Hľadanie absolútnej a relatívnej chyby. Absolútna a relatívna chyba

Chyby pri meraní fyzikálnych veličín

1. Úvod (chyba merania a merania)

2. Náhodné a systematické chyby

3. Absolútne a relatívne chyby

4. Chyby meracích prístrojov

5. Trieda presnosti elektrických meracích prístrojov

6. Chyba čítania

7.Plný absolútna chyba priame merania

8.Zaznamenávanie konečného výsledku priameho merania

9. Chyby nepriamych meraní

10.Príklad

1. Úvod (chyba merania a merania)

Fyzika ako veda sa zrodila pred viac ako 300 rokmi, keď Galileo v podstate vytvoril vedecké štúdium fyzikálnych javov: fyzikálne zákony sa stanovujú a experimentálne testujú zhromažďovaním a porovnávaním experimentálnych údajov, reprezentovaných súborom čísel, zákony sú formulované v jazyku matematiky, t.j. pomocou vzorcov, ktoré spájajú číselné hodnoty fyzikálnych veličín funkčnou závislosťou. Preto fyzika-veda experimentálna, fyzika je kvantitatívna veda.

Zoznámime sa s niektorými charakteristickými vlastnosťami akýchkoľvek meraní.

Meranie je zistenie číselnej hodnoty fyzikálnej veličiny experimentálne pomocou meracích prístrojov (pravítko, voltmeter, hodinky a pod.).

Merania môžu byť priame alebo nepriame.

Priame meranie je zistenie číselnej hodnoty fyzikálnej veličiny priamo pomocou merania. Napríklad dĺžka - s pravítkom, atmosférický tlak - s barometrom.

Nepriame meranie je zistenie číselnej hodnoty fyzikálnej veličiny pomocou vzorca, ktorý spája požadovanú veličinu s inými veličinami určenými priamym meraním. Napríklad odpor vodiča je určený vzorcom R=U/I, kde U a I sa merajú elektrickými meracími prístrojmi.

Pozrime sa na príklad merania.

Zmerajte dĺžku tyče pomocou pravítka (hodnota delenia je 1 mm). Môžeme len povedať, že dĺžka lišty sa pohybuje medzi 22 a 23 mm. Šírka intervalu „neznáme“ je 1 mm, to znamená, že sa rovná cene rozdelenia. Výmena pravítka za citlivejšie zariadenie, ako je posuvné meradlo, zníži tento interval, čo povedie k zvýšeniu presnosti merania. V našom príklade presnosť merania nepresahuje 1 mm.

Preto sa merania nikdy nedajú robiť úplne presne. Výsledok akéhokoľvek merania je približný. Neistotu v meraní charakterizuje chyba – odchýlka nameranej hodnoty fyzikálnej veličiny od jej skutočnej hodnoty.

Uveďme niektoré dôvody vedúce k chybám.

1. Obmedzená výrobná presnosť meracích prístrojov.

2. Vplyv na meranie vonkajších podmienok (zmeny teploty, kolísanie napätia...).

3. Úkony experimentátora (oneskorenie spustenia stopiek, rôzne polohy očí...).

4. Približný charakter zákonov používaných na nájdenie meraných veličín.

Uvedené príčiny chýb sa nedajú odstrániť, aj keď sa dajú minimalizovať. Na stanovenie spoľahlivosti záverov získaných ako výsledok vedeckého výskumu existujú metódy hodnotenia týchto chýb.

2. Náhodné a systematické chyby

Chyby vznikajúce pri meraniach sa delia na systematické a náhodné.

Systematické chyby sú chyby zodpovedajúce odchýlke nameranej hodnoty od skutočnej hodnoty fyzikálnej veličiny vždy v jednom smere (zvýšenie alebo zníženie). Pri opakovaných meraniach zostáva chyba rovnaká.

Príčiny systematických chýb:

1) nesúlad meracích prístrojov s normou;

2) nesprávna inštalácia meracích prístrojov (náklon, nevyváženosť);

3) nezrovnalosť medzi počiatočnými ukazovateľmi nástrojov a nulou a ignorovanie korekcií, ktoré s tým vznikajú;

4) nesúlad medzi meraným objektom a predpokladom o jeho vlastnostiach (prítomnosť dutín atď.).

Náhodné chyby sú chyby, ktoré menia svoju číselnú hodnotu nepredvídateľným spôsobom. Takéto chyby sú spôsobené Vysoké číslo neovplyvniteľné príčiny ovplyvňujúce proces merania (nerovnosti na povrchu objektu, fúkanie vetra, prepätia a pod.). Vplyv náhodných chýb možno znížiť opakovaným opakovaním experimentu.

3. Absolútne a relatívne chyby

Na kvantifikáciu kvality meraní sa zavádzajú pojmy absolútnej a relatívnej chyby merania.

Ako už bolo spomenuté, každé meranie poskytuje iba približnú hodnotu fyzikálnej veličiny, ale môžete určiť interval, ktorý obsahuje jej skutočnú hodnotu:

A pr - D A< А ист < А пр + D А

Hodnota D A sa nazýva absolútna chyba merania veličiny A. Absolútna chyba sa vyjadruje v jednotkách meranej veličiny. Absolútna chyba sa rovná modulu maximálnej možnej odchýlky hodnoty fyzikálnej veličiny od nameranej hodnoty. A pr je hodnota fyzikálnej veličiny získaná experimentálne; ak sa meranie uskutočnilo opakovane, potom aritmetický priemer týchto meraní.

Na posúdenie kvality merania je však potrebné určiť relatívnu chybu e. e = DA/A pr alebo e= (D A/A pr)*100 %.

Ak sa pri meraní zistí relatívna chyba väčšia ako 10 %, potom hovoria, že sa urobil iba odhad nameranej hodnoty. Vo fyzikálnych dielňach sa odporúča vykonávať merania s relatívnou chybou do 10%. Vo vedeckých laboratóriách sa niektoré presné merania (napríklad určenie vlnovej dĺžky svetla) vykonávajú s presnosťou na milióntiny percenta.

4. Chyby meracích prístrojov

Tieto chyby sa nazývajú aj inštrumentálne alebo inštrumentálne. Sú určené konštrukciou meracieho zariadenia, presnosťou jeho výroby a kalibráciou. Zvyčajne sa uspokoja s prípustnými inštrumentálnymi chybami, ktoré výrobca uvádza v pase pre toto zariadenie. Tieto prípustné chyby sú regulované GOST. To platí aj pre normy. Zvyčajne sa označuje absolútna inštrumentálna chyba D a A.

Ak neexistujú žiadne informácie o prípustnej chybe (napríklad pomocou pravítka), potom sa za túto chybu môže považovať polovica hodnoty delenia.

Pri vážení sa absolútna prístrojová chyba skladá z prístrojových chýb váh a závaží. V tabuľke sú uvedené najčastejšie prípustné chyby

meracie prístroje, s ktorými sa stretávame pri školských experimentoch.

Meranie	Limit merania	Hodnota divízie	Prípustná chyba
študentský vládca
demonštračné pravítko
meracia páska
kadička
hmotnosti 10,20, 50 mg
hmotnosti 100 200 mg
hmotnosť 500 mg
posuvné meradlá
mikrometer
dynamometer
tréningové váhy
Stopky			1 s za 30 min
aneroidný barometer	720-780 mm Hg.	1 mmHg	3 mmHg
laboratórny teplomer	0-100 stupňov C
školský ampérmeter
školský voltmeter

5. Trieda presnosti elektrických meracích prístrojov

Ukazovacie elektrické meracie prístroje podľa prijateľné hodnoty chyby sú rozdelené do tried presnosti, ktoré sú na váhe prístrojov označené číslami 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4.0. Trieda presnosti g pr Prístroj ukazuje, koľko percent je absolútna chyba z celej stupnice prístroja.

g pr = (D a A/A max)*100 %.

Napríklad absolútna inštrumentálna chyba zariadenia triedy 2.5 je 2,5 % jeho stupnice.

Ak je známa trieda presnosti zariadenia a jeho mierka, potom je možné určiť absolútnu chybu prístrojového merania

D a A = (g pr * A max)/100.

Pre zvýšenie presnosti meraní ukazovacím elektrickým meracím prístrojom je potrebné zvoliť prístroj s takou stupnicou, aby sa pri procese merania nachádzal v druhej polovici stupnice prístroja.

6. Chyba čítania

Chyba čítania vyplýva z nedostatočne presných údajov meracích prístrojov.

Vo väčšine prípadov sa absolútna chyba čítania rovná polovici hodnoty delenia. Výnimky sú pri meraní hodinami (ručičky sa pohybujú trhavo).

Zvyčajne sa označuje absolútna chyba čítania D oA

7. Celková absolútna chyba priamych meraní

Pri priamych meraniach fyzikálnej veličiny A je potrebné posúdiť tieto chyby: D a A, D oA a D сА (náhodné). Samozrejme by sa mali vylúčiť iné zdroje chýb spojené s nesprávnou inštaláciou prístrojov, nesprávne zarovnanie počiatočnej polohy šípky prístroja s 0 atď.

Celková absolútna chyba priameho merania musí zahŕňať všetky tri typy chýb.

Ak je náhodná chyba malá v porovnaní s najnižšia hodnota, ktorú je možné daným meracím prístrojom zmerať (oproti deliacej cene), potom ju možno zanedbať a potom na určenie hodnoty fyzikálnej veličiny stačí jedno meranie. V opačnom prípade teória pravdepodobnosti odporúča nájsť výsledok merania ako priemer aritmetická hodnota výsledky celej série opakovaných meraní sa chyba výsledku vypočíta metódou matematickej štatistiky. Znalosť týchto metód presahuje rámec školských osnov.

8. Zaznamenanie konečného výsledku priameho merania

Konečný výsledok merania fyzikálnej veličiny A by mal byť zapísaný v tomto tvare;

A = A pr + DA, e= (DA/A pr)*100 %.

A pr je hodnota fyzikálnej veličiny získaná experimentálne; ak sa meranie uskutočnilo opakovane, potom aritmetický priemer týchto meraní. D A je celková absolútna chyba priameho merania.

Absolútna chyba sa zvyčajne vyjadruje jedným platným číslom.

Príklad: L=(7,9 + 0,1 mm, e = 13 %.

9. Chyby nepriamych meraní

Pri spracovaní výsledkov nepriamych meraní fyzikálnej veličiny, ktorá funkčne súvisí s fyzikálnymi veličinami A, B a C, ktoré sa merajú priamo, sa najprv určí relatívna chyba nepriameho merania. e=D X/X pr, pomocou vzorcov uvedených v tabuľke (bez dôkazov).

Absolútna chyba je určená vzorcom D X=X pr *e,

kde e vyjadrené ako desatinný zlomok, nie ako percento.

Konečný výsledok sa zaznamená rovnakým spôsobom ako v prípade priamych meraní.

Typ funkcie	Vzorec
X = A + B + C
X = A-B
X=A*B*C
X = A n
X = A/B

Príklad: Vypočítajme chybu pri meraní koeficientu trenia pomocou dynamometra. Experiment pozostáva z rovnomerného ťahania bloku po vodorovnom povrchu a merania aplikovanej sily: rovná sa klznej trecej sile.

Pomocou dynamometra odvážte blok so závažiami: 1,8 N. Ftr = 0,6 N

μ = 0,33 Prístrojová chyba dynamometra (zistíme z tabuľky) je Δ a = 0,05 N, Chyba čítania (polovica hodnoty delenia)

Δ o =0,05 N. Absolútna chyba merania hmotnosti a trecej sily je 0,1 N.

Relatívna chyba merania (5. riadok v tabuľke)

, preto absolútna chyba nepriameho merania μ je 0,22*0,33=0,074

Keď pri výpočtoch pracujete s nekonečnými desatinnými zlomkami, musíte tieto čísla pre pohodlie aproximovať, to znamená zaokrúhliť ich. Z rôznych meraní sa získajú aj približné čísla.

Môže byť užitočné vedieť, ako veľmi sa približná hodnota čísla líši od jeho presnej hodnoty. Je jasné, že čím je tento rozdiel menší, tým lepšie, presnejšie je meranie alebo výpočet vykonaný.

Na určenie presnosti meraní (výpočtov) sa používa pojem ako napr chyba aproximácie. Hovoria tomu inak absolútna chyba. Chyba aproximácie je rozdiel medzi presnou hodnotou čísla a jeho približnou hodnotou.

Ak a je presná hodnota čísla a b je jeho približná hodnota, potom chyba aproximácie je určená vzorcom |a – b|.

Predpokladajme, že výsledkom meraní bolo číslo 1,5. Ako výsledok výpočtu pomocou vzorca je však presná hodnota tohto čísla 1,552. V tomto prípade sa chyba aproximácie bude rovnať |1,552 – 1,5| = 0,052.

V prípade nekonečných zlomkov je chyba aproximácie určená rovnakým vzorcom. Na miesto presného čísla sa zapíše samotný nekonečný zlomok. Napríklad |π – 3,14| = |3,14159... – 3,14| = 0,00159... . Tu sa ukazuje, že chyba aproximácie je vyjadrená iracionálnym číslom.

Ako je známe, aproximáciu je možné vykonať nedostatkom aj nadbytkom. Rovnaké číslo π pri aproximácii nedostatkom s presnosťou 0,01 sa rovná 3,14 a pri aproximácii prebytkom s presnosťou 0,01 sa rovná 3,15. Dôvodom, prečo výpočet využíva svoju nedostatočnú aproximáciu, je použitie pravidiel zaokrúhľovania. Podľa týchto pravidiel, ak je prvá číslica, ktorá sa má vyradiť, päť alebo väčšia ako päť, vykoná sa nadbytočná aproximácia. Ak menej ako päť, tak z dôvodu nedostatku. Keďže tretia číslica za desatinnou čiarkou čísla π je 1, preto sa pri aproximácii s presnosťou 0,01 vykoná nedostatok.

V skutočnosti, ak vypočítame chyby aproximácie na 0,01 čísla π podľa nedostatku a prebytku, dostaneme:

|3,14159... – 3,14| = 0,00159...
|3,14159... – 3,15| = 0,0084...

Od 0,00159...

Keď hovoríme o chybe aproximácie, ako aj v prípade samotnej aproximácie (nadbytkom alebo nedostatkom), je uvedená jej presnosť. Takže vo vyššie uvedenom príklade s číslom π by sa malo povedať, že sa rovná číslu 3,14 s presnosťou 0,01. Veď modul rozdielu medzi samotným číslom a jeho približnou hodnotou nepresahuje 0,01 (0,00159... ≤ 0,01).

Podobne π sa rovná 3,15 s presnosťou 0,01, keďže 0,0084... ≤ 0,01. Ak však hovoríme o väčšej presnosti, napríklad do 0,005, tak môžeme povedať, že π sa rovná 3,14 s presnosťou 0,005 (od 0,00159... ≤ 0,005). Nemôžeme to povedať vo vzťahu k aproximácii 3,15 (od 0,0084... > 0,005).

1. Ako určiť chyby merania.

Výkon laboratórne práce spojené s meraním rôznych fyzikálnych veličín a následným spracovaním ich výsledkov.

Meranie- zistenie hodnoty fyzikálnej veličiny experimentálne pomocou meracích prístrojov.

Priame meranie- určenie hodnoty fyzikálnej veličiny priamo pomocou merania.

Nepriame meranie- určenie hodnoty fyzikálnej veličiny pomocou vzorca spájajúceho ju s inými fyzikálnymi veličinami určenými priamym meraním.

Predstavme si nasledujúci zápis:

A, B, C, ... - fyzikálne veličiny.

A pr je približná hodnota fyzikálnej veličiny, teda hodnota získaná priamym alebo nepriamym meraním.

ΔA je absolútna chyba merania fyzikálnej veličiny.

ε - relatívna chyba merania fyzikálnej veličiny rovná:

Δ A A je absolútna prístrojová chyba určená konštrukciou zariadenia (chyba meracích prístrojov; pozri tabuľku 1).

Δ 0 A - absolútna chyba čítania (vyplývajúca z nedostatočne presných údajov meracích prístrojov); vo väčšine prípadov sa rovná polovici hodnoty delenia, pri meraní času sa rovná hodnote delenia stopiek alebo hodín.

stôl 1

Absolútne inštrumentálne chyby meracích prístrojov

№	Meranie	Limit merania	Hodnota divízie	Absolútna inštrumentálna chyba
1	Pravítko
	študent	do 50 cm	1 mm	± 1 mm
	výtvarná miesnosť	do 50 cm	1 mm	± 0,2 mm
	inštrumentálny (oceľový)	20 cm	1 mm	±0,1 mm
	demonštrácie	100 cm	1 cm	± 0,5 cm
2	Meracia páska	150 cm	0,5 cm	± 0,5 cm
3	Odmerný valec	do 250 ml	1 ml	± 1 ml
4	Posuvné meradlá	150 mm	0,1 mm	±0,05 mm
5	Mikrometer	25 mm	0,01 mm	± 0,005 mm
6	Tréningový dynamometer	4 N	0,1 N	± 0,05 N
7	Tréningové váhy	200 g	-	±0,01 g
8	Stopky	0-30 min	0,2 s	± 1 s za 30 min
9	Aneroidný barometer	720-780 mm Hg. čl.	1 mmHg čl.	± 3 mmHg čl.
10	Laboratórny teplomer	0-100 0 C	10 C	± 1 0 С
11	Školský ampérmeter	2 A	0,1 A	±0,05A
12	Školský voltmeter	6 V	0,2 V	±0,15V

Maximálna absolútna chyba priamych meraní pozostáva z absolútnej prístrojovej chyby a absolútnej chyby čítania pri absencii iných chýb:

Absolútna chyba merania sa zvyčajne zaokrúhľuje na jedno platné číslo (ΔA = 0,17 ≈ 0,2); číselná hodnota výsledok merania sa zaokrúhli tak, aby jeho posledná číslica bola na rovnakej číslici ako chybová číslica (A = 10,332 ≈ 10,3).

Výsledky opakovaných meraní fyzikálnej veličiny A, realizovaných za rovnakých kontrolovaných podmienok a s použitím dostatočne citlivých a presných (s malými chybami) meracích prístrojov, sa zvyčajne navzájom líšia. V tomto prípade sa Apr zistí ako aritmetický priemer všetkých meraní a chyba ΔA (nazýva sa náhodná chyba) je určená metódami matematickej štatistiky.

V školskej laboratórnej praxi sa takéto meracie prístroje prakticky nepoužívajú. Preto pri vykonávaní laboratórnych prác je potrebné určiť maximálne chyby pri meraní fyzikálnych veličín. Na získanie výsledku stačí jedno meranie.

Relatívna chyba nepriamych meraní je určená podľa tabuľky 2.

tabuľka 2

Vzorce na výpočet relatívnej chyby nepriamych meraní

№	Vzorec pre fyzikálne množstvo	Vzorec pre relatívnu chybu
1
2
3
4

Absolútna chyba nepriamych meraní je určená vzorcom ΔA = A pr ε (ε je vyjadrené ako desatinný zlomok).

2. O triede presnosti elektrických meracích prístrojov.

Ak chcete určiť absolútnu inštrumentálnu chybu zariadenia, musíte poznať jeho triedu presnosti. Trieda presnosti γ meracieho prístroja ukazuje, koľko percent je absolútna prístrojová chyba Δ a A z celej stupnice prístroja (A max):

Trieda presnosti je uvedená na stupnici zariadenia alebo v jeho pase (znak % sa v tomto prípade nepíše). Existujú nasledujúce triedy presnosti elektrických meracích prístrojov: 0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 4. Pri znalosti triedy presnosti prístroja (γ pr) a celej jeho stupnice (A max) určte absolútnu chybu Δ a A merania fyzikálnej veličiny A týmto prístrojom:

3. Ako porovnávať výsledky meraní.

1. Napíšte výsledky merania vo forme dvojitých nerovností:

A 1np - ΔA 1< А 1пр < А 1пр + ΔА 1 ,

A 2pr - ΔA 2< А 2пр < А 2пр + ΔА 2 .

2. Porovnajte získané intervaly hodnôt: ak sa intervaly neprekrývajú, potom výsledky nie sú rovnaké; ak sa prekrývajú, sú pre danú relatívnu chybu merania identické.

4. Ako pripraviť protokol o vykonanej práci.

1. Laboratórne práce č....
2. Názov práce.
3. Cieľ práce.
4. Výkres (ak je to potrebné).
5. Vzorce pre požadované množstvá a ich chyby.
6. Tabuľka výsledkov meraní a výpočtov.
7. Konečný výsledok, záver a pod.(podľa účelu práce).

5. Ako zaznamenať výsledok merania.

A = Apr ± ΔA
e = ... %.

Esej

Absolútna a relatívna chyba

Úvod

Absolútna chyba - je odhad absolútnej chyby merania. Vypočítané rôzne cesty. Spôsob výpočtu je určený rozdelením náhodnej premennej. Podľa toho veľkosť absolútnej chyby závisí od rozdelenia náhodnej premennej môže byť iný. Ak je nameraná hodnota a je skutočná hodnota, potom nerovnosť musí byť splnená s istou pravdepodobnosťou blízkou 1. Ak náhodná premenná je rozdelená podľa normálneho zákona, potom sa jeho smerodajná odchýlka zvyčajne berie ako absolútna chyba. Absolútna chyba sa meria v rovnakých jednotkách ako samotné množstvo.

Existuje niekoľko spôsobov, ako zapísať množstvo spolu s jeho absolútnou chybou.

· Zvyčajne sa používa podpísaná notácia ± . Napríklad rekord na 100 metrov z roku 1983 je 9,930±0,005 s.

· Na zaznamenanie veličín nameraných s veľmi vysokou presnosťou sa používa iný zápis: v zátvorkách sa pridávajú čísla zodpovedajúce chybe posledných číslic mantisy. Napríklad nameraná hodnota Boltzmannovej konštanty je 1,380 6488 (13) × 10?23 J/C, čo sa dá písať aj oveľa dlhšie ako 1 380 6488 × 10?23 ± 0,000 0013 × 10?23 J/C.

Relatívna chyba- chyba merania, vyjadrená ako pomer absolútnej chyby merania k skutočnej alebo priemernej hodnote nameranej hodnoty (RMG 29-99):.

Relatívna chyba je bezrozmerná veličina alebo meraná v percentách.

1. Čo je to približná hodnota?

S nadbytkom a nedostatočným? V procese výpočtov sa často musíme zaoberať približnými číslami. Nechaj A- presná hodnota určitej veličiny, ďalej len tzv presné číslo A.Pod približnou hodnotou A,alebo približné číslavolané číslo A, čím sa nahradí presná hodnota množstva A.Ak A< A,To Anazývaná približná hodnota čísla A pre nedostatok.Ak A> A,- To prebytkom.Napríklad 3,14 je aproximácia čísla ? nedostatkom a 3,15 - nadbytkom. Na charakterizáciu stupňa presnosti tejto aproximácie sa používa koncept chyby alebo chyby.

Chyba ?Apribližné číslo Anazývaný rozdiel vo forme

?a = A - a,

Kde A- zodpovedajúce presné číslo.

Z obrázku je možné vidieť, že dĺžka segmentu AB je medzi 6 cm a 7 cm.

To znamená, že 6 je približná hodnota dĺžky segmentu AB (v centimetroch) > s nedostatkom a 7 s prebytkom.

Označením dĺžky úsečky písmenom y dostaneme: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина segmentAB (pozri obr. 149) je bližšie k 6 cm ako k 7 cm Je to približne 6 cm Hovorí sa, že číslo 6 sme získali zaokrúhlením dĺžky úsečky na celé čísla.

. Čo je chyba aproximácie?

A) Absolútne?

B) Relatívna?

A) Absolútna chyba aproximácie je veľkosť rozdielu medzi skutočnou hodnotou veličiny a jej približnou hodnotou. |x - x_n|, kde x je skutočná hodnota, x_n je približná hodnota. Napríklad: Dĺžka listu papiera A4 je (29,7 ± 0,1) cm a vzdialenosť z Petrohradu do Moskvy je (650 ± 1) km. Absolútna chyba v prvom prípade nepresahuje jeden milimeter av druhom - jeden kilometer. Otázkou je porovnanie presnosti týchto meraní.

Ak si myslíte, že dĺžka listu sa meria presnejšie, pretože absolútna chyba nepresahuje 1 mm. Potom sa mýlite. Tieto hodnoty sa nedajú priamo porovnávať. Urobme si nejaké úvahy.

Pri meraní dĺžky listu nepresahuje absolútna chyba 0,1 cm na 29,7 cm, to znamená, že v percentách je to 0,1/29,7 * 100 % = 0,33 % nameranej hodnoty.

Keď meriame vzdialenosť z Petrohradu do Moskvy, absolútna chyba nepresahuje 1 km na 650 km, čo je v percentách 1/650 * 100 % = 0,15 % nameranej hodnoty. Vidíme, že vzdialenosť medzi mestami sa meria presnejšie ako dĺžka listu A4.

B) Relatívna chyba aproximácie je pomer absolútnej chyby k absolútnej hodnote približnej hodnoty veličiny.

zlomok matematickej chyby

kde x je skutočná hodnota, x_n je približná hodnota.

Relatívna chyba sa zvyčajne vyjadruje v percentách.

Príklad. Zaokrúhlením čísla 24,3 na jednotky dostaneme číslo 24.

Relatívna chyba je rovnaká. Hovorí sa, že relatívna chyba v tomto prípade je 12,5%.

) Aké zaokrúhľovanie sa nazýva zaokrúhľovanie?

A) S nevýhodou?

B) V prebytku?

A) Zaokrúhľovanie nadol

Pri zaokrúhľovaní čísla vyjadreného ako desatinný zlomok na najbližších 10^(-n) sa prvých n desatinných miest zachová a ďalšie sa zahodia.

Napríklad zaokrúhlením 12,4587 na najbližšiu tisícinu dostaneme 12,458.

B) Zaokrúhľovanie nahor

Pri zaokrúhľovaní čísla vyjadreného ako desatinný zlomok na najbližších 10^(-n) sa prvých n desatinných miest ponechá v prebytku a nasledujúce sa zahodia.

Napríklad zaokrúhlením 12,4587 na najbližšiu tisícinu dostaneme 12,459.

) Pravidlo pre zaokrúhľovanie desatinných miest.

Pravidlo. Zaokrúhliť desiatkový na určitú číslicu celého čísla alebo zlomkovej časti sa všetky menšie číslice nahradia nulami alebo sa vyradia, pričom číslica pred číslicou vyradenou pri zaokrúhľovaní nemení svoju hodnotu, ak za ňou nasledujú čísla 0, 1, 2, 3, 4 a zvýši sa o 1 (jedna), ak sú čísla 5, 6, 7, 8, 9.

Príklad. Zaokrúhlite zlomok 93,70584 na:

desaťtisíciny: 93,7058

tisíciny: 93,706

stotiny: 93,71

desatiny: 93,7

celé číslo: 94

desiatky: 90

Napriek rovnosti absolútnych chýb, pretože merané veličiny sú rôzne. Čím väčšia je nameraná veľkosť, tým menšia je relatívna chyba, zatiaľ čo absolútna chyba zostáva konštantná.

Doučovanie

Potrebujete pomôcť so štúdiom témy?

Naši špecialisti vám poradia alebo poskytnú doučovacie služby na témy, ktoré vás zaujímajú.
Odošlite žiadosť s uvedením témy práve teraz, aby ste sa dozvedeli o možnosti konzultácie.

Žiadne meranie nie je bez chýb, presnejšie povedané, pravdepodobnosť merania bez chýb sa blíži nule. Typ a príčiny chýb sú veľmi rôznorodé a sú ovplyvnené mnohými faktormi (obr. 1.2).

Všeobecné charakteristiky ovplyvňujúcich faktorov možno systematizovať z rôznych hľadísk, napríklad podľa vplyvu uvedených faktorov (obr. 1.2).

Na základe výsledkov meraní možno chyby rozdeliť do troch typov: systematické, náhodné a chyby.

Systematické chyby zasa sa delia do skupín podľa výskytu a charakteru prejavu. Môžu byť odstránené rôzne cesty, napríklad zavedením pozmeňujúcich a doplňujúcich návrhov.

ryža. 1.2

Náhodné chyby sú spôsobené komplexným súborom meniacich sa faktorov, zvyčajne neznámych a ťažko analyzovateľných. Ich vplyv na výsledok merania je možné znížiť napríklad opakovaným meraním s ďalším štatistickým spracovaním získaných výsledkov metódou teórie pravdepodobnosti.

TO chýba Patria sem hrubé chyby, ktoré vznikajú pri náhlych zmenách experimentálnych podmienok. Tieto chyby sú tiež náhodné a po zistení musia byť odstránené.

Presnosť meraní sa posudzuje chybami merania, ktoré sa delia podľa charakteru ich vzniku na prístrojové a metodické a podľa spôsobu výpočtu na absolútne, relatívne a redukované.

Inštrumentálne Chyba je charakterizovaná triedou presnosti meracieho zariadenia, ktorá je uvedená v jeho pase vo forme normalizovaných hlavných a dodatočných chýb.

Metodický chyba je spôsobená nedokonalosťou meracích metód a prístrojov.

Absolútna chyba je rozdiel medzi nameranými hodnotami G u a skutočnými hodnotami G množstva, určenými podľa vzorca:

A=AG=Gu-G

Všimnite si, že veličina má rozmer meranej veličiny.

Relatívna chyba sa zistí z rovnosti

δ=±ΔG/G u ·100 %

Dané chyba sa vypočíta podľa vzorca (trieda presnosti meracieho zariadenia)

δ=±ΔG/G norma ·100%

kde G normy je normalizujúca hodnota meranej veličiny. Berie sa ako rovné:

a) konečná hodnota stupnice prístroja, ak je nulová značka na okraji alebo mimo stupnice;

b) súčet konečných hodnôt stupnice bez zohľadnenia znamienok, ak sa nulová značka nachádza vo vnútri stupnice;

c) dĺžka stupnice, ak je mierka nerovná.

Trieda presnosti zariadenia je stanovená počas jeho testovania a je to štandardizovaná chyba vypočítaná pomocou vzorcov

γ=±ΔG/G normy ·100 %, akΔGm = konšt

kde ΔG m je najväčšia možná absolútna chyba zariadenia;

G k – konečná hodnota meracieho limitu zariadenia; c a d sú koeficienty, ktoré zohľadňujú konštrukčné parametre a vlastnosti meracieho mechanizmu zariadenia.

Napríklad pre voltmeter s konštantnou relatívnou chybou platí rovnosť

5 m = ± c

Relatívne a znížené chyby súvisia s nasledujúcimi závislosťami:

a) pre akúkoľvek hodnotu redukovanej chyby

δ=±γ·G normy/G u

b) pre najväčšiu zníženú chybu

δ=±γm ·G normy/G u

Z týchto vzťahov vyplýva, že pri meraní, napríklad voltmetrom, v obvode pri rovnakej hodnote napätia, čím nižšie namerané napätie, tým väčšia relatívna chyba. A ak je tento voltmetr zvolený nesprávne, potom môže byť relatívna chyba úmerná hodnote G n , čo je neprijateľné. Všimnite si, že v súlade s terminológiou riešených problémov, napríklad pri meraní napätia G = U, pri meraní prúdu C = I, musia byť písmenové označenia vo vzorcoch na výpočet chýb nahradené zodpovedajúcimi symbolmi.

Príklad 1.1. voltmeter s hodnotami γ m = 1,0 %, U n = G normy, G k = 450 V, zmerajte napätie U u rovné 10 V. Odhadnime chyby merania.

Riešenie.

Odpoveď. Chyba merania je 45%. Pri takejto chybe nemožno namerané napätie považovať za spoľahlivé.

O postihnutí výber zariadenia (voltmetra), metodickú chybu možno zohľadniť úpravou vypočítanou podľa vzorca

Príklad 1.2. Vypočítajte absolútnu chybu voltmetra V7-26 pri meraní napätia v obvode priamy prúd. Trieda presnosti voltmetra je určená maximálnou redukovanou chybou γ m =±2,5 %. Limit stupnice voltmetra použitý v práci je U norm = 30 V.

Riešenie. Absolútna chyba sa vypočíta pomocou známych vzorcov:

(keďže znížená chyba je podľa definície vyjadrená vzorcom , potom odtiaľto nájdete absolútnu chybu:

Odpoveď.ΔU = ±0,75 V.

Dôležitými krokmi v procese merania je spracovanie výsledkov a pravidlá zaokrúhľovania. Teória približných výpočtov umožňuje pri znalosti miery presnosti údajov vyhodnotiť mieru presnosti výsledkov ešte pred vykonaním akcií: vybrať údaje s primeranou mierou presnosti, dostatočnou na zabezpečenie požadovanej presnosti výsledku, ale nie príliš veľký na to, aby zachránil kalkulačku pred zbytočnými výpočtami; racionalizovať samotný proces výpočtu a oslobodiť ho od tých výpočtov, ktoré neovplyvnia presné čísla a výsledky.

Pri spracovaní výsledkov sa uplatňujú pravidlá zaokrúhľovania.

• Pravidlo 1. Ak je prvá vyradená číslica väčšia ako päť, posledná ponechaná číslica sa zvýši o jednu.

• Pravidlo 2. Ak je prvá z vyradených číslic menšia ako päť, potom sa nezvyšuje.

• Pravidlo 3. Ak je vyradená číslica päť a nie sú za ňou žiadne významné číslice, tak sa zaokrúhľuje na najbližšie párne číslo, t.j. posledná uložená číslica zostáva rovnaká, ak je párna, a zvyšuje sa, ak nie je párna.

Ak sú za číslom päť významné číslice, zaokrúhľovanie sa vykoná podľa pravidla 2.

Aplikovaním pravidla 3 na zaokrúhľovanie jedného čísla nezvýšime presnosť zaokrúhľovania. Pri početnom zaokrúhľovaní sa však nadmerné čísla budú vyskytovať približne rovnako často ako nedostatočné čísla. Vzájomná kompenzácia chýb zabezpečí najväčšiu presnosť výsledku.

Volá sa číslo, ktoré zjavne presahuje absolútnu chybu (alebo sa jej v najhoršom prípade rovná). maximálna absolútna chyba.

Veľkosť maximálnej chyby nie je celkom istá. Pre každé približné číslo musí byť známa jeho maximálna chyba (absolútna alebo relatívna).

Ak to nie je priamo uvedené, rozumie sa, že maximálna absolútna chyba je polovica jednotky poslednej zapísanej číslice. Ak je teda uvedené približné číslo 4,78 bez uvedenia maximálnej chyby, potom sa predpokladá, že maximálna absolútna chyba je 0,005. V dôsledku tejto dohody môžete vždy urobiť bez uvedenia maximálnej chyby čísla zaokrúhleného podľa pravidiel 1-3, t.j. ak je približné číslo označené písmenom α, potom

kde Δn je maximálna absolútna chyba; a 5 n je maximálna relatívna chyba.

Okrem toho pri spracovaní výsledkov používame pravidlá hľadania chyby súčet, rozdiel, súčin a kvocient.

• Pravidlo 1. Maximálna absolútna chyba súčtu sa rovná súčtu maximálnych absolútnych chýb jednotlivých členov, ale pri značnom počte chýb členov zvyčajne dochádza k vzájomnej kompenzácii chýb, preto je skutočná chyba súčtu iba výnimočné prípady sa zhoduje s maximálnou chybou alebo je jej blízko.

• Pravidlo 2. Maximálna absolútna chyba rozdielu sa rovná súčtu maximálnych absolútnych chýb tej, ktorá sa znižuje alebo odčítava.

Maximálnu relatívnu chybu možno ľahko nájsť výpočtom maximálnej absolútnej chyby.

• Pravidlo 3. Maximálna relatívna chyba súčtu (ale nie rozdielu) leží medzi najmenšou a najväčšou z relatívnych chýb členov.

Ak majú všetky členy rovnakú maximálnu relatívnu chybu, potom súčet má rovnakú maximálnu relatívnu chybu. Inými slovami, v tomto prípade presnosť súčtu (v percentách) nie je nižšia ako presnosť výrazov.

Na rozdiel od súčtu môže byť rozdiel približných čísel menej presný ako minuend a subtrahend. Strata presnosti je obzvlášť veľká, keď sa minuend a subtrahend od seba málo líšia.

• Pravidlo 4. Maximálna relatívna chyba súčinu sa približne rovná súčtu maximálnych relatívnych chýb faktorov: δ=δ 1 +δ 2, alebo presnejšie δ=δ 1 +δ 2 +δ 1 δ 2, kde δ je relatívna chyba súčinu, δ 1 δ 2 - faktory relatívnej chyby.

Poznámky:

1. Ak sa vynásobia približné čísla s rovnakým počtom platných číslic, potom by sa v produkte mal zachovať rovnaký počet platných číslic. Posledná uložená číslica nebude úplne spoľahlivá.

2. Ak majú niektoré faktory viac platných číslic ako ostatné, potom pred násobením treba prvé zaokrúhliť a ponechať v nich toľko číslic, koľko je najmenej presný faktor, alebo ešte jednu (ako rezervu), ukladanie ďalších číslic je zbytočné.

3. Ak sa požaduje, aby súčin dvoch čísel vopred dané číslo je úplne spoľahlivý, potom by v každom z faktorov mal byť počet presných číslic (získaných meraním alebo výpočtom) o jednu viac. Ak je počet faktorov väčší ako dva a menší ako desať, potom v každom z faktorov musí byť počet presných číslic pre úplnú záruku o dve jednotky vyšší ako požadovaný počet presných číslic. V praxi úplne stačí vziať len jednu číslicu navyše.

• Pravidlo 5. Maximálna relatívna chyba kvocientu sa približne rovná súčtu maximálnych relatívnych chýb deliteľa a deliteľa. Presná hodnota maximálnej relatívnej chyby vždy presahuje približnú hodnotu. Percento prekročenia sa približne rovná maximálnej relatívnej chybe deliča.

Príklad 1.3. Nájdite maximálnu absolútnu chybu kvocientu 2,81: 0,571.

Riešenie. Maximálna relatívna chyba dividendy je 0,005:2,81=0,2 %; deliteľ – 0,005:0,571=0,1 %; súkromné ​​– 0,2 % + 0,1 % = 0,3 %. Maximálna absolútna chyba kvocientu bude približne 2,81:0,571·0,0030=0,015

To znamená, že v kvociente 2,81:0,571=4,92 nie je tretie platné číslo spoľahlivé.

Odpoveď. 0,015.

Príklad 1.4. Vypočítajte relatívnu chybu odčítaní voltmetra zapojeného podľa obvodu (obr. 1.3), ktorú získame, ak predpokladáme, že voltmeter má nekonečne veľký odpor a nevnáša do meraného obvodu skreslenia. Klasifikujte chybu merania pre tento problém.

ryža. 1.3

Riešenie. Označme hodnoty skutočného voltmetra AND a voltmetra s nekonečne vysokým odporom AND ∞. Požadovaná relatívna chyba

Všimni si

potom dostaneme

Pretože R AND >>R a R > r, zlomok v menovateli poslednej rovnosti je oveľa menší ako jedna. Preto môžete použiť približný vzorec , platí pre λ≤1 pre ľubovoľné α. Za predpokladu, že v tomto vzorci α = -1 a λ= rR (r+R) -1 R a -1, dostaneme 5 ≈ rR/(r+R) R And.

Čím väčší je odpor voltmetra v porovnaní s vonkajším odporom obvodu, tým menšia je chyba. Ale podmienka R<

Odpoveď. Systematická metodologická chyba.

Príklad 1.5. Jednosmerný obvod (obr. 1.4) obsahuje tieto prístroje: A – ampérmeter typ M 330, trieda presnosti K A = 1,5 s limitom merania I k = 20 A; A 1 - ampérmeter typ M 366, trieda presnosti K A1 = 1,0 s medzou merania I k1 = 7,5 A. Nájdite najväčšiu možnú relatívnu chybu merania prúdu I 2 a možné hranice jeho skutočnej hodnoty, ak prístroje ukázali, že I. = 8,0A. a Ii = 6,0A. Klasifikujte meranie.

ryža. 1.4

Riešenie. Prúd I 2 určíme z údajov prístroja (bez zohľadnenia ich chýb): I 2 =I-I 1 =8,0-6,0=2,0 A.

Poďme nájsť absolútne chybové moduly ampérmetrov A a A 1

Pre A máme rovnosť pre ampérmeter

Poďme nájsť súčet modulov absolútnej chyby:

V dôsledku toho sa najväčšia možná hodnota rovnakej hodnoty, vyjadrená v zlomkoch tejto hodnoty, rovná 1. 10 3 – pre jedno zariadenie; 2·10 3 – pre iné zariadenie. Ktoré z týchto zariadení bude najpresnejšie?

Riešenie. Presnosť prístroja je charakterizovaná prevrátenosťou chyby (čím presnejší prístroj, tým menšia chyba), t.j. pre prvé zariadenie to bude 1/(1 . 10 3) = 1 000, pre druhé – 1/(2 . 10 3) = 500. Všimnite si, že 1 000 > 500. Preto je prvé zariadenie dvakrát tak presné ako druhý.

K podobnému záveru možno dospieť kontrolou konzistencie chýb: 2. 10 3 / 1. 103 = 2.

Odpoveď. Prvé zariadenie je dvakrát presnejšie ako druhé.

Príklad 1.6. Nájdite súčet približných meraní zariadenia. Nájdite počet správnych znakov: 0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667 + 0,0625 + 0,0588+ 0,0556 + 0,0526.

Riešenie. Sčítaním všetkých výsledkov meraní dostaneme 0,6187. Maximálna maximálna chyba súčtu je 0,00005·9=0,00045. To znamená, že v poslednej štvrtej číslici súčtu je možná chyba až 5 jednotiek. Sumu teda zaokrúhľujeme na tretiu číslicu, t.j. tisíciny, dostaneme 0,619 - výsledok, v ktorom sú všetky znaky správne.

Odpoveď. 0,619. Počet správnych číslic sú tri desatinné miesta.