Vypočítajte bočný povrch kužeľa. Celková plocha kužeľa je

Tu sú problémy s kužeľmi, stav súvisí s ich povrchom. Najmä pri niektorých problémoch ide o zmenu plochy pri zvyšovaní (znižovaní) výšky kužeľa alebo polomeru jeho základne. Teória riešenia problémov v . Uvažujme o nasledujúcich úlohách:

27135. Obvod základne kužeľa je 3, generátora 2. Nájdite plochu bočnej plochy kužeľa.

Bočný povrch kužeľa sa rovná:

Nahradenie údajov:

75697. Koľkokrát sa plocha bočného povrchu kužeľa zväčší, ak sa jeho tvoriaca čiara zväčší 36-krát a polomer základne zostane rovnaký?

Bočný povrch kužeľa:

Tvoriaca čiara sa zväčší 36-krát. Polomer zostáva rovnaký, čo znamená, že obvod základne sa nezmenil.

To znamená, že bočná plocha upraveného kužeľa bude mať tvar:

Zvýši sa teda 36-krát.

*Vzťah je priamy, takže tento problém sa dá ľahko vyriešiť ústne.

27137. Koľkokrát sa zmenší plocha bočného povrchu kužeľa, ak sa polomer jeho základne zmenší 1,5-krát?

Bočný povrch kužeľa sa rovná:

Polomer sa zmenší 1,5-krát, to znamená:

Zistilo sa, že plocha bočného povrchu sa zmenšila 1,5-krát.

27159. Výška kužeľa je 6, tvoriaca čiara je 10. Nájdite plochu jeho celkového povrchu delenú Pi.

Celý kužeľový povrch:

Musíte nájsť polomer:

Výška a tvoriaca čiara sú známe, pomocou Pytagorovej vety vypočítame polomer:

Takto:

Výsledok vydeľte Pi a zapíšte odpoveď.

76299. Celková plocha kužeľa je 108. Paralelne so základňou kužeľa je nakreslený rez, ktorý delí výšku na polovicu. Nájdite celkovú plochu odrezaného kužeľa.

Úsek prechádza stredom výšky rovnobežne so základňou. To znamená, že polomer základne a tvoriaca čiara odrezaného kužeľa budú 2-krát menšie ako polomer a tvoriaca čiara pôvodného kužeľa. Zapíšme si povrchovú plochu odrezaného kužeľa:

Zistili sme, že to bude 4-krát menej ako povrch originálu, teda 108:4 = 27.

*Keďže pôvodný a odrezaný kužeľ sú podobné telesá, bolo možné použiť aj vlastnosť podobnosti:

27167. Polomer základne kužeľa je 3 a výška je 4. Nájdite celkovú plochu kužeľa delenú Pi.

Vzorec pre celkový povrch kužeľa:

Polomer je známy, je potrebné nájsť tvoriacu čiaru.

Podľa Pytagorovej vety:

Takto:

Výsledok vydeľte Pi a zapíšte odpoveď.

Úloha. Plocha bočného povrchu kužeľa je štyrikrát väčšia ako plocha základne. Nájdi niečo rovná kosínusu uhol medzi tvoriacou čiarou kužeľa a rovinou základne.

Plocha základne kužeľa je:

Geometria je oblasť matematiky, ktorá študuje štruktúry v priestore a vzťahy medzi nimi. Tá sa zase skladá zo sekcií a jednou z nich je stereometria. Zahŕňa štúdium vlastností trojrozmerných postáv umiestnených v priestore: kocka, pyramída, guľa, kužeľ, valec atď.

Kužeľ je teleso v euklidovskom priestore, ktoré je ohraničené kužeľovou plochou a rovinou, na ktorej ležia konce jeho generátorov. K jeho vzniku dochádza pri rotácii pravouhlého trojuholníka okolo ktorejkoľvek z jeho nôh, patrí teda k rotačným telesám.

Komponenty kužeľa

Rozlišovať nasledujúce typy kužele: šikmé (alebo naklonené) a rovné. Šikmý je taký, ktorého os sa nepretína so stredom jeho základne v pravom uhle. Z tohto dôvodu sa výška v takomto kuželi nezhoduje s osou, keďže ide o segment, ktorý je z hornej časti tela spustený do roviny jeho základne pod uhlom 90°.

Kužeľ, ktorého os je kolmá na jeho základňu, sa nazýva rovný. Os a výška v takomto geometrickom tele sa zhodujú v dôsledku skutočnosti, že vrchol v ňom je umiestnený nad stredom priemeru základne.

Kužeľ sa skladá z nasledujúcich prvkov:

1. Kruh, ktorý je jeho základňou.
2. Bočný povrch.
3. Bod, ktorý neleží v rovine základne, nazývaný vrchol kužeľa.
4. Segmenty, ktoré spájajú body kružnice základne geometrického telesa a jeho vrcholu.

Všetky tieto segmenty sú generátormi kužeľa. Sú naklonené k podstave geometrického telesa a v prípade pravého kužeľa sú ich priemety rovnaké, pretože vrchol je rovnako vzdialený od bodov kružnice podstavy. Môžeme teda dospieť k záveru, že v pravidelnom (rovnom) kuželi sú generátory rovnaké, to znamená, že majú rovnakú dĺžku a zvierajú rovnaké uhly s osou (alebo výškou) a základňou.

Keďže v šikmom (alebo naklonenom) rotačnom telese je vrchol posunutý voči stredu základnej roviny, tvoriace priamky v takomto telese majú rôzne dĺžky a projekcia, pretože každý z nich je v inej vzdialenosti od akýchkoľvek dvoch bodov na kružnici základne. Okrem toho sa budú líšiť aj uhly medzi nimi a výška kužeľa.

Dĺžka tvoriacich čiar v priamom kuželi

Ako bolo napísané vyššie, výška v pravom geometrickom rotačnom telese je kolmá na rovinu základne. Teda tvoriaca čiara, výška a polomer základne vytvárajú pravouhlý trojuholník v kuželi.

To znamená, že ak poznáte polomer a výšku základne, pomocou vzorca z Pytagorovej vety môžete vypočítať dĺžku tvoriacej čiary, ktorá sa bude rovnať súčtu druhých mocnín polomeru a výšky základne:

l 2 = r 2 + h 2 alebo l = √r 2 + h 2

kde l je generátor;

r - polomer;

h - výška.

Generátor v naklonenom kuželi

Na základe skutočnosti, že v šikmom alebo naklonenom kuželi generátory nemajú rovnakú dĺžku, nebude možné ich vypočítať bez dodatočných konštrukcií a výpočtov.

Najprv musíte poznať výšku, dĺžku osi a polomer základne.

r1 = √k2 - h2

kde r1 je časť polomeru medzi osou a výškou;

k - dĺžka osi;

h - výška.

V dôsledku sčítania polomeru (r) a jeho časti ležiacej medzi osou a výškou (r 1) môžete zistiť kompletnú vygenerovanú tvoriacu čiaru kužeľa, jeho výšku a časť priemeru:

kde R je rameno trojuholníka tvoreného výškou, generátorom a časťou priemeru základne;

r - polomer základne;

r 1 - časť polomeru medzi osou a výškou.

Pomocou rovnakého vzorca z Pytagorovej vety môžete nájsť dĺžku tvoriacej čiary kužeľa:

l = √h2 + R2

alebo bez samostatného výpočtu R skombinujte dva vzorce do jedného:

l = √h2 + (r + r1) 2.

Bez ohľadu na to, či je kužeľ rovný alebo šikmý a aké sú vstupné údaje, všetky metódy na nájdenie dĺžky tvoriacej čiary vždy vedú k jednému výsledku - použitiu Pytagorovej vety.

Kužeľová časť

Axiálna je rovina prechádzajúca pozdĺž jej osi alebo výšky. V priamom kuželi je takýto úsek rovnoramenný trojuholník, v ktorom je výška trojuholníka výška tela, jeho strany sú generátory a základňa je priemer základne. V rovnostrannom geometrickom telese je axiálnym rezom rovnostranný trojuholník, pretože v tomto kuželi je priemer základne a generátorov rovnaký.

Rovina osového rezu v priamom kuželi je rovinou jeho symetrie. Dôvodom je, že jeho vrchol je umiestnený nad stredom jeho základne, to znamená, že rovina axiálneho rezu rozdeľuje kužeľ na dve rovnaké časti.

Keďže výška a os sa v naklonenom objemovom telese nezhodujú, rovina axiálneho rezu nemusí zahŕňať výšku. Ak je možné v takomto kuželi skonštruovať veľa osových rezov, pretože na to musí byť splnená iba jedna podmienka - musí prechádzať iba osou, potom možno nakresliť iba osový rez rovinou, do ktorej bude patriť výška tohto kužeľa. jedna, pretože sa zvyšuje počet podmienok, a ako je známe, dve priame čiary (spolu) môžu patriť len do jednej roviny.

Prierezová plocha

Vyššie uvedený axiálny rez kužeľa je trojuholník. Na základe toho možno jeho plochu vypočítať pomocou vzorca pre oblasť trojuholníka:

S = 1/2 * d * h alebo S = 1/2 * 2r * h

kde S je plocha prierezu;

d - priemer základne;

r - polomer;

h - výška.

V šikmom alebo naklonenom kuželi je prierez pozdĺž osi tiež trojuholník, takže plocha prierezu v ňom sa vypočíta podobným spôsobom.

Objem

Keďže kužeľ je objemná postava v trojrozmernom priestore, potom sa dá vypočítať jeho objem. Objem kužeľa je číslo, ktoré charakterizuje toto teleso v jednotke objemu, teda v m3. Výpočet nezávisí od toho, či je rovný alebo šikmý (šikmý), keďže vzorce pre tieto dva typy telies sa nelíšia.

Ako už bolo uvedené, k vytvoreniu pravého kužeľa dochádza v dôsledku rotácie pravouhlého trojuholníka pozdĺž jednej z jeho nôh. Naklonený alebo šikmý kužeľ je vytvorený inak, pretože jeho výška je posunutá smerom od stredu roviny základne tela. Takéto rozdiely v štruktúre však neovplyvňujú metódu výpočtu jeho objemu.

Výpočet objemu

Akýkoľvek kužeľ vyzerá takto:

V = 1/3 * π * h * r 2

kde V je objem kužeľa;

h - výška;

r - polomer;

π je konštanta rovná 3,14.

Na výpočet výšky telesa potrebujete poznať polomer základne a dĺžku jej tvoriacej čiary. Keďže polomer, výška a generátor sú spojené do pravouhlého trojuholníka, výšku možno vypočítať pomocou vzorca z Pytagorovej vety (a 2 + b 2 = c 2 alebo v našom prípade h 2 + r 2 = l 2, kde l je generátor). Výška sa vypočíta ako druhá odmocnina rozdielu medzi druhými mocninami prepony a druhej vetvy:

a = √c 2 - b 2

To znamená, že výška kužeľa sa bude rovnať hodnote získanej po odobratí druhej odmocniny rozdielu medzi druhou mocninou dĺžky tvoriacej čiary a druhou mocninou polomeru základne:

h = √l2 - r2

Výpočtom výšky pomocou tejto metódy a poznaním polomeru jej základne môžete vypočítať objem kužeľa. Učiteľ hrá dôležitá úloha, keďže slúži ako pomocný prvok pri výpočtoch.

Podobne, ak je známa výška telesa a dĺžka jeho tvoriacej čiary, je možné zistiť polomer jeho základne extrahovaním Odmocnina z rozdielu medzi druhou mocninou generátora a druhou mocninou výšky:

r = √l 2 - h 2

Potom pomocou rovnakého vzorca ako vyššie vypočítajte objem kužeľa.

Objem nakloneného kužeľa

Keďže vzorec pre objem kužeľa je rovnaký pre všetky typy rotačných telies, rozdielom v jeho výpočte je hľadanie výšky.

Aby bolo možné zistiť výšku nakloneného kužeľa, vstupné údaje musia obsahovať dĺžku tvoriacej priamky, polomer základne a vzdialenosť medzi stredom základne a priesečníkom výšky telesa s rovinou. svojej základne. Keď to viete, môžete ľahko vypočítať tú časť priemeru základne, ktorá bude základňou pravouhlého trojuholníka (tvoreného výškou, tvoriacou čiarou a rovinou základne). Potom opäť pomocou Pytagorovej vety vypočítajte výšku kužeľa a následne jeho objem.

Rotačné telesá študované v škole sú valec, kužeľ a guľa.

Ak v probléme na jednotnej štátnej skúške z matematiky potrebujete vypočítať objem kužeľa alebo plochu gule, považujte sa za šťastného.

Použite vzorce pre objem a povrch valca, kužeľa a gule. Všetky sú v našej tabuľke. Učiť sa naspamäť. Tu začína poznanie stereometrie.

Niekedy je dobré nakresliť pohľad zhora. Alebo, ako v tomto probléme, zdola.

2. Koľkokrát je objem kužeľa opísaný okolo správne štvorhranná pyramída, je väčší ako objem kužeľa vpísaného do tejto pyramídy?

Je to jednoduché - nakreslite pohľad zdola. Vidíme, že polomer väčšieho kruhu je krát väčší ako polomer menšieho kruhu. Výšky oboch kužeľov sú rovnaké. Preto bude objem väčšieho kužeľa dvakrát väčší.

Ďalší dôležitý bod. Pamätajte, že v problémoch časti B Možnosti jednotnej štátnej skúšky v matematike sa odpoveď zapisuje ako celé číslo alebo konečné číslo desiatkový. Preto by vo vašej odpovedi v časti B nemalo byť žiadne alebo. Nie je potrebné dosadzovať ani približnú hodnotu čísla! Musí sa určite zmenšiť! Na tento účel je v niektorých problémoch úloha formulovaná napríklad takto: „Nájdite plochu bočného povrchu valca delenú“.

Kde inde sa používajú vzorce pre objem a povrch rotačných telies? Samozrejme, v úlohe C2 (16). Aj o tom vám povieme.

Vieme, čo je kužeľ, skúsme nájsť jeho povrch. Prečo potrebujete riešiť takýto problém? Napríklad musíte pochopiť, koľko test bude fungovať na výrobu vaflového kornútku? Alebo koľko tehál je potrebných na výrobu tehlovej strechy hradu?

Meranie plochy bočného povrchu kužeľa sa jednoducho nedá. Ale predstavme si ten istý roh zabalený v látke. Ak chcete nájsť oblasť kusu látky, musíte ju odrezať a položiť na stôl. Výsledkom je plochá postava, môžeme nájsť jej plochu.

Ryža. 1. Rez kužeľa pozdĺž tvoriacej priamky

To isté urobíme s kornútkom. Poďme to "strihnúť". bočný povrch pozdĺž ktorejkoľvek tvoriacej čiary, napríklad (pozri obr. 1).

Teraz „rozviňme“ bočný povrch na rovinu. Získame sektor. Stred tohto sektora je vrcholom kužeľa, polomer sektora sa rovná tvoriacej priamke kužeľa a dĺžka jeho oblúka sa zhoduje s obvodom základne kužeľa. Tento sektor sa nazýva rozvinutie bočného povrchu kužeľa (pozri obr. 2).

Ryža. 2. Vývoj bočného povrchu

Ryža. 3. Meranie uhla v radiánoch

Pokúsme sa nájsť oblasť sektora pomocou dostupných údajov. Najprv si zaveďme označenie: nech je uhol vo vrchole sektora v radiánoch (pozri obr. 3).

Pri problémoch sa často budeme musieť vysporiadať s uhlom v hornej časti zákruty. Teraz sa pokúsme odpovedať na otázku: nemôže byť tento uhol väčší ako 360 stupňov? To znamená, neukázalo by sa, že by sa zametanie prekrývalo? Samozrejme, že nie. Dokážme to matematicky. Nechajte skenovanie „prekrývať sa“ samo. To znamená, že dĺžka oblúka je väčšia ako dĺžka kruhu s polomerom. Ale, ako už bolo spomenuté, dĺžka oblúka zametania je dĺžka kruhu s polomerom . A polomer základne kužeľa je samozrejme menší ako tvoriaca čiara, napríklad, pretože rameno pravouhlého trojuholníka je menšie ako prepona

Potom si spomeňme na dva vzorce z kurzu planimetrie: dĺžka oblúka. Oblasť sektora: .

V našom prípade zohráva úlohu generátor , a dĺžka oblúka sa rovná obvodu základne kužeľa, tj. Máme:

Nakoniec dostaneme: .

Spolu s bočným povrchom možno nájsť aj celkový povrch. Za týmto účelom musí byť plocha základne pridaná k ploche bočného povrchu. Základom je však kruh s polomerom, ktorého plocha sa podľa vzorca rovná .

Nakoniec tu máme: , kde je polomer základne valca, je tvoriaca čiara.

Vyriešme niekoľko problémov pomocou uvedených vzorcov.

Ryža. 4. Požadovaný uhol

Príklad 1. Vývoj bočného povrchu kužeľa je sektor s uhlom na vrchole. Nájdite tento uhol, ak je výška kužeľa 4 cm a polomer základne 3 cm (pozri obr. 4).

Ryža. 5. Pravý trojuholník tvoriaci kužeľ

Prvou akciou podľa Pytagorovej vety nájdeme generátor: 5 cm (pozri obr. 5). Ďalej to vieme .

Príklad 2. Plocha axiálneho prierezu kužeľa sa rovná , výška sa rovná . Nájdite celkový povrch (pozri obr. 6).