วิธีการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูโดยพิจารณาจากด้านทั้งสี่ด้าน พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู: วิธีการคำนวณสูตร

ในทางคณิตศาสตร์ รู้จักรูปสี่เหลี่ยมหลายประเภท: สี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สี่เหลี่ยมด้านขนาน หนึ่งในนั้นคือรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนชนิดหนึ่งซึ่งมีด้านสองด้านขนานกันและอีกสองด้านไม่ขนานกัน ด้านตรงข้ามที่ขนานกันเรียกว่าฐาน และอีกสองด้านเรียกว่าด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้างเรียกว่าเส้นกึ่งกลาง สี่เหลี่ยมคางหมูมีหลายประเภท: หน้าจั่ว, สี่เหลี่ยม, โค้ง สี่เหลี่ยมคางหมูแต่ละประเภทมีสูตรการหาพื้นที่

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู

ในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู คุณจำเป็นต้องรู้ความยาวของฐานและความสูงของมัน ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นส่วนตั้งฉากกับฐาน ให้ฐานบนเป็น a ฐานล่างเป็น b และความสูงเป็น h จากนั้นคุณสามารถคำนวณพื้นที่ S โดยใช้สูตร:

S = ½ * (a+b) * ชม

เหล่านั้น. นำผลรวมของฐานคูณด้วยความสูงครึ่งหนึ่ง

นอกจากนี้ยังสามารถคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูได้หากทราบความสูงและเส้นกึ่งกลาง ให้เราแสดงเส้นกลาง - ม. แล้ว

มาแก้ปัญหาที่ซับซ้อนกว่านี้กันดีกว่า: รู้จักความยาวของด้านทั้งสี่ของสี่เหลี่ยมคางหมู - a, b, c, d จากนั้นหาพื้นที่ได้โดยใช้สูตร:

ถ้าทราบความยาวของเส้นทแยงมุมและมุมระหว่างเส้นทแยงมุม พื้นที่จะถูกค้นหาดังนี้

S = ½ * d1 * d2 * บาป α

โดยที่ d ที่มีดัชนี 1 และ 2 เป็นเส้นทแยงมุม ในสูตรนี้ คำนวณไซน์ของมุม

เมื่อพิจารณาความยาวที่ทราบของฐาน a และ b และมุมสองมุมที่ฐานล่าง พื้นที่จะถูกคำนวณดังนี้

S = ½ * (b2 - a2) * (บาป α * บาป β / บาป(α + β))

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วเป็นกรณีพิเศษของสี่เหลี่ยมคางหมู ความแตกต่างก็คือสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูนซึ่งมีแกนสมมาตรผ่านจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามสองด้าน ด้านของมันเท่ากัน

ค้นหาพื้นที่ สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วเป็นไปได้หลายวิธี

• ผ่านความยาวทั้งสามด้าน ในกรณีนี้ความยาวของด้านจะตรงกันดังนั้นจึงถูกกำหนดด้วยค่าเดียว - c และ a และ b - ความยาวของฐาน:

• ถ้าทราบความยาวของฐานบน ด้านข้าง และมุมที่ฐานล่าง พื้นที่จะถูกคำนวณดังนี้

S = c * บาป α * (a + c * cos α)

โดยที่ a คือฐานบน c - ด้านข้าง.

• หากทราบความยาวของฐานล่างแทนฐานบน - b พื้นที่จะคำนวณโดยใช้สูตร:

S = ค * บาป α * (b – c * cos α)

• ถ้าเมื่อทราบสองฐานและมุมที่ฐานล่าง พื้นที่จะถูกคำนวณโดยใช้แทนเจนต์ของมุม:

S = ½ * (b2 – a2) * ตาล α

• พื้นที่ยังคำนวณผ่านเส้นทแยงมุมและมุมระหว่างเส้นทแยงมุมด้วย ในกรณีนี้ เส้นทแยงมุมจะมีความยาวเท่ากัน ดังนั้นเราจึงแสดงแต่ละเส้นด้วยตัวอักษร d โดยไม่มีตัวห้อย:

S = ½ * d2 * บาป α

• ลองคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโดยทราบความยาวของด้าน เส้นกึ่งกลาง และมุมที่ฐานด้านล่าง

ให้ด้านข้างอยู่กับ เส้นกึ่งกลาง- m, มุม - a จากนั้น:

S = ม. * ค * บาป α

บางครั้งคุณสามารถเขียนวงกลมไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมูด้านเท่าได้ โดยมีรัศมีเท่ากับ r

เป็นที่ทราบกันดีว่าวงกลมสามารถเขียนไว้ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูใดๆ ได้หากผลรวมของความยาวของฐานเท่ากับผลรวมของความยาวของด้านข้าง จากนั้นสามารถหาพื้นที่ได้จากรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้และมุมที่ฐานด้านล่าง:

S = 4r2 / ไซน์α

การคำนวณแบบเดียวกันนี้ทำโดยใช้เส้นผ่านศูนย์กลาง D ของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ (โดยบังเอิญมันเกิดขึ้นพร้อมกับความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู):

เมื่อทราบฐานและมุม พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วจะถูกคำนวณดังนี้:

S = a * b / บาป α

(สูตรนี้และสูตรต่อๆ ไปใช้ได้เฉพาะกับสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีวงกลมกำกับไว้เท่านั้น)

จากฐานและรัศมีของวงกลม จะได้พื้นที่ดังนี้

หากทราบเฉพาะฐาน พื้นที่จะคำนวณโดยใช้สูตร:

ผ่านฐานและเส้นข้างพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีวงกลมจารึกไว้และผ่านฐานและเส้นกลาง - m คำนวณดังนี้:

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม

สี่เหลี่ยมคางหมูจะเรียกว่าสี่เหลี่ยมถ้าด้านใดด้านหนึ่งตั้งฉากกับฐาน ในกรณีนี้ความยาวของด้านตรงกับความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู

สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสามเหลี่ยม เมื่อหาพื้นที่ของแต่ละรูปได้แล้วให้บวกผลลัพธ์แล้วจะได้พื้นที่รวมของรูปนั้น

นอกจากนี้สูตรทั่วไปในการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูยังเหมาะสำหรับการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูอีกด้วย

• หากทราบความยาวของฐานและความสูง (หรือด้านที่ตั้งฉากกัน) พื้นที่จะคำนวณโดยใช้สูตร:

ส = (ก + ข) * ชม. / 2

ด้านข้าง ด้าน c สามารถทำหน้าที่เป็น h (ความสูง) จากนั้นสูตรจะมีลักษณะดังนี้:

ส = (ก + ข) * ค / 2

• อีกวิธีหนึ่งในการคำนวณพื้นที่คือการคูณความยาวของเส้นกึ่งกลางด้วยความสูง:

หรือตามความยาวของด้านตั้งฉากด้านข้าง:

• วิธีต่อไปในการคำนวณคือผลคูณครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุมและไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน:

S = ½ * d1 * d2 * บาป α

หากเส้นทแยงมุมตั้งฉากกัน สูตรจะลดรูปเป็น:

ส = ½ * d1 * d2

• วิธีคำนวณอีกวิธีหนึ่งคือใช้ค่ากึ่งเส้นรอบรูป (ผลรวมของความยาวของด้านตรงข้ามสองด้าน) และรัศมีของวงกลมที่อยู่ภายใน

สูตรนี้ใช้ได้กับเบส หากเราหาความยาวของด้าน ด้านใดด้านหนึ่งจะมีรัศมีเป็นสองเท่า สูตรจะมีลักษณะดังนี้:

ส = (2r + ค) * ร

• หากวงกลมถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมู พื้นที่นั้นจะถูกคำนวณในลักษณะเดียวกัน:

โดยที่ m คือความยาวของเส้นกึ่งกลาง

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

สี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งคือรูปทรงแบนที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่เป็นลบ y = f(x) ซึ่งกำหนดไว้บนส่วน แกนแอบซิสซา และเส้นตรง x = a, x = b โดยพื้นฐานแล้ว ด้านทั้งสองขนานกัน (ฐาน) ด้านที่สามตั้งฉากกับฐาน และด้านที่สี่เป็นเส้นโค้งที่สอดคล้องกับกราฟของฟังก์ชัน

ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งผ่านอินทิกรัลโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ:

นี่คือวิธีคำนวณพื้นที่ ประเภทต่างๆสี่เหลี่ยมคางหมู แต่นอกเหนือจากคุณสมบัติของด้านข้างแล้ว รูปสี่เหลี่ยมคางหมูยังมีคุณสมบัติของมุมเหมือนกันอีกด้วย เช่นเดียวกับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนทั้งหมด ผลรวมของมุมภายในของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ 360 องศา และผลบวกของมุมประชิดด้านคือ 180 องศา

การจะรู้สึกมั่นใจและประสบความสำเร็จในการแก้ปัญหาในบทเรียนเรขาคณิต การเรียนรู้สูตรยังไม่เพียงพอ พวกเขาต้องเข้าใจก่อน การกลัวและเกลียดสูตรผสมนั้นไม่เกิดผล บทความนี้จะวิเคราะห์เป็นภาษาที่เข้าถึงได้ วิธีต่างๆการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู สำหรับ การดูดซึมดีขึ้นกฎและทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องเราจะให้ความสนใจกับคุณสมบัติของมันบ้าง ซึ่งจะช่วยให้คุณเข้าใจวิธีการทำงานของกฎ และในกรณีใดบ้างที่ควรใช้สูตรบางอย่าง

การกำหนดสี่เหลี่ยมคางหมู

โดยรวมแล้วเป็นรูปอะไรครับ? สี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีสี่มุมและมีด้านขนานกันสองด้าน อีกสองด้านของสี่เหลี่ยมคางหมูสามารถเอียงได้ มุมที่แตกต่างกัน- ของเธอ ด้านขนานเรียกว่าฐาน และสำหรับด้านที่ไม่ขนานกัน จะใช้ชื่อ "ด้าน" หรือ "สะโพก" ตัวเลขดังกล่าวค่อนข้างธรรมดาค่ะ ชีวิตประจำวัน- รูปทรงของสี่เหลี่ยมคางหมูสามารถเห็นได้จากเสื้อผ้า ของตกแต่งภายใน เฟอร์นิเจอร์ จานชาม และอื่นๆ อีกมากมาย ราวสำหรับออกกำลังกายเกิดขึ้น ประเภทต่างๆ: ด้านไม่เท่ากัน ด้านเท่ากันหมด และสี่เหลี่ยม เราจะตรวจสอบประเภทและคุณสมบัติโดยละเอียดในบทความต่อไป

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมู

ให้เราพิจารณาคุณสมบัติของรูปนี้โดยย่อ ผลรวมของมุมที่อยู่ประชิดด้านใดๆ จะเป็น 180° เสมอ ควรสังเกตว่าทุกมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูรวมกันได้ 360° สี่เหลี่ยมคางหมูมีแนวคิดเรื่องเส้นกึ่งกลาง หากคุณเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้างด้วยส่วนใดส่วนหนึ่ง นี่จะเป็นเส้นกึ่งกลาง มันถูกกำหนดให้ม. สายกลางก็มี คุณสมบัติที่สำคัญ: มันจะขนานกับฐานเสมอ (เราจำได้ว่าฐานนั้นขนานกันด้วย) และเท่ากับผลรวมครึ่งหนึ่ง:

คำจำกัดความนี้ต้องเรียนรู้และเข้าใจเพราะเป็นกุญแจสำคัญในการแก้ปัญหามากมาย!

ด้วยรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมู คุณสามารถลดความสูงลงที่ฐานได้ตลอดเวลา ระดับความสูงเป็นเส้นตั้งฉาก ซึ่งมักแสดงด้วยสัญลักษณ์ h ซึ่งลากจากจุดใดๆ ของฐานหนึ่งไปยังอีกฐานหนึ่งหรือส่วนต่อขยาย เส้นกึ่งกลางและความสูงจะช่วยคุณหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู ปัญหาดังกล่าวพบบ่อยที่สุดในหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียน และมักปรากฏในข้อสอบและข้อสอบ

สูตรที่ง่ายที่สุดสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู

ลองดูสองสูตรยอดนิยมและง่ายที่สุดที่ใช้ในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู ก็เพียงพอที่จะคูณความสูงด้วยผลรวมของฐานครึ่งหนึ่งเพื่อค้นหาสิ่งที่คุณกำลังมองหาได้อย่างง่ายดาย:

ส = ชั่วโมง*(ก + ข)/2

ในสูตรนี้ a, b หมายถึงฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู, h คือความสูง เพื่อความสะดวกในการรับรู้ ในบทความนี้ เครื่องหมายการคูณจะถูกทำเครื่องหมายด้วยสัญลักษณ์ (*) ในสูตร แม้ว่าในหนังสืออ้างอิงอย่างเป็นทางการมักจะละเว้นเครื่องหมายการคูณก็ตาม

ลองดูตัวอย่าง

ให้ไว้: สี่เหลี่ยมคางหมูที่มีสองฐานเท่ากับ 10 และ 14 ซม. ความสูงคือ 7 ซม. พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูคือเท่าใด

ลองดูวิธีแก้ไขปัญหานี้ เมื่อใช้สูตรนี้ คุณต้องหาผลรวมครึ่งหนึ่งของฐานก่อน: (10+14)/2 = 12 ดังนั้น ผลรวมครึ่งหนึ่งจะเท่ากับ 12 ซม. ตอนนี้เราคูณผลรวมครึ่งหนึ่งด้วยความสูง: 12*7 = 84. สิ่งที่เราตามหาก็เจอแล้ว. คำตอบ: พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูคือ 84 ตารางเมตร ม. ซม.

สูตรที่รู้จักกันดีประการที่สองกล่าวว่า: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลคูณของเส้นกึ่งกลางและความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู นั่นคือมันตามมาจากแนวคิดก่อนหน้าของเส้นกลาง: S=m*h

การใช้เส้นทแยงมุมในการคำนวณ

อีกวิธีหนึ่งในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นจริงๆ แล้วไม่ได้ซับซ้อนขนาดนั้น มันเชื่อมต่อกับเส้นทแยงมุม เมื่อใช้สูตรนี้ ในการหาพื้นที่ คุณต้องคูณครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นทแยงมุม (d 1 d 2) ด้วยไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน:

S = ½ วัน 1 วัน 2 บาป ก.

ลองพิจารณาปัญหาที่แสดงการใช้วิธีนี้ ให้ไว้: สี่เหลี่ยมคางหมูที่มีความยาวเส้นทแยงมุมเท่ากับ 8 และ 13 ซม. ตามลำดับ มุม a ระหว่างเส้นทแยงมุมคือ 30° ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู

สารละลาย. การใช้สูตรข้างต้นทำให้ง่ายต่อการคำนวณสิ่งที่ต้องการ ดังที่คุณทราบ sin 30° คือ 0.5 ดังนั้น S = 8*13*0.5=52 คำตอบ: พื้นที่ 52 ตารางเมตร ซม.

การหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

สี่เหลี่ยมคางหมูสามารถเป็นหน้าจั่ว (หน้าจั่ว) ด้านข้างเท่ากันและมุมที่ฐานเท่ากัน ซึ่งแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนจากภาพนี้ สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วมีคุณสมบัติเช่นเดียวกับสี่เหลี่ยมคางหมูปกติบวกกับคุณสมบัติพิเศษอีกจำนวนหนึ่ง รอบๆ สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วสามารถอธิบายวงกลมได้ และสามารถเขียนวงกลมไว้ข้างในได้

มีวิธีใดบ้างในการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขดังกล่าว? วิธีการด้านล่างจะต้องใช้การคำนวณจำนวนมาก หากต้องการใช้คุณจำเป็นต้องทราบค่าของไซน์ (sin) และโคไซน์ (cos) ของมุมที่ฐานของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ในการคำนวณ คุณต้องมีตาราง Bradis หรือเครื่องคิดเลขทางวิศวกรรม นี่คือสูตร:

ส= ค*บาป ก*(ก - ค*เพราะ ก),

ที่ไหน กับ- ต้นขาด้านข้าง ก- มุมที่ฐานล่าง

สี่เหลี่ยมคางหมูด้านเท่ามีเส้นทแยงมุมยาวเท่ากัน ลักษณะกลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน หากรูปสี่เหลี่ยมคางหมูมีเส้นทแยงมุมเท่ากัน แสดงว่าเป็นหน้าจั่ว ดังนั้นสูตรต่อไปนี้เพื่อช่วยหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู - ผลคูณครึ่งหนึ่งของกำลังสองของเส้นทแยงมุมและไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน: S = ½ d 2 sin ก.

การหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเป็นกรณีพิเศษของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม นี่คือรูปสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งด้านหนึ่ง (ต้นขา) ติดกับฐานเป็นมุมฉาก มีคุณสมบัติเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูปกติ นอกจากนี้เธอยังมีมาก คุณสมบัติที่น่าสนใจ- ความแตกต่างในกำลังสองของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นเท่ากับความแตกต่างในกำลังสองของฐาน ใช้วิธีการคำนวณพื้นที่ที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้ทั้งหมด

เราใช้ความฉลาด

มีเคล็ดลับอย่างหนึ่งที่สามารถช่วยได้หากคุณลืมสูตรเฉพาะ เรามาดูกันว่าสี่เหลี่ยมคางหมูคืออะไร ถ้าเราแบ่งมันออกเป็นส่วนๆ ในใจ เราจะได้รูปทรงเรขาคณิตที่คุ้นเคยและเข้าใจได้: สี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสี่เหลี่ยม และสามเหลี่ยม (หนึ่งหรือสองอัน) หากทราบความสูงและด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู คุณสามารถใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมผืนผ้า แล้วบวกค่าผลลัพธ์ทั้งหมดเข้าด้วยกัน

ลองอธิบายสิ่งนี้ด้วยตัวอย่างต่อไปนี้ ให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม มุม C = 45°, มุม A, D คือ 90° ฐานด้านบนของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ 20 ซม. ความสูง 16 ซม. คุณต้องคำนวณพื้นที่ของรูป

เห็นได้ชัดว่ารูปนี้ประกอบด้วยสี่เหลี่ยม (หากมุมสองมุมเท่ากับ 90°) และรูปสามเหลี่ยม เนื่องจากสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังนั้นความสูงจึงเท่ากับด้านข้าง นั่นคือ 16 ซม. เรามีสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้าน 20 และ 16 ซม. ตามลำดับ ตอนนี้ให้พิจารณาสามเหลี่ยมที่มีมุม 45° เรารู้ว่าด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมีขนาด 16 ซม. เนื่องจากด้านนี้เป็นความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูด้วย (และเรารู้ว่าความสูงลดลงถึงฐานเป็นมุมฉาก) ดังนั้นมุมที่สองของรูปสามเหลี่ยมคือ 90° ดังนั้น มุมที่เหลือของสามเหลี่ยมคือ 45° ผลที่ตามมาคือเราได้สามเหลี่ยมหน้าจั่วตรงซึ่งมีด้านสองด้านเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าอีกด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับความสูง 16 ซม. สิ่งที่เหลืออยู่คือการคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมแล้วบวกค่าผลลัพธ์

พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของขา: S = (16*16)/2 = 128 พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับผลคูณของความกว้างและความยาว: S = 20*16 = 320 เราพบสิ่งที่ต้องการ: พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู S = 128 + 320 = 448 ตร.ม. ดู คุณสามารถตรวจสอบตัวเองอีกครั้งได้อย่างง่ายดายโดยใช้สูตรข้างต้น คำตอบจะเหมือนกัน

เราใช้สูตรเลือก

สุดท้ายนี้เรานำเสนอสูตรดั้งเดิมอีกสูตรหนึ่งที่ช่วยในการค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู เรียกว่าสูตรเลือก สะดวกในการใช้เมื่อวาดรูปสี่เหลี่ยมคางหมู กระดาษตาหมากรุก- ปัญหาที่คล้ายกันมักพบในวัสดุของ GIA ดูเหมือนว่านี้:

ส = ม/2 + น - 1,

ในสูตรนี้ M คือจำนวนโหนดเช่น จุดตัดของเส้นของรูปกับเส้นของเซลล์ที่ขอบเขตของสี่เหลี่ยมคางหมู (จุดสีส้มในรูป), N คือจำนวนโหนดภายในรูป ( จุดสีน้ำเงิน- สะดวกที่สุดในการค้นหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่ผิดปกติ อย่างไรก็ตาม ยิ่งคลังเทคนิคที่ใช้มีมากเท่าใด ข้อผิดพลาดก็จะน้อยลงและผลลัพธ์ก็จะดีขึ้นเท่านั้น

แน่นอนว่าข้อมูลที่ให้ไว้ไม่ได้ครอบคลุมประเภทและคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูตลอดจนวิธีการหาพื้นที่ของมัน บทความนี้จะให้ภาพรวมของคุณลักษณะที่สำคัญที่สุด เมื่อแก้ไขปัญหาเรขาคณิต สิ่งสำคัญคือต้องค่อยๆ ดำเนินการ เริ่มต้นด้วยสูตรและปัญหาง่ายๆ รวบรวมความเข้าใจของคุณอย่างสม่ำเสมอ และก้าวไปสู่ความซับซ้อนอีกระดับหนึ่ง

รวบรวมสูตรที่พบบ่อยที่สุดไว้ด้วยกันจะช่วยให้นักเรียนค้นพบวิธีต่างๆในการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูและเตรียมพร้อมสำหรับการทดสอบและ การทดสอบในหัวข้อนี้

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู สวัสดี! ในเอกสารฉบับนี้เราจะดูสูตรนี้ ทำไมเธอถึงเป็นแบบนี้และจะเข้าใจเธอได้อย่างไร ถ้ามีความเข้าใจก็ไม่ต้องสอน หากเพียงต้องการดูสูตรนี้และเร่งด่วนก็สามารถเลื่อนหน้าลงมาได้เลย))

ตอนนี้มีรายละเอียดและตามลำดับ

สี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน โดยด้านสองด้านของรูปสี่เหลี่ยมนี้ขนานกัน ส่วนอีกสองด้านไม่ขนานกัน ส่วนที่ไม่ขนานกันคือฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู อีกสองคนเรียกว่าด้านข้าง

หากด้านเท่ากัน สี่เหลี่ยมคางหมูจะเรียกว่าหน้าจั่ว หากด้านใดด้านหนึ่งตั้งฉากกับฐาน สี่เหลี่ยมคางหมูดังกล่าวจะเรียกว่าสี่เหลี่ยม

ในรูปแบบคลาสสิกรูปสี่เหลี่ยมคางหมูจะแสดงดังนี้ - ฐานที่ใหญ่กว่าจะอยู่ที่ด้านล่างตามลำดับส่วนอันที่เล็กกว่าจะอยู่ที่ด้านบน แต่ไม่มีใครห้ามวาดภาพเธอและในทางกลับกัน นี่คือภาพร่าง:

แนวคิดที่สำคัญต่อไป

เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นส่วนที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านข้าง เส้นกลางขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูและเท่ากับผลรวมครึ่งหนึ่ง

ตอนนี้เรามาเจาะลึกกัน ทำไมจึงเป็นเช่นนี้?

พิจารณารูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีฐาน ก และ ขและด้วยสายกลาง ลและดำเนินการก่อสร้างเพิ่มเติมบางอย่าง: ลากเส้นตรงผ่านฐาน และตั้งฉากผ่านปลายของเส้นกึ่งกลางจนกระทั่งตัดกับฐาน:

*การกำหนดตัวอักษรสำหรับจุดยอดและจุดอื่นๆ ไม่ได้รวมไว้โดยเจตนาเพื่อหลีกเลี่ยงการกำหนดที่ไม่จำเป็น

ดูสิ สามเหลี่ยม 1 และ 2 เท่ากันตามเครื่องหมายที่สองของความเท่าเทียมกัน สามเหลี่ยม 3 และ 4 เท่ากัน จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมจะเป็นไปตามความเท่าเทียมกันขององค์ประกอบ ได้แก่ ขา (ระบุด้วยสีน้ำเงินและสีแดงตามลำดับ)

ตอนนี้ให้ความสนใจ! หากเรา "ตัด" ส่วนสีน้ำเงินและสีแดงออกจากฐานด้านล่างโดยจิตใจ เราก็จะเหลือส่วน (นี่คือด้านข้างของสี่เหลี่ยม) เท่ากับเส้นกลาง ต่อไป ถ้าเรา "ติด" ส่วนสีน้ำเงินและสีแดงที่ตัดแล้วเข้ากับฐานด้านบนของสี่เหลี่ยมคางหมู เราก็จะได้ส่วนนั้นด้วย (นี่คือด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้วย) เท่ากับเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู

เข้าใจแล้ว? ปรากฎว่าผลรวมของฐานจะเท่ากับเส้นกลางสองเส้นของสี่เหลี่ยมคางหมู:

ดูคำอธิบายอื่น

ลองทำสิ่งต่อไปนี้ - สร้างเส้นตรงที่ผ่านฐานล่างของสี่เหลี่ยมคางหมูและเป็นเส้นตรงที่จะผ่านจุด A และ B:

เราได้สามเหลี่ยม 1 และ 2 ซึ่งเท่ากันทั้งด้านข้างและมุมที่อยู่ติดกัน (เครื่องหมายที่สองของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม) ซึ่งหมายความว่าส่วนที่เป็นผล (ในภาพร่างจะแสดงด้วยสีน้ำเงิน) เท่ากับฐานด้านบนของสี่เหลี่ยมคางหมู

ตอนนี้พิจารณารูปสามเหลี่ยม:

*เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูนี้และเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยมตรงกัน

เป็นที่ทราบกันดีว่ารูปสามเหลี่ยมมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของฐานที่ขนานไปกับมัน นั่นคือ:

โอเค เราคิดออกแล้ว ตอนนี้เกี่ยวกับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู:

พวกเขาพูดว่า: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลคูณของผลรวมของฐานและความสูงครึ่งหนึ่ง

นั่นคือปรากฎว่ามันเท่ากับผลคูณของเส้นกึ่งกลางและความสูง:

คุณคงสังเกตเห็นแล้วว่าสิ่งนี้ชัดเจน ในเชิงเรขาคณิต สิ่งนี้สามารถแสดงได้ดังนี้: ถ้าเราตัดสามเหลี่ยม 2 และ 4 ออกจากสี่เหลี่ยมคางหมูในใจแล้ววางไว้บนสามเหลี่ยม 1 และ 3 ตามลำดับ:

จากนั้นเราจะได้สี่เหลี่ยมในพื้นที่ เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูของเรา พื้นที่ของสี่เหลี่ยมนี้จะเท่ากับผลคูณของเส้นกึ่งกลางและความสูงนั่นคือเราสามารถเขียนได้:

แต่ประเด็นนี้ไม่ใช่การเขียนแน่นอน แต่เป็นความเข้าใจ

ดาวน์โหลด (ดู) เนื้อหาบทความในรูปแบบ *pdf

นั่นคือทั้งหมดที่ ขอให้โชคดี!

ขอแสดงความนับถืออเล็กซานเดอร์

แนวปฏิบัติของการสอบ Unified State และ State Examination เมื่อปีที่แล้วแสดงให้เห็นว่าปัญหาทางเรขาคณิตทำให้เกิดความยุ่งยากสำหรับเด็กนักเรียนจำนวนมาก คุณสามารถรับมือกับมันได้อย่างง่ายดายหากคุณจำสูตรที่จำเป็นทั้งหมดและฝึกฝนการแก้ปัญหา

ในบทความนี้คุณจะเห็นสูตรในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูรวมถึงตัวอย่างปัญหาพร้อมวิธีแก้ไข คุณอาจเจอสิ่งเดียวกันใน KIM ระหว่างการสอบเพื่อรับใบรับรองหรือที่ Olympiads ดังนั้นควรปฏิบัติต่อพวกเขาอย่างระมัดระวัง

สิ่งที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับสี่เหลี่ยมคางหมู?

เริ่มต้นด้วยให้เราจำไว้ว่า สี่เหลี่ยมคางหมูเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมซึ่งมีด้านตรงข้ามสองด้านหรือที่เรียกว่าฐานขนานกัน และอีกสองด้านขนานกัน

ในรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมู ความสูง (ตั้งฉากกับฐาน) ก็สามารถลดลงได้เช่นกัน ลากเส้นกลาง - นี่คือเส้นตรงที่ขนานกับฐานและเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวม เช่นเดียวกับเส้นทแยงมุมที่สามารถตัดกันทำให้เกิดมุมแหลมและมุมป้านได้ หรือในบางกรณีเป็นมุมฉาก นอกจากนี้ หากสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นหน้าจั่ว ก็สามารถเขียนวงกลมลงไปได้ และอธิบายวงกลมรอบๆ

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู

ก่อนอื่น เรามาดูสูตรมาตรฐานในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูกันก่อน เราจะพิจารณาวิธีคำนวณพื้นที่หน้าจั่วและสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งด้านล่าง

ลองจินตนาการว่าคุณมีสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีฐาน a และ b โดยที่ความสูง h ลดลงเหลือฐานที่ใหญ่กว่า การคำนวณพื้นที่ของตัวเลขในกรณีนี้ทำได้ง่ายเหมือนกับการปอกเปลือกลูกแพร์ คุณเพียงแค่ต้องหารผลรวมของความยาวของฐานด้วยสองแล้วคูณผลลัพธ์ด้วยความสูง: S = 1/2(ก + ข)*ชม.

พิจารณาอีกกรณีหนึ่ง: สมมติว่าในรูปสี่เหลี่ยมคางหมู นอกจากความสูงแล้ว ยังมีเส้นกลาง m อีกด้วย เรารู้สูตรการหาความยาวของเส้นกึ่งกลาง: m = 1/2(a + b) ดังนั้นเราจึงสามารถลดความซับซ้อนของสูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูได้อย่างถูกต้อง ประเภทต่อไปนี้: ส = ม*ชม- กล่าวอีกนัยหนึ่งในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู คุณต้องคูณเส้นกึ่งกลางด้วยความสูง

ลองพิจารณาอีกทางเลือกหนึ่ง: สี่เหลี่ยมคางหมูมีเส้นทแยงมุม d 1 และ d 2 ซึ่งไม่ตัดกันที่มุมขวา α ในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูคุณต้องหารผลคูณของเส้นทแยงมุมด้วยสองและคูณผลลัพธ์ด้วยบาปของมุมระหว่างพวกมัน: S= 1/2d 1 d 2 *ซินα.

ตอนนี้ให้พิจารณาสูตรในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหากไม่มีสิ่งใดรู้เกี่ยวกับมันยกเว้นความยาวของด้านทั้งหมด: a, b, c และ d นี่เป็นสูตรที่ยุ่งยากและซับซ้อน แต่จะมีประโยชน์สำหรับคุณในการจำไว้ในกรณี: S = 1/2(ก + ข) * √ค 2 – ((1/2(b – ก)) * ((ข – ก) 2 + ค 2 – ง 2)) 2.

อย่างไรก็ตาม ตัวอย่างข้างต้นก็เป็นจริงในกรณีที่คุณต้องการสูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม นี่คือสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งด้านติดกับฐานเป็นมุมฉาก

สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

สี่เหลี่ยมคางหมูที่มีด้านเท่ากันเรียกว่าหน้าจั่ว เราจะพิจารณาหลายตัวเลือกสำหรับสูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

ตัวเลือกแรก: สำหรับกรณีที่วงกลมที่มีรัศมี r ถูกจารึกไว้ภายในสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว และด้านข้างและรูปแบบฐานที่ใหญ่กว่า มุมแหลมแอลฟา วงกลมสามารถเขียนเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูได้ โดยมีเงื่อนไขว่าผลรวมของความยาวของฐานเท่ากับผลรวมของความยาวของด้าน

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วคำนวณดังนี้: คูณกำลังสองของรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ด้วยสี่แล้วหารทั้งหมดด้วยsinα: S = 4r 2 /sinα- สูตรพื้นที่อื่นเป็นกรณีพิเศษสำหรับตัวเลือกเมื่อมุมระหว่างฐานใหญ่และด้านข้างเป็น 30 0: ส = 8r2.

ตัวเลือกที่สอง: คราวนี้เราใช้สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วซึ่งนอกจากจะวาดเส้นทแยงมุม d 1 และ d 2 แล้ว เช่นเดียวกับความสูง h ถ้าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูตั้งฉากกัน ความสูงจะเป็นครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน: h = 1/2(a + b) เมื่อรู้อย่างนี้แล้ว การแปลงสูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูที่คุณคุ้นเคยอยู่แล้วให้เป็นรูปแบบนี้จึงเป็นเรื่องง่าย: ส = ชั่วโมง 2.

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

มาเริ่มด้วยการหาว่าสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งคืออะไร ลองนึกภาพแกนพิกัดและกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องและไม่เป็นลบ f ที่ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายภายในส่วนที่กำหนดให้บนแกน x สี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งเกิดจากกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) - ที่ด้านบน แกน x อยู่ที่ด้านล่าง (ส่วน) และที่ด้านข้าง - เส้นตรงที่ลากระหว่างจุด a และ b และกราฟของ ฟังก์ชั่น

เป็นไปไม่ได้ที่จะคำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ไม่ได้มาตรฐานโดยใช้วิธีการข้างต้น ที่นี่คุณจะต้องใช้การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และใช้อินทิกรัล กล่าวคือ: สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ - S = ∫ ข ก ฉ(x) dx = F(x)│ ข ก = F(b) – F(ก)- ในสูตรนี้ F คือแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันของเราในส่วนที่เลือก และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งสอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นของแอนติเดริเวทีฟในส่วนที่กำหนด

ปัญหาตัวอย่าง

เพื่อให้เข้าใจสูตรเหล่านี้ในหัวของคุณได้ง่ายขึ้น ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างปัญหาในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู จะเป็นการดีที่สุดถ้าคุณพยายามแก้ไขปัญหาด้วยตัวเองก่อนแล้วจึงเปรียบเทียบคำตอบที่คุณได้รับกับวิธีแก้ปัญหาสำเร็จรูป

งาน #1:ให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ฐานใหญ่กว่าคือ 11 ซม. ฐานเล็กคือ 4 ซม. สี่เหลี่ยมคางหมูมีเส้นทแยงมุม อันหนึ่งยาว 12 ซม. อันที่สองยาว 9 ซม.

วิธีแก้ไข: สร้าง AMRS สี่เหลี่ยมคางหมู ลากเส้นตรง Рх ผ่านจุดยอด P เพื่อให้ขนานกับเส้นทแยงมุม MC และตัดกับเส้นตรง AC ที่จุด X คุณจะได้สามเหลี่ยม APMX

เราจะพิจารณาตัวเลขสองตัวที่ได้รับอันเป็นผลมาจากการปรับเปลี่ยนเหล่านี้: สามเหลี่ยม APX และสี่เหลี่ยมด้านขนาน CMRX

ต้องขอบคุณรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เราจึงเรียนรู้ว่า PX = MC = 12 ซม. และ CX = MR = 4 ซม. จากจุดที่เราสามารถคำนวณด้าน AX ของสามเหลี่ยม ARX ได้: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 ซม.

นอกจากนี้เรายังสามารถพิสูจน์ได้ว่าสามเหลี่ยม APX เป็นมุมฉาก (ในการดำเนินการนี้ ให้ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส - AX 2 = AP 2 + PX 2) และคำนวณพื้นที่: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 ซม. 2

ต่อไป คุณจะต้องพิสูจน์ว่าสามเหลี่ยม AMP และ PCX มีพื้นที่เท่ากัน พื้นฐานจะเป็นความเท่าเทียมกันของฝ่าย MR และ CX (พิสูจน์แล้วข้างต้น) และความสูงที่คุณลดลงในด้านเหล่านี้ด้วย - พวกมันเท่ากับความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู AMRS

ทั้งหมดนี้จะทำให้คุณบอกได้ว่า S AMPC = S APX = 54 ซม. 2

งาน #2:ให้ KRMS สี่เหลี่ยมคางหมู ที่ด้านข้างมีจุด O และ E ในขณะที่ OE และ KS ขนานกัน เป็นที่ทราบกันว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู ORME และ OKSE อยู่ในอัตราส่วน 1:5 RM = a และ KS = b คุณต้องค้นหา OE

วิธีแก้ไข: ลากเส้นขนานกับ RK ถึงจุด M และกำหนดจุดตัดกับ OE เป็น T โดย A คือจุดตัดของเส้นที่ลากผ่านจุด E ขนานกับ RK โดยมีฐาน KS

ขอแนะนำสัญลักษณ์อีกอย่างหนึ่ง - OE = x และความสูง h 1 สำหรับสามเหลี่ยม TME และความสูง h 2 สำหรับสามเหลี่ยม AEC (คุณสามารถพิสูจน์ความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมเหล่านี้ได้อย่างอิสระ)

เราจะถือว่า b > a พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู ORME และ OKSE อยู่ในอัตราส่วน 1:5 ซึ่งทำให้เรามีสิทธิ์สร้างสมการต่อไปนี้: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2 ลองแปลงร่างแล้วได้: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a))

เนื่องจากสามเหลี่ยม TME และ AEC มีความคล้ายคลึงกัน เราจึงมี h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x) ลองรวมทั้งสองค่าเข้าด้วยกันแล้วได้: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6

ดังนั้น OE = x = √(5a 2 + b 2)/6

บทสรุป

เรขาคณิตไม่ใช่วิทยาศาสตร์ที่ง่ายที่สุด แต่คุณสามารถรับมือกับคำถามในข้อสอบได้อย่างแน่นอน แสดงความเพียรพยายามเล็กน้อยในการเตรียมตัวก็เพียงพอแล้ว และแน่นอนว่าต้องจำสูตรที่จำเป็นทั้งหมดด้วย

เราพยายามรวบรวมสูตรคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูทั้งหมดไว้ในที่เดียวเพื่อให้คุณนำไปใช้ในการเตรียมสอบและแก้ไขเนื้อหาได้

อย่าลืมบอกเพื่อนร่วมชั้นและเพื่อนของคุณเกี่ยวกับบทความนี้ เครือข่ายสังคมออนไลน์- ขอให้มีเกรดดีๆ มากกว่านี้สำหรับการสอบ Unified State และ State Examination!

blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม

มีหลายวิธีในการค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู โดยปกติแล้ว ครูสอนคณิตศาสตร์จะรู้วิธีการคำนวณหลายวิธี ลองดูรายละเอียดเพิ่มเติม:
1) โดยที่ AD และ BC เป็นฐาน และ BH คือความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู พิสูจน์: วาดเส้นทแยงมุม BD และแสดงพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABD และ CDB ผ่านผลคูณครึ่งหนึ่งของฐานและความสูง:

โดยที่ DP คือความสูงภายนอกใน

ให้เราเพิ่มความเท่าเทียมกันเหล่านี้ทีละเทอมและพิจารณาว่าความสูง BH และ DP เท่ากันเราได้รับ:

ลองเอามันออกจากวงเล็บ

Q.E.D.

ข้อพิสูจน์ของสูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู:
เนื่องจากผลรวมครึ่งหนึ่งของฐานเท่ากับ MN ซึ่งเป็นเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู

2) การประยุกต์ใช้สูตรทั่วไปสำหรับพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน.
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นทแยงมุมคูณด้วยไซน์ของมุมระหว่างพวกเขา
เพื่อพิสูจน์มันก็เพียงพอแล้วที่จะแบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสามเหลี่ยม 4 รูปแสดงพื้นที่ของแต่ละรูปเป็น "ครึ่งหนึ่งผลคูณของเส้นทแยงมุมและไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน" (ถือเป็นมุมแล้วบวกผลลัพธ์ที่ได้ ให้นำนิพจน์เหล่านั้นออกจากวงเล็บเหลี่ยมและแยกตัวประกอบวงเล็บนี้โดยใช้วิธีจัดกลุ่มเพื่อให้ได้ค่าที่เท่ากันกับนิพจน์

3) วิธีการเลื่อนแนวทแยง
นี่คือชื่อของฉัน ครูสอนคณิตศาสตร์จะไม่พบหัวข้อดังกล่าวในหนังสือเรียนของโรงเรียน สามารถดูคำอธิบายของเทคนิคเพิ่มเติมได้เท่านั้น หนังสือเรียนเป็นตัวอย่างในการแก้ปัญหา ฉันสังเกตว่าสิ่งที่น่าสนใจที่สุดและ ข้อเท็จจริงที่เป็นประโยชน์ครูสอนคณิตศาสตร์เปิดเผยแผนผังให้นักเรียนทราบในกระบวนการแสดง งานภาคปฏิบัติ- นี่เป็นสิ่งที่ไม่ดีอย่างยิ่ง เนื่องจากนักเรียนจำเป็นต้องแยกพวกมันออกเป็นทฤษฎีบทที่แยกจากกันและเรียกพวกมันว่า “ ชื่อใหญ่- หนึ่งในนั้นคือ "การเปลี่ยนแปลงในแนวทแยง" เกี่ยวกับอะไร เรากำลังพูดถึง?ขอให้เราลากเส้นขนานกับ AC ผ่านจุดยอด B จนกระทั่งมันตัดกับฐานล่างที่จุด E ในกรณีนี้ EBCA รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (ตามคำจำกัดความ) ดังนั้น BC=EA และ EB=AC ความเท่าเทียมกันประการแรกเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเราในตอนนี้ เรามี:

โปรดทราบว่าสามเหลี่ยม BED ซึ่งมีพื้นที่เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูนั้นมีคุณสมบัติที่น่าทึ่งหลายประการ:
1) พื้นที่ของมันเท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู
2) หน้าจั่วของมันเกิดขึ้นพร้อมกันกับหน้าจั่วของสี่เหลี่ยมคางหมูนั่นเอง
3) มุมบนที่จุดยอด B เท่ากับมุมระหว่างเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู (ซึ่งมักใช้ในการแก้ปัญหา)
4) ค่ามัธยฐาน BK เท่ากับระยะห่าง QS ระหว่างจุดกึ่งกลางของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู ฉันเพิ่งพบการใช้คุณสมบัตินี้เมื่อเตรียมนักเรียนวิชากลศาสตร์และคณิตศาสตร์ที่ Moscow State University โดยใช้หนังสือเรียนของ Tkachuk ฉบับปี 1973 (ปัญหาอยู่ที่ด้านล่างของหน้า)

เทคนิคพิเศษสำหรับติวเตอร์คณิต

บางครั้งฉันเสนอปัญหาโดยใช้วิธีที่ยุ่งยากมากในการค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู ฉันจัดว่าเป็นเทคนิคพิเศษเพราะในทางปฏิบัติครูมักจะใช้มันน้อยมาก หากคุณต้องการเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์เฉพาะในส่วน B คุณไม่จำเป็นต้องอ่านเกี่ยวกับสิ่งเหล่านี้ สำหรับคนอื่นๆ ฉันจะบอกคุณเพิ่มเติม ปรากฎว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นสองเท่าของพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดที่ปลายด้านหนึ่งและตรงกลางของอีกด้านหนึ่งนั่นคือสามเหลี่ยม ABS ในรูป:
พิสูจน์: วาดส่วนสูง SM และ SN ในรูปสามเหลี่ยม BCS และ ADS และแสดงผลรวมของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้:

เนื่องจากจุด S เป็นจุดกึ่งกลางของ CD ดังนั้น (พิสูจน์ด้วยตัวเอง) ค้นหาผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยม:

เนื่องจากผลรวมนี้เท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูแล้วก็ครึ่งหลัง ฯลฯ

ฉันจะรวมเทคนิคพิเศษของผู้สอนไว้ในรูปแบบการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วด้านข้าง: โดยที่ p คือกึ่งปริมณฑลของสี่เหลี่ยมคางหมู ฉันจะไม่ให้หลักฐาน มิฉะนั้นครูสอนคณิตศาสตร์ของคุณจะถูกทิ้งให้ไม่มีงานทำ :) มาชั้นเรียน!

ปัญหาเกี่ยวกับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู:

บันทึกของครูสอนคณิตศาสตร์: รายการด้านล่างไม่ใช่รายการประกอบระเบียบวิธีสำหรับหัวข้อ แต่เป็นเพียงรายการเล็กๆ น้อยๆ เท่านั้น งานที่น่าสนใจตามวิธีการที่กล่าวมาข้างต้น

1) ฐานล่างของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วคือ 13 และด้านบนคือ 5 ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูถ้าเส้นทแยงมุมตั้งฉากกับด้านข้าง
2) ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหากฐานของมันคือ 2 ซม. และ 5 ซม. และด้านข้างของมันคือ 2 ซม. และ 3 ซม.
3) ในสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ฐานที่ใหญ่กว่าคือ 11 ด้านข้างคือ 5 และเส้นทแยงมุมคือ จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู
4) เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วคือ 5 และเส้นกึ่งกลางคือ 4 จงหาพื้นที่
5) ในสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ฐานคือ 12 และ 20 และเส้นทแยงมุมตั้งฉากกัน คำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู
6) เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วทำมุมกับฐานล่าง ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูถ้าสูง 6 ซม.
7) พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ 20 และด้านหนึ่งของมันคือ 4 ซม. ค้นหาระยะห่างจากตรงกลางของด้านตรงข้าม
8) เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วแบ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมโดยมีพื้นที่ 6 และ 14 จงหาความสูงหากด้านข้างเป็น 4
9) ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมู เส้นทแยงมุมจะเท่ากับ 3 และ 5 และส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของฐานเท่ากับ 2 ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู (Mekhmat MSU, 1970)

ฉันเลือกไม่ใช่ปัญหาที่ยากที่สุด (อย่ากลัววิศวกรรมเครื่องกล!) ด้วยความคาดหวังว่าฉันจะสามารถแก้ไขมันได้อย่างอิสระ ตัดสินใจเพื่อสุขภาพของคุณ! หากคุณต้องการเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์หากไม่มีการมีส่วนร่วมในกระบวนการนี้สูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูอาจเกิดขึ้นได้ ปัญหาร้ายแรงแม้จะมีปัญหา B6 และมากกว่านั้นกับ C4 อย่าเริ่มหัวข้อและหากมีปัญหาใดๆ ให้ขอความช่วยเหลือ ครูสอนคณิตศาสตร์ยินดีช่วยเหลือคุณเสมอ

โกลปาคอฟ เอ.เอ็น.
ครูสอนคณิตศาสตร์ในมอสโก, การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State ใน Strogino.