieșind dintr-un vârf și formând un unghi între ei $\backslash gamma$:

$S\; =\; \backslash frac(1)(2)\backslash \; ab\; \backslash sqrt\; (D)\; ,$

Unde $D=\backslash begin(vmatrix)$

1 & \cos \gamma \\ \cos \gamma & 1 \\ \end(vmatrix).

Tetraedre în microcosmos

• Un tetraedru regulat este format prin sp 3 -hibridarea orbitalilor atomici (axele lor sunt îndreptate spre vârfurile tetraedrului regulat, iar nucleul atomului central este situat în centrul sferei descrise a tetraedrului regulat), prin urmare multe moleculele în care are loc o astfel de hibridizare a atomului central au aspectul acestui poliedru
• Moleculă de metan CH4
• Ioni sulfat SO 4 2-, ion fosfat PO 4 3-, ion perclorat ClO 4 - și mulți alți ioni
• Diamantul C este un tetraedru cu o muchie egală cu 2,5220 angstromi
• Fluorit CaF 2, tetraedru cu muchia egală cu 3, 8626 angstromi
• Sfalerită, ZnS, tetraedru cu muchia egală cu 3.823 angstromi
• Ioni complexi - , 2- , 2- , 2+
• Silicații, ale căror structuri se bazează pe tetraedrul siliciu-oxigen 4-

Tetraedre în natură

Unele fructe, patru dintre ele pe de o parte, sunt situate la vârfurile unui tetraedru care este aproape de regulat. Acest design se datorează faptului că centrele a patru bile identice care se ating unele de altele sunt situate la vârfurile unui tetraedru obișnuit. Prin urmare, fructele sub formă de bile formează un aranjament relativ similar. De exemplu, nucile pot fi aranjate astfel.

Tetraedre în tehnologie

Vezi si

• Simplex - tetraedru n-dimensional

Scrieți o recenzie despre articolul „Tetraedrul”

Note

Literatură

• Matizen V. E., Dubrovsky. Din geometria tetraedrului „Kvant”, Nr. 9, 1988 P.66.
• Zaslavsky A. A. // Educație matematică, ser. 3 (2004), nr. 8, p. 78-92.

Corect Corect neconvex Convex Formule, teoreme, teorii Alte

Extras care caracterizează Tetraedrul

În a patra zi, incendiile au început pe Zubovsky Val.
Pierre și alți treisprezece au fost duși la Krymsky Brod, la trăsurile casei unui negustor. Mergând pe străzi, Pierre se sufoca din cauza fumului, care părea să stea deasupra întregului oraș. Incendiile erau vizibile din diferite direcții. Pierre nu înțelegea încă semnificația arderii Moscovei și privea aceste incendii cu groază.
Pierre a mai stat patru zile în căsuța unei case de lângă Crimeea Brod, iar în aceste zile a aflat din conversația soldaților francezi că toți cei ținuți aici se așteptau la decizia mareșalului în fiecare zi. Ce mareșal, Pierre nu a putut afla de la soldați. Pentru soldat, evident, mareșalul părea a fi cea mai înaltă și oarecum misterioasă verigă a puterii.
Aceste prime zile, până pe 8 septembrie, ziua în care prizonierii au fost duși la interogatoriu secundar, au fost cele mai dificile pentru Pierre.

X
Pe 8 septembrie, un ofițer foarte important a intrat în hambar pentru a-i vedea pe prizonieri, judecând după respectul cu care îl tratau paznicii. Acest ofițer, probabil un ofițer de stat major, cu o listă în mâini, a făcut un apel nominal al tuturor rușilor, strigându-l pe Pierre: celui qui n "avoue pas son nom [cel care nu-și spune numele]. Și, indiferent și uitându-se leneș la toți prizonierii, a ordonat gardianului că se cuvine ca ofițerul să-i îmbrace și să-i facă ordine înainte de a-i conduce la mareșal.O oră mai târziu a sosit o companie de soldați, iar Pierre și alți treisprezece au fost conduși la Câmpul Fecioarei. Ziua era senină, însorită după ploaie, iar aerul era neobișnuit de curat. Fumul nu s-a așezat ca în ziua în care Pierre a fost scos din casa de gardă a Zubovsky Val; fumul se ridica în coloane în aerul limpede. dintre incendii nu se vedeau nicăieri, dar coloane de fum se ridicau din toate părțile și toată Moscova, tot ceea ce putea vedea Pierre, era o singură conflagrație. Pe toate părțile se vedeau terenuri virane cu sobe și coșuri și, uneori, pereții carbonizați. de case de piatră.Pierre se uită atent la incendii și nu recunoștea cartierele familiare ale orașului.În unele locuri se vedeau biserici supraviețuitoare.Kremlinul, nedistrus, se profila alb de departe cu turnurile sale și Ivan cel Mare. În apropiere, cupola Mănăstirii Novodevichy strălucea vesel, iar de acolo se auzea deosebit de tare clopotul Evangheliei. Acest anunț ia amintit lui Pierre că era duminică și sărbătoarea Nașterii Fecioarei Maria. Dar se părea că nu era nimeni care să sărbătorească această sărbătoare: peste tot era devastație de la foc, iar de la poporul rus erau doar ocazional oameni zdrențuiți, înspăimântați, care se ascundeau la vederea francezilor.
Evident, cuibul rusesc a fost devastat și distrus; dar în spatele distrugerii acestei ordini de viață rusești, Pierre a simțit inconștient că peste acest cuib ruinat s-a instituit propria lui, complet diferită, dar fermă ordine franceză. A simțit asta din vederea acelor soldați care mergeau veseli și veseli, în rânduri regulate, care îl escortau cu alți criminali; a simțit asta din vederea unui oficial important francez într-o trăsură dublă, condusă de un soldat, care se îndrepta spre el. A simțit asta din sunetele vesele ale muzicii regimentare care veneau din partea stângă a câmpului și mai ales a simțit și a înțeles din lista pe care ofițerul francez vizitator a citit-o azi dimineață, strigând prizonierii. Pierre a fost luat de niște soldați, dus într-un loc sau altul cu alte zeci de oameni; părea că ar putea să uite de el, să-l amestece cu alții. Dar nu: răspunsurile date în timpul interogatoriului i-au revenit sub forma numelui său: celui qui n "avoue pas son nom. Iar sub acest nume, de care se temea lui Pierre, era acum condus undeva, cu neîndoielnic încredere. scris pe fețele lor că toți ceilalți prizonieri și el erau cei de care aveau nevoie și că erau duși acolo unde era nevoie.Pierre se simțea ca o așchie neînsemnată prinsă în roțile unei mașini necunoscute pentru el, dar funcționale corect.
Pierre și alți criminali au fost conduși în partea dreaptă a Câmpului Fecioarei, nu departe de mănăstire, la o casă mare albă, cu o grădină imensă. Aceasta era casa prințului Șcherbatov, în care Pierre îl vizitase adesea pe proprietar și în care acum, după cum a aflat din conversația soldaților, era staționat mareșalul, ducele de Eckmuhl.
Au fost conduși în pridvor și unul câte unul au fost duși în casă. Pierre a fost adus pe locul șase. Printr-o galerie de sticlă, un vestibul și o anticamera, cunoscută lui Pierre, a fost condus într-un birou lung și joase, la ușa căruia stătea un adjutant.
Davout stătea la capătul camerei deasupra mesei, cu ochelari la nas. Pierre s-a apropiat de el. Davout, fără să ridice ochii, se pare că se descurca cu niște hârtie întinsă în fața lui. Fără să ridice ochii, a întrebat în liniște:
– Qui etes vous? [Cine eşti tu?]
Pierre tăcea pentru că nu putea rosti cuvinte. Pentru Pierre, Davout nu era doar un general francez; pentru Pierre Davout, era un om cunoscut pentru cruzimea sa. Privind chipul rece al lui Davout, care, ca un profesor strict, accepta să aibă deocamdată răbdare și să aștepte un răspuns, Pierre simțea că fiecare secundă de întârziere l-ar putea costa viața; dar nu știa ce să spună. Nu a îndrăznit să spună ce a spus în timpul primului interogatoriu; a-și dezvălui rangul și poziția era și periculos și rușinos. Pierre a tăcut. Dar înainte ca Pierre să poată decide ceva, Davout își ridică capul, își ridică ochelarii pe frunte, miji ochii și se uită atent la Pierre.
— Îl cunosc pe omul ăsta, spuse el cu o voce măsurată, rece, evident calculată să-l sperie pe Pierre. Frigul care îi curgea anterior pe spatele lui Pierre îl cuprinse de cap ca pe un viciu.
– Mon general, vous ne pouvez pas me connaitre, je ne vous ai jamais vu... [Nu ați putut să mă cunoașteți, generale, nu v-am văzut niciodată.]
„C"est un espion russe, [Acesta este un spion rus,"] l-a întrerupt Davout, adresându-se unui alt general care se afla în cameră și pe care Pierre nu-l observase. Și Davout sa întors. Cu un boom neașteptat în voce, Pierre a vorbit brusc repede.
— Nu, monseniore, spuse el, amintindu-și brusc că Davout era duce. - Non, Monseigneur, vous n"avez pas pu me connaitre. Je suis un officier militinaire et je n"ai pas quitte Moscow. [Nu, Înălțimea Voastră... Nu, Înălțimea Voastră, nu m-ați putut cunoaște. Sunt ofițer de poliție și nu am părăsit Moscova.]
- Numele tău? [Numele tău?] – repetă Davout.
- Besouhof. [Bezuhov.]
– Qu"est ce qui me prouvera que vous ne mentez pas? [Cine îmi va dovedi că nu minți?]
- Monseniore! [Alteța Voastră!] - strigă Pierre cu o voce nu jignită, dar rugătoare.
Davout ridică ochii și se uită atent la Pierre. Se priviră unul la altul câteva secunde, iar această privire l-a salvat pe Pierre. În această perspectivă, în afară de toate condițiile de război și proces, între acești doi oameni s-a stabilit o relație umană. Amândoi în acel minut au experimentat vag nenumărate lucruri și și-au dat seama că amândoi erau copii ai umanității, că erau frați.
La prima vedere pentru Davout, care a ridicat capul doar din lista lui, unde treburile umane și viața erau numite numere, Pierre era doar o împrejurare; și, neținând seama de fapta rea ​​asupra conștiinței sale, Davout l-ar fi împușcat; dar acum a văzut deja o persoană în el. S-a gândit o clipă.
– Comment me prouverez vous la verite de ce que vous me dites? [Cum îmi vei dovedi adevărul cuvintelor tale?] - spuse Davout cu răceală.
Pierre și-a amintit de Rambal și și-a numit regimentul, numele de familie și strada pe care se afla casa.
„Vous n”etes pas ce que vous dites, [Nu ești ceea ce spui.]”, a spus Davout din nou.
Pierre, cu o voce tremurândă, intermitentă, a început să ofere dovezi ale adevărului mărturiei sale.
Dar în acest moment adjutantul a intrat și a raportat ceva lui Davout.
Davout a radiat deodată la vestea transmisă de adjutant și a început să-și închidă. Se pare că a uitat complet de Pierre.
Când adjutantul i-a amintit de prizonier, el s-a încruntat, a dat din cap spre Pierre și a spus să fie dus. Dar Pierre nu știa unde trebuia să-l ducă: înapoi la cabină sau la locul pregătit pentru execuție, pe care i-au arătat camarazii săi în timp ce mergea de-a lungul Câmpului Fecioarelor.
Întoarse capul și văzu că adjutantul întreabă din nou ceva.
- Oui, fără îndoială! [Da, desigur!] - a spus Davout, dar Pierre nu știa ce este „da”.
Pierre nu-și amintea cum, cât timp a mers și unde. El, într-o stare de totală nesimțire și plictisire, nevăzând nimic în jurul său, și-a mișcat picioarele împreună cu ceilalți până când toți s-au oprit și s-a oprit. În tot acest timp, un gând a fost în capul lui Pierre. Era gândul cine, cine, l-a condamnat în cele din urmă la moarte. Nu erau aceleași persoane care l-au interogat în comisie: niciunul dintre ei nu a vrut și, evident, nu a putut face acest lucru. Nu Davout era cel care îl privea atât de uman. Încă un minut și Davout și-ar fi dat seama că au făcut ceva greșit, dar acest moment a fost întrerupt de adjutantul care a intrat. Și acest adjutant, evident, nu voia nimic rău, dar poate că nu a intrat. Cine a fost cel care i-a executat, ucis, i-a luat viața în cele din urmă - Pierre cu toate amintirile, aspirațiile, speranțele, gândurile sale? Cine a facut asta? Și Pierre a simțit că nu era nimeni.
Era un ordin, un model de circumstanțe.
Un fel de ordin îl ucidea - Pierre, privându-l de viață, de tot, distrugându-l.

Din casa prințului Șcerbatov, prizonierii au fost conduși drept în jos de-a lungul Polului Devichye, în stânga Mănăstirii Devichye și conduși într-o grădină de legume pe care era un stâlp. În spatele stâlpului era o groapă mare săpată cu pământ proaspăt săpat și o mulțime mare de oameni stătea în semicerc în jurul gropii și al stâlpului. Mulțimea era formată dintr-un număr mic de ruși și un număr mare de trupe napoleoniene scoase din formație: germani, italieni și francezi în uniforme diferite. În dreapta și în stânga stâlpului se aflau fronturi ale trupelor franceze în uniforme albastre, cu epoleți roșii, cizme și shakos.
Infractorii au fost plasați într-o anumită ordine, care era pe listă (Pierre era al șaselea), și au fost conduși la un post. Câteva tobe au bătut brusc din ambele părți și Pierre a simțit că cu acest sunet parcă o parte din suflet i-ar fi fost smulsă. Și-a pierdut capacitatea de a gândi și de a gândi. Nu putea decât să vadă și să audă. Și avea o singură dorință - dorința ca ceva groaznic să se întâmple care trebuia făcut cât mai repede posibil. Pierre s-a uitat înapoi la camarazii săi și i-a examinat.
Cei doi bărbați de pe margine erau rasi și păziți. Unul este înalt și slab; celălalt este negru, zdruncinat, musculos, cu nasul plat. Al treilea era un servitor de stradă, de vreo patruzeci și cinci de ani, cu părul cărunt și corpul plinuț și bine hrănit. Cel de-al patrulea era un bărbat foarte chipeș, cu o barbă deasă și căpruială și ochi negri. Al cincilea era un muncitor de fabrică, galben, slab, de vreo optsprezece ani, în halat.
Pierre a auzit că francezii discutau despre cum să tragă - câte unul sau doi pe rând? „Doi o dată”, a răspuns ofițerul superior, rece și calm. Era mișcare în rândurile soldaților și s-a observat că toată lumea se grăbea - și se grăbeau nu așa cum se grăbesc să facă ceva pe înțelesul tuturor, ci așa cum se grăbesc să termine. o sarcină necesară, dar neplăcută și de neînțeles.
Un oficial francez în eșarfă s-a apropiat de partea dreaptă a liniei de criminali și a citit verdictul în rusă și franceză.
Apoi două perechi de francezi s-au apropiat de criminali și, la îndrumarea ofițerului, au luat doi paznici care stăteau pe margine. Gardienii, apropiindu-se de post, s-au oprit și, în timp ce sacii erau adusi, s-au uitat în tăcere în jur, în timp ce un animal rănit se uită la un vânător potrivit. Unul s-a tot făcut cruce, celălalt s-a scărpinat pe spate și a făcut o mișcare cu buzele ca un zâmbet. Soldații, grăbindu-se cu mâinile, au început să le legă la ochi, să-și pună pungi și să le lege de un stâlp.
Doisprezece pușcași cu puști au ieșit din spatele rândurilor cu pași măsurați și fermi și s-au oprit la opt pași de la post. Pierre s-a întors ca să nu vadă ce se va întâmpla. Deodată s-a auzit o izbucnire și un vuiet, care lui Pierre i s-au părut mai puternice decât cele mai groaznice tunete, și s-a uitat în jur. Era fum, iar francezii cu fețe palide și mâini tremurânde făceau ceva lângă groapă. Le-au adus pe celelalte două. La fel, cu aceiași ochi, acești doi s-au uitat la toți, degeaba, doar cu ochii, în tăcere, cerând protecție și, aparent, neînțelegând sau crezând ce se va întâmpla. Nu le venea să creadă, pentru că ei singuri știau care este viața lor pentru ei și, prin urmare, nu înțelegeau și nu credeau că poate fi luată.
Pierre a vrut să nu se uite și s-a întors din nou; dar din nou, de parcă o explozie groaznică i-ar fi lovit urechile și, împreună cu aceste sunete, a văzut fum, sângele cuiva și fețele palide și înspăimântate ale francezilor, care din nou făceau ceva la post, împingându-se unul pe altul cu mâini tremurânde. Pierre, respirând greu, se uită în jur, parcă întrebând: ce este asta? Aceeași întrebare se afla în toate privirile care au întâlnit privirea lui Pierre.

În această lecție ne vom uita la tetraedrul și elementele acestuia (marginea tetraedrului, suprafața, fețele, vârfurile). Și vom rezolva câteva probleme de construire a secțiunilor într-un tetraedru, folosind metoda generală de construire a secțiunilor.

Tema: Paralelismul dreptelor și planurilor

Lecția: Tetraedrul. Probleme la construirea secțiunilor într-un tetraedru

Cum se construiește un tetraedru? Să luăm un triunghi arbitrar ABC. Orice punct D, care nu se află în planul acestui triunghi. Obținem 4 triunghiuri. Suprafața formată din aceste 4 triunghiuri se numește tetraedru (Fig. 1.). Punctele interne delimitate de această suprafață fac, de asemenea, parte din tetraedru.

Orez. 1. Tetraedrul ABCD

Elementele unui tetraedru
A,B, C, D - vârfurile unui tetraedru.
AB, A.C., ANUNȚ, B.C., BD, CD - margini tetraedrice.
ABC, ABD, BDC, ADC - fețe tetraedrice.

Cometariu: poate fi luat plat ABC in spate baza tetraedrică, și apoi punct D este vârful unui tetraedru. Fiecare muchie a tetraedrului este intersecția a două plane. De exemplu, coastă AB- aceasta este intersecția planurilor ABDȘi ABC. Fiecare vârf al unui tetraedru este intersecția a trei plane. Vertex A zace în avioane ABC, ABD, ADCU. Punct A este intersecția celor trei plane desemnate. Acest fapt este scris astfel: A= ABC ∩ ABD ∩ ACD.

Definiția tetraedrului

Asa de, tetraedru este o suprafață formată din patru triunghiuri.

Marginea tetraedrului- linia de intersecție a două plane ale tetraedrului.

Faceți 4 triunghiuri egale din 6 potriviri. Este imposibil să rezolvi problema într-un avion. Și acest lucru este ușor de făcut în spațiu. Să luăm un tetraedru. 6 potriviri sunt marginile sale, patru fețe ale tetraedrului și vor fi patru triunghiuri egale. Problema este rezolvată.

Dat un tetraedru ABCD. Punct M aparține unei margini a tetraedrului AB, punct N aparține unei margini a tetraedrului ÎNDși punct R aparține marginii DCU(Fig. 2.). Construiți o secțiune a unui tetraedru cu un plan MNP.

Orez. 2. Desen pentru problema 2 - Construiți o secțiune a unui tetraedru cu un plan

Soluţie:
Luați în considerare fața unui tetraedru DSoare. Pe această față a subiectului NȘi P aparțin fețelor DSoare, și deci tetraedrul. Dar după condiția punctului N, P aparțin planului de tăiere. Mijloace, NP- aceasta este linia de intersecție a două plane: planul feței DSoareși planul de tăiere. Să presupunem că linii drepte NPȘi Soare nu paralel. Ei zac în același plan DSoare. Să găsim punctul de intersecție al liniilor NPȘi Soare. Să o notăm E(Fig. 3.).

Orez. 3. Desen pentru problema 2. Găsirea punctului E

Punct E aparține planului de secțiune MNP, deoarece se află pe linie dreaptă NP, și linia dreaptă NP se află în întregime în planul secțiunii MNP.

De asemenea, punct E zace într-un avion ABC, deoarece se află pe o linie dreaptă Soare din avion ABC.

Înțelegem asta MÂNCA- linia de intersecție a planelor ABCȘi MNP, din moment ce puncte EȘi M se află simultan în două planuri - ABCȘi MNP. Să conectăm punctele MȘi E, și continuați drept MÂNCA până la intersecția cu linia AC. Punctul de intersecție al liniilor MÂNCAȘi AC să notăm Q.

Deci in acest caz NPQМ- secțiunea necesară.

Orez. 4. Desen pentru problema 2. Rezolvarea problemei 2

Să luăm acum în considerare cazul când NP paralel B.C.. Dacă drept NP paralel cu o linie, de exemplu, o linie dreaptă Soare din avion ABC, apoi drept NP paralel cu întregul plan ABC.

Planul de secțiune dorit trece prin linie dreaptă NP, paralel cu planul ABC, și intersectează planul într-o linie dreaptă MQ. Deci linia de intersecție MQ paralel cu linia NP. Primim NPQМ- secțiunea necesară.

Punct M se întinde pe o parte ADÎN tetraedru ABCD. Construiți o secțiune a tetraedrului cu un plan care trece prin punct M paralel cu baza ABC.

Orez. 5. Desen pentru problema 3 Construiți o secțiune a unui tetraedru cu un plan

Soluţie:
Plan de tăiere φ paralel cu planul ABC conform condiției, aceasta înseamnă că acest avion φ paralele cu liniile AB, AC, Soare.
In avion ABD prin punct M hai sa facem un direct PQ paralel AB(Fig. 5). Drept PQ zace într-un avion ABD. La fel și în avion ACD prin punct R hai sa facem un direct relatii cu publicul paralel AC. Am un punct R. Două linii care se intersectează PQȘi relatii cu publicul avion PQR respectiv paralel cu două drepte care se intersectează ABȘi AC avion ABC, ceea ce înseamnă avioane ABCȘi PQR paralel. PQR- secțiunea necesară. Problema este rezolvată.

Dat un tetraedru ABCD. Punct M- punct intern, punct de pe fața tetraedrului ABD. N- punctul intern al segmentului DCU(Fig. 6.). Construiți punctul de intersecție al unei drepte N.M. si avioane ABC.

Orez. 6. Desen pentru problema 4

Soluţie:
Pentru a rezolva acest lucru, vom construi un plan auxiliar DMN. Să fie drept DM intersectează linia AB în punct LA(Fig. 7.). Apoi, SKD- aceasta este o secțiune a avionului DMNși tetraedru. In avion DMN minciuni si dreptate N.M., și linia dreaptă rezultată SK. Astfel, dacă N.M. nu paralel SK, apoi se vor intersecta la un moment dat R. Punct Rși acolo va fi punctul de intersecție dorit al dreptei N.M. si avioane ABC.

Orez. 7. Desen pentru problema 4. Rezolvarea problemei 4

Dat un tetraedru ABCD. M- punctul intern al fetei ABD. R- punctul intern al fetei ABC. N- punctul intern al marginii DCU(Fig. 8.). Construiți o secțiune a unui tetraedru cu un plan care trece prin puncte M, NȘi R.

Orez. 8. Desen pentru problema 5 Construiți o secțiune a unui tetraedru cu un plan

Soluţie:
Să luăm în considerare primul caz, când linia dreaptă MN nu paralel cu planul ABC. În problema anterioară am găsit punctul de intersecție al dreptei MN si avioane ABC. Acesta este punctul LA, se obtine folosind planul auxiliar DMN, adică noi facem DMși obținem un punct F. Realizam CF iar la intersectie MN primim un punct LA.

Orez. 9. Desen pentru problema 5. Găsirea punctului K

Să facem o directă KR. Drept KR se află atât în ​​planul de secţiune cât şi în plan ABC. Obținerea punctelor P 1Și R 2. Conectare P 1Și Mși ca o continuare obținem ideea M 1. Conectarea punctului R 2Și N. Drept urmare, obținem secțiunea dorită P 1 P 2 NM 1. Problema in primul caz este rezolvata.
Să luăm în considerare al doilea caz, când linia dreaptă MN paralel cu planul ABC. Avion MNP trece printr-o linie dreaptă MN paralel cu planul ABCși intersectează planul ABC de-a lungul vreunei linii drepte R1R2, apoi drept R1R2 paralel cu linia dată MN(Fig. 10.).

Orez. 10. Desen pentru problema 5. Secțiunea necesară

Acum să tragem o linie dreaptă R 1 Mși obținem un punct M 1.P 1 P 2 NM 1- secțiunea necesară.

Deci, ne-am uitat la tetraedru și am rezolvat câteva probleme tipice cu tetraedrul. În lecția următoare ne vom uita la un paralelipiped.

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - ediția a V-a, corectată și extinsă - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p. : bolnav. Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru elevii instituțiilor de învățământ general (nivel de bază și de specialitate)

2. Sharygin I.F. - M.: Butard, 1999. - 208 p.: ill. Geometrie. Clasele 10-11: Manual pentru instituțiile de învățământ general

3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - ediția a 6-a, stereotip. - M.: Butard, 008. - 233 p. :il. Geometrie. Clasa a 10-a: Manual pentru instituțiile de învățământ general cu studiu aprofundat și de specialitate al matematicii

Resurse web suplimentare

2. Cum se construiește o secțiune transversală a unui tetraedru. Matematică ().

3. Festivalul ideilor pedagogice ().

Faceți probleme acasă pe tema „Tetraedru”, cum să găsiți marginea unui tetraedru, fețele unui tetraedru, vârfurile și suprafața unui tetraedru

1. Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru elevii instituţiilor de învăţământ general (nivel de bază şi de specialitate) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - ediția a V-a, corectată și extinsă - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. Sarcinile 18, 19, 20 p. 50

2. Punct E coasta mijlocie MA tetraedru MAVS. Construiți o secțiune a tetraedrului cu un plan care trece prin puncte B, CȘi E.

3. În tetraedrul MABC, punctul M aparține feței AMV, punctul P aparține feței BMC, punctul K aparține muchiei AC. Construiți o secțiune a tetraedrului cu un plan care trece prin puncte M, R, K.

4. Ce forme se pot obține în urma intersecției unui tetraedru cu un plan?

Notă. Aceasta face parte dintr-o lecție cu probleme de geometrie (stereometrie secțiuni, probleme despre piramidă). Dacă trebuie să rezolvați o problemă de geometrie care nu este aici, scrieți despre ea pe forum. În sarcini, în locul simbolului „rădăcină pătrată”, se folosește funcția sqrt(), în care sqrt este simbolul rădăcinii pătrate, iar expresia radicalului este indicată între paranteze.Pentru expresiile radicale simple se poate folosi semnul „√”.. Tetraedru regulat- Aceasta este o piramidă triunghiulară regulată în care toate fețele sunt triunghiuri echilaterale.

Într-un tetraedru obișnuit, toate unghiurile diedrice de la margini și toate unghiurile triedrice de la vârfuri sunt egale

Un tetraedru are 4 fețe, 4 vârfuri și 6 muchii.

Formulele de bază pentru un tetraedru obișnuit sunt date în tabel.

Unde:
S - Suprafața unui tetraedru obișnuit
V - volum
h - înălțime coborâtă până la bază
r - raza cercului înscris în tetraedru
R - circumradius
a - lungimea muchiei

Exemple practice

Sarcină.
Aflați aria suprafeței unei piramide triunghiulare cu fiecare muchie egală cu √3

Soluţie.
Deoarece toate marginile unei piramide triunghiulare sunt egale, aceasta este regulată. Aria suprafeței unei piramide triunghiulare regulate este S = a 2 √3.
Apoi
S = 3√3

Răspuns: 3√3

Sarcină.
Toate marginile unei piramide triunghiulare obișnuite sunt egale cu 4 cm. Aflați volumul piramidei

Soluţie.
Deoarece într-o piramidă triunghiulară regulată înălțimea piramidei este proiectată spre centrul bazei, care este și centrul cercului circumscris, atunci

AO = R = √3 / 3 a
AO = 4√3 / 3

Deci înălțimea piramidei OM poate fi găsită din triunghiul dreptunghic AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Găsim volumul piramidei folosind formula V = 1/3 Sh
În acest caz, găsim aria bazei folosind formula S = √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V = 16√2/3

Răspuns: 16√2 / 3 cm

Secțiuni: Matematică

Planul de pregătire și desfășurare a lecției:

I. Etapa pregătitoare:

1. Repetarea proprietăților cunoscute ale unei piramide triunghiulare.
2. Propunerea de ipoteze despre caracteristicile posibile, neconsiderate anterior, ale tetraedrului.
3. Formarea de grupuri pentru a efectua cercetări asupra acestor ipoteze.
4. Repartizarea sarcinilor pentru fiecare grup (ținând cont de dorințe).
5. Repartizarea responsabilităților pentru îndeplinirea sarcinii.

II. Etapa principală:

1. Soluția ipotezei.
2. Consultații cu profesorul.
3. Înregistrarea lucrării.

III. Etapa finală:

1. Prezentarea și apărarea ipotezei.

Obiectivele lecției:

• generalizarea și sistematizarea cunoștințelor și abilităților elevilor; studiază material teoretic suplimentar pe această temă; învață să aplice cunoștințele atunci când rezolvi probleme non-standard, să vezi componente simple în ele;
• de a dezvolta capacitatea elevilor de a lucra cu literatură suplimentară, de a îmbunătăți capacitatea de a analiza, generaliza, găsi principalul lucru în ceea ce citesc și dovedește ceva nou; dezvoltarea abilităților de comunicare ale elevilor;
• cultiva cultura grafica.

Etapa pregătitoare (1 lecție):

1. Mesajul elevului „Secretele Marilor Piramide”.
2. Discurs introductiv al profesorului despre varietatea de tipuri de piramide.
3. Discuție de întrebări:

• După ce criterii pot fi combinate piramidele triunghiulare neregulate?
• Ce înțelegem prin ortocentrul unui triunghi și ceea ce se poate numi ortocentrul unui tetraedru
• Are un tetraedru dreptunghiular un ortocentru?
• Ce tetraedru se numește izoedric?Ce proprietăți poate avea?

1. Ca urmare a luării în considerare a diferitelor tetraedre și a discutării proprietăților acestora, conceptele sunt clarificate și apare o anumită structură:

1. Să luăm în considerare proprietățile unui tetraedru regulat (Anexă)

Proprietățile 1-4 sunt dovedite oral folosind Slide 1.

Proprietatea 1: Toate marginile sunt egale.

Proprietatea 2: Toate unghiurile plane sunt egale cu 60°.

Proprietatea 3: Suma unghiurilor plane la oricare trei vârfuri ale unui tetraedru este egală cu 180°.

Proprietatea 4: Dacă tetraedrul este regulat, atunci oricare dintre vârfurile sale este proiectat în ortocentrul feței opuse.

Dat:

ABCD – tetraedru regulat

AH – înălțime

Dovedi:

H – ortocentru

Dovada:

1) punctul H poate coincide cu oricare dintre punctele A, B, C. Fie H ? B, H ? C

2) AH + (ABC) => AH + BH, AH + CH, AH + DH,

3) Luați în considerare ABH, BCH, ADH

AD – general => ABH, BCH, ADH => BH =CH = DH

AB = AC = AD t. H – este ortocentrul ABC

Q.E.D.

1. În prima lecție, Proprietățile 5-9 sunt formulate ca ipoteze care necesită dovezi.

Fiecare grupă își primește temele pentru acasă:

Demonstrează una dintre proprietăți.

Pregătiți o justificare cu o prezentare.

II. Etapa principală (în decurs de o săptămână):

1. Soluția ipotezei.
2. Consultații cu profesorul.
3. Înregistrarea lucrării.

III. Etapa finală (1-2 lecții):

Prezentarea și apărarea unei ipoteze folosind prezentări.

Când pregătesc materialul pentru lecția finală, elevii ajung la concluzia despre particularitatea punctului de intersecție al înălțimilor; suntem de acord să-l numim un punct „uimitor”.

Proprietatea 5: Centrele sferelor circumscrise și înscrise coincid.

Dat:

DABC – tetraedru regulat

O 1 - centrul sferei descrise

O - centrul sferei înscrise

N – punctul de contact al sferei înscrise cu faţa ABC

Demonstrați: O 1 = O

Dovada:

Fie OA = OB =OD = OC – razele cercului circumscris

Să omitem ON + (ABC)

AON = CON – dreptunghiular, de-a lungul catetei și ipotenuzei => AN = CN

Să omitem OM + (BCD)

COM DOM - dreptunghiular, de-a lungul catetei și ipotenuzei => CM = DM

De la punctul 1 CON COM => ON =OM

ON + (ABC) => ON,OM – razele cercului înscris.

Teorema a fost demonstrată.

Pentru un tetraedru obișnuit, există posibilitatea poziției sale reciproce cu o sferă - atingerea unei anumite sfere cu toate marginile sale. O astfel de sferă este uneori numită „semi-inscrisă”.

Proprietatea 6: Segmentele care leagă punctele medii ale muchiilor opuse și perpendiculare pe aceste muchii sunt razele unei sfere semiinscrise.

Dat:

ABCD – tetraedru regulat;

AL=BL, AK=CK, AS=DS,

BP=CP, BM=DM, CN=DN.

Dovedi:

LO = OK = OS = OM = ON =OP

Dovada.

Tetraedrul ABCD – corect => AO= BO = CO =DO

Luați în considerare triunghiurile AOB, AOC, COD, BOD, BOC, AOD.

AO=BO=>?AOB – isoscel =>
OL – mediană, înălțime, bisectoare
AO=CO=>?AOC– isoscel =>
OK – mediană, înălțime, bisectoare
CO=DO=>?COD– isoscel =>
ON– mediană, înălțime, bisectoare AOB=> AOC= COD=
BO=DO=>?BOD– isoscel => BOD= BOC= AOD
OM – mediană, înălțime, bisectoare
AO=DO=>?AOD– isoscel =>
OS – mediană, înălțime, bisectoare
BO=CO=>?BOC– isoscel =>
OP – mediană, înălțime, bisectoare
AO=BO=CO=DO
AB=AC=AD=BC=BD=CD

3) OL, OK, ON, OM, OS, OP - înălțimi egale cu razele OL, OK, ON, OM, OS, OP

triunghiuri isoscele sfere

Consecinţă:

O sferă pe jumătate înscrisă poate fi desenată într-un tetraedru obișnuit.

Proprietatea 7: dacă tetraedrul este regulat, atunci fiecare două margini opuse ale tetraedrului sunt reciproc perpendiculare.

Dat:

DABC – tetraedru regulat;

H – ortocentru

Dovedi:

Dovada:

DABC – tetraedru regulat =>?ADB – echilateral

(ADB) (EDC) = ED

ED – înălțime ADB => ED +AB,

AB + CE ,=> AB+ (EDC) => AB + CD.

Perpendicularitatea celorlalte muchii este dovedită în mod similar.

Proprietatea 8: șase planuri de simetrie se intersectează într-un punct. În punctul O se intersectează patru drepte, trasate prin centrele cercurilor circumscrise fețelor, perpendiculare pe planurile fețelor, iar punctul O este centrul sferei circumscrise.

Dat:

ABCD – tetraedru regulat

Dovedi:

O – centrul sferei descrise;

6 planuri de simetrie se intersectează în punctul O;

Dovada.

CG + BD, pentru că BCD - echilateral => GO + BD (prin teorema a trei perpendiculare GO + BD)

BG = GD, deoarece AG – ABD median

ABD (ABD) => ? BOD - isoscel => BO=DO

ED + AB, deoarece ABD – echilateral => OE + AD (prin teorema a trei perpendiculare)

BE = AE, deoarece DE – median?ABD

ABD (ABD) =>?AOB – isoscel =>BO=AO

(AOB) (ABD) = AB

ON + (ABC) OF + AC (prin teorema lui trei

BF + AC, pentru că ABC - perpendiculare echilaterale)

AF = FC, deoarece BF – median?ABC

ABC (ABC) => AOC - isoscel => AO = CO

(AOC) ?(ABC) = AC

BO = AO =>AO = BO = CO = DO – razele sferei,

AO = CO descris lângă tetraedrul ABCD

(ABR) (ACG) = AO

(BCT) (ABR) = BO

(ACG) (BCT) = CO

(ADH) (CED) = DO

AB + (ABR)(ABR)(BCT)(ACG)(ADH)(CED) (BDF)

Prin urmare:

Punctul O este centrul sferei circumscrise,

6 planuri de simetrie se intersectează în punctul O.

Proprietatea 9: Unghiul obtuz dintre perpendicularele care trec prin vârfurile tetraedrului la ortocentri este de 109°28"

Dat:

ABCD – tetraedru regulat;

O – centrul sferei circumscrise;

Dovedi:

Dovada:

1) AS – înălțime

ASB = 90 o OSB dreptunghiular

2) (conform proprietății unui tetraedru obișnuit)

3)AO=BO – razele sferei circumscrise

4) 70°32"

6) AO=BO=CO=DO =>?AOD=?AOC=?AOD=?COD=?BOD=?BOC

este punctul de intersecție al înălțimilor unui tetraedru regulat

este centrul sferei înscrise

este centrul unei sfere semiinscrise

este centrul sferei circumscrise

este centrul de greutate al tetraedrului

este vârful a patru piramide triunghiulare regulate egale, cu bazele fiind fețele unui tetraedru.

Concluzie.

(Profesorul și elevii rezumă lecția. Unul dintre elevi vorbește cu un scurt raport despre tetraedre, ca unitate structurală a elementelor chimice.)

Sunt studiate proprietățile unui tetraedru obișnuit și punctul său „uimitor”.

S-a descoperit că numai forma unui astfel de tetraedru, care are toate proprietățile de mai sus, precum și un punct „ideal”, poate fi modelată de molecule de silicați și hidrocarburi. Sau moleculele pot consta din mai multe tetraedre regulate. În prezent, tetraedrul este cunoscut nu numai ca un reprezentant al civilizației antice și al matematicii, ci și ca bază a structurii substanțelor.

Silicații sunt substanțe asemănătoare sărurilor care conțin compuși de siliciu și oxigen. Numele lor provine din cuvântul latin „silex” - „flent”. Baza moleculelor de silicat sunt radicalii atomici sub formă de tetraedre.

Silicații sunt nisip, argilă, cărămidă, sticlă, ciment, smalț, talc, azbest, smarald și topaz.

Silicații reprezintă mai mult de 75% din scoarța terestră (și împreună cu cuarțul aproximativ 87%) și mai mult de 95% din rocile magmatice.

O caracteristică importantă a silicaților este capacitatea de combinare reciprocă (polimerizare) a două sau mai multe tetraedre de siliciu-oxigen printr-un atom de oxigen comun.

Hidrocarburile saturate au aceeași formă moleculară, dar, spre deosebire de silicați, sunt formate din carbon și hidrogen. Formula generală a moleculelor

Hidrocarburile includ gazele naturale.

Vom lua în considerare proprietățile tetraedrelor dreptunghiulare și izoedrice.

Literatură.

• Potapov V.M., Tatarinchik S.N. „Chimie organică”, Moscova 1976
• Babarin V.P. „Secretele marilor piramide”, Sankt Petersburg, 2000.
• Sharygin I.F. „Probleme de geometrie”, Moscova, 1984.
• Dicționar enciclopedic mare.
• „Carte de referință școlară”, Moscova, 2001.

|
tetraedru, formulă de tetraedru
Tetraedru(greaca veche τετρά-εδρον - tetraedru, din greaca veche. τέσσᾰρες, τέσσερες, τέττᾰρες, τέττορες, τέτορες - „patru” + greacă veche. ἕδρα - „șediul, baza”) este cel mai simplu poliedru, ale cărui fețe sunt patru triunghiuri. Un tetraedru are 4 fețe, 4 vârfuri și 6 muchii. Un tetraedru în care toate fețele sunt triunghiuri echilaterale se numește regulat. Un tetraedru regulat este unul dintre cele cinci poliedre regulate.

• 1 Proprietățile tetraedrului
• 2 tipuri de tetraedre
• 3 Volumul unui tetraedru
• 4 Tetraedre în microcosmos
• 5 Tetraedre în natura vie
• 6 tetraedre în tehnologie
• 7 Note
• 8 Vezi de asemenea

Proprietățile tetraedrului

• Planele paralele care trec prin perechi de muchii care se intersectează ale tetraedrului definesc paralelipipedul descris în jurul tetraedrului.
• Un plan care trece prin mijlocul a două muchii care se intersectează ale unui tetraedru îl împarte în două părți egale ca volum.: 216-217

Tipuri de tetraedre

Pe lângă tetraedrul obișnuit, se disting următoarele tipuri speciale de tetraedre.

• Un tetraedru echilateral în care toate fețele sunt triunghiuri egale.
• Un tetraedru ortocentric în care toate înălțimile care coboară de la vârfuri la fețele opuse se intersectează într-un punct.
• Un tetraedru dreptunghiular în care toate muchiile adiacente unuia dintre vârfuri sunt perpendiculare între ele.
• Un tetraedru cadru este un tetraedru care îndeplinește oricare dintre următoarele condiții:
  • există o sferă care atinge toate marginile,
  • sumele lungimilor marginilor de încrucișare sunt egale,
  • sumele unghiurilor diedrice la muchiile opuse sunt egale,
  • cercuri înscrise în fețe se ating în perechi,
  • sunt descrise toate patrulaterele rezultate din dezvoltarea unui tetraedru,
  • perpendiculare ridicate pe fețele din centrele cercurilor înscrise în ele se intersectează într-un punct.
• Un tetraedru proporțional ale cărui două înălțimi sunt egale.
• Un tetraedru incentric în care segmentele care leagă vârfurile tetraedrului cu centrele cercurilor înscrise pe fețe opuse se intersectează într-un punct.

Volumul unui tetraedru

Volumul unui tetraedru (ținând cont de semn), ale cărui vârfuri sunt situate în puncte, este egal cu:

Sau, unde este aria oricărei fețe și este înălțimea coborâtă la această față.

Prin lungimile muchiilor, volumul tetraedrului este exprimat folosind determinantul Cayley-Menger:

Tetraedre în microcosmos

• Un tetraedru regulat este format prin hibridizarea sp3 a orbitalilor atomici (axele lor sunt îndreptate către vârfurile tetraedrului regulat, iar nucleul atomului central este situat în centrul sferei descrise a tetraedrului regulat), prin urmare multe molecule în care are loc o astfel de hibridizare a atomului central au aspectul acestui poliedru
• Moleculă de metan CH4
• Ioni de amoniu NH4+
• Ioni sulfat SO42-, ion fosfat PO43-, ion perclorat ClO4- și mulți alți ioni
• Diamantul C este un tetraedru cu o muchie egală cu 2,5220 angstromi
• Fluorit CaF2, tetraedru cu muchia egală cu 3, 8626 angstromi
• Sfalerită, ZnS, tetraedru cu o muchie egală cu 3.823 angstromi
• Ioni complexi -, 2-, 2-, 2+
• Silicații ale căror structuri se bazează pe tetraedrul siliciu-oxigen 4-

Tetraedre în natură

tetraedru de nuc

Unele fructe, patru dintre ele pe de o parte, sunt situate la vârfurile unui tetraedru care este aproape de regulat. Acest design se datorează faptului că centrele a patru bile identice care se ating unele de altele sunt situate la vârfurile unui tetraedru obișnuit. Prin urmare, fructele sub formă de bile formează un aranjament relativ similar. De exemplu, nucile pot fi aranjate astfel.

Tetraedre în tehnologie

• Tetraedrul formează o structură rigidă, definibilă static. Un tetraedru format din tije este adesea folosit ca bază pentru structurile portante spațiale ale cladirii, planșee, grinzi, ferme, poduri etc. Tijele suferă doar sarcini longitudinale.
• Tetraedrul dreptunghiular este folosit în optică. Dacă fețele în unghi drept sunt acoperite cu un compus reflectorizant sau întregul tetraedru este realizat dintr-un material foarte refractiv pentru a crea efectul de reflexie internă totală, atunci lumina îndreptată către fața opusă vârfului în unghi drept va fi reflectată în aceeasi directie din care a venit... Această proprietate este utilizată pentru a crea reflectoare de colț și reflectoare.
• Graficul declanșator cuaternar este un tetraedru.

Note

1. Dicționarul antic greco-rus al lui Dvoretsky „τετρά-εδρον”
2. Selivanov D.F. Corp geometric // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron: 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg, 1890-1907.
3. Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Algebră vectorială în exemple și probleme. - M.: Şcoala superioară, 1985. - 232 p.
4. V. E. MATIZEN Tetraedre izoedrice și cadru „Kvant” Nr. 7, 1983
5. http://knol.google.com/k/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%B3%D0%B5%D1%80#view Trigger

Vezi si

• Simplex - tetraedru n-dimensional

Poliedre
Corect (solide platonice)
Corect neconvex	Dodecaedru stelat Icosidodecaedru stelat Icosaedru stelat Poliedru stelat Octaedru stelat
Convex	Solide arhimediene Cubooctaedru Icosidodecaedru Tetraedru trunchiat Octaedru trunchiat Icozaedru trunchiat Cub trunchiat Dodecaedru trunchiat Rombocuboctaedru Rombicosidodecaedru Cuboctaedru rombic trunchiat Icosidodecaedru trunchiat Rombic Cub trunchiat Snuncaedru Truncăedru Cub trunchied Snuncaedru trunchiat r prismă Antiprismă organismele catalane Rombododecaedru Rombotriacontaedru Triakistetraedru Tetrakishexaedru Pentakisdodecaedru Triakisoctaedru Triakisicosaedru Icositeraedru deltoidal Hexexontaedru deltoidal Icositraedru pentagonal Hexecaedru pentagonal Disdakisdodecaedru Fara plin spațială simetrie Prismă piramidală Bipiramidă Antiprismă Zonoedru Paralelepiped Romboedru Prismatoid Piramidă trunchiată Pentagondodecaedru Paraleloedru
Formule, teoreme, teorii	Teorema lui Alexandrov pe poliedre convexe Teorema lui Bleeker Teorema lui Cauchy pe poliedre Teorema lui Lindelöf pe poliedre Teorema lui Minkowski pe poliedre Teorema lui Sabitov Teorema lui Euler pe poliedre Formula lui Schläfli
Alte	Tetraedru ortocentric Tetraedru echilateral Paralepiped dreptunghiular Grup de poliedre Dodecaedre Unghi solid Cub unitar Poliedru flexibil Dezvoltare Simbol Schläfli Poliedru Johnson Multidimensional (tetraedru N-dimensional Tesseract Penteract Hexeract Hepteract Octeract Enteneract Dekeract Hypercube) Parchet

tetraedru, tetraedru, tetraedru, vedere laterală tetraedru, vedere laterală tetraedru, vedere laterală tetraedru, tetraedru gezh yuu ve, tetraedru gezh yuu ve, tetraedru gezh yuu ve, tetraedru durs, tetraedru durs, tetraedru durs din hârtie, tetraedru din hârtie, tetraedru hârtie , tetraedru de hârtie, imagini tetraedru, imagini tetraedru, imagini tetraedru, definiție tetraedru, definiție tetraedru, definiție tetraedru, formulă tetraedru, formulă tetraedru, desen tetraedru, desen tetraedru, desen tetraedru, șablon tetraedru, șablon tetraedru, șablon tetraedru

Informații despre tetraedrul