สูตรเรขาคณิตสำหรับพื้นที่และปริมาตร สูตรการหาปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน

หลักสูตรวิดีโอ "Get an A" มีหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับความสำเร็จ ผ่านการสอบ Unified Stateในวิชาคณิตศาสตร์ได้ 60-65 คะแนน ครบทุกปัญหา 1-13 การตรวจสอบโปรไฟล์ Unified Stateในวิชาคณิตศาสตร์ ยังเหมาะสำหรับการผ่านการสอบ Basic Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย หากคุณต้องการผ่านการสอบ Unified State ด้วยคะแนน 90-100 คุณต้องแก้ส่วนที่ 1 ใน 30 นาทีโดยไม่มีข้อผิดพลาด!

หลักสูตรเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State สำหรับเกรด 10-11 รวมถึงสำหรับครู ทุกสิ่งที่คุณต้องการเพื่อแก้ส่วนที่ 1 ของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหา 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่คือมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และทั้งนักเรียน 100 คะแนนและนักศึกษามนุษยศาสตร์ก็สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา

ทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมด วิธีที่รวดเร็วแนวทางแก้ไข ข้อผิดพลาด และความลับของการสอบ Unified State งานปัจจุบันทั้งหมดของส่วนที่ 1 จาก FIPI Task Bank ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้สอดคล้องกับข้อกำหนดของ Unified State Exam 2018 อย่างสมบูรณ์

หลักสูตรประกอบด้วย 5 หัวข้อใหญ่ หัวข้อละ 2.5 ชั่วโมง แต่ละหัวข้อได้รับตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน

งานสอบ Unified State หลายร้อยรายการ ปัญหาคำศัพท์และทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมที่ง่ายและง่ายต่อการจดจำสำหรับการแก้ปัญหา เรขาคณิต. ทฤษฎี, วัสดุอ้างอิง, วิเคราะห์งาน Unified State Examination ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี วิธีแก้ปัญหาที่ยุ่งยาก เอกสารโกงที่มีประโยชน์ การพัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้นจนถึงปัญหา 13 ทำความเข้าใจแทนการยัดเยียด คำอธิบายที่ชัดเจนของแนวคิดที่ซับซ้อน พีชคณิต. ราก กำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ พื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนของส่วนที่ 2 ของการสอบ Unified State

ภาพรวมทั่วไป สูตรสามมิติ!

สวัสดี, เพื่อนรัก- ในบทความนี้ฉันตัดสินใจที่จะทำ ภาพรวมทั่วไปงาน Stereometry ที่จะเปิดใช้งาน การสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์จ. ต้องบอกว่างานของกลุ่มนี้ค่อนข้างหลากหลายแต่ก็ไม่ยาก ปัญหาเหล่านี้คือปัญหาในการค้นหาปริมาณเรขาคณิต ได้แก่ ความยาว มุม พื้นที่ ปริมาตร

พิจารณา: ลูกบาศก์, ทรงลูกบาศก์, ปริซึม, ปิรามิด, รูปทรงหลายเหลี่ยมผสม, ทรงกระบอก, กรวย, ลูกบอล ความจริงที่น่าเศร้าก็คือผู้สำเร็จการศึกษาบางคนไม่ได้ประสบปัญหาดังกล่าวในระหว่างการสอบแม้ว่ามากกว่า 50% จะได้รับการแก้ไขอย่างง่ายๆ เกือบจะพูดก็ตาม

ที่เหลือใช้ความพยายาม ความรู้ และเทคนิคพิเศษเพียงเล็กน้อย ในบทความต่อๆ ไป เราจะพิจารณางานเหล่านี้ อย่าพลาด สมัครรับการอัปเดตบล็อก

ในการแก้ปัญหาคุณจำเป็นต้องรู้ สูตรพื้นที่ผิวและปริมาตรพีระมิด ปริซึม ทรงกระบอก กรวย และทรงกลม ไม่มีปัญหายากๆ ทั้งหมดแก้ไขได้ใน 2-3 ขั้นตอน สิ่งสำคัญคือต้อง "ดู" ว่าต้องใช้สูตรใด

สูตรที่จำเป็นทั้งหมดแสดงอยู่ด้านล่าง:

ลูกบอลหรือทรงกลม พื้นผิวทรงกลมหรือทรงกลม (บางครั้งก็เป็นเพียงทรงกลม) คือตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดต่างๆ ในอวกาศซึ่งมีระยะห่างเท่ากันจากจุดหนึ่งซึ่งก็คือจุดศูนย์กลางของลูกบอล

ปริมาณบอลเท่ากับปริมาตรของปิรามิดที่มีฐานมีพื้นที่เท่ากับพื้นผิวของลูกบอล และความสูงคือรัศมีของลูกบอล

ปริมาตรของทรงกลมน้อยกว่าปริมาตรของทรงกระบอกที่ล้อมรอบทรงกลมหนึ่งเท่าครึ่ง

กรวยทรงกลมสามารถหาได้โดยการหมุนสามเหลี่ยมมุมฉากรอบขาข้างใดข้างหนึ่ง ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมกรวยทรงกลมจึงถูกเรียกว่ากรวยแห่งการปฏิวัติ ดูเพิ่มเติมที่ พื้นที่ผิวของกรวยทรงกลม

ปริมาตรของกรวยกลมเท่ากับหนึ่งในสามของผลิตภัณฑ์ของพื้นที่ฐาน S และความสูง H:

(H คือความสูงของขอบลูกบาศก์)

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือปริซึมที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน รูปด้านขนานมีหกหน้า และทั้งหมดเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ขนานกันสี่ ใบหน้าด้านข้างซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมเรียกว่าเส้นตรง รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีหน้าหกหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหมดเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง:

(S คือพื้นที่ฐานของปิรามิด, h คือความสูงของปิรามิด)

ปิรามิดคือรูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งมีหน้าเดียว - ฐานของปิรามิด - รูปหลายเหลี่ยมตามอำเภอใจและส่วนที่เหลือ - ใบหน้าด้านข้าง - สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันเรียกว่าด้านบนของปิรามิด

ส่วนที่ขนานกับฐานของปิรามิดจะแบ่งปิรามิดออกเป็นสองส่วน ส่วนของปิรามิดระหว่างฐานกับส่วนนี้คือปิรามิดที่ถูกตัดทอน

ปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเท่ากับหนึ่งในสามของผลคูณของความสูง ชั่วโมง (ระบบปฏิบัติการ)ด้วยผลรวมของพื้นที่ฐานบน S1 (เอบีซีดี)ฐานล่างของปิรามิดที่ถูกตัดทอน S2 (เอบีซี)และสัดส่วนเฉลี่ยระหว่างกัน

1.

วี=

n - จำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติ - ฐาน ปิรามิดปกติ
a - ด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติ - ฐานของปิรามิดปกติ
h - ความสูงของปิรามิดปกติ

ปิรามิดรูปสามเหลี่ยมปกติคือรูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งมีหน้าเดียว - ฐานของปิรามิด - สามเหลี่ยมปกติ และส่วนที่เหลือ - ใบหน้าด้านข้าง - สามเหลี่ยมเท่ากันกับจุดยอดร่วม ความสูงลงมาที่กึ่งกลางฐานจากด้านบน

ปริมาณถูกต้อง ปิรามิดสามเหลี่ยม เท่ากับหนึ่งในสามของผลคูณของพื้นที่ สามเหลี่ยมปกติซึ่งเป็นพื้นฐาน เอส (เอบีซี)ถึงความสูง ชั่วโมง (ระบบปฏิบัติการ)

a - ด้านของสามเหลี่ยมปกติ - ฐานของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ
h - ความสูงของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ

ที่มาของสูตรปริมาตรของจัตุรมุข

ปริมาตรของจัตุรมุขคำนวณโดยใช้สูตรคลาสสิกสำหรับปริมาตรของปิรามิด จำเป็นต้องทดแทนความสูงของจัตุรมุขและพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติ (ด้านเท่ากันหมด)

ปริมาตรของจัตุรมุข- เท่ากับเศษส่วนในตัวเศษซึ่งรากที่สองของสองในตัวส่วนคือสิบสอง คูณด้วยกำลังสามของความยาวของขอบของจัตุรมุข

(h คือความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน)

เส้นรอบวง พีมีความยาวประมาณสามส่วนและหนึ่งในเจ็ดของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม อัตราส่วนที่แน่นอนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลางนั้นระบุด้วยตัวอักษรกรีก π

เป็นผลให้เส้นรอบวงของวงกลมหรือเส้นรอบวงคำนวณโดยใช้สูตร

π ร

(r - รัศมีส่วนโค้ง, n - มุมกลางส่วนโค้งเป็นองศา)

และชาวอียิปต์โบราณก็ใช้วิธีการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขต่างๆ คล้ายกับวิธีของเรา

ในหนังสือของฉัน "จุดเริ่มต้น"ยูคลิด นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณผู้โด่งดังอธิบายไว้ค่อนข้างมาก จำนวนมากวิธีการคำนวณพื้นที่ของหลายๆ รูปทรงเรขาคณิต- ต้นฉบับฉบับแรกใน Rus' ที่มีข้อมูลทางเรขาคณิตเขียนขึ้นในศตวรรษที่ 16 อธิบายกฎเกณฑ์ในการหาพื้นที่ของรูปทรงต่างๆ

วันนี้มีตัวช่วย วิธีการที่ทันสมัยคุณสามารถค้นหาพื้นที่ของรูปใด ๆ ได้อย่างแม่นยำ

ลองพิจารณาตัวเลขที่ง่ายที่สุดตัวหนึ่ง นั่นคือสี่เหลี่ยมผืนผ้า และสูตรในการค้นหาพื้นที่ของมัน

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า

ลองพิจารณารูปหนึ่ง (รูปที่ 1) ซึ่งประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส $8$ โดยมีด้านละ $1$ cm พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งด้านที่มีด้าน $1$ cm เรียกว่า ตารางเซนติเมตร และเขียนว่า $1\ cm^2 $.

พื้นที่ของรูปนี้ (รูปที่ 1) จะเท่ากับ $8\cm^2$

พื้นที่ของรูปที่สามารถแบ่งออกเป็นหลายช่องโดยมีด้าน $1\ cm$ (เช่น $p$) จะเท่ากับ $p\ cm^2$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง พื้นที่ของรูปจะเท่ากับหลาย ๆ $cm^2$ ออกเป็นจำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน $1\ cm$ ของรูปนี้สามารถแบ่งได้เป็นจำนวนเท่าใด

ลองพิจารณาสี่เหลี่ยมผืนผ้า (รูปที่ 2) ซึ่งประกอบด้วยแถบ $3$ ซึ่งแต่ละแถบแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส $5$ โดยมีด้าน $1\ cm$ สี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหมดประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส $5\cdot 3=15$ และพื้นที่ของมันคือ $15\cm^2$

รูปที่ 1.

รูปที่ 2.

พื้นที่ของตัวเลขมักจะแสดงด้วยตัวอักษร $S$

หากต้องการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า คุณต้องคูณความยาวด้วยความกว้าง

หากเราแสดงความยาวด้วยตัวอักษร $a$ และความกว้างด้วยตัวอักษร $b$ สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะมีลักษณะดังนี้:

คำจำกัดความ 1

ตัวเลขที่เรียกว่า เท่ากันถ้าเมื่อซ้อนทับกันตัวเลขจะตรงกัน มีตัวเลขเท่ากัน พื้นที่เท่ากันและปริมณฑลเท่ากัน

พื้นที่ของรูปสามารถหาได้จากผลรวมของพื้นที่ของส่วนต่างๆ

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างเช่น ในรูปที่ $3$ สี่เหลี่ยม $ABCD$ จะถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนตามบรรทัด $KLMN$ พื้นที่ของส่วนหนึ่งคือ $12\ cm^2$ และอีกส่วนหนึ่งคือ $9\ cm^2$ จากนั้น พื้นที่ของสี่เหลี่ยม $ABCD$ จะเท่ากับ $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$ ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมโดยใช้สูตร:

อย่างที่คุณเห็น พื้นที่ที่พบโดยทั้งสองวิธีมีค่าเท่ากัน

รูปที่ 3.

รูปที่ 4.

ส่วน $AC$ แบ่งสี่เหลี่ยมออกเป็นสองส่วน สามเหลี่ยมเท่ากัน: $ABC$ และ $ADC$. ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ของแต่ละสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมทั้งหมด

คำจำกัดความ 2

สี่เหลี่ยมผืนผ้าด้วย ด้านที่เท่ากันเรียกว่า สี่เหลี่ยม.

หากเราแสดงด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วยตัวอักษร $a$ สูตรจะพบพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส:

ดังนั้นชื่อของตัวเลข $a$

ตัวอย่างที่ 2

ตัวอย่างเช่น หากด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ $5$ cm พื้นที่ของมันคือ:

เล่ม

ด้วยการพัฒนาด้านการค้าและการก่อสร้าง แม้แต่ในสมัยอารยธรรมโบราณ ความต้องการก็เพิ่มขึ้นในการค้นหาปริมาณ ในทางคณิตศาสตร์ มีเรขาคณิตสาขาหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาตัวเลขเชิงพื้นที่ เรียกว่าสามมิติ การกล่าวถึงสาขาคณิตศาสตร์ที่แยกจากกันนี้พบแล้วใน $IV$ ศตวรรษก่อนคริสต์ศักราช

นักคณิตศาสตร์โบราณได้พัฒนาวิธีการคำนวณปริมาตรของตัวเลขอย่างง่าย - ลูกบาศก์และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน อาคารทุกหลังในสมัยนั้นมีรูปร่างเช่นนี้ แต่พบวิธีต่อมาในการคำนวณปริมาตรของรูปทรงที่ซับซ้อนมากขึ้น

ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน

หากคุณเติมทรายเปียกลงในแม่พิมพ์แล้วพลิกกลับ คุณจะได้ รูปสามมิติซึ่งมีลักษณะเป็นปริมาตร หากคุณสร้างฟิกเกอร์หลายตัวโดยใช้แม่พิมพ์เดียวกัน คุณจะได้ฟิกเกอร์ที่มีปริมาตรเท่ากัน หากคุณเติมน้ำลงในแม่พิมพ์ ปริมาตรของน้ำและปริมาตรของรูปร่างทรายก็จะเท่ากันด้วย

รูปที่ 5.

คุณสามารถเปรียบเทียบปริมาตรของภาชนะสองใบได้โดยการเติมน้ำลงในภาชนะใบหนึ่งแล้วเทลงในภาชนะใบที่สอง หากภาชนะใบที่สองเต็มไปหมด ภาชนะนั้นจะมีปริมาตรเท่ากัน ถ้าน้ำยังคงอยู่ในถังใบแรก ปริมาตรของถังใบแรกจะมากกว่าปริมาตรของถังใบที่สอง หากเมื่อเทน้ำจากภาชนะใบแรกแล้วไม่สามารถเติมน้ำใบที่สองได้จนเต็ม ปริมาตรของภาชนะใบแรกจะน้อยกว่าปริมาตรของภาชนะใบที่สอง

ปริมาตรวัดโดยใช้หน่วยต่อไปนี้:

$mm^3$ -- ลูกบาศก์มิลลิเมตร

$cm^3$ -- ลูกบาศก์เซนติเมตร

$dm^3$ -- ลูกบาศก์เดซิเมตร

$m^3$ -- ลูกบาศก์เมตร

$km^3$ -- ลูกบาศก์กิโลเมตร

และชาวอียิปต์โบราณก็ใช้วิธีการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขต่างๆ คล้ายกับวิธีของเรา

ในหนังสือของฉัน "จุดเริ่มต้น"ยูคลิด นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณผู้โด่งดังได้อธิบายวิธีการคำนวณพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตจำนวนมากไว้ค่อนข้างมาก ต้นฉบับฉบับแรกใน Rus' ที่มีข้อมูลทางเรขาคณิตเขียนขึ้นในศตวรรษที่ 16 อธิบายกฎเกณฑ์ในการหาพื้นที่ของรูปทรงต่างๆ

ทุกวันนี้ด้วยวิธีการที่ทันสมัย ​​คุณสามารถค้นหาพื้นที่ของตัวเลขใด ๆ ได้อย่างแม่นยำ

ลองพิจารณาตัวเลขที่ง่ายที่สุดตัวหนึ่ง นั่นคือสี่เหลี่ยมผืนผ้า และสูตรในการค้นหาพื้นที่ของมัน

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า

ลองพิจารณารูปหนึ่ง (รูปที่ 1) ซึ่งประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส $8$ โดยมีด้านละ $1$ cm พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งด้านที่มีด้าน $1$ cm เรียกว่า ตารางเซนติเมตร และเขียนว่า $1\ cm^2 $.

พื้นที่ของรูปนี้ (รูปที่ 1) จะเท่ากับ $8\cm^2$

พื้นที่ของรูปที่สามารถแบ่งออกเป็นหลายช่องโดยมีด้าน $1\ cm$ (เช่น $p$) จะเท่ากับ $p\ cm^2$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง พื้นที่ของรูปจะเท่ากับหลาย ๆ $cm^2$ ออกเป็นจำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน $1\ cm$ ของรูปนี้สามารถแบ่งได้เป็นจำนวนเท่าใด

ลองพิจารณาสี่เหลี่ยมผืนผ้า (รูปที่ 2) ซึ่งประกอบด้วยแถบ $3$ ซึ่งแต่ละแถบแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส $5$ โดยมีด้าน $1\ cm$ สี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหมดประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส $5\cdot 3=15$ และพื้นที่ของมันคือ $15\cm^2$

รูปที่ 1.

รูปที่ 2.

พื้นที่ของตัวเลขมักจะแสดงด้วยตัวอักษร $S$

หากต้องการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า คุณต้องคูณความยาวด้วยความกว้าง

หากเราแสดงความยาวด้วยตัวอักษร $a$ และความกว้างด้วยตัวอักษร $b$ สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะมีลักษณะดังนี้:

คำจำกัดความ 1

ตัวเลขที่เรียกว่า เท่ากันถ้าเมื่อซ้อนทับกันตัวเลขจะตรงกัน ตัวเลขที่เท่ากันมีพื้นที่และเส้นรอบวงเท่ากัน

พื้นที่ของรูปสามารถหาได้จากผลรวมของพื้นที่ของส่วนต่างๆ

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างเช่น ในรูปที่ $3$ สี่เหลี่ยม $ABCD$ จะถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนตามบรรทัด $KLMN$ พื้นที่ของส่วนหนึ่งคือ $12\ cm^2$ และอีกส่วนหนึ่งคือ $9\ cm^2$ จากนั้น พื้นที่ของสี่เหลี่ยม $ABCD$ จะเท่ากับ $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$ ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมโดยใช้สูตร:

อย่างที่คุณเห็น พื้นที่ที่พบโดยทั้งสองวิธีมีค่าเท่ากัน

รูปที่ 3.

รูปที่ 4.

ส่วนของเส้นตรง $AC$ แบ่งสี่เหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปเท่าๆ กัน: $ABC$ และ $ADC$ ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ของแต่ละสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมทั้งหมด

คำจำกัดความ 2

เรียกว่าสี่เหลี่ยมที่มีด้านเท่ากัน สี่เหลี่ยม.

หากเราแสดงด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วยตัวอักษร $a$ สูตรจะพบพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส:

ดังนั้นชื่อของตัวเลข $a$

ตัวอย่างที่ 2

ตัวอย่างเช่น หากด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ $5$ cm พื้นที่ของมันคือ:

เล่ม

ด้วยการพัฒนาด้านการค้าและการก่อสร้าง แม้แต่ในสมัยอารยธรรมโบราณ ความต้องการก็เพิ่มขึ้นในการค้นหาปริมาณ ในทางคณิตศาสตร์ มีเรขาคณิตสาขาหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาตัวเลขเชิงพื้นที่ เรียกว่าสามมิติ การกล่าวถึงสาขาคณิตศาสตร์ที่แยกจากกันนี้พบแล้วใน $IV$ ศตวรรษก่อนคริสต์ศักราช

นักคณิตศาสตร์โบราณได้พัฒนาวิธีการคำนวณปริมาตรของตัวเลขอย่างง่าย - ลูกบาศก์และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน อาคารทุกหลังในสมัยนั้นมีรูปร่างเช่นนี้ แต่พบวิธีต่อมาในการคำนวณปริมาตรของรูปทรงที่ซับซ้อนมากขึ้น

ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน

หากคุณเติมทรายเปียกลงในแม่พิมพ์แล้วพลิกกลับ คุณจะได้รูปทรงสามมิติที่มีปริมาตร หากคุณสร้างฟิกเกอร์หลายตัวโดยใช้แม่พิมพ์เดียวกัน คุณจะได้ฟิกเกอร์ที่มีปริมาตรเท่ากัน หากคุณเติมน้ำลงในแม่พิมพ์ ปริมาตรของน้ำและปริมาตรของรูปร่างทรายก็จะเท่ากันด้วย

รูปที่ 5.

คุณสามารถเปรียบเทียบปริมาตรของภาชนะสองใบได้โดยการเติมน้ำลงในภาชนะใบหนึ่งแล้วเทลงในภาชนะใบที่สอง หากภาชนะใบที่สองเต็มไปหมด ภาชนะนั้นจะมีปริมาตรเท่ากัน ถ้าน้ำยังคงอยู่ในถังใบแรก ปริมาตรของถังใบแรกจะมากกว่าปริมาตรของถังใบที่สอง หากเมื่อเทน้ำจากภาชนะใบแรกแล้วไม่สามารถเติมน้ำใบที่สองได้จนเต็ม ปริมาตรของภาชนะใบแรกจะน้อยกว่าปริมาตรของภาชนะใบที่สอง

ปริมาตรวัดโดยใช้หน่วยต่อไปนี้:

$mm^3$ -- ลูกบาศก์มิลลิเมตร

$cm^3$ -- ลูกบาศก์เซนติเมตร

$dm^3$ -- ลูกบาศก์เดซิเมตร

$m^3$ -- ลูกบาศก์เมตร

$km^3$ -- ลูกบาศก์กิโลเมตร

หลักสูตรวิดีโอ "รับ A" ประกอบด้วยหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นในการผ่านการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ด้วยคะแนน 60-65 คะแนน ทำภารกิจทั้งหมด 1-13 ของการสอบ Profile Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ให้สมบูรณ์ ยังเหมาะสำหรับการผ่านการสอบ Basic Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย หากคุณต้องการผ่านการสอบ Unified State ด้วยคะแนน 90-100 คุณต้องแก้ส่วนที่ 1 ใน 30 นาทีโดยไม่มีข้อผิดพลาด!

หลักสูตรเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State สำหรับเกรด 10-11 รวมถึงสำหรับครู ทุกสิ่งที่คุณต้องการเพื่อแก้ส่วนที่ 1 ของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหา 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่คือมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และทั้งนักเรียน 100 คะแนนและนักศึกษามนุษยศาสตร์ก็สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา

ทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมด วิธีแก้ปัญหาด่วน ข้อผิดพลาด และความลับของการสอบ Unified State งานปัจจุบันทั้งหมดของส่วนที่ 1 จาก FIPI Task Bank ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้สอดคล้องกับข้อกำหนดของ Unified State Exam 2018 อย่างสมบูรณ์

หลักสูตรประกอบด้วย 5 หัวข้อใหญ่ หัวข้อละ 2.5 ชั่วโมง แต่ละหัวข้อได้รับตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน

งานสอบ Unified State หลายร้อยรายการ ปัญหาคำศัพท์และทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมที่ง่ายและง่ายต่อการจดจำสำหรับการแก้ปัญหา เรขาคณิต. ทฤษฎี เอกสารอ้างอิง การวิเคราะห์งานการสอบ Unified State ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี วิธีแก้ปัญหาที่ยุ่งยาก เอกสารโกงที่มีประโยชน์ การพัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้นจนถึงปัญหา 13 ทำความเข้าใจแทนการยัดเยียด คำอธิบายที่ชัดเจนของแนวคิดที่ซับซ้อน พีชคณิต. ราก กำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ พื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนของส่วนที่ 2 ของการสอบ Unified State