วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส
เครื่องช่วยการศึกษาและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 9
หนังสือเรียนอิเล็กทรอนิกส์ "เรขาคณิตที่เข้าใจได้" สำหรับเกรด 7-9
ศูนย์การศึกษา 1C: "เรขาคณิตเกรด 9"
เพื่อนๆ เรารู้วิธีแก้สมการกำลังสองอยู่แล้ว ทีนี้มาเรียนรู้วิธีแก้อสมการกำลังสองกันดีกว่า
อสมการกำลังสองความไม่เท่าเทียมกันประเภทนี้เรียกว่า:
$ขวาน^2+bx+c>0$.
เครื่องหมายอสมการอาจเป็นค่าใดก็ได้ ส่วนสัมประสิทธิ์ a, b, c อาจเป็นตัวเลขใดๆ ($a≠0$)
กฎทั้งหมดที่เรากำหนดไว้สำหรับอสมการเชิงเส้นใช้ได้ที่นี่เช่นกัน ทำซ้ำกฎเหล่านี้ด้วยตัวคุณเอง!
ขอแนะนำกฎสำคัญอีกข้อหนึ่ง:
หากตรีนาม $ax^2+bx+c$ มีการแบ่งแยกที่เป็นลบ ดังนั้นหากคุณแทนค่า x ใดๆ เครื่องหมายของตรีนามจะเหมือนกับเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ a
ตัวอย่าง.
1. แก้สมการ: $x^2-2x-8
สารละลาย:
ลองหารากของสมการ $x^2-2x-8=0$ กัน
$x_1=4$ และ $x_2=-2$.
ลองพลอตสมการกำลังสองกัน แกน x ตัดกันที่จุดที่ 4 และ -2 2. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: $5x-6 สารละลาย: เรามาสร้างกราฟของสมการกำลังสองกัน โดยแกน x ตัดกันที่จุดที่ 2 และ 3 3. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: $2^2+2x+1≥0$ สารละลาย: 4. แก้สมการ: $x^2+x-2 บทความนี้มีเนื้อหาครอบคลุมหัวข้อ “ การแก้อสมการกำลังสอง- ขั้นแรก เราจะแสดงว่าอสมการกำลังสองของตัวแปรตัวหนึ่งคืออะไร แล้วให้ค่าเหล่านั้น มุมมองทั่วไป- แล้วเราจะดูรายละเอียดวิธีแก้อสมการกำลังสองอย่างละเอียด มีการแสดงแนวทางหลักในการแก้ปัญหา: วิธีการแบบกราฟิก วิธีช่วงเวลาและโดยการแยกกำลังสองของทวินามทางด้านซ้ายของอสมการ มีการให้คำตอบของตัวอย่างทั่วไป การนำทางหน้า โดยปกติแล้ว ก่อนที่จะพูดถึงการแก้อสมการกำลังสอง เราต้องเข้าใจให้ชัดเจนว่าอสมการกำลังสองคืออะไร กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณต้องสามารถแยกแยะอสมการกำลังสองจากอสมการประเภทอื่นๆ ตามประเภทของการบันทึก คำนิยาม.
อสมการกำลังสองคืออสมการในรูปแบบ a x 2 +b x+c<0
(вместо знака >อาจมีเครื่องหมายอสมการอื่นๆ ≤, >, ≥) โดยที่ a, b และ c เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง และ a≠0 และ x เป็นตัวแปร (ตัวแปรสามารถเขียนแทนด้วยตัวอักษรอื่นใดก็ได้) เรามาเรียกอีกชื่อหนึ่งของอสมการกำลังสองกันดีกว่า - อสมการระดับที่สอง- ชื่อนี้อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าทางด้านซ้ายของอสมการ a x 2 +b x+c<0
находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства». บางครั้งคุณยังสามารถได้ยินอสมการกำลังสองที่เรียกว่าอสมการกำลังสอง สิ่งนี้ไม่ถูกต้องทั้งหมด: คำจำกัดความของ "กำลังสอง" หมายถึงฟังก์ชันที่กำหนดโดยสมการในรูปแบบ y=a·x 2 +b·x+c จึงมีอสมการกำลังสองและ ฟังก์ชันกำลังสองแต่ไม่ใช่อสมการกำลังสอง ลองแสดงตัวอย่างของอสมการกำลังสอง: 5 x 2 −3 x+1>0 โดยที่ a=5, b=−3 และ c=1; −2.2·z 2 −0.5·z−11≤0ค่าสัมประสิทธิ์ของอสมการกำลังสองนี้คือ a=−2.2, b=−0.5 และ c=−11; ในกรณีนี้ . โปรดทราบว่าในคำจำกัดความของอสมการกำลังสอง ค่าสัมประสิทธิ์ a ของ x 2 จะถือว่าไม่เป็นศูนย์ สิ่งนี้เป็นเรื่องที่เข้าใจได้ ความเท่าเทียมกันของสัมประสิทธิ์ a ถึงศูนย์จะ "ลบ" กำลังสองออกไป และเราจะจัดการกับความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นของรูปแบบ b x+c>0 โดยไม่มีกำลังสองของตัวแปร แต่ค่าสัมประสิทธิ์ b และ c สามารถเท่ากับศูนย์ทั้งแบบแยกกันและพร้อมกัน นี่คือตัวอย่างของอสมการกำลังสอง: x 2 −5≥0 โดยที่สัมประสิทธิ์ b สำหรับตัวแปร x เท่ากับศูนย์ −3 x 2 −0.6 เท่า<0
, здесь c=0
; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 ทั้ง b และ c เป็นศูนย์ ตอนนี้คุณสามารถงงกับคำถามว่าจะแก้อสมการกำลังสองได้อย่างไร โดยทั่วไปจะใช้วิธีหลักสามวิธีในการแก้ปัญหา: ให้เราจองทันทีว่าวิธีการแก้อสมการกำลังสองซึ่งเรากำลังพิจารณาอยู่ตอนนี้ไม่เรียกว่าแบบกราฟิกในตำราพีชคณิตของโรงเรียน อย่างไรก็ตาม โดยพื้นฐานแล้วนี่คือสิ่งที่เขาเป็น นอกจากนี้การได้รู้จักครั้งแรกด้วย วิธีกราฟิกสำหรับแก้อสมการมักจะเริ่มต้นเมื่อมีคำถามเกิดขึ้นว่าจะแก้อสมการกำลังสองได้อย่างไร วิธีกราฟิกสำหรับการแก้อสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c<0
(≤, >, ≥) คือการวิเคราะห์กราฟ ฟังก์ชันกำลังสอง y=a·x 2 +b·x+c เพื่อค้นหาช่วงเวลาที่ฟังก์ชันที่ระบุรับค่าลบ บวก ไม่บวก หรือไม่เป็นลบ ช่วงเหล่านี้ประกอบขึ้นเป็นคำตอบของอสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c<0
, a·x 2 +b·x+c>0, a x 2 +b x+c≤0 และ a x 2 +b x+c≥0 ตามลำดับ ในการแก้อสมการกำลังสองด้วยตัวแปรตัวเดียว นอกเหนือจากวิธีแบบกราฟิกแล้ว วิธีช่วงเวลายังค่อนข้างสะดวก ซึ่งในตัวมันเองมีความเป็นสากลมากและเหมาะสำหรับการแก้อสมการต่างๆ ไม่ใช่แค่กำลังสองเท่านั้น ด้านทฤษฎีอยู่นอกเหนือขีดจำกัดของหลักสูตรพีชคณิตเกรด 8 และเกรด 9 เมื่อพวกเขาเรียนรู้ที่จะแก้อสมการกำลังสอง ดังนั้น เราจะไม่พูดถึงเหตุผลเชิงทฤษฎีของวิธีช่วงเวลา แต่จะเน้นไปที่วิธีการแก้ไขอสมการกำลังสองด้วยความช่วยเหลือ สาระสำคัญของวิธีช่วงเวลาที่เกี่ยวข้องกับการแก้อสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c<0
(≤, >, ≥) ประกอบด้วยสัญญาณบ่งชี้ที่มีความหมาย ตรีโกณมิติกำลังสอง a·x 2 +b·x+c บนช่วงเวลาที่แกนพิกัดหารด้วยศูนย์ของตรีโกณมิตินี้ (ถ้ามี) ช่วงที่มีเครื่องหมายลบประกอบขึ้นเป็นคำตอบของอสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c<0
, со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0 และเมื่อแก้ไขอสมการที่ไม่เข้มงวด จุดที่สอดคล้องกับศูนย์ของตรีโกณมิติจะถูกเพิ่มในช่วงเวลาที่ระบุ คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับรายละเอียดทั้งหมดของวิธีนี้, อัลกอริธึม, กฎสำหรับการวางสัญญาณในช่วงเวลาและพิจารณาวิธีแก้ปัญหาสำเร็จรูปสำหรับตัวอย่างทั่วไปพร้อมภาพประกอบที่ให้ไว้โดยการอ้างอิงถึงเนื้อหาในบทความ การแก้อสมการกำลังสองโดยใช้วิธีช่วงเวลา . นอกจากวิธีแบบกราฟิกและวิธีการแบบช่วงเวลาแล้ว ยังมีวิธีอื่นๆ ที่ช่วยให้คุณแก้อสมการกำลังสองได้ และเราก็มาถึงหนึ่งในนั้นซึ่งมีพื้นฐานมาจาก ทวินามกำลังสองทางด้านซ้ายของอสมการกำลังสอง หลักการของวิธีการแก้อสมการกำลังสองนี้คือการแปลงอสมการที่เท่ากัน ทำให้สามารถแก้อสมการที่เท่ากันในรูป (x−p) 2 ได้ และการเปลี่ยนแปลงไปสู่ความไม่เท่าเทียมกัน (x−p) 2 เกิดขึ้นได้อย่างไร? ในทางปฏิบัติ บ่อยครั้งเราต้องจัดการกับอสมการที่สามารถลดลงได้โดยใช้การแปลงที่เทียบเท่ากับอสมการกำลังสองในรูปแบบ a x 2 +b x+c<0
(знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам. เรามาเริ่มด้วยตัวอย่างของอสมการที่ง่ายที่สุดที่ลดเหลืออสมการกำลังสอง บางครั้ง เพื่อที่จะก้าวไปสู่อสมการกำลังสอง ก็เพียงพอแล้วที่จะจัดเรียงเงื่อนไขในอสมการนี้ใหม่หรือย้ายจากส่วนหนึ่งไปอีกส่วนหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ถ้าเราโอนพจน์ทั้งหมดจากด้านขวาของอสมการ 5≤2·x−3·x 2 ไปทางซ้าย เราจะได้อสมการกำลังสองในรูปแบบที่ระบุไว้ข้างต้น 3·x 2 −2·x+5≤ 0. อีกตัวอย่างหนึ่ง: การจัดเรียงด้านซ้ายของอสมการใหม่ 5+0.6 x 2 −x<0
слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0
. ที่โรงเรียน ระหว่างบทเรียนพีชคณิต เมื่อพวกเขาเรียนรู้ที่จะแก้อสมการกำลังสอง พวกเขาก็จัดการกับมันด้วย การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลลดเหลือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส วิธีแก้ไขคือการโอนพจน์ทั้งหมดไปทางด้านซ้าย แล้วเปลี่ยนนิพจน์ที่เกิดขึ้นให้อยู่ในรูปแบบ a·x 2 +b·x+c โดยดำเนินการ ลองดูตัวอย่าง ตัวอย่าง. ค้นหาวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันมากมาย 3·(x−1)·(x+1)<(x−2) 2 +x 2 +5
.ความไม่เท่าเทียมกันอย่างไม่มีเหตุผล เทียบเท่ากับอสมการกำลังสอง x 2 −6 x−9<0
, а อสมการลอการิทึม – อสมการ x 2 +x−2≥0 อ้างอิง. อสมการกำลังสอง – “จากและถึง”ในบทความนี้ เราจะดูวิธีแก้ปัญหาของอสมการกำลังสองอย่างที่เขาว่ากัน ไปจนถึงรายละเอียดปลีกย่อย ฉันแนะนำให้ศึกษาเนื้อหาในบทความอย่างละเอียดโดยไม่พลาดอะไรเลย คุณจะไม่สามารถเชี่ยวชาญบทความได้ทันที ฉันแนะนำให้ทำหลายวิธี มีข้อมูลมากมาย เนื้อหา: การแนะนำ. สำคัญ! การแนะนำ. สำคัญ! อสมการกำลังสองคือความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ: หากคุณใช้สมการกำลังสองและแทนที่เครื่องหมายเท่ากับด้วยค่าใดๆ ข้างต้น คุณจะได้รับอสมการกำลังสอง การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันหมายถึงการตอบคำถามว่าค่า x ความไม่เท่าเทียมกันนี้จะเป็นจริง ตัวอย่าง: 10
x 2
– 6
x+12 ≤ 0
2
x 2
+ 5
x –500 > 0
– 15
x 2
– 2
x+13 > 0
8
x 2
– 15
x+45≠ 0
อสมการกำลังสองสามารถระบุโดยปริยายได้ ตัวอย่างเช่น: 10
x 2
– 6
x+14
x 2
–5
x +2≤ 56
2
x 2
> 36
8
x 2
<–15
x 2
– 2
x+13
0> – 15
x 2
– 2
x+13
ในกรณีนี้ จำเป็นต้องทำการแปลงพีชคณิตและนำไปอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน (1) *ค่าสัมประสิทธิ์อาจเป็นเศษส่วนและไม่มีเหตุผล แต่ตัวอย่างดังกล่าวหาได้ยากในหลักสูตรของโรงเรียน และไม่พบในงาน Unified State Examination เลย แต่อย่าตกใจไป เช่น หากคุณเจอ: นี่ก็เป็นอสมการกำลังสองเช่นกัน ขั้นแรก เรามาดูอัลกอริทึมการแก้ปัญหาง่ายๆ ที่ไม่ต้องใช้ความเข้าใจว่าฟังก์ชันกำลังสองคืออะไร และกราฟของฟังก์ชันนี้ดูบนระนาบพิกัดสัมพันธ์กับแกนพิกัดอย่างไร หากคุณสามารถจดจำข้อมูลได้อย่างมั่นคงและเป็นเวลานาน และเสริมด้วยการฝึกฝนอย่างสม่ำเสมอ อัลกอริธึมจะช่วยคุณได้ นอกจากนี้หากอย่างที่พวกเขาพูดกันว่าคุณต้องแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน "ในคราวเดียว" อัลกอริทึมจะช่วยคุณได้ เมื่อปฏิบัติตาม คุณจะนำโซลูชันไปใช้ได้อย่างง่ายดาย หากคุณกำลังเรียนที่โรงเรียนฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้คุณเริ่มศึกษาบทความจากส่วนที่สองซึ่งบอกความหมายทั้งหมดของวิธีแก้ปัญหา (ดูด้านล่างจากจุด -) หากคุณเข้าใจสาระสำคัญก็ไม่จำเป็นต้องเรียนรู้หรือจดจำอัลกอริทึมที่ระบุ คุณสามารถแก้ไขอสมการกำลังสองได้อย่างรวดเร็ว แน่นอน ฉันควรเริ่มการอธิบายทันทีด้วยกราฟของฟังก์ชันกำลังสองและการอธิบายความหมาย แต่ฉันตัดสินใจ "สร้าง" บทความด้วยวิธีนี้ อีกประเด็นทางทฤษฎี! ดูสูตรการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง: โดยที่ x 1 และ x 2 เป็นรากของสมการกำลังสองขวาน 2+
บีเอ็กซ์+ค=0
*ในการแก้อสมการกำลังสอง จำเป็นต้องแยกตัวประกอบตรีโนเมียลกำลังสอง อัลกอริธึมที่แสดงด้านล่างเรียกอีกอย่างว่าวิธีช่วงเวลา เหมาะสำหรับแก้ความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม ฉ(x)>0,
ฉ(x)<0
, ฉ(x)≥0และฉ(x)≤0
- โปรดทราบว่าสามารถมีตัวคูณได้มากกว่าสองตัว ตัวอย่างเช่น: (x–10)(x+5)(x–1)(x+104)(x+6)(x–1)<0
อัลกอริธึมโซลูชัน วิธีช่วงเวลา ตัวอย่าง. โดยคำนึงถึงความไม่เท่าเทียมกัน ขวาน 2
+
บีเอ็กซ์+ c > 0 (เครื่องหมายใดๆ)
1. เขียนสมการกำลังสอง ขวาน 2
+
บีเอ็กซ์+ ค = 0
และแก้ไขมัน เราได้รับ x 1 และ x 2– รากของสมการกำลังสอง 2. แทนค่าสัมประสิทธิ์เป็นสูตร (2) ก
และราก - ขวาน –
x 1
)(x –
x 2)>0
3. กำหนดช่วงบนเส้นจำนวน (รากของสมการแบ่งเส้นจำนวนออกเป็นช่วง): 4. กำหนด "เครื่องหมาย" ในช่วงเวลา (+ หรือ -) โดยการแทนที่ค่า "x" โดยพลการจากแต่ละช่วงเวลาที่เป็นผลเป็นนิพจน์: ขวาน –
x 1
)(x –
x2)
และเฉลิมฉลองพวกเขา 5. สิ่งที่เหลืออยู่คือจดช่วงเวลาที่เราสนใจโดยทำเครื่องหมายไว้: - มีเครื่องหมาย “+” หากความไม่เท่าเทียมกันมี “>0” หรือ “≥0” - ลงชื่อ “–” หากรวมความไม่เท่าเทียมกันด้วย “<0» или «≤0».
ใส่ใจ!!!
สัญญาณที่บ่งบอกถึงความไม่เท่าเทียมกันอาจเป็น: เข้มงวด - นี่คือ ">", "<» и нестрогими – это «≥», «≤».
สิ่งนี้ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการตัดสินใจอย่างไร? ด้วยสัญญาณความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด ขอบเขตของช่วงเวลาจะไม่รวมอยู่ในการแก้ปัญหา ในขณะที่คำตอบนั้น ช่วงเวลานั้นจะถูกเขียนในรูปแบบ ( x 1
;
x 2
) – วงเล็บเหลี่ยม สำหรับสัญญาณความไม่เท่าเทียมกันแบบอ่อน ขอบเขตของช่วงเวลาจะรวมอยู่ในคำตอบด้วย และคำตอบจะเขียนอยู่ในรูปแบบ [ x 1
;
x 2
] – วงเล็บเหลี่ยม *สิ่งนี้ใช้ไม่เพียงแต่กับอสมการกำลังสองเท่านั้น วงเล็บเหลี่ยมหมายความว่าขอบเขตของช่วงนั้นรวมอยู่ในคำตอบด้วย คุณจะเห็นสิ่งนี้ในตัวอย่าง ลองดูบางส่วนเพื่อเคลียร์คำถามทั้งหมดเกี่ยวกับเรื่องนี้ ตามทฤษฎีแล้ว อัลกอริธึมอาจดูค่อนข้างซับซ้อน แต่ในความเป็นจริงแล้ว ทุกอย่างเรียบง่าย ตัวอย่างที่ 1: แก้ปัญหา x 2
– 60
x+500 ≤ 0
การแก้สมการกำลังสอง x 2
–60
x+500=0
ดี =
ข 2
–4
เครื่องปรับอากาศ = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600
ค้นหาต้นตอ: แทนค่าสัมประสิทธิ์ ก x 2
–60
x+500 = (x–50)(x–10)
เราเขียนอสมการในรูปแบบ (x–50)(x–10) ≤ 0
รากของสมการจะแบ่งเส้นจำนวนออกเป็นระยะๆ มาแสดงให้พวกเขาเห็นบนเส้นจำนวน: เราได้รับสามช่วงเวลา (–∞;10), (10;50) และ (50;+∞) เรากำหนด "สัญญาณ" ในช่วงเวลา เราทำสิ่งนี้โดยการแทนที่ค่าที่กำหนดเองของแต่ละช่วงเวลาที่เกิดเป็นนิพจน์ (x–50)(x–10) และดูความสอดคล้องของ "สัญญาณ" ที่เป็นผลลัพธ์กับการลงชื่อเข้าใช้ ความไม่เท่าเทียมกัน (x–50)(x–10) ≤ 0:
ที่ x=2 (x–50)(x–10) =
384 > 0 ไม่ถูกต้อง ที่ x=20 (x–50)(x–10) =
–300 < 0 верно
ที่ x=60 (x–50)(x–10) = 500 > 0 ไม่ถูกต้อง การแก้ปัญหาจะเป็นช่วง สำหรับค่า x ทั้งหมดจากช่วงเวลานี้ อสมการจะเป็นจริง *โปรดทราบว่าเราได้รวมวงเล็บเหลี่ยมไว้ด้วย สำหรับ x = 10 และ x = 50 อสมการจะเป็นจริงด้วย กล่าวคือ ขอบเขตจะรวมอยู่ในคำตอบด้วย คำตอบ: x∊ อีกครั้ง: — ขอบเขตของช่วงเวลาจะรวมอยู่ในคำตอบของอสมการเมื่อเงื่อนไขมีเครื่องหมาย ≤ หรือ ≥ (อสมการไม่เข้มงวด) ในกรณีนี้ เป็นเรื่องปกติที่จะแสดงรากผลลัพธ์ในแบบร่างด้วยวงกลม HASHED — ขอบเขตของช่วงเวลาไม่รวมอยู่ในการแก้อสมการเมื่อเงื่อนไขมีเครื่องหมาย< или >(ความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด) ในกรณีนี้ เป็นธรรมเนียมที่จะแสดงรากในภาพร่างเป็นวงกลม UNHASHED ตัวอย่างที่ 2: แก้ปัญหา x 2
+ 4
x–21 > 0
การแก้สมการกำลังสอง x 2
+ 4
x–21 = 0
ดี =
ข 2
–4
เครื่องปรับอากาศ = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100
ค้นหาต้นตอ: แทนค่าสัมประสิทธิ์ กและรูทเป็นสูตร (2) เราจะได้: x 2
+ 4
x–21 = (x–3)(x+7)
เราเขียนอสมการในรูปแบบ (x–3)(x+7) > 0.
รากของสมการจะแบ่งเส้นจำนวนออกเป็นระยะๆ มาทำเครื่องหมายไว้บนเส้นจำนวน: *ความไม่เท่าเทียมกันไม่ได้เข้มงวด ดังนั้นการกำหนดรากจึงไม่ถูกแรเงา เราได้รับสามช่วงเวลา (–∞;–7), (–7;3) และ (3;+∞) เรากำหนด "สัญญาณ" ในช่วงเวลาเราทำสิ่งนี้โดยการแทนที่ค่าที่กำหนดเองของช่วงเวลาเหล่านี้เป็นนิพจน์ (x–3)(x+7) และมองหาการปฏิบัติตามความไม่เท่าเทียมกัน (x–3)(x+7)> 0:
ที่ x= –10 (–10–3)(–10 +7) = 39 > 0 ถูก ที่ x= 0 (0–3)(0 +7) = –21< 0 неверно
ที่ x=10 (10–3)(10 +7) = 119 > 0 ถูก วิธีแก้ปัญหาจะเป็นสองช่วง (–∞;–7) และ (3;+∞) สำหรับค่า x ทั้งหมดจากช่วงเวลาเหล่านี้ อสมการจะเป็นจริง *โปรดทราบว่าเราได้รวมวงเล็บไว้แล้ว ที่ x = 3 และ x = –7 ความไม่เท่าเทียมกันจะไม่ถูกต้อง - ขอบเขตจะไม่รวมอยู่ในวิธีแก้ปัญหา คำตอบ: x∊(–∞;–7) U (3;+∞) ตัวอย่างที่ 3: แก้ปัญหา –
x 2
–9
x–20 > 0
การแก้สมการกำลังสอง –
x 2
–9
x–20 = 0.
ก = –1
ข = –9
ค = –20
ดี =
ข 2
–4
เครื่องปรับอากาศ = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.
ค้นหาต้นตอ: แทนค่าสัมประสิทธิ์ กและรูทเป็นสูตร (2) เราจะได้: –
x 2
–9
x–20 =–(x–(–5))(x–(–4))= –(x+5)(x+4)
เราเขียนอสมการในรูปแบบ –(x+5)(x+4) > 0.
รากของสมการจะแบ่งเส้นจำนวนออกเป็นระยะๆ ทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวน: *ความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด ดังนั้นสัญลักษณ์ของรากจึงไม่ถูกแรเงา เรามีช่วงเวลาสามช่วง (–∞;–5), (–5; –4) และ (–4;+∞) เราให้คำจำกัดความของ “เครื่องหมาย” เป็นระยะๆ เราทำสิ่งนี้โดยการแทนที่ลงในนิพจน์ –(x+5)(x+4)ค่าที่กำหนดเองของช่วงเวลาเหล่านี้และดูความสอดคล้องกับความไม่เท่าเทียมกัน –(x+5)(x+4)>0:
ที่ x= –10 – (–10+5)(–10 +4) = –30< 0 неверно
ที่ x= –4.5 – (–4.5+5)(–4.5+4) = 0.25 > 0 ถูก ที่ x= 0 – (0+5)(0 +4) = –20< 0 неверно
คำตอบจะเป็นช่วง (–5,–4) สำหรับค่าทั้งหมดของ "x" ที่เป็นของมันความไม่เท่าเทียมกันจะเป็นจริง *โปรดทราบว่าขอบเขตไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของการแก้ปัญหา สำหรับ x = –5 และ x = –4 อสมการจะไม่เป็นจริง ความคิดเห็น! เมื่อแก้สมการกำลังสอง เราอาจลงเอยด้วยรากเดียวหรือไม่มีรากเลยก็ได้ จากนั้นเมื่อใช้ วิธีนี้การตัดสินใจแก้ไขอาจเป็นเรื่องยาก สรุปเล็กๆ น้อยๆ! วิธีนี้ดีและสะดวกในการใช้งาน โดยเฉพาะถ้าคุณคุ้นเคยกับฟังก์ชันกำลังสองและรู้คุณสมบัติของกราฟอยู่แล้ว ถ้าไม่โปรดลองดูและไปยังส่วนถัดไป การใช้กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง ฉันแนะนำ! สมการกำลังสองเป็นฟังก์ชันในรูปแบบ: กราฟของมันคือพาราโบลา กิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้นหรือลง: กราฟสามารถวางตำแหน่งได้ดังต่อไปนี้ สามารถตัดแกน x ที่จุดสองจุด สามารถสัมผัสที่จุดหนึ่ง (จุดยอด) หรือไม่สามารถตัดกันได้ เพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ในภายหลัง ตอนนี้เรามาดูแนวทางนี้พร้อมตัวอย่าง กระบวนการแก้ปัญหาทั้งหมดประกอบด้วย สามขั้นตอน- มาแก้อสมการกัน x 2
+2
x –8 >0.
ขั้นแรก
การแก้สมการ x 2
+2
x–8=0.
ดี =
ข 2
–4
เครื่องปรับอากาศ = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36
ค้นหาต้นตอ: เราได้ x 1 = 2 และ x 2 = – 4 ขั้นตอนที่สอง
การสร้างพาราโบลา ย=x 2
+2
x–8
ตามคะแนน: จุดที่ 4 และ 2 คือจุดตัดกันของพาราโบลากับแกน x มันง่ายมาก! คุณทำอะไร? เราแก้สมการกำลังสองแล้ว x 2
+2
x–8=0.
ตรวจสอบโพสต์ของเขาเช่นนี้: 0 = x 2+2x – 8
ศูนย์สำหรับเราคือค่าของ "y" เมื่อ y = 0 เราจะได้ค่า abscissa ของจุดตัดของพาราโบลากับแกน x เราสามารถพูดได้ว่าค่าศูนย์ "y" คือแกน x ทีนี้ลองดูว่าค่า x ของนิพจน์คืออะไร x 2
+2
x – 8
มากกว่า (หรือน้อยกว่า) กว่าศูนย์? นี่ไม่ใช่เรื่องยากที่จะระบุจากกราฟพาราโบลา อย่างที่บอก ทุกอย่างอยู่ในสายตา: 1. ที่ x< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен x 2
+2
x –8
จะเป็นบวก 2. ที่ –4< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен x 2
+2
x –8
จะเป็นลบ 3. สำหรับ x > 2 สาขาของพาราโบลาจะอยู่เหนือแกน x สำหรับ x ที่ระบุ จะเป็นตรีนาม x 2
+2
x –8
จะเป็นบวก ขั้นตอนที่สาม
จากพาราโบลา เราจะเห็นได้ทันทีว่า x เป็นนิพจน์อะไร x 2
+2
x–8
มากกว่าศูนย์ เท่ากับศูนย์ น้อยกว่าศูนย์ นี่คือสาระสำคัญของขั้นตอนที่สามของการแก้ปัญหา กล่าวคือ เพื่อดูและระบุพื้นที่บวกและลบในภาพวาด เราเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้รับกับความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมและจดคำตอบไว้ ในตัวอย่างของเรา จำเป็นต้องกำหนดค่าทั้งหมดของ x ที่เป็นนิพจน์ x 2
+2
x–8
มากกว่าศูนย์ เราทำสิ่งนี้ในขั้นตอนที่สอง สิ่งที่เหลืออยู่คือการเขียนคำตอบ คำตอบ: x∊(–∞;–4) U (2;∞) สรุป: เมื่อคำนวณรากของสมการในขั้นตอนแรกแล้ว เราสามารถทำเครื่องหมายจุดผลลัพธ์บนแกน x ได้ (นี่คือจุดตัดกันของพาราโบลากับแกน x) ต่อไป เราสร้างพาราโบลาตามแผนผัง และเราก็เห็นวิธีแก้ปัญหาแล้ว ทำไมต้องมีแผนผัง? เราไม่จำเป็นต้องมีตารางเวลาที่แม่นยำทางคณิตศาสตร์ และลองจินตนาการดูว่า หากรากออกมาเป็น 10 ถึง 1500 ให้ลองสร้างกราฟที่แม่นยำบนกระดาษแผ่นหนึ่งด้วยค่าต่างๆ ดังกล่าว เกิดคำถาม! เราได้รากแล้ว เราทำเครื่องหมายไว้บนแกน o แต่เราควรร่างตำแหน่งของพาราโบลาเอง โดยให้กิ่งของมันขึ้นหรือลง? ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่! ค่าสัมประสิทธิ์ของ x 2 จะบอกคุณว่า: - หากมากกว่าศูนย์ กิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ขึ้น - ถ้าน้อยกว่าศูนย์ กิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ลง ในตัวอย่างของเรา มันเท่ากับ 1 นั่นคือบวก *บันทึก! หากความไม่เท่าเทียมกันมีเครื่องหมายที่ไม่เข้มงวด นั่นคือ ≤ หรือ ≥ รากบนเส้นจำนวนควรถูกแรเงา ซึ่งตามอัตภาพบ่งชี้ว่าขอบเขตของช่วงนั้นรวมอยู่ในคำตอบของอสมการด้วย ใน ในกรณีนี้รากไม่ถูกแรเงา (เจาะออก) เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันของเราเข้มงวด (มีเครื่องหมาย ">") ยิ่งกว่านั้น ในกรณีนี้ คำตอบจะใช้วงเล็บแทนวงเล็บเหลี่ยม (ไม่รวมเส้นขอบในคำตอบ) เขียนไปเยอะแล้ว สงสัยมีคนสับสน แต่ถ้าคุณแก้อสมการอย่างน้อย 5 ข้อโดยใช้พาราโบลา ความชื่นชมของคุณจะไร้ขอบเขต มันง่ายมาก! ดังนั้นโดยย่อ: 1. เราเขียนความไม่เท่าเทียมกันและลดให้เป็นค่ามาตรฐาน 2. เขียนสมการกำลังสองแล้วแก้โจทย์ 3. วาดแกน x ทำเครื่องหมายรากผลลัพธ์ วาดพาราโบลาตามแผนผัง โดยแยกกิ่งขึ้นหากสัมประสิทธิ์ x 2 เป็นบวก หรือแยกกิ่งลงหากเป็นลบ 4. ระบุด้านบวกหรือด้านลบด้วยสายตา และจดคำตอบของความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม ลองดูตัวอย่าง ตัวอย่างที่ 1: แก้ปัญหา x 2
–15
x+50 > 0
ขั้นแรก. การแก้สมการกำลังสอง x 2
–15
x+50=0
ดี =
ข 2
–4
เครื่องปรับอากาศ = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25
ค้นหาต้นตอ: ขั้นตอนที่สอง เรากำลังสร้างแกน o มาทำเครื่องหมายรากผลลัพธ์กัน เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันของเราเข้มงวด เราจะไม่ปิดบังพวกเขา เราสร้างพาราโบลาตามแผนผัง โดยวางกิ่งก้านไว้ด้านบน เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ x 2 เป็นบวก: ขั้นตอนที่สาม เราระบุด้านที่เป็นบวกและลบทางสายตา เราได้ทำเครื่องหมายไว้ที่นี่ สีที่ต่างกันเพื่อความชัดเจน คุณไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ เราเขียนคำตอบ คำตอบ: x∊(–∞;5) U (10;∞) *เครื่องหมาย U แสดงถึงการแก้ปัญหาการรวมกัน หากพูดเป็นรูปเป็นร่าง วิธีแก้คือช่วงเวลา "นี้" และ "นี่" ตัวอย่างที่ 2: แก้ปัญหา –
x 2
+
x+20 ≤ 0
ขั้นแรก. การแก้สมการกำลังสอง –
x 2
+
x+20=0
ดี =
ข 2
–4
เครื่องปรับอากาศ = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81
ค้นหาต้นตอ: ขั้นตอนที่สอง เรากำลังสร้างแกน o มาทำเครื่องหมายรากผลลัพธ์กัน เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันของเราไม่ได้เข้มงวด เราจึงแรเงาการกำหนดราก เราสร้างพาราโบลาตามแผนผัง โดยวางกิ่งก้านลง เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ของ x 2 เป็นลบ (เท่ากับ –1): ขั้นตอนที่สาม เราระบุด้านบวกและด้านลบด้วยสายตา เราเปรียบเทียบกับอสมการดั้งเดิม (เครื่องหมายของเราคือ ≤ 0) อสมการจะเป็นจริงสำหรับ x ≤ – 4 และ x ≥ 5 เราเขียนคำตอบ คำตอบ: x∊(–∞;–4] U ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) หรือ x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 . ตัวอย่างที่ 3 แก้อสมการกำลังสอง - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов. สารละลาย
ก่อนอื่น เรามาค้นหารากของตรีโกณมิติกำลังสองจากทางด้านซ้ายของอสมการกันก่อน: ง " = 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7 นี่เป็นความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด ดังนั้นเราจึงใช้จุด "ว่าง" บนกราฟ พร้อมพิกัดที่7. ตอนนี้เราต้องกำหนดสัญญาณในช่วงเวลาผลลัพธ์ (− ∞, 7) และ (7, + ∞) เนื่องจากการแบ่งแยกของตรีโกณมิติกำลังสองเป็นศูนย์และสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็นลบ เราจึงใส่เครื่องหมาย − , − : เนื่องจากเรากำลังแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันด้วยเครื่องหมาย< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус: ในกรณีนี้ คำตอบจะมีทั้งสองช่วง (− ∞ , 7) , (7 , + ∞) คำตอบ:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) หรือในรูปแบบอื่น x ≠ 7 ตัวอย่างที่ 4 อสมการกำลังสอง x 2 + x + 7 หรือไม่< 0 решения? สารละลาย
ลองหารากของตรีโกณมิติกำลังสองจากทางด้านซ้ายของอสมการกัน เพื่อหาค่าจำแนก: D = 1 2 − 4 · 1 · 7 = 1 − 28 = − 27 ค่าจำแนกมีค่าน้อยกว่าศูนย์ ซึ่งหมายความว่าไม่มีรากที่แท้จริง ภาพกราฟิกจะมีลักษณะเป็นเส้นจำนวนโดยไม่มีจุดทำเครื่องหมายไว้ ให้เรากำหนดสัญลักษณ์ของค่าของตรีโกณมิติกำลังสอง ที่ D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + : ในกรณีนี้ เราสามารถใช้การแรเงาบนช่องว่างที่มีเครื่องหมาย "-" ได้ แต่เราไม่มีช่องว่างดังกล่าว ดังนั้นภาพวาดจึงมีลักษณะดังนี้: จากการคำนวณ เราได้รับเซตว่าง ซึ่งหมายความว่าอสมการกำลังสองนี้ไม่มีทางแก้ได้ คำตอบ:เลขที่ หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
ตรีโกณมิติกำลังสองของเรารับค่าน้อยกว่าศูนย์โดยที่กราฟของฟังก์ชันอยู่ใต้แกน x
เมื่อดูกราฟของฟังก์ชัน เราจะได้คำตอบ: $x^2-2x-8 คำตอบ: $-2
ลองแปลงอสมการกัน: $-x^2+5x-6 ลองหารอสมการด้วยลบหนึ่งกัน อย่าลืมเปลี่ยนเครื่องหมาย: $x^2-5x+6>0$
ลองหารากของตรีโกณมิติ: $x_1=2$ และ $x_2=3$
ตรีโกณมิติกำลังสองของเรารับค่าที่มากกว่าศูนย์โดยที่กราฟของฟังก์ชันอยู่เหนือแกน x เมื่อดูกราฟของฟังก์ชัน เราจะได้คำตอบ: $5x-6
ลองหารากของตรีโกณมิติของเรา เพื่อหาค่านี้ โดยคำนวณค่าจำแนก: $D=2^2-4*2=-4 ค่าจำแนกมีค่าน้อยกว่าศูนย์ ลองใช้กฎที่เราแนะนำในตอนต้น เครื่องหมายของอสมการจะเหมือนกับเครื่องหมายของค่าสัมประสิทธิ์ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ในกรณีของเรา ค่าสัมประสิทธิ์เป็นบวก ซึ่งหมายความว่าสมการของเราจะเป็นบวกสำหรับค่า x ใดๆ
คำตอบ: สำหรับ x ทั้งหมด อสมการจะมากกว่าศูนย์
สารละลาย:
ลองหารากของตรีโกณมิติและวางมันลงบนเส้นพิกัด: $x_1=-2$ และ $x_2=1$
ถ้า $x>1$ และ $x ถ้า $x>-2$ และ $x ตอบ: $x>-2$ และ $xปัญหาในการแก้อสมการกำลังสอง
แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:
ก) $x^2-11x+30 b) $2x+15≥x^2$
ค) $3x^2+4x+3 ง) $4x^2-5x+2>0$ อสมการกำลังสองคืออะไร?
จะแก้อสมการกำลังสองได้อย่างไร?
แบบกราฟิก
วิธีช่วงเวลา
โดยการยกกำลังสองของทวินาม
, ≥) โดยที่ p และ q คือตัวเลขจำนวนหนึ่ง
, ≥) และวิธีแก้ปัญหา บทความนี้จะอธิบายวิธีแก้อสมการกำลังสองโดยการแยกกำลังสองของทวินาม นอกจากนี้ยังมีตัวอย่างการแก้อสมการกำลังสองโดยใช้วิธีนี้และภาพประกอบกราฟิกที่จำเป็น
อสมการที่ลดลงเป็นกำลังสอง