Suma unei progresii aritmetice. Progresie aritmetică cu exemple

Conceptul de succesiune de numere implică faptul că fiecărui număr natural îi corespunde o anumită valoare reală. O astfel de serie de numere poate fi fie arbitrară, fie poate avea anumite proprietăți - o progresie. În acest din urmă caz, fiecare element (membru) ulterior al secvenței poate fi calculat folosind cel anterior.

Progresie aritmetică - succesiune valori numerice, în care membrii săi vecini diferă între ei prin același număr (toate elementele seriei, începând cu al 2-lea, au o proprietate similară). Acest număr– diferența dintre termenii anterior și următor este constantă și se numește diferență de progresie.

Diferența de progresie: definiție

Să considerăm o succesiune formată din j valori A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j aparține mulțimii numerelor naturale N. O aritmetică progresia, conform definiției sale, este o succesiune , în care a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Valoarea d este diferența dorită a acestei progresii.

d = a(j) – a(j-1).

A evidentia:

• O progresie crescătoare, caz în care d > 0. Exemplu: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Progresie descrescătoare, apoi d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progresia diferențelor și elementele sale arbitrare

Dacă se cunosc 2 termeni arbitrari ai progresiei (i-th, k-th), atunci diferența pentru o anumită secvență poate fi determinată pe baza relației:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, ceea ce înseamnă d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Diferența de progresie și primul său termen

Această expresie va ajuta la determinarea unei valori necunoscute numai în cazurile în care numărul elementului de secvență este cunoscut.

Diferența de progresie și suma ei

Suma unei progresii este suma termenilor ei. Pentru a calcula valoarea totală a primelor sale j elemente, utilizați formula corespunzătoare:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, dar din moment ce a(j) = a(1) + d(j – 1), apoi S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Lecție și prezentare pe tema: „Secvențe de numere. Progresie aritmetică”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările voastre! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Ajutoare educaționale în magazinul online „Integral” pentru manuale de clasa a IX-a
Makarycheva Yu.N. Alimova Sh.A. Mordkovich A.G. Muravina G.K.

Deci, ce este progresia aritmetică?

O succesiune numerică în care fiecare membru, începând cu al doilea, egal cu suma numărul anterior și un număr fix se numește progresie aritmetică.

O progresie aritmetică este o progresie numerică definită în mod recurent.

Să notăm forma recurentă: $a_(1)=a$; $a_(n)=a_(n-1)+d$, numărul d – diferența de progresie. a și d sunt anumite numere date.

Exemplu. 1,4,7,10,13,16... O progresie aritmetică cu $a=1, d=3$.

Exemplu. 3,0,-3,-6,-9... O progresie aritmetică cu $a=3, d=-3$.

Exemplu. 5,5,5,5,5... O progresie aritmetică cu $a=5, d=0$.

O progresie aritmetică are proprietățile monotonității: dacă diferența progresiei este mai mare decât zero, atunci secvența este în creștere, dacă diferența progresiei este mai mică decât zero, atunci secvența este descrescătoare.

Dacă în progresie aritmetică numărul de elemente este finit, atunci progresia se numește progresie aritmetică finită.

Dacă este dată o secvență $a_(n)$ și este o progresie aritmetică, atunci se obișnuiește să notăm: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.

Formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice

O progresie aritmetică poate fi specificată și sub formă analitică. Să vedem cum se face asta:
$a_(1)=a_(1)$.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(3)=a_(2)+d=a_(1)+d+d=a_(1)+2d$.
$a_(4)=a_(3)+d=a_(1)+3d$.
$a_(5)=a_(4)+d=a_(1)+4d$.
Observăm cu ușurință modelul: $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$.
Formula noastră se numește formula celui de-al n-lea termen al unei progresii aritmetice.

Să ne întoarcem la exemplele noastre și să scriem formula noastră pentru fiecare exemplu.

Exemplu. 1,4,7,10,13,16... Progresie aritmetică, pentru care a=1, d=3. $a_(n)=1+(n-1)3=3n-2$.

Exemplu. 3,0,-3,-6,-9... Progresie aritmetică, pentru care a=3, d=-3. $a_(n)=3+(n-1)(-3)=-3n+6$.

Exemplu. Având în vedere o progresie aritmetică: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.
a) Se știe că $a_(1)=5$, $d=3$. Găsiți $a_(23)$.
b) Se știe că $a_(1)=4$, $d=5$, $a_(n)=109$. Găsiți n.
c) Se știe că $d=-1$, $a_(22)=15$. Găsiți $a_(1)$.
d) Se știe că $a_(1)=-3$, $a_(10)=24$. Găsiți d.
Soluţie.
a) $a_(23)=a_(1)+22d=5+66=71$.
b) $a_(n)=a_(1)+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$.
$5n=110 =>n=22$.
c) $a_(22)=a_(1)+21d=a_(1)-21=15=> a_()1=36$.
d) $a_(10)=a_(1)+9d=-3+9d=24=>d=3$.

Exemplu. La împărțirea celui de al nouălea termen al unei progresii aritmetice la al doilea termen, câtul rămâne 7, iar la împărțirea celui de al nouălea termen la al cincilea, câtul este 2, iar restul este 5. Aflați al treizecilea termen al progresiei.
Soluţie.
Să scriem secvenţial formulele 2,5 şi 9 termeni ai progresiei noastre.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(5)=a_(1)+4d$.
$a_(9)=a_(1)+8d$.
Știm și din condiția:
$a_(9)=7a_(2)$.
$a_(9)=2a_(5)+5$.
Sau:
$a_(1)+8d=7(a_(1)+d)$.
$a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5$.
Să creăm un sistem de ecuații:
$\begin(cases)a_(1)+8d=7(a_(1)+d)\\a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5\end(cases)$.
$\begin(cases)d=6a_(1)\\d=a_(1)+5\end(cases)$.
După ce am rezolvat sistemul obținem: $d=6, a_(1)=1$.
Să găsim $a_(30)$.
$a_(30)=a_(1)+29d=175$.

Suma progresiei aritmetice finite

Să avem o progresie aritmetică finită. Se pune întrebarea: este posibil să se calculeze suma tuturor membrilor săi?
Să încercăm să înțelegem această problemă.
Să fie dată o progresie aritmetică finită: $a_(1),a_(2),…a_(n-1),a_(n)$.
Să introducem notația pentru suma termenilor săi: $S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
Să aruncăm o privire la exemplu concret, care este suma?

Să ni se dea o progresie aritmetică 1,2,3,4,5...100.
Să prezentăm apoi suma membrilor săi astfel:
$S_(n)=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
Dar o formulă similară este aplicabilă pentru orice progresie aritmetică:
$a_(3)+a_(n-2)=a_(2)+a_(n-1)=a_(1)+a_(n)$.
Să scriem formula noastră în cazul general: $a_(k)+a_(n-k+1)=a_(1)+a_(n)$, unde $k<1$.
Să derivăm o formulă pentru calcularea sumei termenilor unei progresii aritmetice, scriem formula de două ori în ordine diferite:
$S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
$S_(n)=a_(n)+a_(n-1)+⋯+a_(2)+a_(1)$.
Să adunăm aceste formule împreună:
$2S_(n)=(a_(1)+a_(n))+(a_(2)+a_(n-1))+⋯+(a_(n-1)+a_(2))+(a_ (n)+a_(1))$.
Există n termeni în partea dreaptă a egalității noastre și știm că fiecare dintre ei este egal cu $a_(1)+a_(n)$.
Apoi:
$S_(n)=\frac(n(a_(1)+a_(n)))(2)$.
Formula noastră poate fi rescrisă și sub forma: deoarece $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$,
atunci $S_(n)=\frac(2a_(1)+d(n-1))(2)*n$.
Cel mai adesea este mai convenabil să folosiți această formulă specială, așa că este bine să o amintiți!

Exemplu. Este dată o progresie aritmetică finită.
Găsi:
a) $s_(22),dacă a_(1)=7, d=2$.
b) d,dacă $a_(1)=9$, $s_(8)=144$.
Soluţie.
a) Să folosim a doua formulă de sumă $S_(22)=\frac(2a_(1)+d(22-1))(2)*22=\frac(14+2(22-1))(2) *22 = 616 USD.
b) În acest exemplu, vom folosi prima formulă: $S_(8)=\frac(8(a_(1)+a_(1)))(2)=4a_(1)+4a_(8)$.
144 USD=36+4a_(8)$.
$a_(8)=27$.
$a_(8)=a_(1)+7d=9+7d$.
$d=2\frac(4)(7)$.

Exemplu. Aflați suma tuturor numerelor impare din două cifre.
Soluţie.
Termenii progresiei noastre sunt: ​​$a_(1)=11$, $a_(2)=13$, …, $a_(n)=99$.
Să găsim numărul ultimului termen al progresiei:
$a_(n)=a_(1)+d(n-1)$.
99 USD=11+2(n-1)$.
$n=45$.
Acum să găsim suma: $S_(45)=\frac(45(11+99))(2)=2475$.

Exemplu. Băieții au plecat într-o drumeție. Se știe că în prima oră au mers 500 m, după care au început să meargă cu 25 de metri mai puțin decât în ​​prima oră. Câte ore le vor lua să parcurgă 2975 de metri?
Soluţie.
Calea parcursă în fiecare oră poate fi reprezentată ca o progresie aritmetică:
$a_(1)=500$, $a_(2)=475$, $a_(3)=450…$.
Diferența progresiei aritmetice este $d=-25$.
Distanța parcursă în 2975 de metri este suma termenilor unei progresii aritmetice.
$S_(n)=2975$, unde n este orele petrecute pe călătorie.
Apoi:
$S_(n)=\frac(1000-25(n-1))(2)$, $n=2975$.
1000$ n-25(n-1)n=5950$.
Împărțiți ambele părți la 25.
$40n-(n-1)n=$238.
$n^2-41n+238=0$.
$n_(1)=7$, $n_(2)=34$.
Evident, este mai logic să alegeți $n=7$.
Răspuns. Băieții au stat pe drum timp de 7 ore.

Proprietatea caracteristică a unei progresii aritmetice

Băieți, având în vedere o progresie aritmetică, să luăm în considerare trei termeni consecutivi arbitrari ai progresiei: $a_(n-1)$, $a_(n)$, $a_(n+1)$.
Noi stim aia:
$a_(n-1)=a_(n)-d$.
$a_(n+1)=a_(n)+d$.
Să ne punem expresiile cap la cap:
$a_(n-1)+a_(n+1)=2a_(n)$.
$a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.

Dacă progresia este finită, atunci această egalitate este valabilă pentru toți termenii, cu excepția primului și ultimului.
Dacă nu se știe dinainte ce formă are șirul, dar se știe că: $a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.
Atunci putem spune cu siguranță că aceasta este o progresie aritmetică.

O secvență numerică este o progresie aritmetică atunci când fiecare membru al acestei progresii este egal cu media aritmetică a doi membri vecini ai progresiei noastre (nu uitați că pentru o progresie finită această condiție nu este îndeplinită pentru primul și ultimul membru al progresiei) .

Exemplu. Găsiți x astfel încât $3x+2$; $x-1$; $4x+3$ – trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
Soluţie. Să folosim formula noastră:
$x-1=\frac(3x+2+4x+3)(2)$.
$2x-2=7x+5$.
$-5x=7$.
$x=-1\frac(2)(5)=-1,4$.
Să verificăm, expresiile noastre vor lua forma: -2,2; -2,4; -2,6.
Evident, aceștia sunt termeni ai unei progresii aritmetice și $d=-0,2$.

Probleme de rezolvat independent

1. Aflați al douăzeci și unuul termen al progresiei aritmetice 38;30;22...
2. Aflați al cincisprezecelea termen al progresiei aritmetice 10,21,32...
3. Se știe că $a_(1)=7$, $d=8$. Găsiți $a_(31)$.
4. Se știe că $a_(1)=8$, $d=-2$, $a_(n)=-54$. Găsiți n.
5. Aflați suma primilor șaptesprezece termeni ai progresiei aritmetice 3;12;21….
6. Găsiți x astfel încât $2x-1$; $3x+1$; $5x-7$ – trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

De exemplu, secvența \(2\); \(5\); \(8\); \(unsprezece\); \(14\)... este o progresie aritmetică, deoarece fiecare element ulterior diferă de cel anterior cu trei (se poate obține de la precedentul prin adăugarea a trei):

În această progresie, diferența \(d\) este pozitivă (egală cu \(3\)) și, prin urmare, fiecare termen următor este mai mare decât cel anterior. Se numesc astfel de progresii crescând.

Totuși, \(d\) poate fi și un număr negativ. De exemplu, în progresie aritmetică \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... diferența de progresie \(d\) este egală cu minus șase.

Și în acest caz, fiecare element următor va fi mai mic decât cel anterior. Aceste progresii se numesc in scadere.

Notarea progresiei aritmetice

Progresul este indicat de o literă latină mică.

Se numesc numerele care formează o progresie membrii(sau elemente).

Ele sunt notate cu aceeași literă ca o progresie aritmetică, dar cu un indice numeric egal cu numărul elementului în ordine.

De exemplu, progresia aritmetică \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) constă din elementele \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) și așa mai departe.

Cu alte cuvinte, pentru progresia \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Rezolvarea problemelor de progresie aritmetică

În principiu, informațiile prezentate mai sus sunt deja suficiente pentru a rezolva aproape orice problemă de progresie aritmetică (inclusiv cele oferite la OGE).

Exemplu (OGE). Progresia aritmetică este specificată de condițiile \(b_1=7; d=4\). Găsiți \(b_5\).
Soluţie:

Răspuns: \(b_5=23\)

Exemplu (OGE). Primii trei termeni ai unei progresii aritmetice sunt dați: \(62; 49; 36…\) Aflați valoarea primului termen negativ al acestei progresii..
Soluţie:

	Ni se dau primele elemente ale secvenței și știm că este o progresie aritmetică. Adică, fiecare element diferă de vecinul său prin același număr. Să aflăm care dintre ele scăzând pe cel precedent din următorul element: \(d=49-62=-13\).
	Acum ne putem restabili progresul la (primul element negativ) de care avem nevoie.
	Gata. Puteți scrie un răspuns.

Răspuns: \(-3\)

Exemplu (OGE). Având în vedere mai multe elemente consecutive ale unei progresii aritmetice: \(…5; x; 10; 12,5...\) Aflați valoarea elementului desemnat de litera \(x\).
Soluţie:

	Pentru a găsi \(x\), trebuie să știm cât de mult diferă următorul element față de cel anterior, cu alte cuvinte, diferența de progresie. Să o găsim din două elemente învecinate cunoscute: \(d=12,5-10=2,5\).
	Și acum putem găsi cu ușurință ceea ce căutăm: \(x=5+2.5=7.5\).
	Gata. Puteți scrie un răspuns.

Răspuns: \(7,5\).

Exemplu (OGE). Progresia aritmetică este definită de următoarele condiţii: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Aflați suma primilor șase termeni ai acestei progresii.
Soluţie:

	Trebuie să găsim suma primilor șase termeni ai progresiei. Dar nu le cunoaștem semnificațiile; ni se dă doar primul element. Prin urmare, mai întâi calculăm valorile unul câte unul, folosind ceea ce ni se oferă: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Și după ce am calculat cele șase elemente de care avem nevoie, găsim suma lor.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	S-a găsit suma necesară.

Răspuns: \(S_6=9\).

Exemplu (OGE). În progresie aritmetică \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Găsiți diferența acestei progresii.
Soluţie:

Răspuns: \(d=7\).

Formule importante pentru progresia aritmetică

După cum puteți vedea, multe probleme privind progresia aritmetică pot fi rezolvate pur și simplu prin înțelegerea principalului lucru - că o progresie aritmetică este un lanț de numere și fiecare element ulterior din acest lanț se obține prin adăugarea aceluiași număr la cel precedent ( diferența de progresie).

Cu toate acestea, uneori există situații în care decizia „front-on” este foarte incomod. De exemplu, imaginați-vă că în primul exemplu trebuie să găsim nu al cincilea element \(b_5\), ci al trei sute optzeci și șase \(b_(386)\). Ar trebui să adăugăm de patru \(385\) ori? Sau imaginați-vă că în penultimul exemplu trebuie să găsiți suma primelor șaptezeci și trei de elemente. Te vei sătura să numeri...

Prin urmare, în astfel de cazuri ei nu rezolvă lucrurile „direct”, ci folosesc formule speciale derivate pentru progresia aritmetică. Iar cele principale sunt formula pentru al n-lea termen al progresiei și formula pentru suma \(n\) primilor termeni.

Formula celui de-al \(n\)-lea termen: \(a_n=a_1+(n-1)d\), unde \(a_1\) este primul termen al progresiei;
\(n\) – numărul elementului solicitat;
\(a_n\) – termen al progresiei cu număr \(n\).

Această formulă ne permite să găsim rapid chiar și al trei sutele sau milionul de element, cunoscând doar primul și diferența progresiei.

Exemplu. Progresia aritmetica este specificata de conditiile: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Găsiți \(b_(246)\).
Soluţie:

Răspuns: \(b_(246)=1850\).

Formula pentru suma primilor n termeni: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), unde

\(a_n\) – ultimul termen însumat;

Exemplu (OGE). Progresia aritmetică este specificată de condițiile \(a_n=3.4n-0.6\). Aflați suma primilor \(25\) termeni ai acestei progresii.
Soluţie:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Pentru a calcula suma primilor douăzeci și cinci de termeni, trebuie să cunoaștem valoarea primului și a douăzeci și cinci de termeni. Progresia noastră este dată de formula celui de-al n-lea termen în funcție de numărul acestuia (pentru mai multe detalii, vezi). Să calculăm primul element înlocuind cu unul cu \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Acum să găsim al douăzeci și cincilea termen înlocuind douăzeci și cinci în loc de \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Ei bine, acum putem calcula cu ușurință suma necesară.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Răspunsul este gata.

Răspuns: \(S_(25)=1090\).

Pentru suma \(n\) primilor termeni, puteți obține o altă formulă: trebuie doar să \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) în loc de \(a_n\) înlocuiți formula pentru aceasta \(a_n=a_1+(n-1)d\). Primim:

Formula pentru suma primilor n termeni: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), unde

\(S_n\) – suma necesară a \(n\) primele elemente;
\(a_1\) – primul termen însumat;
\(d\) – diferență de progresie;
\(n\) – numărul de elemente din sumă.

Exemplu. Aflați suma primilor \(33\)-ex termeni ai progresiei aritmetice: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Soluţie:

Răspuns: \(S_(33)=-231\).

Probleme de progresie aritmetică mai complexe

Acum aveți toate informațiile de care aveți nevoie pentru a rezolva aproape orice problemă de progresie aritmetică. Să încheiem subiectul luând în considerare probleme în care nu trebuie doar să aplicați formule, ci și să vă gândiți puțin (la matematică acest lucru poate fi util ☺)

Exemplu (OGE). Aflați suma tuturor termenilor negativi ai progresiei: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Soluţie:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Sarcina este foarte asemănătoare cu cea anterioară. Începem să rezolvăm același lucru: mai întâi găsim \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Acum aș dori să înlocuiesc \(d\) în formula pentru sumă... și aici apare o mică nuanță - nu știm \(n\). Cu alte cuvinte, nu știm câți termeni vor trebui adăugați. Cum să aflu? Să ne gândim. Vom opri adăugarea de elemente când ajungem la primul element pozitiv. Adică, trebuie să aflați numărul acestui element. Cum? Să notăm formula pentru calcularea oricărui element al unei progresii aritmetice: \(a_n=a_1+(n-1)d\) pentru cazul nostru.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Avem nevoie ca \(a_n\) să devină mai mare decât zero. Să aflăm la ce \(n\) se va întâmpla asta.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Împărțim ambele părți ale inegalității la \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Transferăm minus unu, fără a uita să schimbăm semnele
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Hai sa calculam...
\(n>65.333…\)		...și rezultă că primul element pozitiv va avea numărul \(66\). În consecință, ultimul negativ are \(n=65\). Pentru orice eventualitate, hai să verificăm asta.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Deci trebuie să adăugăm primele \(65\) elemente.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Răspunsul este gata.

Răspuns: \(S_(65)=-630,5\).

Exemplu (OGE). Progresia aritmetica este specificata de conditiile: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Găsiți suma de la \(26\)-lea până la elementul \(42\) inclusiv.
Soluţie:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	În această problemă trebuie să găsiți și suma elementelor, dar începând nu de la primul, ci de la \(26\)-lea. Pentru un astfel de caz nu avem o formulă. Cum să decizi? Este ușor - pentru a obține suma de la \(26\)-a la \(42\)-a, trebuie mai întâi să găsiți suma de la \(1\)-a la \(42\)-a, apoi să scădeți din ea suma de la primul la \(25\)-lea (vezi poza).
	Pentru progresia noastră \(a_1=-33\), și diferența \(d=4\) (la urma urmei, adăugăm cele patru elementului anterior pentru a găsi următorul). Știind acest lucru, găsim suma primelor elemente \(42\)-y.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Acum suma primelor \(25\) elemente.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Și în sfârșit, calculăm răspunsul.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Răspuns: \(S=1683\).

Pentru progresia aritmetică, există mai multe formule pe care nu le-am luat în considerare în acest articol din cauza utilității lor practice scăzute. Cu toate acestea, le puteți găsi cu ușurință.

Când studiezi algebra într-o școală secundară (clasa a 9-a) unul dintre subiecte importante este studiul șirurilor de numere, care includ progresii - geometrice și aritmetice. În acest articol vom analiza o progresie aritmetică și exemple cu soluții.

Ce este o progresie aritmetică?

Pentru a înțelege acest lucru, este necesar să se definească progresia în cauză, precum și să se furnizeze formulele de bază care vor fi folosite ulterior în rezolvarea problemelor.

Se știe că în unele progresii algebrice primul termen este egal cu 6, iar al 7-lea termen este egal cu 18. Este necesar să găsim diferența și să restabilim această secvență la al 7-lea termen.

Să folosim formula pentru a determina termenul necunoscut: a n = (n - 1) * d + a 1 . Să substituim datele cunoscute din condiție în ea, adică numerele a 1 și a 7, avem: 18 = 6 + 6 * d. Din această expresie puteți calcula cu ușurință diferența: d = (18 - 6) /6 = 2. Astfel, am răspuns la prima parte a problemei.

Pentru a restabili secvența la al 7-lea termen, ar trebui să utilizați definiția unei progresii algebrice, adică a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d și așa mai departe. Ca rezultat, restabilim întreaga secvență: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Exemplul nr. 3: întocmirea unei progresii

Să complicăm și mai mult problema. Acum trebuie să răspundem la întrebarea cum să găsim o progresie aritmetică. Se poate da următorul exemplu: sunt date două numere, de exemplu - 4 și 5. Este necesar să se creeze o progresie algebrică astfel încât să mai fie plasați trei termeni între aceștia.

Înainte de a începe să rezolvați această problemă, trebuie să înțelegeți ce loc vor ocupa numerele date în progresia viitoare. Întrucât vor mai fi trei termeni între ei, atunci a 1 = -4 și a 5 = 5. După ce am stabilit acest lucru, trecem la problema, care este similară cu cea anterioară. Din nou, pentru al n-lea termen folosim formula, obținem: a 5 = a 1 + 4 * d. Din: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Ceea ce am obținut aici nu este o valoare întreagă a diferenței, dar este Numar rational, deci formulele pentru progresia algebrică rămân aceleași.

Acum să adăugăm diferența găsită la un 1 și să restabilim termenii lipsă ai progresiei. Se obține: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, care coincid cu condiţiile problemei.

Exemplul nr. 4: primul termen de progresie

Să continuăm să dăm exemple de progresie aritmetică cu soluții. În toate problemele anterioare, era cunoscut primul număr al progresiei algebrice. Acum să luăm în considerare o problemă de alt tip: să fie date două numere, unde a 15 = 50 și a 43 = 37. Este necesar să găsim cu ce număr începe această secvență.

Formulele folosite până acum presupun cunoașterea a 1 și d. În enunțul problemei, nu se știe nimic despre aceste numere. Cu toate acestea, vom nota expresii pentru fiecare termen despre care sunt disponibile informații: a 15 = a 1 + 14 * d și a 43 = a 1 + 42 * d. Am primit două ecuații în care există 2 mărimi necunoscute (a 1 și d). Aceasta înseamnă că problema se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare.

Cel mai simplu mod de a rezolva acest sistem este de a exprima un 1 în fiecare ecuație și apoi de a compara expresiile rezultate. Prima ecuație: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; a doua ecuație: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Echivalând aceste expresii, obținem: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, de unde diferența d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (se dau doar 3 zecimale).

Cunoscând d, puteți folosi oricare dintre cele 2 expresii de mai sus pentru un 1. De exemplu, mai întâi: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Dacă aveți îndoieli cu privire la rezultatul obținut, îl puteți verifica, de exemplu, determinați al 43-lea termen al progresiei, care este specificat în condiție. Se obține: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Mica eroare se datorează faptului că în calcule a fost folosită rotunjirea la miimi.

Exemplul nr. 5: suma

Acum să ne uităm la câteva exemple cu soluții pentru suma unei progresii aritmetice.

Să fie dată o progresie numerică următorul tip: 1, 2, 3, 4, ...,. Cum se calculează suma a 100 dintre aceste numere?

Datorită dezvoltării tehnologiei informatice, este posibil să se rezolve această problemă, adică să se adauge toate numerele succesiv, ceea ce computerul va face imediat ce o persoană apasă tasta Enter. Problema poate fi însă rezolvată mental dacă acordați atenție faptului că seria de numere prezentată este o progresie algebrică, iar diferența ei este egală cu 1. Aplicând formula pentru suma, obținem: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Este interesant de observat că această problemă se numește „gaussian” deoarece la începutul secolului al XVIII-lea celebrul german, încă în vârstă de doar 10 ani, a reușit să o rezolve în cap în câteva secunde. Băiatul nu știa formula pentru suma unei progresii algebrice, dar a observat că dacă aduni numerele de la sfârșitul șirului în perechi, obții întotdeauna același rezultat, adică 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ..., și deoarece aceste sume vor fi exact 50 (100 / 2), atunci pentru a obține răspunsul corect este suficient să înmulțiți 50 cu 101.

Exemplul nr. 6: suma termenilor de la n la m

Un alt exemplu tipic al sumei unei progresii aritmetice este următorul: având în vedere o serie de numere: 3, 7, 11, 15, ..., trebuie să aflați cu ce va fi suma termenilor săi de la 8 la 14. .

Problema este rezolvată în două moduri. Primul dintre ei implică găsirea de termeni necunoscuți de la 8 la 14 și apoi însumarea lor secvențială. Întrucât există puțini termeni, această metodă nu este destul de intensivă în muncă. Cu toate acestea, se propune rezolvarea acestei probleme folosind o a doua metodă, care este mai universală.

Ideea este de a obține o formulă pentru suma progresiei algebrice dintre termenii m și n, unde n > m sunt numere întregi. Pentru ambele cazuri, scriem două expresii pentru suma:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Deoarece n > m, este evident că a doua sumă o include pe prima. Ultima concluzie înseamnă că dacă luăm diferența dintre aceste sume și îi adăugăm termenul a m (în cazul luării diferenței se scade din suma S n), vom obține răspunsul necesar la problemă. Avem: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Este necesar să se înlocuiască formule pentru a n și a m în această expresie. Atunci obținem: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Formula rezultată este oarecum greoaie, totuși, suma S mn depinde doar de n, m, a 1 și d. În cazul nostru, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Înlocuind aceste numere, obținem: S mn = 301.

După cum se poate observa din soluțiile de mai sus, toate problemele se bazează pe cunoașterea expresiei pentru al n-lea termen și a formulei pentru suma mulțimii primilor termeni. Înainte de a începe să rezolvați oricare dintre aceste probleme, este recomandat să citiți cu atenție starea, să înțelegeți clar ce trebuie să găsiți și abia apoi să continuați cu soluția.

Un alt sfat este să depuneți eforturi pentru simplitate, adică dacă puteți răspunde la o întrebare fără a utiliza calcule matematice complexe, atunci trebuie să faceți exact asta, deoarece în acest caz probabilitatea de a face o greșeală este mai mică. De exemplu, în exemplul unei progresii aritmetice cu soluția nr. 6, s-ar putea opri la formula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m și pauză sarcină comunăîn subsarcini separate (în în acest caz, mai întâi găsiți termenii a n și a m).

Dacă aveți îndoieli cu privire la rezultatul obținut, este recomandat să îl verificați, așa cum s-a făcut în unele dintre exemplele date. Am aflat cum să găsim o progresie aritmetică. Dacă îți dai seama, nu este atât de greu.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

O progresie aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este mai mare (sau mai mic) decât cel anterior cu aceeași cantitate.

Acest subiect pare adesea complex și de neînțeles. Indici de litere al n-lea termen progresii, diferențe de progresie - toate acestea sunt oarecum confuze, da... Să ne dăm seama ce înseamnă progresia aritmetică și totul se va îmbunătăți imediat.)

Conceptul de progresie aritmetică.

Progresia aritmetică este un concept foarte simplu și clar. Ai vreo îndoială? Degeaba.) Vezi singur.

Voi scrie o serie neterminată de numere:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Poți extinde această serie? Ce numere vor urma, după cele cinci? Toată lumea... uh..., pe scurt, toată lumea își va da seama că vor veni numerele 6, 7, 8, 9 etc.

Să complicăm sarcina. Vă dau o serie neterminată de numere:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Veți putea să prindeți modelul, să extindeți seria și să denumiți al șaptelea numărul rândului?

Dacă ți-ai dat seama că acest număr este 20, felicitări! Nu numai că ai simțit puncte cheie progresie aritmetica, dar și le-a folosit cu succes în afaceri! Dacă nu ți-ai dat seama, citește mai departe.

Acum să traducem punctele cheie din senzații în matematică.)

Primul punct cheie.

Progresia aritmetică se ocupă de serii de numere. Acest lucru este confuz la început. Suntem obișnuiți să rezolvăm ecuații, să desenăm grafice și toate astea... Dar aici extindem seria, găsim numărul seriei...

E bine. Doar că progresiile sunt prima cunoaștere cu o nouă ramură a matematicii. Secțiunea se numește „Serii” și funcționează în mod specific cu serii de numere și expresii. Obisnuieste-te.)

Al doilea punct cheie.

Într-o progresie aritmetică, orice număr este diferit de cel precedent cu aceeași sumă.

În primul exemplu, această diferență este una. Indiferent de numărul pe care îl luați, este cu unul mai mult decât cel anterior. În al doilea - trei. Orice număr este cu trei mai mult decât precedentul. De fapt, acest moment ne oferă posibilitatea de a înțelege modelul și de a calcula numerele ulterioare.

Al treilea punct cheie.

Acest moment nu este izbitor, da... Dar este foarte, foarte important. Aici era: Fiecare număr de progresie este la locul său. Există primul număr, există al șaptelea, există al patruzeci și cinci, etc. Dacă le amesteci la întâmplare, modelul va dispărea. De asemenea, progresia aritmetică va dispărea. Ceea ce a mai rămas este doar o serie de numere.

Asta e toată ideea.

Desigur, noi termeni și denumiri apar într-un subiect nou. Trebuie să le cunoști. Altfel nu vei înțelege sarcina. De exemplu, va trebui să decideți ceva de genul:

Notați primii șase termeni ai progresiei aritmetice (a n), dacă a 2 = 5, d = -2,5.

Inspirant?) Scrisori, niște indexuri... Și sarcina, apropo, nu ar putea fi mai simplă. Trebuie doar să înțelegeți semnificația termenilor și a denumirilor. Acum vom stăpâni această chestiune și ne vom întoarce la sarcină.

Termeni și denumiri.

Progresie aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este diferit de cel precedent cu aceeași sumă.

Această cantitate se numește . Să ne uităm la acest concept mai detaliat.

Diferența de progresie aritmetică.

Diferența de progresie aritmetică este valoarea cu care orice număr de progresie Mai mult precedentul.

unu punct important. Vă rugăm să acordați atenție cuvântului "Mai mult". Din punct de vedere matematic, aceasta înseamnă că fiecare număr de progresie este prin adăugarea diferența de progresie aritmetică față de numărul anterior.

Pentru a calcula, să zicem al doilea numerele seriei, trebuie primul număr adăuga tocmai această diferență a unei progresii aritmetice. Pentru calcul a cincea- diferenta este necesara adăuga La Al patrulea, bine, etc.

Diferența de progresie aritmetică Pot fi pozitiv, atunci fiecare număr din serie se va dovedi a fi real mai mult decât precedentul. Această progresie se numește crescând. De exemplu:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Aici se obține fiecare număr prin adăugarea număr pozitiv, +5 față de cel precedent.

Diferența poate fi negativ, atunci fiecare număr din serie va fi mai puțin decât precedentul. Această progresie se numește (nu o să crezi!) in scadere.

De exemplu:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Aici se obține și fiecare număr prin adăugarea la precedentul, dar deja număr negativ, -5.

Apropo, atunci când lucrați cu progresie, este foarte util să determinați imediat natura acesteia - dacă este în creștere sau în scădere. Acest lucru vă ajută foarte mult să navigați în decizie, să vă identificați greșelile și să le corectați înainte de a fi prea târziu.

Diferența de progresie aritmetică notată de obicei prin literă d.

Cum să găsești d? Foarte simplu. Este necesar să se scadă din orice număr din serie anterior număr. Scădea. Apropo, rezultatul scăderii se numește „diferență”.)

Să definim, de exemplu, d pentru creșterea progresiei aritmetice:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Luăm orice număr din serie pe care îl dorim, de exemplu, 11. Scădem din el numărul anterior acestea. 8:

Acesta este răspunsul corect. Pentru această progresie aritmetică, diferența este de trei.

O poți lua orice număr de progresie, deoarece pentru o anumită progresie d-întotdeauna la fel. Cel puțin undeva la începutul rândului, cel puțin la mijloc, cel puțin oriunde. Nu poți lua doar primul număr. Pur și simplu pentru că primul număr nici unul precedent.)

Apropo, știind asta d=3, găsirea celui de-al șaptelea număr al acestei progresii este foarte simplă. Să adăugăm 3 la al cincilea număr - obținem al șaselea, va fi 17. Să adăugăm trei la al șaselea număr, obținem al șaptelea număr - douăzeci.

Să definim d pentru progresia aritmetică descrescătoare:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Vă reamintesc că, indiferent de semne, să se determine d nevoie de la orice număr ia-l pe cel precedent. Alegeți orice număr de progres, de exemplu -7. Numărul său anterior este -2. Apoi:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Diferența unei progresii aritmetice poate fi orice număr: întreg, fracțional, irațional, orice număr.

Alți termeni și denumiri.

Fiecare număr din serie este numit membru al unei progresii aritmetice.

Fiecare membru al progresiei are propriul număr. Cifrele sunt strict în ordine, fără trucuri. Primul, al doilea, al treilea, al patrulea etc. De exemplu, în progresia 2, 5, 8, 11, 14, ... doi este primul termen, cinci este al doilea, unsprezece este al patrulea, bine, înțelegeți...) Vă rugăm să înțelegeți clar - numerele în sine poate fi absolut orice, întreg, fracționat, negativ, orice, dar numerotarea numerelor- strict în ordine!

Cum se scrie o progresie în vedere generala? Nici o problemă! Fiecare număr dintr-o serie este scris ca o literă. Pentru a desemna o progresie aritmetică, se folosește de obicei litera A. Numărul membrului este indicat printr-un index în dreapta jos. Scriem termeni separați prin virgule (sau punct și virgulă), astfel:

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....

a 1- acesta este primul număr, a 3- al treilea etc. Nimic de lux. Această serie poate fi scrisă pe scurt astfel: (un n).

Se întâmplă progrese finit și infinit.

Final progresia are un număr limitat de membri. Cinci, treizeci și opt, orice. Dar este un număr finit.

Infinit progresie - are un număr infinit de membri, după cum ați putea ghici.)

Puteți scrie progresia finală printr-o serie ca aceasta, toți termenii și un punct la sfârșit:

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5.

Sau așa, dacă sunt mulți membri:

un 1, un 2, ... un 14, un 15.

În intrarea scurtă va trebui să indicați suplimentar numărul de membri. De exemplu (pentru douăzeci de membri), astfel:

(a n), n = 20

O progresie infinită poate fi recunoscută prin punctele de suspensie de la sfârșitul rândului, ca în exemplele din această lecție.

Acum puteți rezolva sarcinile. Sarcinile sunt simple, doar pentru înțelegerea semnificației unei progresii aritmetice.

Exemple de sarcini privind progresia aritmetică.

Să ne uităm la sarcina dată mai sus în detaliu:

1. Notează primii șase termeni ai progresiei aritmetice (a n), dacă a 2 = 5, d = -2,5.

Transferăm sarcina către limbaj clar. Este dată o progresie aritmetică infinită. Al doilea număr al acestei progresii este cunoscut: a 2 = 5. Diferența de progresie este cunoscută: d = -2,5. Trebuie să găsim primul, al treilea, al patrulea, al cincilea și al șaselea termen al acestei progresii.

Pentru claritate, voi scrie o serie în funcție de condițiile problemei. Primii șase termeni, în care al doilea termen este cinci:

un 1, 5, un 3, un 4, un 5, un 6,....

a 3 = a 2 + d

Înlocuiți în expresie a 2 = 5Și d = -2,5. Nu uita de minus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Al treilea termen s-a dovedit a fi mai mic decât al doilea. Totul este logic. Dacă numărul este mai mare decât cel precedent negativ valoare, ceea ce înseamnă că numărul în sine va fi mai mic decât cel anterior. Progresia este în scădere. Bine, să luăm în considerare.) Numărăm al patrulea termen al seriei noastre:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

un 5 = a 4 + d

un 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = un 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Deci, au fost calculati termeni de la al treilea la al saselea. Rezultatul este următoarea serie:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Rămâne de găsit primul termen a 1 conform cunoscutei secunde. Acesta este un pas în cealaltă direcție, spre stânga.) Deci, diferența de progresie aritmetică d nu trebuie adăugată a 2, A la pachet:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Asta este. Răspuns la sarcină:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

În treacăt, aș dori să notez că am rezolvat această sarcină recurent cale. Acest cuvânt teribil înseamnă doar căutarea unui membru al progresiei conform numărului anterior (adiacent). Vom analiza mai jos alte moduri de a lucra cu progresia.

Din această sarcină simplă se poate trage o concluzie importantă.

Tine minte:

Dacă cunoaștem cel puțin un termen și diferența unei progresii aritmetice, putem găsi orice termen al acestei progresii.

Vă amintiți? Această concluzie simplă vă permite să rezolvați majoritatea problemelor curs şcolar pe această temă. Toate sarcinile se învârt în jurul trei principale parametri: membru al unei progresii aritmetice, diferență a unei progresii, număr al unui membru al progresiei. Toate.

Desigur, toată algebra anterioară nu este anulată.) Inegalitățile, ecuațiile și alte lucruri sunt atașate progresiei. Dar conform progresiei în sine- totul se învârte în jurul a trei parametri.

De exemplu, să ne uităm la câteva sarcini populare pe acest subiect.

2. Scrieți progresia aritmetică finită ca o serie dacă n=5, d = 0,4 și a 1 = 3,6.

Totul este simplu aici. Totul a fost deja dat. Trebuie să vă amintiți cum sunt numărați membrii unei progresii aritmetice, să-i numărați și să le scrieți. Este recomandabil să nu pierdeți cuvintele din condițiile sarcinii: „final” și „ n=5„. Pentru a nu număra până nu ești complet albastru la față.) Există doar 5 (cinci) membri în această progresie:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

un 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Rămâne de scris răspunsul:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

O altă sarcină:

3. Stabiliți dacă numărul 7 va fi membru al progresiei aritmetice (a n), dacă a 1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm... Cine știe? Cum să determine ceva?

Cum-cum... Notează progresia sub forma unei serii și vezi dacă va fi un șapte acolo sau nu! Numaram:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Acum se vede clar că suntem doar șapte strecurat prin intre 6,5 si 7,7! Șapte nu s-au înscris în seria noastră de numere și, prin urmare, șapte nu vor fi un membru al progresiei date.

Raspuns: nu.

Și iată o problemă bazată pe o versiune reală a GIA:

4. Se scriu mai mulți termeni consecutivi ai progresiei aritmetice:

...; 15; X; 9; 6; ...

Iată o serie scrisă fără sfârșit și fără început. Fără numere de membri, fără diferențe d. E bine. Pentru a rezolva problema, este suficient să înțelegeți semnificația unei progresii aritmetice. Să ne uităm și să vedem ce este posibil a sti din seria asta? Care sunt cei trei parametri principali?

Numerele membrilor? Nu există un singur număr aici.

Dar sunt trei numere și - atenție! - cuvânt "consistent" in conditie. Aceasta înseamnă că numerele sunt strict în ordine, fără lacune. Sunt două în acest rând? vecine numere cunoscute? Da, am! Acestea sunt 9 și 6. Prin urmare, putem calcula diferența progresiei aritmetice! Scădeți din șase anterior număr, adică nouă:

Au mai rămas doar fleacuri. Ce număr va fi cel anterior pentru X? Cincisprezece. Aceasta înseamnă că X poate fi găsit cu ușurință prin simplă adăugare. Adăugați diferența progresiei aritmetice la 15:

Asta e tot. Răspuns: x=12

Următoarele probleme le rezolvăm singuri. Notă: aceste probleme nu se bazează pe formule. Pur și simplu pentru a înțelege semnificația unei progresii aritmetice.) Scriem doar o serie de numere și litere, ne uităm și ne dăm seama.

5. Aflați primul termen pozitiv al progresiei aritmetice dacă a 5 = -3; d = 1,1.

6. Se știe că numărul 5,5 este membru al progresiei aritmetice (a n), unde a 1 = 1,6; d = 1,3. Determinați numărul n al acestui membru.

7. Se știe că în progresia aritmetică a 2 = 4; a 5 = 15,1. Găsiți un 3.

8. Se scriu mai mulți termeni consecutivi ai progresiei aritmetice:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Găsiți termenul progresiei indicat de litera x.

9. Trenul a început să se deplaseze din gară, crescând uniform viteza cu 30 de metri pe minut. Care va fi viteza trenului după cinci minute? Dati raspunsul in km/ora.

10. Se știe că în progresia aritmetică a 2 = 5; a 6 = -5. Găsiți un 1.

Răspunsuri (în dezordine): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

S-a rezolvat totul? Uimitor! Puteți stăpâni progresia aritmetică pentru mai mult nivel inalt, în lecțiile următoare.

Nu a mers totul? Nici o problemă. În Secțiunea Specială 555, toate aceste probleme sunt rezolvate bucată cu bucată.) Și, desigur, este descrisă o tehnică practică simplă care evidențiază imediat soluția la astfel de sarcini clar, clar, dintr-o privire!

Apropo, în puzzle-ul trenului există două probleme de care oamenii se poticnesc adesea. Unul este pur în termeni de progresie, iar al doilea este general pentru orice problemă de matematică și fizică. Aceasta este o traducere a dimensiunilor de la una la alta. Arată cum trebuie rezolvate aceste probleme.

În această lecție ne-am uitat la semnificația elementară a unei progresii aritmetice și principalii ei parametri. Acest lucru este suficient pentru a rezolva aproape toate problemele pe această temă. Adăuga d la numere, scrie o serie, totul se va rezolva.

Soluția cu degetul funcționează bine pentru bucăți foarte scurte dintr-un rând, ca în exemplele din acest tutorial. Dacă seria este mai lungă, calculele devin mai complicate. De exemplu, dacă în problema 9 din întrebare înlocuim "cinci minute" pe „treizeci și cinci de minute” problema se va agrava semnificativ.)

Și există și sarcini simple în esență, dar absurde în ceea ce privește calculele, de exemplu:

Este dată o progresie aritmetică (a n). Aflați un 121 dacă a 1 =3 și d=1/6.

Deci ce, vom adăuga 1/6 de multe, de multe ori?! Poți să te sinucizi!?

Puteți.) Dacă nu cunoașteți o formulă simplă prin care puteți rezolva astfel de sarcini într-un minut. Această formulă va fi în lecția următoare. Și acolo se rezolvă această problemă. Intr-un minut.)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.