อนุพันธ์เป็นฟังก์ชันลบ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

ในระหว่าง ( เอ,ข) ก เอ็กซ์- เป็นจุดสุ่มเลือกในช่วงเวลาที่กำหนด ให้เราโต้แย้งกัน เอ็กซ์ เพิ่มขึ้น∆x (บวกหรือลบ)

ฟังก์ชัน y =f(x) จะได้รับการเพิ่มขึ้น Δу เท่ากับ:

Δy = ฉ(x + Δx)-f(x)

ที่อนันต์ ∆x เพิ่มขึ้นΔy ก็มีขนาดเล็กอนันต์เช่นกัน

ตัวอย่างเช่น:

ลองพิจารณาแก้อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้ตัวอย่างวัตถุที่ตกลงมาอย่างอิสระ

เนื่องจาก t 2 = t l + Δt ดังนั้น

.

เมื่อคำนวณขีด จำกัด แล้วเราจะพบว่า:

มีการใช้สัญกรณ์ t 1 เพื่อเน้นความคงที่ของ t เมื่อคำนวณขีดจำกัดของฟังก์ชัน เนื่องจาก t 1 เป็นค่าเวลาที่กำหนด ดัชนี 1 จึงสามารถละทิ้งได้ แล้วเราจะได้รับ:

จะเห็นได้ว่ามีความเร็ว วีชอบทาง ส,มี การทำงานเวลา. ประเภทฟังก์ชัน โวลต์ขึ้นอยู่กับประเภทของฟังก์ชันทั้งหมด สดังนั้นฟังก์ชัน สราวกับว่ากำลัง "สร้าง" ฟังก์ชั่น โวลต์- จึงได้ชื่อว่า" ฟังก์ชันอนุพันธ์».

พิจารณาอีกอันหนึ่ง ตัวอย่าง.

ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

ย = x 2ที่ x = 7.

สารละลาย. ที่ x = 7เรามี ย=7 2 = 49- ให้เราโต้แย้งกัน เอ็กซ์เพิ่มขึ้น Δ เอ็กซ์- ข้อโต้แย้งจะเท่าเทียมกัน 7 + Δ เอ็กซ์และฟังก์ชันจะได้รับค่า (7 + Δ x) 2.

ปัญหา B9 ให้กราฟของฟังก์ชันหรืออนุพันธ์ที่คุณต้องการหาปริมาณใดปริมาณหนึ่งต่อไปนี้:

1. มูลค่าของอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่ง x 0
2. จุดสูงสุดหรือต่ำสุด (จุดสุดขั้ว)
3. ช่วงของฟังก์ชันการเพิ่มและลด (ช่วงของความน่าเบื่อ)

ฟังก์ชันและอนุพันธ์ที่นำเสนอในปัญหานี้มีความต่อเนื่องกันอยู่เสมอ ทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นมาก แม้ว่างานนี้จะอยู่ในส่วนของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ แต่แม้แต่นักเรียนที่อ่อนแอที่สุดก็สามารถทำได้ เนื่องจากไม่จำเป็นต้องมีความรู้ทางทฤษฎีเชิงลึกที่นี่

ในการค้นหาค่าของอนุพันธ์ จุดสุดขั้ว และช่วงความซ้ำซ้อน มีอัลกอริธึมที่ง่ายและเป็นสากล - ทั้งหมดนี้จะกล่าวถึงด้านล่าง

อ่านเงื่อนไขของปัญหา B9 อย่างละเอียดเพื่อหลีกเลี่ยงการทำผิดพลาดโง่ๆ: บางครั้งคุณอาจพบข้อความที่ค่อนข้างยาว เงื่อนไขที่สำคัญซึ่งมีอิทธิพลต่อการตัดสินใจมีน้อย

การคำนวณมูลค่าอนุพันธ์ วิธีสองจุด

หากปัญหาได้รับกราฟของฟังก์ชัน f(x) แทนเจนต์กับกราฟนี้ที่จุดใดจุดหนึ่ง x 0 และจำเป็นต้องค้นหาค่าของอนุพันธ์ ณ จุดนี้ อัลกอริทึมต่อไปนี้จะถูกนำไปใช้:

1. ค้นหาจุด "เพียงพอ" สองจุดบนกราฟแทนเจนต์: พิกัดของมันต้องเป็นจำนวนเต็ม ลองแสดงจุดเหล่านี้เป็น A (x 1 ; y 1) และ B (x 2 ; y 2) เขียนพิกัดให้ถูกต้อง - นี่คือ จุดสำคัญวิธีแก้ไขและข้อผิดพลาดใดๆ ที่นี่ส่งผลให้คำตอบที่ไม่ถูกต้อง
2. เมื่อรู้พิกัดแล้ว ง่ายต่อการคำนวณการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ Δx = x 2 − x 1 และการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน Δy = y 2 − y 1 .
3. ในที่สุด เราก็พบค่าของอนุพันธ์ D = Δy/Δx กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณต้องหารการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันด้วยการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ และนี่จะเป็นคำตอบ

โปรดทราบอีกครั้ง: จะต้องค้นหาจุด A และ B บนเส้นสัมผัสกันอย่างแม่นยำ ไม่ใช่บนกราฟของฟังก์ชัน f(x) ดังที่มักเกิดขึ้น เส้นสัมผัสกันจะต้องมีจุดดังกล่าวอย่างน้อยสองจุด มิฉะนั้นปัญหาจะประกอบไม่ถูกต้อง

พิจารณาจุด A (−3; 2) และ B (−1; 6) และค้นหาส่วนเพิ่ม:
∆x = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4

มาหาค่าของอนุพันธ์กันดีกว่า: D = Δy/Δx = 4/2 = 2

งาน. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) และแทนเจนต์ของฟังก์ชันที่จุดที่มี abscissa x 0 ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x 0 .

พิจารณาจุด A (0; 3) และ B (3; 0) ค้นหาส่วนเพิ่ม:
∆x = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3

ตอนนี้เราพบค่าของอนุพันธ์แล้ว: D = Δy/Δx = −3/3 = −1

งาน. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) และแทนเจนต์ของฟังก์ชันที่จุดที่มี abscissa x 0 ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x 0 .

พิจารณาจุด A (0; 2) และ B (5; 2) และค้นหาส่วนเพิ่ม:
∆x = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0

ยังคงต้องค้นหาค่าของอนุพันธ์: D = Δy/Δx = 0/5 = 0

จากตัวอย่างสุดท้าย เราสามารถกำหนดกฎได้: ถ้าแทนเจนต์ขนานกับแกน OX อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดแทนเจนต์จะเป็นศูนย์ ในกรณีนี้ คุณไม่จำเป็นต้องนับอะไรเลย เพียงแค่ดูกราฟ

การคำนวณคะแนนสูงสุดและต่ำสุด

บางครั้ง แทนที่จะเป็นกราฟของฟังก์ชัน ปัญหา B9 จะให้กราฟของอนุพันธ์ และจำเป็นต้องค้นหาจุดสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชัน ในสถานการณ์นี้ วิธีสองจุดไม่มีประโยชน์ แต่มีอีกวิธีหนึ่งที่ง่ายกว่า ขั้นแรก เรามากำหนดคำศัพท์กันก่อน:

1. จุด x 0 เรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) หากในย่านใกล้เคียงของจุดนี้มีความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: f(x 0) ≥ f(x)
2. จุด x 0 เรียกว่าจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน f(x) หากในย่านใกล้เคียงของจุดนี้มีความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: f(x 0) ≤ f(x)

หากต้องการค้นหาจุดสูงสุดและต่ำสุดบนกราฟอนุพันธ์ ให้ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

1. เขียนกราฟอนุพันธ์ใหม่ โดยลบข้อมูลที่ไม่จำเป็นออกทั้งหมด ตามที่แสดงในทางปฏิบัติ ข้อมูลที่ไม่จำเป็นจะรบกวนการตัดสินใจเท่านั้น ดังนั้นเราจึงทำเครื่องหมายศูนย์ของอนุพันธ์บนแกนพิกัด - เท่านี้ก็เรียบร้อย
2. ค้นหาสัญญาณของอนุพันธ์ในช่วงเวลาระหว่างศูนย์ ถ้าในบางจุด x 0 ทราบว่า f'(x 0) ≠ 0 แสดงว่าเป็นไปได้เพียงสองตัวเลือกเท่านั้น: f'(x 0) ≥ 0 หรือ f'(x 0) ≤ 0 เครื่องหมายของอนุพันธ์คือ ระบุได้ง่ายจากภาพวาดต้นฉบับ: หากกราฟอนุพันธ์อยู่เหนือแกน OX ดังนั้น f'(x) ≥ 0 และในทางกลับกัน หากกราฟอนุพันธ์อยู่ใต้แกน OX ดังนั้น f'(x) ≤ 0
3. เราตรวจสอบศูนย์และสัญญาณของอนุพันธ์อีกครั้ง โดยที่เครื่องหมายเปลี่ยนจากลบเป็นบวกคือจุดต่ำสุด ในทางกลับกัน หากเครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ นี่คือจุดสูงสุด การนับจะทำจากซ้ายไปขวาเสมอ

รูปแบบนี้ใช้ได้กับฟังก์ชันต่อเนื่องเท่านั้น ไม่มีฟังก์ชันอื่นในปัญหา B9

งาน. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดในช่วงเวลา [−5; 5]. ค้นหาจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน f(x) บนส่วนนี้

มากำจัดกันเถอะ ข้อมูลที่ไม่จำเป็น— ปล่อยให้เหลือเพียงขอบเขต [−5; 5] และศูนย์ของอนุพันธ์ x = −3 และ x = 2.5 เรายังสังเกตสัญญาณ:

แน่นอนว่า ณ จุด x = −3 เครื่องหมายของอนุพันธ์จะเปลี่ยนจากลบเป็นบวก นี่คือจุดต่ำสุด

งาน. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดในช่วงเวลา [−3; 7]. ค้นหาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) บนส่วนนี้

ลองวาดกราฟใหม่โดยเหลือเพียงขอบเขต [−3; 7] และศูนย์ของอนุพันธ์ x = −1.7 และ x = 5 ให้เราสังเกตสัญญาณของอนุพันธ์บนกราฟผลลัพธ์ เรามี:

เห็นได้ชัดว่า ณ จุด x = 5 เครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ - นี่คือจุดสูงสุด

งาน. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดในช่วงเวลา [−6; 4]. ค้นหาจำนวนจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) ที่อยู่ในเซ็กเมนต์ [−4; 3].

จากเงื่อนไขของปัญหา เป็นไปตามว่าเพียงพอที่จะพิจารณาเฉพาะส่วนของกราฟที่ถูกจำกัดโดยเซกเมนต์ [−4; 3]. ดังนั้นเราจึงสร้างกราฟใหม่โดยทำเครื่องหมายเฉพาะขอบเขต [−4; 3] และศูนย์ของอนุพันธ์ข้างใน กล่าวคือ คะแนน x = −3.5 และ x = 2 เราได้รับ:

บนกราฟนี้มีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียว x = 2 ณ จุดนี้เองที่เครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ

หมายเหตุเล็กๆ เกี่ยวกับจุดที่มีพิกัดที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น ในโจทย์ข้อสุดท้ายถือว่าจุด x = −3.5 แต่ด้วยความสำเร็จแบบเดียวกัน เราก็สามารถหา x = −3.4 ได้ หากรวบรวมปัญหาอย่างถูกต้องการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวไม่ควรส่งผลกระทบต่อคำตอบเนื่องจากคะแนน "ไม่มีที่อยู่อาศัยที่แน่นอน" ไม่ได้มีส่วนร่วมในการแก้ไขปัญหาโดยตรง แน่นอนว่าเคล็ดลับนี้ใช้ไม่ได้กับจำนวนเต็ม

การหาช่วงเวลาของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นและลดลง

ในปัญหาดังกล่าว เช่น จุดสูงสุดและต่ำสุด ขอเสนอให้ใช้กราฟอนุพันธ์เพื่อค้นหาพื้นที่ที่ฟังก์ชันนั้นเพิ่มขึ้นหรือลดลง ก่อนอื่น เรามานิยามกันก่อนว่าอะไรเพิ่มขึ้นและลดลง:

1. ฟังก์ชัน f(x) กล่าวกันว่าเพิ่มขึ้นบนเซ็กเมนต์ ถ้าจุดสองจุดใดๆ x 1 และ x 2 จากเซ็กเมนต์นี้ ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . กล่าวอีกนัยหนึ่ง ยิ่งค่าอาร์กิวเมนต์มากขึ้น ค่าฟังก์ชันก็จะยิ่งมากขึ้นตามไปด้วย
2. ฟังก์ชัน f(x) เรียกว่าการลดลงบนเซ็กเมนต์ ถ้าจุดสองจุดใดๆ x 1 และ x 2 จากเซ็กเมนต์นี้ ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) เหล่านั้น. มูลค่าที่สูงขึ้นอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน

มากำหนดกัน เงื่อนไขที่เพียงพอขึ้นและลง:

1. เพื่อให้ฟังก์ชันต่อเนื่อง f(x) เพิ่มขึ้นในส่วน ก็เพียงพอแล้วที่อนุพันธ์ภายในส่วนจะเป็นค่าบวก เช่น ฉ'(x) ≥ 0
2. เพื่อให้ฟังก์ชันต่อเนื่อง f(x) ลดลงในส่วน ก็เพียงพอแล้วที่อนุพันธ์ภายในส่วนจะเป็นลบเช่น ฉ’(x) ≤ 0.

ให้เรายอมรับข้อความเหล่านี้โดยไม่มีหลักฐาน ดังนั้นเราจึงได้โครงร่างสำหรับการค้นหาช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงซึ่งคล้ายกับอัลกอริทึมในการคำนวณจุดสุดโต่งหลายประการ:

1. ลบข้อมูลที่ไม่จำเป็นทั้งหมด ในกราฟดั้งเดิมของอนุพันธ์ เราสนใจศูนย์ของฟังก์ชันเป็นหลัก ดังนั้นเราจะเหลือไว้เพียงศูนย์เท่านั้น
2. ทำเครื่องหมายสัญญาณของอนุพันธ์ในช่วงเวลาระหว่างศูนย์ เมื่อ f’(x) ≥ 0 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น และเมื่อ f’(x) ≤ 0 ฟังก์ชันจะลดลง หากปัญหาทำให้เกิดข้อจำกัดกับตัวแปร x เราจะทำเครื่องหมายตัวแปรเหล่านั้นบนกราฟใหม่เพิ่มเติม
3. ตอนนี้เรารู้พฤติกรรมของฟังก์ชันและข้อจำกัดแล้ว ยังคงต้องคำนวณปริมาณที่ต้องการในปัญหา

งาน. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดในช่วงเวลา [−3; 7.5]. ค้นหาช่วงการลดลงของฟังก์ชัน f(x) ในคำตอบของคุณ ให้ระบุผลรวมของจำนวนเต็มที่อยู่ในช่วงเวลาเหล่านี้

ตามปกติ เราจะวาดกราฟใหม่และทำเครื่องหมายขอบเขต [−3; 7.5] เช่นเดียวกับศูนย์ของอนุพันธ์ x = −1.5 และ x = 5.3 จากนั้นเราสังเกตสัญญาณของอนุพันธ์ เรามี:

เนื่องจากอนุพันธ์เป็นลบในช่วงเวลา (− 1.5) นี่คือช่วงของฟังก์ชันที่ลดลง ยังคงต้องรวมจำนวนเต็มทั้งหมดที่อยู่ในช่วงเวลานี้:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

งาน. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดบนช่วง [−10; 4]. ค้นหาช่วงการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน f(x) ในคำตอบของคุณ ให้ระบุความยาวของส่วนที่ใหญ่ที่สุด

มากำจัดข้อมูลที่ไม่จำเป็นกันเถอะ ให้เราเหลือเพียงขอบเขต [−10; 4] และศูนย์ของอนุพันธ์ ซึ่งคราวนี้มีสี่ตัว: x = −8, x = −6, x = −3 และ x = 2 ลองทำเครื่องหมายเครื่องหมายของอนุพันธ์แล้วได้ภาพต่อไปนี้:

เราสนใจช่วงเวลาของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น เช่น โดยที่ f’(x) ≥ 0 มีช่วงเวลาดังกล่าวสองช่วงบนกราฟ: (−8; −6) และ (−3; 2) มาคำนวณความยาวกัน:
ลิตร 1 = − 6 − (−8) = 2;
ลิตร 2 = 2 − (−3) = 5

เนื่องจากเราจำเป็นต้องค้นหาความยาวของช่วงที่ใหญ่ที่สุด เราจึงเขียนค่า l 2 = 5 เป็นคำตอบ

การวิจัยฟังก์ชัน ในบทความนี้เราจะพูดถึงปัญหาในการพิจารณาฟังก์ชันและเงื่อนไขที่มีคำถามที่เกี่ยวข้องกับการศึกษา พิจารณาประเด็นทางทฤษฎีหลักที่ต้องรู้และเข้าใจเพื่อแก้ไข

นี่เป็นปัญหาทั้งกลุ่มที่รวมอยู่ในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ โดยปกติคำถามจะเกี่ยวกับการค้นหาจุดสูงสุด (ต่ำสุด) หรือการกำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กำหนดที่พิจารณา:

- ฟังก์ชันกำลังและอตรรกยะ

— ฟังก์ชันตรรกศาสตร์

– ศึกษาผลงานและเรื่องส่วนตัว

— ฟังก์ชันลอการิทึม

— ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

หากคุณเข้าใจทฤษฎีขีด จำกัด แนวคิดของอนุพันธ์คุณสมบัติของอนุพันธ์สำหรับการศึกษากราฟของฟังก์ชันและของมัน ปัญหาดังกล่าวจะไม่ทำให้คุณลำบากและคุณจะแก้ไขได้อย่างง่ายดาย

ข้อมูลด้านล่างเป็นจุดทางทฤษฎีซึ่งความเข้าใจจะช่วยให้คุณเข้าใจวิธีแก้ปัญหาดังกล่าว ฉันจะพยายามนำเสนอในลักษณะที่แม้แต่ผู้ที่พลาดหัวข้อนี้หรือศึกษามาไม่ดีก็สามารถแก้ไขปัญหาดังกล่าวได้โดยไม่ยาก

ในปัญหาของกลุ่มนี้ ตามที่กล่าวไปแล้ว จำเป็นต้องค้นหาจุดต่ำสุด (สูงสุด) ของฟังก์ชัน หรือค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชันในช่วงเวลานั้น

คะแนนต่ำสุดและสูงสุดคุณสมบัติของอนุพันธ์

พิจารณากราฟของฟังก์ชัน:

จุด A คือจุดสูงสุด ในช่วงเวลาจาก O ถึง A ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น และในช่วงเวลาจาก A ถึง B ฟังก์ชันจะลดลง

จุด B คือจุดต่ำสุด ในช่วงเวลาจาก A ถึง B ฟังก์ชันจะลดลง และในช่วงเวลาจาก B ถึง C จะเพิ่มขึ้น

ณ จุดเหล่านี้ (A และ B) อนุพันธ์จะกลายเป็นศูนย์ (เท่ากับศูนย์)

เส้นสัมผัสที่จุดเหล่านี้จะขนานกับแกน วัว.

ฉันจะเสริมว่าจุดที่ฟังก์ชันเปลี่ยนพฤติกรรมจากเพิ่มขึ้นเป็นลดลง (และในทางกลับกันจากลดลงเป็นเพิ่มขึ้น) เรียกว่า extrema

จุดสำคัญ:

1. อนุพันธ์ในช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้นมีเครื่องหมายบวก (nเมื่อคุณแทนค่าจากช่วงหนึ่งเป็นอนุพันธ์ของมัน คุณจะได้จำนวนบวก)

ซึ่งหมายความว่าหากอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่งจากช่วงใดช่วงหนึ่งได้ ค่าบวกจากนั้นกราฟของฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลานี้

2. ที่ช่วงเวลาที่ลดลง อนุพันธ์จะมีเครื่องหมายลบ (เมื่อแทนที่ค่าจากช่วงเวลาเป็นนิพจน์อนุพันธ์ จะได้จำนวนลบ)

ซึ่งหมายความว่าหากอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่งจากช่วงหนึ่งมีค่าเป็นลบ กราฟของฟังก์ชันจะลดลงในช่วงเวลานี้

เรื่องนี้ต้องเข้าใจให้ชัดเจน!!!

ดังนั้น ด้วยการคำนวณอนุพันธ์และจัดให้เป็นศูนย์ คุณจะพบจุดที่แบ่งเส้นจำนวนออกเป็นระยะๆในแต่ละช่วงเวลาเหล่านี้ คุณสามารถกำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ จากนั้นจึงสรุปเกี่ยวกับการเพิ่มขึ้นหรือลดลง

*ควรกล่าวถึงเป็นพิเศษเกี่ยวกับจุดที่ไม่มีอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น เราสามารถหาอนุพันธ์ที่ตัวส่วนหายไปที่ค่า x แน่นอน เห็นได้ชัดว่าสำหรับ x ดังกล่าวไม่มีอนุพันธ์อยู่ ดังนั้น, จุดนี้ต้องนำมาพิจารณาด้วยเมื่อกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้น (ลดลง)

ฟังก์ชัน ณ จุดที่อนุพันธ์เท่ากับศูนย์ไม่ได้เปลี่ยนเครื่องหมายเสมอไป จะมีบทความแยกต่างหากเกี่ยวกับเรื่องนี้ จะไม่มีงานดังกล่าวใน Unified State Examination เอง

คุณสมบัติข้างต้นจำเป็นต่อการศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชันในการเพิ่มขึ้นและลดลง

มีอะไรอีกที่คุณจำเป็นต้องรู้เพื่อแก้ไขปัญหาที่ระบุ: ตารางอนุพันธ์และกฎการสร้างความแตกต่าง ไม่มีทางหากไม่มีสิ่งนี้ นี่เป็นความรู้พื้นฐานในหัวข้ออนุพันธ์ คุณควรรู้อนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานเป็นอย่างดี

การคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนฉ(ก(x)), จินตนาการถึงฟังก์ชันก(x) นี่คือตัวแปรแล้วคำนวณอนุพันธ์ฉ’(ก(x)) โดยใช้สูตรตารางเป็นอนุพันธ์ตามปกติของตัวแปร จากนั้นคูณผลลัพธ์ด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันก(x) .

ชมวิดีโอบทช่วยสอนเกี่ยวกับฟังก์ชันที่ซับซ้อนของ Maxim Semenikhin:

ปัญหาการหาจุดสูงสุดและต่ำสุด

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาจุดสูงสุด (ต่ำสุด) ของฟังก์ชัน:

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ’(x).

2. ค้นหาศูนย์ของอนุพันธ์ (โดยการทำให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์ ฉ’(x)=0 และแก้สมการผลลัพธ์) นอกจากนี้เรายังพบจุดที่ไม่มีอนุพันธ์อยู่ด้วย(โดยเฉพาะสิ่งนี้ใช้กับฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน)

3. เราทำเครื่องหมายค่าที่ได้รับบนเส้นจำนวนและกำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ในช่วงเวลาเหล่านี้โดยการแทนที่ค่าจากช่วงเวลาเป็นนิพจน์อนุพันธ์

ข้อสรุปจะเป็นหนึ่งในสอง:

1. จุดสูงสุดคือจุดโดยอนุพันธ์จะเปลี่ยนค่าจากบวกเป็นลบ

2. จุดต่ำสุดคือจุดโดยอนุพันธ์จะเปลี่ยนค่าจากลบเป็นบวก

ปัญหาในการค้นหาที่ยิ่งใหญ่ที่สุดหรือ ค่าต่ำสุด

ฟังก์ชั่นในช่วงเวลาหนึ่ง

ในปัญหาประเภทอื่น คุณจะต้องค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กำหนด

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) ของฟังก์ชัน:

1. พิจารณาว่ามีคะแนนสูงสุด (ต่ำสุด) หรือไม่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะหาอนุพันธ์ ฉ’(x) แล้วเราก็ตัดสินใจ ฉ’(x)=0 (จุดที่ 1 และ 2 จากอัลกอริทึมก่อนหน้า)

2. เราพิจารณาว่าคะแนนที่ได้รับนั้นอยู่ในช่วงที่กำหนดหรือไม่และจดบันทึกคะแนนที่อยู่ในขอบเขตของมัน

3. เราแทนที่ฟังก์ชันดั้งเดิม (ไม่ใช่อนุพันธ์ แต่เป็นฟังก์ชันที่กำหนดในเงื่อนไข) ขอบเขตของช่วงเวลาที่กำหนดและจุด (สูงสุด - ต่ำสุด) ที่อยู่ภายในช่วงเวลา (รายการที่ 2)

4. คำนวณค่าฟังก์ชัน

5. เราเลือกค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) จากค่าที่ได้รับ ขึ้นอยู่กับคำถามที่ถูกตั้งไว้ในปัญหา จากนั้นจึงจดคำตอบ

คำถาม: เหตุใดจึงจำเป็นต้องมองหาจุดสูงสุด (ต่ำสุด) ในปัญหาการหาค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชัน

วิธีที่ดีที่สุดในการอธิบายสิ่งนี้คือการดูการแสดงแผนผังของกราฟของฟังก์ชันที่ระบุ:

ในกรณีที่ 1 และ 2 การแทนที่ขอบเขตของช่วงเวลาเพื่อกำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดของฟังก์ชันก็เพียงพอแล้ว ในกรณีที่ 3 และ 4 จำเป็นต้องค้นหาศูนย์ของฟังก์ชัน (จุดสูงสุด-ต่ำสุด) หากเราแทนขอบเขตของช่วงเวลา (โดยไม่หาศูนย์ของฟังก์ชัน) เราจะได้คำตอบที่ผิด ซึ่งเห็นได้จากกราฟ

และประเด็นทั้งหมดก็คือเรา ฟังก์ชันที่กำหนดเราไม่สามารถมองเห็นว่ากราฟจะมีลักษณะอย่างไรในช่วงเวลานั้น (ไม่ว่าจะมีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดภายในช่วงเวลานั้นก็ตาม) ดังนั้นจงหาเลขศูนย์ของฟังก์ชันให้เจอ!!!

ถ้าสมการ ฉ'(x)=0 จะไม่มีวิธีแก้ปัญหาหมายความว่าไม่มีจุดต่ำสุดสูงสุด (รูปที่ 1,2) และค้นหาปัญหาที่ต้องการใน ฟังก์ชั่นนี้เราทดแทนเฉพาะขอบเขตของช่วงเวลาเท่านั้น

อื่น จุดสำคัญ- โปรดจำไว้ว่าคำตอบต้องเป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนจำกัด ทศนิยม- เมื่อคุณคำนวณค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน คุณจะได้รับนิพจน์ที่มี e และ pi รวมถึงนิพจน์ที่มีราก จำไว้ว่าคุณไม่จำเป็นต้องคำนวณให้หมด และชัดเจนว่าผลลัพธ์ของสำนวนดังกล่าวจะไม่ใช่คำตอบ หากคุณต้องการคำนวณค่าดังกล่าว ให้ทำ (ตัวเลข: e µ 2.71 Pi µ 3.14)

ฉันเขียนมากบางทีฉันอาจสับสน? โดย ตัวอย่างเฉพาะคุณจะเห็นว่าทุกอย่างเรียบง่าย

ต่อไปฉันอยากจะบอกความลับเล็กน้อยแก่คุณ ความจริงก็คือปัญหาหลายอย่างสามารถแก้ไขได้โดยปราศจากความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของอนุพันธ์และแม้จะไม่มีกฎการแยกความแตกต่างก็ตาม ฉันจะบอกคุณเกี่ยวกับความแตกต่างเหล่านี้อย่างแน่นอนและแสดงให้คุณเห็นว่ามันทำอย่างไร? อย่าพลาด!

แต่ทำไมผมถึงนำเสนอทฤษฎีเลยแล้วยังบอกว่าจำเป็นต้องรู้ด้วย ถูกต้อง - คุณจำเป็นต้องรู้ หากคุณเข้าใจก็ไม่มีปัญหาในหัวข้อนี้จะทำให้คุณสับสน

“เคล็ดลับ” ที่คุณจะได้เรียนรู้จะช่วยคุณในการแก้ปัญหาต้นแบบ (บางส่วน) ที่เฉพาะเจาะจง ถึงแน่นอนว่าการใช้เทคนิคเหล่านี้เป็นเครื่องมือเพิ่มเติมเป็นวิธีที่สะดวก ปัญหาสามารถแก้ไขได้เร็วขึ้น 2-3 เท่า และประหยัดเวลาในการแก้ part C

ขอให้ดีที่สุด!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

เนื้อหาของบทความ

อนุพันธ์– อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ย = ฉ(x) กำหนดในช่วงเวลาหนึ่ง ( ก, ข) ณ จุดนั้น xของช่วงเวลานี้เรียกว่าลิมิตซึ่งอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันมีแนวโน้ม ฉณ จุดนี้การเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ที่สอดคล้องกันเมื่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์

อนุพันธ์มักจะแสดงดังนี้:

การกำหนดอื่น ๆ ก็ใช้กันอย่างแพร่หลายเช่นกัน:

ความเร็วทันที

ปล่อยให้ประเด็น มเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง ระยะทาง สจุดที่เคลื่อนที่นับจากตำแหน่งเริ่มต้นบางตำแหน่ง ม 0 ขึ้นอยู่กับเวลา ที, เช่น. สมีฟังก์ชันของเวลา ที: ส= ฉ(ที). ปล่อยให้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง ทีจุดเคลื่อนที่ มอยู่ในระยะไกล สจากตำแหน่งเริ่มต้น ม 0 และในเวลาต่อมา ที+ดี ทีพบว่าตัวเองอยู่ในตำแหน่ง ม 1 – ในระยะไกล ส+ดี สจากตำแหน่งเริ่มต้น ( ดูรูป.).

ดังนั้นในช่วงเวลาหนึ่ง D ทีระยะทาง สเปลี่ยนตามจำนวน D ส- ในกรณีนี้พวกเขากล่าวว่าในช่วงเวลา D ทีขนาด สได้รับการเพิ่มขึ้น D ส.

ความเร็วเฉลี่ยไม่สามารถระบุลักษณะความเร็วของการเคลื่อนที่ของจุดได้อย่างแม่นยำในทุกกรณี มในช่วงเวลาหนึ่ง ที- ตัวอย่างเช่น หากร่างกายอยู่ที่จุดเริ่มต้นของช่วง D ทีเคลื่อนไหวเร็วมากและสุดท้ายก็ช้ามาก ความเร็วเฉลี่ยจะไม่สามารถสะท้อนลักษณะการเคลื่อนที่ของจุดที่ระบุได้และให้ทราบถึงความเร็วที่แท้จริงของการเคลื่อนที่ในขณะนั้นได้ ที- หากต้องการแสดงความเร็วจริงโดยใช้ความเร็วเฉลี่ยได้แม่นยำยิ่งขึ้น คุณต้องใช้เวลา D น้อยลง ที- แสดงลักษณะความเร็วของการเคลื่อนที่ของจุดในขณะนั้นได้อย่างสมบูรณ์ที่สุด ทีขีดจำกัดความเร็วเฉลี่ยมีแนวโน้มที่ D ที® 0 ขีดจำกัดนี้เรียกว่าความเร็วปัจจุบัน:

ดังนั้น ความเร็วของการเคลื่อนที่ ณ ขณะหนึ่งเรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนการเพิ่มเส้นทาง D สการเพิ่มเวลา D ทีเมื่อการเพิ่มเวลามีแนวโน้มเป็นศูนย์ เพราะ

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน

การสร้างเส้นสัมผัสกันเป็นหนึ่งในปัญหาที่นำไปสู่การเกิดแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ งานตีพิมพ์ครั้งแรกที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ซึ่งเขียนโดยไลบ์นิซมีชื่อว่า วิธีการใหม่สูงสุดและต่ำสุดเช่นเดียวกับแทนเจนต์ซึ่งไม่มีปริมาณเศษส่วนหรือจำนวนอตรรกยะและแคลคูลัสชนิดพิเศษสำหรับสิ่งนี้ทำหน้าที่เป็นอุปสรรค.

ให้เส้นโค้งเป็นกราฟของฟังก์ชัน ย =ฉ(x) ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ( ซม- ข้าว.).

ในระดับหนึ่งค่า xฟังก์ชั่นมีความสำคัญ ย =ฉ(x- ค่านิยมเหล่านี้ xและ ยจุดบนเส้นโค้งสอดคล้องกัน ม 0(x, ย- ถ้าจะเถียง. xให้ เพิ่มขึ้น D xแล้วค่าใหม่ของอาร์กิวเมนต์ x+ดี xสอดคล้องกับค่าฟังก์ชันใหม่ ย+ดี ย = ฉ(x + ดี x- จุดที่สอดคล้องกันของเส้นโค้งจะเป็นจุด ม 1(x+ดี x,ย+ดี ย- ถ้าคุณวาดเส้นตัด ม 0ม 1 และเขียนแทนด้วย j มุมที่เกิดจากเส้นตัดขวางที่มีทิศทางบวกของแกน วัวจากรูปก็ชัดเจนทันทีว่า

ถ้าตอนนี้ D xมีแนวโน้มเป็นศูนย์ แล้วจึงถึงจุด ม 1 เคลื่อนที่ไปตามโค้งเข้าใกล้จุด ม 0 และมุม เจ เปลี่ยนแปลงด้วย D x- ที่ ดีเอ็กซ์® 0 มุม j มีแนวโน้มที่จะถึงขีดจำกัด a และเส้นตรงที่ผ่านจุดนั้น ม 0 และองค์ประกอบที่มีทิศทางบวกของแกน x มุม a จะเป็นแทนเจนต์ที่ต้องการ ความชันของมันคือ:

เพราะฉะนั้น, ฉ´( x) = ทีจีเอ

เหล่านั้น. มูลค่าอนุพันธ์ ฉ´( x) สำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ที่กำหนด xเท่ากับแทนเจนต์ของมุมที่เกิดจากแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) ณ จุดที่สอดคล้องกัน ม 0(x,ย) โดยมีทิศทางแกนบวก วัว.

ความแตกต่างของฟังก์ชัน

คำนิยาม. ถ้าฟังก์ชั่น ย = ฉ(x) มีอนุพันธ์ ณ จุดนั้น x = x 0 จากนั้นฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนี้

ความต่อเนื่องของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ ทฤษฎีบท.

ถ้าฟังก์ชั่น ย = ฉ(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ในบางจุด x = x 0 แล้วมันจะต่อเนื่อง ณ จุดนี้

ดังนั้นฟังก์ชันนี้จึงไม่สามารถมีอนุพันธ์ที่จุดไม่ต่อเนื่องได้ ข้อสรุปตรงกันข้ามไม่ถูกต้องเช่น จากข้อเท็จจริงที่ว่า ณ จุดหนึ่ง x = x 0 ฟังก์ชัน ย = ฉ(x) มีความต่อเนื่องไม่ได้หมายความว่าสามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนี้ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน ย = |x- อย่างต่อเนื่องสำหรับทุกคน x(–Ґ x x = 0 ไม่มีอนุพันธ์ ณ จุดนี้กราฟไม่มีแทนเจนต์ มีแทนเจนต์ขวาและซ้าย แต่ไม่ตรงกัน

ทฤษฎีบทบางประการเกี่ยวกับฟังก์ชันเชิงอนุพันธ์ ทฤษฎีบทเรื่องรากของอนุพันธ์ (ทฤษฎีบทของโรล)ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x) มีความต่อเนื่องในส่วนนี้ [ก,ข] สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดภายในทั้งหมดของส่วนนี้และที่ส่วนท้าย x = กและ x = ขไปที่ศูนย์ ( ฉ(ก) = ฉ(ข) = 0) จากนั้นอยู่ภายในส่วน [ ก,ข] มีอย่างน้อยหนึ่งจุด x= กับ, ก c b ซึ่งอนุพันธ์ ฉў( x) ไปที่ศูนย์ เช่น ฉў( ค) = 0.

ทฤษฎีบทการเพิ่มขึ้นจำกัด (ทฤษฎีบทลากรองจ์)ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x) ต่อเนื่องในช่วงเวลา [ ก, ข] และสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดภายในทั้งหมดของส่วนนี้ จากนั้นจึงอยู่ภายในส่วน [ ก, ข] มีอย่างน้อยหนึ่งจุด กับ, กค ข อันนั้น

ฉ(ข) – ฉ(ก) = ฉў( ค)(ข– ก).

ทฤษฎีบทว่าด้วยอัตราส่วนส่วนเพิ่มของสองฟังก์ชัน (ทฤษฎีบทของคอชี)ถ้า ฉ(x) และ ก(x) – สองฟังก์ชันต่อเนื่องกันบนเซ็กเมนต์ [ก, ข] และหาอนุพันธ์ได้ที่จุดภายในทั้งหมดของเซ็กเมนต์นี้ และ กў( x) จะไม่หายไปจากส่วนใดภายในส่วนนี้ จากนั้นจึงอยู่ภายในส่วน [ ก, ข] มีจุดดังกล่าว x = กับ, กค ข อันนั้น

อนุพันธ์ของคำสั่งต่างๆ

ให้ฟังก์ชัน ย =ฉ(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ในบางช่วง [ ก, ข- ค่าอนุพันธ์ ฉ ў( x) พูดโดยทั่วไปขึ้นอยู่กับ x, เช่น. อนุพันธ์ ฉ ў( x) ยังเป็นฟังก์ชันของ x- เมื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันนี้ เราจะได้สิ่งที่เรียกว่าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน ฉ(x) ซึ่งแสดงแทน ฉ ўў ( x).

อนุพันธ์ ไม่มีลำดับที่ของฟังก์ชัน ฉ(x) เรียกว่าอนุพันธ์ (ลำดับแรก) ของอนุพันธ์ ไม่มี 1- th และแสดงด้วยสัญลักษณ์ ย(n) = (ย(n– 1))ў.

ส่วนต่างของคำสั่งต่างๆ

ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล ย = ฉ(x), ที่ไหน x– ตัวแปรอิสระ ใช่ ดี้ = ฉ ў( x)ดีเอ็กซ์, ฟังก์ชั่นบางอย่างจาก x, แต่จาก xขึ้นอยู่กับปัจจัยแรกเท่านั้น ฉ ў( x) ปัจจัยที่สอง ( ดีเอ็กซ์) คือการเพิ่มขึ้นของตัวแปรอิสระ xและไม่ขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปรนี้ เพราะ ดี้มีฟังก์ชันจาก xจากนั้นเราจะหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ได้ ดิฟเฟอเรนเชียลของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันเรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลที่สองหรือดิฟเฟอเรนเชียลลำดับที่สองของฟังก์ชันนี้ และแสดงแทนด้วย ง 2ย:

ง(ดีเอ็กซ์) = ง 2ย = ฉ ўў( x)(ดีเอ็กซ์) 2 .

ดิฟเฟอเรนเชียล ไม่มีของลำดับแรกเรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลแรกของดิฟเฟอเรนเชียล ไม่มี 1- ลำดับที่:

ไม่เป็นไร = ง(ดีเอ็น–1ย) = ฉ(n)(x)ดีเอ็กซ์(n).

อนุพันธ์บางส่วน

หากฟังก์ชันไม่ได้ขึ้นอยู่กับข้อโต้แย้งเพียงข้อเดียว แต่ขึ้นอยู่กับข้อโต้แย้งหลายข้อ x ฉัน(ฉันแตกต่างกันไปตั้งแต่ 1 ถึง n,ฉัน= 1, 2,… n),ฉ(x 1,x 2,… เอ็กซ์เอ็น) จากนั้นเข้า แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์มีการนำแนวคิดของอนุพันธ์บางส่วนมาใช้ซึ่งแสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงอาร์กิวเมนต์เดียวเช่น x ฉัน- อนุพันธ์บางส่วนของอันดับ 1 เทียบกับ x ฉันถูกกำหนดให้เป็นอนุพันธ์สามัญและถือว่าอาร์กิวเมนต์ทั้งหมดยกเว้น x ฉัน, คงค่าคงที่ไว้ สำหรับอนุพันธ์บางส่วน ให้ใช้สัญลักษณ์

อนุพันธ์บางส่วนอันดับ 1 ที่กำหนดในลักษณะนี้ (เป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์เดียวกัน) ก็สามารถมีอนุพันธ์บางส่วนได้เช่นกัน ซึ่งเป็นอนุพันธ์บางส่วนอันดับสอง เป็นต้น อนุพันธ์ดังกล่าวที่นำมาจากข้อโต้แย้งที่แตกต่างกันเรียกว่าแบบผสม อนุพันธ์แบบผสมต่อเนื่องในลำดับเดียวกันไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของความแตกต่างและมีค่าเท่ากัน

แอนนา ชูไกโนวา

การคำนวณอนุพันธ์- หนึ่งในมากที่สุด การดำเนินงานที่สำคัญในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ด้านล่างนี้เป็นตารางสำหรับค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่าย สำหรับกฎการสร้างความแตกต่างที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น โปรดดูบทเรียนอื่นๆ:

• ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม

ใช้สูตรที่กำหนดเป็นค่าอ้างอิง พวกเขาจะช่วยในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์และปัญหา ในภาพในตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่ายมี “สูตรโกง” กรณีหลักๆ ในการหาอนุพันธ์ในรูปแบบที่เข้าใจง่ายในการใช้งาน ข้างๆ มีคำอธิบายในแต่ละกรณี

อนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่าย

1. อนุพันธ์ของตัวเลขคือศูนย์
ซ' = 0
ตัวอย่าง:
5' = 0

คำอธิบาย:
อนุพันธ์แสดงอัตราที่ค่าของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงเมื่ออาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลง เนื่องจากตัวเลขไม่เปลี่ยนแปลงไม่ว่าในกรณีใด ๆ อัตราการเปลี่ยนแปลงจึงเป็นศูนย์เสมอ

2. อนุพันธ์ของตัวแปรเท่ากับหนึ่ง
x' = 1

คำอธิบาย:
เมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้น (x) ทีละค่า ค่าของฟังก์ชัน (ผลลัพธ์ของการคำนวณ) จะเพิ่มขึ้นด้วยจำนวนที่เท่ากัน ดังนั้นอัตราการเปลี่ยนแปลงค่าของฟังก์ชัน y = x จึงเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงค่าของอาร์กิวเมนต์ทุกประการ

3. อนุพันธ์ของตัวแปรและตัวประกอบเท่ากับตัวประกอบนี้
ซx´ = ซ
ตัวอย่าง:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
คำอธิบาย:
ใน ในกรณีนี้แต่ละครั้งที่อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลง ( เอ็กซ์) ค่าของมัน (y) เพิ่มขึ้น กับครั้งหนึ่ง. ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของค่าฟังก์ชันสัมพันธ์กับอัตราการเปลี่ยนแปลงของอาร์กิวเมนต์จึงเท่ากับค่าทุกประการ กับ.

มันเป็นไปตามนั้นตอนไหน.
(cx + b)" = ค
นั่นคือส่วนต่าง ฟังก์ชันเชิงเส้น y=kx+b เท่ากัน ความลาดชันความชันของเส้นตรง (k)

4. อนุพันธ์แบบโมดูโล่ของตัวแปรเท่ากับผลหารของตัวแปรนี้ต่อโมดูลัส
|x|"= x / |x| โดยมีเงื่อนไขว่า x ≠ 0
คำอธิบาย:
เนื่องจากอนุพันธ์ของตัวแปร (ดูสูตร 2) เท่ากับความสามัคคี อนุพันธ์ของโมดูลจึงแตกต่างกันเพียงว่าค่าของอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันจะเปลี่ยนเป็นค่าตรงกันข้ามเมื่อข้ามจุดกำเนิด (ลองวาดกราฟ ของฟังก์ชัน y = |x| และดูด้วยตัวคุณเอง< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - หนึ่ง นั่นคือสำหรับค่าลบของตัวแปร x เมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นแต่ละครั้งค่าของฟังก์ชันจะลดลงด้วยค่าเดียวกันทุกประการและสำหรับค่าบวกตรงกันข้ามจะเพิ่มขึ้น แต่ด้วยค่าเดียวกันทุกประการ .

5. อนุพันธ์ของตัวแปรยกกำลังเท่ากับผลคูณของจำนวนกำลังนี้และตัวแปรของกำลังลดลงหนึ่ง
(x ค)"= cx c-1โดยมีเงื่อนไขว่า x c และ cx c-1 ถูกกำหนดไว้และ c ≠ 0
ตัวอย่าง:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
เพื่อจำสูตร:
ย้ายระดับของตัวแปรลงตามปัจจัย แล้วลดระดับลงหนึ่งตัว ตัวอย่างเช่น สำหรับ x 2 - ทั้งสองอยู่ข้างหน้า x แล้วกำลังที่ลดลง (2-1 = 1) ก็ให้ค่าเรา 2x สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นกับ x 3 - เรา "เลื่อนลง" สามเท่าลดมันลงหนึ่งและแทนที่จะเป็นลูกบาศก์เรามีสี่เหลี่ยมจัตุรัสนั่นคือ 3x 2 "ไม่เป็นไปตามหลักวิทยาศาสตร์" เล็กน้อยแต่จำได้ง่ายมาก

6.อนุพันธ์ของเศษส่วน 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
ตัวอย่าง:
เนื่องจากเศษส่วนสามารถแสดงเป็นการยกกำลังเป็นลบได้
(1/x)" = (x -1)" จากนั้นคุณสามารถใช้สูตรจากกฎข้อ 5 ของตารางอนุพันธ์ได้
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. อนุพันธ์ของเศษส่วน ด้วยตัวแปรระดับใดก็ได้ในตัวส่วน
(1/xค)" = - ค / x ค+1
ตัวอย่าง:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. อนุพันธ์ของราก(อนุพันธ์ของตัวแปรภายใต้ รากที่สอง)
(√x)" = 1 / (2√x)หรือ 1/2 x -1/2
ตัวอย่าง:
(√x)" = (x 1/2)" หมายความว่าคุณสามารถใช้สูตรจากกฎข้อ 5 ได้
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. อนุพันธ์ของตัวแปรภายใต้รากของระดับที่กำหนด
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)