ตารางลดฟังก์ชันตรีโกณมิติ ไซน์ (sin x) และโคไซน์ (cos x) – คุณสมบัติ กราฟ สูตร

ตรีโกณมิติ สูตรลด

ไม่จำเป็นต้องสอนสูตรการลดขนาด แต่ต้องเข้าใจ ทำความเข้าใจอัลกอริธึมสำหรับการหามา. มันง่ายมาก!

ลองใช้วงกลมหนึ่งหน่วยแล้ววางหน่วยวัดทุกระดับ (0°; 90°; 180°; 270°; 360°) ลงไป

ให้เราวิเคราะห์ฟังก์ชัน sin(a) และ cos(a) ในแต่ละไตรมาส

โปรดจำไว้ว่าเราดูที่ฟังก์ชัน sin(a) ตามแกน Y และฟังก์ชัน cos(a) ตามแกน X

ในไตรมาสแรกมีความชัดเจนว่าฟังก์ชัน บาป(ก)>0
และฟังก์ชั่น cos(ก)>0
ควอเตอร์แรกสามารถอธิบายได้เป็นองศา เช่น (90-α) หรือ (360+α)

ในไตรมาสที่ 2 เป็นที่ชัดเจนว่าฟังก์ชั่น บาป(ก)>0เนื่องจากแกน Y เป็นบวกในไตรมาสนี้
ฟังก์ชัน cos(a) เนื่องจากแกน X เป็นลบในจตุภาคนี้
ควอเตอร์ที่สองสามารถอธิบายได้เป็นองศา เช่น (90+α) หรือ (180-α)

ในไตรมาสที่ 3 เป็นที่ชัดเจนว่าฟังก์ชั่นต่างๆ บาป (ก) ควอเตอร์ที่สามสามารถอธิบายได้เป็นองศา เช่น (180+α) หรือ (270-α)

ในไตรมาสที่สี่เป็นที่ชัดเจนว่าฟังก์ชั่น sin(a) เนื่องจากแกน Y เป็นลบในไตรมาสนี้
ฟังก์ชัน cos(ก)>0เนื่องจากแกน X เป็นบวกในไตรมาสนี้
ควอเตอร์ที่สี่สามารถอธิบายได้เป็นองศา เช่น (270+α) หรือ (360-α)

ตอนนี้เรามาดูสูตรการลดสัดส่วนกัน

มาจำง่ายๆ กัน อัลกอริทึม:
1. หนึ่งในสี่.(โปรดดูเสมอว่าคุณอยู่ไตรมาสใด)
2. เข้าสู่ระบบ.(ในส่วนของไตรมาสดูเป็นบวกหรือ ฟังก์ชันเชิงลบโคไซน์หรือไซน์)
3. หากคุณมี (90° หรือ π/2) และ (270° หรือ 3π/2) ในวงเล็บ การเปลี่ยนแปลงฟังก์ชั่น.

ดังนั้นเราจะเริ่มวิเคราะห์อัลกอริธึมนี้เป็นรายไตรมาส

ค้นหาว่านิพจน์ cos(90-α) จะเท่ากับเท่าใด
เราให้เหตุผลตามอัลกอริทึม:
1. ไตรมาสที่หนึ่ง


จะ cos(90-α) = บาป(α)

ค้นหาว่านิพจน์ sin(90-α) จะเท่ากับเท่าใด
เราให้เหตุผลตามอัลกอริทึม:
1. ไตรมาสที่หนึ่ง


จะ บาป(90-α) = cos(α)

ค้นหาว่านิพจน์ cos(360+α) จะเท่ากับเท่าใด
เราให้เหตุผลตามอัลกอริทึม:
1. ไตรมาสที่หนึ่ง
2. ในไตรมาสแรก เครื่องหมายของฟังก์ชันโคไซน์เป็นบวก

จะ คอส(360+α) = คอส(α)

ค้นหาว่านิพจน์ sin(360+α) จะเท่ากับเท่าใด
เราให้เหตุผลตามอัลกอริทึม:
1. ไตรมาสที่หนึ่ง
2. ในไตรมาสแรก สัญญาณของฟังก์ชันไซน์เป็นบวก
3. ไม่มี (90° หรือ π/2) และ (270° หรือ 3π/2) ในวงเล็บ ดังนั้นฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลง
จะ บาป(360+α) = บาป(α)

ค้นหาว่านิพจน์ cos(90+α) จะเท่ากับเท่าใด
เราให้เหตุผลตามอัลกอริทึม:
1. ไตรมาสที่สอง

3. ในวงเล็บจะมี (90° หรือ π/2) ฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากโคไซน์เป็นไซน์
จะ cos(90+α) = -sin(α)

ค้นหาว่านิพจน์ sin(90+α) จะเท่ากับเท่าใด
เราให้เหตุผลตามอัลกอริทึม:
1. ไตรมาสที่สอง

3. ในวงเล็บจะมี (90° หรือ π/2) ฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากไซน์เป็นโคไซน์
จะ บาป(90+α) = cos(α)

ค้นหาว่านิพจน์ cos(180-α) จะเท่ากับเท่าใด
เราให้เหตุผลตามอัลกอริทึม:
1. ไตรมาสที่สอง
2. ในไตรมาสที่สอง เครื่องหมายของฟังก์ชันโคไซน์เป็นลบ
3. ไม่มี (90° หรือ π/2) และ (270° หรือ 3π/2) ในวงเล็บ ดังนั้นฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลง
จะ คอส(180-α) = คอส(α)

ค้นหาว่านิพจน์ sin(180-α) จะเท่ากับเท่าใด
เราให้เหตุผลตามอัลกอริทึม:
1. ไตรมาสที่สอง
2. ในไตรมาสที่สอง สัญญาณของฟังก์ชันไซน์เป็นบวก
3. ไม่มี (90° หรือ π/2) และ (270° หรือ 3π/2) ในวงเล็บ ดังนั้นฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลง
จะ บาป(180-α) = บาป(α)

ฉันกำลังพูดถึงไตรมาสที่สามและสี่ มาสร้างตารางในลักษณะเดียวกัน:

สมัครสมาชิก ได้ที่ช่อง YOUTUBEและชมวีดีโอเตรียมสอบวิชาคณิตศาสตร์และเรขาคณิตกับเรา

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "การประยุกต์ใช้สูตรการลดในการแก้ปัญหา"

วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับเกรด 10
1C: โรงเรียน. งานก่อสร้างแบบโต้ตอบสำหรับเกรด 7-10
1C: โรงเรียน. การแก้ปัญหาทางเรขาคณิต งานเชิงโต้ตอบเกี่ยวกับการสร้างในอวกาศสำหรับเกรด 10–11

เราจะศึกษาอะไร:
1. ทำซ้ำอีกสักหน่อย
2. หลักเกณฑ์สูตรลดหย่อน
3. ตารางการแปลงสูตรลด
4. ตัวอย่าง.

ทบทวนฟังก์ชันตรีโกณมิติ

พวกคุณเคยเจอสูตรผีมาแล้ว แต่คุณยังไม่ได้เรียกมันว่า คุณคิดอย่างไร: ที่ไหน?

ดูภาพวาดของเรา ถูกต้องเมื่อมีการแนะนำคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

กฎสำหรับสูตรลด

ขอแนะนำกฎพื้นฐาน: หากใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติมีจำนวนอยู่ในรูปแบบ π×n/2 + t โดยที่ n คือจำนวนเต็มใดๆ ฟังก์ชันตรีโกณมิติของเราก็สามารถลดลงเหลือมากกว่านั้นได้ มุมมองที่เรียบง่ายซึ่งจะมีเฉพาะอาร์กิวเมนต์ t เท่านั้น สูตรดังกล่าวเรียกว่าสูตรผี

จำสูตรบางอย่าง:

• บาป(t + 2π*k) = บาป(t)
• cos(t + 2π*k) = cos(t)
• บาป(t + π) = -บาป(t)
• cos(t + π) = -cos(t)
• บาป(t + π/2) = cos(t)
• cos(t + π/2) = -sin(t)
• สีแทน(t + π*k) = สีแทน(x)
• CTG(t + π*k) = CTG(x)

มีสูตรโกสต์อยู่มากมาย เรามาสร้างกฎที่ใช้กำหนดฟังก์ชันตรีโกณมิติกันดีกว่า สูตรผี:

• หากเครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติมีตัวเลขในรูปแบบ: π + t, π - t, 2π + t และ 2π - t ฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลงนั่นคือตัวอย่างเช่นไซน์จะยังคงเป็นไซน์ โคแทนเจนต์จะยังคงเป็นโคแทนเจนต์
• ถ้าสัญลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติมีตัวเลขอยู่ในรูปแบบ: π/2 + t, π/2 - t,
  3π/2 + t และ 3π/2 - t จากนั้นฟังก์ชันจะเปลี่ยนเป็นฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกัน กล่าวคือ ไซน์จะกลายเป็นโคไซน์ โคแทนเจนต์จะกลายเป็นแทนเจนต์
• ก่อนฟังก์ชันผลลัพธ์ คุณต้องใส่เครื่องหมายว่าฟังก์ชันที่แปลงแล้วจะมีภายใต้เงื่อนไข 0

กฎเหล่านี้ยังใช้เมื่อมีการกำหนดอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันเป็นองศาด้วย!

เรายังสามารถสร้างตารางการแปลงฟังก์ชันตรีโกณมิติได้:

ตัวอย่างการใช้สูตรลด

1. แปลง cos(π + t) ชื่อของฟังก์ชันยังคงอยู่เช่น เราได้ cos(t) ให้เราสมมติต่อไปว่า π/2

2. แปลงรูปบาป(π/2 + t) ชื่อของฟังก์ชันเปลี่ยนไปเช่น เราได้ cos(t) ต่อไป สมมติว่า 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. แปลงค่า tg(π + t) ชื่อของฟังก์ชันยังคงอยู่เช่น เราได้สีแทน(t) ให้เราสมมุติต่อไปว่า 0

4. แปลง CTG(270 0 + t) ชื่อของฟังก์ชันเปลี่ยนไป นั่นคือเราได้รับ tg(t) ให้เราสมมุติต่อไปว่า 0

ปัญหาเกี่ยวกับสูตรลดสำหรับการแก้ปัญหาอิสระ

พวกคุณแปลงมันด้วยตัวเองโดยใช้กฎของเรา:

1) tg(π + t),
2) ทีก(2π - เสื้อ)
3) เปล(π - t)
4) ทีก(π/2 - เสื้อ),
5) cotg(3π + t),
6) บาป(2π + t),
7) บาป(π/2 + 5t),
8) บาป(π/2 - t),
9) บาป(2π - t)
10) คอส(2π - t),
11) คอส(3π/2 + 8t),
12) คอส(3π/2 - เสื้อ),
13) คอส(π - เสื้อ)

สูตรการลดคือความสัมพันธ์ที่อนุญาตให้คุณเปลี่ยนจากไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ที่มีมุม `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` เป็นฟังก์ชันเดียวกันของมุม `\alpha` ซึ่งอยู่ในควอเตอร์แรกของวงกลมหน่วย ดังนั้นสูตรการลดขนาดจึง "นำ" เราไปทำงานกับมุมในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศาซึ่งสะดวกมาก

รวมแล้วมีสูตรลดถึง 32 สูตร พวกเขาจะมีประโยชน์อย่างไม่ต้องสงสัยในระหว่างการสอบ Unified State การสอบและการทดสอบ แต่ให้เราเตือนคุณทันทีว่าไม่จำเป็นต้องจดจำมัน! คุณต้องใช้เวลาเล็กน้อยและทำความเข้าใจอัลกอริธึมสำหรับแอปพลิเคชันจากนั้นการได้รับความเท่าเทียมกันที่จำเป็นในเวลาที่เหมาะสมก็ไม่ใช่เรื่องยาก

ขั้นแรก ให้เขียนสูตรการลดทั้งหมด:

สำหรับมุม (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) หรือ (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` บาป(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

สำหรับมุม (`\pi \pm \alpha`) หรือ (`180^\circ \pm \alpha`):

`บาป(\pi - \alpha)=บาป \ \alpha;` ` บาป(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

สำหรับมุม (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) หรือ (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

สำหรับมุม (`2\pi \pm \alpha`) หรือ (`360^\circ \pm \alpha`):

`บาป(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` บาป(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

คุณมักจะพบสูตรการลดลงในรูปแบบของตารางที่เขียนมุมเป็นเรเดียน:

หากต้องการใช้งาน คุณต้องเลือกแถวที่มีฟังก์ชันที่เราต้องการ และคอลัมน์ด้วย อาร์กิวเมนต์ที่จำเป็น- ตัวอย่างเช่น หากต้องการค้นหาว่า ` sin(\pi + \alpha)` มีค่าเท่ากับการใช้ตารางอะไร ก็เพียงพอแล้วที่จะหาคำตอบที่จุดตัดของแถว ` sin \beta` และคอลัมน์ ` \pi + \อัลฟ่า`. เราได้ ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`

และตารางที่สองที่คล้ายกันซึ่งมุมเขียนเป็นองศา:

กฎช่วยในการจำสูตรลดหรือวิธีจำ

ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว ไม่จำเป็นต้องจดจำความสัมพันธ์ข้างต้นทั้งหมด หากคุณพิจารณาอย่างรอบคอบ คุณอาจสังเกตเห็นรูปแบบบางอย่าง ช่วยให้เราสามารถกำหนดกฎช่วยในการจำ (ช่วยในการจำ - จำ) ซึ่งเราสามารถรับสูตรการลดลงได้อย่างง่ายดาย

ขอให้เราทราบทันทีว่าในการใช้กฎนี้ คุณจะต้องระบุ (หรือจดจำ) สัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติในส่วนต่างๆ ของวงกลมหน่วยได้ดี
วัคซีนประกอบด้วย 3 ระยะ:

1. 1. อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันจะต้องแสดงเป็น `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha` และ `\alpha` จำเป็น มุมแหลม(ตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา)
   2. สำหรับอาร์กิวเมนต์ `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` ฟังก์ชันตรีโกณมิติของนิพจน์ที่ถูกแปลงจะเปลี่ยนเป็นโคฟังก์ชัน กล่าวคือ ตรงกันข้าม (sine เป็นโคไซน์ แทนเจนต์กับโคแทนเจนต์ และในทางกลับกัน) สำหรับอาร์กิวเมนต์ `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` ฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลง
   3. มีการกำหนดสัญญาณของฟังก์ชันดั้งเดิม ฟังก์ชันผลลัพธ์ทางด้านขวาจะมีเครื่องหมายเดียวกัน

หากต้องการดูว่ากฎนี้สามารถนำไปใช้ในทางปฏิบัติได้อย่างไร เรามาแปลงสำนวนต่างๆ กัน:

1. `cos(\pi + \alpha)`.

ฟังก์ชันจะไม่กลับด้าน มุม `\pi + \alpha` อยู่ในควอเตอร์ที่สาม โคไซน์ในไตรมาสนี้มีเครื่องหมาย "-" ดังนั้นฟังก์ชันที่แปลงแล้วจะมีเครื่องหมาย "-" ด้วย

คำตอบ: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`

2. `บาป(\frac (3\pi)2 - \อัลฟา)`

ตามกฎช่วยในการจำ ฟังก์ชันจะกลับรายการ มุม `\frac (3\pi)2 - \alpha` อยู่ในควอเตอร์ที่สาม ไซน์ตรงนี้มีเครื่องหมาย "-" ดังนั้นผลลัพธ์ก็จะมีเครื่องหมาย "-" ด้วย

คำตอบ: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`

3. `cos(\frac (7\pi)2 - \อัลฟา)`

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\อัลฟา))`. ลองแทน `3\pi` เป็น `2\pi+\pi` กัน `2\pi` คือคาบของฟังก์ชัน

ข้อสำคัญ: ฟังก์ชัน `cos \alpha` และ `sin \alpha` มีจุด `2\pi` หรือ `360^\circ` ค่าของฟังก์ชันเหล่านี้จะไม่เปลี่ยนแปลงหากอาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นหรือลดลงตามค่าเหล่านี้

จากสิ่งนี้ นิพจน์ของเราสามารถเขียนได้ดังนี้: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)` เมื่อใช้กฎช่วยในการจำสองครั้ง เราจะได้: `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.

คำตอบ: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`

กฎม้า

จุดที่สองของกฎช่วยในการช่วยจำที่อธิบายไว้ข้างต้นเรียกอีกอย่างว่ากฎม้าของสูตรการลด สงสัยว่าทำไมถึงเป็นม้า?

ดังนั้นเราจึงมีฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์ `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, จุด `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` เป็นกุญแจสำคัญ โดยอยู่บนแกนพิกัด `\pi` และ `2\pi` อยู่บนแกน x แนวนอน และ `\frac (\pi)2` และ `\frac (3\pi)2` อยู่บนแกนแนวตั้ง

เราถามตัวเองด้วยคำถาม: “ฟังก์ชันเปลี่ยนเป็น cofunction หรือไม่?” ในการตอบคำถามนี้ คุณต้องขยับศีรษะไปตามแกนซึ่งมีจุดสำคัญอยู่

นั่นคือสำหรับการโต้แย้งที่มีประเด็นสำคัญอยู่บนแกนนอน เราจะตอบว่า "ไม่" โดยส่ายหัวไปด้านข้าง และสำหรับมุมที่มีจุดสำคัญอยู่บนแกนตั้ง เราก็ตอบว่า "ใช่" โดยพยักหน้าจากบนลงล่างเหมือนม้า :)

เราขอแนะนำให้ดูวิดีโอบทช่วยสอนที่ผู้เขียนอธิบายรายละเอียดวิธีจำสูตรการลดโดยไม่ต้องจำ

ตัวอย่างการใช้งานจริงของการใช้สูตรลด

การใช้สูตรลดเริ่มในเกรด 9 และ 10 ปัญหามากมายในการใช้งานถูกส่งไปยังการสอบ Unified State ต่อไปนี้เป็นปัญหาบางส่วนที่คุณจะต้องใช้สูตรเหล่านี้:

• ปัญหาในการแก้สามเหลี่ยมมุมฉาก
• การแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติเชิงตัวเลขและตัวอักษร การคำนวณค่าของนิพจน์เหล่านั้น
• งานสามมิติ

ตัวอย่างที่ 1 คำนวณโดยใช้สูตรการลดขนาด a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`

วิธีแก้: ก) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;

ค) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;

ง) `บาป 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`

ตัวอย่างที่ 2 เมื่อแสดงโคไซน์ผ่านไซน์โดยใช้สูตรการลดขนาด ให้เปรียบเทียบตัวเลข: 1) `sin \frac (9\pi)8` และ `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` และ `cos \frac (3\pi)10`

วิธีแก้: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`

`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`

`-บาป \frac (\pi)8> -บาป \frac (3\pi)8`

`บาป \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`

2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`

`บาป \frac (\pi)8

`บาป \frac (\pi)8

ก่อนอื่นให้เราพิสูจน์สูตรสองสูตรสำหรับไซน์และโคไซน์ของอาร์กิวเมนต์ `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` และ ` cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`. ที่เหลือก็มาจากพวกมัน

ลองใช้วงกลมหนึ่งหน่วยแล้วจุด A โดยมีพิกัด (1,0) ให้หลังจากหันไป มุม `\alpha` มันจะไปที่จุด `A_1(x, y)` และหลังจากหมุนมุม `\frac (\pi)2 + \alpha` ไปยังจุด `A_2(-y, x)` เมื่อปล่อยเส้นตั้งฉากจากจุดเหล่านี้ไปที่เส้น OX เราจะเห็นว่าสามเหลี่ยม `OA_1H_1` และ `OA_2H_2` เท่ากัน เนื่องจากด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมที่อยู่ติดกันเท่ากัน จากนั้น ตามคำจำกัดความของไซน์และโคไซน์ เราสามารถเขียน `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \อัลฟา)=-y` เราจะเขียนได้ว่า ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` และ ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha` ได้ที่ไหน ซึ่งพิสูจน์การลดลงได้ที่ไหน สูตรสำหรับมุมไซน์และโคไซน์ `\frac (\pi)2 + \alpha`

มาจากคำจำกัดความของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ เราจะได้ ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` และ ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\ frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha` ซึ่งพิสูจน์ว่า สูตรการรีดิวซ์สำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุม `\frac (\pi)2 + \alpha`

หากต้องการพิสูจน์สูตรด้วยอาร์กิวเมนต์ `\frac (\pi)2 - \alpha` ก็เพียงพอที่จะแสดงเป็น `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` และทำตามเส้นทางเดียวกันกับข้างต้น ตัวอย่างเช่น `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`

มุม `\pi + \alpha` และ `\pi - \alpha` สามารถแสดงเป็น `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` และ `\frac (\pi) ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` ตามลำดับ

และ `\frac (3\pi)2 + \alpha` และ `\frac (3\pi)2 - \alpha` เป็น `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` และ `\pi +(\frac (\pi)2-\อัลฟา)`.

มีกฎสองข้อสำหรับการใช้สูตรการลดขนาด

1. ถ้ามุมสามารถแสดงเป็น (π/2 ±a) หรือ (3*π/2 ±a) แล้ว การเปลี่ยนชื่อฟังก์ชันบาปต่อ cos, cos ถึงบาป, tg ถึง ctg, ctg ถึง tg ถ้ามุมสามารถแสดงในรูปแบบ (π ±a) หรือ (2*π ±a) ดังนั้น ชื่อฟังก์ชันยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

ดูภาพด้านล่าง โดยจะแสดงแผนผังเมื่อคุณควรเปลี่ยนป้ายและเมื่อไม่เปลี่ยน

2. กฎเกณฑ์ “อย่างที่เป็นอยู่ คุณก็อยู่อย่างนั้น”

เครื่องหมายของฟังก์ชันที่ลดลงยังคงเหมือนเดิม หากฟังก์ชันดั้งเดิมมีเครื่องหมายบวก ฟังก์ชันรีดิวซ์ก็จะมีเครื่องหมายบวกด้วย ถ้าฟังก์ชันเดิมมีเครื่องหมายลบ ฟังก์ชันลดรูปก็จะมีเครื่องหมายลบด้วย

รูปด้านล่างแสดงสัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานโดยขึ้นอยู่กับไตรมาส

คำนวณบาป (150˚)

ลองใช้สูตรลด:

Sin(150˚) อยู่ในควอเตอร์ที่สอง จากรูป เราจะเห็นว่าสัญญาณของบาปในไตรมาสนี้มีค่าเท่ากับ + ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันที่กำหนดจะมีเครื่องหมายบวกด้วย เราใช้กฎข้อที่สอง

ตอนนี้ 150˚ = 90˚ +60˚ 90˚ คือ π/2 นั่นคือเรากำลังจัดการกับกรณี π/2+60 ดังนั้นตามกฎข้อแรก เราจึงเปลี่ยนฟังก์ชันจาก sin เป็น cos เป็นผลให้เราได้ Sin(150˚) = cos(60˚) = ½

หากต้องการสามารถสรุปสูตรการลดทั้งหมดไว้ในตารางเดียวได้ แต่ก็ยังง่ายกว่าที่จะจำกฎสองข้อนี้และนำไปใช้