เรียกว่าพื้นผิวด้านข้างของปริซึม (หรือเรียกอีกอย่างว่าพื้นที่ผิวด้านข้าง) ผลรวมบริเวณใบหน้าด้านข้าง พื้นผิวทั้งหมดของปริซึมเท่ากับผลรวมของพื้นผิวด้านข้างและพื้นที่ของฐาน
ทฤษฎีบท 19.1 พื้นผิวด้านข้างของปริซึมตรงมีค่าเท่ากับผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและความสูงของปริซึม กล่าวคือ ความยาวของขอบด้านข้าง
การพิสูจน์. ใบหน้าด้านข้างของปริซึมตรงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ฐานของสี่เหลี่ยมเหล่านี้คือด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมซึ่งอยู่ที่ฐานของปริซึม และความสูงเท่ากับความยาวของขอบด้านข้าง ตามมาว่าพื้นผิวด้านข้างของปริซึมมีค่าเท่ากับ
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl
โดยที่ 1 และ n คือความยาวของขอบฐาน p คือความยาวเส้นรอบวงของฐานปริซึม และ I คือความยาวของขอบด้านข้าง ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
ปัญหา (22) - ในปริซึมแบบเอียงจะดำเนินการ ส่วนตั้งฉากกับซี่โครงด้านข้างและตัดกับซี่โครงด้านข้างทั้งหมด หา พื้นผิวด้านข้างปริซึมถ้าเส้นรอบวงหน้าตัดเท่ากับ p และขอบด้านข้างเท่ากับ l
สารละลาย. ระนาบของส่วนที่วาดจะแบ่งปริซึมออกเป็นสองส่วน (รูปที่ 411) ให้เรากำหนดให้หนึ่งในนั้นแปลแบบคู่ขนานโดยรวมฐานของปริซึมเข้าด้วยกัน ในกรณีนี้ เราได้ปริซึมตรง โดยมีฐานเป็นหน้าตัดของปริซึมเดิม และขอบด้านข้างเท่ากับ l ปริซึมนี้มีพื้นผิวด้านข้างเหมือนกับปริซึมดั้งเดิม ดังนั้น พื้นผิวด้านข้างของปริซึมเดิมจึงเท่ากับ pl
ตอนนี้เรามาลองสรุปหัวข้อที่เราพูดถึงเกี่ยวกับปริซึมและจำไว้ว่าปริซึมมีคุณสมบัติอะไรบ้าง
คุณสมบัติของปริซึม
ประการแรก ปริซึมมีฐานทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมเท่ากัน
ประการที่สอง ในปริซึม ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ประการที่สาม ในรูปที่มีหลายแง่มุมเช่นปริซึม ขอบด้านข้างทั้งหมดจะเท่ากัน
นอกจากนี้ควรจำไว้ว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมเช่นปริซึมสามารถตั้งตรงหรือเอียงได้
ปริซึมใดเรียกว่าปริซึมตรง
หากขอบด้านข้างของปริซึมตั้งฉากกับระนาบของฐาน ปริซึมดังกล่าวจะเรียกว่าปริซึมเส้นตรง
คงไม่ใช่เรื่องฟุ่มเฟือยที่จะระลึกว่าด้านข้างของปริซึมตรงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
ปริซึมชนิดใดเรียกว่าเฉียง?
แต่ถ้าขอบด้านข้างของปริซึมไม่ได้ตั้งฉากกับระนาบของฐาน เราก็บอกได้อย่างปลอดภัยว่าเป็นปริซึมแบบเอียง
ปริซึมใดเรียกว่าถูกต้อง
ถ้ารูปหลายเหลี่ยมปกติอยู่ที่ฐานของปริซึมตรง ปริซึมนั้นก็จะเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ
ตอนนี้ให้เราจำคุณสมบัติของปริซึมปกติกัน
ประการแรก รูปหลายเหลี่ยมปกติทำหน้าที่เป็นฐานของปริซึมปกติเสมอ
ประการที่สอง ถ้าเราพิจารณาด้านด้านข้างของปริซึมปกติ พวกมันก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากันเสมอ
ประการที่สาม หากคุณเปรียบเทียบขนาดของซี่โครงด้านข้าง ในปริซึมปกติก็จะเท่ากันเสมอ
ประการที่สี่ ปริซึมที่ถูกต้องจะเป็นเส้นตรงเสมอ
ประการที่ห้า หากในปริซึมปกติ ใบหน้าด้านข้างมีรูปร่างเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปร่างดังกล่าวก็มักจะเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมกึ่งปกติ
ตอนนี้เรามาดูหน้าตัดของปริซึมกัน:
ทีนี้ลองรวบรวมหัวข้อที่เราได้เรียนรู้โดยการแก้ปัญหา
ลองวาดปริซึมสามเหลี่ยมแบบเอียง ระยะห่างระหว่างขอบจะเท่ากับ: 3 ซม., 4 ซม. และ 5 ซม. และพื้นผิวด้านข้างของปริซึมนี้จะเท่ากับ 60 ซม. 2 เมื่อมีพารามิเตอร์เหล่านี้แล้ว ให้หาขอบด้านข้างของปริซึมนี้
คุณรู้ไหมว่า รูปทรงเรขาคณิตล้อมรอบเราอย่างต่อเนื่องไม่เพียงแต่ในบทเรียนเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังรวมถึงในบทเรียนด้วย ชีวิตประจำวันมีวัตถุที่มีลักษณะคล้ายรูปทรงเรขาคณิตอย่างใดอย่างหนึ่ง
ทุกคนที่บ้าน ที่โรงเรียน หรือที่ทำงานต่างก็มีคอมพิวเตอร์ที่มียูนิตระบบมีรูปร่างเหมือนปริซึมตรง
หากคุณหยิบดินสอธรรมดาๆ ขึ้นมา คุณจะเห็นว่าส่วนหลักของดินสอคือปริซึม
เมื่อเดินไปตามถนนสายกลางของเมือง เราจะเห็นว่าใต้ฝ่าเท้าของเรามีแผ่นกระเบื้องที่มีรูปร่างเป็นปริซึมหกเหลี่ยมอยู่
A. V. Pogorelov เรขาคณิตสำหรับเกรด 7-11 หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษา
1. จำนวนน้อยที่สุดจัตุรมุขมี 6 ขอบ
(n - 2) - สี่เหลี่ยม
ใช่มันเป็น
ในปริซึมตรง
ไม่ มันอาจจะไม่ตรง
ใช่ครับ ถ้าหน้าตั้งฉากกับฐาน
ก. ใช่. B: ไม่.
ตามทฤษฎีบทที่ 27 เราพบว่าพื้นผิวด้านข้างมีอัตราส่วน 5: 3
ไม่ ไม่เช่นนั้นจะมีเส้นตรงอย่างน้อยสองเส้นพาดผ่านยอดปิรามิดซึ่งตั้งฉากกับฐาน
ใช่ (รูปที่ 183)
คำนิยาม. ปริซึม- นี่คือรูปทรงหลายเหลี่ยม ซึ่งจุดยอดทั้งหมดอยู่ในระนาบขนานกันสองระนาบ และในระนาบเดียวกันทั้งสองนี้มีหน้าปริซึมสองหน้าซึ่งมีรูปหลายเหลี่ยมเท่ากัน ตามลำดับ ด้านขนานและขอบทั้งหมดที่ไม่อยู่ในระนาบเหล่านี้จะขนานกัน
เรียกว่ามีหน้าเท่ากันสองหน้า ฐานปริซึม(เอบีซี ก 1 บี 1 ค 1 ง 1 อี 1).
เรียกว่าหน้าอื่นๆ ของปริซึม ใบหน้าด้านข้าง(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A)
ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเกิดขึ้น พื้นผิวด้านข้างของปริซึม .
ใบหน้าด้านข้างของปริซึมทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน .
ขอบที่ไม่อยู่ที่ฐานเรียกว่าขอบด้านข้างของปริซึม ( เอเอ 1, บีบี 1, ซีซี 1, ดีดี 1, อีอี 1).
ปริซึมในแนวทแยง คือ ส่วนที่มีปลายเป็นยอดปริซึม 2 จุดซึ่งไม่ได้อยู่หน้าเดียวกัน (ค.ศ. 1)
ความยาวของส่วนที่ต่อฐานของปริซึมและตั้งฉากกับฐานทั้งสองพร้อมกัน เรียกว่า ความสูงของปริซึม .
การกำหนด:ABCDE ก 1 B 1 C 1 D 1 E 1- (ขั้นแรก ในลำดับการเคลื่อนที่ จุดยอดของฐานหนึ่งจะถูกระบุ และจากนั้นในลำดับเดียวกัน จุดยอดของอีกฐานหนึ่ง ปลายของขอบแต่ละด้านถูกกำหนดด้วยตัวอักษรเดียวกัน กำหนดเฉพาะจุดยอดที่อยู่ในฐานเดียวเท่านั้นที่กำหนด ด้วยตัวอักษรที่ไม่มีดัชนีและอีกอัน - มีดัชนี)
ชื่อของปริซึมสัมพันธ์กับจำนวนมุมในรูปที่วางอยู่ที่ฐาน เช่น รูปที่ 1 มีรูปห้าเหลี่ยมอยู่ที่ฐาน จึงเรียกว่าปริซึม ปริซึมห้าเหลี่ยม- แต่เพราะว่า ปริซึมดังกล่าวมี 7 หน้าแล้วนั่นเอง เฮปตะเฮดรอน(2 หน้า - ฐานของปริซึม, 5 หน้า - สี่เหลี่ยมด้านขนาน - หน้าด้านข้าง)
ในบรรดาปริซึมตรง มีประเภทใดประเภทหนึ่งที่โดดเด่น: ปริซึมธรรมดา
เรียกว่าปริซึมตรง ถูกต้อง,ถ้าฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ
ปริซึมปกติจะมีด้านข้างทุกด้านมีสี่เหลี่ยมเท่ากัน กรณีพิเศษของปริซึมคือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน- รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
คุณสมบัติและทฤษฎีบท:
,
โดยที่ d คือเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
a คือด้านข้างของสี่เหลี่ยม
แนวคิดของปริซึมได้รับจาก:
S เต็ม = ฝั่ง S + 2S หลัก,
ที่ไหน สเต็มเลย- พื้นที่ผิวทั้งหมด ด้านเอส- พื้นที่ผิวด้านข้าง ฐานเอส- พื้นที่ฐาน
พื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมตรงเท่ากับผลคูณของเส้นรอบวงฐานและความสูงของปริซึม.
ด้านเอส= P พื้นฐาน * h,
ที่ไหน ด้านเอส-พื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมตรง
P main - เส้นรอบวงของฐานของปริซึมตรง
h คือความสูงของปริซึมตรง เท่ากับขอบข้าง
ปริมาตรของปริซึมเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง
ปริซึมที่แตกต่างกันจะแตกต่างกัน ในขณะเดียวกันก็มีอะไรที่เหมือนกันหลายอย่าง หากต้องการหาพื้นที่ฐานของปริซึมคุณจะต้องเข้าใจว่าปริซึมนั้นมีประเภทใด
ปริซึมคือรูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ ด้านข้างซึ่งมีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ยิ่งไปกว่านั้นฐานของมันสามารถเป็นรูปหลายเหลี่ยมใดก็ได้ตั้งแต่รูปสามเหลี่ยมไปจนถึงรูป n-gon ยิ่งไปกว่านั้น ฐานของปริซึมจะเท่ากันเสมอ สิ่งที่ใช้ไม่ได้กับใบหน้าด้านข้างคือขนาดอาจแตกต่างกันอย่างมาก
เมื่อแก้ไขปัญหาไม่เพียงแต่จะพบพื้นที่ฐานปริซึมเท่านั้น อาจต้องอาศัยความรู้พื้นผิวด้านข้าง กล่าวคือ ใบหน้าทั้งหมดที่ไม่ใช่ฐาน เต็มพื้นผิวจะมีการรวมตัวกันของใบหน้าทั้งหมดที่ประกอบเป็นปริซึมอยู่แล้ว
บางครั้งปัญหาก็เกี่ยวข้องกับความสูง มันตั้งฉากกับฐาน เส้นทแยงมุมของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดใดๆ ที่ไม่อยู่ในหน้าเดียวกันเป็นคู่
ควรสังเกตว่าพื้นที่ฐานของปริซึมตรงหรือเอียงไม่ได้ขึ้นอยู่กับมุมระหว่างปริซึมกับใบหน้าด้านข้าง หากพวกมันมีรูปร่างเหมือนกันทั้งด้านบนและด้านล่าง พื้นที่ของพวกมันก็จะเท่ากัน
ที่ฐานจะมีจุดยอดสามจุดคือรูปสามเหลี่ยม อย่างที่คุณทราบมันอาจจะแตกต่างออกไป ถ้าเป็นเช่นนั้น ก็เพียงพอที่จะจำไว้ว่าพื้นที่ของมันถูกกำหนดโดยครึ่งหนึ่งของผลคูณของขา
สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์มีลักษณะดังนี้: S = ½ av
เพื่อหาพื้นที่ฐานใน มุมมองทั่วไปสูตรจะมีประโยชน์: นกกระสาและสูตรที่ดึงด้านครึ่งหนึ่งขึ้นไปตามความสูงที่ดึงมา
ควรเขียนสูตรแรกดังนี้: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)) สัญกรณ์นี้ประกอบด้วยกึ่งเส้นรอบรูป (p) นั่นคือผลรวมของด้านทั้งสามหารด้วยสอง
ประการที่สอง: S = ½ n a * a
หากคุณต้องการหาพื้นที่ฐานของปริซึมสามเหลี่ยมซึ่งเป็นปริซึมสม่ำเสมอ สามเหลี่ยมนั้นจะกลายเป็นด้านเท่ากันหมด มีสูตรดังนี้: S = ¼ a 2 * √3
ฐานของมันคือจตุรัสใดๆ ที่รู้จัก อาจเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนก็ได้ ในแต่ละกรณีในการคำนวณพื้นที่ฐานของปริซึม คุณจะต้องมีสูตรของคุณเอง
หากฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า พื้นที่จะถูกกำหนดดังนี้ S = ab โดยที่ a, b คือด้านของสี่เหลี่ยม
เมื่อไร เรากำลังพูดถึงประมาณปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัส พื้นที่ฐานของปริซึมปกติจะคำนวณโดยใช้สูตรสี่เหลี่ยมจัตุรัส เพราะเขาคือผู้ที่นอนอยู่ที่รากฐาน ส = ก 2
ในกรณีที่ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จะต้องมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: S = a * n a มันเกิดขึ้นที่ด้านของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและมุมใดมุมหนึ่งได้รับมา จากนั้น ในการคำนวณความสูง คุณจะต้องใช้สูตรเพิ่มเติม: n a = b * sin A ยิ่งไปกว่านั้น มุม A อยู่ติดกับด้าน "b" และความสูง n อยู่ตรงข้ามกับมุมนี้
หากมีรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนอยู่ที่ฐานของปริซึม คุณจะต้องใช้สูตรเดียวกันกับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานในการกำหนดพื้นที่ (เนื่องจากเป็นกรณีพิเศษ) แต่คุณสามารถใช้สิ่งนี้ได้: S = ½ d 1 d 2 โดยที่ d 1 และ d 2 คือเส้นทแยงมุมสองเส้นของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
กรณีนี้เกี่ยวข้องกับการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยม ซึ่งจะหาพื้นที่ได้ง่ายกว่า แม้ว่ามันจะเกิดขึ้นที่ตัวเลขสามารถมีจำนวนจุดยอดที่แตกต่างกันได้
เนื่องจากฐานของปริซึมเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ จึงสามารถแบ่งรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าได้ห้ารูป จากนั้นพื้นที่ฐานของปริซึมจะเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมดังกล่าวหนึ่งอัน (ดูสูตรด้านบน) คูณด้วย 5
ตามหลักการที่อธิบายไว้สำหรับปริซึมห้าเหลี่ยม เราสามารถแบ่งรูปหกเหลี่ยมของฐานออกเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าได้ 6 รูป สูตรสำหรับพื้นที่ฐานของปริซึมนั้นคล้ายกับสูตรก่อนหน้า ควรคูณด้วยหกเท่านั้น
สูตรจะมีลักษณะดังนี้: S = 3/2 a 2 * √3
ลำดับที่ 1 เมื่อพิจารณาจากเส้นตรงปกติ เส้นทแยงมุมคือ 22 ซม. ความสูงของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือ 14 ซม. คำนวณพื้นที่ฐานของปริซึมและพื้นผิวทั้งหมด
สารละลาย.ฐานของปริซึมเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่ไม่ทราบด้านข้าง คุณสามารถหาค่าได้จากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส (x) ซึ่งสัมพันธ์กับเส้นทแยงมุมของปริซึม (d) และความสูง (h) x 2 = ง 2 - n 2 ในทางกลับกัน ส่วน “x” นี้ก็คือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมซึ่งมีขาเท่ากับด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส นั่นคือ x 2 = a 2 + a 2 ปรากฎว่า a 2 = (d 2 - n 2)/2
แทนที่ตัวเลข 22 แทน d และแทนที่ "n" ด้วยค่าของมัน - 14 ปรากฎว่าด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 12 ซม. ตอนนี้แค่หาพื้นที่ของฐาน: 12 * 12 = 144 ซม 2.
หากต้องการทราบพื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมด คุณต้องเพิ่มพื้นที่ฐานสองเท่าและเพิ่มพื้นที่ด้านข้างเป็นสี่เท่า อย่างหลังสามารถพบได้ง่ายโดยใช้สูตรสำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า: คูณความสูงของรูปทรงหลายเหลี่ยมและด้านข้างของฐาน นั่นคือ 14 และ 12 ตัวเลขนี้จะเท่ากับ 168 ซม. 2 พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึมกลายเป็น 960 ซม. 2
คำตอบ.พื้นที่ฐานปริซึม 144 ซม. 2 พื้นผิวทั้งหมดคือ 960 ซม. 2
ลำดับที่ 2. ให้ไว้ที่ฐานมีรูปสามเหลี่ยมด้านหนึ่งยาว 6 ซม. ในกรณีนี้ เส้นทแยงมุมของหน้าด้านข้างคือ 10 ซม. จงคำนวณพื้นที่: ฐานและพื้นผิวด้านข้าง
สารละลาย.เนื่องจากปริซึมเป็นแบบปกติ ฐานจึงเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า ดังนั้น พื้นที่ของมันคือ 6 กำลังสอง คูณด้วย ¼ และรากที่สองของ 3 การคำนวณอย่างง่ายนำไปสู่ผลลัพธ์: 9√3 ซม. 2 นี่คือพื้นที่ฐานหนึ่งของปริซึม
ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเหมือนกันและเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านขนาด 6 และ 10 ซม. หากต้องการคำนวณพื้นที่ ให้คูณตัวเลขเหล่านี้ แล้วคูณด้วยสาม เพราะปริซึมมีด้านหลายด้านพอดี จากนั้นพื้นที่ผิวด้านข้างของแผลจะเท่ากับ 180 ซม. 2
คำตอบ.พื้นที่: ฐาน - 9√3 ซม. 2, พื้นผิวด้านข้างของปริซึม - 180 ซม. 2
การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ
ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ
คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา
ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว
เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:
เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:
เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม
ข้อยกเว้น:
เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงด้านการบริหาร ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต
เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด