พื้นที่ฐานของสูตรกรวย พื้นที่ผิวด้านข้างและผิวรวมของกรวย

เรารู้ว่ากรวยคืออะไร ลองหาพื้นที่ผิวของมันกันดีกว่า ทำไมคุณต้องแก้ไขปัญหาดังกล่าว? เช่นต้องเข้าใจว่าเท่าไหร่ การทดสอบจะทำงานสำหรับทำโคนวาฟเฟิล? หรือต้องใช้อิฐกี่ก้อนในการสร้างหลังคาปราสาทอิฐ?

การวัดพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยไม่สามารถทำได้ แต่ลองนึกภาพเขาอันเดียวกันที่ห่อด้วยผ้า หากต้องการหาพื้นที่ของผ้าคุณต้องตัดแล้ววางลงบนโต๊ะ ผลลัพธ์ที่ได้คือรูปทรงแบน เราสามารถหาพื้นที่ของมันได้

ข้าว. 1. ส่วนของกรวยตามแนวเจเนราทริกซ์

ลองทำแบบเดียวกันกับกรวยกัน มา "ตัด" กัน พื้นผิวด้านข้างร่วมกับยีนใด ๆ ตัวอย่างเช่น (ดูรูปที่ 1)

ตอนนี้มา "ผ่อนคลาย" พื้นผิวด้านข้างบนเครื่องบินกันดีกว่า เราได้รับภาค ศูนย์กลางของเซกเตอร์นี้คือจุดยอดของกรวย รัศมีของเซกเตอร์เท่ากับเจเนราทริกซ์ของกรวย และความยาวของส่วนโค้งเกิดขึ้นพร้อมกับเส้นรอบวงของฐานของกรวย ภาคนี้เรียกว่าการพัฒนาพื้นผิวด้านข้างของกรวย (ดูรูปที่ 2)

ข้าว. 2. การพัฒนาพื้นผิวด้านข้าง

ข้าว. 3. การวัดมุมเป็นเรเดียน

ลองค้นหาพื้นที่ของเซกเตอร์โดยใช้ข้อมูลที่มีอยู่ ขั้นแรก ขอแนะนำสัญลักษณ์: ปล่อยให้มุมที่จุดยอดของเซกเตอร์อยู่ในหน่วยเรเดียน (ดูรูปที่ 3)

เรามักจะต้องจัดการกับมุมที่อยู่ด้านบนสุดของปัญหา ในตอนนี้ เรามาลองตอบคำถามกันก่อนว่ามุมนี้จะเกิน 360 องศาไม่ได้หรือ? นั่นคือปรากฎว่าการกวาดจะทับซ้อนกันไม่ใช่หรือ? ไม่แน่นอน ลองพิสูจน์นี่ทางคณิตศาสตร์กัน ปล่อยให้การสแกน "ซ้อน" ไว้บนตัวมันเอง ซึ่งหมายความว่าความยาวของส่วนโค้งกวาดมากกว่าความยาวของวงกลมรัศมี แต่ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ความยาวของส่วนโค้งกวาดคือความยาวของวงกลมรัศมี และแน่นอนว่ารัศมีของฐานของกรวยนั้นน้อยกว่าเจเนราทริกซ์ เช่น เนื่องจากขาของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นน้อยกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก

จากนั้น เรามาจำสูตรสองสูตรจากหลักสูตรแผนผังระนาบกัน: ความยาวส่วนโค้ง พื้นที่ภาค: .

ในกรณีของเรา บทบาทนี้เล่นโดยเครื่องกำเนิดไฟฟ้า , และความยาวของส่วนโค้งเท่ากับเส้นรอบวงฐานของกรวยนั่นเอง เรามี:

ในที่สุดเราก็ได้: .

นอกจากพื้นที่ผิวด้านข้างแล้วยังสามารถหาพื้นที่ได้อีกด้วย เต็มพื้นผิว- ในการทำเช่นนี้ต้องเพิ่มพื้นที่ของฐานเข้ากับพื้นที่พื้นผิวด้านข้าง แต่ฐานเป็นวงกลมรัศมีซึ่งมีพื้นที่ตามสูตรเท่ากับ

ในที่สุดเราก็มี: , โดยที่รัศมีของฐานทรงกระบอกคือเจเนราทริกซ์

มาแก้ปัญหาสองสามข้อโดยใช้สูตรที่กำหนดกัน

ข้าว. 4. มุมที่ต้องการ

ตัวอย่างที่ 1- การพัฒนาพื้นผิวด้านข้างของกรวยเป็นเซกเตอร์ที่มีมุมที่ปลายยอด ค้นหามุมนี้หากความสูงของกรวยคือ 4 ซม. และรัศมีของฐานคือ 3 ซม. (ดูรูปที่ 4)

ข้าว. 5. สามเหลี่ยมมุมฉากสร้างกรวย

จากการกระทำครั้งแรก ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราพบเครื่องกำเนิด: 5 ซม. (ดูรูปที่ 5) ต่อไปเรารู้แล้วว่า .

ตัวอย่างที่ 2- พื้นที่หน้าตัดตามแนวแกนของกรวยเท่ากับ ความสูงเท่ากับ ค้นหาพื้นที่ผิวทั้งหมด (ดูรูปที่ 6)

การหมุนรอบตัวที่ศึกษาในโรงเรียน ได้แก่ ทรงกระบอก กรวย และลูกบอล

หากมีปัญหาในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์คุณต้องคำนวณปริมาตรของกรวยหรือพื้นที่ทรงกลมให้ถือว่าตัวเองโชคดี

ใช้สูตรปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกระบอก กรวย และทรงกลม ทั้งหมดอยู่ในตารางของเรา เรียนรู้ด้วยใจ นี่คือจุดเริ่มต้นของความรู้เรื่องสามมิติ

บางครั้งก็เป็นการดีที่จะดึงมุมมองจากด้านบน หรือในปัญหานี้จากด้านล่าง

2. ปริมาตรของกรวยที่อธิบายรอบๆ ถูกต้องมีกี่ครั้ง ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมมากกว่าปริมาตรของกรวยที่จารึกไว้ในปิรามิดนี้ใช่หรือไม่

ง่ายมาก - วาดมุมมองจากด้านล่าง เราจะเห็นว่ารัศมีของวงกลมที่ใหญ่กว่านั้นมากกว่ารัศมีของวงกลมที่เล็กกว่าหลายเท่า ความสูงของกรวยทั้งสองเท่ากัน ดังนั้นปริมาตรของกรวยที่ใหญ่กว่าจะมีขนาดใหญ่เป็นสองเท่า

อื่น จุดสำคัญ- จำไว้ว่าในปัญหาของภาคบี ตัวเลือกการสอบ Unified Stateในทางคณิตศาสตร์ คำตอบจะเขียนเป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนจำกัด ทศนิยม- ดังนั้นจึงไม่ควรมีหรืออยู่ในคำตอบของคุณในส่วน ข. ไม่จำเป็นต้องทดแทนค่าโดยประมาณของตัวเลขเช่นกัน! มันต้องหดตัวแน่นอน! เพื่อจุดประสงค์นี้ในปัญหาบางอย่างจึงมีการกำหนดงานไว้ดังนี้: "ค้นหาพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกหารด้วย"

สูตรสำหรับปริมาตรและพื้นที่ผิวของตัวการปฏิวัติใช้อยู่ที่ไหนอีก? แน่นอนในปัญหา C2 (16) เราจะบอกคุณเกี่ยวกับเรื่องนี้ด้วย

พื้นที่ผิวของกรวย (หรือเพียงแค่พื้นผิวของกรวย) เท่ากับผลรวมของพื้นที่ฐานและพื้นผิวด้านข้าง

พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยคำนวณโดยสูตร: S = πR ลโดยที่ R คือรัศมีของฐานกรวย และ ล- เป็นรูปกรวย

เนื่องจากพื้นที่ฐานของกรวยเท่ากับ πR 2 (เป็นพื้นที่ของวงกลม) พื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยจะเท่ากับ: πR 2 + πR ล= πR(R+ ล).

การได้สูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยสามารถอธิบายได้ด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้ ให้ภาพวาดแสดงพัฒนาการของพื้นผิวด้านข้างของกรวย ลองแบ่งส่วนโค้ง AB ออกเป็นค่าที่เป็นไปได้ จำนวนที่มากขึ้น ส่วนที่เท่ากันและเชื่อมต่อจุดแบ่งทั้งหมดเข้ากับศูนย์กลางของส่วนโค้งและจุดที่อยู่ติดกันด้วยคอร์ด

เราได้รับซีรีส์ สามเหลี่ยมเท่ากัน- พื้นที่ของสามเหลี่ยมแต่ละอันคือ อา / 2 ที่ไหน ก- ความยาวของฐานของรูปสามเหลี่ยม ก ชม.- ความสูงของมัน

ผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งหมดจะเป็น: อา / 2 n = อ๋อ / 2 ที่ไหน n- จำนวนรูปสามเหลี่ยม

ที่ จำนวนมากการหาร ผลรวมของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจะอยู่ใกล้กับพื้นที่ของการพัฒนามาก เช่น พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวย ผลรวมของฐานของรูปสามเหลี่ยมคือ หนึ่งจะเข้าใกล้ความยาวของส่วนโค้ง AB มาก เช่น กับเส้นรอบวงฐานของกรวย ความสูงของสามเหลี่ยมแต่ละรูปจะอยู่ใกล้กับรัศมีของส่วนโค้งมาก กล่าวคือ ถึงเจเนราทริกซ์ของกรวย

เมื่อละเลยความแตกต่างเล็กน้อยในขนาดของปริมาณเหล่านี้ เราได้สูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวย (S):

ส=ค ล / 2 โดยที่ C คือเส้นรอบวงของฐานกรวย ล- เป็นรูปกรวย

เมื่อรู้ว่า C = 2πR โดยที่ R คือรัศมีของวงกลมของฐานของกรวย เราจะได้: S = πR ล.

บันทึก.ในสูตร S = C ล / 2 มีสัญญาณของความเท่าเทียมกันที่แน่นอน ไม่ใช่ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ แม้ว่าตามเหตุผลข้างต้น เราสามารถถือว่าความเท่าเทียมกันนี้เป็นค่าโดยประมาณได้ แต่ในโรงเรียนมัธยมปลายนั้น ได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีความเท่าเทียมกัน

ส=ค ล / 2 เป็นค่าที่แน่นอน ไม่ใช่ค่าประมาณ

ทฤษฎีบท. พื้นผิวด้านข้างของกรวยเท่ากับผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและครึ่งหนึ่งของเจเนราทริกซ์

มาเขียนในกรวย (รูป) กันบ้าง ปิรามิดที่ถูกต้องและแสดงด้วยตัวอักษร รและ ลตัวเลขแสดงความยาวของเส้นรอบวงของฐานและจุดกึ่งกลางของพีระมิดนี้

จากนั้นพื้นผิวด้านข้างจะแสดงเป็นผลคูณ 1/2 ร ล .

ตอนนี้เราสมมติว่าจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้ในฐานจะเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด แล้วปริมณฑล รมักจะใช้ขีดจำกัดที่ใช้เป็นความยาว C ของเส้นรอบวงฐานและระยะกึ่งกลางของฐาน ลจะมีขีดจำกัด generatrix ของกรวย (เนื่องจาก ΔSAK ตามนั้น SA - SK
1 / 2 ร ลจะมีแนวโน้มถึงขีดจำกัด 1/2 C L. ขีดจำกัดนี้ถือเป็นขนาดของพื้นผิวด้านข้างของกรวย การกำหนดพื้นผิวด้านข้างของกรวยด้วยตัวอักษร S เราสามารถเขียนได้:

ส = 1/2 ค ล = ค 1/2 ลิตร

ผลที่ตามมา.
1) เนื่องจาก C = 2 π R จากนั้นพื้นผิวด้านข้างของกรวยจะแสดงโดยสูตร:

ส = 1/2 2π ร ล= π อาร์.แอล.

2) เราได้พื้นผิวทั้งหมดของกรวยหากเราเพิ่มพื้นผิวด้านข้างเข้ากับพื้นที่ของฐาน ดังนั้น เมื่อแทนพื้นผิวทั้งหมดด้วย T เราจะได้:

ที= π RL+ π R2= π ร(ซ้าย+ขวา)

ทฤษฎีบท. พื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนจะเท่ากับผลคูณของผลรวมครึ่งหนึ่งของความยาวของวงกลมของฐานและเครื่องกำเนิด

ให้เราเขียนลงในกรวยที่ถูกตัดทอน (รูป) เป็นประจำ ปิรามิดที่ถูกตัดทอนและแสดงด้วยตัวอักษร ร, ร 1 และ ลตัวเลขที่แสดงเป็นหน่วยเชิงเส้นที่เหมือนกันคือความยาวของเส้นรอบวงของฐานล่างและฐานบนและจุดกึ่งกลางของพีระมิดนี้

จากนั้นพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกจารึกไว้จะเท่ากับ 1/2 ( พี + พี 1) ล

ด้วยการเพิ่มจำนวนใบหน้าด้านข้างของปิรามิดที่ถูกจารึกไว้และปริมณฑลเพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัด รและ ร 1 มีแนวโน้มไปที่ขีดจำกัดที่ใช้เป็นความยาว C และ C 1 ของวงกลมฐาน และเส้นกึ่งกลางของฐาน ลมีขีดจำกัดตัวกำเนิด L ของกรวยที่ถูกตัดทอน ดังนั้น ขนาดของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกจารึกไว้จึงมีขีดจำกัดเท่ากับ (C + C 1) L ขีดจำกัดนี้ถือเป็นขนาดของพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอน แสดงถึงพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนด้วยตัวอักษร S เรามี:

S = 1/2 (C + C 1) ลิตร

ผลที่ตามมา.
1) ถ้า R และ R 1 หมายถึงรัศมีของวงกลมของฐานล่างและฐานบน ดังนั้นพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนจะเป็น:

ส = 1/2 (2 π ร+2 π ร 1) ล = π (ร + ร 1) ล.

2) หากอยู่ในสี่เหลี่ยมคางหมู OO 1 A 1 A (รูปที่) จากการหมุนที่ได้รับกรวยที่ถูกตัดทอนเราจะวาด เส้นกึ่งกลางก่อนคริสต์ศักราช แล้วเราจะได้:

ก่อนคริสต์ศักราช = 1/2 (OA + O 1 A 1) = 1/2 (R + R 1)

ร + ร 1 = 2VS

เพราะฉะนั้น,

ส=2 π ก่อนคริสต์ศักราช L,

เช่น. พื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนจะเท่ากับผลคูณของเส้นรอบวงของส่วนตรงกลางและเจเนราทริกซ์

3) พื้นผิวทั้งหมด T ของกรวยที่ถูกตัดทอนจะแสดงดังนี้:

ที= π (อาร์ 2 + อาร์ 1 2 + อาร์แอล + อาร์ 1 ลิตร)

เรารู้ว่ากรวยคืออะไร ลองหาพื้นที่ผิวของมันกันดีกว่า ทำไมคุณต้องแก้ไขปัญหาดังกล่าว? ตัวอย่างเช่น คุณต้องเข้าใจว่าต้องใช้แป้งเท่าไรในการทำโคนวาฟเฟิล? หรือต้องใช้อิฐกี่ก้อนในการสร้างหลังคาปราสาทอิฐ?

การวัดพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยไม่สามารถทำได้ แต่ลองนึกภาพเขาอันเดียวกันที่ห่อด้วยผ้า หากต้องการหาพื้นที่ของผ้าคุณต้องตัดแล้ววางลงบนโต๊ะ ผลลัพธ์ที่ได้คือรูปทรงแบน เราสามารถหาพื้นที่ของมันได้

ข้าว. 1. ส่วนของกรวยตามแนวเจเนราทริกซ์

ลองทำแบบเดียวกันกับกรวยกัน ตัวอย่างเช่น ลอง "ตัด" พื้นผิวด้านข้างของมันตามแนวทั่วไป (ดูรูปที่ 1)

ตอนนี้มา "ผ่อนคลาย" พื้นผิวด้านข้างบนเครื่องบินกันดีกว่า เราได้รับภาค ศูนย์กลางของเซกเตอร์นี้คือจุดยอดของกรวย รัศมีของเซกเตอร์เท่ากับเจเนราทริกซ์ของกรวย และความยาวของส่วนโค้งเกิดขึ้นพร้อมกับเส้นรอบวงของฐานของกรวย ภาคนี้เรียกว่าการพัฒนาพื้นผิวด้านข้างของกรวย (ดูรูปที่ 2)

ข้าว. 2. การพัฒนาพื้นผิวด้านข้าง

ข้าว. 3. การวัดมุมเป็นเรเดียน

ลองค้นหาพื้นที่ของเซกเตอร์โดยใช้ข้อมูลที่มีอยู่ ขั้นแรก ขอแนะนำสัญลักษณ์: ปล่อยให้มุมที่จุดยอดของเซกเตอร์อยู่ในหน่วยเรเดียน (ดูรูปที่ 3)

เรามักจะต้องจัดการกับมุมที่อยู่ด้านบนสุดของปัญหา ในตอนนี้ เรามาลองตอบคำถามกันก่อนว่ามุมนี้จะเกิน 360 องศาไม่ได้หรือ? นั่นคือปรากฎว่าการกวาดจะทับซ้อนกันไม่ใช่หรือ? ไม่แน่นอน ลองพิสูจน์นี่ทางคณิตศาสตร์กัน ปล่อยให้การสแกน "ซ้อน" ไว้บนตัวมันเอง ซึ่งหมายความว่าความยาวของส่วนโค้งกวาดมากกว่าความยาวของวงกลมรัศมี แต่ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ความยาวของส่วนโค้งกวาดคือความยาวของวงกลมรัศมี และแน่นอนว่ารัศมีของฐานของกรวยนั้นน้อยกว่าเจเนราทริกซ์ เช่น เนื่องจากขาของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นน้อยกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก

จากนั้น เรามาจำสูตรสองสูตรจากหลักสูตรแผนผังระนาบกัน: ความยาวส่วนโค้ง พื้นที่ภาค: .

ในกรณีของเรา บทบาทนี้เล่นโดยเครื่องกำเนิดไฟฟ้า , และความยาวของส่วนโค้งเท่ากับเส้นรอบวงฐานของกรวยนั่นเอง เรามี:

ในที่สุดเราก็ได้: .

นอกจากพื้นที่ผิวด้านข้างแล้ว ยังสามารถหาพื้นที่ผิวทั้งหมดได้อีกด้วย ในการทำเช่นนี้ต้องเพิ่มพื้นที่ของฐานเข้ากับพื้นที่พื้นผิวด้านข้าง แต่ฐานเป็นวงกลมรัศมีซึ่งมีพื้นที่ตามสูตรเท่ากับ

ในที่สุดเราก็มี: , โดยที่รัศมีของฐานทรงกระบอกคือเจเนราทริกซ์

มาแก้ปัญหาสองสามข้อโดยใช้สูตรที่กำหนดกัน

ข้าว. 4. มุมที่ต้องการ

ตัวอย่างที่ 1- การพัฒนาพื้นผิวด้านข้างของกรวยเป็นเซกเตอร์ที่มีมุมที่ปลายยอด ค้นหามุมนี้หากความสูงของกรวยคือ 4 ซม. และรัศมีของฐานคือ 3 ซม. (ดูรูปที่ 4)

ข้าว. 5. สามเหลี่ยมมุมฉากสร้างกรวย

จากการกระทำครั้งแรก ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราพบเครื่องกำเนิด: 5 ซม. (ดูรูปที่ 5) ต่อไปเรารู้แล้วว่า .

ตัวอย่างที่ 2- พื้นที่หน้าตัดตามแนวแกนของกรวยเท่ากับ ความสูงเท่ากับ ค้นหาพื้นที่ผิวทั้งหมด (ดูรูปที่ 6)