1 สมการกำลังสอง การแก้สมการกำลังสอง: สูตรราก, ตัวอย่าง

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 หรือ x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

เมื่อเรียนรู้ที่จะแก้สมการระดับแรกแล้ว แน่นอนว่าคุณต้องการทำงานร่วมกับผู้อื่นโดยเฉพาะกับสมการระดับที่สองซึ่งเรียกอีกอย่างว่ากำลังสอง

สมการกำลังสอง- นี่คือสมการประเภท ax² + bx + c = 0 โดยที่ตัวแปรคือ x ตัวเลขคือ a, b, c โดยที่ a ไม่เท่ากับศูนย์

ถ้าในสมการกำลังสองค่าสัมประสิทธิ์ค่าหนึ่งหรือค่าอื่น (c หรือ b) เท่ากับศูนย์ สมการนี้จะถูกจัดเป็นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

จะแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ได้อย่างไรหากนักเรียนสามารถแก้สมการระดับแรกได้เท่านั้น พิจารณาสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ประเภทต่างๆและวิธีการแก้ไขแบบง่ายๆ

a) ถ้าสัมประสิทธิ์ c เท่ากับ 0 และสัมประสิทธิ์ b ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น ax ² + bx + 0 = 0 จะลดลงเป็นสมการในรูปแบบ ax ² + bx = 0

ในการแก้สมการดังกล่าว คุณจำเป็นต้องรู้สูตรในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ซึ่งประกอบด้วยการแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการ แล้วใช้เงื่อนไขที่ว่าผลคูณเท่ากับศูนย์ในภายหลัง

ตัวอย่างเช่น 5x² - 20x = 0 เราแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการ ในขณะที่ดำเนินการทางคณิตศาสตร์ตามปกติ: โดยนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

5x (x - 4) = 0

เราใช้เงื่อนไขว่าผลคูณมีค่าเท่ากับศูนย์

5 x = 0 หรือ x - 4 = 0

คำตอบคือ: รูทแรกคือ 0; รากที่สองคือ 4

b) ถ้า b = 0 และเทอมอิสระไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นสมการ ax ² + 0x + c = 0 จะลดลงเป็นสมการในรูปแบบ ax ² + c = 0 สมการได้รับการแก้ไขในสองวิธี : a) โดยแยกตัวประกอบพหุนามของสมการทางด้านซ้าย ; b) การใช้คุณสมบัติของเลขคณิต รากที่สอง- สมการดังกล่าวสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีใดวิธีหนึ่งเช่น:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2 คำตอบคือ: รูตแรกคือ 5/2; รากที่สองเท่ากับ - 5/2

c) ถ้า b เท่ากับ 0 และ c เท่ากับ 0 ดังนั้น ax ² + 0 + 0 = 0 จะลดลงเป็นสมการในรูปแบบ ax ² = 0 ในสมการดังกล่าว x จะเท่ากับ 0

อย่างที่คุณเห็น สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์สามารถมีรากได้ไม่เกินสองราก

มากกว่า ด้วยวิธีง่ายๆ- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใส่ z ออกจากวงเล็บ คุณจะได้รับ: z(аz + b) = 0 สามารถเขียนตัวประกอบได้: z=0 และ аz + b = 0 เนื่องจากทั้งสองค่าสามารถให้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ได้ ในสัญกรณ์ az + b = 0 เราเลื่อนอันที่สองไปทางขวาด้วยเครื่องหมายอื่น จากตรงนี้ เราจะได้ z1 = 0 และ z2 = -b/a เหล่านี้คือรากเหง้าของต้นฉบับ

หากมีสมการที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ аz² + с = 0, นิ้ว ในกรณีนี้พบได้โดยการโอนเงื่อนไขฟรีไปที่ ด้านขวาสมการ เปลี่ยนเครื่องหมายด้วย ผลลัพธ์จะเป็น az² = -с ด่วน z² = -c/a หารากแล้วเขียนคำตอบสองวิธี - รากที่สองที่เป็นบวกและลบ

โปรดทราบ

ถ้ามีค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนในสมการ ให้คูณสมการทั้งหมดด้วยตัวประกอบที่เหมาะสมเพื่อกำจัดเศษส่วนออก

ความรู้เกี่ยวกับวิธีการแก้สมการกำลังสองเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับทั้งเด็กนักเรียนและนักเรียน บางครั้งก็สามารถช่วยเหลือผู้ใหญ่ในชีวิตประจำวันได้เช่นกัน มีวิธีการแก้ปัญหาเฉพาะหลายประการ

การแก้สมการกำลังสอง

สมการกำลังสองในรูปแบบ a*x^2+b*x+c=0 ค่าสัมประสิทธิ์ x คือตัวแปรที่ต้องการ a, b, c คือค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข โปรดจำไว้ว่าเครื่องหมาย “+” สามารถเปลี่ยนเป็นเครื่องหมาย “-” ได้

ในการแก้สมการนี้ จำเป็นต้องใช้ทฤษฎีบทของเวียตาหรือค้นหาตัวจำแนก วิธีที่พบบ่อยที่สุดคือการค้นหาการแบ่งแยกเนื่องจากค่าบางค่าของ a, b, c ไม่สามารถใช้ทฤษฎีบทของ Vieta ได้

ในการค้นหาการแบ่งแยก (D) คุณต้องเขียนสูตร D=b^2 - 4*a*c ค่า D สามารถมากกว่า น้อยกว่า หรือเท่ากับศูนย์ได้ ถ้า D มากกว่าหรือน้อยกว่าศูนย์ ก็จะมีสองราก ถ้า D = 0 จะเหลือเพียงรากเดียวเท่านั้น เราสามารถพูดได้ว่า D ในกรณีนี้มีรากที่เท่ากันสองอัน แทนค่าสัมประสิทธิ์ที่ทราบ a, b, c ลงในสูตรแล้วคำนวณค่า

หลังจากที่คุณพบการแบ่งประเภทแล้ว ให้ใช้สูตรเพื่อค้นหา x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a โดยที่ sqrt เป็นฟังก์ชันที่หมายถึงการหารากที่สองของ หมายเลขที่กำหนด- หลังจากคำนวณนิพจน์เหล่านี้แล้ว คุณจะพบรากสองอันของสมการของคุณ หลังจากนั้นจึงถือว่าสมการได้รับการแก้ไขแล้ว

ถ้า D น้อยกว่าศูนย์ แสดงว่ายังมีรากอยู่ ส่วนนี้ไม่ได้เรียนที่โรงเรียนในทางปฏิบัติ นักศึกษามหาวิทยาลัยควรทราบว่าตัวเลขติดลบปรากฏอยู่ใต้ราก พวกเขากำจัดมันโดยเน้นส่วนจินตภาพนั่นคือ -1 ใต้รูทจะเท่ากับองค์ประกอบจินตภาพ "i" เสมอซึ่งคูณด้วยรูทด้วยจำนวนบวกเท่ากัน ตัวอย่างเช่น ถ้า D=sqrt(-20) หลังจากการแปลง เราจะได้ D=sqrt(20)*i หลังจากการเปลี่ยนแปลงนี้ การแก้สมการจะลดลงเหลือเพียงการค้นหารากตามที่อธิบายไว้ข้างต้น

ทฤษฎีบทของ Vieta ประกอบด้วยการเลือกค่าของ x(1) และ x(2) ใช้สมการที่เหมือนกันสองสมการ: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. และมาก จุดสำคัญคือเครื่องหมายที่อยู่หน้าสัมประสิทธิ์ b จำไว้ว่าเครื่องหมายนี้อยู่ตรงข้ามกับเครื่องหมายในสมการ เมื่อมองแวบแรก ดูเหมือนว่าการคำนวณ x(1) และ x(2) นั้นง่ายมาก แต่เมื่อแก้โจทย์แล้ว คุณจะต้องเลือกตัวเลข

องค์ประกอบของการแก้สมการกำลังสอง

ตามกฎของคณิตศาสตร์ บางค่าสามารถแยกตัวประกอบได้: (a+x(1))*(b-x(2))=0 หากคุณสามารถแปลงสมการกำลังสองนี้ในลักษณะเดียวกันโดยใช้สูตรทางคณิตศาสตร์ คุณก็สบายใจได้เลย เขียนคำตอบ x(1) และ x(2) จะเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่อยู่ติดกันในวงเล็บ แต่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม

นอกจากนี้อย่าลืมเกี่ยวกับสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ คุณอาจขาดคำศัพท์บางคำไป หากเป็นเช่นนั้น ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ หากไม่มีสิ่งใดอยู่ข้างหน้า x^2 หรือ x สัมประสิทธิ์ a และ b จะเท่ากับ 1

หัวข้อนี้อาจดูซับซ้อนในตอนแรกเนื่องจากมีสูตรที่ไม่ง่ายมากมาย สมการกำลังสองไม่เพียงแต่จะมีสัญกรณ์ที่ยาวเท่านั้น แต่ยังหารากได้จากการแบ่งแยกอีกด้วย รวมแล้วได้สูตรใหม่ถึง 3 สูตร ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะจำ สิ่งนี้เป็นไปได้หลังจากแก้สมการดังกล่าวบ่อยครั้งเท่านั้น แล้วสูตรทั้งหมดก็จะจำเอง

มุมมองทั่วไปของสมการกำลังสอง

ที่นี่เราขอเสนอการบันทึกที่ชัดเจนเมื่อมากที่สุด ระดับสูงเขียนก่อนแล้วจึงเขียนตามลำดับจากมากไปน้อย มักจะมีสถานการณ์ที่ข้อกำหนดไม่สอดคล้องกัน จากนั้นจะเป็นการดีกว่าถ้าเขียนสมการใหม่โดยเรียงลำดับจากมากไปหาน้อยของระดับของตัวแปร

ให้เราแนะนำสัญกรณ์บางอย่าง แสดงไว้ในตารางด้านล่าง

หากเรายอมรับสัญลักษณ์เหล่านี้ สมการกำลังสองทั้งหมดจะลดลงเหลือสัญลักษณ์ต่อไปนี้

ยิ่งไปกว่านั้น ค่าสัมประสิทธิ์ a ≠ 0 ให้สูตรนี้ถูกกำหนดให้เป็นหมายเลขหนึ่ง

เมื่อให้สมการแล้ว ยังไม่ชัดเจนว่าคำตอบจะมีจำนวนรากเท่าใด เพราะหนึ่งในสามตัวเลือกนั้นเป็นไปได้เสมอ:

• การแก้ปัญหาจะมีสองราก
• คำตอบจะเป็นตัวเลขหนึ่งตัว
• สมการนี้จะไม่มีรากเลย

และจนกว่าการตัดสินใจจะสิ้นสุดลงเป็นการยากที่จะเข้าใจว่าตัวเลือกใดจะปรากฏในบางกรณี

ประเภทของการบันทึกสมการกำลังสอง

อาจมีรายการที่แตกต่างกันในงาน พวกมันจะไม่ดูเหมือนสูตรสมการกำลังสองทั่วไปเสมอไป บางทีมันก็จะขาดบางคำไปบ้าง สิ่งที่เขียนไว้ข้างต้นคือสมการที่สมบูรณ์ หากคุณลบเทอมที่สองหรือสามออกไป คุณจะได้อย่างอื่น บันทึกเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่าสมการกำลังสอง แต่ไม่สมบูรณ์เท่านั้น

ยิ่งไปกว่านั้น เฉพาะคำศัพท์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ "b" และ "c" เท่านั้นที่สามารถหายไปได้ ตัวเลข "a" ไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ไม่ว่าในกรณีใด ๆ เพราะในกรณีนี้สูตรจะกลายเป็น สมการเชิงเส้น- สูตรสำหรับรูปแบบสมการที่ไม่สมบูรณ์จะเป็นดังนี้:

มีเพียงสองประเภทเท่านั้น นอกจากแบบสมบูรณ์แล้ว ยังมีสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์อีกด้วย ให้สูตรแรกเป็นหมายเลขสองและสูตรที่สอง - สาม

แยกแยะและการพึ่งพาจำนวนรากตามมูลค่าของมัน

คุณต้องรู้ตัวเลขนี้จึงจะคำนวณรากของสมการได้ สามารถคำนวณได้เสมอไม่ว่าสูตรของสมการกำลังสองจะเป็นเช่นใดก็ตาม ในการคำนวณการแบ่งแยก คุณต้องใช้ความเท่าเทียมกันที่เขียนไว้ด้านล่าง ซึ่งจะมีหมายเลขสี่

หลังจากแทนค่าสัมประสิทธิ์ลงในสูตรนี้แล้วคุณจะได้ตัวเลขด้วย สัญญาณที่แตกต่างกัน- หากคำตอบคือใช่ คำตอบของสมการก็จะมีรากที่แตกต่างกันสองอัน ถ้าจำนวนเป็นลบ จะไม่มีรากของสมการกำลังสอง หากเท่ากับศูนย์ก็จะมีคำตอบเดียวเท่านั้น

จะแก้สมการกำลังสองสมบูรณ์ได้อย่างไร?

อันที่จริงการพิจารณาประเด็นนี้ได้เริ่มต้นขึ้นแล้ว เพราะก่อนอื่นคุณต้องหาคนแบ่งแยกก่อน หลังจากที่พิจารณาแล้วว่าสมการกำลังสองมีรากและทราบจำนวนแล้ว คุณต้องใช้สูตรสำหรับตัวแปร หากมีสองราก คุณต้องใช้สูตรต่อไปนี้

เนื่องจากมีเครื่องหมาย “±” จึงมีสองความหมาย นิพจน์ที่อยู่ใต้เครื่องหมายรากที่สองถือเป็นการแบ่งแยก ดังนั้นจึงสามารถเขียนสูตรใหม่ให้แตกต่างออกไปได้

สูตรหมายเลขห้า จากบันทึกเดียวกัน จะเห็นได้ชัดว่าถ้าตัวจำแนกมีค่าเท่ากับศูนย์ รากทั้งสองจะใช้ค่าเดียวกัน

หากยังไม่ได้แก้สมการกำลังสองควรเขียนค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดก่อนที่จะใช้สูตรจำแนกและตัวแปร หลังจากนั้นช่วงเวลานี้จะไม่ทำให้เกิดปัญหา แต่ในช่วงแรกเริ่มมีความสับสน

จะแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ได้อย่างไร?

ทุกอย่างง่ายกว่ามากที่นี่ ไม่จำเป็นต้องมีสูตรเพิ่มเติมด้วยซ้ำ และสิ่งที่เขียนไว้สำหรับผู้เลือกปฏิบัติและสิ่งที่ไม่รู้จักก็ไม่จำเป็น

ก่อนอื่น เรามาดูสมการหมายเลข 2 ที่ไม่สมบูรณ์กันก่อน ในความเท่าเทียมกันนี้ จำเป็นต้องนำปริมาณที่ไม่ทราบออกจากวงเล็บและแก้สมการเชิงเส้นซึ่งจะยังคงอยู่ในวงเล็บ คำตอบจะมีสองราก อันแรกจำเป็นต้องเท่ากับศูนย์ เนื่องจากมีตัวคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรนั้นเอง อันที่สองจะได้จากการแก้สมการเชิงเส้น

สมการหมายเลข 3 ที่ไม่สมบูรณ์สามารถแก้ไขได้โดยการย้ายตัวเลขจากด้านซ้ายของค่าที่เท่ากันไปทางขวา จากนั้นคุณต้องหารด้วยสัมประสิทธิ์หันหน้าไปทางไม่ทราบ สิ่งที่เหลืออยู่คือแยกรากที่สองออกและอย่าลืมเขียนมันลงไปสองครั้งโดยมีเครื่องหมายตรงข้ามกัน

ด้านล่างนี้คือการดำเนินการบางส่วนที่จะช่วยให้คุณเรียนรู้วิธีแก้ความเท่าเทียมกันทุกรูปแบบที่กลายเป็นสมการกำลังสอง พวกเขาจะช่วยให้นักเรียนหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดเนื่องจากการไม่ตั้งใจ ข้อบกพร่องเหล่านี้อาจทำให้เกรดไม่ดีเมื่อศึกษาหัวข้อที่ครอบคลุม “สมการกำลังสอง (เกรด 8)” ต่อจากนั้นจึงไม่จำเป็นต้องดำเนินการเหล่านี้อย่างต่อเนื่อง เพราะทักษะที่มั่นคงจะปรากฏขึ้น

• ก่อนอื่นคุณต้องเขียนสมการในรูปแบบมาตรฐาน นั่นคือ เทอมแรกที่มีระดับตัวแปรมากที่สุด และจากนั้น - ไม่มีระดับ และสุดท้าย - เป็นเพียงตัวเลข

• หากเครื่องหมายลบปรากฏก่อนค่าสัมประสิทธิ์ "a" อาจทำให้งานสำหรับผู้เริ่มต้นศึกษาสมการกำลังสองซับซ้อนขึ้น เป็นการดีกว่าที่จะกำจัดมัน เพื่อจุดประสงค์นี้ ความเท่าเทียมกันทั้งหมดจะต้องคูณด้วย "-1" หมายความว่าทุกพจน์จะเปลี่ยนเครื่องหมายไปในทิศทางตรงกันข้าม

• แนะนำให้กำจัดเศษส่วนด้วยวิธีเดียวกัน เพียงคูณสมการด้วยตัวประกอบที่เหมาะสมเพื่อที่ตัวส่วนจะตัดกัน

ตัวอย่าง

จำเป็นต้องแก้สมการกำลังสองต่อไปนี้:

x 2 - 7x = 0;

15 − 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

สมการแรก: x 2 − 7x = 0 ยังไม่สมบูรณ์ ดังนั้นจึงแก้ได้ตามที่อธิบายไว้ในสูตรหมายเลข 2

หลังจากนำออกจากวงเล็บปรากฎว่า: x (x - 7) = 0

รากแรกรับค่า: x 1 = 0 รากที่สองจะพบได้จากสมการเชิงเส้น: x - 7 = 0 จะเห็นว่า x 2 = 7 ได้ง่าย

สมการที่สอง: 5x 2 + 30 = 0 ไม่สมบูรณ์อีกครั้ง มีเพียงการแก้ไขตามที่อธิบายไว้ในสูตรที่สามเท่านั้น

หลังจากย้าย 30 ไปทางด้านขวาของสมการ: 5x 2 = 30 ตอนนี้คุณต้องหารด้วย 5 ปรากฎว่า: x 2 = 6 คำตอบจะเป็นตัวเลข: x 1 = √6, x 2 = - √6.

สมการที่สาม: 15 − 2x − x 2 = 0 ต่อไปนี้และต่อไป การแก้สมการกำลังสองจะเริ่มต้นด้วยการเขียนสมการใหม่ในรูปแบบมาตรฐาน: − x 2 − 2x + 15 = 0 ถึงเวลาใช้สมการที่สองแล้ว คำแนะนำที่เป็นประโยชน์แล้วคูณทุกอย่างด้วยลบหนึ่ง ปรากฎว่า x 2 + 2x - 15 = 0 เมื่อใช้สูตรที่สี่คุณต้องคำนวณตัวจำแนก: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64 มันเป็นจำนวนบวก จากที่กล่าวข้างต้น ปรากฎว่าสมการนี้มีรากอยู่ 2 ราก ต้องคำนวณโดยใช้สูตรที่ห้า ปรากฎว่า x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2 จากนั้น x 1 = 3, x 2 = - 5

สมการที่สี่ x 2 + 8 + 3x = 0 ถูกแปลงเป็น: x 2 + 3x + 8 = 0 ค่าจำแนกของมันเท่ากับค่านี้: -23 เนื่องจากจำนวนนี้เป็นลบ คำตอบของงานนี้จะเป็นรายการต่อไปนี้: "ไม่มีราก"

สมการที่ห้า 12x + x 2 + 36 = 0 ควรเขียนใหม่ดังนี้: x 2 + 12x + 36 = 0 หลังจากใช้สูตรสำหรับการแบ่งแยกแล้วจะได้เลขศูนย์ ซึ่งหมายความว่าจะมีหนึ่งรูต คือ: x = -12/ (2 * 1) = -6

สมการที่หก (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) ต้องมีการแปลง ซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าคุณต้องนำพจน์ที่คล้ายกันมา โดยเปิดวงเล็บออกก่อน แทนที่รายการแรกจะมีนิพจน์ต่อไปนี้: x 2 + 2x + 1 หลังจากความเท่าเทียมกันรายการนี้จะปรากฏขึ้น: x 2 + 3x + 2 หลังจากนับคำศัพท์ที่คล้ายกันแล้ว สมการจะอยู่ในรูปแบบ: x ​​2 - x = 0 มันไม่สมบูรณ์ สิ่งที่คล้ายกันนี้ได้ถูกพูดคุยกันในระดับที่สูงขึ้นเล็กน้อยแล้ว รากของสิ่งนี้จะเป็นตัวเลข 0 และ 1

ให้สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0
ให้เราใช้กับขวานตรีโกณมิติกำลังสอง 2 + bx + c การแปลงแบบเดียวกับที่เราทำในมาตรา 13 เมื่อเราพิสูจน์ทฤษฎีบทว่ากราฟของฟังก์ชัน y = ax 2 + bx + c เป็นพาราโบลา
เรามี

โดยปกติแล้วนิพจน์ b 2 - 4ac จะแสดงด้วยตัวอักษร D และเรียกว่า discriminant ของสมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 (หรือ discriminant ตรีโกณมิติกำลังสองขวาน + bx + ค)

ดังนั้น

ซึ่งหมายความว่าสมการกำลังสอง ax 2 + พวกเขา + c = O สามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบ

สมการกำลังสองใดๆ ก็สามารถแปลงเป็นรูปแบบ (1) ได้ ซึ่งเป็นวิธีที่สะดวก ดังที่เราจะได้เห็นในตอนนี้ เพื่อที่จะหาจำนวนรากของสมการกำลังสองและค้นหารากเหล่านี้

การพิสูจน์. ถ้า D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время ด้านซ้ายสมการ (1) รับค่าที่ไม่เป็นลบสำหรับค่าใด ๆ ของ x ซึ่งหมายความว่าไม่มีค่า x ใดที่จะเป็นไปตามสมการ (1) ดังนั้นสมการ (1) จึงไม่มีราก

ตัวอย่างที่ 1แก้สมการ 2x 2 + 4x + 7 = 0
สารละลาย. ที่นี่ a = 2, b = 4, c = 7,
ง = ข 2 -4ac = 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
ตั้งแต่ D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

การพิสูจน์. ถ้า D = 0 สมการ (1) จะอยู่ในรูปแบบ

เป็นรากเดียวของสมการ

หมายเหตุ 1. คุณจำได้ไหมว่า x = - คือจุดหักมุมของจุดยอดของพาราโบลา ซึ่งทำหน้าที่เป็นกราฟของฟังก์ชัน y = ax 2 + พวกเขา + c ทำไมสิ่งนี้
ค่ากลายเป็นรากเดียวของสมการกำลังสอง ax 2 + พวกเขา + c - 0? “หีบศพ” จะเปิดออกง่ายๆ: ถ้า D เป็น 0 ตามที่เรากำหนดไว้ก่อนหน้านี้

กราฟของฟังก์ชันเดียวกัน คือพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดหนึ่ง (ดูรูปที่ 98) ซึ่งหมายความว่า สมการกำลังสองของจุดยอดของพาราโบลาและรากของสมการกำลังสองสำหรับ D = 0 เป็นจำนวนเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 2แก้สมการ 4x 2 - 20x + 25 = 0
สารละลาย. โดยที่ a = 4, b = -20, c = 25, D = b 2 - 4ac = (-20) 2 - 4 4. 25 = 400 - 400 = 0

เนื่องจาก D = 0 ดังนั้นตามทฤษฎีบทที่ 2 สมการกำลังสองนี้มีรากเดียว สูตรนี้พบรูทนี้

คำตอบ: 2.5.

หมายเหตุ 2 โปรดทราบว่า 4x 2 - 20x +25 เป็นกำลังสองสมบูรณ์: 4x 2 - 20x + 25 = (2x - 5) 2
หากเราสังเกตเห็นสิ่งนี้ทันที เราคงจะแก้สมการได้ดังนี้: (2x - 5) 2 = 0 ซึ่งหมายถึง 2x - 5 = 0 ซึ่งจากนี้เราจะได้ x = 2.5 โดยทั่วไปถ้า D = 0 แสดงว่า

ax 2 + bx + c = - เราสังเกตไว้ก่อนหน้านี้ในหมายเหตุ 1
ถ้า D > 0 แล้วสมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 มีสองราก ซึ่งหาได้จากสูตร

การพิสูจน์- ให้เราเขียนสมการกำลังสองใหม่ ax 2 + b x + c = 0 ในรูปแบบ (1)

เอาล่ะใส่
ตามเงื่อนไข D > 0 ซึ่งหมายความว่าด้านขวาของสมการเป็นจำนวนบวก จากนั้นจากสมการ (2) เราจะได้สิ่งนั้น

ดังนั้น สมการกำลังสองที่ให้มาจึงมีรากอยู่สองประการ:

หมายเหตุ 3 ในทางคณิตศาสตร์ ไม่ค่อยเกิดขึ้นเลยที่คำที่แนะนำไม่มีพื้นฐานในชีวิตประจำวัน เรามาลองสิ่งใหม่กันดีกว่า
แนวคิด - เลือกปฏิบัติ จำคำว่า "การเลือกปฏิบัติ" มันหมายความว่าอะไร? มันหมายถึงความอัปยศอดสูของบางคนและการยกระดับของผู้อื่นเช่น ทัศนคติที่แตกต่างกัน
ให้กับผู้คนต่างๆ ทั้งสองคำ (เลือกปฏิบัติและการเลือกปฏิบัติ) มาจากภาษาละติน discriminans - "เลือกปฏิบัติ" ผู้แยกแยะแยกแยะสมการกำลังสองด้วยจำนวนราก

ตัวอย่างที่ 3แก้สมการ 3x 2 + 8x - 11 = 0
สารละลาย. ที่นี่ a = 3, b = 8, c = - 11,
ง = ข 2 - 4เอซี = 8 2 - 4 3. (-11) = 64 + 132 = 196
เนื่องจาก D > 0 จากนั้นตามทฤษฎีบท 3 สมการกำลังสองนี้จึงมีราก 2 อัน รากเหล่านี้พบได้ตามสูตร (3)

อันที่จริง เราได้พัฒนากฎต่อไปนี้:

กฎสำหรับการแก้สมการ
ขวาน 2 + bx + c = 0

กฎนี้เป็นกฎสากล โดยใช้ได้กับทั้งสมการกำลังสองที่สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์มักไม่แก้โดยใช้กฎนี้ จะสะดวกกว่าในการแก้สมการดังที่เราทำในย่อหน้าก่อนๆ

ตัวอย่างที่ 4แก้สมการ:

ก) x 2 + 3x - 5 = 0; ข) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; ค) 2x 2 -x + 3.5 = 0

วิธีแก้ไข a) ที่นี่ a = 1, b = 3, c = - 5,
D = ข 2 - 4ac = Z 2 - 4 1. (- 5) = 9 + 20 = 29

เนื่องจาก D > 0 สมการกำลังสองนี้มีรากสองอัน เราค้นหารากเหล่านี้โดยใช้สูตร (3)

B) ตามที่ประสบการณ์แสดงให้เห็น จะสะดวกกว่าในการจัดการกับสมการกำลังสองซึ่งสัมประสิทธิ์นำเป็นค่าบวก ดังนั้น ก่อนอื่นเราคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย -1 เราก็จะได้

9x 2 - 6x + 1 = 0
โดยที่ a = 9, b = -6, c = 1, D = b 2 - 4ac = 36 - 36 = 0
เนื่องจาก D = 0 สมการกำลังสองนี้มีรากเดียว พบรูทนี้โดยสูตร x = - วิธี,

สมการนี้สามารถแก้ได้แตกต่างออกไป: เนื่องจาก
9x 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ จากนั้นเราจะได้สมการ (Зх - I) 2 = 0 จากที่เราค้นหา Зх - 1 = 0 เช่น x = .

c) ที่นี่ a = 2, b = - 1, c = 3.5, D = b 2 - 4ac = 1 - 4 2. 3.5= 1 - 28 = - 27 เนื่องจาก D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

นักคณิตศาสตร์เป็นคนที่ปฏิบัติได้จริงและประหยัด ทำไมพวกเขาถึงบอกว่าใช้กฎยาว ๆ ในการแก้สมการกำลังสองจึงควรเขียนสูตรทั่วไปทันที:

หากปรากฎว่าตัวจำแนก D = b 2 - 4ac เป็นจำนวนลบ แสดงว่าสูตรที่เขียนไม่สมเหตุสมผล (ภายใต้เครื่องหมายรากที่สองจะมีจำนวนลบ) ซึ่งหมายความว่าไม่มีราก หากปรากฎว่าผู้จำแนกมีค่าเท่ากับศูนย์ เราก็จะได้

นั่นคือหนึ่งราก (พวกเขายังบอกด้วยว่าสมการกำลังสองในกรณีนี้มีสองรากที่เหมือนกัน:

ในที่สุด หากปรากฎว่า b 2 - 4ac > 0 เราจะได้สองราก x 1 และ x 2 ซึ่งคำนวณโดยใช้สูตรเดียวกัน (3) ตามที่ระบุข้างต้น

ตัวเลขในกรณีนี้คือจำนวนบวก (เช่นเดียวกับรากที่สองของจำนวนบวก) และเครื่องหมายคู่ที่อยู่ด้านหน้าหมายความว่าในกรณีหนึ่ง (เมื่อค้นหา x 1) จำนวนบวกนี้จะถูกบวกเข้ากับตัวเลข - b และ ในอีกกรณีหนึ่ง (เมื่อหา x 2) นี่คือจำนวนบวก
อ่านจากตัวเลข - ข

คุณมีอิสระในการเลือก คุณต้องการแก้สมการกำลังสองโดยละเอียดโดยใช้กฎที่เขียนไว้ข้างต้นหรือไม่ หากต้องการ ให้จดสูตร (4) ทันทีแล้วใช้หาข้อสรุปที่จำเป็น

ตัวอย่างที่ 5- แก้สมการ:

วิธีแก้ไข ก) แน่นอน คุณสามารถใช้สูตร (4) หรือ (3) โดยคำนึงถึงในกรณีนี้ด้วย แต่ทำไมต้องใช้เศษส่วนในเมื่อง่ายกว่าและที่สำคัญที่สุดคือสนุกกว่าในการจัดการกับจำนวนเต็ม? กำจัดตัวส่วนออกไป. ในการทำเช่นนี้ คุณต้องคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ซึ่งก็คือด้วยตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดของเศษส่วนที่ใช้เป็นสัมประสิทธิ์ของสมการ เราได้รับ

โดยที่ 8x 2 + 10x - 7 = 0

ตอนนี้ลองใช้สูตร (4)

B) เรามีสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนอีกครั้ง: a = 3, b = - 0.2, c = 2.77 ลองคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 100 จากนั้นเราจะได้สมการที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม:
300x 2 - 20x + 277 = 0
ต่อไปเราใช้สูตร (4):

การคำนวณอย่างง่ายแสดงให้เห็นว่าการแบ่งแยก (นิพจน์ราก) เป็นจำนวนลบ ซึ่งหมายความว่าสมการไม่มีราก

ตัวอย่างที่ 6แก้สมการ
สารละลาย. ในที่นี้ ไม่เหมือนกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ การดำเนินการตามกฎดีกว่าที่จะปฏิบัติตามสูตรย่อ (4)

เรามี a = 5, b = -, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-) 2 - 4 5. 1 = 60 - 20 = 40 เนื่องจาก D > 0 สมการกำลังสองจึงมีราก 2 อัน ซึ่งเราจะหาโดยใช้สูตร (3)

ตัวอย่างที่ 7แก้สมการ
x 2 - (2p + 1)x + (p 2 +p-2) = 0

สารละลาย. สมการกำลังสองนี้แตกต่างจากสมการกำลังสองทั้งหมดที่พิจารณาจนถึงตอนนี้ตรงที่ว่าสัมประสิทธิ์ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ แต่ การแสดงออกตามตัวอักษร- สมการดังกล่าวเรียกว่าสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตัวอักษรหรือสมการพร้อมพารามิเตอร์ ในกรณีนี้ พารามิเตอร์ (ตัวอักษร) p จะรวมอยู่ในค่าสัมประสิทธิ์ที่สองและเทอมอิสระของสมการ
เรามาค้นหาผู้จำแนก:

ตัวอย่างที่ 8- แก้สมการ px 2 + (1 - p) x - 1 = 0
สารละลาย. นี่เป็นสมการที่มีพารามิเตอร์ p เช่นกัน แต่ไม่เหมือนกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ ไม่สามารถแก้ไขได้ทันทีโดยใช้สูตร (4) หรือ (3) ความจริงก็คือสูตรที่ระบุใช้ได้กับสมการกำลังสอง แต่เรายังไม่สามารถพูดสิ่งนี้เกี่ยวกับสมการที่กำหนดได้ จริงๆ แล้วถ้า p = 0 ล่ะ? แล้ว
สมการจะอยู่ในรูปแบบ 0 x 2 + (1-0)x- 1 = 0 เช่น x - 1 = 0 ซึ่งเราจะได้ x = 1 ทีนี้ ถ้าคุณรู้แน่ว่า คุณก็สามารถใช้สูตรสำหรับรากของกำลังสองได้ สมการ:

เราศึกษาหัวข้อต่อไป” การแก้สมการ- เราคุ้นเคยกับสมการเชิงเส้นแล้วและกำลังทำความคุ้นเคยต่อไป สมการกำลังสอง.

ก่อนอื่นเราจะมาดูกันว่าสมการกำลังสองคืออะไรและเขียนไว้อย่างไร มุมมองทั่วไปและเราจะให้ คำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง- หลังจากนี้ เราจะใช้ตัวอย่างเพื่อดูรายละเอียดวิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ต่อไป เราจะไปยังการแก้สมการที่สมบูรณ์ รับสูตรราก ทำความคุ้นเคยกับการแบ่งแยกสมการกำลังสอง และพิจารณาคำตอบของตัวอย่างทั่วไป สุดท้าย เรามาติดตามความเชื่อมโยงระหว่างรากกับสัมประสิทธิ์กัน

การนำทางหน้า

สมการกำลังสองคืออะไร? ประเภทของพวกเขา

ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจให้ชัดเจนว่าสมการกำลังสองคืออะไร ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะเริ่มการสนทนาเกี่ยวกับสมการกำลังสองด้วยคำจำกัดความของสมการกำลังสองตลอดจนคำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง หลังจากนี้ คุณสามารถพิจารณาสมการกำลังสองประเภทหลักๆ ได้: แบบลดและไม่ลด รวมถึงสมการที่สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์

ความหมายและตัวอย่างของสมการกำลังสอง

คำนิยาม.

สมการกำลังสองเป็นสมการของรูปแบบ a x 2 +b x+c=0โดยที่ x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง และ a ไม่ใช่ศูนย์

สมมติทันทีว่าสมการกำลังสองมักเรียกว่าสมการระดับที่สอง นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าสมการกำลังสองคือ สมการพีชคณิต ระดับที่สอง

คำจำกัดความที่ระบุช่วยให้เราสามารถยกตัวอย่างสมการกำลังสองได้ ดังนั้น 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 เป็นต้น เหล่านี้คือสมการกำลังสอง

คำนิยาม.

ตัวเลข a, b และ c ถูกเรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง a·x 2 +b·x+c=0 และสัมประสิทธิ์ a เรียกว่าค่าแรก หรือค่าสูงสุด หรือค่าสัมประสิทธิ์ของ x 2 b คือค่าสัมประสิทธิ์ที่สอง หรือค่าสัมประสิทธิ์ของ x และ c คือเทอมอิสระ .

ตัวอย่างเช่น ลองใช้สมการกำลังสองในรูปแบบ 5 x 2 −2 x −3=0 โดยที่สัมประสิทธิ์นำหน้าคือ 5 สัมประสิทธิ์ที่สองเท่ากับ −2 และเทอมอิสระเท่ากับ −3 โปรดทราบว่าเมื่อสัมประสิทธิ์ b และ/หรือ c เป็นลบ ดังตัวอย่างที่เพิ่งให้ไป แบบสั้นการเขียนสมการกำลังสองในรูปแบบ 5 x 2 −2 x−3=0 และไม่ใช่ 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0

เป็นที่น่าสังเกตว่าเมื่อสัมประสิทธิ์ a และ/หรือ b เท่ากับ 1 หรือ −1 พวกมันมักจะไม่แสดงอย่างชัดเจนในสมการกำลังสอง ซึ่งเนื่องมาจากลักษณะเฉพาะของการเขียนเช่นนั้น ตัวอย่างเช่น ในสมการกำลังสอง y 2 −y+3=0 ค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าคือ 1 และสัมประสิทธิ์ของ y เท่ากับ −1

สมการกำลังสองที่ลดลงและไม่ลดลง

ขึ้นอยู่กับค่าของสัมประสิทธิ์นำ สมการกำลังสองที่ลดลงและไม่ลดลงจะมีความโดดเด่น ให้เราให้คำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง

คำนิยาม.

สมการกำลังสองซึ่งเรียกค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็น 1 ให้สมการกำลังสอง- มิฉะนั้นสมการกำลังสองจะเป็น มิได้ถูกแตะต้อง.

ตาม คำจำกัดความนี้, สมการกำลังสอง x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 เป็นต้น – กำหนดให้ในแต่ละค่าสัมประสิทธิ์แรกมีค่าเท่ากับหนึ่ง A 5 x 2 −x−1=0 เป็นต้น - สมการกำลังสองที่ไม่ได้ลดลง ค่าสัมประสิทธิ์นำจะแตกต่างจาก 1

จากสมการกำลังสองที่ไม่ได้ลดค่าใดๆ โดยการหารทั้งสองข้างด้วยสัมประสิทธิ์นำ คุณก็จะได้ค่าที่ลดลงแล้ว การกระทำนี้เป็นการแปลงที่เทียบเท่า กล่าวคือ สมการกำลังสองลดลงที่ได้ในลักษณะนี้จะมีรากเดียวกันกับสมการกำลังสองที่ยังไม่ได้ลดแบบเดิม หรือไม่มีรากในลักษณะเดียวกัน

ให้เราดูตัวอย่างวิธีการเปลี่ยนจากสมการกำลังสองที่ไม่ได้ลดลงไปเป็นสมการที่ลดลง

ตัวอย่าง.

จากสมการ 3 x 2 +12 x−7=0 ไปที่สมการกำลังสองลดรูปที่สอดคล้องกัน

สารละลาย.

เราแค่ต้องหารทั้งสองด้านของสมการเดิมด้วยสัมประสิทธิ์นำหน้า 3 ซึ่งไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้นเราจึงดำเนินการนี้ได้ เรามี (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 ซึ่งเหมือนกัน (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 แล้ว (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 จากที่ไหน . นี่คือวิธีที่เราได้สมการกำลังสองลดลงซึ่งเทียบเท่ากับสมการดั้งเดิม

คำตอบ:

สมการกำลังสองที่สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์

คำจำกัดความของสมการกำลังสองมีเงื่อนไข a≠0 เงื่อนไขนี้จำเป็นเพื่อให้สมการ a x 2 + b x + c = 0 เป็นกำลังสอง เนื่องจากเมื่อ a = 0 จะกลายเป็นสมการเชิงเส้นในรูปแบบ b x + c = 0

สำหรับค่าสัมประสิทธิ์ b และ c พวกมันสามารถมีค่าเท่ากับศูนย์ทั้งแบบเดี่ยวและแบบรวมกัน ในกรณีเหล่านี้ สมการกำลังสองเรียกว่าไม่สมบูรณ์

คำนิยาม.

เรียกสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c=0 ไม่สมบูรณ์ถ้ามีสัมประสิทธิ์ b, c อย่างน้อยหนึ่งค่าเท่ากับศูนย์

ในทางกลับกัน

คำนิยาม.

สมการกำลังสองที่สมบูรณ์เป็นสมการที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดแตกต่างจากศูนย์

ชื่อดังกล่าวไม่ได้รับมาโดยบังเอิญ สิ่งนี้จะชัดเจนจากการสนทนาต่อไปนี้

ถ้าสัมประสิทธิ์ b เป็นศูนย์ สมการกำลังสองจะอยู่ในรูปแบบ a·x 2 +0·x+c=0 และจะเทียบเท่ากับสมการ a·x 2 +c=0 ถ้า c=0 นั่นคือสมการกำลังสองอยู่ในรูปแบบ a·x 2 +b·x+0=0 ก็สามารถเขียนใหม่เป็น a·x 2 +b·x=0 และด้วย b=0 และ c=0 เราจะได้สมการกำลังสอง a·x 2 =0 สมการที่ได้จะแตกต่างจากสมการกำลังสองโดยสมบูรณ์ตรงที่ด้านซ้ายมือไม่มีพจน์ที่มีตัวแปร x หรือพจน์อิสระ หรือทั้งสองอย่าง ดังนั้นชื่อของพวกเขา - สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

ดังนั้นสมการ x 2 +x+1=0 และ −2 x 2 −5 x+0.2=0 เป็นตัวอย่างของสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ และ x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 เป็นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

จากข้อมูลในย่อหน้าที่แล้วมีดังนี้ สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์สามประเภท:

• a·x 2 =0 ค่าสัมประสิทธิ์ b=0 และ c=0 สอดคล้องกับมัน
• a x 2 +c=0 เมื่อ b=0 ;
• และ a·x 2 +b·x=0 เมื่อ c=0

ให้เราตรวจสอบเพื่อดูว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของแต่ละประเภทเหล่านี้ได้รับการแก้ไขอย่างไร

ก x 2 = 0

มาเริ่มด้วยการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ โดยสัมประสิทธิ์ b และ c เท่ากับศูนย์ นั่นคือสมการที่มีรูปแบบ a x 2 =0 สมการ a·x 2 =0 เทียบเท่ากับสมการ x 2 =0 ซึ่งได้มาจากสมการดั้งเดิมโดยการหารทั้งสองส่วนด้วยจำนวน a ที่ไม่ใช่ศูนย์ แน่นอนว่ารากของสมการ x 2 =0 เป็นศูนย์ เนื่องจาก 0 2 =0 สมการนี้ไม่มีรากอื่น ซึ่งอธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ p จะมีอสมการ p 2 >0 อยู่ ซึ่งหมายความว่าสำหรับ p≠0 ความเท่าเทียมกัน p 2 =0 ไม่เคยเกิดขึ้นเลย

ดังนั้น สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ a·x 2 =0 มีรากเดียว x=0

ตามตัวอย่าง เราให้คำตอบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ −4 x 2 =0 มันเทียบเท่ากับสมการ x 2 =0 โดยมีรากเพียงตัวเดียวคือ x=0 ดังนั้น สมการดั้งเดิมจึงมีศูนย์รากเพียงตัวเดียว

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ ในกรณีนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:
−4 x 2 =0 ,
x 2 = 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

ตอนนี้เรามาดูกันว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ได้รับการแก้ไขอย่างไร โดยสัมประสิทธิ์ b เป็นศูนย์และ c≠0 นั่นคือสมการในรูปแบบ a x 2 +c=0 เรารู้ว่าการย้ายพจน์จากด้านหนึ่งของสมการไปยังอีกด้านหนึ่งที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม รวมถึงการหารทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ ทำให้เกิดสมการที่เทียบเท่ากัน ดังนั้นเราจึงสามารถดำเนินการแปลงสมการสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ a x 2 +c=0 ได้ดังต่อไปนี้:

• ย้าย c ไปทางด้านขวา ซึ่งจะได้สมการ a x 2 =−c
• และหารทั้งสองข้างด้วย a เราก็จะได้

สมการที่ได้ช่วยให้เราสามารถสรุปเกี่ยวกับรากเหง้าของมันได้ ขึ้นอยู่กับค่าของ a และ c ค่าของนิพจน์อาจเป็นค่าลบ (เช่น ถ้า a=1 และ c=2 ดังนั้น ) หรือค่าบวก (ตัวอย่างเช่น ถ้า a=−2 และ c=6 แล้ว ) ไม่เป็นศูนย์ เนื่องจากตามเงื่อนไข c≠0 มาดูกรณีต่างๆ แยกกัน

ถ้า แล้วสมการนั้นไม่มีราก ข้อความนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่ากำลังสองของจำนวนใดๆ เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ จากนี้ไปเมื่อ เมื่อ แล้วสำหรับจำนวนใด ๆ p ความเท่าเทียมกันไม่สามารถเป็นจริงได้

ถ้า แล้วสถานการณ์ที่มีรากของสมการแตกต่างกัน ในกรณีนี้ ถ้าเราจำได้ประมาณ รากของสมการก็จะชัดเจนทันที นั่นคือตัวเลข เนื่องจาก . เป็นเรื่องง่ายที่จะเดาว่าตัวเลขนั้นก็เป็นรากของสมการเช่นกัน สมการนี้ไม่มีรากอื่นใดที่สามารถแสดงได้ เช่น ในทางที่ขัดแย้งกัน มาทำสิ่งนี้กันเถอะ

ให้เราแสดงถึงรากของสมการที่เพิ่งประกาศเป็น x 1 และ −x 1 . สมมติว่าสมการนี้มีราก x 2 มากกว่าหนึ่งราก แตกต่างจากรากที่ระบุ x 1 และ −x 1 เป็นที่ทราบกันดีว่าการแทนที่รากของมันลงในสมการแทน x จะทำให้สมการมีความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้อง สำหรับ x 1 และ −x 1 เรามี และสำหรับ x 2 เรามี คุณสมบัติของความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขช่วยให้เราสามารถลบความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ถูกต้องแบบเทอมต่อเทอมได้ ดังนั้นการลบส่วนที่ตรงกันของความเท่าเทียมกันจะได้ x 1 2 −x 2 2 =0 คุณสมบัติของการดำเนินการกับตัวเลขทำให้เราสามารถเขียนผลลัพธ์ที่เท่ากันใหม่ได้เป็น (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0 เรารู้ว่าผลคูณของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่ออย่างน้อยหนึ่งในนั้นมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น จากผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกัน จะได้ว่า x 1 −x 2 =0 และ/หรือ x 1 +x 2 =0 ซึ่งเท่ากัน x 2 =x 1 และ/หรือ x 2 =−x 1 ดังนั้นเราจึงเกิดความขัดแย้ง เนื่องจากในตอนแรกเราบอกว่ารากของสมการ x 2 แตกต่างจาก x 1 และ −x 1 นี่พิสูจน์ว่าสมการไม่มีรากอื่นนอกจาก และ

ให้เราสรุปข้อมูลในย่อหน้านี้ สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ a x 2 +c=0 เทียบเท่ากับสมการนั้น

• ไม่มีรากถ้า
• มีสองราก และ ถ้า .

ลองพิจารณาตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ a·x 2 +c=0

เริ่มจากสมการกำลังสอง 9 x 2 +7=0 กันก่อน หลังจากย้ายพจน์อิสระไปทางด้านขวาของสมการแล้ว มันจะอยู่ในรูปแบบ 9 x 2 =−7 เมื่อหารทั้งสองข้างของสมการผลลัพธ์ด้วย 9 เราจะได้ผลลัพธ์ที่ เนื่องจากทางด้านขวามีจำนวนลบ สมการนี้จึงไม่มีราก ดังนั้นสมการกำลังสองเดิมที่ไม่สมบูรณ์ 9 x 2 +7 = 0 จึงไม่มีราก

ลองแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์อีกอันหนึ่ง −x 2 +9=0 เราย้ายเก้าไปทางด้านขวา: −x 2 =−9 ตอนนี้เราหารทั้งสองข้างด้วย −1 เราจะได้ x 2 = 9 ทางด้านขวาจะมีจำนวนบวกซึ่งเราสรุปได้ว่า หรือ . จากนั้นเราเขียนคำตอบสุดท้ายลงไป: สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ −x 2 +9=0 มีสองราก x=3 หรือ x=−3

ก x 2 +ข x=0

ยังคงต้องจัดการกับคำตอบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ประเภทสุดท้ายสำหรับ c=0 สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ a x 2 + b x = 0 ช่วยให้คุณแก้ได้ วิธีการแยกตัวประกอบ- แน่นอนว่าเราทำได้ โดยอยู่ทางด้านซ้ายของสมการ ซึ่งก็เพียงพอแล้วที่จะนำตัวประกอบร่วม x ออกจากวงเล็บ สิ่งนี้ช่วยให้เราสามารถย้ายจากสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ดั้งเดิมไปเป็นสมการที่เทียบเท่าในรูปแบบ x·(a·x+b)=0 และสมการนี้เทียบเท่ากับเซตของสมการสองสมการ x=0 และ a·x+b=0 ซึ่งสมการหลังเป็นเส้นตรงและมีราก x=−b/a

ดังนั้น สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ a·x 2 +b·x=0 มีสองราก x=0 และ x=−b/a

เพื่อรวมวัสดุเข้าด้วยกัน เราจะวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาตามตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่าง.

แก้สมการ

สารละลาย.

การเอา x ออกจากวงเล็บจะได้สมการ มันเทียบเท่ากับสองสมการ x=0 และ เราแก้สมการเชิงเส้นผลลัพธ์: และหารจำนวนคละด้วย เศษส่วนทั่วไปเราพบ ดังนั้นรากของสมการดั้งเดิมคือ x=0 และ

หลังจากได้ฝึกปฏิบัติที่จำเป็นแล้ว สามารถเขียนคำตอบของสมการดังกล่าวได้สั้นๆ ดังนี้

คำตอบ:

x=0 , .

Discriminant คือสูตรหารากของสมการกำลังสอง

ในการแก้สมการกำลังสองนั้นมีสูตรรากอยู่ มาเขียนมันลงไปกันดีกว่า สูตรหารากของสมการกำลังสอง: , ที่ไหน D=b 2 −4 a ค- ที่เรียกว่า จำแนกสมการกำลังสอง- รายการโดยพื้นฐานหมายความว่า .

การรู้ว่าสูตรรากได้มาอย่างไรและใช้ในการหารากของสมการกำลังสองอย่างไรมีประโยชน์ ลองคิดดูสิ

ที่มาของสูตรหารากของสมการกำลังสอง

ให้เราแก้สมการกำลังสอง a·x 2 +b·x+c=0 ลองทำการแปลงที่เทียบเท่ากัน:

• เราสามารถหารทั้งสองข้างของสมการนี้ด้วยจำนวน a ที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งได้ผลลัพธ์เป็นสมการกำลังสองต่อไปนี้
• ตอนนี้ เลือกสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์ทางด้านซ้าย: . หลังจากนี้สมการจะอยู่ในรูปแบบ .
• ในขั้นนี้เป็นไปได้ที่จะโอนสองเทอมสุดท้ายไปทางด้านขวาโดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม เรามี .
• และมาแปลงนิพจน์ทางด้านขวาด้วย:

ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการที่เทียบเท่ากับสมการกำลังสองเดิม a·x 2 +b·x+c=0

เราได้แก้สมการที่คล้ายกันในรูปแบบในย่อหน้าก่อนหน้าแล้วเมื่อเราตรวจสอบ สิ่งนี้ช่วยให้เราสามารถสรุปข้อสรุปต่อไปนี้เกี่ยวกับรากของสมการ:

• ถ้า แล้วสมการก็ไม่มีคำตอบที่แท้จริง
• ถ้า สมการนั้นจะมีรูปแบบ ดังนั้น ซึ่งมองเห็นได้เพียงรากเท่านั้น
• ถ้า , แล้ว หรือ ซึ่งเหมือนกับ หรือ นั่นคือสมการมีสองราก

ดังนั้น การมีอยู่หรือไม่มีรากของสมการ และสมการกำลังสองดั้งเดิม ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของนิพจน์ทางด้านขวา ในทางกลับกัน เครื่องหมายของนิพจน์นี้ถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของตัวเศษ เนื่องจากตัวส่วน 4·a 2 จะเป็นค่าบวกเสมอ นั่นคือโดยเครื่องหมายของนิพจน์ b 2 −4·a·c นิพจน์นี้ b 2 −4 a c ถูกเรียก จำแนกสมการกำลังสองและกำหนดไว้ในจดหมาย ดี- จากที่นี่ สาระสำคัญของการแบ่งแยกนั้นชัดเจน - ขึ้นอยู่กับค่าและเครื่องหมายของมัน พวกเขาสรุปว่าสมการกำลังสองมีรากจริงหรือไม่ และถ้าเป็นเช่นนั้น หมายเลขของพวกเขาคืออะไร - หนึ่งหรือสอง

ลองกลับไปที่สมการแล้วเขียนใหม่โดยใช้สัญลักษณ์แยกแยะ: และเราก็ได้ข้อสรุป:

• ถ้า D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ถ้า D=0 สมการนี้มีรากเดียว
• สุดท้าย ถ้า D>0 สมการจะมีราก 2 อัน หรือซึ่งสามารถเขียนใหม่ได้ในรูปหรือ และหลังจากขยายและลดเศษส่วนเป็น ตัวส่วนร่วมเราได้รับ.

ดังนั้นเราจึงได้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองมา ซึ่งมีรูปแบบ โดยที่ตัวแยกแยะ D คำนวณโดยสูตร D=b 2 −4·a·c

ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา ด้วยการแยกแยะเชิงบวก คุณสามารถคำนวณรากที่แท้จริงของสมการกำลังสองทั้งสองได้ เมื่อค่าจำแนกเท่ากับศูนย์ ทั้งสองสูตรจะให้ค่ารากเท่ากัน ซึ่งสอดคล้องกัน ทางออกเดียวสมการกำลังสอง และด้วยการแบ่งแยกเชิงลบ เมื่อพยายามใช้สูตรหารากของสมการกำลังสอง เราจะต้องเผชิญกับการแยกรากที่สองของ จำนวนลบซึ่งพาเราไปไกลกว่าและ หลักสูตรของโรงเรียน- ด้วยการแบ่งแยกเชิงลบ สมการกำลังสองไม่มีรากที่แท้จริง แต่มีคู่กัน คอนจูเกตที่ซับซ้อนรากซึ่งสามารถพบได้โดยใช้สูตรรากเดียวกับที่เราได้รับ

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรราก

ในทางปฏิบัติ เมื่อแก้สมการกำลังสอง คุณสามารถใช้สูตรรากในการคำนวณค่าของสมการได้ทันที แต่สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการหารากที่ซับซ้อนมากกว่า

อย่างไรก็ตามใน หลักสูตรของโรงเรียนพีชคณิตมักจะ เรากำลังพูดถึงไม่เกี่ยวกับความซับซ้อน แต่เกี่ยวกับรากที่แท้จริงของสมการกำลังสอง ในกรณีนี้ ขอแนะนำก่อนที่จะใช้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง เพื่อค้นหาตัวแยกแยะก่อน ตรวจสอบให้แน่ใจว่าค่านั้นไม่เป็นลบ (มิฉะนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าสมการนั้นไม่มีรากจริง) แล้วจึงคำนวณค่าของรากเท่านั้น

การให้เหตุผลข้างต้นทำให้เราสามารถเขียนได้ อัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการกำลังสอง- ในการแก้สมการกำลังสอง a x 2 +b x+c=0 คุณต้อง:

• โดยใช้สูตรจำแนก D=b 2 −4·a·c คำนวณค่าของมัน
• สรุปว่าสมการกำลังสองไม่มีรากที่แท้จริงหากตัวแยกแยะเป็นลบ
• คำนวณรากเดียวของสมการโดยใช้สูตรถ้า D=0;
• หารากจริงสองรากของสมการกำลังสองโดยใช้สูตรรากหากตัวแยกแยะเป็นบวก

ตรงนี้เราเพิ่งสังเกตว่าถ้าค่าการแบ่งแยกเท่ากับศูนย์ คุณสามารถใช้สูตรได้ มันจะให้ค่าเดียวกันกับ

คุณสามารถไปยังตัวอย่างของการใช้อัลกอริทึมในการแก้สมการกำลังสองได้

ตัวอย่างการแก้สมการกำลังสอง

ลองพิจารณาคำตอบของสมการกำลังสองสามตัวที่มีการแบ่งแยกเชิงบวก ลบ และศูนย์ เมื่อจัดการกับวิธีแก้ปัญหาแล้ว เมื่อเปรียบเทียบแล้ว ก็จะสามารถแก้สมการกำลังสองอื่นๆ ได้ มาเริ่มกันเลย

ตัวอย่าง.

ค้นหารากของสมการ x 2 +2·x−6=0

สารละลาย.

ในกรณีนี้ เรามีสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองดังต่อไปนี้: a=1, b=2 และ c=−6 ตามอัลกอริธึมคุณต้องคำนวณการแบ่งแยกก่อน ในการทำเช่นนี้เราจะแทนที่ a, b และ c ที่ระบุลงในสูตรจำแนกที่เรามี D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28- เนื่องจาก 28>0 กล่าวคือ ค่าจำแนกมีค่ามากกว่าศูนย์ สมการกำลังสองจึงมีรากจำนวนจริง 2 ค่า มาหาพวกมันโดยใช้สูตรรูตกันดีกว่า ตรงนี้คุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ผลลัพธ์ได้โดยทำ ย้ายตัวคูณไปไกลกว่าเครื่องหมายรูทตามด้วยการลดเศษส่วน:

คำตอบ:

เรามาดูตัวอย่างทั่วไปถัดไปกันดีกว่า

ตัวอย่าง.

แก้สมการกำลังสอง −4 x 2 +28 x−49=0 .

สารละลาย.

เราเริ่มต้นด้วยการค้นหาผู้เลือกปฏิบัติ: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0- ดังนั้นสมการกำลังสองนี้มีรากเดียว ซึ่งเราพบว่าเป็น นั่นคือ

คำตอบ:

x=3.5.

ยังคงต้องพิจารณาแก้สมการกำลังสองด้วยการแบ่งแยกเชิงลบ

ตัวอย่าง.

แก้สมการ 5·y 2 +6·y+2=0

สารละลาย.

นี่คือค่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง: a=5, b=6 และ c=2 เราแทนที่ค่าเหล่านี้เป็นสูตรแยกแยะที่เรามี ง=ข 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4- การแบ่งแยกเป็นลบ ดังนั้นสมการกำลังสองนี้จึงไม่มีรากที่แท้จริง

หากคุณต้องการระบุรากที่ซับซ้อน เราจะใช้สูตรที่รู้จักกันดีสำหรับรากของสมการกำลังสองและดำเนินการ การดำเนินการที่มีจำนวนเชิงซ้อน:

คำตอบ:

ไม่มีรากที่แท้จริง รากที่ซับซ้อนคือ: .

โปรดทราบอีกครั้งว่าหากการแบ่งแยกสมการกำลังสองเป็นลบ ในโรงเรียนพวกเขามักจะเขียนคำตอบทันทีโดยระบุว่าไม่มีรากจริงและไม่พบรากที่ซับซ้อน

สูตรรากสำหรับสัมประสิทธิ์เลขคู่ที่สอง

สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง โดยที่ D=b 2 −4·a·c ช่วยให้คุณได้สูตรที่มีรูปแบบกะทัดรัดมากขึ้น ทำให้คุณสามารถแก้สมการกำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์เลขคู่สำหรับ x (หรือเพียงแค่กับ a ค่าสัมประสิทธิ์ของรูปแบบ 2·n เป็นต้น หรือ 14· ln5=2·7·ln5 ) ให้เราพาเธอออกไป

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้สมการกำลังสองในรูปแบบ a x 2 +2 n x+c=0 มาหารากของมันโดยใช้สูตรที่เรารู้กัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะคำนวณการเลือกปฏิบัติ D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −ac)จากนั้นเราใช้สูตรราก:

ให้เราแสดงนิพจน์ n 2 −ac c เป็น D 1 (บางครั้งก็แทน D ") จากนั้นสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองที่พิจารณาด้วยสัมประสิทธิ์ที่สอง 2 n จะอยู่ในรูปแบบ โดยที่ D 1 =n 2 −a·c

เห็นได้ง่ายว่า D=4·D 1 หรือ D 1 =D/4 กล่าวอีกนัยหนึ่ง D 1 คือส่วนที่สี่ของการเลือกปฏิบัติ เป็นที่ชัดเจนว่าเครื่องหมายของ D 1 เหมือนกับเครื่องหมายของ D . นั่นคือเครื่องหมาย D 1 ยังเป็นตัวบ่งชี้การมีหรือไม่มีรากของสมการกำลังสองอีกด้วย

ดังนั้น ในการแก้สมการกำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์ที่สอง 2·n คุณต้องมี

• คำนวณ D 1 =n 2 −a·c ;
• ถ้า D1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• ถ้า D 1 =0 ให้คำนวณรากเดียวของสมการโดยใช้สูตร
• ถ้า D 1 >0 แล้วหารากจริงสองตัวโดยใช้สูตร

ลองพิจารณาแก้ตัวอย่างโดยใช้สูตรรูตที่ได้รับในย่อหน้านี้

ตัวอย่าง.

แก้สมการกำลังสอง 5 x 2 −6 x −32=0 .

สารละลาย.

ค่าสัมประสิทธิ์ที่สองของสมการนี้สามารถแสดงเป็น 2·(−3) นั่นคือ คุณสามารถเขียนสมการกำลังสองเดิมใหม่ได้ในรูปแบบ 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 โดยที่ a=5, n=−3 และ c=−32 และคำนวณส่วนที่สี่ของ จำแนก: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169- เนื่องจากค่าของมันเป็นบวก สมการจึงมีรากที่แท้จริงสองอัน มาหาพวกเขาโดยใช้สูตรรูทที่เหมาะสม:

โปรดทราบว่าคุณสามารถใช้สูตรปกติในการหารากของสมการกำลังสองได้ แต่ในกรณีนี้ จะต้องดำเนินการคำนวณเพิ่มเติม

คำตอบ:

ลดรูปสมการกำลังสองให้ง่ายขึ้น

บางครั้ง ก่อนที่จะเริ่มคำนวณรากของสมการกำลังสองโดยใช้สูตร การถามคำถามว่า “เป็นไปได้ไหมที่จะทำให้รูปแบบของสมการนี้ง่ายขึ้น” ยอมรับว่าในแง่ของการคำนวณ การแก้สมการกำลังสอง 11 x 2 −4 x−6=0 จะง่ายกว่า 1100 x 2 −400 x−600=0

โดยทั่วไป การทำให้รูปแบบของสมการกำลังสองง่ายขึ้นทำได้โดยการคูณหรือหารทั้งสองข้างด้วยจำนวนที่กำหนด ตัวอย่างเช่น ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ คุณสามารถจัดสมการ 1100 x 2 −400 x −600=0 ให้ง่ายขึ้นโดยการหารทั้งสองข้างด้วย 100

การแปลงที่คล้ายกันเกิดขึ้นกับสมการกำลังสอง ซึ่งไม่ใช่ค่าสัมประสิทธิ์ ในกรณีนี้ เรามักจะหารทั้งสองข้างของสมการด้วย ค่าสัมบูรณ์ค่าสัมประสิทธิ์ของมัน ตัวอย่างเช่น ลองใช้สมการกำลังสอง 12 x 2 −42 x+48=0 ค่าสัมประสิทธิ์สัมประสิทธิ์: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6 เมื่อหารทั้งสองข้างของสมการกำลังสองเดิมด้วย 6 เราจะได้สมการกำลังสองที่เทียบเท่ากัน 2 x 2 −7 x+8=0

และการคูณทั้งสองข้างของสมการกำลังสองมักจะทำเพื่อกำจัดสัมประสิทธิ์เศษส่วน ในกรณีนี้ การคูณจะดำเนินการโดยตัวส่วนของสัมประสิทธิ์ ตัวอย่างเช่น หากทั้งสองข้างของสมการกำลังสองคูณด้วย LCM(6, 3, 1)=6 ก็จะอยู่ในรูปแบบที่ง่ายกว่า x 2 +4·x−18=0

โดยสรุปของประเด็นนี้ เราสังเกตว่าพวกมันมักจะกำจัดเครื่องหมายลบที่สัมประสิทธิ์สูงสุดของสมการกำลังสองโดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของพจน์ทุกพจน์ ซึ่งสอดคล้องกับการคูณ (หรือหาร) ทั้งสองข้างด้วย −1 ตัวอย่างเช่น โดยปกติเราจะย้ายจากสมการกำลังสอง −2 x 2 −3 x+7=0 ไปยังวิธีแก้ปัญหา 2 x 2 +3 x−7=0

ความสัมพันธ์ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง

สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองแสดงรากของสมการผ่านค่าสัมประสิทธิ์ ขึ้นอยู่กับสูตรราก คุณสามารถรับความสัมพันธ์อื่นๆ ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ได้

สูตรที่เป็นที่รู้จักและนำไปใช้ได้มากที่สุดจากทฤษฎีบทของเวียตต้านั้นมีรูปแบบ และ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับสมการกำลังสองที่ให้มา ผลรวมของรากเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม และผลคูณของรากเท่ากับเทอมอิสระ ตัวอย่างเช่น จากรูปแบบของสมการกำลังสอง 3 x 2 −7 x + 22 = 0 เราสามารถบอกได้ทันทีว่าผลรวมของรากเท่ากับ 7/3 และผลคูณของรากเท่ากับ 22/3

เมื่อใช้สูตรที่เขียนไว้แล้ว คุณสามารถรับการเชื่อมต่ออื่นๆ ได้หลายอย่างระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง ตัวอย่างเช่น คุณสามารถแสดงผลรวมของกำลังสองของรากของสมการกำลังสองผ่านค่าสัมประสิทธิ์:

อ้างอิง.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9.
• มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich - ฉบับที่ 11 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2552. - 215 น.: ป่วย. ไอ 978-5-346-01155-2.