เลขเด่น. ตัวเลขประกอบ “เลขเฉพาะ” หมายความว่าอย่างไร?

เลขเด่นเป็นตัวแทนหนึ่งในปรากฏการณ์ทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจที่สุดซึ่งดึงดูดความสนใจของนักวิทยาศาสตร์และประชาชนทั่วไปมานานกว่าสองพันปี แม้ว่าตอนนี้เราจะอยู่ในยุคของคอมพิวเตอร์และโปรแกรมข้อมูลที่ทันสมัยที่สุด แต่ปริศนาจำนวนเฉพาะจำนวนมากยังไม่ได้รับการแก้ไข มีแม้กระทั่งบางส่วนที่นักวิทยาศาสตร์ไม่รู้ว่าจะเข้าใกล้ได้อย่างไร

จำนวนเฉพาะนั้น ดังที่ทราบกันดีอยู่แล้วในวิชาเลขคณิตเบื้องต้น คือจำนวนที่หารลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือเพียงตัวเดียวและตัวมันเอง อย่างไรก็ตาม หากจำนวนธรรมชาติหารด้วยจำนวนอื่นใดนอกเหนือจากที่ระบุไว้ข้างต้นได้ลงตัว จะเรียกว่าจำนวนประกอบ ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงที่สุดข้อหนึ่งระบุว่าจำนวนประกอบใดๆ สามารถแสดงเป็นผลคูณที่เป็นไปได้เฉพาะของจำนวนเฉพาะได้

ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจบางประการ ประการแรก หน่วยนี้มีเอกลักษณ์เฉพาะในแง่ที่ว่า ที่จริงแล้ว หน่วยนี้ไม่ได้เป็นของจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ ในเวลาเดียวกันในชุมชนวิทยาศาสตร์ยังคงเป็นธรรมเนียมที่จะต้องจำแนกประเภทดังกล่าวโดยเฉพาะในกลุ่มแรกเนื่องจากอย่างเป็นทางการเป็นไปตามข้อกำหนดอย่างสมบูรณ์

ประการที่สอง จำนวนคู่เพียงตัวเดียวที่ถูกบีบให้อยู่ในกลุ่ม “จำนวนเฉพาะ” ก็คือสองนั่นเอง จำนวนคู่อื่นๆ ไม่สามารถมาที่นี่ได้ เนื่องจากตามคำจำกัดความแล้ว นอกจากตัวมันเองและหนึ่งแล้ว ยังหารด้วยสองได้อีกด้วย

จำนวนเฉพาะ รายการดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น สามารถเริ่มต้นด้วยหนึ่งได้ แสดงถึงอนุกรมอนันต์ และอนันต์เท่ากับอนุกรมของจำนวนธรรมชาติ จากทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต เราสามารถสรุปได้ว่าจำนวนเฉพาะจะไม่ถูกขัดจังหวะและไม่มีวันสิ้นสุด เนื่องจากมิฉะนั้น ชุดของจำนวนธรรมชาติก็จะถูกขัดจังหวะอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้

จำนวนเฉพาะจะไม่ปรากฏแบบสุ่มในชุดข้อมูลทั่วไป เนื่องจากอาจปรากฏเมื่อมองแวบแรก เมื่อวิเคราะห์อย่างรอบคอบแล้ว คุณจะสังเกตเห็นคุณสมบัติหลายประการได้ทันที สิ่งที่น่าสนใจที่สุดซึ่งเกี่ยวข้องกับสิ่งที่เรียกว่าตัวเลข "คู่" พวกเขาถูกเรียกอย่างนั้นเพราะด้วยวิธีที่เข้าใจยากพวกเขาจึงมาอยู่ติดกันโดยคั่นด้วยตัวคั่นคู่เท่านั้น (ห้าและเจ็ด, สิบเจ็ดและสิบเก้า)

หากคุณมองดูใกล้ๆ คุณจะสังเกตเห็นว่าผลรวมของตัวเลขเหล่านี้เป็นจำนวนเท่าของสามเสมอ ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อหารทางซ้ายหนึ่งด้วยสาม ส่วนที่เหลือก็จะยังคงเป็นสองเสมอ และทางขวาก็จะยังคงเป็นหนึ่งเสมอ นอกจากนี้ การกระจายตัวของตัวเลขเหล่านี้เหนืออนุกรมธรรมชาติสามารถทำนายได้หากเราจินตนาการถึงอนุกรมทั้งหมดนี้ในรูปแบบของไซนัสอยด์แบบสั่น ซึ่งประเด็นหลักจะเกิดขึ้นเมื่อตัวเลขถูกหารด้วยสามและสอง

จำนวนเฉพาะไม่เพียงแต่เป็นเป้าหมายของการพิจารณาอย่างใกล้ชิดโดยนักคณิตศาสตร์ทั่วโลกเท่านั้น แต่ยังถูกนำมาใช้อย่างประสบความสำเร็จมายาวนานในการรวบรวมชุดตัวเลขต่างๆ ซึ่งเป็นพื้นฐานเหนือสิ่งอื่นใดสำหรับการเข้ารหัส ขณะเดียวกันก็ควรตระหนักไว้ด้วยว่า จำนวนมากความลึกลับที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบอันมหัศจรรย์เหล่านี้ยังคงรอการแก้ไขอยู่ คำถามมากมายไม่เพียงแต่มีความสำคัญทางปรัชญาเท่านั้น แต่ยังมีความสำคัญในทางปฏิบัติอีกด้วย

เลขเด่นเป็นจำนวนธรรมชาติ (จำนวนเต็มบวก) ที่สามารถหารด้วยจำนวนธรรมชาติเพียงสองตัวเท่านั้นโดยไม่มีเศษเหลือ คือ ทีละตัวและตัวมันเอง กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำนวนเฉพาะจะต้องมีตัวหารธรรมชาติสองตัวพอดี: และตัวมันเองด้วย

ตามคำนิยาม เซตของตัวหารทั้งหมดของจำนวนเฉพาะคือสององค์ประกอบ กล่าวคือ แสดงถึงชุด

เซตของจำนวนเฉพาะทั้งหมดจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ ดังนั้น เนื่องจากนิยามของเซตของจำนวนเฉพาะ เราสามารถเขียนได้:

ลำดับของจำนวนเฉพาะมีลักษณะดังนี้:

ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต

ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตกล่าวว่าจำนวนธรรมชาติทุกจำนวนที่มากกว่าหนึ่งสามารถแสดงเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ และด้วยวิธีเฉพาะ ขึ้นอยู่กับลำดับของตัวประกอบ ดังนั้น จำนวนเฉพาะจึงเป็น "ส่วนประกอบ" เบื้องต้นของเซตของจำนวนธรรมชาติ

การขยายจำนวนธรรมชาติ title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} ตามบัญญัติ:

จำนวนเฉพาะอยู่ที่ไหน และ . ตัวอย่างเช่น การขยายตามรูปแบบบัญญัติของจำนวนธรรมชาติจะมีลักษณะดังนี้:

การแทนจำนวนธรรมชาติเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะก็เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า การแยกตัวประกอบของจำนวน.

คุณสมบัติของจำนวนเฉพาะ

ตะแกรงเอราทอสเธเนส

อัลกอริธึมที่มีชื่อเสียงที่สุดอย่างหนึ่งในการค้นหาและจดจำจำนวนเฉพาะคือ ตะแกรงเอราทอสเธเนส- ดังนั้นอัลกอริทึมนี้จึงตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก Eratosthenes แห่ง Cyrene ซึ่งถือเป็นผู้เขียนอัลกอริทึมนี้

หากต้องการค้นหาจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่น้อยกว่าจำนวนที่ระบุ ให้ทำตามวิธีของเอราทอสเธนีส ให้ทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

ขั้นตอนที่ 1เขียนจำนวนธรรมชาติทั้งหมดตั้งแต่ 2 ถึง เช่น -
ขั้นตอนที่ 2กำหนดค่าให้กับตัวแปร ซึ่งก็คือค่าเท่ากับจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุด
ขั้นตอนที่ 3ขีดฆ่าตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ ถึง ที่เป็นจำนวนทวีคูณของ ในรายการ นั่นคือ ตัวเลข:
ขั้นตอนที่ 4ค้นหาตัวเลขแรกที่ยังไม่ได้ข้ามในรายการที่มากกว่า และกำหนดค่าของตัวเลขนี้ให้กับตัวแปร
ขั้นตอนที่ 5ทำซ้ำขั้นตอนที่ 3 และ 4 จนกว่าจะถึงหมายเลข

กระบวนการใช้อัลกอริทึมจะมีลักษณะดังนี้:

จำนวนที่ไม่มีการกากบาทที่เหลืออยู่ทั้งหมดในรายการเมื่อสิ้นสุดกระบวนการใช้อัลกอริทึมจะเป็นชุดของจำนวนเฉพาะตั้งแต่ ถึง

การคาดเดาของโกลด์บัค

ปกหนังสือ “ลุงเปโตรสกับสมมติฐานโกลด์บัค”

แม้ว่านักคณิตศาสตร์จะศึกษาจำนวนเฉพาะมาเป็นเวลานานแล้ว แต่ปัญหาที่เกี่ยวข้องหลายอย่างยังคงไม่ได้รับการแก้ไขในปัจจุบัน ปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขที่มีชื่อเสียงที่สุดประการหนึ่งคือ สมมติฐานของโกลด์บัคซึ่งมีการกำหนดไว้ดังนี้:

• จริงหรือไม่ที่จำนวนคู่ทุกจำนวนที่มากกว่าสองสามารถแสดงเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองตัวได้ (สมมติฐานฐานสองของ Goldbach)
• จริงหรือไม่ที่เลขคี่ทุกตัวที่มากกว่า 5 สามารถแสดงเป็นผลรวมได้? สามง่ายตัวเลข (สมมติฐาน Goldbach ไตรภาค)?

ควรจะกล่าวว่าสมมติฐานของ Goldbach แบบไตรภาคเป็นกรณีพิเศษของสมมติฐาน Goldbach แบบไบนารีหรือตามที่นักคณิตศาสตร์กล่าวว่าสมมติฐานของ Goldbach แบบไตรภาคนั้นอ่อนแอกว่าสมมติฐานของ Goldbach แบบไบนารี

การคาดเดาของ Goldbach เป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวางนอกชุมชนคณิตศาสตร์ในปี 2000 เนื่องจากมีการโฆษณาส่งเสริมการขายโดยบริษัทสำนักพิมพ์ Bloomsbury USA (USA) และ Faber and Faber (UK) ผู้จัดพิมพ์เหล่านี้ได้ออกหนังสือ "Uncle Petros and Goldbach's Conjecture" โดยสัญญาว่าจะมอบรางวัล 1 ล้านดอลลาร์สหรัฐให้กับใครก็ตามที่พิสูจน์สมมติฐานของ Goldbach ภายใน 2 ปีนับจากวันที่ตีพิมพ์หนังสือเล่มนี้ บางครั้งรางวัลที่กล่าวถึงจากสำนักพิมพ์ก็สับสนกับรางวัลสำหรับการแก้ปัญหารางวัลมิลเลนเนียม อย่าพลาดเลย สมมติฐานของ Goldbach ไม่ได้ถูกจัดประเภทโดย Clay Institute ว่าเป็น "ความท้าทายแห่งสหัสวรรษ" แม้ว่าจะเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับ สมมติฐานรีมันน์- หนึ่งใน "ความท้าทายแห่งสหัสวรรษ"

หนังสือ “เลขเด่น. เส้นทางยาวไกลสู่อนันต์"

ปกหนังสือ “โลกแห่งคณิตศาสตร์” เลขเด่น. ถนนยาวสู่ความไม่มีที่สิ้นสุด"

นอกจากนี้ ฉันขอแนะนำให้อ่านหนังสือวิทยาศาสตร์ยอดนิยมที่น่าสนใจ ซึ่งมีคำอธิบายประกอบว่า “การค้นหาจำนวนเฉพาะเป็นปัญหาที่ขัดแย้งกันมากที่สุดปัญหาหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์ นักวิทยาศาสตร์พยายามที่จะแก้ปัญหานี้มาเป็นเวลาหลายพันปีแล้ว แต่ด้วยรูปแบบและสมมติฐานใหม่ ๆ ที่เพิ่มมากขึ้น ความลึกลับนี้ก็ยังคงไม่ได้รับการแก้ไข การปรากฏของจำนวนเฉพาะไม่ได้ขึ้นอยู่กับระบบใดๆ แต่ปรากฏตามธรรมชาติในชุดของจำนวนธรรมชาติ โดยไม่สนใจความพยายามของนักคณิตศาสตร์ในการระบุรูปแบบในลำดับของมัน หนังสือเล่มนี้จะทำให้ผู้อ่านได้ย้อนรอยวิวัฒนาการของแนวคิดทางวิทยาศาสตร์ตั้งแต่สมัยโบราณจนถึงปัจจุบันและแนะนำทฤษฎีการค้นหาจำนวนเฉพาะที่น่าสนใจที่สุด”

นอกจากนี้ ผมจะอ้างอิงตอนต้นของบทที่สองของหนังสือเล่มนี้ว่า “เลขจำนวนเฉพาะเป็นหนึ่งในนั้น หัวข้อสำคัญซึ่งนำเรากลับไปสู่จุดเริ่มต้นของคณิตศาสตร์ และจากนั้นตามเส้นทางของความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้น นำเราไปสู่แถวหน้า วิทยาศาสตร์สมัยใหม่- ดังนั้น การสืบย้อนประวัติศาสตร์อันน่าทึ่งและซับซ้อนของทฤษฎีจำนวนเฉพาะจะมีประโยชน์มาก ไม่ว่าจะเป็นการพัฒนาทฤษฎีจำนวนเฉพาะได้อย่างไร ข้อเท็จจริงและความจริงที่ปัจจุบันเป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปถูกรวบรวมได้อย่างไร ในบทนี้ เราจะดูว่านักคณิตศาสตร์หลายรุ่นศึกษาตัวเลขธรรมชาติอย่างรอบคอบเพื่อค้นหากฎที่ทำนายการปรากฏของจำนวนเฉพาะ ซึ่งเป็นกฎที่เข้าใจยากมากขึ้นเมื่อการค้นหาดำเนินไป เราจะดูรายละเอียดเกี่ยวกับบริบททางประวัติศาสตร์ด้วย: ภายใต้เงื่อนไขที่นักคณิตศาสตร์ทำงานและงานของพวกเขาเกี่ยวข้องกับการปฏิบัติลึกลับและกึ่งศาสนาในระดับใดซึ่งไม่เหมือนกับเลย วิธีการทางวิทยาศาสตร์, ใช้อยู่ในปัจจุบัน. อย่างไรก็ตาม พื้นดินได้รับการจัดเตรียมอย่างช้าๆ และด้วยความยากลำบากสำหรับมุมมองใหม่ๆ ซึ่งเป็นแรงบันดาลใจให้กับแฟร์มาต์และออยเลอร์ในศตวรรษที่ 17 และ 18”

• การแปล

คุณสมบัติของจำนวนเฉพาะได้รับการศึกษาครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ กรีกโบราณ- นักคณิตศาสตร์ของโรงเรียนพีทาโกรัส (500 - 300 ปีก่อนคริสตกาล) สนใจคุณสมบัติทางลึกลับและตัวเลขของจำนวนเฉพาะเป็นหลัก พวกเขาเป็นคนแรกที่คิดไอเดียเกี่ยวกับตัวเลขที่สมบูรณ์แบบและเป็นมิตร

จำนวนสมบูรณ์มีผลรวมของตัวหารเองเท่ากับตัวมันเอง ตัวอย่างเช่น ตัวหารแท้ของเลข 6 คือ 1, 2 และ 3 1 + 2 + 3 = 6 ตัวหารแท้ของเลข 28 คือ 1, 2, 4, 7 และ 14 ยิ่งไปกว่านั้น 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

ตัวเลขจะถูกเรียกว่าเป็นมิตรถ้าผลรวมของตัวหารแท้ของจำนวนหนึ่งเท่ากับอีกจำนวนหนึ่ง และในทางกลับกัน เช่น 220 และ 284 เราสามารถพูดได้ว่าจำนวนสมบูรณ์นั้นเป็นมิตรกับตัวมันเอง

เมื่อถึงเวลาธาตุ Euclid ใน 300 ปีก่อนคริสตกาล หลายอย่างได้รับการพิสูจน์แล้ว ข้อเท็จจริงที่สำคัญเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ ในเล่มที่ 9 ของธาตุ ยุคลิดพิสูจน์ว่าจำนวนเฉพาะมีจำนวนอนันต์ อย่างไรก็ตาม นี่เป็นหนึ่งในตัวอย่างแรกๆ ของการใช้การพิสูจน์โดยมีข้อขัดแย้ง นอกจากนี้เขายังพิสูจน์ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต - จำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถแสดงเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะได้โดยไม่ซ้ำกัน

เขายังแสดงด้วยว่าถ้าเลข 2n-1 เป็นจำนวนเฉพาะ แล้วเลข 2n-1 * (2n-1) ก็จะสมบูรณ์แบบ ออยเลอร์นักคณิตศาสตร์อีกคนสามารถแสดงในปี 1747 ว่าจำนวนสมบูรณ์ทั้งหมดสามารถเขียนในรูปแบบนี้ได้ จนถึงทุกวันนี้ ยังไม่ทราบว่ามีเลขสมบูรณ์คี่อยู่หรือไม่

ในปี 200 ปีก่อนคริสตกาล ชาวกรีก Eratosthenes มีอัลกอริธึมในการค้นหาจำนวนเฉพาะที่เรียกว่า Sieve of Eratosthenes

และจากนั้นก็เกิดการแตกหักครั้งใหญ่ในประวัติศาสตร์ของการศึกษาจำนวนเฉพาะ ที่เกี่ยวข้องกับยุคกลาง

การค้นพบต่อไปนี้เกิดขึ้นเมื่อต้นศตวรรษที่ 17 โดยนักคณิตศาสตร์แฟร์มาต์ เขาพิสูจน์การคาดเดาของอัลเบิร์ต จิราร์ดว่าจำนวนเฉพาะใดๆ ในรูปแบบ 4n+1 สามารถเขียนได้โดยไม่ซ้ำกันเป็นผลรวมของกำลังสองสองอัน และยังได้กำหนดทฤษฎีบทที่ว่าจำนวนใดๆ ก็ตามสามารถเขียนเป็นผลรวมของกำลังสองสี่ตัวได้

เขาพัฒนาขึ้น วิธีการใหม่การแยกตัวประกอบ จำนวนมากและสาธิตมันบนหมายเลข 2027651281 = 44021 × 46061 นอกจากนี้ เขายังพิสูจน์ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์ด้วย: ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ แล้วสำหรับจำนวนเต็ม a ใดๆ มันจะเป็นเรื่องจริงที่ a p = a โมดูโล p

ข้อความนี้พิสูจน์ครึ่งหนึ่งของสิ่งที่เรียกว่า "การคาดเดาแบบจีน" และมีอายุย้อนกลับไป 2,000 ปี: จำนวนเต็ม n เป็นจำนวนเฉพาะก็ต่อเมื่อ 2 n -2 หารด้วย n ลงตัวเท่านั้น ส่วนที่สองของสมมติฐานกลายเป็นเท็จ เช่น 2,341 - 2 หารด้วย 341 ลงตัว แม้ว่าจำนวน 341 จะประกอบกันก็ตาม: 341 = 31 × 11

ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์ทำหน้าที่เป็นพื้นฐานสำหรับผลลัพธ์อื่นๆ มากมายในทฤษฎีจำนวนและวิธีการทดสอบว่าตัวเลขเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ ซึ่งหลายๆ วิธียังคงใช้อยู่ในปัจจุบัน

แฟร์มาต์มีความสอดคล้องกับคนรุ่นราวคราวเดียวกับเขามาก โดยเฉพาะกับพระภิกษุชื่อมาเรน เมอร์เซน ในจดหมายฉบับหนึ่งของเขา เขาตั้งสมมติฐานว่าตัวเลขในรูปแบบ 2 n +1 จะเป็นจำนวนเฉพาะเสมอถ้า n เป็นกำลังของสอง เขาทดสอบค่านี้สำหรับ n = 1, 2, 4, 8 และ 16 และมั่นใจว่าในกรณีที่ n ไม่ใช่กำลังสอง จำนวนนั้นก็ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเฉพาะเสมอไป ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าตัวเลขของแฟร์มาต์ และเพียง 100 ปีต่อมาออยเลอร์แสดงให้เห็นว่าจำนวนถัดไป 2 32 + 1 = 4294967297 หารด้วย 641 ลงตัว จึงไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

ตัวเลขในรูปแบบ 2 n - 1 ก็เป็นหัวข้อวิจัยเช่นกัน เนื่องจากเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าถ้า n ประกอบเข้าด้วยกัน ตัวเลขนั้นก็จะประกอบกันด้วย ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าตัวเลข Mersenne เนื่องจากเขาได้ศึกษาตัวเลขเหล่านี้อย่างกว้างขวาง

แต่ไม่ใช่ทุกจำนวนที่อยู่ในรูป 2 n - 1 โดยที่ n เป็นจำนวนเฉพาะ จึงเป็นจำนวนเฉพาะ ตัวอย่างเช่น 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89 ค้นพบครั้งแรกในปี 1536

เป็นเวลาหลายปีมาแล้วที่ตัวเลขประเภทนี้ทำให้นักคณิตศาสตร์มีจำนวนเฉพาะที่รู้จักมากที่สุด M 19 ได้รับการพิสูจน์โดย Cataldi ในปี 1588 และเป็นเวลา 200 ปีที่เป็นจำนวนเฉพาะที่รู้จักมากที่สุด จนกระทั่งออยเลอร์พิสูจน์ว่า M 31 ก็เป็นจำนวนเฉพาะเช่นกัน บันทึกนี้คงอยู่ต่อไปอีกร้อยปี จากนั้นลูคัสก็แสดงให้เห็นว่า M 127 เป็นจำนวนเฉพาะ (และนี่คือตัวเลข 39 หลักอยู่แล้ว) และหลังจากนั้น การวิจัยก็ดำเนินต่อไปด้วยการถือกำเนิดของคอมพิวเตอร์

ในปี 1952 ความเป็นเลิศของตัวเลข M 521, M 607, M 1279, M 2203 และ M 2281 ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ภายในปี พ.ศ. 2548 สามารถค้นพบจำนวนเฉพาะของเมอร์แซนน์ได้ 42 ตัว ที่ใหญ่ที่สุดคือ M 25964951 ประกอบด้วย 7816230 หลัก

งานของออยเลอร์มีผลกระทบอย่างมากต่อทฤษฎีตัวเลข รวมถึงจำนวนเฉพาะด้วย เขาขยายทฤษฎีบทลิตเติ้ลของแฟร์มาต์และแนะนำฟังก์ชัน φ แยกตัวประกอบของแฟร์มาต์หมายเลขที่ 5 2 32 +1 หาจำนวนที่เป็นมิตรได้ 60 คู่ และตั้งกฎการตอบแทนซึ่งกันและกันกำลังสอง (แต่พิสูจน์ไม่ได้)

เขาเป็นคนแรกที่แนะนำวิธีการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และพัฒนาทฤษฎีจำนวนวิเคราะห์ เขาพิสูจน์ว่าไม่เพียงแต่อนุกรมฮาร์มอนิก ∑ (1/n) เท่านั้น แต่ยังรวมถึงอนุกรมของรูปแบบด้วย

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

ผลลัพธ์ที่ได้จากผลรวมของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะก็จะต่างกันออกไปเช่นกัน ผลรวมของพจน์ n ของอนุกรมฮาร์มอนิกจะเพิ่มขึ้นโดยประมาณเป็น log(n) และอนุกรมที่สองจะแยกออกช้ากว่าเมื่อเป็น log[ log(n) ] ซึ่งหมายความว่า ตัวอย่างเช่น ผลรวมของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่พบจนถึงปัจจุบันจะให้เพียง 4 แม้ว่าอนุกรมจะยังคงแยกจากกันก็ตาม

เมื่อดูเผินๆ ดูเหมือนว่าจำนวนเฉพาะจะกระจายแบบสุ่มไปตามจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น ในบรรดาตัวเลข 100 ตัวที่อยู่ก่อน 10000000 จะมีจำนวนเฉพาะ 9 ตัว และในจำนวน 100 ตัวที่อยู่หลังค่านี้มีเพียง 2 ตัวเท่านั้น แต่สำหรับกลุ่มขนาดใหญ่ จำนวนเฉพาะจะถูกกระจายอย่างเท่าเทียมกัน Legendre และ Gauss จัดการกับปัญหาเรื่องการจำหน่าย เกาส์เคยบอกเพื่อนว่าในช่วง 15 นาทีฟรีๆ เขาจะนับจำนวนเฉพาะใน 1,000 ตัวถัดไปเสมอ เมื่อบั้นปลายชีวิต เขาได้นับจำนวนเฉพาะทั้งหมดได้ถึง 3 ล้าน ลีเจนเดรและเกาส์คำนวณเท่ากันว่าสำหรับ n ขนาดใหญ่ ความหนาแน่นเฉพาะคือ 1/log(n) Legendre ประมาณจำนวนจำนวนเฉพาะในช่วงตั้งแต่ 1 ถึง n เช่น

π(n) = n/(บันทึก(n) - 1.08366)

และเกาส์ก็เหมือนกับอินทิกรัลลอการิทึม

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

โดยมีช่วงการรวมตั้งแต่ 2 ถึง n

ข้อความเกี่ยวกับความหนาแน่นเฉพาะ 1/log(n) เรียกว่าทฤษฎีบทการกระจายตัวเฉพาะ พวกเขาพยายามพิสูจน์มันตลอดศตวรรษที่ 19 และ Chebyshev และ Riemann ก็ประสบความสำเร็จ พวกเขาเชื่อมโยงมันกับสมมติฐานรีมันน์ ซึ่งเป็นสมมติฐานที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์เกี่ยวกับการแจกแจงของศูนย์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ความหนาแน่นของจำนวนเฉพาะได้รับการพิสูจน์พร้อมกันโดยฮาดามาร์ดและวัลเล-ปูแซ็งในปี พ.ศ. 2439

ยังมีคำถามที่ยังไม่ได้แก้อีกมากมายในทฤษฎีจำนวนเฉพาะ บางคำถามมีอายุหลายร้อยปี:

• สมมติฐานจำนวนเฉพาะคู่นั้นเกี่ยวกับจำนวนคู่ของจำนวนเฉพาะที่มีค่าไม่สิ้นสุดซึ่งต่างกันด้วย 2
• การคาดเดาของโกลด์บัค: จำนวนคู่ใดๆ ที่เริ่มต้นด้วย 4 สามารถแสดงเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองตัวได้
• จำนวนเฉพาะในรูปแบบ n 2 + 1 มีจำนวนอนันต์หรือไม่?
• เป็นไปได้ไหมที่จะหาจำนวนเฉพาะระหว่าง n 2 ถึง (n + 1) 2? (ข้อเท็จจริงที่ว่ามีจำนวนเฉพาะระหว่าง n ถึง 2n เสมอ ได้รับการพิสูจน์โดย Chebyshev)
• จำนวนเฉพาะของแฟร์มาต์เป็นจำนวนอนันต์ใช่หรือไม่? มีจำนวนเฉพาะแฟร์มาต์หลัง 4 หรือไม่?
• มันมีอยู่จริงไหม ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเฉพาะที่ต่อเนื่องกันสำหรับความยาวใดๆ ที่กำหนด? ตัวอย่างเช่น สำหรับความยาว 4: 251, 257, 263, 269 ความยาวสูงสุดที่พบคือ 26
• มีจำนวนเฉพาะสามตัวติดต่อกันเป็นจำนวนอนันต์ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หรือไม่?
• n 2 - n + 41 เป็นจำนวนเฉพาะสำหรับ 0 ≤ n ≤ 40 จำนวนเฉพาะดังกล่าวมีจำนวนอนันต์หรือไม่? คำถามเดียวกันสำหรับสูตร n 2 - 79 n + 1601 ตัวเลขเหล่านี้เป็นจำนวนเฉพาะสำหรับ 0 ≤ n ≤ 79
• จำนวนเฉพาะในรูปแบบ n# + 1 มีจำนวนอนันต์หรือไม่? (n# คือผลลัพธ์ของการคูณจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่น้อยกว่า n)
• จำนวนเฉพาะในรูปแบบ n# -1 มีจำนวนอนันต์หรือไม่?
• จำนวนเฉพาะในรูป n มีจำนวนอนันต์หรือไม่? +1?
• จำนวนเฉพาะในรูป n มีจำนวนอนันต์หรือไม่? – 1?
• ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ 2 p -1 จะไม่มีกำลังสองจำนวนเฉพาะอยู่ท่ามกลางปัจจัยของมันเสมอไปใช่หรือไม่
• ลำดับฟีโบนัชชีมีจำนวนเฉพาะจำนวนอนันต์หรือไม่?

จำนวนเฉพาะคู่ที่ใหญ่ที่สุดคือ 2003663613 × 2 195000 ± 1 ประกอบด้วย 58711 หลัก และถูกค้นพบในปี พ.ศ. 2550

จำนวนเฉพาะแฟคทอเรียลที่ใหญ่ที่สุด (ประเภท n! ± 1) คือ 147855! - 1. ประกอบด้วยตัวเลข 142891 หลัก พบเมื่อปี พ.ศ. 2545.

จำนวนเฉพาะปฐมภูมิที่ใหญ่ที่สุด (ตัวเลขในรูปแบบ n# ± 1) คือ 1098133# + 1

บทความนี้กล่าวถึงแนวคิดเรื่องจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ คำจำกัดความของตัวเลขดังกล่าวมีให้พร้อมตัวอย่าง เรานำเสนอข้อพิสูจน์ว่าจำนวนเฉพาะมีจำนวนไม่จำกัด และเราจะบันทึกลงในตารางจำนวนเฉพาะโดยใช้วิธีเอราทอสเทนีส จะมีการมอบหลักฐานเพื่อพิจารณาว่าตัวเลขนั้นเป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

จำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ - คำจำกัดความและตัวอย่าง

จำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบจัดเป็นจำนวนเต็มบวก จะต้องมีมากกว่าหนึ่ง ตัวหารยังแบ่งออกเป็นแบบง่ายและแบบประกอบ หากต้องการเข้าใจแนวคิดเรื่องจำนวนประกอบ คุณต้องศึกษาแนวคิดเรื่องตัวหารและตัวคูณก่อน

คำจำกัดความ 1

จำนวนเฉพาะคือจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 และมีตัวหารบวกสองตัว นั่นคือ ตัวมันเองและ 1

คำจำกัดความ 2

จำนวนประกอบคือจำนวนเต็มที่มากกว่าหนึ่งและมีตัวหารบวกอย่างน้อยสามตัว

หนึ่งไม่ใช่จำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ มีตัวหารบวกเพียงตัวเดียว จึงแตกต่างจากจำนวนบวกอื่นๆ ทั้งหมด จำนวนเต็มบวกทั้งหมดเรียกว่าจำนวนธรรมชาติ ซึ่งใช้ในการนับ

คำจำกัดความ 3

เลขเด่นเป็นจำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารบวกเพียงสองตัว

คำจำกัดความที่ 4

หมายเลขประกอบเป็นจำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารบวกมากกว่าสองตัว

จำนวนใดๆ ที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ จากคุณสมบัติการหารลงตัว เรามี 1 และจำนวน a ที่จะเป็นตัวหารของจำนวน a ใดๆ เสมอ นั่นคือมันจะหารด้วยตัวมันเองและ 1 ลงตัว ลองให้คำจำกัดความของจำนวนเต็มกัน

คำจำกัดความที่ 5

จำนวนธรรมชาติที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะเรียกว่าจำนวนประกอบ

จำนวนเฉพาะ: 2, 3, 11, 17, 131, 523 พวกมันหารด้วยตัวมันเองและ 1 ลงตัวเท่านั้น. หมายเลขผสม: 6, 63, 121, 6697 นั่นคือเลข 6 สามารถแบ่งออกเป็น 2 และ 3 และ 63 เป็น 1, 3, 7, 9, 21, 63 และ 121 เป็น 11, 11 นั่นคือตัวหารจะเป็น 1, 11, 121 หมายเลข 6697 แบ่งออกเป็น 37 และ 181 โปรดทราบว่าแนวคิดเรื่องจำนวนเฉพาะและจำนวนเฉพาะเป็นแนวคิดที่แตกต่างกัน

เพื่อให้ง่ายต่อการใช้จำนวนเฉพาะ คุณต้องใช้ตาราง:

ตารางสำหรับจำนวนธรรมชาติที่มีอยู่ทั้งหมดนั้นไม่สมจริง เนื่องจากมีจำนวนอนันต์ เมื่อตัวเลขมีขนาดถึง 10,000 หรือ 1000000000 คุณควรพิจารณาใช้ตะแกรงเอราทอสเทนีส

ลองพิจารณาทฤษฎีบทที่อธิบายข้อความสุดท้าย

ทฤษฎีบท 1

ตัวหารบวกที่น้อยที่สุดที่ไม่ใช่ 1 ของจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนเฉพาะ

หลักฐานที่ 1

สมมติว่า a เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 โดย b เป็นตัวหารที่ไม่ใช่ 1 ที่เล็กที่สุดของ a จำเป็นต้องพิสูจน์ว่า b เป็นจำนวนเฉพาะโดยใช้วิธีขัดแย้ง

สมมติว่า b เป็นจำนวนประกอบ จากตรงนี้ เราพบว่ามีตัวหารของ b ซึ่งต่างจาก 1 และจาก b ตัวหารดังกล่าวเขียนแทนด้วย b 1 จำเป็นต้องมีเงื่อนไขที่ 1< b 1 < b เสร็จสมบูรณ์

จากเงื่อนไขเป็นที่ชัดเจนว่า a หารด้วย b, b หารด้วย b 1 ซึ่งหมายความว่าแนวคิดเรื่องการหารลงตัวแสดงได้ดังนี้: ก = ข คิวและ b = b 1 · q 1 จากที่ a = b 1 · (q 1 · q) โดยที่ q และ คำถามที่ 1เป็นจำนวนเต็ม ตามกฎการคูณจำนวนเต็ม เราได้ผลลัพธ์ของจำนวนเต็มเป็นจำนวนเต็มที่มีความเท่ากันในรูปแบบ a = b 1 · (q 1 · q) จะเห็นได้ว่า b1 เป็นตัวหารของจำนวน a ความไม่เท่าเทียมกัน 1< b 1 < b ไม่สอดคล้องกัน เพราะเราพบว่า b เป็นตัวหารบวกที่น้อยที่สุดและไม่ใช่ 1 ของ a

ทฤษฎีบท 2

จำนวนเฉพาะมีจำนวนอนันต์

หลักฐานที่ 2

สมมุติว่าเราเอาจำนวนธรรมชาติจำนวนจำกัด n มาเขียนเป็น p 1, p 2, …, p n ลองพิจารณาตัวเลือกในการหาจำนวนเฉพาะที่แตกต่างจากที่ระบุไว้

ให้เราพิจารณาจำนวน p ซึ่งเท่ากับ p 1, p 2, ..., p n + 1 มันไม่เท่ากับตัวเลขแต่ละตัวที่ตรงกับจำนวนเฉพาะในรูปแบบ p 1, p 2, ..., p n จำนวน p เป็นจำนวนเฉพาะ จากนั้นจึงถือว่าทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์ หากเป็นแบบประกอบ คุณจะต้องใช้สัญลักษณ์ p n + 1 และแสดงว่าตัวหารไม่ตรงกับ p 1, p 2, ..., p n ตัวใดตัวหนึ่ง

หากไม่เป็นเช่นนั้น ก็ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติการหารลงตัวของผลิตภัณฑ์ p 1, p 2, ..., p n , เราพบว่ามันจะหารด้วย pn + 1 ลงตัว โปรดทราบว่านิพจน์ p n + 1 การหารจำนวน p เท่ากับผลรวม p 1, p 2, ..., p n + 1 เราพบว่านิพจน์ p n + 1 ต้องหารเทอมที่สองของผลรวมนี้ซึ่งเท่ากับ 1 แต่เป็นไปไม่ได้

จะเห็นได้ว่าสามารถหาจำนวนเฉพาะใดๆ ได้จากจำนวนเฉพาะใดๆ ก็ตามของจำนวนเฉพาะที่กำหนด ตามมาด้วยจำนวนเฉพาะจำนวนนับไม่ถ้วน

เนื่องจากมีจำนวนเฉพาะจำนวนมาก ตารางจึงจำกัดอยู่ที่ตัวเลข 100, 1,000, 10,000 และอื่นๆ

เมื่อรวบรวมตารางจำนวนเฉพาะ คุณควรคำนึงว่างานดังกล่าวต้องมีการตรวจสอบตัวเลขตามลำดับ เริ่มตั้งแต่ 2 ถึง 100 หากไม่มีตัวหาร จะถูกบันทึกลงในตาราง หากเป็นแบบประกอบ จะไม่ถูกป้อนลงในตาราง

ลองดูทีละขั้นตอน

หากคุณขึ้นต้นด้วยเลข 2 จะมีตัวหารเพียง 2 ตัวเท่านั้น คือ 2 และ 1 ซึ่งหมายความว่าสามารถใส่ลงในตารางได้ เช่นเดียวกับหมายเลข 3 หมายเลข 4 เป็นแบบประกอบ ต้องแยกย่อยเป็น 2 และ 2 เลข 5 เป็นเลขจำนวนเฉพาะ ซึ่งหมายความว่าสามารถบันทึกลงในตารางได้ ทำเช่นนี้จนถึงจำนวน 100

วิธีนี้ไม่สะดวกและใช้เวลานาน คุณสามารถสร้างตารางได้ แต่คุณจะต้องใช้จ่าย จำนวนมากเวลา. จำเป็นต้องใช้เกณฑ์การหารซึ่งจะทำให้กระบวนการหาตัวหารเร็วขึ้น

วิธีใช้ตะแกรง Eratosthenes ถือว่าสะดวกที่สุด ลองดูตารางตัวอย่างด้านล่างนี้ เริ่มต้นด้วยการเขียนตัวเลข 2, 3, 4, ... , 50

ตอนนี้คุณต้องขีดฆ่าตัวเลขทั้งหมดที่เป็นผลคูณของ 2 ออก ดำเนินการขีดฆ่าตามลำดับ เราได้รับตารางดังนี้:

เราไปขีดฆ่าตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 5. เราได้รับ:

ขีดฆ่าตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 7, 11 ในที่สุดโต๊ะก็ดูเหมือน

เรามาดูการกำหนดทฤษฎีบทกันดีกว่า

ทฤษฎีบท 3

ตัวหารบวกและไม่ใช่ 1 ที่น้อยที่สุดของจำนวนฐาน a จะไม่เกิน a โดยที่ a คือรากเลขคณิตของจำนวนที่กำหนด

หลักฐานที่ 3

จำเป็นต้องแสดง b ตัวหารที่เล็กที่สุดของจำนวนประกอบ a มีจำนวนเต็ม q โดยที่ a = b · q และเรามี b ≤ q นั้น ความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์มเป็นสิ่งที่ยอมรับไม่ได้ ข > คิว,เพราะสภาพถูกละเมิด ทั้งสองด้านของอสมการ b ≤ q ควรคูณด้วยจำนวนบวก b ใดๆ ที่ไม่เท่ากับ 1 เราจะได้ว่า b · b ≤ b · q โดยที่ b 2 ≤ a และ b ≤ a

จากทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วเป็นที่ชัดเจนว่าการขีดฆ่าตัวเลขในตารางนำไปสู่ความจริงที่ว่าจำเป็นต้องเริ่มต้นด้วยตัวเลขที่เท่ากับ b 2 และเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน b 2 ≤ a นั่นคือ หากคุณขีดฆ่าตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 2 กระบวนการจะเริ่มต้นด้วย 4 และทวีคูณของ 3 ด้วย 9 และต่อไปเรื่อยๆ จนถึง 100

การคอมไพล์ตารางดังกล่าวโดยใช้ทฤษฎีบทของเอราทอสเธนีส เสนอว่าเมื่อจำนวนประกอบทั้งหมดถูกขีดฆ่าออก จำนวนเฉพาะจะยังคงอยู่ที่ไม่เกิน n ในตัวอย่างโดยที่ n = 50 เราจะได้ n = 50 จากจุดนี้เราพบว่าตะแกรงของเอราทอสเทนีสจะกรองจำนวนประกอบทั้งหมดที่ไม่มีค่าออกมา มูลค่าที่มากขึ้นรากของ 50 การค้นหาตัวเลขทำได้โดยการขีดฆ่า

ก่อนจะแก้โจทย์ คุณต้องค้นหาก่อนว่าจำนวนนั้นเป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ มักใช้เกณฑ์การหาร ลองดูตัวอย่างด้านล่างนี้

ตัวอย่างที่ 1

พิสูจน์ว่าจำนวน 898989898989898989 เป็นจำนวนประกอบ

สารละลาย

ผลรวมของตัวเลขที่กำหนดคือ 9 8 + 9 9 = 9 17 ซึ่งหมายความว่าตัวเลข 9 · 17 หารด้วย 9 ลงตัว โดยอาศัยการทดสอบการหารด้วย 9 ลงตัว ตามมาว่าเป็นคอมโพสิต

สัญญาณดังกล่าวไม่สามารถพิสูจน์ความเป็นสำคัญของตัวเลขได้ หากจำเป็นต้องมีการตรวจสอบ ควรดำเนินการอื่นๆ ที่สุด วิธีที่เหมาะสม- มันเป็นตัวเลขจำนวนมาก ในระหว่างขั้นตอนนี้ คุณสามารถค้นหาจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบได้ นั่นคือตัวเลขไม่ควรเกินค่า นั่นคือต้องแยกจำนวน a ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ หากเป็นที่พอใจ จำนวน a ก็ถือเป็นจำนวนเฉพาะได้

ตัวอย่างที่ 2

กำหนดจำนวนประกอบหรือจำนวนเฉพาะ 11723

สารละลาย

ตอนนี้คุณต้องค้นหาตัวหารทั้งหมดของหมายเลข 11723 ต้องประเมิน 11723

จากตรงนี้เราจะเห็นว่า 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 และ 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 จำนวนน้อยลง 200 .

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม การประเมินที่แม่นยำหมายเลข 11723 คุณต้องเขียนนิพจน์ 108 2 = 11 664 และ 109 2 = 11 881 , ที่ 108 2 < 11 723 < 109 2 - ตามมาด้วยหมายเลข 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

เมื่อขยายออกเราจะพบว่า 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 เป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมด ทั้งหมด กระบวนการนี้สามารถแสดงเป็นการหารด้วยคอลัมน์ได้ นั่นคือหาร 11723 ด้วย 19 เลข 19 เป็นปัจจัยหนึ่ง เนื่องจากเราหารได้โดยไม่มีเศษ. เรามาแสดงการแบ่งเป็นคอลัมน์:

ตามมาด้วยว่า 11723 เป็นจำนวนประกอบ เพราะนอกจากตัวมันเองและ 1 แล้ว ยังมีตัวหารด้วย 19 ด้วย

คำตอบ: 11723 เป็นจำนวนประกอบ

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

จำนวนธรรมชาติอื่นๆ ทั้งหมดเรียกว่าจำนวนประกอบ จำนวนธรรมชาติ 1 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ

ตัวอย่าง

ออกกำลังกาย.จำนวนธรรมชาติใดที่เขียนด้านล่างนี้เป็นจำนวนเฉพาะ:

คำตอบ.

แยกตัวประกอบตัวเลข

การแทนจำนวนธรรมชาติเป็นผลคูณของจำนวนธรรมชาติเรียกว่า การแยกตัวประกอบ- ถ้าในการแยกตัวประกอบของจำนวนธรรมชาติ ตัวประกอบทั้งหมดเป็นจำนวนเฉพาะ ก็จะเรียกว่าการแยกตัวประกอบดังกล่าว การแยกตัวประกอบเฉพาะ.

ทฤษฎีบท

(ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต)

จำนวนธรรมชาติทุกตัวที่ไม่ใช่ 1 สามารถแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะได้ และด้วยวิธีเฉพาะ (หากเราระบุการแยกตัวประกอบ และ โดยที่ และ เป็นจำนวนเฉพาะ)

ด้วยการรวมปัจจัยเฉพาะที่เหมือนกันในการสลายตัวของตัวเลข เราจะได้สิ่งที่เรียกว่าการสลายตัวตามบัญญัติของตัวเลข:

โดยที่ เป็นจำนวนเฉพาะต่างๆ และเป็นจำนวนธรรมชาติ

ตัวอย่าง

ออกกำลังกาย.ค้นหาการขยายตัวเลขตามรูปแบบบัญญัติ:

สารละลาย.ในการค้นหาการแบ่งแยกตามรูปแบบบัญญัติของตัวเลข คุณต้องแยกตัวประกอบเหล่านี้เป็นตัวประกอบเฉพาะก่อน จากนั้นจึงรวมตัวประกอบเดียวกันและเขียนผลคูณของตัวเลขเป็นกำลังด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ:

คำตอบ.

ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์

จะทราบได้อย่างไรว่าจำนวนใดเป็นจำนวนเฉพาะและจำนวนใดไม่ใช่? วิธีที่ใช้กันทั่วไปในการค้นหาจำนวนเฉพาะทั้งหมดในช่วงจำนวนใดๆ เสนอขึ้นในศตวรรษที่ 3 พ.ศ จ. Eratosthenes (วิธีนี้เรียกว่า "ตะแกรงของ Eratosthenes") สมมติว่าเราต้องพิจารณาว่าจำนวนใดเป็นจำนวนเฉพาะ ลองเขียนมันออกมาเรียงกันและขีดฆ่าตัวเลขทุกวินาทีจากตัวเลขที่ตามหลังเลข 2 - พวกมันทั้งหมดประกอบกัน เนื่องจากมันเป็นจำนวนทวีคูณของเลข 2 เลขตัวแรกของตัวเลขที่เหลือที่ไม่ได้ขีดฆ่า - 3 - เป็นจำนวนเฉพาะ ลองขีดฆ่าตัวเลขทุก ๆ สามจากตัวเลขที่อยู่หลังเลข 3 ตัวเลขถัดไปที่ไม่ถูกขีดฆ่า - 5 - จะเป็นจำนวนเฉพาะเช่นกัน เมื่อใช้หลักการเดียวกัน เราจะขีดฆ่าตัวเลขทุกๆ ห้าออกจากตัวเลขที่ตามหลังเลข 5 และโดยทั่วไป ขีดฆ่าตัวเลขทุกตัวจากตัวเลขที่ตามหลังตัวเลข . จำนวนที่ไม่มีการครอสที่เหลือทั้งหมดจะเป็นจำนวนเฉพาะ

เมื่อจำนวนเฉพาะเพิ่มขึ้น มันก็จะค่อยๆ พบน้อยลงเรื่อยๆ อย่างไรก็ตาม คนสมัยก่อนตระหนักดีอยู่แล้วว่ามีอยู่มากมายนับไม่ถ้วน หลักฐานของเขาแสดงไว้ใน Euclid's Elements