ค่าแทนเจนต์สามารถรับค่าอะไรได้บ้างในวิชาตรีโกณมิติ? อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน สูตรผสม และที่มา

ช่วยให้คุณสร้างผลลัพธ์ลักษณะเฉพาะได้หลายประการ - คุณสมบัติของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์- ในบทความนี้เราจะดูคุณสมบัติหลักสามประการ อันแรกบ่งบอกถึงสัญญาณของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุม α ขึ้นอยู่กับมุมที่พิกัดควอเตอร์คือ α ต่อไปเราจะพิจารณาคุณสมบัติของช่วงเวลาซึ่งสร้างความแปรปรวนของค่าของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุม α เมื่อมุมนี้เปลี่ยนแปลงตามจำนวนการปฏิวัติจำนวนเต็ม คุณสมบัติที่สามเป็นการแสดงออกถึงความสัมพันธ์ระหว่างค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมตรงข้าม α และ −α

หากคุณสนใจคุณสมบัติของฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ คุณสามารถศึกษาได้ในส่วนที่เกี่ยวข้องของบทความ

การนำทางหน้า

สัญญาณของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์แยกตามไตรมาส

ด้านล่างในย่อหน้านี้ วลี “มุมของไตรมาสพิกัด I, II, III และ IV” จะปรากฏขึ้น ลองอธิบายว่ามุมเหล่านี้คืออะไร

ลองใช้วงกลมหนึ่งหน่วย ทำเครื่องหมายจุดเริ่มต้น A(1, 0) บนจุดนั้น แล้วหมุนไปรอบจุด O เป็นมุม α แล้วเราจะถือว่าเราจะไปถึงจุด A 1 (x, y)

พวกเขาพูดอย่างนั้น มุม α คือมุมของจตุภาคพิกัด I, II, III, IVถ้าจุด A 1 อยู่ในไตรมาส I, II, III, IV ตามลำดับ ถ้ามุม α เท่ากับจุด A 1 อยู่บนเส้นพิกัด Ox หรือ Oy ใดๆ มุมนี้ก็จะไม่อยู่ในสี่ส่วนใดๆ เลย

เพื่อความชัดเจน นี่คือภาพประกอบ ภาพวาดด้านล่างแสดงมุมการหมุน 30, −210, 585 และ −45 องศา ซึ่งเป็นมุมของควอเตอร์พิกัด I, II, III และ IV ตามลำดับ

มุม 0, ±90, ±180, ±270, ±360, …องศาไม่อยู่ในเขตพิกัดใด ๆ

ตอนนี้เรามาดูกันว่าสัญญาณใดมีค่าของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุนα ขึ้นอยู่กับว่ามุมควอแดรนท์ของαคืออะไร

สำหรับไซน์และโคไซน์ ทำได้ง่ายมาก

ตามคำนิยาม ไซน์ของมุม α คือพิกัดของจุด A 1 แน่นอนว่าในไตรมาสพิกัด I และ II มีค่าเป็นบวก และในไตรมาสที่ III และ IV มีค่าเป็นลบ ดังนั้น ไซน์ของมุม α จึงมีเครื่องหมายบวกในควอเตอร์ที่ 1 และ 2 และมีเครื่องหมายลบในควอเตอร์ที่ 3 และ 6

ในทางกลับกัน โคไซน์ของมุม α คือจุดหักมุมของจุด A 1 ในไตรมาสที่ 1 และ 4 มีค่าเป็นบวก และในไตรมาสที่ 2 และ 3 มีค่าเป็นลบ ดังนั้นค่าโคไซน์ของมุม α ในไตรมาสที่ 1 และ 4 จึงเป็นค่าบวก และค่าของโคไซน์ของมุม α ในไตรมาสที่ 2 และ 3 จะเป็นค่าลบ

ในการกำหนดสัญญาณของควอเตอร์ของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ คุณต้องจำคำจำกัดความของมัน: แทนเจนต์คืออัตราส่วนของพิกัดของจุด A 1 ต่อจุดแอบซิสซา และโคแทนเจนต์คืออัตราส่วนของจุดขาดของจุด A 1 ต่อจุดพิกัด แล้วจาก กฎเกณฑ์ในการหารตัวเลขเหมือนกันและ สัญญาณที่แตกต่างกันตามมาด้วยว่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์จะมีเครื่องหมายบวก เมื่อเครื่องหมายแอบซิสซาและเครื่องหมายกำหนดของจุด A 1 เหมือนกัน และมีเครื่องหมายลบเมื่อเครื่องหมายแอบซิสซาและเครื่องหมายกำหนดของจุด A 1 ต่างกัน ดังนั้น แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมจึงมีเครื่องหมาย + ในไตรมาสพิกัด I และ III และมีเครื่องหมายลบในไตรมาส II และ IV

อันที่จริง ตัวอย่างเช่น ในไตรมาสแรกทั้ง Abscissa x และพิกัด y ของจุด A 1 นั้นเป็นค่าบวก จากนั้นทั้งผลหาร x/y และผลหาร y/x ต่างก็เป็นบวก ดังนั้น แทนเจนต์และโคแทนเจนต์จึงมีเครื่องหมาย + และในไตรมาสที่สอง Abscissa x เป็นลบ และลำดับ y เป็นบวก ดังนั้นทั้ง x/y และ y/x จึงเป็นลบ ดังนั้นแทนเจนต์และโคแทนเจนต์จึงมีเครื่องหมายลบ

มาดูคุณสมบัติต่อไปของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์กันดีกว่า

คุณสมบัติเป็นงวด

ตอนนี้เราจะมาดูคุณสมบัติที่ชัดเจนที่สุดของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุม ดังต่อไปนี้: เมื่อมุมเปลี่ยนตามจำนวนเต็มของการปฏิวัติเต็มค่าของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมนี้จะไม่เปลี่ยนแปลง

สิ่งนี้เป็นที่เข้าใจได้: เมื่อมุมเปลี่ยนตามจำนวนการปฏิวัติเราจะได้จากจุดเริ่มต้น A ไปยังจุด A 1 บนวงกลมหน่วยเสมอดังนั้นค่าของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง เนื่องจากพิกัดของจุด A 1 ไม่เปลี่ยนแปลง

เมื่อใช้สูตร คุณสมบัติของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ที่พิจารณาสามารถเขียนได้ดังนี้: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+ 2·π· z)=tgα , ctg(α+2·π·z)=ctgα โดยที่ α คือมุมของการหมุนในหน่วยเรเดียน z คือใดๆ , ค่าสัมบูรณ์ซึ่งระบุจำนวนรอบการหมุนเต็มซึ่งมุม α เปลี่ยนแปลง และเครื่องหมายของตัวเลข z ระบุทิศทางการหมุน

หากระบุมุมการหมุน α เป็นองศา สูตรที่ระบุจะถูกเขียนใหม่เป็น sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , CTG(α+360°·z)=ctgα ,

ลองยกตัวอย่างการใช้คุณสมบัตินี้ ตัวอย่างเช่น, , เพราะ , ก - นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง: หรือ .

คุณสมบัตินี้พร้อมกับสูตรการลดมักใช้ในการคำนวณค่าของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุม "ใหญ่"

คุณสมบัติของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ที่พิจารณา บางครั้งเรียกว่าคุณสมบัติของคาบ

คุณสมบัติของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมตรงข้าม

ให้ A 1 เป็นจุดที่ได้จากการหมุนจุดเริ่มต้น A(1, 0) รอบจุด O ด้วยมุม α และจุด A 2 เป็นผลจากการหมุนจุด A ด้วยมุม −α ตรงข้ามกับมุม α

คุณสมบัติของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมตรงข้ามนั้นขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ค่อนข้างชัดเจน: จุด A 1 และ A 2 ที่กล่าวถึงข้างต้นตรงกัน (ที่) หรืออยู่ในตำแหน่งเชิงสมมาตรสัมพันธ์กับแกนวัว นั่นคือ ถ้าจุด A 1 มีพิกัด (x, y) จุด A 2 ก็จะมีพิกัด (x, −y) จากที่นี่ โดยใช้คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ เราเขียนความเท่าเทียมกัน และ
เมื่อเปรียบเทียบกันแล้ว เรามาถึงความสัมพันธ์ระหว่างไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมตรงข้าม α และ −α ของรูปแบบ
นี่คือคุณสมบัติที่อยู่ระหว่างการพิจารณาในรูปของสูตร

ลองยกตัวอย่างการใช้คุณสมบัตินี้ ตัวอย่างเช่นความเท่าเทียมกันและ .

ยังคงเป็นเพียงการสังเกตว่าคุณสมบัติของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมตรงข้ามเช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้ามักใช้ในการคำนวณค่าของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์และช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงค่าลบได้อย่างสมบูรณ์ มุม

อ้างอิง.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 9 เฉลี่ย โรงเรียน/ยู N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; เอ็ด S. A. Telyakovsky - ม.: การศึกษา, 2533 - 272 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-002727-7
• พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และคนอื่น ๆ ; เอ็ด A. N. Kolmogorov - ฉบับที่ 14 - ม.: การศึกษา, 2547 - 384 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-013651-3
• บาชมาคอฟ เอ็ม.ไอ.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียน สำหรับเกรด 10-11 เฉลี่ย โรงเรียน - ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา พ.ศ. 2536 - 351 หน้า: ป่วย - ไอ 5-09-004617-4.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค) พรบ. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2527-351 น. ป่วย

ในบทความนี้เราจะมาดูอย่างละเอียด ขั้นพื้นฐาน อัตลักษณ์ตรีโกณมิติแสดงถึงความเท่าเทียมกันที่สร้างการเชื่อมโยงระหว่างไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมหนึ่ง และช่วยให้คุณค้นหาสิ่งเหล่านี้ได้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติผ่านผู้อื่นที่รู้จัก

ให้เราแสดงรายการอัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลักที่เราจะวิเคราะห์ในบทความนี้ทันที มาเขียนมันลงในตาราง แล้วเราจะให้ผลลัพธ์ของสูตรเหล่านี้พร้อมคำอธิบายที่จำเป็นด้านล่าง

การนำทางหน้า

ความสัมพันธ์ระหว่างไซน์และโคไซน์ของมุมหนึ่ง

บางครั้งพวกเขาไม่ได้พูดถึงอัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลักที่แสดงอยู่ในตารางด้านบน แต่เกี่ยวกับข้อมูลเดียว อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานใจดี - คำอธิบายข้อเท็จจริงนี้ค่อนข้างง่าย: ความเท่าเทียมกันจะได้มาจากอัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลักหลังจากหารทั้งสองส่วนด้วยและตามลำดับ และความเท่าเทียมกันได้มาจากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก และ ติดตามจากคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ เราจะพูดถึงเรื่องนี้โดยละเอียดในย่อหน้าต่อไปนี้

นั่นคือความเท่าเทียมกันที่เป็นที่สนใจเป็นพิเศษซึ่งได้รับชื่อของเอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก

ก่อนที่จะพิสูจน์เอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก เราจะให้สูตรดังนี้ ผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของมุมหนึ่งจะเท่ากับหนึ่งเท่ากัน ทีนี้เรามาพิสูจน์กัน

ข้อมูลประจำตัวตรีโกณมิติพื้นฐานมักใช้เมื่อใด การแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติ- ช่วยให้ผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของมุมหนึ่งถูกแทนที่ด้วยหนึ่ง ไม่บ่อยนักที่อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานจะถูกนำมาใช้ในลำดับย้อนกลับ: หน่วยจะถูกแทนที่ด้วยผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของมุมใดๆ

แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ผ่านไซน์และโคไซน์

อัตลักษณ์ที่เชื่อมโยงแทนเจนต์และโคแทนเจนต์กับไซน์และโคไซน์ของมุมมองเดียวและ ปฏิบัติตามทันทีจากคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ ตามคำนิยามแล้ว ไซน์คือลำดับของ y โคไซน์คือค่าแอบซิสซาของ x แทนเจนต์คืออัตราส่วนของค่าพิกัดต่อค่าแอบซิสซา นั่นคือ และโคแทนเจนต์คืออัตราส่วนของแอบซิสซาต่อพิกัด นั่นคือ .

ขอบคุณความชัดเจนของตัวตนและ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์มักไม่ได้ถูกกำหนดผ่านอัตราส่วนของแอบซิสซาและพิกัด แต่ผ่านอัตราส่วนของไซน์และโคไซน์ ดังนั้นแทนเจนต์ของมุมคืออัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์ของมุมนี้ และโคแทนเจนต์คืออัตราส่วนของโคไซน์ต่อไซน์

โดยสรุปของย่อหน้านี้ก็ควรสังเกตว่าอัตลักษณ์และ เกิดขึ้นสำหรับทุกมุมที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติรวมอยู่ในมุมเหล่านั้นอย่างสมเหตุสมผล ดังนั้นสูตรนี้ใช้ได้กับค่าใดๆ ก็ตาม นอกเหนือจาก (ไม่เช่นนั้นตัวส่วนจะมีศูนย์และเราไม่ได้กำหนดการหารด้วยศูนย์) และสูตร - สำหรับทั้งหมด แตกต่างจาก โดยที่ z คือค่าใดๆ

ความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติที่ชัดเจนยิ่งกว่าสองประการก่อนหน้านี้คืออัตลักษณ์ที่เชื่อมต่อแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมหนึ่งของรูปแบบ - เห็นได้ชัดว่ามันคงไว้สำหรับมุมอื่นๆ ที่ไม่ใช่ มิฉะนั้น จะไม่ได้นิยามแทนเจนต์หรือโคแทนเจนต์

หลักฐานของสูตร ง่ายมาก ตามคำจำกัดความและจากที่ไหน - การพิสูจน์อาจดำเนินการแตกต่างออกไปเล็กน้อย เนื่องจาก , ที่ .

ดังนั้น แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมเดียวกันที่เข้าท่าคือ

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ- นี่คือความเท่าเทียมกันที่สร้างการเชื่อมต่อระหว่างไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมหนึ่งซึ่งช่วยให้คุณสามารถค้นหาฟังก์ชันใด ๆ เหล่านี้ได้ โดยมีเงื่อนไขว่าจะต้องรู้ฟังก์ชันอื่นด้วย

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

เอกลักษณ์นี้บอกว่าผลรวมของกำลังสองของไซน์ของมุมหนึ่งกับกำลังสองของโคไซน์ของมุมหนึ่งเท่ากับหนึ่ง ซึ่งในทางปฏิบัติทำให้สามารถคำนวณไซน์ของมุมหนึ่งได้เมื่อทราบโคไซน์ของมันและในทางกลับกัน .

เมื่อแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติมักใช้เอกลักษณ์นี้ซึ่งช่วยให้คุณสามารถแทนที่ผลรวมของกำลังสองของโคไซน์และไซน์ของมุมหนึ่งด้วยมุมเดียวและดำเนินการแทนที่ในลำดับย้อนกลับ

การหาแทนเจนต์และโคแทนเจนต์โดยใช้ไซน์และโคไซน์

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

อัตลักษณ์เหล่านี้เกิดขึ้นจากคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ สุดท้ายแล้ว ถ้าคุณดูมัน ตามนิยามแล้ว พิกัด y เป็นไซน์ และแอบซิสซา x เป็นโคไซน์ จากนั้นแทนเจนต์จะเท่ากับอัตราส่วน \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)และอัตราส่วน \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- จะเป็นโคแทนเจนต์

ให้เราเพิ่มว่าเฉพาะมุม \alpha ที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติรวมอยู่ในนั้นสมเหตุสมผลแล้ว อัตลักษณ์จะยังคงอยู่ ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

ตัวอย่างเช่น: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)ใช้ได้กับมุม \alpha ที่แตกต่าง \frac(\pi)(2)+\pi z, ก ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- สำหรับมุม \alpha ที่ไม่ใช่ \pi z, z คือจำนวนเต็ม

ความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

ข้อมูลประจำตัวนี้ใช้ได้กับมุม \alpha ที่แตกต่างเท่านั้น \frac(\pi)(2) z- มิฉะนั้น โคแทนเจนต์หรือแทนเจนต์จะไม่ถูกกำหนด

จากประเด็นข้างต้น เราจึงได้สิ่งนั้นมา tg \อัลฟา = \frac(y)(x), ก ctg \alpha=\frac(x)(y)- มันเป็นไปตามนั้น tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1- ดังนั้น ค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมเดียวกันที่ทำให้เข้าใจได้จึงเป็นตัวเลขผกผันซึ่งกันและกัน

ความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์กับโคไซน์ โคแทนเจนต์และไซน์

tg^(2) \อัลฟา + 1=\frac(1)(\cos^(2) \อัลฟา)- ผลรวมของกำลังสองของแทนเจนต์ของมุม \อัลฟา และ 1 เท่ากับกำลังสองผกผันของโคไซน์ของมุมนี้ ข้อมูลระบุตัวตนนี้ใช้ได้กับ \alpha ทั้งหมดยกเว้น \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \อัลฟา=\frac(1)(\sin^(2)\อัลฟา)- ผลรวมของ 1 และกำลังสองของโคแทนเจนต์ของมุม \อัลฟา เท่ากับกำลังสองผกผันของไซน์ของมุมที่กำหนด ข้อมูลระบุตัวตนนี้ใช้ได้กับ \alpha ใดๆ ที่แตกต่างจาก \pi z

ตัวอย่างพร้อมวิธีแก้ไขปัญหาโดยใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหา \sin \alpha และ tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12และ \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

ฟังก์ชัน \sin \alpha และ \cos \alpha มีความสัมพันธ์กันโดยสูตร \sin^(2)\อัลฟา + \cos^(2) \alpha = 1- แทนลงในสูตรนี้ \cos \อัลฟา = -\frac12เราได้รับ:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

สมการนี้มี 2 วิธี:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

ตามเงื่อนไข \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi - ในไตรมาสที่สอง ไซน์เป็นบวก ดังนั้น \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

ในการหา tan \alpha เราใช้สูตร tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหา \cos \alpha และ ctg \alpha ถ้า และ \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

แทนลงในสูตร \sin^(2)\อัลฟา + \cos^(2) \alpha = 1หมายเลขที่กำหนด \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2)เราได้รับ \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1- สมการนี้มีสองคำตอบ \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

ตามเงื่อนไข \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi - ในไตรมาสที่สองโคไซน์เป็นลบ ดังนั้น \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

เพื่อที่จะค้นหา ctg \alpha เราใช้สูตร ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- เรารู้ค่าที่สอดคล้องกัน

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

ฉันคิดว่าคุณสมควรได้รับมากกว่านี้ นี่คือกุญแจสำคัญของฉันในวิชาตรีโกณมิติ:

• วาดโดม ผนัง และเพดาน
• ฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นเพียงเปอร์เซ็นต์ของทั้งสามรูปแบบเท่านั้น

คำอุปมาของไซน์และโคไซน์: โดม

แทนที่จะมองแค่รูปสามเหลี่ยม ลองจินตนาการถึงรูปสามเหลี่ยมโดยการค้นหาตัวอย่างในชีวิตจริงที่เฉพาะเจาะจง

ลองนึกภาพคุณอยู่กลางโดมและต้องการแขวนจอโปรเจ็กเตอร์ภาพยนตร์ คุณชี้นิ้วของคุณไปที่โดมในมุมหนึ่ง “x” และหน้าจอควรถูกระงับจากจุดนี้

มุมที่คุณชี้จะกำหนด:

• sine(x) = sin(x) = ความสูงของหน้าจอ (จากพื้นถึงจุดยึดโดม)
• cosine(x) = cos(x) = ระยะทางจากคุณถึงหน้าจอ (ตามชั้น)
• ด้านตรงข้ามมุมฉาก ระยะห่างจากคุณถึงด้านบนของหน้าจอ จะเท่ากันเสมอ เท่ากับรัศมีของโดม

คุณต้องการให้หน้าจอมีขนาดใหญ่ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้หรือไม่? แขวนไว้เหนือคุณโดยตรง

คุณต้องการให้หน้าจอแขวนห่างจากคุณมากที่สุดหรือไม่? แขวนให้ตรงตั้งฉาก หน้าจอจะมีความสูงเป็นศูนย์ในตำแหน่งนี้และจะแขวนให้ไกลที่สุดตามที่คุณถาม

ความสูงและระยะห่างจากหน้าจอจะแปรผกผัน: ยิ่งหน้าจอแขวนไว้มากเท่าไร ความสูงก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

ไซน์และโคไซน์เป็นเปอร์เซ็นต์

อนิจจาไม่มีใครอธิบายให้ฉันฟังในช่วงปีที่ฉันศึกษาว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติไซน์และโคไซน์ไม่มีอะไรมากไปกว่าเปอร์เซ็นต์ ค่าของมันอยู่ในช่วงตั้งแต่ +100% ถึง 0 ถึง -100% หรือจากค่าสูงสุดที่เป็นบวกไปจนถึงศูนย์ถึงค่าสูงสุดที่เป็นค่าลบ

สมมติว่าฉันจ่ายภาษี 14 รูเบิล คุณไม่รู้ว่ามันมากแค่ไหน แต่ถ้าคุณบอกว่าฉันจ่ายภาษี 95% คุณจะเข้าใจว่าฉันแค่ถูกไล่ออก

ความสูงสัมบูรณ์ไม่ได้มีความหมายอะไรเลย แต่ถ้าค่าไซน์คือ 0.95 ฉันเข้าใจว่าทีวีแขวนเกือบอยู่บนโดมของคุณ ในไม่ช้า มันจะถึงความสูงสูงสุดที่กึ่งกลางโดม และจากนั้นก็เริ่มลดลงอีกครั้ง

เราจะคำนวณเปอร์เซ็นต์นี้ได้อย่างไร? ง่ายมาก: หารความสูงของหน้าจอปัจจุบันด้วยค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ (รัศมีของโดมหรือที่เรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก)

นั่นเป็นเหตุผลเราได้รับแจ้งว่า "โคไซน์ = ด้านตรงข้าม / ด้านตรงข้ามมุมฉาก" มันคือทั้งหมดที่เกี่ยวกับการได้รับความสนใจ! วิธีที่ดีที่สุดคือให้นิยามไซน์เป็น "เปอร์เซ็นต์ของความสูงปัจจุบันจากค่าสูงสุดที่เป็นไปได้" (ไซน์จะกลายเป็นลบหากมุมของคุณชี้ไปที่ "ใต้ดิน" โคไซน์จะกลายเป็นลบหากมุมชี้ไปที่จุดโดมด้านหลังคุณ)

มาทำให้การคำนวณง่ายขึ้นโดยสมมติว่าเราอยู่ที่ศูนย์กลางของวงกลมหนึ่งหน่วย (รัศมี = 1) เราข้ามการหารแล้วหาไซน์เท่ากับความสูงได้

วงกลมแต่ละวงโดยพื้นฐานแล้วจะเป็นวงกลมเดี่ยว ปรับขนาดขึ้นหรือลงตามขนาดที่ต้องการ ดังนั้นให้พิจารณาการเชื่อมต่อวงกลมหนึ่งหน่วยแล้วนำผลลัพธ์ไปใช้กับขนาดวงกลมเฉพาะของคุณ

การทดลอง: ใช้มุมใดก็ได้แล้วดูว่าแสดงความสูงถึงความกว้างกี่เปอร์เซ็นต์:

กราฟการเติบโตของค่าไซน์ไม่ใช่แค่เส้นตรง 45 องศาแรกครอบคลุม 70% ของความสูง แต่ 10 องศาสุดท้าย (จาก 80° ถึง 90°) ครอบคลุมเพียง 2%

สิ่งนี้จะทำให้คุณเข้าใจได้ง่ายขึ้น: หากคุณเดินเป็นวงกลม ที่ 0° คุณจะสูงขึ้นเกือบเป็นแนวตั้ง แต่เมื่อคุณเข้าใกล้ยอดโดม ความสูงจะเปลี่ยนไปน้อยลงเรื่อยๆ

แทนเจนต์และซีแคนต์ กำแพง

วันหนึ่งเพื่อนบ้านคนหนึ่งสร้างกำแพง อยู่ติดกันไปที่โดมของคุณ ร้องไห้มุมมองของคุณจากหน้าต่างและ ราคาดีเพื่อขายต่อ!

แต่เป็นไปได้ไหมที่จะชนะในสถานการณ์นี้?

แน่นอนใช่ จะเป็นอย่างไรถ้าเราแขวนจอภาพยนตร์ไว้บนผนังเพื่อนบ้าน? คุณกำหนดเป้าหมายมุม (x) และรับ:

• tan(x) = tan(x) = ความสูงของหน้าจอบนผนัง
• ระยะห่างจากคุณถึงผนัง: 1 (นี่คือรัศมีของโดมของคุณ กำแพงไม่ขยับไปไหนจากคุณใช่ไหม?)
• secant(x) = sec(x) = “ความยาวของบันได” จากคุณยืนอยู่ตรงกลางโดมจนถึงด้านบนของฉากกั้น

มาอธิบายประเด็นสองสามข้อเกี่ยวกับแทนเจนต์หรือความสูงของหน้าจอกันดีกว่า

• มันเริ่มต้นที่ 0 และสามารถไปสูงอย่างไม่สิ้นสุด คุณสามารถยืดหน้าจอบนผนังให้สูงขึ้นเรื่อยๆ เพื่อสร้างผืนผ้าใบที่ไม่มีที่สิ้นสุดสำหรับการชมภาพยนตร์เรื่องโปรดของคุณ! (แน่นอนว่าคุณจะต้องใช้เงินเป็นจำนวนมากสำหรับสิ่งที่ยิ่งใหญ่เช่นนี้)
• แทนเจนต์เป็นเพียงเวอร์ชันไซน์ที่ขยายขนาด! และในขณะที่ไซน์ที่เพิ่มขึ้นช้าลงเมื่อคุณเคลื่อนที่ขึ้นไปบนโดม แทนเจนต์ก็ยังคงเติบโตต่อไป!

Sekansu ยังมีบางสิ่งที่จะคุยโวเกี่ยวกับ:

• เส้นตัดเริ่มต้นที่ 1 (บันไดอยู่บนพื้น จากคุณถึงผนัง) และเริ่มสูงขึ้นจากที่นั่น
• เส้นตัดจะยาวกว่าเส้นสัมผัสกันเสมอ บันไดเอียงที่คุณใช้แขวนหน้าจอควรจะยาวกว่าตัวหน้าจอใช่ไหม? (ด้วยขนาดที่ไม่สมจริง เมื่อหน้าจอยาวมากและต้องวางบันไดเกือบในแนวตั้ง ขนาดของบันไดก็จะเกือบจะเท่ากัน แต่ถึงอย่างนั้น secant ก็จะยาวกว่าเล็กน้อย)

จำไว้ว่าค่านิยมคือ เปอร์เซ็นต์- หากคุณตัดสินใจแขวนหน้าจอเป็นมุม 50 องศา สีแทน(50)=1.19 หน้าจอของคุณใหญ่กว่าระยะห่างจากผนังถึง 19% (รัศมีโดม)

(ป้อน x=0 และตรวจสอบสัญชาตญาณของคุณ - tan(0) = 0 และวินาที(0) = 1.)

โคแทนเจนต์และโคซีแคนต์ เพดาน

น่าเหลือเชื่อที่เพื่อนบ้านของคุณตัดสินใจสร้างหลังคาเหนือโดมของคุณแล้ว (เขาเป็นอะไรไป? เห็นได้ชัดว่าเขาไม่อยากให้คุณสอดแนมเขาในขณะที่เขาเปลือยกายเดินเล่นในสวน...)

ถึงเวลาสร้างทางออกสู่หลังคาแล้วคุยกับเพื่อนบ้านของคุณ คุณเลือกมุมเอียงและเริ่มการก่อสร้าง:

• ระยะห่างแนวตั้งระหว่างทางออกหลังคาถึงพื้นคือ 1 เสมอ (รัศมีของโดม)
• cotangent(x) = cot(x) = ระยะห่างระหว่างยอดโดมถึงจุดทางออก
• cosecant(x) = csc(x) = ความยาวของเส้นทางสู่หลังคา

Tangent และ secant อธิบายผนัง และ COtangent และ COsecant อธิบายเพดาน

ข้อสรุปตามสัญชาตญาณของเราในครั้งนี้คล้ายกับข้อสรุปก่อนหน้านี้:

• หากคุณทำมุมเท่ากับ 0° การออกไปสู่หลังคาจะคงอยู่ตลอดไป เนื่องจากไม่มีทางไปถึงเพดาน ปัญหา.
• คุณจะได้ "บันได" ที่สั้นที่สุดถึงหลังคาหากคุณสร้างมันที่มุม 90 องศากับพื้น โคแทนเจนต์จะเท่ากับ 0 (เราไม่ได้เคลื่อนที่ไปตามหลังคาเลย เราออกในแนวตั้งฉากอย่างเคร่งครัด) และโคซีแคนต์จะเท่ากับ 1 (“ความยาวของบันได” จะน้อยที่สุด)

เห็นภาพการเชื่อมต่อ

ถ้าทั้งสามกรณีถูกวาดในลักษณะรวมโดม-ผนัง-เพดาน ผลลัพธ์จะเป็นดังนี้:

ก็ยังเป็นรูปสามเหลี่ยมเหมือนเดิม เพิ่มขนาดให้ถึงผนังและเพดาน เรามีด้านแนวตั้ง (ไซน์, แทนเจนต์), ด้านแนวนอน (โคไซน์, โคแทนเจนต์) และ "ด้านตรงข้ามมุมฉาก" (ซีแคนต์, โคซีแคนต์) (ตามลูกศร คุณจะเห็นว่าแต่ละองค์ประกอบไปถึงจุดใด โคซีแคนต์คือระยะทางรวมจากคุณถึงหลังคา)

เวทมนตร์เล็กน้อย สามเหลี่ยมทั้งหมดมีความเท่าเทียมกันเท่ากัน:

จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส (a 2 + b 2 = c 2) เราจะเห็นว่าด้านของสามเหลี่ยมแต่ละรูปเชื่อมโยงกันอย่างไร นอกจากนี้ อัตราส่วน "ความสูงต่อความกว้าง" ควรเหมือนกันสำหรับสามเหลี่ยมทั้งหมดด้วย (เพียงย้ายจากสามเหลี่ยมที่ใหญ่ที่สุดไปยังสามเหลี่ยมที่เล็กกว่า ใช่ขนาดเปลี่ยนไป แต่สัดส่วนของด้านข้างจะยังคงเท่าเดิม)

เมื่อรู้ว่าด้านใดในแต่ละสามเหลี่ยมเท่ากับ 1 (รัศมีของโดม) เราก็สามารถคำนวณได้อย่างง่ายดายว่า “sin/cos = tan/1”

ฉันพยายามจดจำข้อเท็จจริงเหล่านี้มาโดยตลอดผ่านการแสดงภาพข้อมูลแบบง่ายๆ ในภาพคุณเห็นการพึ่งพาเหล่านี้อย่างชัดเจนและเข้าใจว่ามันมาจากไหน เทคนิคนี้ดีกว่าการจำสูตรแห้งมาก

อย่าลืมเกี่ยวกับมุมอื่นๆ

โปรดอย่าติดอยู่บนกราฟเดียว โดยคิดว่าแทนเจนต์จะน้อยกว่า 1 เสมอ หากคุณเพิ่มมุม คุณสามารถไปถึงเพดานได้โดยไม่ต้องถึงผนัง:

การเชื่อมต่อแบบพีทาโกรัสใช้ได้ผลเสมอ แต่ขนาดสัมพัทธ์อาจแตกต่างกันไป

(คุณอาจสังเกตเห็นว่าอัตราส่วนไซน์และโคไซน์จะเล็กที่สุดเสมอเนื่องจากอยู่ภายในโดม)

สรุป: เราต้องจำอะไร?

สำหรับพวกเราส่วนใหญ่ ฉันว่าแค่นี้ก็เพียงพอแล้ว:

• ตรีโกณมิติอธิบายกายวิภาคของวัตถุทางคณิตศาสตร์ เช่น วงกลมและช่วงการทำซ้ำ
• การเปรียบเทียบโดม/ผนัง/หลังคาแสดงความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติต่างๆ
• ฟังก์ชันตรีโกณมิติให้ผลลัพธ์เป็นเปอร์เซ็นต์ ซึ่งเราใช้กับสคริปต์ของเรา

คุณไม่จำเป็นต้องจำสูตรเช่น 1 2 + cot 2 = csc 2 เหมาะสำหรับการทดสอบโง่ๆ ที่ถ่ายทอดความรู้เกี่ยวกับข้อเท็จจริงว่าเป็นความเข้าใจเท่านั้น ใช้เวลาสักครู่เพื่อวาดครึ่งวงกลมในรูปแบบของโดม ผนัง และหลังคา ตั้งชื่อองค์ประกอบต่างๆ แล้วสูตรทั้งหมดจะมาหาคุณบนกระดาษ

การประยุกต์ใช้: ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติใดๆ จะใช้มุมเป็นพารามิเตอร์อินพุตและส่งกลับผลลัพธ์เป็นเปอร์เซ็นต์ บาป (30) = 0.5 ซึ่งหมายความว่ามุม 30 องศาจะกินพื้นที่ 50% ของความสูงสูงสุด

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันเขียนเป็น sin -1 หรือ arcsin Asin มักเขียนด้วยภาษาโปรแกรมต่างๆ

ถ้าความสูงของเราเท่ากับ 25% ของความสูงของโดม มุมของเราจะเป็นเท่าใด

ในตารางสัดส่วนของเรา คุณจะพบอัตราส่วนโดยที่เส้นตัดถูกหารด้วย 1 ตัวอย่างเช่น เส้นตัดขวางด้วย 1 (ด้านตรงข้ามมุมฉากกับแนวนอน) จะเท่ากับ 1 หารด้วยโคไซน์:

สมมติว่าซีแคนต์ของเราคือ 3.5 นั่นคือ 350% ของรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วย ค่านี้สอดคล้องกับมุมเอียงกับผนังเท่าใด

ภาคผนวก: ตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่าง: ค้นหาไซน์ของมุม x

งานที่น่าเบื่อ มาทำให้ซับซ้อนยิ่งขึ้น "ค้นหาไซน์" เป็น "ความสูงเป็นเปอร์เซ็นต์ของค่าสูงสุด (ด้านตรงข้ามมุมฉาก) คืออะไร"

ขั้นแรก ให้สังเกตว่าสามเหลี่ยมนั้นหมุนอยู่ ไม่มีอะไรผิดปกติกับที่ สามเหลี่ยมก็มีความสูงเช่นกัน โดยจะแสดงเป็นสีเขียวในรูป

ด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับอะไร? ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เรารู้ว่า:

3 2 + 4 2 = ด้านตรงข้ามมุมฉาก 2 25 = ด้านตรงข้ามมุมฉาก 2 5 = ด้านตรงข้ามมุมฉาก

ดี! ไซน์คือเปอร์เซ็นต์ของความสูงของด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมหรือด้านตรงข้ามมุมฉาก ในตัวอย่างของเรา ไซน์คือ 3/5 หรือ 0.60

แน่นอนว่าเราสามารถไปได้หลายวิธี ตอนนี้เรารู้แล้วว่าไซน์คือ 0.60 เราก็หาอาร์คไซน์ได้:

เอซิน(0.6)=36.9

นี่เป็นอีกแนวทางหนึ่ง โปรดทราบว่ารูปสามเหลี่ยมนั้น "หันหน้าไปทางผนัง" ดังนั้นเราจึงสามารถใช้แทนเจนต์แทนไซน์ได้ ความสูงคือ 3 ระยะห่างจากผนังคือ 4 ดังนั้นแทนเจนต์คือ 3/4 หรือ 75% เราสามารถใช้อาร์กแทนเจนต์เพื่อเปลี่ยนจากค่าเปอร์เซ็นต์กลับไปเป็นมุมได้:

ตัน = 3/4 = 0.75 ตัน(0.75) = 36.9 ตัวอย่าง: คุณจะว่ายเข้าฝั่งไหม?

คุณอยู่ในเรือและมีเชื้อเพลิงเพียงพอสำหรับการเดินทาง 2 กม. ขณะนี้คุณอยู่ห่างจากชายฝั่ง 0.25 กม. คุณสามารถว่ายไปในมุมสูงสุดจากชายฝั่งได้เท่าใดเพื่อให้มีเชื้อเพลิงเพียงพอ? นอกเหนือจากคำชี้แจงปัญหา: เรามีเพียงตารางค่าอาร์คโคไซน์เท่านั้น

เรามีอะไร? แนวชายฝั่งอาจแสดงเป็น "กำแพง" ในรูปสามเหลี่ยมอันโด่งดังของเรา และ "ความยาวของบันได" ที่ติดกับผนังคือระยะทางสูงสุดที่เรือจะแล่นถึงฝั่งได้ (2 กม.) ซีแคนต์ปรากฏขึ้น

ก่อนอื่นคุณต้องไปที่เปอร์เซ็นต์ เรามี 2 / 0.25 = 8 คือว่ายได้ระยะทาง 8 เท่าของระยะตรงถึงฝั่ง (หรือถึงกำแพง)

คำถามเกิดขึ้น: “ซีแคนต์ของ 8 คืออะไร” แต่เราไม่สามารถตอบได้ เนื่องจากเรามีเพียงส่วนโค้งโคไซน์เท่านั้น

เราใช้การพึ่งพาที่ได้รับมาก่อนหน้านี้เพื่อเชื่อมโยงซีแคนต์กับโคไซน์: “sec/1 = 1/cos”

เซคันส์ 8 เท่ากับโคไซน์⅛. มุมที่มีโคไซน์เป็น ⅛ เท่ากับ acos(1/8) = 82.8 และนี่คือมุมที่ใหญ่ที่สุดที่เราสามารถจ่ายได้บนเรือตามปริมาณเชื้อเพลิงที่ระบุ

ไม่เลวใช่มั้ย? หากไม่มีการเปรียบเทียบระหว่างโดมกับผนังและเพดาน ฉันคงหลงไปกับสูตรและการคำนวณมากมาย การแสดงปัญหาช่วยให้การค้นหาวิธีแก้ปัญหาง่ายขึ้นอย่างมาก และยังน่าสนใจที่จะดูว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติใดจะช่วยได้ในที่สุด

สำหรับแต่ละปัญหา ให้คิดดังนี้: ฉันสนใจโดม (sin/cos) ผนัง (tan/วินาที) หรือเพดาน (เปล/csc) หรือไม่?

และตรีโกณมิติจะสนุกขึ้นมาก การคำนวณที่ง่ายสำหรับคุณ!

บทความนี้ประกอบด้วย ตารางไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์- ขั้นแรกเราจะจัดทำตารางค่าพื้นฐานของฟังก์ชันตรีโกณมิตินั่นคือตารางไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุม 0, 30, 45, 60, 90, ... , 360 องศา ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πเรเดียน). หลังจากนี้เราจะให้ตารางไซน์และโคไซน์รวมถึงตารางแทนเจนต์และโคแทนเจนต์โดย V. M. Bradis และแสดงวิธีใช้ตารางเหล่านี้เมื่อค้นหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

การนำทางหน้า

ตารางไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์สำหรับมุม 0, 30, 45, 60, 90, ... องศา

อ้างอิง.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 9 เฉลี่ย โรงเรียน/ยู N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; เอ็ด S. A. Telyakovsky - ม.: การศึกษา, 2533 - 272 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-002727-7
• บาชมาคอฟ เอ็ม.ไอ.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียน สำหรับเกรด 10-11 เฉลี่ย โรงเรียน - ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา พ.ศ. 2536 - 351 หน้า: ป่วย - ไอ 5-09-004617-4.
• พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และคนอื่น ๆ ; เอ็ด A. N. Kolmogorov - ฉบับที่ 14 - ม.: การศึกษา, 2547 - 384 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-013651-3
• Gusev V.A., Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค) พรบ. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2527-351 น. ป่วย
• แบรดิส วี.เอ็ม.ตารางคณิตศาสตร์สี่หลัก: เพื่อการศึกษาทั่วไป หนังสือเรียน สถานประกอบการ - ฉบับที่ 2 - อ.: อีแร้ง, 2542.- 96 หน้า: ป่วย ไอ 5-7107-2667-2