ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติหมายถึงอะไร? พีระมิด ปิรามิดที่ถูกต้อง

รูปปริมาตรซึ่งมักปรากฏในโจทย์เรขาคณิตคือปิระมิด รูปที่ง่ายที่สุดในชั้นเรียนนี้คือรูปสามเหลี่ยม ในบทความนี้เราจะวิเคราะห์รายละเอียดเกี่ยวกับสูตรพื้นฐานและคุณสมบัติของสูตรที่ถูกต้อง

แนวคิดทางเรขาคณิตเกี่ยวกับรูป

ก่อนที่จะพิจารณาคุณสมบัติของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ เรามาดูกันดีกว่าว่าเรากำลังพูดถึงรูปร่างประเภทใด

สมมติว่ามีรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจในปริภูมิสามมิติ ให้เราเลือกจุดใดๆ ในพื้นที่นี้ซึ่งไม่อยู่ในระนาบของรูปสามเหลี่ยมและเชื่อมต่อกับจุดยอดทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม เราได้ปิรามิดสามเหลี่ยม

ประกอบด้วยด้านทั้ง 4 ด้าน ซึ่งทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยม จุดที่ใบหน้าทั้งสามมาบรรจบกันเรียกว่าจุดยอด ร่างนี้ก็มีสี่คนเช่นกัน เส้นตัดกันของสองหน้าคือขอบ พีระมิดดังกล่าวมีขอบ 6 ด้าน รูปด้านล่างแสดงตัวอย่างรูปนี้

เนื่องจากร่างนั้นประกอบด้วยสี่ด้านจึงเรียกว่าจัตุรมุข

ปิรามิดที่ถูกต้อง

ข้างต้นเราถือว่ามีรูปร่างตามอำเภอใจที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยม ตอนนี้ สมมติว่าเราวาดส่วนตั้งฉากจากด้านบนของปิรามิดถึงฐาน ส่วนนี้เรียกว่าความสูง แน่นอนว่าคุณสามารถวาดความสูงที่แตกต่างกันได้ 4 ระดับสำหรับรูปนี้ หากความสูงตัดกับฐานสามเหลี่ยมที่ศูนย์กลางทางเรขาคณิต ปิรามิดดังกล่าวจะเรียกว่าตรง

ปิรามิดตรงซึ่งมีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเรียกว่าปกติ สำหรับเธอ สามเหลี่ยมทั้งสามที่สร้างพื้นผิวด้านข้างของร่างนั้นเป็นหน้าจั่วและเท่ากัน กรณีพิเศษของปิรามิดปกติคือสถานการณ์ที่ด้านทั้งสี่เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านเท่ากันหมด

พิจารณาคุณสมบัติของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติและให้สูตรที่เกี่ยวข้องในการคำนวณพารามิเตอร์

ด้านฐาน ความสูง ขอบด้านข้าง และระยะกึ่งกลางด้าน

พารามิเตอร์สองตัวที่อยู่ในรายการจะกำหนดคุณลักษณะอีกสองรายการโดยไม่ซ้ำกัน ให้เรานำเสนอสูตรที่เกี่ยวข้องกับปริมาณเหล่านี้

สมมติว่าด้านข้างของฐานของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติคือ a ความยาวของขอบข้างคือ b ความสูงของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติและระยะกึ่งกลางของมันจะเป็นเท่าใด?

สำหรับความสูง h เราได้นิพจน์:

สูตรนี้ตามมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสซึ่งขอบด้านข้าง ความสูง และ 2/3 ของความสูงของฐานคือ

เส้นตั้งฉากของปิรามิดคือความสูงของจุดใดๆ สามเหลี่ยมด้านข้าง- ความยาวของเส้นตั้งฉาก a b เท่ากับ:

ข = √(ข 2 - 2 /4)

จากสูตรเหล่านี้ เห็นได้ชัดว่าไม่ว่าด้านฐานของปิรามิดปกติรูปสามเหลี่ยมจะอยู่ที่ด้านใดก็ตามและความยาวของขอบด้านข้างของปิรามิดนั้น เส้นตั้งฉากในจะมากกว่าความสูงของปิรามิดเสมอ

สูตรทั้งสองที่นำเสนอนี้มีลักษณะเชิงเส้นทั้งสี่ของรูปที่เป็นปัญหา ดังนั้น เมื่อพิจารณาทั้งสองอย่างแล้ว คุณสามารถค้นหาส่วนที่เหลือได้ด้วยการแก้ระบบความเท่าเทียมกันที่เป็นลายลักษณ์อักษร

ปริมาณรูป

สำหรับปิรามิดใด ๆ อย่างแน่นอน (รวมถึงปิรามิดที่เอียง) ค่าของปริมาตรของพื้นที่ที่ถูกจำกัดโดยปิรามิดนั้นสามารถกำหนดได้โดยการรู้ความสูงของรูปและพื้นที่ฐานของมัน สูตรที่เกี่ยวข้องคือ:

เมื่อนำนิพจน์นี้ไปใช้กับรูปที่ต้องการ เราจะได้สูตรต่อไปนี้:

โดยที่ความสูงของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติคือ h และด้านฐานคือ a

การหาสูตรสำหรับปริมาตรของจัตุรมุขนั้นไม่ใช่เรื่องยาก โดยที่ทุกด้านเท่ากันและเป็นตัวแทนของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ในกรณีนี้ปริมาตรของรูปจะถูกกำหนดโดยสูตร:

กล่าวคือ ความยาวของด้าน a ถูกกำหนดโดยเฉพาะ

พื้นที่ผิว

ให้เราพิจารณาคุณสมบัติของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติต่อไป พื้นที่รวมของใบหน้าทั้งหมดของร่างเรียกว่าพื้นที่ผิว อย่างหลังสามารถศึกษาได้สะดวกโดยพิจารณาถึงการพัฒนาที่สอดคล้องกัน รูปด้านล่างแสดงให้เห็นว่าการพัฒนาของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติมีลักษณะอย่างไร

สมมติว่าเรารู้ความสูง h และด้านข้างของฐาน a ของรูปนั้น จากนั้นพื้นที่ฐานจะเท่ากับ:

นักเรียนทุกคนสามารถรับนิพจน์นี้ได้หากเขาจำวิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมได้และคำนึงว่าความสูงของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่านั้นเป็นเส้นแบ่งครึ่งและค่ามัธยฐานด้วย

พื้นที่ผิวด้านข้างที่เกิดจากสามเหลี่ยมหน้าจั่วสามอันที่เหมือนกันคือ:

S ข = 3/2*√(ก 2 /12+ส 2)*ก

ความเท่าเทียมกันนี้ตามมาจากการแสดงออกของจุดกึ่งกลางของพีระมิดในแง่ของความสูงและความยาวของฐาน

พื้นที่ผิวทั้งหมดของรูปคือ:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

โปรดทราบว่าสำหรับจัตุรมุขที่มีด้านทั้งสี่เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเท่ากัน พื้นที่ S จะเท่ากับ:

คุณสมบัติของปิรามิดสามเหลี่ยมที่ถูกตัดทอนปกติ

ถ้าด้านบนของปิรามิดสามเหลี่ยมที่พิจารณาถูกตัดออกโดยมีระนาบขนานกับฐาน ให้ส่วนที่เหลือ ส่วนล่างจะถูกเรียกว่าปิรามิดที่ถูกตัดทอน

ในกรณีของฐานสามเหลี่ยม ผลลัพธ์ของวิธีการแบ่งส่วนที่อธิบายไว้คือสามเหลี่ยมใหม่ซึ่งมีด้านเท่ากันหมด แต่มีความยาวด้านสั้นกว่าด้านข้างของฐาน ปิรามิดสามเหลี่ยมที่ถูกตัดทอนแสดงไว้ด้านล่าง

เราจะเห็นว่าตัวเลขนี้ถูกจำกัดไว้ด้วยฐานสามเหลี่ยมสองฐานและสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วสามอัน

สมมติว่าความสูงของผลลัพธ์เท่ากับ h ความยาวของด้านข้างของฐานล่างและฐานบนคือ 1 และ 2 ตามลำดับ และเส้นกึ่งกลาง (ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู) เท่ากับ a b จากนั้นสามารถคำนวณพื้นที่ผิวของปิรามิดที่ถูกตัดทอนได้โดยใช้สูตร:

S = 3/2*(ก 1 +ก 2)*ก ข + √3/4*(ก 1 2 + ก 2 2)

ในที่นี้เทอมแรกคือพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง เทอมที่สองคือพื้นที่ของฐานสามเหลี่ยม

ปริมาตรของรูปคำนวณดังนี้:

V = √3/12*h*(ก 1 2 + ก 2 2 + ก 1 *ก 2)

ในการกำหนดลักษณะของปิรามิดที่ถูกตัดทอนอย่างไม่คลุมเครือจำเป็นต้องรู้พารามิเตอร์ทั้งสามของมันดังที่แสดงไว้ในสูตรที่กำหนด

วิดีโอสอน 2: ปัญหาปิรามิด ปริมาตรของปิรามิด

วิดีโอสอน 3: ปัญหาปิรามิด ปิรามิดที่ถูกต้อง

บรรยาย: พีระมิด ฐาน ซี่โครงด้านข้าง ส่วนสูง พื้นผิวด้านข้าง- ปิรามิดสามเหลี่ยม ปิรามิดปกติ

ปิรามิดคุณสมบัติของมัน

พีระมิดเป็นรูปสามมิติที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม และใบหน้าทั้งหมดประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยม

กรณีพิเศษของปิรามิดคือทรงกรวยที่มีวงกลมอยู่ที่ฐาน

ลองดูองค์ประกอบหลักของปิรามิด:

อะโพเทม- นี่คือส่วนที่เชื่อมต่อส่วนบนของปิรามิดกับตรงกลางของขอบล่างของหน้าด้านข้าง กล่าวอีกนัยหนึ่ง นี่คือความสูงของขอบปิรามิด

ในรูปคุณสามารถเห็นสามเหลี่ยม ADS, ABS, BCS, CDS หากคุณดูชื่ออย่างใกล้ชิด คุณจะเห็นว่าสามเหลี่ยมแต่ละรูปมีตัวอักษรทั่วไปหนึ่งตัวในชื่อ - S นั่นคือซึ่งหมายความว่าใบหน้าด้านข้างทั้งหมด (สามเหลี่ยม) มาบรรจบกันที่จุดหนึ่งซึ่งเรียกว่ายอดปิรามิด .

ระบบปฏิบัติการส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดกับจุดตัดของเส้นทแยงมุมของฐาน (ในกรณีของรูปสามเหลี่ยม - ที่จุดตัดของความสูง) เรียกว่า ความสูงของปิรามิด.

ส่วนแนวทแยงคือระนาบที่ตัดผ่านยอดปิรามิดและหนึ่งในเส้นทแยงมุมของฐาน

เนื่องจากพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยม การหาพื้นที่รวมของพื้นผิวด้านข้างจึงจำเป็นต้องหาพื้นที่ของแต่ละหน้าแล้วบวกเข้าด้วยกัน จำนวนและรูปร่างของใบหน้าขึ้นอยู่กับรูปร่างและขนาดของด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมซึ่งอยู่ที่ฐาน

ระนาบเดียวในปิรามิดที่ไม่อยู่ในจุดยอดของมันเรียกว่า พื้นฐานปิรามิด

ในรูปเราจะเห็นว่าฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน แต่อาจเป็นรูปหลายเหลี่ยมใดๆ ก็ได้

คุณสมบัติ:

พิจารณากรณีแรกของปิรามิดซึ่งมีขอบที่มีความยาวเท่ากัน:

• สามารถวาดวงกลมรอบฐานของปิรามิดดังกล่าวได้ หากคุณฉายส่วนบนของปิรามิดนั้น เส้นโครงของมันจะอยู่ที่ศูนย์กลางของวงกลม
• มุมที่ฐานของพีระมิดจะเท่ากันในแต่ละด้าน
• ในเวลาเดียวกัน สภาพที่เพียงพอถึงความจริงที่ว่าวงกลมสามารถอธิบายได้รอบๆ ฐานของปิรามิด และเราก็สามารถสรุปได้ว่าขอบทั้งหมดนั้น ความยาวที่แตกต่างกันเราสามารถพิจารณามุมที่เท่ากันระหว่างฐานและขอบแต่ละด้านของใบหน้าได้

หากคุณเจอปิรามิดซึ่งมีมุมระหว่างด้านด้านข้างและฐานเท่ากัน คุณสมบัติต่อไปนี้จะเป็นจริง:

• คุณจะสามารถอธิบายวงกลมรอบๆ ฐานของปิรามิดได้ โดยที่ปลายของพีระมิดจะฉายไว้ตรงกลางพอดี
• หากคุณวาดขอบด้านข้างของความสูงแต่ละด้านไปที่ฐาน ก็จะมีความยาวเท่ากัน
• หากต้องการค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดดังกล่าว ก็เพียงพอที่จะหาเส้นรอบวงของฐานแล้วคูณด้วยครึ่งหนึ่งของความยาวความสูง
• S bp = 0.5P oc H.
• ประเภทของปิรามิด
• รูปหลายเหลี่ยมเหล่านั้นอาจเป็นรูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม ฯลฯ ขึ้นอยู่กับว่ารูปหลายเหลี่ยมใดอยู่ที่ฐานของปิรามิด ถ้ารูปหลายเหลี่ยมปกตินั้นมีรูปหลายเหลี่ยมปกติอยู่ที่ฐานของปิรามิด (ด้วย ด้านที่เท่ากัน) จากนั้นปิรามิดดังกล่าวจะถูกเรียกว่าปกติ

ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ

คุณจะพบข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับปิรามิด รวมถึงสูตรและแนวคิดที่เกี่ยวข้องได้ที่นี่ ทั้งหมดเรียนกับครูสอนคณิตศาสตร์เพื่อเตรียมพร้อมสำหรับการสอบ Unified State

พิจารณาระนาบหรือรูปหลายเหลี่ยม นอนอยู่ในนั้นและมีจุด S ไม่ใช่นอนอยู่ในนั้น ลองเชื่อมต่อ S กับจุดยอดทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยม รูปทรงหลายเหลี่ยมที่เกิดขึ้นเรียกว่าปิรามิด ส่วนนี้เรียกว่าซี่โครงด้านข้าง รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าฐาน และจุด S คือยอดพีระมิด พีระมิดนี้เรียกว่าสามเหลี่ยม (n=3) รูปสี่เหลี่ยม (n=4) รูปห้าเหลี่ยม (n=5) และอื่นๆ ขึ้นอยู่กับจำนวน n อีกชื่อหนึ่งของปิรามิดรูปสามเหลี่ยมคือ จัตุรมุข- ความสูงของปิรามิดนั้นตั้งฉากจากบนลงล่างถึงระนาบของฐาน

ปิรามิดเรียกว่าปกติถ้า รูปหลายเหลี่ยมปกติ และฐานความสูงของปิรามิด (ฐานของตั้งฉาก) เป็นศูนย์กลาง

ความเห็นของอาจารย์:
อย่าสับสนระหว่างแนวคิด “ปิรามิดที่ถูกต้อง” และ “ จัตุรมุขปกติ- ในปิรามิดปกติ ขอบด้านข้างไม่จำเป็นต้องเท่ากับขอบของฐาน แต่ในพีระมิดทรงสี่หน้าปกติ ขอบทั้ง 6 ด้านจะเท่ากัน นี่คือคำจำกัดความของเขา เป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ว่าความเท่าเทียมกันบ่งบอกว่าจุดศูนย์กลาง P ของรูปหลายเหลี่ยมเกิดขึ้นพร้อมกัน ด้วยความสูงฐาน ดังนั้นจัตุรมุขปกติจึงเป็นปิรามิดปกติ

ระยะกึ่งกลางคืออะไร?
เส้นกึ่งกลางของพีระมิดคือความสูงของหน้าด้านข้าง ถ้าปิรามิดเป็นแบบปกติ เส้นตั้งฉากทุกด้านจะเท่ากัน กลับไม่เป็นความจริง

ครูสอนคณิตศาสตร์เกี่ยวกับคำศัพท์ของเขา: 80% ของงานเกี่ยวกับปิรามิดถูกสร้างขึ้นจากสามเหลี่ยมสองประเภท:
1) มีอะโพเทม SK และส่วนสูง SP
2) ประกอบด้วยขอบด้านข้าง SA และเส้นโครง PA

เพื่อให้การอ้างอิงถึงสามเหลี่ยมเหล่านี้ง่ายขึ้น จะสะดวกกว่าสำหรับครูสอนคณิตศาสตร์ที่จะเรียกรูปสามเหลี่ยมอันแรก ไม่ดีเลยและอย่างที่สอง กระดูกซี่โครง- น่าเสียดายที่คุณจะไม่พบคำศัพท์นี้ในตำราเรียนเล่มใด และครูต้องแนะนำคำศัพท์เพียงฝ่ายเดียว

สูตรปริมาตรของปิรามิด:
1) โดยที่คือพื้นที่ฐานของปิรามิดและความสูงของปิรามิด
2) โดยที่ คือรัศมีของทรงกลมที่ถูกจารึกไว้ และเป็นพื้นที่ เต็มพื้นผิวปิรามิด
3) โดยที่ MN คือระยะห่างระหว่างขอบตัดสองอันใดๆ และเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากจุดกึ่งกลางของขอบทั้งสี่ที่เหลือ

คุณสมบัติของฐานความสูงของปิรามิด:

จุด P (ดูรูป) เกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ที่ฐานของปิรามิด หากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:
1) เส้นตั้งฉากทุกด้านเท่ากัน
2) ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเอียงไปที่ฐานเท่ากัน
3) เส้นตั้งฉากทั้งหมดมีความโน้มเอียงเท่ากันกับความสูงของปิรามิด
4) ความสูงของปิรามิดมีความโน้มเอียงเท่ากันกับทุกด้าน

ความเห็นของครูสอนคณิต: โปรดทราบว่าทุกจุดมีสิ่งหนึ่งที่เหมือนกัน ทรัพย์สินทั่วไป: ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ใบหน้าด้านข้างมีส่วนเกี่ยวข้องทุกแห่ง (องค์ประกอบที่แยกออกจากกัน) ดังนั้นครูสอนพิเศษสามารถเสนอสูตรที่แม่นยำน้อยกว่า แต่สะดวกกว่าสำหรับการเรียนรู้: จุด P เกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ซึ่งเป็นฐานของปิรามิดหากมีข้อมูลที่เท่าเทียมกันเกี่ยวกับใบหน้าด้านข้างของมัน เพื่อพิสูจน์ ก็เพียงพอที่จะแสดงว่าสามเหลี่ยมด้านตรงข้ามมุมฉากทั้งหมดเท่ากัน

จุด P เกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบฐานของพีระมิด หากเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งเป็นจริง:
1) ขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน
2) ซี่โครงด้านข้างทั้งหมดเอียงไปที่ฐานเท่ากัน
3) ซี่โครงด้านข้างทั้งหมดมีความโน้มเอียงไปทางความสูงเท่ากัน

พีระมิด ปิรามิดที่ถูกตัดทอน

พีระมิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมซึ่งมีใบหน้าหนึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยม ( ฐาน ) และใบหน้าอื่นๆ ทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม ( ใบหน้าด้านข้าง ) (รูปที่ 15) ปิรามิดมีชื่อว่า ถูกต้อง หากฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและด้านบนของปิรามิดถูกฉายเข้าตรงกลางฐาน (รูปที่ 16) ปิระมิดสามเหลี่ยมที่มีขอบทุกด้านเท่ากันเรียกว่า จัตุรมุข .

ซี่โครงด้านข้างของปิระมิดคือด้านของหน้าด้านข้างที่ไม่เป็นฐาน ความสูง พีระมิดคือระยะห่างจากยอดถึงระนาบฐาน ขอบด้านข้างของปิรามิดปกติเท่ากันทุกด้าน ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดมีรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน เรียกว่าความสูงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติที่ดึงมาจากจุดยอด ระยะกึ่งกลางของตำแหน่ง . ส่วนแนวทแยง เรียกว่าส่วนของปิรามิดโดยเครื่องบินที่วิ่งผ่านขอบด้านข้างทั้งสองซึ่งไม่อยู่ในหน้าเดียวกัน

พื้นที่ผิวด้านข้างพีระมิดคือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมด พื้นที่ผิวทั้งหมด เรียกว่าผลรวมของพื้นที่หน้าด้านและฐานทั้งหมด

ทฤษฎีบท

1. ถ้าในปิรามิด ขอบด้านข้างทั้งหมดเอียงกับระนาบของฐานเท่ากัน ดังนั้น ยอดของปิรามิดจะถูกฉายไปที่กึ่งกลางของวงกลมที่ล้อมรอบใกล้กับฐาน

2. ถ้าขอบด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดมีความยาวเท่ากัน ยอดของปิรามิดจะยื่นออกมาที่กึ่งกลางของวงกลมที่ล้อมรอบฐานไว้

3. หากใบหน้าทั้งหมดในปิรามิดเอียงไปในระนาบของฐานเท่าๆ กัน ยอดของปิรามิดจะถูกฉายไปที่ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในฐาน

ในการคำนวณปริมาตรของปิรามิดตามอำเภอใจ สูตรที่ถูกต้องคือ:

ที่ไหน วี- ปริมาณ;

ฐานเอส– พื้นที่ฐาน

ชม– ความสูงของปิรามิด

สำหรับปิรามิดปกติ สูตรต่อไปนี้ถูกต้อง:

ที่ไหน พี– เส้นรอบฐานฐาน

ฮา– ระยะกึ่งกลาง;

ชม- ความสูง;

สเต็มเลย

ด้านเอส

ฐานเอส– พื้นที่ฐาน

วี– ปริมาตรของปิระมิดปกติ

ปิรามิดที่ถูกตัดทอนเรียกว่าส่วนของปิรามิดที่อยู่ระหว่างฐานกับระนาบตัดขนานกับฐานของปิรามิด (รูปที่ 17) ปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ เรียกว่าส่วนของปิรามิดปกติที่อยู่ระหว่างฐานกับระนาบตัดขนานกับฐานของปิระมิด

บริเวณปิรามิดที่ถูกตัดทอน - รูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน หน้าด้านข้าง – สี่เหลี่ยมคางหมู ความสูง ของปิรามิดที่ถูกตัดทอนคือระยะห่างระหว่างฐานของมัน เส้นทแยงมุม ปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดซึ่งไม่ได้อยู่บนใบหน้าเดียวกัน ส่วนแนวทแยง คือส่วนของปิรามิดที่ถูกตัดทอนโดยระนาบที่ผ่านขอบด้านข้างทั้งสองซึ่งไม่ได้อยู่ในหน้าเดียวกัน

สำหรับปิรามิดที่ถูกตัดทอน สูตรต่อไปนี้ใช้ได้:

(4)

ที่ไหน ส 1 , ส 2 – พื้นที่ฐานบนและล่าง

สเต็มเลย– พื้นที่ผิวทั้งหมด

ด้านเอส– พื้นที่ผิวด้านข้าง

ชม- ความสูง;

วี– ปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

สำหรับปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ สูตรถูกต้อง:

ที่ไหน พี 1 , พี 2 – เส้นรอบวงของฐาน;

ฮา– ระยะกึ่งกลางของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ

ตัวอย่างที่ 1ทางด้านขวา ปิรามิดสามเหลี่ยมมุมไดฮีดรัลที่ฐานคือ 60° ค้นหาแทนเจนต์ของมุมเอียงของขอบด้านข้างกับระนาบของฐาน

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 18)

ปิรามิดเป็นแบบปกติ ซึ่งหมายความว่าที่ฐานจะมีสามเหลี่ยมด้านเท่าและใบหน้าด้านข้างทั้งหมดมีสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน มุมไดฮีดรัลที่ฐานคือมุมเอียงของด้านข้างของพีระมิดกับระนาบของฐาน มุมเชิงเส้นคือมุม กระหว่างสองตั้งฉาก: ฯลฯ ด้านบนของปิรามิดถูกฉายไว้ที่กึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม (จุดศูนย์กลางของเส้นรอบวงวงกลมและวงกลมที่จารึกไว้ของรูปสามเหลี่ยม เอบีซี- มุมเอียงของขอบด้านข้าง (เช่น เอส.บี.) คือมุมระหว่างขอบกับส่วนที่ยื่นออกมาบนระนาบของฐาน สำหรับซี่โครงนั้น เอส.บี.มุมนี้จะเป็นมุม สบส- หากต้องการหาแทนเจนต์คุณต้องรู้ขา ดังนั้นและ โอ.บี.- ให้ความยาวของส่วน บีดีเท่ากับ 3 ก- จุด เกี่ยวกับส่วน บีดีแบ่งออกเป็นส่วนๆ และจากที่เราพบ ดังนั้น: จากที่เราพบ:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาปริมาตรของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกตัดทอนปกติ หากเส้นทแยงมุมของฐานเท่ากับ ซม. และ ซม. และมีความสูง 4 ซม.

สารละลาย.ในการหาปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน เราใช้สูตร (4) ในการหาพื้นที่ของฐาน คุณจะต้องค้นหาด้านข้างของฐานสี่เหลี่ยมโดยรู้เส้นทแยงมุม ด้านข้างของฐานเท่ากับ 2 ซม. และ 8 ซม. ตามลำดับ ซึ่งหมายถึงพื้นที่ของฐานและการแทนที่ข้อมูลทั้งหมดลงในสูตร เราจะคำนวณปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน:

คำตอบ: 112 ซม.3.

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ด้านข้างของฐานคือ 10 ซม. และ 4 ซม. และความสูงของปิรามิดคือ 2 ซม.

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 19)

ใบหน้าด้านข้างของปิระมิดนี้คือ สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว- ในการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู คุณจำเป็นต้องรู้ฐานและความสูง ฐานจะให้ตามเงื่อนไข ไม่ทราบส่วนสูงเท่านั้น เราจะพบเธอจากที่ไหน ก 1 อีตั้งฉากจากจุดหนึ่ง ก 1 บนระนาบฐานล่าง ก 1 ดี– ตั้งฉากจาก ก 1 ต่อ เครื่องปรับอากาศ. ก 1 อี= 2 ซม. เนื่องจากนี่คือความสูงของปิรามิด เพื่อค้นหา เดมาสร้างภาพวาดเพิ่มเติมเพื่อแสดงมุมมองด้านบน (รูปที่ 20) จุด เกี่ยวกับ– การฉายภาพกึ่งกลางฐานบนและล่าง เนื่องจาก (ดูรูปที่ 20) และในทางกลับกัน ตกลง– รัศมีที่จารึกไว้ในวงกลมและ โอม– รัศมีที่เขียนไว้ในวงกลม:

เอ็มเค = DE.

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสจาก

บริเวณใบหน้าด้านข้าง:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 4ที่ฐานของปิรามิดมีสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วซึ่งมีฐานอยู่ กและ ข (ก> ข- แต่ละ ขอบด้านข้างสร้างมุมเท่ากับระนาบฐานของปิรามิด เจ- หาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 21) พื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด SABCDเท่ากับผลรวมของพื้นที่และพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู เอบีซีดี.

ให้เราใช้ข้อความที่ว่าถ้าทุกด้านของปิรามิดเอียงไปทางระนาบของฐานเท่ากัน จุดยอดจะถูกฉายไปที่ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในฐาน จุด เกี่ยวกับ– การฉายภาพจุดยอด สที่ฐานของปิรามิด สามเหลี่ยม เอสโอดีคือเส้นโครงตั้งฉากของรูปสามเหลี่ยม ซีเอสดีไปจนถึงระนาบของฐาน เมื่อใช้ทฤษฎีบทกับพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปเครื่องบินเราได้รับ:

หมายความเช่นเดียวกัน ปัญหาจึงลดลงเหลือเพียงการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู เอบีซีดี- มาวาดรูปสี่เหลี่ยมคางหมูกัน เอบีซีดีแยกกัน (รูปที่ 22) จุด เกี่ยวกับ– จุดศูนย์กลางของวงกลมถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมู

เนื่องจากวงกลมสามารถเขียนเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูได้ ดังนั้น หรือ จากทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่เรามี