วิธีการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และคุณสมบัติของมัน คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

นั่นคือถ้า sl ปริมาณมีกฎการกระจายแล้ว

เรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของมัน ถ้าสล. ปริมาณมีค่าเป็นจำนวนอนันต์ ดังนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะถูกกำหนดโดยผลรวมของอนุกรมอนันต์ โดยมีเงื่อนไขว่าอนุกรมนี้ลู่เข้ากันอย่างแน่นอน (ไม่เช่นนั้นพวกเขาจะบอกว่าไม่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์) .

สำหรับ อย่างต่อเนื่อง สล. ค่าที่ระบุโดยฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น f(x) ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดให้เป็นอินทิกรัล

โดยมีเงื่อนไขว่าอินทิกรัลนี้มีอยู่ (หากอินทิกรัลแยกออก ก็บอกว่าไม่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์)

ตัวอย่างที่ 1- ให้เราพิจารณาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มที่กระจายไป กฎของปัวซอง- ตามคำนิยาม

หรือลองแสดงแทน

ดังนั้นพารามิเตอร์ , กฎการกำหนดการกระจายของตัวแปรสุ่มปัวซองเท่ากับค่าเฉลี่ยของตัวแปรนี้

ตัวอย่างที่ 2- สำหรับตัวแปรสุ่มที่มีกฎการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะเท่ากับ

(ใช้ขีดจำกัดในอินทิกรัล โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่า f (x) ไม่ใช่ศูนย์สำหรับค่าบวก x เท่านั้น)

ตัวอย่างที่ 3- ตัวแปรสุ่มกระจายตามกฎการกระจาย คอชี่, ไม่มีค่าเฉลี่ย จริงหรือ

คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์.

คุณสมบัติ 1- ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่จะเท่ากับค่าคงที่นี้เอง

ค่าคงที่ C รับค่านี้ด้วยความน่าจะเป็น 1 และตามคำจำกัดความ M(C)=C×1=C

คุณสมบัติ 2- ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมพีชคณิตของตัวแปรสุ่มจะเท่ากับผลรวมพีชคณิตของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

เราจำกัดตัวเองให้พิสูจน์คุณสมบัตินี้เฉพาะผลรวมของตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่องสองตัวเท่านั้น กล่าวคือ มาพิสูจน์กัน

ภายใต้ผลรวมของคำสองคำที่ไม่ต่อเนื่องกัน เข้าใจปริมาณดังนี้ ปริมาณที่รับค่าด้วยความน่าจะเป็น

ตามคำนิยาม

โดยที่ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะคำนวณภายใต้เงื่อนไขที่ว่า ด้านขวาของความเสมอภาคสุดท้ายแสดงรายการทุกกรณีของเหตุการณ์ ดังนั้น จึงเท่ากับความน่าจะเป็นรวมของเหตุการณ์นั้น เช่น - เช่นเดียวกัน. ในที่สุดเราก็มี

คุณสมบัติ 3- ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวจะเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา

คุณ			…
ถาม			…
เอ็กซ์			…
ร			…

เรานำเสนอข้อพิสูจน์เกี่ยวกับคุณสมบัตินี้เฉพาะในปริมาณที่แยกจากกันเท่านั้น สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง จะพิสูจน์ในลักษณะเดียวกัน

ให้ X และ Y เป็นอิสระและมีกฎการกระจาย

ผลคูณของตัวแปรสุ่มเหล่านี้จะเป็นตัวแปรสุ่มที่รับค่าที่มีความน่าจะเป็นเท่ากัน เนื่องจากความเป็นอิสระของตัวแปรสุ่ม แล้ว

ผลที่ตามมา- ค่าคงที่สามารถนำออกมาเป็นสัญญาณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ได้ ดังนั้นค่าคงที่ศตวรรษ C ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าคำนั้นมีค่าเท่าใด ค่า X จากนั้นตามคุณสมบัติ 3 เรามี

ม(CX)=ม(ค)×ม(X)=ค×ม(X)

ตัวอย่าง- ถ้า a และ b เป็นค่าคงที่ แล้ว M(ax+b)=aM(x)+b

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการออกแบบการทดลองอิสระ

ปล่อยให้ทำการทดลองอิสระ n ครั้ง ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นในแต่ละการทดลองจะเท่ากับ P จำนวนครั้งของเหตุการณ์ในการทดลองทั้ง n รายการนี้เป็นตัวแปรสุ่ม X ที่แจกแจงตามกฎทวินาม อย่างไรก็ตาม การคำนวณมูลค่าเฉลี่ยโดยตรงนั้นยุ่งยาก เพื่อให้ง่ายขึ้น เราจะใช้ส่วนขยายซึ่งเราจะใช้มากกว่าหนึ่งครั้งในอนาคต: จำนวนการเกิดเหตุการณ์ในการทดลอง n ครั้งประกอบด้วยจำนวนการเกิดเหตุการณ์ในการทดลองแต่ละรายการ กล่าวคือ

โดยที่ มีกฎการกระจาย (รับค่า 1 หากเหตุการณ์เกิดขึ้นในการทดลองที่กำหนด และค่า 0 หากเหตุการณ์ไม่ปรากฏในการทดลองที่กำหนด)

ร	ที่ 1	ร

นั่นเป็นเหตุผล

เหล่านั้น. จำนวนเฉลี่ยของการเกิดเหตุการณ์ในการทดลองอิสระ n รายการเท่ากับผลคูณของจำนวนการทดลองและความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ในการทดลองหนึ่งครั้ง

ตัวอย่างเช่น หากความน่าจะเป็นที่จะยิงโดนเป้าหมายด้วยนัดเดียวคือ 0.1 ดังนั้นจำนวนการยิงเฉลี่ยใน 20 นัดคือ 20x0.1=2

คำจำกัดความ 1.ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือตัวเลขที่แสดงถึงจุดศูนย์กลางของการแจกแจง

สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะถูกคำนวณเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน เช่น

หากจำนวนค่าของตัวแปรสุ่มมีจำกัด

หากจำนวนค่าของตัวแปรสุ่มนั้นไม่มีที่สิ้นสุด เอ็ม(เอ็กซ์)จะเกิดขึ้นหากอนุกรมที่กำหนดมาบรรจบกัน

สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะคำนวณผ่านอินทิกรัลจำกัดเขตของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์คูณด้วยองค์ประกอบความน่าจะเป็น dP = ฉ(x)dx, เช่น.

ถ้าค่าของตัวแปรสุ่มกระจุกตัวอยู่ [ก; ข]

หากค่าของตัวแปรสุ่มครอบครองเส้นจำนวนทั้งหมด ในกรณีนี้ เอ็ม(เอ็กซ์)มีอยู่ถ้าอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมมาบรรจบกัน

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เรียกอีกอย่างว่าค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม มีหน่วยวัดเดียวกันกับตัวแปรสุ่ม

คำจำกัดความ 2การกระจายตัวคือตัวเลขที่แสดงลักษณะความเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่มจากจุดศูนย์กลางของการแจกแจงในหน่วยกำลังสองของการวัดตัวแปรสุ่ม

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มใดๆ ถูกกำหนดให้เป็นค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวแปรสุ่มจากค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ กล่าวคือ

ง(x) = ม (x – ม (x)) 2

สูตรนี้ดูเหมือนว่า:

เพราะ ถ้าตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง

ถ้าตัวแปรสุ่มมีความต่อเนื่องแล้ว

ความแปรปรวนยังสามารถคำนวณเป็นความแตกต่างระหว่างความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของกำลังสองของตัวแปรสุ่มและกำลังสองของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม กล่าวคือ ตามสูตรต่อไปนี้:

ง(x) = ม (x 2) – ม 2 (x)

โดยที่ ถ้าตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องกัน

ถ้าต่อเนื่อง.

คำจำกัดความ 3ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือตัวเลขที่เท่ากับค่าเลขคณิตของรากที่สองของความแปรปรวน

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมีหน่วยวัดเดียวกันกับตัวแปรสุ่ม

ตัวอย่างหมายเลข 1หา ม(x), ง(x), σ(x), ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ถ้า

x ฉัน
พี ฉัน	0.3	0.1	0.3	0.2	0.1

สารละลาย.

ลองหาความแปรปรวน:

D(x)=(0-2.7) 2 0.3+(1-2.7) 2 0.1+(3-2.7) 2 0.3+(5-2.7) 2 0 .2+(7-2.7) 2 0.1=5.41

หรือ D(x)=M(x 2)-M 2 (x);

ง(x) = 12.7-(2.7) 2 = 5,41

ตัวอย่างหมายเลข 2ค้นหา M(x) , D(x), σ(x) ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องถ้า

0; ถ้า x<0

ฉ(x)=

- ถ้า 0≤x<3

0; ถ้าx≥3

สารละลาย.มาหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์กัน:

มาหาความแปรปรวนโดยใช้สูตร:

ลองหาการกระจายตัวโดยใช้สูตร: D(x) = M(x 2) - M 2 (x)

ง(x)= 4.5-(2) 2 =4.5-4 = 0.5

มาหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานกัน:

ความคิดเห็นลักษณะเชิงตัวเลข เอ็ม(เอ็กซ์)และ ง(x)มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

2 M(kx) = kM(x)

3 ม(x ± y) = ม(x) ± ม(y)
4. M(x ± s) = M(x) ± s

5 M(xy) = M(x)M(y) ถ้า x และ y เป็นตัวแปรสุ่มอิสระ

2. D(kx) = k 2 D(x)

3. D(x ± y) = D(x) ± D(y) ถ้า x และ y เป็นตัวแปรสุ่มอิสระ

§ 4. ลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและในการใช้งานหลายๆ อย่าง คุณลักษณะเชิงตัวเลขต่างๆ ของตัวแปรสุ่มมีความสำคัญอย่างยิ่ง สิ่งสำคัญคือความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์

1. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มและคุณสมบัติของตัวแปรสุ่ม

ก่อนอื่นให้เราพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ ให้โรงงานได้รับชุดที่ประกอบด้วย เอ็นตลับลูกปืน ในกรณีนี้:

ม. 1 x1,
ม. 2- จำนวนตลับลูกปืนที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก x2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ม- จำนวนตลับลูกปืนที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก เอ็กซ์เอ็น,

ที่นี่ ม. 1 +ม. 2 +...+ม. n =N- ลองหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตกัน x เฉลี่ยเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกของแบริ่ง อย่างชัดเจน,
เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกของตลับลูกปืนที่ดึงออกมาแบบสุ่มถือได้ว่าเป็นตัวแปรสุ่มที่รับค่า x1, x2, ..., เอ็กซ์เอ็นด้วยความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน พี 1 =ม 1 /น, หน้า 2 =ม2 /น, ..., พีn =มn /นเนื่องจากความน่าจะเป็น พี ฉันลักษณะของตลับลูกปืนที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก x ฉันเท่ากับ ฉัน/N- ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิต x เฉลี่ยเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกของตลับลูกปืนสามารถกำหนดได้โดยใช้ความสัมพันธ์
อนุญาต เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่มีกฎการแจกแจงความน่าจะเป็นที่กำหนด

ค่านิยม	x1	x2	. . .	เอ็กซ์เอ็น
ความน่าจะเป็น	หน้า 1	หน้า 2	. . .	พีเอ็น

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือผลรวมของผลิตภัณฑ์ที่จับคู่ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มด้วยความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน เช่น -
ในกรณีนี้ สันนิษฐานว่ามีอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (40) อยู่

พิจารณาคุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ในกรณีนี้ เราจะจำกัดตัวเองให้พิสูจน์เพียงสองคุณสมบัติแรกเท่านั้น ซึ่งเราจะดำเนินการกับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

1° ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่ C เท่ากับค่าคงที่นี้.
การพิสูจน์.คงที่ คสามารถมองได้ว่าเป็นตัวแปรสุ่มที่สามารถรับค่าได้เพียงค่าเดียวเท่านั้น คโดยมีความน่าจะเป็นเท่ากับหนึ่ง นั่นเป็นเหตุผล

2° ปัจจัยคงที่สามารถนำไปเกินกว่าเครื่องหมายของความคาดหมายทางคณิตศาสตร์ได้, เช่น.
การพิสูจน์.การใช้ความสัมพันธ์ (39) เรามี

3° ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มหลายตัวเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรเหล่านี้:

ตัวแปรสุ่มแต่ละตัวถูกกำหนดโดยฟังก์ชันการแจกแจงของมัน

ในเวลาเดียวกันเมื่อแก้ไขปัญหาในทางปฏิบัติก็เพียงพอที่จะทราบพารามิเตอร์ตัวเลขหลายตัวที่ช่วยให้คุณสามารถนำเสนอคุณสมบัติหลักของตัวแปรสุ่มในรูปแบบที่บีบอัดได้ ประการแรก ปริมาณเหล่านี้รวมถึงความคาดหวังและการกระจายทางคณิตศาสตร์ด้วย

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือตัวเลขที่มีค่าของตัวแปรสุ่มเข้มข้น ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม x เขียนแทนด้วย ม x.

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง x มีการแจกแจง

x 1	x 2	...	เอ็กซ์เอ็น
พี 1	พี 2	...	พีเอ็น

ปริมาณจะถูกเรียกถ้าจำนวนค่าของตัวแปรสุ่มมีจำกัด

หากนับจำนวนค่าของตัวแปรสุ่มได้ ดังนั้น . ยิ่งไปกว่านั้น หากอนุกรมที่อยู่ทางด้านขวาของความเสมอภาคแตกต่างออกไป ตัวแปรสุ่ม x จะถือว่าไม่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องที่มีความหนาแน่นของความน่าจะเป็น พีเอ็กซ์(x) คำนวณโดยสูตร - ยิ่งกว่านั้น หากอินทิกรัลทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันเบี่ยงเบนไป ตัวแปรสุ่ม x ก็ถือว่าไม่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ถ้าตัวแปรสุ่ม h เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสุ่ม x, h = ฉ(x), ที่

.

สูตรที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับฟังก์ชันของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง:

, .

คุณสมบัติพื้นฐานของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

• ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่เท่ากับค่าคงที่นี้ มค=ค ;

• ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นบนปริภูมิของตัวแปรสุ่ม เช่น สำหรับตัวแปรสุ่มสองตัวใดๆ x, h และค่าคงตัวใดๆ กและ ขยุติธรรม: ม (ขวาน+ ข) = ก ม (เอ็กซ์)+ ข ม (ชม);

• ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลคูณของทั้งสอง เป็นอิสระตัวแปรสุ่มมีค่าเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เช่น ม (x ส) = ม (เอ็กซ์) ม (ชม).

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มเป็นตัวกำหนดลักษณะการวัดการแพร่กระจายของตัวแปรสุ่มรอบค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ถ้าตัวแปรสุ่ม x มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ม x, ที่ การกระจายตัวตัวแปรสุ่ม x คือปริมาณ ดี x= ม (x - ม x) 2 .

มันง่ายที่จะแสดงสิ่งนั้น ดี x= ม (x - ม x) 2 =ม x 2 - ม (x) 2.

สูตรสากลนี้ใช้ได้ดีพอๆ กันกับทั้งตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและตัวแปรต่อเนื่อง ขนาด ม x 2 >สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง ตามลำดับ คำนวณโดยใช้สูตร

, .

มักใช้ในการกำหนดการวัดการกระจายตัวของค่าของตัวแปรสุ่ม ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน, เกี่ยวข้องกับการกระจายตัวโดยความสัมพันธ์

คุณสมบัติพื้นฐานของการกระจายตัว:

• ความแปรปรวนของค่าคงที่เป็นศูนย์ ดีค=0;

• สำหรับค่าคงที่ตามใจชอบ ดี (ซีเอ็กซ์) = ค 2 ดี (เอ็กซ์);

• ความแปรปรวนของผลรวมของทั้งสอง เป็นอิสระตัวแปรสุ่ม เท่ากับผลรวมของความแปรปรวน: ดี (x± ชม.) = ดี (เอ็กซ์) + ดี (ชม).

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ นอกเหนือจากความคาดหวังและการกระจายทางคณิตศาสตร์แล้ว ยังมีการใช้คุณลักษณะตัวเลขอื่นๆ ของตัวแปรสุ่มอีกด้วย ก่อนอื่นนี้ อักษรย่อและ ศูนย์กลางช่วงเวลา

โมเมนต์เริ่มต้นของลำดับที่ k ของตัวแปรสุ่ม x คือค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เคกำลังของตัวแปรสุ่ม x คือ ก เค = มเอ็กซ์เค.

โมเมนต์กลางของลำดับที่ k ของตัวแปรสุ่ม x คือปริมาณ m เคกำหนดโดยสูตร m k = ม (x - ม x) เค .

โปรดทราบว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มคือช่วงเวลาเริ่มต้นของลำดับแรก ซึ่งก็คือ 1 = ม xและการกระจายตัวคือโมเมนต์ศูนย์กลางอันดับสอง

2 = ม x 2 = ม (x - ม x) 2 = ดี x.

มีสูตรที่ให้คุณแสดงโมเมนต์ศูนย์กลางของตัวแปรสุ่มผ่านโมเมนต์เริ่มต้น ตัวอย่างเช่น

ม. 2 =ก 2 -ก 1 2 , ม. 3 = ก 3 - 3ก 2ก 1 + 2เอ 1 3 .

ถ้าความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องมีความสมมาตรโดยเทียบกับเส้นตรง x= ม xจากนั้นโมเมนต์ศูนย์กลางของลำดับคี่ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ การวัดความไม่สมมาตรของการแจกแจงคือค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตร ซึ่งกำหนดโดยสูตร

โดยที่ m 3 คือโมเมนต์ศูนย์กลางอันดับสาม - ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

การแจกแจงแบบปกติมักใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ ดังนั้นแผนความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของการแจกแจงแบบปกติจึงกลายเป็นมาตรฐานชนิดหนึ่งที่ใช้เปรียบเทียบการแจกแจงแบบอื่น พารามิเตอร์ตัวหนึ่งที่กำหนดความแตกต่างระหว่างการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม x และการแจกแจงแบบปกติคือความโด่ง

ความโด่ง g ของตัวแปรสุ่ม x ถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน

การแจกแจงแบบปกติตามธรรมชาติมี g = 0. ถ้า g(x) > 0 แสดงว่ากราฟความหนาแน่นของความน่าจะเป็น พีเอ็กซ์(x) จะ “แหลม” มากกว่าการกระจายแบบปกติ แต่ถ้า g (x)< 0, то “заостренность” графикаพีเอ็กซ์(x) น้อยกว่าการแจกแจงแบบปกติ

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกและค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวแปรสุ่มเป็นคุณลักษณะเชิงตัวเลขที่ใช้ในการคำนวณทางเศรษฐศาสตร์

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของตัวแปรสุ่มที่รับค่าบวกคือปริมาณ .

ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่องที่กระจายอย่างสม่ำเสมอบน [ ก, ข],

0 < ก< ขค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกคำนวณได้ดังนี้:

และ .

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวแปรสุ่มที่รับค่าบวกเรียกว่าปริมาณ

ชื่อ "ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต" มาจากการแสดงออกของค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งมีการแจกแจงแบบสม่ำเสมอ

0.577 คือค่าคงที่ของออยเลอร์

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มสองตัวจะเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์บวกกับโมเมนต์ความสัมพันธ์:

การพิสูจน์. เราจะดำเนินการต่อจากคำจำกัดความของช่วงเวลาความสัมพันธ์:

มาแปลงนิพจน์นี้โดยใช้คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

ซึ่งเทียบเท่ากับสูตร (10.2.17) อย่างเห็นได้ชัด

หากตัวแปรสุ่มไม่สัมพันธ์กัน สูตร (10.2.17) จะอยู่ในรูปแบบ:

นั่นคือ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มที่ไม่สัมพันธ์กันสองตัวจะเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรเหล่านั้น

ตำแหน่งนี้เรียกว่าทฤษฎีบทของการคูณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

สูตร (10.2.17) ไม่มีอะไรมากไปกว่าการแสดงออกของโมเมนต์ศูนย์กลางผสมที่สองของระบบผ่านโมเมนต์เริ่มต้นผสมที่สองและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

. (10.2.19)

นิพจน์นี้มักใช้ในทางปฏิบัติเมื่อคำนวณโมเมนต์ความสัมพันธ์ในลักษณะเดียวกับตัวแปรสุ่มตัวหนึ่ง ความแปรปรวนมักจะคำนวณผ่านโมเมนต์เริ่มต้นที่สองและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ทฤษฎีบทของการคูณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์นั้นถูกสรุปให้เป็นปัจจัยจำนวนหนึ่งโดยพลการ ในกรณีนี้เท่านั้น สำหรับการนำไปใช้นั้นไม่เพียงพอที่ปริมาณจะไม่สัมพันธ์กัน แต่จำเป็นต้องมีช่วงเวลาผสมที่สูงกว่าจำนวนที่ขึ้นอยู่กับ กับจำนวนเงื่อนไขในสินค้าหายไป เงื่อนไขเหล่านี้เป็นที่พอใจอย่างแน่นอนหากตัวแปรสุ่มที่รวมอยู่ในผลิตภัณฑ์เป็นอิสระจากกัน ในกรณีนี้

นั่นคือ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระจะเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา

ข้อเสนอนี้สามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายด้วยการอุปนัยที่สมบูรณ์

ความแปรปรวนของผลคูณของตัวแปรสุ่มอิสระ

ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับปริมาณที่เป็นอิสระ

การพิสูจน์. มาแสดงกัน. ตามคำจำกัดความของความแปรปรวน

เนื่องจากปริมาณมีความเป็นอิสระและ

เมื่อเป็นอิสระ ปริมาณก็จะเป็นอิสระเช่นกัน เพราะฉะนั้น,

,

แต่ไม่มีอะไรมากไปกว่าโมเมนต์เริ่มต้นที่สองของขนาด ดังนั้น จึงแสดงผ่านการกระจายตัว:

;

ในทำนองเดียวกัน

.

เมื่อแทนที่นิพจน์เหล่านี้เป็นสูตร (10.2.22) และนำคำที่คล้ายกันมา เราก็จะได้สูตร (10.2.21)

ในกรณีที่มีการคูณตัวแปรสุ่มที่อยู่กึ่งกลาง (ตัวแปรที่มีความคาดหมายทางคณิตศาสตร์เท่ากับศูนย์) สูตร (10.2.21) จะอยู่ในรูปแบบ:

, (10.2.23)

นั่นคือ ความแปรปรวนของผลคูณของตัวแปรสุ่มที่มีศูนย์กลางอิสระเท่ากับผลคูณของความแปรปรวน

โมเมนต์สูงสุดของผลรวมของตัวแปรสุ่ม

ในบางกรณี จำเป็นต้องคำนวณโมเมนต์สูงสุดของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระ ให้เราพิสูจน์ความสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้องกัน

1) ถ้าปริมาณมีความเป็นอิสระแล้ว