การเติบโตแบบทวีคูณและความสัมพันธ์ระหว่างผู้ล่าและเหยื่อ กฎแห่งอำนาจในการดำเนินธุรกิจ สมการการเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล

การเติบโตแบบก้าวกระโดด

เมื่ออัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ถูกขอให้ตั้งชื่อกองกำลังที่ทรงพลังที่สุดในโลก เขาตอบโดยไม่ลังเลว่า “ดอกเบี้ยทบต้น”

การจะเข้าใจธรรมชาติและผลที่ตามมาของการเติบโตในระยะยาวอย่างแท้จริงนั้นต้องอาศัยอัจฉริยะ การทดลองแสดงให้เห็นว่าแม้แต่คนที่มีการศึกษาและเก่งคณิตศาสตร์ก็มักจะประเมินผลของการเติบโตต่ำเกินไป ตัวอย่างเช่น ในการศึกษาหนึ่ง* ผู้ถูกขอให้ประเมินประสิทธิภาพการผลิตที่ต้องการของโรงงานรถแทรกเตอร์ซึ่งเริ่มดำเนินการในปี 1976 โดยมีกำลังการผลิตรถแทรกเตอร์ 1,000 คันต่อปี หลังจากนั้นความต้องการก็เพิ่มขึ้น 6 เปอร์เซ็นต์ในแต่ละปี พวกเขาถูกถามว่าโรงงานจะต้องผลิตรถแทรกเตอร์กี่คันในปี 1990, 2020, 2050 และ 2080 คำตอบโดยทั่วไปจะขึ้นอยู่กับการเพิ่มขึ้นเชิงเส้นอย่างค่อยเป็นค่อยไป ดังนั้นการประมาณความต้องการก่อนปี 1990 จึงค่อนข้างใกล้เคียงกับคำตอบที่ถูกต้อง แต่จำนวนคำตอบที่ถูกต้องในเวลาต่อมาก็เพิ่มขึ้น “แบบทวีคูณ” ในขณะที่คะแนนของผู้ตอบแบบสอบถามยังคงอิงจากการเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง ผู้ตอบแบบสอบถามส่วนใหญ่ตอบว่าในปี 2523 ความต้องการรถแทรกเตอร์จะอยู่ที่ประมาณ 30,000 คัน ในขณะที่คำตอบที่ถูกต้องคือประมาณ 350,000 คัน ซึ่งมากกว่า 10 เท่า!

ตอนนี้เดาปริศนา ในบ่อน้ำที่มีพื้นที่ 13,000 ตารางเมตร ฟุตมีใบบัวลอยหนึ่งใบครอบครองพื้นที่ 1 ตารางวา เท้า. หนึ่งสัปดาห์ต่อมามีสองใบแล้ว อีกสองสัปดาห์สี่ คำนวณว่าต้องใช้เวลานานแค่ไหนกว่าดอกบัวจะเต็มสระทั้งหมด

ภายใน 16 สัปดาห์ น้ำจะเต็มสระครึ่งหนึ่ง บอกฉันทีว่าต้องใช้เวลานานแค่ไหนกว่าสระจะเต็มไปด้วยดอกบัว? ดอกบัวใช้เวลา 16 สัปดาห์จึงเต็มสระครึ่งหนึ่ง แต่เพื่อให้ครอบคลุมครึ่งหลัง หนึ่งสัปดาห์ก็เพียงพอแล้ว เนื่องจากพื้นที่ใบไม้เพิ่มขึ้นสองเท่าทุกสัปดาห์ คำตอบสุดท้ายคือ 17 สัปดาห์

* ซม.: ↑ ดีทริช เดอร์เนอร์ตรรกะของความล้มเหลว: เหตุใดสิ่งต่างๆ จึงผิดพลาด และสิ่งที่เราสามารถทำได้เพื่อปรับปรุงสิ่งเหล่านั้น (ดีทริช ดอร์เนอร์.ตรรกะของความล้มเหลว: เหตุใดสิ่งต่างๆ จึงผิดพลาด และสิ่งที่เราสามารถทำได้เพื่อทำให้สิ่งเหล่านั้นถูกต้อง 2539, Metropolitan Books, นิวยอร์ก) ต้นฉบับได้รับการตีพิมพ์ในประเทศเยอรมนีในปี 1989 ภายใต้ชื่อ "Die Logik des Misslingcns" โดย Rowohlt Verlag

คุณจำนิทานเกี่ยวกับกษัตริย์อินเดียที่ต้องการให้รางวัลแก่ผู้ประดิษฐ์หมากรุกได้หรือไม่? นักประดิษฐ์ขอข้าวเพียงไม่กี่เมล็ด โดยใส่เมล็ดข้าวลงในเซลล์หนึ่ง เมล็ดข้าวสองเมล็ดในเซลล์ที่สอง สี่เมล็ดในเมล็ดที่สาม และต่อไปยังเซลล์อื่นๆ ทั้งหมด กษัตริย์คิดว่าปราชญ์นั้นถ่อมตัว - จนกระทั่งปรากฎว่าเพียงหนึ่งห้องสุดท้ายจะต้องวางเรือบรรทุกสินค้าแห้งจำนวน 9,223,372,036,000,000,000 เมล็ดหรือประมาณ 153 พันล้านตันหรือมากกว่าสองล้านครึ่งล้านขนาดใหญ่ (แต่ละลำ 60,000 ตัน) เรือบรรทุกสินค้าแห้ง , เติมข้าวไปจนสุดขอบ และทั้งหมดนี้เป็นเพราะการเติบโตแบบ "ทวีคูณ" ในกรณีนี้คือเมล็ดข้าวเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าในแต่ละเซลล์

^ สาระสำคัญของการเติบโตแบบทวีคูณคืออะไร?

เลขยกกำลังคือตัวเลขที่แสดงจำนวนครั้งที่ต้องคูณด้วยตัวมันเอง ตัวอย่างเช่น ถ้าเลขชี้กำลังคือ 3 และขนาดคือ 4 นิพจน์ 4 3 จะหมายถึง 4 x 4x4 ซึ่งก็คือ 64 นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ที่ 2 วิธี ที่เอ็กซ์ ที่, ก หมายเลข 2 คือเลขชี้กำลัง

การเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลแตกต่างจากการเติบโตเชิงเส้นอย่างไร ด้วยการเติบโตเชิงเส้น มูลค่าจะเพิ่มขึ้นในแต่ละขั้นด้วย สิ่งเดียวกัน โอเคและไม่ได้เปิดอยู่ หลายรายการตัวเลข. หากทุนเริ่มต้นของฉันคือ $1,000 และเพิ่มขึ้น $100 ทุกปี ภายใน 10 ปี ฉันจะเพิ่มเป็นสองเท่าและมี $2,000 นี่คือการเติบโตเชิงเส้น จำนวนเท่ากันทุกปี แต่ถ้าเงินทุนเริ่มต้นของฉันที่ 1,000 ดอลลาร์เพิ่มขึ้น 10 เปอร์เซ็นต์ทุกปี หลังจากนั้นสิบปี ฉันจะมีเงิน 2,594 ดอลลาร์ นี่คือตัวอย่างของการเติบโตแบบทวีคูณโดยมีการเพิ่มขึ้นคงที่ต่อปีเป็นทวีคูณที่ 1.1 หากฉันดำเนินธุรกิจต่อไปอีก 10 ปี การเติบโตเชิงเส้นจะทำให้ฉันมีเงินรวม 3,000 ดอลลาร์ ในขณะที่การเติบโตแบบทวีคูณจะทำให้ฉันมีเงินรวม 6,727 ดอลลาร์

ตลาดหรือธุรกิจใดๆ ที่รักษาอัตราการเติบโตไว้ที่ 10 เปอร์เซ็นต์หรือมากกว่าในช่วงระยะเวลาหนึ่ง จะได้รับประสบการณ์การสร้างมูลค่าที่มากกว่าที่เราคาดการณ์ไว้อย่างมาก บริษัทบางแห่ง เช่น IBM หรือ McDonald's ในช่วงปี 1950 ถึง

พ.ศ. 2528 หรือ Microsoft ในทศวรรษ 1990 - สามารถบรรลุอัตราการเติบโตเกิน 15 เปอร์เซ็นต์ต่อปี และเพิ่มทุนหลายครั้ง หากคุณเริ่มต้นด้วยเงิน $100 และเพิ่มทุนของคุณที่ 15 เปอร์เซ็นต์ต่อปีเป็นเวลา 15 ปี คุณจะมีเงิน $3,292 เกือบ 33 เท่าของจำนวนเงินเริ่มต้น เปอร์เซ็นต์การเติบโตที่เพิ่มขึ้นเล็กน้อยทำให้เกิดความแตกต่างอย่างมากในผลลัพธ์

ตัวอย่างเช่น นายหน้าค้าหุ้นชาวอเมริกัน William O'Neill ก่อตั้งกองทุนสำหรับเพื่อนร่วมชั้นและบริหารจัดการกองทุนตั้งแต่ปี 1961 ถึง 1986 ในช่วงเวลานี้ เงินเริ่มต้น 850 ดอลลาร์กลายเป็น 51,653 ดอลลาร์หลังจากจ่ายภาษีทั้งหมดแล้ว * ตลอด 25 ปี เพิ่มขึ้นโดยเฉลี่ยคือ 17.85 เปอร์เซ็นต์ต่อปี ซึ่งแปลว่าเพิ่มขึ้น 61 เท่าจากจำนวนเดิม ดังนั้น เราจะเห็นว่าหากเกิน 25 ปี การเติบโต 15 เปอร์เซ็นต์จะเพิ่มทุนขึ้น 33 เท่า แล้วบวกน้อยกว่า 3 เปอร์เซ็นต์เข้ากับอัตราการเติบโตต่อปีจะทำให้ ได้ผล 33 ครั้ง 61 ครั้ง

การเติบโตแบบก้าวกระโดดเปลี่ยนแปลงสิ่งต่างๆ ไม่เพียงแต่ในเชิงปริมาณเท่านั้น แต่ยังเปลี่ยนแปลงในเชิงคุณภาพด้วย ตัวอย่างเช่น ด้วยการเติบโตอย่างรวดเร็วของอุตสาหกรรม Peter Drucker ทำให้ตัวเลขอยู่ที่ 40 เปอร์เซ็นต์ใน 10 ปี - โครงสร้างมีการเปลี่ยนแปลงอย่างมาก และผู้นำตลาดรายใหม่ก็เข้ามาอยู่ข้างหน้า การเติบโตอย่างรวดเร็วของตลาดได้รับแรงผลักดันจากนวัตกรรม การขาดรูปแบบ ผลิตภัณฑ์ใหม่ เทคโนโลยี หรือผู้บริโภค ตามคำนิยามแล้ว นักนวัตกรรมทำสิ่งที่แตกต่างจากคนอื่นๆ วิธีการใหม่ๆ ไม่ค่อยเกิดขึ้นร่วมกับนิสัย แนวคิด ขั้นตอน และโครงสร้างของบริษัทที่มีอยู่ นักประดิษฐ์มักมีโอกาสใช้เวลาหลายปีจนกว่าผู้นำแบบดั้งเดิมจะตัดสินใจตอบโต้ แต่อาจสายเกินไป

^ กระต่ายฟีโบนัชชี

ฉันอยากจะเสนอปริศนาที่น่าสนใจให้กับคุณในหัวข้อการเติบโตแบบทวีคูณ ในปี 1220 เลโอนาร์โดแห่งปิซาซึ่งได้รับฉายาว่า "ฟีโบนัชชี" ในอีก 600 ปีต่อมา ได้เกิดสิ่งต่อไปนี้:

* ^ วิลเลียม เจ. โอนีล. วิธีสร้างรายได้จากการแลกเปลี่ยน ( William J. เกี่ยวกับ "นีลวิธีสร้างรายได้จากหุ้น พ.ศ. 2534 แมคกรอว์-ฮิลล์ นิวยอร์ก หน้า 132)

สถานการณ์จริง เริ่มจากกระต่ายสองสามตัวกันก่อน แล้วลองจินตนาการว่าแต่ละคู่ให้กำเนิดอีกคู่ในปีต่อมา และอีกคู่ในปีต่อมา หลังจากนี้กระต่ายก็แก่เกินไปที่จะผสมพันธุ์ จำนวนคู่จะเพิ่มขึ้นขนาดไหน และจะมีอะไรดีๆ เกี่ยวกับรุ่นนี้บ้าง?

หากต้องการ คุณสามารถเรียงลำดับจำนวนคู่ต่อปีได้ด้วยตัวเอง แต่คุณสามารถดูคำตอบได้ทันที:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...

สังเกตเห็นอะไรผิดปกติหรือไม่?

พูดอย่างเคร่งครัดมีสองประเด็นที่น่าสนใจที่นี่ หนึ่งคือเริ่มจากหลักที่สาม แต่ละหลักถัดไปคือผลรวมของสองหลักก่อนหน้า ประการที่สองคืออัตราส่วนของจำนวนแต่ละปี (หลังสาม) ต่อจำนวนของปีก่อนหน้านั้นเป็นค่าสัมประสิทธิ์เกือบคงที่ ซึ่งในไม่ช้าจะเข้าใกล้ 1.618 กล่าวอีกนัยหนึ่ง มีอัตราการเติบโตคงที่เพียงกว่า 60 เปอร์เซ็นต์

เมื่อเวลาผ่านไปลึกลับ ^ กระต่ายฟีโบนัชชี ได้รับคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ที่ครอบคลุม แต่โชคดีที่ไม่มีที่สำหรับที่นี่* อย่างไรก็ตาม กระต่ายเหล่านี้เป็นตัวอย่างที่ดีของการเติบโตแบบทวีคูณ เช่นเดียวกับความจริงที่ว่าแม้แต่การเติบโตที่จำกัดอย่างเห็นได้ชัดก็ไม่สามารถดำเนินต่อไปได้เป็นเวลานานนัก ในอีก 144 ปี ปริมาณของกระต่าย Fibonacci จะเกินปริมาตรของจักรวาล และผู้คนทั้งหมดจะตาย หายใจไม่ออกภายใต้มวลปุยนี้ นี่มันลึกซึ้งจริงๆ!

↑ บิ๊กแบง

อีกรูปแบบหนึ่งของการเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลที่รุนแรงกว่านั้นอาจเป็นรากฐานของการกำเนิดของจักรวาล ทุกวันนี้นักดาราศาสตร์และนักฟิสิกส์เกือบทั้งหมดเห็นด้วย ทฤษฎีบิ๊กแบง,ตามที่จักรวาลได้เริ่มต้นขึ้น

* ผู้ที่ชื่นชอบคณิตศาสตร์อาจต้องการอ่านหนังสือ "Math for the Curious" ของปีเตอร์ เอ็ม. ฮิกกินส์ (ปีเตอร์ เอ็ม. ฮิกกินส์.คณิตศาสตร์สำหรับผู้อยากรู้อยากเห็น 2541, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด, อ็อกซ์ฟอร์ด)

จากปริมาตรอันน้อยนิดอย่างเหลือเชื่อ จากนั้นเพียงเสี้ยววินาทีก็เพิ่มขนาดเป็นสองเท่า 100 เท่า ทำให้ดูเหมือนผลส้มโอลูกเล็กๆ ช่วงเวลาของ "โป่ง" หรือการเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลนี้สิ้นสุดลง ทำให้เกิดการเติบโตแบบเส้นตรง ในระหว่างที่ลูกไฟขยายตัวได้ก่อให้เกิดจักรวาลในปัจจุบัน

การเติบโตแบบก้าวกระโดดเป็นส่วนสำคัญของความคิดสร้างสรรค์ทุกประเภท บทเรียนที่น่าสนใจก็คือ การเติบโตแบบก้าวกระโดด คุณไม่จำเป็นต้องเริ่มต้นด้วยสิ่งที่ยิ่งใหญ่ จริงๆ แล้ว คุณสามารถเริ่มต้นด้วยสิ่งที่เล็กๆ น้อยๆ ได้ หากจักรวาลสามารถเริ่มต้นด้วยบางสิ่งที่เล็กมากจนเราไม่สามารถจินตนาการได้ และขยายไปสู่ขนาดที่ไม่มีที่สิ้นสุดในปัจจุบันจนไม่อาจจินตนาการได้ ปัจจัยของขนาดเริ่มต้นของธุรกิจใหม่ก็ถือว่าไม่เกี่ยวข้องโดยสิ้นเชิง ตัวบ่งชี้สำคัญคือช่วงการเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลตามด้วยช่วงการเติบโตเชิงเส้นที่นานขึ้น

^ ข้อสรุปจากแนวคิดการเติบโต

โอกาสที่ดีที่สุดสำหรับความคิดสร้างสรรค์และการเติบโตเกิดขึ้นในช่วงเวลาของความไม่สมดุล หรืออีกนัยหนึ่ง เมื่อถึงจุดเปลี่ยนและทันทีหลังจากนั้น

ความไม่สมดุลและจุดเปลี่ยนไม่ได้เกิดขึ้นอย่างกะทันหัน การอุ่นเครื่องเบื้องต้นมักจะมีช่วงเวลาหนึ่ง บางครั้งค่อนข้างยาวนาน เมื่อระบบที่มีอยู่แสดงสัญญาณของความไม่เสถียร และระบบใหม่ก็ได้รับความเข้มแข็งอย่างเงียบๆ ในทุกสิ่งที่เกี่ยวข้องกับเทคโนโลยีใหม่หรือผลิตภัณฑ์ประเภทใหม่ จุดเปลี่ยนจะเกิดขึ้นหลังจากที่นวัตกรรมได้รับการ "ลงทะเบียน" ในตลาดมวลชนเท่านั้น ซึ่งหมายความว่าการขายจะต้องเป็นไปตามเกณฑ์การทำกำไรแบบดั้งเดิม และลักษณะการปฏิวัติของการเปลี่ยนแปลง (ถ้ามี) จะต้องถูกอำพราง

ช่วงเวลาของการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วและการเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลที่สูงมักเกิดขึ้นได้ไม่นาน อีกไม่นานสมดุลใหม่จะถูกสร้างขึ้นด้วยเทคโนโลยีที่โดดเด่นใหม่และ/หรือสถานการณ์การแข่งขันใหม่ ดังนั้นความรู้สึกหลงใหลและความไม่แน่นอนที่ผิดปกติที่เกี่ยวข้องกับช่วงเวลาของความไม่สมดุล ดังนั้นผลประโยชน์พิเศษที่ผู้ที่สามารถยึดตำแหน่งที่โดดเด่นในช่วงเวลาอันสั้นนี้จึงได้รับ การครอบงำนี้เป็นผลมาจากการตลาดและการวางตำแหน่งที่ชาญฉลาดมากกว่าความเหนือกว่าของเทคโนโลยีเอง

นักประดิษฐ์ส่วนใหญ่ล้มเหลว เพื่อให้บรรลุความสำเร็จ พวกเขาจะต้อง "ข้ามช่องว่าง" หรือผ่านจุดเปลี่ยน และเจาะตลาดมวลชน ปัจจัยสำคัญที่นี่คือความเร่ง จนกว่าผลิตภัณฑ์หรือเทคโนโลยีใหม่จะเริ่มขยายตัวอย่างรวดเร็วก็มีโอกาสรอดน้อยมาก

^ เซย์กฎหมายอนุญาโตตุลาการทางเศรษฐกิจ

ในปี 1803 นักเศรษฐศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Jean-Baptiste Say (1767-1832) ได้ตีพิมพ์ผลงานที่โดดเด่นเรื่อง Treatise on Political Economy โธมัส เจฟเฟอร์สัน พูดเรื่องนี้เกี่ยวกับเธอ:

"ผลงานยอดเยี่ยม...จัดวางอย่างยอดเยี่ยม ชัดเจนในความคิด มีสไตล์ชัดเจน และงานทั้งหมดละเอียดอ่อนกว่าหนังสือของ [อดัม] สมิธถึงสองเท่า"*

บทความดังกล่าวประกอบด้วยนวัตกรรมที่น่าตกใจมากมาย รวมถึงคำว่า "ผู้ประกอบการ" และทฤษฎีแรกเกี่ยวกับการเก็งกำไรทางเศรษฐกิจ ซึ่งจัดทำขึ้นในประโยคเดียวกัน

ผู้ประกอบการย้ายทรัพยากรทางเศรษฐกิจจากพื้นที่ที่มีผลผลิตต่ำกว่าไปยังพื้นที่ที่มีผลผลิตสูงกว่าและได้รับประโยชน์จากมัน

ก่อนที่แนวคิดเรื่องผลตอบแทนจากการลงทุนจะแพร่หลาย Say ระบุว่าแนวคิดนี้เป็นหนึ่งในกลไกที่สำคัญที่สุดของความคิดสร้างสรรค์และความก้าวหน้าทางเศรษฐกิจ ทรัพยากรมีจำกัดตามคำจำกัดความ ดังนั้นการเติบโตจึงขึ้นอยู่กับการสำรวจและการใช้ประโยชน์จากทรัพยากรธรรมชาติน้อยกว่าขึ้นอยู่กับความสามารถที่จะเติบโตได้อย่างเต็มที่มากขึ้น

* โธมัส เจฟเฟอร์สันในจดหมายถึงโจเซฟ มิลลิแกน 6 เมษายน 1816 นี่เป็นบทความที่ยอดเยี่ยมและฉันใช้มันในรายงานของฉัน

การใช้ทรัพยากรแต่ละหน่วยอย่างมีประสิทธิภาพ นี่เป็นส่วนหนึ่งของหน้าที่ของเทคโนโลยีและเทคนิคที่ดีกว่า แต่ความสามารถของผู้ประกอบการในการนำทรัพยากรเหล่านั้นไปยังจุดที่มีประสิทธิผลมากที่สุดนั้นไม่สามารถลดหย่อนได้

^ หลักการความเป็นจริงของฟรอยด์

ในปี 1900 ซิกมันด์ ฟรอยด์ (1856-1939) ได้ตีพิมพ์ The Interpretation of Dreams และก่อตั้งวิทยาศาสตร์ใหม่ของจิตวิเคราะห์ หนึ่งในแนวคิดหลักของเขาคือ หลักการความเป็นจริง ยืนยันว่าสิ่งเดียวที่ขัดขวางเราไม่ให้ใช้คนอื่นเพื่อจุดประสงค์ที่เห็นแก่ตัวก็คือพวกเขาพยายามทำแบบเดียวกันกับเรา เมื่อต้องเผชิญกับความเป็นจริง (ความจริง) เราถูกบังคับให้ปรับตัวให้เข้ากับความต้องการของผู้อื่นและความต้องการของโลกภายนอกเพื่อที่จะสามารถตอบสนองสัญชาตญาณของเราเองได้

แนวคิดของฟรอยด์มีคุณค่าอย่างมากอย่างแน่นอน แต่จอร์จ เบอร์นาร์ด ชอว์ นักเขียนบทละครร่วมสมัยของเขาได้หักมุมกับแนวคิดเดียวกันนี้:

“คนที่มีเหตุผลจะปรับตัวเข้ากับโลก [ตามหลักความเป็นจริงของฟรอยด์]: คนที่ไม่มีเหตุผลจะพยายามปรับตัวให้เข้ากับโลกอย่างไม่ลดละ ดังนั้นความก้าวหน้าใดๆ ก็ตามขึ้นอยู่กับบุคคลที่ไม่มีเหตุผล”

ความคิดสร้างสรรค์และการเป็นผู้ประกอบการจำเป็นต้องได้รับการขับเคลื่อนด้วยแนวคิดใหม่ วิธีการใหม่ และแนวทางที่ไม่ฉลาด เฮนรี่ ฟอร์ดมีเหตุผลหรือไม่เมื่อเขายืนกรานว่าคนทำงานควรสามารถเข้าถึงรถยนต์ได้? เห็นได้ชัดว่าไม่ได้เป็นไปตามความต้องการ เนื่องจากความต้องการรถยนต์มีอยู่ในหมู่คนรวยเท่านั้น ฟอร์ดปฏิเสธที่จะยอมรับโลกที่อยู่รอบตัวเขา เขายังคงพยายามปรับโลกให้เข้ากับวิสัยทัศน์ของเขา ฟอร์ดลดต้นทุนของโมเดลทีจาก 850 ดอลลาร์ในปี พ.ศ. 2451 เหลือ 300 ดอลลาร์ในปี พ.ศ. 2465 โดยใช้สายการผลิตและมาตรฐานสูงสุด และประสบความสำเร็จในภารกิจ "ทำให้รถยนต์เป็นประชาธิปไตย"

^ ผู้ประกอบการที่ประสบความสำเร็จ

หนังสือปฐมกาลและทฤษฎีบิ๊กแบงเห็นพ้องต้องกันในเรื่องหนึ่ง นั่นคือ มีเพียงสิ่งเดียวเท่านั้นที่ถูกสร้างขึ้นดั้งเดิมของโลก ดังนั้นความก้าวหน้าจึงเป็นเพียงการจัดเรียงเงื่อนไขใหม่ ไม่มีอะไรใหม่ภายใต้ดวงอาทิตย์

มุมมองนี้ไม่ได้มืดมนแต่อย่างใด แต่ก็น่าให้กำลังใจ ความต้องการความเป็นอยู่ที่ดีของมนุษย์ก็คือการนำทรัพยากรจำนวนหนึ่งมาย้ายจากพื้นที่ที่มีผลผลิตต่ำไปยังพื้นที่ที่มีผลผลิตสูง

ความก้าวหน้าทางเศรษฐกิจทั้งหมดขึ้นอยู่กับการเก็งกำไรทางเศรษฐกิจประเภทนี้ นี่เป็นข่าวดี การมีส่วนร่วมในการเก็งกำไรนั้นง่ายกว่าความคิดสร้างสรรค์ ทุกคนควรจะสามารถคิดสิ่งที่จะได้ประโยชน์จากการเก็งกำไรทางเศรษฐกิจ จากการระบุทรัพยากรที่สามารถนำมาใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้น

ผู้ประกอบการที่แท้จริงไม่รอให้นักวิจัยตลาดมาบอกว่าต้องทำอย่างไร พวกเขามีวิสัยทัศน์ของตนเองว่าจะทำอะไรให้ดีขึ้นและแตกต่างออกไปได้อย่างไร พวกเขาพัฒนาวิธีการที่จะประสบความสำเร็จมากขึ้นโดยใช้ความพยายามน้อยลง พวกเขาแลกเปลี่ยนการใช้ทรัพยากรที่มีกำไรน้อยกับทรัพยากรที่ทำกำไรได้มากกว่า และยังคงยืนหยัดและไม่มีเหตุผลจนกว่าโลกจะยอมรับมุมมองของพวกเขา

^ กฎแห่งผลตอบแทนที่ลดลง

หนึ่งในแนวคิดที่มีอิทธิพลและได้รับความนิยมมากที่สุดเกี่ยวกับวิธีการทำงานของตลาดและองค์กรคือ กฎแห่งผลตอบแทนที่ลดลงซึ่งคิดค้นขึ้นราวปี ค.ศ. 1767 โดยนักเศรษฐศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Robert Jacques Turgot

กฎหมายระบุว่าหลังจากจุดหนึ่งผลตอบแทนจากความพยายามหรือการลงทุนเพิ่มเติมลดลงนั่นคือมูลค่าที่เพิ่มขึ้นจะลดลง สำหรับผู้ที่หิวโหย ขนมปังหนึ่งก้อนมีคุณค่ามาก มูลค่าของก้อนที่สองนั้นน้อยกว่า ประการที่สิบจะไม่มีค่าใด ๆ เลยอีกต่อไป หากคุณจ้างเกษตรกรเพิ่มเติมหลายคนเพื่อเพาะปลูกที่ดินผืนเดียว เมื่อถึงจุดหนึ่งแล้ว กฎแห่งผลตอบแทนที่ลดลงก็จะเข้ามามีบทบาท

หนึ่งร้อยปีต่อมา นักเศรษฐศาสตร์คลาสสิกชาวอังกฤษ นำโดยอัลเฟรด มาร์แชล ได้ขยายแนวคิดนี้ไปยังตลาดและบริษัทต่างๆ ผลิตภัณฑ์หรือบริษัทชั้นนำของตลาดติดอยู่กับผลตอบแทนที่ลดลง ราคาในธุรกิจขนาดใหญ่ - ส่วนแบ่งการตลาดขนาดใหญ่, โรงงานขนาดใหญ่, ความหลากหลาย - จุดสูงสุดแล้วลดลง นั่นฟังดูสมเหตุสมผลทีเดียว

แต่นักเศรษฐศาสตร์คลาสสิกไปไกลกว่านั้น พวกเขาระบุว่าไม่ช้าก็เร็วจะบรรลุความสมดุลที่คาดการณ์ได้ของราคาและส่วนแบ่งการตลาด และการแข่งขันที่ยุติธรรมในความร่วมมือกับกฎแห่งผลตอบแทนที่ลดลงจะนำไปสู่ความเป็นไปไม่ได้ที่จะทำกำไรส่วนเกินในท้ายที่สุด ทฤษฎีนี้แสดงให้เห็นถึงการควบคุมตลาดของรัฐบาล - หากผลกำไรสูงมาก นั่นหมายความว่ามีเพียงสิ่งเดียวเท่านั้น: ผู้ผูกขาดกำลังทำให้ราคาสูงเกินจริงและป้องกันการแข่งขันที่ยุติธรรม

ความสัมพันธ์เลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่มีประโยชน์สำหรับการอธิบายกระบวนการที่จำนวนองค์ประกอบเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างรวดเร็ว มีตัวอย่างมากมายของการพึ่งพาอาศัยกันในด้านชีววิทยา ฟิสิกส์ เศรษฐศาสตร์ การแพทย์ และกิจกรรมอื่นๆ ของมนุษย์

คำจำกัดความของการพึ่งพาแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล

เพื่อที่จะเข้าใจว่าคำว่า "ปริมาณนี้เพิ่มขึ้นแบบทวีคูณ" หรือ "กระบวนการนี้มีลักษณะเฉพาะด้วยการสลายตัวแบบเอกซ์โปเนนเชียล" หมายความว่าอย่างไร จำเป็นต้องพิจารณาแนวคิดของฟังก์ชันเลขชี้กำลังด้วย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้จำนวนบวก “a” ซึ่งไม่เท่ากับ 1 แล้วยกกำลัง “x” ในขณะที่ตัวแปร x สามารถมีทั้งค่าบวกและค่าลบ แต่ไม่ควรเท่ากับศูนย์ ลองใช้จำนวนคงที่ k (ค่าคงที่) ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์ด้วย ตอนนี้ เรามาแนะนำฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ f(x) = k*a x กันดีกว่า การเพิ่มจำนวนบวก "a" ยกกำลัง "x" คือความสัมพันธ์แบบเอ็กซ์โพเนนเชียล และฟังก์ชัน f(x) เองก็เรียกว่าเลขชี้กำลัง ในฟังก์ชัน f(x) ตัวเลข "a" เรียกว่าฐาน และ "x" คือตัวแปรอิสระ

โปรดทราบว่าในทางคณิตศาสตร์ ฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง "a" มักจะปรากฏขึ้น ซึ่งมีค่าประมาณเท่ากับ 2.718 หมายเลขนี้แสดงด้วยตัวอักษรละติน "e" และเรียกว่าหมายเลขของออยเลอร์ ตัวเลขที่ระบุไว้มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับขีดจำกัด เช่นเดียวกับในกระบวนการทางกายภาพหลายอย่างในธรรมชาติ เช่น ความกดอากาศที่มีความสูงบนโลกของเราลดลงตามกฎเลขชี้กำลัง ซึ่งใช้เลขออยเลอร์เป็นพื้นฐาน

พล็อตเอ็กซ์โปเนนเชียล

ลองพิจารณาคุณสมบัติของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล y = a x เพื่อจุดประสงค์นี้เราจึงหันไปดูกราฟที่แสดงด้านบน คุณสมบัติที่สำคัญประการแรกคือ ไม่ว่าฟังก์ชันนี้จะแสดงฐาน "a" ใดก็ตาม ฟังก์ชันนั้นจะผ่านจุดที่มีพิกัด (0,1) เสมอ เนื่องจาก 0 = 1

จากกราฟของการพึ่งพาเอ็กซ์โปเนนเชียลก็ชัดเจนว่าฟังก์ชัน a x สำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปร "x" รับเฉพาะค่าบวกเท่านั้น สำหรับค่าลบขนาดใหญ่ของ "x" ฟังก์ชันจะเข้าใกล้แกน x อย่างรวดเร็วนั่นคือมีแนวโน้มเป็นศูนย์ ในทางกลับกันที่ค่าบวกเล็กน้อยของ "x" ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วในขณะที่อัตราการเพิ่มขึ้นของมันจะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องตามกฎเลขชี้กำลังซึ่งสามารถแสดงได้หากเราใช้อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่เป็นปัญหา ( (a x)" = ln(a)*a x โดยที่ ln(a) คือลอการิทึมธรรมชาติ)

ดังนั้น การพึ่งพาแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลคือการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วของค่าหนึ่งๆ ทั้งในทิศทางที่เพิ่มขึ้นและในทิศทางที่ลดลง

ตัวอย่างจากประวัติหมากรุก

การสาธิตที่ดีถึงความสำคัญของการเติบโตแบบทวีคูณของวัตถุคือตำนานโบราณที่เกี่ยวข้องกับการประดิษฐ์หมากรุก ตามตำนานนี้ เพื่อความบันเทิงของกษัตริย์ฮินดูองค์หนึ่งซึ่งมีชื่อว่า Belkib เพื่อนสนิทของเขา Brahman Sissa ได้คิดค้นเกมกระดานหมากรุกเมื่อ 3,000 ปีก่อนคริสตกาล

กษัตริย์ทรงมีความสุขมากกับเกมใหม่นี้ พระองค์สัญญาว่าจะมอบทุกสิ่งที่ซิสซาต้องการ ครั้งนั้น พราหมณ์สิสสะเสนอให้ถวายข้าวให้พอๆ กับช่องหมากรุก 64 ช่อง ขณะที่ช่องที่ 1 ทรงใส่เมล็ดข้าว 1 เม็ด บนเมล็ดที่ 2-2 เมล็ดที่ 3-4 เป็นต้นไป เพิ่มเป็นสองเท่าในแต่ละครั้ง . เบลคิบไม่เข้าใจในทันทีว่าเขาจะต้องให้ธัญพืชจำนวนเท่าใด เขาจึงยอมรับข้อเสนอของเพื่อนโดยไม่ต้องคิด

จำนวนเมล็ดที่สามารถวางบนกระดานหมากรุกตามหลักการที่อธิบายไว้คือ 2 64 = 18 446 744 073 709 551 616 - ใหญ่โตตัวเลข!

การเติบโตของประชากรโลก

อีกตัวอย่างที่ชัดเจนของกระบวนการที่อธิบายตามการพึ่งพาแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลคือการเติบโตของประชากรโลก ดังนั้น ในปี ค.ศ. 1500 ประชากรโลกอยู่ที่ประมาณ 500 ล้านคน ในปี ค.ศ. 1800 กล่าวคือ หลังจากผ่านไป 300 ปี ก็เพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าและกลายเป็น 1 พันล้านคน ในเวลาไม่ถึง 50 ปีผ่านไป และประชากรของโลกก็เกิน 2 พันล้านเครื่องหมาย ซึ่งปัจจุบันคือจำนวน ประชากร มีผู้คน 7.5 พันล้านคนบนโลกนี้

การเติบโตของประชากรที่อธิบายไว้ในตัวอย่างของมนุษยชาตินั้นเป็นเรื่องปกติสำหรับสายพันธุ์ทางชีววิทยาใดๆ ไม่ว่าจะเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมหรือแบคทีเรียเซลล์เดียว ในทางคณิตศาสตร์ การเติบโตนี้อธิบายได้ด้วยสูตรต่อไปนี้: N t = N 0 *e k*t โดยที่ N t และ N 0 คือขนาดประชากร ณ เวลา t และศูนย์ ตามลำดับ k คือสัมประสิทธิ์เชิงบวกบางส่วน แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของการเติบโตของประชากรนี้เรียกว่าการพึ่งพาแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลในระบบนิเวศ

การเติบโตแบบทวีคูณของประชากรโลกทำให้นักเศรษฐศาสตร์และนักประชากรศาสตร์ชาวอังกฤษผู้โด่งดัง โทมัส โรเบิร์ต มัลธัส นึกถึงเมื่อต้นศตวรรษที่ 19 นักวิทยาศาสตร์เคยทำนายว่าในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 จะเกิดความอดอยากบนโลก เนื่องจากการผลิตอาหารเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรง ในขณะที่จำนวนผู้คนบนโลกเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณ มัลธัสเชื่อว่าวิธีเดียวที่จะบรรลุความสมดุลในระบบที่อยู่ระหว่างการพิจารณาคือการเสียชีวิตจำนวนมากที่เกิดจากสงคราม โรคระบาด และภัยพิบัติอื่นๆ

ดังที่คุณทราบ นักวิทยาศาสตร์คนนี้ผิดในการทำนายที่มืดมนของเขา อย่างน้อยเขาก็ผิดกับวันที่ที่ระบุ

อายุของซากทางโบราณคดี

ตัวอย่างที่เด่นชัดอีกประการหนึ่งของกระบวนการทางธรรมชาติที่เกิดขึ้นตามกฎเลขชี้กำลังคือการสลายตัวของธาตุกัมมันตภาพรังสี ปรากฏการณ์ทางกายภาพนี้ซึ่งประกอบด้วยการเปลี่ยนนิวเคลียสของธาตุหนักให้เป็นนิวเคลียสของธาตุที่เบากว่า อธิบายได้ด้วยสูตรทางคณิตศาสตร์ต่อไปนี้: N t = N 0 *e -k*t โดยที่ N t และ N 0 คือจำนวนของ นิวเคลียสของธาตุที่หนักกว่า ณ เวลา t และ ณ วินาทีแรก ตามลำดับ จากสูตรนี้เป็นที่ชัดเจนว่าในทางปฏิบัติแล้วคล้ายคลึงกับการเติบโตของประชากรทางชีววิทยา ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือเครื่องหมายลบในเลขชี้กำลัง ซึ่งบ่งชี้ถึงการลดลงของนิวเคลียสหนัก

สูตรที่ระบุไว้นี้ใช้เพื่อกำหนดอายุของหินและสิ่งมีชีวิตที่เป็นฟอสซิล ในกรณีหลังนี้พวกมันทำงานกับไอโซโทปคาร์บอน 14 C เนื่องจากครึ่งชีวิตของมัน (เวลาที่นิวเคลียสหนักเริ่มต้นลดลงครึ่งหนึ่ง) ค่อนข้างสั้น (5,700 ปี)

กระบวนการอื่นๆ ที่เป็นไปตามกฎเอ็กซ์โปเนนเชียล

การพึ่งพาแบบเอกซ์โพเนนเชียลอธิบายกระบวนการต่างๆ มากมายในเศรษฐศาสตร์ เคมี และการแพทย์ ตัวอย่างเช่น ปริมาณยาที่เข้าสู่ร่างกายมนุษย์ลดลงเมื่อเวลาผ่านไปตามกฎเอ็กซ์โปเนนเชียล ในทางเศรษฐศาสตร์ กำไรจากการลงทุนซึ่งขึ้นอยู่กับเงินทุนเริ่มต้นที่แน่นอน จะถูกคำนวณตามกฎเลขชี้กำลังด้วย

เลขยกกำลังคือตัวเลขที่แสดงจำนวนครั้งที่ต้องคูณด้วยตัวมันเอง ตัวอย่างเช่น ถ้าเลขชี้กำลังคือ 3 และขนาดคือ 4 นิพจน์ 4 3 จะหมายถึง 4 x 4x4 ซึ่งก็คือ 64 นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ เวลา 2วิธี ที่เอ็กซ์ ที่และเลข 2 คือเลขชี้กำลัง

หากการเติบโตของประชากรเป็นสัดส่วนกับจำนวนบุคคล ขนาดของประชากรก็จะเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณ

คำว่า "การเติบโตแบบทวีคูณ" รวมอยู่ในพจนานุกรมของเราเพื่อหมายถึงการเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว ซึ่งมักจะควบคุมไม่ได้ มักใช้เพื่ออธิบายการเติบโตอย่างรวดเร็วของเมืองหรือการเพิ่มขึ้นของจำนวนประชากร อย่างไรก็ตาม ในทางคณิตศาสตร์ คำนี้มีความหมายที่ชัดเจนและแสดงถึงการเติบโตบางประเภท

การเติบโตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเกิดขึ้นในประชากรเหล่านั้น โดยการเพิ่มขึ้นของประชากร (จำนวนการเกิดลบด้วยจำนวนการเสียชีวิต) จะเป็นสัดส่วนกับจำนวนบุคคลในประชากร ตัวอย่างเช่น สำหรับประชากรมนุษย์ อัตราการเกิดจะเป็นสัดส่วนโดยประมาณกับจำนวนคู่การสืบพันธุ์ และอัตราการตายจะเป็นสัดส่วนโดยประมาณกับจำนวนคนในประชากร (เรียกมันว่า N) จากนั้นให้ประมาณอย่างสมเหตุสมผล

การเติบโตของประชากร = จำนวนการเกิด - จำนวนการเสียชีวิต

(ในที่นี้ r คือสิ่งที่เรียกว่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน ซึ่งช่วยให้เราสามารถเขียนนิพจน์สัดส่วนเป็นสมการได้)

ให้ dN เป็นจำนวนบุคคลที่บวกเข้ากับประชากรในช่วงเวลา dt จากนั้นหากมีจำนวนบุคคลทั้งหมด N คนในประชากร เงื่อนไขสำหรับการเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลจะเป็นที่พอใจหาก

เนื่องจากไอแซก นิวตันคิดค้นแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ในศตวรรษที่ 17 เราจึงรู้วิธีแก้สมการนี้สำหรับ N ซึ่งเป็นขนาดของประชากรในช่วงเวลาหนึ่งๆ (สำหรับการอ้างอิง: สมการดังกล่าวเรียกว่าอนุพันธ์) ต่อไปนี้เป็นวิธีแก้ปัญหา:

โดยที่ N 0 คือจำนวนบุคคลในประชากรเมื่อเริ่มต้นการนับถอยหลัง และ t คือเวลาที่ผ่านไปตั้งแต่วินาทีนี้ สัญลักษณ์ e หมายถึงจำนวนพิเศษนี้ เรียกว่าฐานของลอการิทึมธรรมชาติ (และมีค่าประมาณเท่ากับ 2.7) และด้านขวาทั้งหมดของสมการเรียกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

เพื่อให้เข้าใจได้ดีขึ้นว่าการเติบโตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลคืออะไร ลองจินตนาการถึงประชากรที่เริ่มแรกประกอบด้วยแบคทีเรียเพียงตัวเดียว หลังจากช่วงระยะเวลาหนึ่ง (ไม่กี่ชั่วโมงหรือนาที) แบคทีเรียจะแบ่งตัวออกเป็นสองส่วน ทำให้ขนาดประชากรเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า หลังจากช่วงระยะเวลาถัดไป แบคทีเรียทั้งสองชนิดนี้แต่ละตัวจะแยกออกเป็นสองส่วนอีกครั้ง และขนาดประชากรก็จะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าอีกครั้ง ตอนนี้จะมีแบคทีเรียสี่ตัว หลังจากการเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าจะมีแบคทีเรียมากกว่าหนึ่งพันตัวหลังจากยี่สิบ - มากกว่าหนึ่งล้านและอื่น ๆ หากประชากรเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าในแต่ละการแบ่ง การเติบโตของประชากรก็จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนด

มีตำนาน (มีแนวโน้มว่าไม่เป็นความจริง) ว่าชายผู้ประดิษฐ์หมากรุกให้ความสุขแก่สุลต่านจนสัญญาว่าจะทำตามคำขอของเขาให้สำเร็จ ชายคนนั้นขอให้สุลต่านวางเมล็ดข้าวสาลีหนึ่งเมล็ดไว้ที่สี่เหลี่ยมแรกของกระดานหมากรุก สองเมล็ดบนกระดานหมากรุกที่สอง สี่เมล็ดบนกระดานที่สาม และอื่นๆ สุลต่านทรงพิจารณาว่าข้อเรียกร้องนี้ไม่สำคัญเมื่อเทียบกับบริการที่พระองค์ทรงมอบให้ จึงทรงขอให้ผู้ใต้บังคับบัญชาเสนอคำขอใหม่ แต่เขาปฏิเสธ โดยธรรมชาติแล้วเมื่อเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าครั้งที่ 64 จำนวนธัญพืชก็เพิ่มขึ้นจนทั่วโลกมีข้าวสาลีไม่เพียงพอที่จะสนองความต้องการนี้ ในเวอร์ชันของตำนานที่ฉันรู้จัก สุลต่านในขณะนั้นได้สั่งให้ตัดศีรษะของนักประดิษฐ์ออก คติสอนใจอย่างที่ฉันบอกนักเรียนคือ: บางครั้งคุณก็ไม่ควรฉลาดเกินไป!

ตัวอย่างกระดานหมากรุก (เช่นเดียวกับแบคทีเรียในจินตนาการ) แสดงให้เราเห็นว่าไม่มีประชากรคนใดสามารถเติบโตได้ตลอดไป ไม่ช้าก็เร็วทรัพยากรก็จะหมด - พื้นที่ พลังงาน น้ำ อะไรก็ตาม ดังนั้นประชากรจึงสามารถเติบโตแบบทวีคูณได้เพียงชั่วระยะเวลาหนึ่งเท่านั้น และไม่ช้าก็เร็วการเติบโตของพวกเขาก็จะต้องชะลอตัวลง ในการดำเนินการนี้ คุณจะต้องเปลี่ยนสมการเพื่อที่ว่าเมื่อขนาดประชากรเข้าใกล้ค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ (ซึ่งสภาพแวดล้อมภายนอกสามารถรองรับได้) อัตราการเติบโตจะช้าลง ลองเรียกขนาดประชากรสูงสุดนี้ว่า K จากนั้นสมการที่แก้ไขจะมีลักษณะดังนี้:

dN = rN(1 - (N/K)) dt

เมื่อ N น้อยกว่า K มาก เทอม N/K อาจถูกละเลย และเรากลับไปสู่สมการดั้งเดิมของการเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลแบบธรรมดา อย่างไรก็ตาม เมื่อ N เข้าใกล้ค่าสูงสุด K ค่า 1 - (N/K) มีแนวโน้มเป็นศูนย์ และด้วยเหตุนี้การเติบโตของประชากรจึงมีแนวโน้มเป็นศูนย์ ขนาดประชากรทั้งหมดในกรณีนี้จะคงที่และยังคงอยู่ที่ระดับ K เส้นโค้งที่อธิบายโดยสมการนี้รวมถึงสมการเองนั้นมีหลายชื่อ - เส้นโค้ง S, สมการลอจิสติก, สมการโวลแตร์รา, สมการ Lotka-Volterra (Vito Volterra (1860–1940) เป็นนักคณิตศาสตร์และครูผู้มีชื่อเสียงชาวอิตาลี Alfred Lotka (1880–1949) เป็นนักคณิตศาสตร์และนักวิเคราะห์ประกันภัยชาวอเมริกัน) ไม่ว่าจะเรียกอะไรก็ตาม มันเป็นการแสดงออกที่ค่อนข้างง่ายของขนาดของประชากรที่เพิ่มขึ้น ทวีคูณอย่างรวดเร็วแล้วชะลอตัวลงเมื่อเข้าใกล้ขีดจำกัดที่กำหนด และมันสะท้อนถึงการเติบโตของประชากรจริงได้ดีกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังปกติมาก

วิชา: ยางหน้าหนาว.
ภูมิภาค: ยูเครน
ขอบ: 13%. ช่วงโปรโมชั่น: 1.09 - 31.12 ปี 2555 กับ 1.09 - 31.12 ปี 2556
การใช้จ่าย: 42,389 UAH เทียบกับ 131,341 UAH (รวมค่านายหน้าแล้ว)

แม้ว่าฉันจะไม่ใช่นักคณิตศาสตร์จากการฝึกฝน แต่ฉันมีความหลงใหลในวิทยาศาสตร์นี้ ดังนั้นบทความนี้จะใช้คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนบางคำเมื่อมองแวบแรก

จุดประสงค์ของบทความนี้คือเพื่อพูดคุยเกี่ยวกับปรากฏการณ์ที่น่าสงสัยอย่างหนึ่ง: ด้วยการเพิ่มงบประมาณการโฆษณาของคุณเป็นสองเท่า คุณจะเริ่มมีรายได้ไม่มากเป็นสองเท่า แต่เป็น 2.5, 3 เป็นต้น มากขึ้นครั้ง แน่นอนจนถึงจุดหนึ่ง ปรากฏการณ์ทางคณิตศาสตร์นี้เรียกว่าการเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล ตัวอย่างของการเติบโตแบบทวีคูณคือการเพิ่มจำนวนแบคทีเรียในอาณานิคมก่อนที่ทรัพยากรจะถูกจำกัด

พวกคุณที่เคยเจอดอกเบี้ยทบต้น เช่น เมื่อคำนวณรายได้จากเงินฝาก จะเข้าใจทันทีว่าเรากำลังพูดถึงอะไร เนื่องจากดอกเบี้ยทบต้นเป็นเพียงอีกตัวอย่างหนึ่งของการเติบโตแบบทวีคูณ หากคุณไม่ถอนเงินสะสมออกจากเงินฝาก การเติบโตของรายได้จะไม่เป็นเชิงเส้นแต่เป็นทวีคูณ เช่นเดียวกับการเติบโตของรายได้จากการขาย: ด้วยงบประมาณการโฆษณาที่เพิ่มขึ้น รายได้ก็เติบโตแบบทวีคูณ ภายในกรอบของบทความนี้ ผมอยากจะอธิบายปรากฏการณ์อีกอย่างหนึ่ง เป็นเพราะปรากฏการณ์นี้ที่แผนกโฆษณาตามบริบทไม่ได้ถูกเรียกอย่างนั้นอีกต่อไป แต่ถูกเรียกว่าแผนกจราจรแบบชำระเงิน เรากำลังพูดถึงผลการทำงานร่วมกัน

ผลการทำงานร่วมกันคืออะไร? ลองจินตนาการถึงสถานการณ์ในอุดมคติ: มีร้านค้าออนไลน์สำหรับการโปรโมตในเดือนแรกมีการใช้เฉพาะการโฆษณาตามบริบทซึ่งนำมาซึ่งยอดขาย 20 ครั้งและในเดือนที่สองมีการใช้การโปรโมต SEO เท่านั้นซึ่งนำมาซึ่งยอดขาย 20 ครั้งด้วย ในเดือนที่สามมีการใช้ทั้งการโฆษณาตามบริบทและ SEO ซึ่งท้ายที่สุดไม่ได้ให้ยอดขาย 40 ครั้ง แต่ได้ 50 ครั้ง นี่คือผลการทำงานร่วมกัน: สถานการณ์ที่การโต้ตอบของปัจจัยสองตัวขึ้นไปทำให้ผลลัพธ์เพิ่มขึ้นมากกว่าแต่ละปัจจัยเหล่านี้ สามารถผลิตแยกกันได้

การใช้ช่องทางการโฆษณาตั้งแต่ 2 ช่องทางขึ้นไปพร้อมกันทำให้เราได้รับผลตอบแทนที่มากขึ้น เมื่อทราบโดยตรงเกี่ยวกับผลการทำงานร่วมกัน นักการตลาดอินเทอร์เน็ตของเราจึงมุ่งมั่นที่จะใช้ช่องทางการโฆษณาให้ได้มากที่สุด เราขอแนะนำให้จดเคล็ดลับเล็กๆ น้อยๆ นี้ไว้ :) ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างเฉพาะที่จะอธิบายทั้งหมดข้างต้น - กรณีของบริการ "จราจรแบบชำระเงิน" ในหัวข้อเรื่องยาง

ฉันจะแนบภาพหน้าจอใหม่จาก Google Analytics ทันที เนื่องจากฉันรู้ว่าผู้อ่านกรณีนี้ชื่นชอบพวกเขามาก:

กรณีนี้สะท้อนถึงผลลัพธ์เพิ่มเติมของงานในโครงการซึ่งกรณีที่ฉันโพสต์เมื่อปีที่แล้ว ลองเปรียบเทียบสองปีนี้ดู เริ่มต้นด้วยการเปรียบเทียบค่าใช้จ่ายของแต่ละฤดูกาล - ปี 2555 และ 2556 (โดยฤดูกาลฉันหมายถึงช่วงเวลาตั้งแต่วันที่ 1 กันยายนถึง 31 ธันวาคม):

การโฆษณาในบริษัทรวบรวมราคา
การโฆษณาตามบริบท

ในฤดูกาล 2012 มีการใช้โฆษณาใน Google Ads และจัดวางในรายการราคาสองรายการ: Yandex.Market และ Hotline.ua ในฤดูกาลที่คล้ายกันของปี 2013 โฆษณาได้ถูกนำมาใช้แล้วใน Google Ads, Yandex.Direct และผู้รวบรวมราคา 10 ราย การใช้ช่องทางโฆษณาเพิ่มเติมทำให้ต้นทุนเพิ่มขึ้นเกือบ 310% ตอนนี้เรามาดูกันว่ารายได้ของโครงการเพิ่มขึ้นอย่างไรโดยค่าโฆษณาเพิ่มขึ้น 310%:

ดังนั้นเราจะเห็นว่าการเพิ่มต้นทุนการโฆษณา 310% ไม่ได้ทำให้รายได้ของลูกค้าเพิ่มขึ้น 310% แต่เพิ่มขึ้น 573% มหัศจรรย์ใช่มั้ยล่ะ! นั่นคือการเติบโตของรายได้เมื่อเปรียบเทียบกับการใช้จ่ายนั้นไม่ได้เกิดขึ้นเป็นเส้นตรง แต่เป็นแบบทวีคูณ

แน่นอนว่าการได้รับผลลัพธ์ดังกล่าวมีผลการทำงานร่วมกัน

ลองดูการเติบโตของกำไรขั้นต้น:

ให้เราแสดงให้เห็นว่าจำนวนธุรกรรมเพิ่มขึ้นอย่างไร:

ภาพหน้าจอนี้ช่วยให้เราสามารถสรุปเกี่ยวกับสถานการณ์ด้วยเช็คโดยเฉลี่ยได้ หากรายได้เพิ่มขึ้น 573% และจำนวนยอดขายเพิ่มขึ้น 557% ก็ชัดเจนว่าเช็คเฉลี่ยเพิ่มขึ้นเล็กน้อย

มีข้อมูลเกี่ยวกับรายได้จาก Google Analytics ค่าใช้จ่ายและส่วนต่าง มาคำนวณตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพที่สำคัญที่สุด - ROMI (ผลตอบแทนจากการลงทุนทางการตลาด) โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ROMI = ((รายได้ × มาร์จิ้น) - ค่าใช้จ่ายลูกค้า) / ค่าใช้จ่ายลูกค้า

ดังนั้น เรามาเปรียบเทียบผลลัพธ์ ROMI ของทั้งสองฤดูกาลกัน:

สิ่งสำคัญที่ควรทราบคือเมื่อคำนวณ ROMI เราคำนึงถึงเฉพาะรายได้ที่ Google Analytics แสดงซึ่งหมายความว่าเราไม่ได้คำนึงถึงอีก 80% ของยอดขายที่ทำทางโทรศัพท์นั่นคือเราคำนึงถึงเท่านั้น 20% ของรายได้ลูกค้าที่ได้รับ - นี่เป็นเพียงส่วนที่ 5

สถานการณ์ที่น่าสนใจมากเกิดขึ้นเมื่อเราคำนวณ ROMI โดยคำนึงถึง 80% ของคำสั่งซื้อทางโทรศัพท์ ในการทำเช่นนี้ ให้คูณรายได้ของเราด้วย 5 แล้วนับตามปกติ:

การเติบโตของ ROMI ตามรายได้ที่ใกล้เคียงกับความเป็นจริงดูน่าสนใจยิ่งขึ้น อย่างไรก็ตาม มันไม่ได้เป็นเพียงเรื่องของ ROMI เท่านั้น แต่ยังเป็นมูลค่าการซื้อขายที่เพิ่มขึ้นอีกด้วย ลูกค้าเพิ่มขึ้นอย่างมาก -> ยอดขายเพิ่มขึ้นอย่างมาก

อีกครั้งกับผลงานของฤดูกาล 2013

ค่าใช้จ่ายลูกค้า: 131,341 อูเอห์ (รวมค่านายหน้าแล้ว) ขอบ: 13%. จำนวนธุรกรรม: 880. รายได้จาก Google Analytics: 1,317,166.2 UAH กำไรขั้นต้น (รวมคำสั่งซื้อทางโทรศัพท์): 856,158 UAH ROMI ตามกำไรขั้นต้น (รวมถึงการสั่งซื้อทางโทรศัพท์) : 551,86%.

แน่นอนว่าผลลัพธ์ที่ได้นั้นยังห่างไกลจากขีดจำกัด: มีพื้นที่สำหรับเพิ่มงบประมาณการโฆษณา > มีพื้นที่สำหรับรายได้ของลูกค้าที่จะเติบโต ฤดูกาลหน้าเราจะใช้ช่องทางโฆษณาเพิ่มเติมแน่นอน (จำนวนคงไม่มีสิ้นสุด)

หนึ่งในคุณสมบัติที่ต้องมีของฤดูกาลใหม่คือการใช้เครื่องมือติดตามคำสั่งซื้อทางโทรศัพท์ ifTheyCall นี่เป็นผลิตภัณฑ์ใหม่จาก Netpeak ซึ่งเราไม่มีเวลาใช้ในช่วงเดือนกันยายน-ธันวาคม 2556 เครื่องมือนี้จะช่วยให้คุณประเมินผลกระทบของแต่ละช่องทางการโฆษณาได้แม่นยำยิ่งขึ้น กระจายงบประมาณของคุณใหม่ และมีประสิทธิภาพมากยิ่งขึ้น

ฉันจะนำเสนอผลลัพธ์ในรูปแบบรูปภาพ

ดังที่คุณเห็นจากกราฟ จุดคุ้มทุนอยู่ด้านล่าง จนถึงจุดนี้ การลงทุนในการโฆษณาจะไม่ได้รับผลตอบแทน ตัวอย่างเช่น หากคุณใช้จ่าย 100 UAH เพื่อให้ได้ 100 คลิก - ความน่าจะเป็นในการขายที่จะชดใช้การลงทุนเหล่านี้นั้นแทบจะเท่ากับ 0 จุดที่สองบนกราฟคือจุดที่เหมาะสมที่สุด (ลองเรียกมันว่า) - นี่คือเมื่อคุณลงทุนจำนวนเงินสูงสุดใน โฆษณาและรับรายได้สูงสุด หลังจากจุดนี้ จะมีการเปลี่ยนแปลงไปสู่ความอิ่มตัว นั่นคือ ตลาดอิ่มตัว ผู้มีโอกาสเป็นผู้ซื้อทั้งหมดจะถูกโฆษณาปกคลุม และการลงทุนที่เพิ่มขึ้นในการโฆษณาจะไม่ส่งผลให้รายได้เพิ่มขึ้นอีกต่อไป หากงบประมาณการโฆษณาของคุณต่ำกว่าจุดคุ้มทุน การลงทุนในการโฆษณาเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า รายได้ของคุณจะเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณจนกว่าคุณจะถึงจุดที่เหมาะสม

การทำงานร่วมกันจากการใช้ช่องทางโฆษณาตั้งแต่ 2 ช่องทางขึ้นไปพร้อมกัน:

สิ่งที่ยังต้องเพิ่มลงในภาพประกอบนี้คือลองใช้ช่องทางการโฆษณาใหม่ๆ :)