Cum se rezolvă un sistem de ecuații cu o necunoscută. Exemple de sisteme de ecuații liniare: metoda soluției. Sistem de două ecuații liniare cu două variabile

Sistemele de ecuații sunt utilizate pe scară largă în sectorul economic pentru modelarea matematică a diferitelor procese. De exemplu, la rezolvarea problemelor de management și planificare a producției, rute logistice (problema de transport) sau amplasarea echipamentelor.

Sistemele de ecuații sunt utilizate nu numai în matematică, ci și în fizică, chimie și biologie, atunci când se rezolvă probleme de găsire a mărimii populației.

Un sistem de ecuații liniare este două sau mai multe ecuații cu mai multe variabile pentru care este necesar să se găsească o soluție comună. O astfel de succesiune de numere pentru care toate ecuațiile devin egalități adevărate sau dovedesc că șirul nu există.

Ecuație liniară

Ecuațiile de forma ax+by=c se numesc liniare. Denumirile x, y sunt necunoscutele a căror valoare trebuie găsită, b, a sunt coeficienții variabilelor, c este termenul liber al ecuației.
Rezolvarea unei ecuații prin reprezentarea ei va arăta ca o dreaptă, toate punctele care sunt soluții ale polinomului.

Tipuri de sisteme de ecuații liniare

Cele mai simple exemple sunt considerate a fi sisteme de ecuații liniare cu două variabile X și Y.

F1(x, y) = 0 și F2(x, y) = 0, unde F1,2 sunt funcții și (x, y) sunt variabile de funcție.

Rezolvarea sistemului de ecuații - aceasta înseamnă găsirea valorilor (x, y) la care sistemul se transformă într-o egalitate adevărată sau stabilirea faptului că valorile adecvate ale lui x și y nu există.

O pereche de valori (x, y), scrisă ca coordonatele unui punct, se numește soluție a unui sistem de ecuații liniare.

Dacă sistemele au o soluție comună sau nu există nicio soluție, ele se numesc echivalente.

Sistemele omogene de ecuații liniare sunt sisteme a căror latură dreaptă este egală cu zero. Dacă partea dreaptă după semnul egal are o valoare sau este exprimată printr-o funcție, un astfel de sistem este eterogen.

Numărul de variabile poate fi mult mai mare de două, atunci ar trebui să vorbim despre un exemplu de sistem de ecuații liniare cu trei sau mai multe variabile.

Când se confruntă cu sisteme, școlarii presupun că numărul de ecuații trebuie să coincidă în mod necesar cu numărul de necunoscute, dar nu este cazul. Numărul de ecuații din sistem nu depinde de variabile; pot fi oricâte dintre ele se dorește.

Metode simple și complexe de rezolvare a sistemelor de ecuații

Nu există o metodă analitică generală pentru rezolvarea unor astfel de sisteme; toate metodele se bazează pe soluții numerice. Cursul de matematică școlar descrie în detaliu metode precum permutarea, adunarea algebrică, substituția, precum și metodele grafice și matriceale, rezolvarea prin metoda Gauss.

Sarcina principală atunci când predați metode de soluție este de a învăța cum să analizați corect sistemul și să găsiți algoritmul optim de soluție pentru fiecare exemplu. Principalul lucru nu este să memorezi un sistem de reguli și acțiuni pentru fiecare metodă, ci să înțelegi principiile utilizării unei anumite metode.

Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare din programa de învățământ general de clasa a VII-a este destul de simplă și explicată în detaliu. În orice manual de matematică, acestei secțiuni i se acordă suficientă atenție. Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare folosind metoda Gauss și Cramer este studiată mai detaliat în primii ani de învățământ superior.

Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției

Acțiunile metodei substituției au ca scop exprimarea valorii unei variabile în termenii celei de-a doua. Expresia este substituită în ecuația rămasă, apoi este redusă la o formă cu o variabilă. Acțiunea se repetă în funcție de numărul de necunoscute din sistem

Să dăm o soluție unui exemplu de sistem de ecuații liniare din clasa 7 folosind metoda substituției:

După cum se poate observa din exemplu, variabila x a fost exprimată prin F(X) = 7 + Y. Expresia rezultată, substituită în ecuația a 2-a a sistemului în locul lui X, a ajutat la obținerea unei variabile Y în a doua ecuație. . Rezolvarea acestui exemplu este ușoară și vă permite să obțineți valoarea Y. Ultimul pas este verificarea valorilor obținute.

Nu este întotdeauna posibil să se rezolve un exemplu de sistem de ecuații liniare prin substituție. Ecuațiile pot fi complexe și exprimarea variabilei în termenii celei de-a doua necunoscute va fi prea greoaie pentru calcule ulterioare. Când există mai mult de 3 necunoscute în sistem, rezolvarea prin înlocuire este, de asemenea, inadecvată.

Rezolvarea unui exemplu de sistem de ecuații liniare neomogene:

Rezolvare folosind adunarea algebrică

Când se caută soluții pentru sisteme folosind metoda adunării, ecuațiile sunt adăugate termen cu termen și înmulțite cu diverse numere. Scopul final al operațiilor matematice este o ecuație într-o variabilă.

Aplicarea acestei metode necesită practică și observație. Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind metoda adunării atunci când există 3 sau mai multe variabile nu este ușoară. Adunarea algebrică este convenabilă de utilizat atunci când ecuațiile conțin fracții și zecimale.

Algoritm de rezolvare:

1. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu un anumit număr. Ca rezultat al operației aritmetice, unul dintre coeficienții variabilei ar trebui să devină egal cu 1.
2. Adăugați expresia rezultată termen cu termen și găsiți una dintre necunoscute.
3. Înlocuiți valoarea rezultată în a doua ecuație a sistemului pentru a găsi variabila rămasă.

Metoda de rezolvare prin introducerea unei noi variabile

O nouă variabilă poate fi introdusă dacă sistemul necesită găsirea unei soluții pentru nu mai mult de două ecuații; numărul de necunoscute ar trebui, de asemenea, să nu fie mai mare de două.

Metoda este folosită pentru a simplifica una dintre ecuații prin introducerea unei noi variabile. Noua ecuație este rezolvată pentru necunoscuta introdusă, iar valoarea rezultată este folosită pentru a determina variabila inițială.

Exemplul arată că prin introducerea unei noi variabile t, a fost posibilă reducerea primei ecuații a sistemului la un trinom pătratic standard. Puteți rezolva un polinom găsind discriminantul.

Este necesar să se afle valoarea discriminantului folosind formula binecunoscută: D = b2 - 4*a*c, unde D este discriminantul dorit, b, a, c sunt factorii polinomului. În exemplul dat, a=1, b=16, c=39, deci D=100. Dacă discriminantul este mai mare decât zero, atunci există două soluții: t = -b±√D / 2*a, dacă discriminantul este mai mic decât zero, atunci există o soluție: x = -b / 2*a.

Soluția pentru sistemele rezultate se găsește prin metoda adunării.

Metoda vizuală de rezolvare a sistemelor

Potrivit pentru sisteme cu 3 ecuații. Metoda constă în construirea graficelor fiecărei ecuații incluse în sistem pe axa de coordonate. Coordonatele punctelor de intersecție ale curbelor vor fi soluția generală a sistemului.

Metoda grafică are o serie de nuanțe. Să ne uităm la câteva exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare într-un mod vizual.

După cum se poate observa din exemplu, pentru fiecare linie s-au construit două puncte, valorile variabilei x au fost alese în mod arbitrar: 0 și 3. Pe baza valorilor lui x, s-au găsit valorile pentru y: 3 și 0. Punctele cu coordonatele (0, 3) și (3, 0) au fost marcate pe grafic și legate printr-o linie.

Pașii trebuie repetați pentru a doua ecuație. Punctul de intersecție al dreptelor este soluția sistemului.

Următorul exemplu necesită găsirea unei soluții grafice pentru un sistem de ecuații liniare: 0,5x-y+2=0 și 0,5x-y-1=0.

După cum se poate observa din exemplu, sistemul nu are soluție, deoarece graficele sunt paralele și nu se intersectează pe toată lungimea lor.

Sistemele din exemplele 2 și 3 sunt similare, dar atunci când sunt construite devine evident că soluțiile lor sunt diferite. Trebuie amintit că nu este întotdeauna posibil să spunem dacă un sistem are o soluție sau nu; este întotdeauna necesar să construiți un grafic.

Matricea și varietățile sale

Matricele sunt folosite pentru a scrie concis un sistem de ecuații liniare. O matrice este un tip special de tabel plin cu numere. n*m are n - rânduri și m - coloane.

O matrice este pătrată atunci când numărul de coloane și rânduri este egal. Un vector-matrice este o matrice de o coloană cu un număr infinit posibil de rânduri. O matrice cu unități de-a lungul uneia dintre diagonale și alte elemente zero se numește identitate.

O matrice inversă este o matrice atunci când este înmulțită cu care cea originală se transformă într-o matrice unitară; o astfel de matrice există doar pentru cea pătrată originală.

Reguli pentru transformarea unui sistem de ecuații într-o matrice

În raport cu sistemele de ecuații, coeficienții și termenii liberi ai ecuațiilor sunt scrise ca numere matriceale; o ecuație este un rând al matricei.

Se spune că un rând de matrice este diferit de zero dacă cel puțin un element al rândului nu este zero. Prin urmare, dacă în oricare dintre ecuații numărul de variabile diferă, atunci este necesar să introduceți zero în locul necunoscutului lipsă.

Coloanele matricei trebuie să corespundă strict variabilelor. Aceasta înseamnă că coeficienții variabilei x pot fi scriși doar într-o coloană, de exemplu prima, coeficientul necunoscutului y - doar în a doua.

La înmulțirea unei matrice, toate elementele matricei sunt înmulțite secvenţial cu un număr.

Opțiuni pentru găsirea matricei inverse

Formula pentru găsirea matricei inverse este destul de simplă: K -1 = 1 / |K|, unde K -1 este matricea inversă și |K| este determinantul matricei. |K| nu trebuie să fie egal cu zero, atunci sistemul are o soluție.

Determinantul este ușor de calculat pentru o matrice de două câte două; trebuie doar să înmulțiți elementele diagonale între ele. Pentru opțiunea „trei cu trei”, există o formulă |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Puteți folosi formula sau vă puteți aminti că trebuie să luați câte un element din fiecare rând și fiecare coloană, astfel încât numărul de coloane și rânduri de elemente să nu se repete în lucrare.

Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare folosind metoda matricei

Metoda matriceală de găsire a unei soluții vă permite să reduceți intrările greoaie atunci când rezolvați sisteme cu un număr mare de variabile și ecuații.

În exemplu, a nm sunt coeficienții ecuațiilor, matricea este un vector x n sunt variabile, iar b n sunt termeni liberi.

Rezolvarea sistemelor folosind metoda Gauss

În matematica superioară, metoda Gauss este studiată împreună cu metoda Cramer, iar procesul de găsire a soluțiilor sistemelor se numește metoda soluției Gauss-Cramer. Aceste metode sunt folosite pentru a găsi variabile ale sistemelor cu un număr mare de ecuații liniare.

Metoda Gauss este foarte asemănătoare cu soluțiile prin substituție și adunare algebrică, dar este mai sistematică. În cursul școlar, soluția prin metoda Gauss este utilizată pentru sistemele cu 3 și 4 ecuații. Scopul metodei este de a reduce sistemul la forma unui trapez inversat. Prin intermediul transformărilor și substituțiilor algebrice, valoarea unei variabile se găsește într-una din ecuațiile sistemului. A doua ecuație este o expresie cu 2 necunoscute, în timp ce 3 și 4 sunt, respectiv, cu 3 și 4 variabile.

După aducerea sistemului la forma descrisă, soluția ulterioară este redusă la înlocuirea secvențială a variabilelor cunoscute în ecuațiile sistemului.

În manualele școlare pentru clasa a 7-a, un exemplu de soluție prin metoda Gauss este descris după cum urmează:

După cum se poate observa din exemplu, la pasul (3) s-au obținut două ecuații: 3x 3 -2x 4 =11 și 3x 3 +2x 4 =7. Rezolvarea oricăreia dintre ecuații vă va permite să aflați una dintre variabilele x n.

Teorema 5, care este menționată în text, afirmă că dacă una dintre ecuațiile sistemului este înlocuită cu una echivalentă, atunci și sistemul rezultat va fi echivalent cu cel original.

Metoda Gaussiană este greu de înțeles de elevii de gimnaziu, dar este una dintre cele mai interesante modalități de a dezvolta ingeniozitatea copiilor înscriși la programele de învățare avansată la orele de matematică și fizică.

Pentru ușurința înregistrării, calculele se fac de obicei după cum urmează:

Coeficienții ecuațiilor și termenii liberi se scriu sub formă de matrice, unde fiecare rând al matricei corespunde uneia dintre ecuațiile sistemului. separă partea stângă a ecuației de dreapta. Numerele romane indică numerele de ecuații din sistem.

Mai întâi notează matricea cu care se lucrează, apoi toate acțiunile efectuate cu unul dintre rânduri. Matricea rezultată se scrie după semnul „săgeată” și se continuă operațiile algebrice necesare până la obținerea rezultatului.

Rezultatul ar trebui să fie o matrice în care una dintre diagonale este egală cu 1 și toți ceilalți coeficienți sunt egali cu zero, adică matricea este redusă la o formă unitară. Nu trebuie să uităm să facem calcule cu numere de ambele părți ale ecuației.

Această metodă de înregistrare este mai puțin greoaie și vă permite să nu fiți distras prin enumerarea numeroaselor necunoscute.

Utilizarea gratuită a oricărei metode de soluție va necesita îngrijire și ceva experiență. Nu toate metodele sunt de natură aplicată. Unele metode de găsire a soluțiilor sunt mai de preferat într-un anumit domeniu al activității umane, în timp ce altele există în scopuri educaționale.

Mai fiabilă decât metoda grafică discutată în paragraful anterior.

Metoda de înlocuire

Am folosit această metodă în clasa a VII-a pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare. Algoritmul care a fost dezvoltat în clasa a VII-a este destul de potrivit pentru rezolvarea sistemelor de oricare două ecuații (nu neapărat liniare) cu două variabile x și y (desigur, variabilele pot fi desemnate cu alte litere, ceea ce nu contează). De fapt, am folosit acest algoritm în paragraful anterior, când problema unui număr de două cifre a condus la un model matematic, care este un sistem de ecuații. Am rezolvat mai sus acest sistem de ecuații folosind metoda substituției (vezi exemplul 1 din § 4).

Un algoritm pentru utilizarea metodei substituției la rezolvarea unui sistem de două ecuații cu două variabile x, y.

1. Exprimați y în termeni de x dintr-o ecuație a sistemului.
2. Înlocuiți expresia rezultată în loc de y într-o altă ecuație a sistemului.
3. Rezolvați ecuația rezultată pentru x.
4. Înlocuiți pe rând fiecare dintre rădăcinile ecuației găsite în a treia etapă în loc de x în expresia de la y la x obținută în prima etapă.
5. Scrieți răspunsul sub formă de perechi de valori (x; y), care au fost găsite în pasul al treilea, respectiv al patrulea.

4) Înlocuiți una câte una fiecare dintre valorile găsite ale lui y în formula x = 5 - 3. Daca atunci
5) Perechi (2; 1) și soluții ale unui sistem dat de ecuații.

Răspuns: (2; 1);

Metoda adunării algebrice

Această metodă, ca și metoda substituției, vă este familiară de la cursul de algebră de clasa a VII-a, unde a fost folosită pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Să ne amintim esența metodei folosind următorul exemplu.

Exemplul 2. Rezolvarea sistemului de ecuații

Să înmulțim toți termenii primei ecuații a sistemului cu 3 și să lăsăm a doua ecuație neschimbată:
Scădeți a doua ecuație a sistemului din prima sa ecuație:

Ca rezultat al adunării algebrice a două ecuații ale sistemului original, s-a obținut o ecuație mai simplă decât prima și a doua ecuație a sistemului dat. Cu această ecuație mai simplă avem dreptul de a înlocui orice ecuație a unui sistem dat, de exemplu pe a doua. Apoi sistemul de ecuații dat va fi înlocuit cu un sistem mai simplu:

Acest sistem poate fi rezolvat folosind metoda substituției. Din a doua ecuație găsim. Înlocuind această expresie în loc de y în prima ecuație a sistemului, obținem

Rămâne să înlocuiți valorile găsite ale lui x în formulă

Dacă x = 2 atunci

Astfel, am găsit două soluții la sistem:

Metoda de introducere a noilor variabile

Ai fost introdus în metoda introducerii unei noi variabile la rezolvarea ecuațiilor raționale cu o variabilă la cursul de algebră de clasa a VIII-a. Esența acestei metode de rezolvare a sistemelor de ecuații este aceeași, dar din punct de vedere tehnic există câteva caracteristici pe care le vom discuta în exemplele următoare.

Exemplul 3. Rezolvarea sistemului de ecuații

Să introducem o nouă variabilă.Atunci prima ecuație a sistemului poate fi rescrisă într-o formă mai simplă: Să rezolvăm această ecuație în raport cu variabila t:

Ambele valori satisfac condiția și, prin urmare, sunt rădăcinile unei ecuații raționale cu variabila t. Dar asta înseamnă fie unde găsim că x = 2y, fie
Astfel, folosind metoda introducerii unei noi variabile, am reușit să „stratificăm” prima ecuație a sistemului, care era destul de complexă în aparență, în două ecuații mai simple:

x = 2 y; y - 2x.

Ce urmeaza? Și atunci fiecare dintre cele două ecuații simple obținute trebuie considerată pe rând într-un sistem cu ecuația x 2 - y 2 = 3, pe care încă nu ne-am amintit. Cu alte cuvinte, problema se rezumă la rezolvarea a două sisteme de ecuații:

Trebuie să găsim soluții pentru primul sistem, al doilea sistem și să includem toate perechile de valori rezultate în răspuns. Să rezolvăm primul sistem de ecuații:

Să folosim metoda substituției, mai ales că totul este gata pentru asta aici: să substituim expresia 2y în loc de x în a doua ecuație a sistemului. Primim

Deoarece x = 2y, găsim, respectiv, x 1 = 2, x 2 = 2. Astfel, se obțin două soluții ale sistemului dat: (2; 1) și (-2; -1). Să rezolvăm al doilea sistem de ecuații:

Să folosim din nou metoda substituției: înlocuiți expresia 2x în loc de y în a doua ecuație a sistemului. Primim

Această ecuație nu are rădăcini, ceea ce înseamnă că sistemul de ecuații nu are soluții. Astfel, doar soluțiile primului sistem trebuie incluse în răspuns.

Răspuns: (2; 1); (-2;-1).

Metoda introducerii de noi variabile la rezolvarea sistemelor de două ecuații cu două variabile este utilizată în două versiuni. Prima opțiune: o nouă variabilă este introdusă și utilizată într-o singură ecuație a sistemului. Este exact ceea ce sa întâmplat în exemplul 3. A doua opțiune: două variabile noi sunt introduse și utilizate simultan în ambele ecuații ale sistemului. Acesta va fi cazul în exemplul 4.

Exemplul 4. Rezolvarea sistemului de ecuații

Să introducem două variabile noi:

Să luăm în calcul atunci

Acest lucru vă va permite să rescrieți sistemul dat într-o formă mult mai simplă, dar cu privire la noile variabile a și b:

Deoarece a = 1, atunci din ecuația a + 6 = 2 găsim: 1 + 6 = 2; 6=1. Astfel, în ceea ce privește variabilele a și b, avem o soluție:

Revenind la variabilele x și y, obținem un sistem de ecuații

Să aplicăm metoda adunării algebrice pentru a rezolva acest sistem:

De atunci din ecuația 2x + y = 3 găsim:
Astfel, în ceea ce privește variabilele x și y, avem o soluție:

Să încheiem acest paragraf cu o discuție teoretică scurtă, dar destul de serioasă. Ai acumulat deja ceva experiență în rezolvarea diverselor ecuații: liniare, pătratice, raționale, iraționale. Știți că ideea principală a rezolvării unei ecuații este trecerea treptat de la o ecuație la alta, mai simplă, dar echivalentă cu cea dată. În paragraful anterior am introdus conceptul de echivalență pentru ecuațiile cu două variabile. Acest concept este folosit și pentru sistemele de ecuații.

Definiție.

Două sisteme de ecuații cu variabile x și y se numesc echivalente dacă au aceleași soluții sau dacă ambele sisteme nu au soluții.

Toate cele trei metode (substituție, adunare algebrică și introducere de noi variabile) pe care le-am discutat în această secțiune sunt absolut corecte din punct de vedere al echivalenței. Cu alte cuvinte, folosind aceste metode, înlocuim un sistem de ecuații cu altul, mai simplu, dar echivalent cu sistemul original.

Metoda grafica de rezolvare a sistemelor de ecuatii

Am învățat deja cum să rezolvăm sisteme de ecuații în moduri atât de comune și de încredere, cum ar fi metoda de substituție, adunarea algebrică și introducerea de noi variabile. Acum să ne amintim metoda pe care ați studiat-o deja în lecția anterioară. Adică să repetăm ​​ceea ce știi despre metoda soluției grafice.

Metoda de rezolvare grafică a sistemelor de ecuații presupune construirea unui grafic pentru fiecare dintre ecuațiile specifice care sunt incluse într-un sistem dat și sunt situate în același plan de coordonate, precum și acolo unde este necesar să se găsească intersecțiile punctelor acestora. grafice. Pentru a rezolva acest sistem de ecuații sunt coordonatele acestui punct (x; y).

Trebuie amintit că este obișnuit ca un sistem grafic de ecuații să aibă fie o singură soluție corectă, fie un număr infinit de soluții, fie să nu aibă deloc soluții.

Acum să ne uităm la fiecare dintre aceste soluții mai detaliat. Și astfel, un sistem de ecuații poate avea o soluție unică dacă liniile care sunt graficele ecuațiilor sistemului se intersectează. Dacă aceste drepte sunt paralele, atunci un astfel de sistem de ecuații nu are absolut nicio soluție. Dacă graficele directe ale ecuațiilor sistemului coincid, atunci un astfel de sistem permite găsirea mai multor soluții.

Ei bine, acum să ne uităm la algoritmul pentru rezolvarea unui sistem de două ecuații cu 2 necunoscute folosind o metodă grafică:

În primul rând, construim mai întâi un grafic al primei ecuații;
Al doilea pas va fi construirea unui grafic care se referă la a doua ecuație;
În al treilea rând, trebuie să găsim punctele de intersecție ale graficelor.
Și, ca rezultat, obținem coordonatele fiecărui punct de intersecție, care va fi soluția sistemului de ecuații.

Să ne uităm la această metodă mai detaliat folosind un exemplu. Ni se oferă un sistem de ecuații care trebuie rezolvat:

Rezolvarea ecuațiilor

1. Mai întâi, vom construi un grafic al acestei ecuații: x2+y2=9.

Dar trebuie remarcat faptul că acest grafic al ecuațiilor va fi un cerc cu un centru la origine, iar raza lui va fi egală cu trei.

2. Următorul nostru pas va fi reprezentarea grafică a unei ecuații precum: y = x – 3.

În acest caz, trebuie să construim o dreaptă și să găsim punctele (0;−3) și (3;0).

3. Să vedem ce avem. Vedem că linia dreaptă intersectează cercul în două dintre punctele sale A și B.

Acum căutăm coordonatele acestor puncte. Vedem că coordonatele (3;0) corespund punctului A, iar coordonatele (0;−3) corespund punctului B.

Și ce obținem ca rezultat?

Numerele (3;0) și (0;−3) obținute atunci când linia intersectează cercul sunt tocmai soluțiile ambelor ecuații ale sistemului. Și de aici rezultă că aceste numere sunt și soluții ale acestui sistem de ecuații.

Adică, răspunsul la această soluție este numerele: (3;0) și (0;−3).

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea organismelor guvernamentale din Federația Rusă - să vă dezvăluiți informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

De obicei, ecuațiile sistemului sunt scrise într-o coloană una sub alta și combinate cu o acoladă.

Un sistem de ecuații de acest tip, unde a, b, c- numere și X y- se numesc variabile sistem de ecuații liniare.

La rezolvarea unui sistem de ecuații se folosesc proprietăți valabile pentru rezolvarea ecuațiilor.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind metoda substituției

Să ne uităm la un exemplu

1) Exprimați variabila într-una dintre ecuații. De exemplu, să ne exprimăm yîn prima ecuație, obținem sistemul:

2) Înlocuiți în a doua ecuație a sistemului în loc de y expresie 3x-7:

3) Rezolvați a doua ecuație rezultată:

4) Înlocuim soluția rezultată în prima ecuație a sistemului:

Un sistem de ecuații are o soluție unică: o pereche de numere x=1, y=-4. Răspuns: (1; -4) , scrisă între paranteze, în prima poziţie valoarea X, Pe a doua - y.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare prin adunare

Să rezolvăm sistemul de ecuații din exemplul anterior metoda de adăugare.

1) Transformați sistemul astfel încât coeficienții uneia dintre variabile să devină opuși. Să înmulțim prima ecuație a sistemului cu „3”.

2) Adăugați ecuațiile sistemului termen cu termen. Rescriem a doua ecuație a sistemului (orice) fără modificări.

3) Înlocuim soluția rezultată în prima ecuație a sistemului:

Rezolvarea grafică a unui sistem de ecuații liniare

Rezolvarea grafică a unui sistem de ecuații cu două variabile se rezumă la găsirea coordonatelor punctelor comune ale graficelor ecuațiilor.

Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă. Două drepte dintr-un plan se pot intersecta într-un punct, pot fi paralele sau pot coincide. În consecință, un sistem de ecuații poate: a) avea o soluție unică; b) nu au soluții; c) au un număr infinit de soluții.

2) Soluția sistemului de ecuații este punctul (dacă ecuațiile sunt liniare) de intersecție a graficelor.

Soluția grafică a sistemului

Metoda de introducere a noilor variabile

Schimbarea variabilelor poate duce la rezolvarea unui sistem de ecuații mai simplu decât cel original.

Luați în considerare soluția sistemului

Să introducem înlocuitorul, atunci

Să trecem la variabilele inițiale

Cazuri speciale

Fără a rezolva un sistem de ecuații liniare, puteți determina numărul soluțiilor sale din coeficienții variabilelor corespunzătoare.

Conținutul lecției

Ecuații liniare în două variabile

Un școlar are 200 de ruble pentru a mânca prânzul la școală. Un tort costă 25 de ruble, iar o ceașcă de cafea costă 10 ruble. Câte prăjituri și cești de cafea poți cumpăra cu 200 de ruble?

Să notăm numărul de prăjituri cu X, și numărul de cești de cafea prin y. Apoi costul prăjiturii va fi notat cu expresia 25 X, iar costul ceștilor de cafea în 10 y .

25X- Preț X prăjituri
10y — Preț y cesti de cafea

Suma totală ar trebui să fie de 200 de ruble. Apoi obținem o ecuație cu două variabile XȘi y

25X+ 10y= 200

Câte rădăcini are această ecuație?

Totul depinde de apetitul elevului. Dacă cumpără 6 prăjituri și 5 căni de cafea, atunci rădăcinile ecuației vor fi numerele 6 și 5.

Se spune că perechea de valori 6 și 5 este rădăcinile ecuației 25 X+ 10y= 200 . Scris ca (6; 5), primul număr fiind valoarea variabilei X, iar al doilea - valoarea variabilei y .

6 și 5 nu sunt singurele rădăcini care inversează ecuația 25 X+ 10y= 200 la identitate. Dacă doriți, pentru aceleași 200 de ruble un student poate cumpăra 4 prăjituri și 10 căni de cafea:

În acest caz, rădăcinile ecuației 25 X+ 10y= 200 este o pereche de valori (4; 10).

În plus, un școlar poate să nu cumpere cafea deloc, ci să cumpere prăjituri pentru toate cele 200 de ruble. Apoi rădăcinile ecuației 25 X+ 10y= 200 vor fi valorile 8 și 0

Sau invers, nu cumpărați prăjituri, ci cumpărați cafea pentru toate cele 200 de ruble. Apoi rădăcinile ecuației 25 X+ 10y= 200 valorile vor fi 0 și 20

Să încercăm să enumerăm toate rădăcinile posibile ale ecuației 25 X+ 10y= 200 . Să fim de acord că valorile XȘi y aparțin mulțimii numerelor întregi. Și să fie aceste valori mai mari sau egale cu zero:

X∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Acest lucru va fi convenabil pentru student însuși. Este mai convenabil să cumpărați prăjituri întregi decât, de exemplu, mai multe prăjituri întregi și o jumătate de prăjitură. De asemenea, este mai convenabil să luați cafeaua în căni întregi decât, de exemplu, mai multe căni întregi și o jumătate de ceașcă.

Rețineți că pentru ciudat X este imposibil să se realizeze egalitatea sub nicio formă y. Apoi valorile X următoarele numere vor fi 0, 2, 4, 6, 8. Și știind X poate fi ușor de determinat y

Astfel, am primit următoarele perechi de valori (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Aceste perechi sunt soluții sau rădăcini ale ecuației 25 X+ 10y= 200. Ei transformă această ecuație într-o identitate.

Ecuația formei ax + by = c numit ecuație liniară cu două variabile. Soluția sau rădăcinile acestei ecuații sunt o pereche de valori ( X; y), care o transformă în identitate.

De asemenea, rețineți că dacă o ecuație liniară cu două variabile este scrisă sub formă ax + b y = c , apoi spun că este scris în canonic formă (normală).

Unele ecuații liniare în două variabile pot fi reduse la formă canonică.

De exemplu, ecuația 2(16X+ 3y − 4) = 2(12 + 8X − y) poate fi adus în minte ax + by = c. Să deschidem parantezele de pe ambele părți ale acestei ecuații și să obținem 32X + 6y − 8 = 24 + 16X − 2y . Grupăm termeni care conțin necunoscute în partea stângă a ecuației și termeni fără necunoscute - în dreapta. Apoi primim 32x− 16X+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Prezentăm termeni similari în ambele părți, obținem ecuația 16 X+ 8y= 32. Această ecuație se reduce la forma ax + by = cși este canonică.

Ecuația 25 discutată mai devreme X+ 10y= 200 este, de asemenea, o ecuație liniară cu două variabile în formă canonică. În această ecuație parametrii A , bȘi c sunt egale cu valorile 25, 10 și, respectiv, 200.

De fapt, ecuația ax + by = c are nenumarate solutii. Rezolvarea ecuației 25X+ 10y= 200, am căutat rădăcinile sale doar pe mulțimea numerelor întregi. Drept urmare, am obținut mai multe perechi de valori care au transformat această ecuație într-o identitate. Dar pe mulțimea numerelor raționale, ecuația 25 X+ 10y= 200 va avea infinit de soluții.

Pentru a obține perechi noi de valori, trebuie să luați o valoare arbitrară pentru X, apoi exprima y. De exemplu, să luăm pentru variabilă X valoarea 7. Apoi obținem o ecuație cu o variabilă 25×7 + 10y= 200 în care se poate exprima y

Lăsa X= 15. Apoi ecuația 25X+ 10y= 200 devine 25 × 15 + 10y= 200. De aici aflăm că y = −17,5

Lăsa X= −3 . Apoi ecuația 25X+ 10y= 200 devine 25 × (−3) + 10y= 200. De aici aflăm că y = −27,5

Sistem de două ecuații liniare cu două variabile

Pentru ecuație ax + by = c puteți lua valori arbitrare de câte ori doriți Xși găsiți valori pentru y. Luată separat, o astfel de ecuație va avea nenumărate soluții.

Dar se întâmplă și ca variabilele XȘi y legate nu de una, ci de două ecuații. În acest caz ele formează așa-numitele sistem de ecuații liniare în două variabile. Un astfel de sistem de ecuații poate avea o pereche de valori (sau cu alte cuvinte: „o soluție”).

De asemenea, se poate întâmpla ca sistemul să nu aibă deloc soluții. Un sistem de ecuații liniare poate avea nenumărate soluții în cazuri rare și excepționale.

Două ecuații liniare formează un sistem atunci când valorile XȘi y intră în fiecare dintre aceste ecuații.

Să revenim la prima ecuație 25 X+ 10y= 200 . Una dintre perechile de valori pentru această ecuație a fost perechea (6; 5) . Acesta este cazul în care pentru 200 de ruble puteai cumpăra 6 prăjituri și 5 căni de cafea.

Să formulăm problema astfel încât perechea (6; 5) să devină singura soluție pentru ecuația 25 X+ 10y= 200 . Pentru a face acest lucru, să creăm o altă ecuație care să conecteze la fel X prajituri si y cesti de cafea.

Să prezentăm textul problemei după cum urmează:

„Studentul a cumpărat mai multe prăjituri și câteva cești de cafea pentru 200 de ruble. Un tort costă 25 de ruble, iar o ceașcă de cafea costă 10 ruble. Câte prăjituri și cești de cafea a cumpărat elevul dacă se știe că numărul de prăjituri este cu o unitate mai mare decât numărul de cești de cafea?

Avem deja prima ecuație. Aceasta este ecuația 25 X+ 10y= 200 . Acum să creăm o ecuație pentru condiție „numărul de prăjituri este cu o unitate mai mare decât numărul de cești de cafea” .

Numărul de prăjituri este X, iar numărul de cești de cafea este y. Puteți scrie această expresie folosind ecuația x−y= 1. Această ecuație va însemna că diferența dintre prăjituri și cafea este 1.

x = y+ 1 . Această ecuație înseamnă că numărul de prăjituri este cu unul mai mult decât numărul de cești de cafea. Prin urmare, pentru a obține egalitate, la numărul de cești de cafea se adaugă una. Acest lucru poate fi ușor de înțeles dacă folosim modelul de scale pe care l-am luat în considerare atunci când studiem cele mai simple probleme:

Avem două ecuații: 25 X+ 10y= 200 și x = y+ 1. Deoarece valorile XȘi y, și anume 6 și 5 sunt incluse în fiecare dintre aceste ecuații, apoi împreună formează un sistem. Să scriem acest sistem. Dacă ecuațiile formează un sistem, atunci ele sunt încadrate de semnul sistemului. Simbolul sistemului este o acoladă:

Să rezolvăm acest sistem. Acest lucru ne va permite să vedem cum ajungem la valorile 6 și 5. Există multe metode de rezolvare a unor astfel de sisteme. Să ne uităm la cele mai populare dintre ele.

Metoda de înlocuire

Numele acestei metode vorbește de la sine. Esența sa este de a substitui o ecuație în alta, după ce a exprimat anterior una dintre variabile.

În sistemul nostru, nimic nu trebuie exprimat. În a doua ecuație X = y+ 1 variabilă X deja exprimat. Această variabilă este egală cu expresia y+ 1 . Apoi puteți înlocui această expresie în prima ecuație în loc de variabilă X

După înlocuirea expresiei y+ 1 în prima ecuație X, obținem ecuația 25(y+ 1) + 10y= 200 . Aceasta este o ecuație liniară cu o variabilă. Această ecuație este destul de ușor de rezolvat:

Am găsit valoarea variabilei y. Acum să înlocuim această valoare într-una dintre ecuații și să găsim valoarea X. Pentru aceasta este convenabil să folosiți a doua ecuație X = y+ 1 . Să înlocuim valoarea în ea y

Aceasta înseamnă că perechea (6; 5) este o soluție a sistemului de ecuații, așa cum ne-am propus. Verificăm și ne asigurăm că perechea (6; 5) satisface sistemul:

Exemplul 2

Să înlocuim prima ecuație X= 2 + yîn a doua ecuație 3 x− 2y= 9. În prima ecuaţie variabila X egală cu expresia 2 + y. Să înlocuim această expresie în a doua ecuație în loc de X

Acum să găsim valoarea X. Pentru a face acest lucru, să înlocuim valoarea yîn prima ecuație X= 2 + y

Aceasta înseamnă că soluția sistemului este valoarea perechii (5; 3)

Exemplul 3. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda substituției:

Aici, spre deosebire de exemplele anterioare, una dintre variabile nu este exprimată în mod explicit.

Pentru a înlocui o ecuație în alta, mai întâi aveți nevoie de .

Este indicat să exprimați variabila care are un coeficient de unu. Variabila are un coeficient de unu X, care este cuprinsă în prima ecuație X+ 2y= 11. Să exprimăm această variabilă.

După exprimarea variabilă X, sistemul nostru va lua următoarea formă:

Acum să înlocuim prima ecuație în a doua și să găsim valoarea y

Să înlocuim y X

Aceasta înseamnă că soluția sistemului este o pereche de valori (3; 4)

Desigur, puteți exprima și o variabilă y. Acest lucru nu va schimba rădăcinile. Dar dacă exprimi y, Rezultatul nu este o ecuație foarte simplă, care va dura mai mult timp pentru rezolvare. Va arăta astfel:

Vedem că în acest exemplu ne exprimăm X mult mai convenabil decât exprimarea y .

Exemplul 4. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda substituției:

Să exprimăm în prima ecuație X. Apoi sistemul va lua forma:

y

Să înlocuim yîn prima ecuație și găsiți X. Puteți folosi ecuația originală 7 X+ 9y= 8, sau utilizați ecuația în care este exprimată variabila X. Vom folosi această ecuație pentru că este convenabilă:

Aceasta înseamnă că soluția sistemului este o pereche de valori (5; -3)

Metoda de adunare

Metoda adunării constă în adăugarea ecuațiilor incluse în sistem termen cu termen. Această adăugare are ca rezultat o nouă ecuație cu o variabilă. Și rezolvarea unei astfel de ecuații este destul de simplă.

Să rezolvăm următorul sistem de ecuații:

Să adăugăm partea stângă a primei ecuații cu partea stângă a celei de-a doua ecuații. Și partea dreaptă a primei ecuații cu partea dreaptă a celei de-a doua ecuații. Obținem următoarea egalitate:

Să ne uităm la termeni similari:

Ca rezultat, am obținut cea mai simplă ecuație 3 X= 27 a cărui rădăcină este 9. Cunoscând valoarea X puteți găsi valoarea y. Să înlocuim valoarea Xîn a doua ecuație x−y= 3 . Obținem 9 − y= 3 . De aici y= 6 .

Aceasta înseamnă că soluția sistemului este o pereche de valori (9; 6)

Exemplul 2

Să adăugăm partea stângă a primei ecuații cu partea stângă a celei de-a doua ecuații. Și partea dreaptă a primei ecuații cu partea dreaptă a celei de-a doua ecuații. În egalitatea rezultată prezentăm termeni similari:

Ca rezultat, am obținut cea mai simplă ecuație 5 X= 20, a cărui rădăcină este 4. Cunoscând valoarea X puteți găsi valoarea y. Să înlocuim valoarea Xîn prima ecuație 2 x+y= 11. Să obținem 8+ y= 11. De aici y= 3 .

Aceasta înseamnă că soluția sistemului este o pereche de valori (4;3)

Procesul de adăugare nu este descris în detaliu. Trebuie făcut mental. Când se adună, ambele ecuații trebuie reduse la formă canonică. Adică ac + prin = c .

Din exemplele luate în considerare, este clar că scopul principal al adunării ecuațiilor este acela de a scăpa de una dintre variabile. Dar nu este întotdeauna posibil să se rezolve imediat un sistem de ecuații folosind metoda adunării. Cel mai adesea, sistemul este adus mai întâi într-o formă în care se pot adăuga ecuațiile incluse în acest sistem.

De exemplu, sistemul poate fi rezolvată imediat prin adăugare. Când se adună ambele ecuații, termenii yȘi −y vor dispărea deoarece suma lor este zero. Ca rezultat, se formează cea mai simplă ecuație 11 X= 22, a cărui rădăcină este 2. Apoi se va putea determina y egal cu 5.

Și sistemul de ecuații Metoda de adăugare nu poate fi rezolvată imediat, deoarece aceasta nu va duce la dispariția uneia dintre variabile. Adunarea va duce la ecuația 8 X+ y= 28, care are un număr infinit de soluții.

Dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite sau împărțite cu același număr, diferit de zero, obțineți o ecuație echivalentă cu cea dată. Această regulă este valabilă și pentru un sistem de ecuații liniare cu două variabile. Una dintre ecuații (sau ambele ecuații) poate fi înmulțită cu orice număr. Rezultatul va fi un sistem echivalent, ale cărui rădăcini vor coincide cu cel anterior.

Să revenim la primul sistem, care descria câte prăjituri și cești de cafea a cumpărat un școlar. Soluția acestui sistem a fost o pereche de valori (6; 5).

Să înmulțim ambele ecuații incluse în acest sistem cu câteva numere. Să presupunem că înmulțim prima ecuație cu 2 și a doua cu 3

Ca rezultat, am primit un sistem
Soluția acestui sistem este încă perechea de valori (6; 5)

Aceasta înseamnă că ecuațiile incluse în sistem pot fi reduse la o formă adecvată pentru aplicarea metodei de adunare.

Să revenim la sistem , pe care nu le-am putut rezolva folosind metoda adunării.

Înmulțiți prima ecuație cu 6, iar a doua cu −2

Apoi obținem următorul sistem:

Să adunăm ecuațiile incluse în acest sistem. Adăugarea componentelor 12 Xși −12 X va rezulta 0, adunare 18 yși 4 y va da 22 y, iar adunând 108 și −20 dăm 88. Apoi obținem ecuația 22 y= 88, de aici y = 4 .

Dacă la început este greu să adaugi ecuații în capul tău, atunci poți scrie cum se adună partea stângă a primei ecuații cu partea stângă a celei de-a doua ecuații și partea dreaptă a primei ecuații cu partea dreaptă a ecuației. a doua ecuație:

Știind că valoarea variabilei y este egal cu 4, puteți găsi valoarea X. Să înlocuim yîntr-una dintre ecuații, de exemplu în prima ecuație 2 X+ 3y= 18. Apoi obținem o ecuație cu o variabilă 2 X+ 12 = 18. Să trecem cu 12 în partea dreaptă, schimbând semnul, obținem 2 X= 6, de aici X = 3 .

Exemplul 4. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda adunării:

Să înmulțim a doua ecuație cu −1. Apoi sistemul va lua următoarea formă:

Să adăugăm ambele ecuații. Adăugarea componentelor XȘi −x va rezulta 0, adunare 5 yși 3 y va da 8 y, iar adunând 7 și 1 rezultă 8. Rezultatul este ecuația 8 y= 8 a cărui rădăcină este 1. Știind că valoarea y este egal cu 1, puteți găsi valoarea X .

Să înlocuim yîn prima ecuație, obținem X+ 5 = 7, prin urmare X= 2

Exemplul 5. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda adunării:

Este de dorit ca termenii care conțin aceleași variabile să fie situați unul sub celălalt. Prin urmare, în a doua ecuație termenii 5 yși −2 X Să facem schimb de locuri. Ca urmare, sistemul va lua forma:

Să înmulțim a doua ecuație cu 3. Apoi sistemul va lua forma:

Acum să adăugăm ambele ecuații. Ca rezultat al adunării obținem ecuația 8 y= 16, a cărui rădăcină este 2.

Să înlocuim yîn prima ecuație, obținem 6 X− 14 = 40. Să mutăm termenul -14 în partea dreaptă, schimbând semnul și obținem 6 X= 54 . De aici X= 9.

Exemplul 6. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda adunării:

Să scăpăm de fracții. Înmulțiți prima ecuație cu 36 și a doua cu 12

În sistemul rezultat prima ecuație poate fi înmulțită cu −5, iar a doua cu 8

Să adunăm ecuațiile din sistemul rezultat. Apoi obținem cea mai simplă ecuație −13 y= −156 . De aici y= 12. Să înlocuim yîn prima ecuație și găsiți X

Exemplul 7. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda adunării:

Să aducem ambele ecuații la forma normală. Aici este convenabil să se aplice regula proporției în ambele ecuații. Dacă în prima ecuație partea dreaptă este reprezentată ca , iar partea dreaptă a celei de-a doua ecuații ca , atunci sistemul va lua forma:

Avem o proporție. Să-i înmulțim termenii extremi și medii. Apoi sistemul va lua forma:

Să înmulțim prima ecuație cu −3 și să deschidem parantezele din a doua:

Acum să adăugăm ambele ecuații. Ca rezultat al adunării acestor ecuații, obținem o egalitate cu zero pe ambele părți:

Se dovedește că sistemul are nenumărate soluții.

Dar nu putem doar să luăm valori arbitrare din cer pentru XȘi y. Putem specifica una dintre valori, iar cealalta va fi determinata in functie de valoarea pe care o specificam. De exemplu, lasa X= 2 . Să înlocuim această valoare în sistem:

Ca urmare a rezolvării uneia dintre ecuații, valoarea pt y, care va satisface ambele ecuații:

Perechea de valori rezultată (2; −2) va satisface sistemul:

Să găsim o altă pereche de valori. Lăsa X= 4. Să substituim această valoare în sistem:

Puteți spune cu ochii că valoarea y este egal cu zero. Apoi obținem o pereche de valori (4; 0) care ne satisface sistemul:

Exemplul 8. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda adunării:

Înmulțiți prima ecuație cu 6 și a doua cu 12

Să rescriem ce a mai rămas:

Să înmulțim prima ecuație cu −1. Apoi sistemul va lua forma:

Acum să adăugăm ambele ecuații. Ca rezultat al adunării, se formează ecuația 6 b= 48, a cărui rădăcină este 8. Înlocuiește bîn prima ecuație și găsiți A

Sistem de ecuații liniare cu trei variabile

O ecuație liniară cu trei variabile include trei variabile cu coeficienți, precum și un termen de interceptare. În formă canonică se poate scrie după cum urmează:

ax + by + cz = d

Această ecuație are nenumărate soluții. Dând două variabile valori diferite, poate fi găsită o a treia valoare. Soluția în acest caz este un triplu de valori ( X; y; z) care transformă ecuația într-o identitate.

Dacă variabilele x, y, z sunt interconectate prin trei ecuații, apoi se formează un sistem de trei ecuații liniare cu trei variabile. Pentru a rezolva un astfel de sistem, puteți folosi aceleași metode care se aplică ecuațiilor liniare cu două variabile: metoda substituției și metoda adunării.

Exemplul 1. Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda substituției:

Să exprimăm în a treia ecuație X. Apoi sistemul va lua forma:

Acum să facem înlocuirea. Variabil X este egală cu expresia 3 − 2y − 2z . Să substituim această expresie în prima și a doua ecuație:

Să deschidem parantezele în ambele ecuații și să prezentăm termeni similari:

Am ajuns la un sistem de ecuații liniare cu două variabile. În acest caz, este convenabil să utilizați metoda de adăugare. Ca urmare, variabila y va dispărea și putem găsi valoarea variabilei z

Acum să găsim valoarea y. Pentru a face acest lucru, este convenabil să folosiți ecuația − y+ z= 4. Înlocuiți valoarea în ea z

Acum să găsim valoarea X. Pentru a face acest lucru, este convenabil să utilizați ecuația X= 3 − 2y − 2z . Să înlocuim valorile în el yȘi z

Astfel, triplul valorilor (3; −2; 2) este o soluție pentru sistemul nostru. Prin verificare, ne asigurăm că aceste valori satisfac sistemul:

Exemplul 2. Rezolvați sistemul folosind metoda adunării

Să adunăm prima ecuație cu a doua, înmulțită cu −2.

Dacă a doua ecuație este înmulțită cu −2, ea ia forma −6X+ 6y − 4z = −4 . Acum să o adăugăm la prima ecuație:

Vedem că în urma transformărilor elementare s-a determinat valoarea variabilei X. Este egal cu unu.

Să revenim la sistemul principal. Să adunăm a doua ecuație cu a treia, înmulțită cu −1. Dacă a treia ecuație este înmulțită cu −1, ea ia forma −4X + 5y − 2z = −1 . Acum să o adăugăm la a doua ecuație:

Am primit ecuația x− 2y= −1 . Să înlocuim valoarea în ea X pe care le-am găsit mai devreme. Apoi putem determina valoarea y

Acum știm semnificațiile XȘi y. Acest lucru vă permite să determinați valoarea z. Să folosim una dintre ecuațiile incluse în sistem:

Astfel, triplul valorilor (1; 1; 1) este soluția sistemului nostru. Prin verificare, ne asigurăm că aceste valori satisfac sistemul:

Probleme de compunere a sistemelor de ecuații liniare

Sarcina alcătuirii sistemelor de ecuații se rezolvă prin introducerea mai multor variabile. În continuare, ecuațiile sunt compilate pe baza condițiilor problemei. Din ecuațiile compilate formează un sistem și îl rezolvă. După rezolvarea sistemului, este necesar să se verifice dacă soluția acestuia îndeplinește condițiile problemei.

Problema 1. O mașină Volga a ieșit din oraș spre ferma colectivă. S-a întors înapoi pe un alt drum, care era cu 5 km mai scurt decât primul. În total, mașina a parcurs 35 km dus-întors. Câți kilometri are lungimea fiecărui drum?

Soluţie

Lăsa X- lungimea primului drum, y- lungimea secundei. Dacă mașina a parcurs 35 km dus-întors, atunci prima ecuație poate fi scrisă ca X+ y= 35. Această ecuație descrie suma lungimilor ambelor drumuri.

Se spune că mașina s-a întors pe un drum cu 5 km mai scurt decât primul. Atunci a doua ecuație poate fi scrisă ca X− y= 5. Această ecuație arată că diferența dintre lungimile drumului este de 5 km.

Sau a doua ecuație poate fi scrisă ca X= y+ 5. Vom folosi această ecuație.

Deoarece variabilele XȘi yîn ambele ecuații notăm același număr, atunci putem forma un sistem din ele:

Să rezolvăm acest sistem folosind unele dintre metodele studiate anterior. În acest caz, este convenabil să folosiți metoda substituției, deoarece în a doua ecuație variabila X deja exprimat.

Înlocuiți a doua ecuație în prima și găsiți y

Să înlocuim valoarea găsită yîn a doua ecuație X= y+ 5 și vom găsi X

Lungimea primului drum a fost indicată prin variabilă X. Acum i-am găsit sensul. Variabil X este egal cu 20. Aceasta înseamnă că lungimea primului drum este de 20 km.

Iar lungimea celui de-al doilea drum era indicată de y. Valoarea acestei variabile este 15. Aceasta înseamnă că lungimea celui de-al doilea drum este de 15 km.

Sa verificam. Mai întâi, să ne asigurăm că sistemul este rezolvat corect:

Acum să verificăm dacă soluția (20; 15) satisface condițiile problemei.

S-a spus că mașina a parcurs în total 35 de km dus-întors. Adăugăm lungimile ambelor drumuri și ne asigurăm că soluția (20; 15) îndeplinește această condiție: 20 km + 15 km = 35 km

Următoarea condiție: mașina s-a întors înapoi pe un alt drum, care era cu 5 km mai scurt decât primul . Vedem că soluția (20; 15) îndeplinește și această condiție, deoarece 15 km este mai scurt decât 20 km cu 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Când compuneți un sistem, este important ca variabilele să reprezinte aceleași numere în toate ecuațiile incluse în acest sistem.

Deci sistemul nostru conține două ecuații. Aceste ecuații conțin la rândul lor variabile XȘi y, care reprezintă aceleași numere în ambele ecuații și anume lungimi de drum de 20 km și 15 km.

Problema 2. Pe platformă au fost încărcate traverse de stejar și pin, 300 de traverse în total. Se știe că toate traversele de stejar cântăreau cu 1 tonă mai puțin decât toate traversele de pin. Stabiliți câte traverse de stejar și pin au fost separat, dacă fiecare traversă de stejar cântărea 46 kg și fiecare traversă de pin 28 kg.

Soluţie

Lăsa X stejar şi y traverse de pin au fost încărcate pe platformă. Dacă au fost 300 de traverse în total, atunci prima ecuație poate fi scrisă ca x+y = 300 .

Toate traversele de stejar cântăreau 46 X kg, iar cele de pin aveau o greutate de 28 y kg. Deoarece traversele de stejar cântăreau cu 1 tonă mai puțin decât traversele de pin, a doua ecuație poate fi scrisă ca 28y − 46X= 1000 . Această ecuație arată că diferența de masă dintre traversele de stejar și pin este de 1000 kg.

Tonele au fost convertite în kilograme, deoarece masa traverselor de stejar și pin a fost măsurată în kilograme.

Ca rezultat, obținem două ecuații care formează sistemul

Să rezolvăm acest sistem. Să exprimăm în prima ecuație X. Apoi sistemul va lua forma:

Înlocuiți prima ecuație în a doua și găsiți y

Să înlocuim yîn ecuație X= 300 − y si afla ce este X

Aceasta înseamnă că 100 de traverse de stejar și 200 de pin au fost încărcate pe platformă.

Să verificăm dacă soluția (100; 200) satisface condițiile problemei. Mai întâi, să ne asigurăm că sistemul este rezolvat corect:

Se spunea că erau 300 de dormitoare în total. Adunăm numărul de traverse de stejar și pin și ne asigurăm că soluția (100; 200) îndeplinește această condiție: 100 + 200 = 300.

Următoarea condiție: toate traversele de stejar cântăreau cu 1 tonă mai puțin decât toate traversele de pin . Vedem că soluția (100; 200) îndeplinește și această condiție, deoarece 46 × 100 kg de traverse de stejar sunt mai ușoare decât 28 × 200 kg de traverse de pin: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Problema 3. Am luat trei bucăți de aliaj de cupru-nichel în raporturi de 2: 1, 3: 1 și 5: 1 în greutate. O piesă care cântărește 12 kg a fost topită din ele cu un raport de conținut de cupru și nichel de 4: 1. Aflați masa fiecărei piese originale dacă masa primei este de două ori masa celei de-a doua.