บทเรียนนี้จะครอบคลุมถึงวิธีการคูณและหารด้วยตัวเลขในรูปแบบ 10, 100, 0.1, 0.001 ตัวอย่างต่างๆ ในหัวข้อนี้จะได้รับการแก้ไขด้วย
ออกกำลังกาย.จะคูณตัวเลข 25.78 ด้วย 10 ได้อย่างไร?
สัญกรณ์ทศนิยมของตัวเลขที่กำหนดคือสัญกรณ์ชวเลขสำหรับจำนวนเงิน จำเป็นต้องอธิบายโดยละเอียดเพิ่มเติม:
ดังนั้นคุณต้องคูณจำนวนเงิน ในการทำเช่นนี้ คุณสามารถคูณแต่ละพจน์ได้:
ปรากฎว่า...
เราสามารถสรุปได้ว่าการคูณเศษส่วนทศนิยมด้วย 10 นั้นง่ายมาก: คุณต้องย้ายจุดทศนิยมไปทางขวาหนึ่งตำแหน่ง
ออกกำลังกาย.คูณ 25.486 ด้วย 100
การคูณด้วย 100 เหมือนกับการคูณด้วย 10 สองครั้ง กล่าวคือ คุณต้องเลื่อนจุดทศนิยมไปทางขวาสองครั้ง:
ออกกำลังกาย.หาร 25.78 ด้วย 10.
เช่นเดียวกับในกรณีก่อนหน้านี้ คุณต้องแสดงตัวเลข 25.78 เป็นผลรวม:
เนื่องจากคุณจำเป็นต้องหารผลรวม จึงเท่ากับการหารแต่ละเทอม:
ปรากฎว่าในการหารด้วย 10 คุณต้องเลื่อนจุดทศนิยมไปทางซ้ายหนึ่งตำแหน่ง ตัวอย่างเช่น:
ออกกำลังกาย.หาร 124.478 ด้วย 100
การหารด้วย 100 เหมือนกับการหารด้วย 10 สองครั้ง จุดทศนิยมจึงเลื่อนไปทางซ้าย 2 ตำแหน่ง:
หากจำเป็นต้องคูณเศษส่วนทศนิยมด้วย 10, 100, 1,000 เป็นต้น คุณต้องย้ายจุดทศนิยมไปทางขวาตามตำแหน่งที่มีศูนย์อยู่ในตัวคูณ
ในทางกลับกัน หากเศษส่วนทศนิยมต้องหารด้วย 10, 100, 1,000 เป็นต้น คุณต้องย้ายจุดทศนิยมไปทางซ้ายตามตำแหน่งที่มีศูนย์อยู่ในตัวคูณ
ตัวอย่างที่ 1
การคูณด้วย 100 หมายถึงการเลื่อนจุดทศนิยมไปทางขวา 2 ตำแหน่ง
หลังจากการเปลี่ยน คุณจะพบว่าไม่มีตัวเลขอีกต่อไปหลังจุดทศนิยม ซึ่งหมายความว่าส่วนที่เป็นเศษส่วนหายไป ไม่จำเป็นต้องใส่ลูกน้ำ เพราะตัวเลขเป็นจำนวนเต็ม
ตัวอย่างที่ 2
คุณต้องเลื่อน 4 ตำแหน่งไปทางขวา แต่มีเพียงสองหลักหลังจุดทศนิยมเท่านั้น ควรจำไว้ว่ามีสัญลักษณ์ที่เทียบเท่ากันสำหรับเศษส่วน 56.14
การคูณด้วย 10,000 เป็นเรื่องง่าย:
หากยังไม่ชัดเจนว่าทำไมคุณสามารถเพิ่มเลขศูนย์สองตัวลงในเศษส่วนในตัวอย่างก่อนหน้านี้ วิดีโอเพิ่มเติมในลิงก์สามารถช่วยได้
สัญกรณ์ทศนิยมที่เท่ากัน
รายการ 52 หมายถึงสิ่งต่อไปนี้:
ถ้าเราใส่ 0 ข้างหน้า เราจะได้ค่า 052 ค่าเหล่านี้เทียบเท่ากัน
เป็นไปได้ไหมที่จะใส่ศูนย์สองตัวไว้ข้างหน้า? ใช่ รายการเหล่านี้เทียบเท่ากัน
ตอนนี้เรามาดูเศษส่วนทศนิยม:
หากคุณกำหนดให้เป็นศูนย์ คุณจะได้รับ:
รายการเหล่านี้เทียบเท่ากัน ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถกำหนดค่าศูนย์หลายตัวได้
ดังนั้น จำนวนใดๆ ก็สามารถมีเลขศูนย์หลายตัวหลังเศษส่วนและมีเลขศูนย์หลายตัวก่อนเศษส่วนได้ สิ่งเหล่านี้จะเป็นรายการที่เทียบเท่ากับจำนวนเดียวกัน
ตัวอย่างที่ 3
เนื่องจากเกิดการหารด้วย 100 จึงจำเป็นต้องย้ายจุดทศนิยม 2 ตำแหน่งไปทางซ้าย ไม่มีตัวเลขเหลือทางด้านซ้ายของจุดทศนิยม ขาดหายไปทั้งส่วน สัญกรณ์นี้มักใช้โดยโปรแกรมเมอร์ ในทางคณิตศาสตร์ หากไม่มีส่วนใดส่วนหนึ่ง ก็ให้ใส่ศูนย์แทน
ตัวอย่างที่ 4
คุณต้องเลื่อนไปทางซ้ายสามตำแหน่ง แต่มีเพียงสองตำแหน่งเท่านั้น หากคุณเขียนเลขศูนย์หลายตัวหน้าตัวเลข มันจะเป็นสัญลักษณ์ที่เทียบเท่ากัน
นั่นคือเมื่อเลื่อนไปทางซ้ายหากตัวเลขหมดคุณจะต้องเติมศูนย์ด้วย
ตัวอย่างที่ 5
ในกรณีนี้ ควรจำไว้ว่าจะมีเครื่องหมายจุลภาคตามหลังส่วนทั้งหมดเสมอ แล้ว:
การคูณและหารด้วยตัวเลข 10, 100, 1,000 เป็นขั้นตอนที่ง่ายมาก สถานการณ์เหมือนกันทุกประการกับตัวเลข 0.1, 0.01, 0.001
ตัวอย่าง- คูณ 25.34 ด้วย 0.1
เขียนเศษส่วนทศนิยม 0.1 ให้เป็นเศษส่วนธรรมดา แต่การคูณก็เหมือนกับการหารด้วย 10 ดังนั้นคุณต้องเลื่อนจุดทศนิยม 1 ตำแหน่งไปทางซ้าย:
ในทำนองเดียวกัน การคูณด้วย 0.01 ก็หารด้วย 100:
ตัวอย่าง. 5.235 หารด้วย 0.1
วิธีแก้ของตัวอย่างนี้มีโครงสร้างคล้ายกัน: 0.1 จะแสดงเป็นเศษส่วนร่วม และการหารด้วยก็เหมือนกับการคูณด้วย 10:
นั่นคือ หากต้องการหารด้วย 0.1 คุณจะต้องย้ายจุดทศนิยมไปทางด้านขวาหนึ่งตำแหน่ง ซึ่งเทียบเท่ากับการคูณด้วย 10
การคูณด้วย 10 และหารด้วย 0.1 เป็นสิ่งเดียวกัน ต้องเลื่อนลูกน้ำไปทางขวา 1 ตำแหน่ง
หารด้วย 10 และคูณด้วย 0.1 เป็นสิ่งเดียวกัน ต้องเลื่อนลูกน้ำไปทางขวา 1 ตำแหน่ง:
เลข 0 สามารถจินตนาการได้ว่าเป็นขอบเขตชนิดหนึ่งที่แยกโลกของจำนวนจริงออกจากจำนวนจินตภาพหรือจำนวนลบ เนื่องจากตำแหน่งที่ไม่ชัดเจน การดำเนินการหลายอย่างที่มีค่าตัวเลขนี้ไม่เป็นไปตามตรรกะทางคณิตศาสตร์ ความเป็นไปไม่ได้ที่จะหารด้วยศูนย์เป็นตัวอย่างที่สำคัญของสิ่งนี้ และการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่อนุญาตโดยมีศูนย์สามารถทำได้โดยใช้คำจำกัดความที่ยอมรับโดยทั่วไป
ศูนย์คือจุดอ้างอิงในระบบตัวเลขมาตรฐานทั้งหมด ชาวยุโรปเริ่มใช้ตัวเลขนี้เมื่อไม่นานมานี้ แต่ปราชญ์ในอินเดียโบราณใช้เวลาเป็นศูนย์นับพันปีก่อนที่นักคณิตศาสตร์ชาวยุโรปจะใช้ตัวเลขว่างเป็นประจำ แม้กระทั่งก่อนชาวอินเดียนแดง ค่าศูนย์ก็เป็นค่าบังคับในระบบตัวเลขของชาวมายัน คนอเมริกันเหล่านี้ใช้ระบบเลขฐานสอง และวันแรกของแต่ละเดือนจะเริ่มต้นด้วยศูนย์ เป็นที่น่าสนใจว่าในหมู่ชาวมายันเครื่องหมายที่แสดงถึง "ศูนย์" นั้นใกล้เคียงกับเครื่องหมายที่แสดงถึง "อนันต์" อย่างสมบูรณ์ ดังนั้นชาวมายันโบราณจึงสรุปว่าปริมาณเหล่านี้เท่ากันและไม่อาจทราบได้
การดำเนินการทางคณิตศาสตร์มาตรฐานที่มีศูนย์สามารถลดลงเหลือกฎสองสามข้อได้
นอกจากนี้: หากคุณบวกศูนย์เข้ากับตัวเลขใดๆ ค่าของมันจะไม่เปลี่ยน (0+x=x)
การลบ: เมื่อคุณลบศูนย์ออกจากจำนวนใดๆ ค่าของการลบจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง (x-0=x)
การคูณ: จำนวนใดๆ คูณด้วย 0 จะได้ 0 (a*0=0)
การหาร: ศูนย์สามารถหารด้วยจำนวนใดๆ ก็ตามที่ไม่เท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้ค่าของเศษส่วนดังกล่าวจะเป็น 0 และห้ามหารด้วยศูนย์
การยกกำลัง การดำเนินการนี้สามารถทำได้ด้วยตัวเลขใดก็ได้ จำนวนใดๆ ก็ตามที่ยกกำลังเป็นศูนย์จะให้ 1 (x 0 =1)
ศูนย์ยกกำลังใดๆ ก็ตามจะเท่ากับ 0 (0 a = 0)
ในกรณีนี้เกิดความขัดแย้งทันที: นิพจน์ 0 0 ไม่สมเหตุสมผล
หลายคนรู้จากโรงเรียนว่าการหารด้วยศูนย์เป็นไปไม่ได้ แต่ด้วยเหตุผลบางประการจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะอธิบายเหตุผลของการห้ามดังกล่าว ที่จริงแล้ว เหตุใดจึงไม่มีสูตรการหารด้วยศูนย์ แต่การกระทำอื่นที่มีจำนวนนี้ค่อนข้างสมเหตุสมผลและเป็นไปได้ นักคณิตศาสตร์ให้คำตอบสำหรับคำถามนี้
ประเด็นก็คือ การคำนวณทางคณิตศาสตร์ตามปกติที่เด็กนักเรียนเรียนในโรงเรียนประถมนั้น จริงๆ แล้ว ยังห่างไกลจากความเท่าเทียมกันอย่างที่เราคิด การดำเนินการจำนวนอย่างง่ายทั้งหมดสามารถลดลงเหลือเพียงสอง: การบวกและการคูณ การกระทำเหล่านี้ประกอบขึ้นเป็นแก่นแท้ของแนวคิดเรื่องตัวเลข และการดำเนินการอื่นๆ สร้างขึ้นจากการใช้ทั้งสองสิ่งนี้
ลองใช้ตัวอย่างการลบแบบมาตรฐาน: 10-2=8 ที่โรงเรียนพวกเขาคิดง่ายๆ: ถ้าคุณลบสองวิชาจากสิบวิชา จะเหลือแปดวิชา แต่นักคณิตศาสตร์มองการดำเนินการนี้แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง ท้ายที่สุดแล้วไม่มีการดำเนินการดังกล่าวสำหรับการลบ ตัวอย่างนี้สามารถเขียนด้วยวิธีอื่น: x+2=10 สำหรับนักคณิตศาสตร์ ความแตกต่างที่ไม่ทราบคือเพียงจำนวนที่ต้องบวกกับสองจึงได้แปด และไม่จำเป็นต้องลบออก คุณเพียงแค่ต้องค้นหาค่าตัวเลขที่เหมาะสม
การคูณและการหารจะถือว่าเหมือนกัน ในตัวอย่าง 12:4=3 คุณสามารถเข้าใจได้ว่าเรากำลังพูดถึงการแบ่งวัตถุแปดชิ้นออกเป็นสองกองเท่าๆ กัน แต่ในความเป็นจริง นี่เป็นเพียงสูตรกลับหัวในการเขียน 3x4 = 12 สามารถยกตัวอย่างการหารดังกล่าวได้ไม่รู้จบ
นี่คือจุดที่ชัดเจนว่าเหตุใดคุณจึงไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ การคูณและการหารด้วยศูนย์เป็นไปตามกฎของมันเอง ตัวอย่างทั้งหมดของการหารปริมาณนี้สามารถกำหนดเป็น 6:0 = x แต่นี่คือสัญกรณ์กลับหัวของนิพจน์ 6 * x = 0 แต่อย่างที่คุณทราบ จำนวนใดๆ คูณด้วย 0 จะให้ผลคูณเพียง 0 เท่านั้น คุณสมบัตินี้มีอยู่ในแนวคิดเรื่องค่าศูนย์
ปรากฎว่าไม่มีตัวเลขใดที่เมื่อคูณด้วย 0 จะให้ค่าที่จับต้องได้นั่นคือปัญหานี้ไม่มีวิธีแก้ไข คุณไม่ควรกลัวคำตอบนี้ เพราะเป็นคำตอบที่เป็นธรรมชาติสำหรับปัญหาประเภทนี้ เพียงแต่ว่าบันทึก 6:0 นั้นไม่สมเหตุสมผลและไม่สามารถอธิบายอะไรได้เลย กล่าวโดยย่อ สำนวนนี้สามารถอธิบายได้ด้วยความเป็นอมตะ “การหารด้วยศูนย์เป็นไปไม่ได้”
มีการดำเนินการ 0:0 หรือไม่? จริงๆ แล้ว ถ้าการดำเนินการคูณด้วย 0 ถูกต้องตามกฎหมาย แล้วศูนย์จะหารด้วยศูนย์ได้ไหม ท้ายที่สุดแล้ว สมการในรูปแบบ 0x 5=0 นั้นค่อนข้างถูกกฎหมาย แทนที่จะเป็นเลข 5 คุณสามารถใส่ 0 ได้ผลิตภัณฑ์จะไม่เปลี่ยนแปลง
อันที่จริง 0x0=0 แต่คุณยังหารด้วย 0 ไม่ได้. ตามที่กล่าวไว้ การหารเป็นเพียงการผกผันของการคูณ ดังนั้น หากในตัวอย่าง 0x5=0 คุณต้องหาตัวประกอบที่สอง เราจะได้ 0x0=5 หรือ 10. หรืออนันต์. การหารอนันต์ด้วยศูนย์ - คุณชอบมันอย่างไร?
แต่ถ้าจำนวนใดเข้าข่ายนิพจน์ ก็ไม่เหมาะสม เราไม่สามารถเลือกเพียงจำนวนเดียวจากจำนวนนับไม่ถ้วน และถ้าเป็นเช่นนั้น แสดงว่านิพจน์ 0:0 ไม่สมเหตุสมผล ปรากฎว่าแม้แต่ศูนย์เองก็ไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้
การหารด้วยศูนย์เป็นเรื่องที่น่าปวดหัวสำหรับคณิตศาสตร์ในโรงเรียน การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษาในมหาวิทยาลัยเทคนิคช่วยขยายแนวคิดของปัญหาที่ไม่มีทางแก้ไขออกไปเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น มีการเพิ่มสิ่งใหม่ลงในนิพจน์ที่รู้จักอยู่แล้ว 0:0 ซึ่งไม่มีวิธีแก้ปัญหาในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน:
เป็นไปไม่ได้ที่จะแก้นิพจน์ดังกล่าวโดยใช้วิธีการเบื้องต้น แต่คณิตศาสตร์ที่สูงกว่านั้น ต้องขอบคุณความเป็นไปได้เพิ่มเติมสำหรับตัวอย่างที่คล้ายกันจำนวนหนึ่ง จึงสามารถให้คำตอบขั้นสุดท้ายได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อพิจารณาถึงปัญหาจากทฤษฎีขีดจำกัด
ในทฤษฎีขีดจำกัด ค่า 0 จะถูกแทนที่ด้วยตัวแปรขั้นต่ำแบบมีเงื่อนไข และนิพจน์ที่เมื่อแทนที่ค่าที่ต้องการจะได้รับการแปลงเป็นศูนย์ ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างมาตรฐานของการขยายขีดจำกัดโดยใช้การแปลงพีชคณิตธรรมดา:
ดังที่คุณเห็นในตัวอย่าง การลดเศษส่วนเพียงอย่างเดียวจะทำให้ค่าของมันกลายเป็นคำตอบที่มีเหตุผลอย่างสมบูรณ์
เมื่อพิจารณาขีดจำกัดของฟังก์ชันตรีโกณมิติ การแสดงออกของฟังก์ชันเหล่านี้มักจะลดลงเหลือขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่ง เมื่อพิจารณาขีดจำกัดที่ตัวส่วนกลายเป็น 0 เมื่อแทนที่ขีดจำกัดแล้ว จะใช้ขีดจำกัดที่น่าทึ่งอันที่สอง
ในบางกรณี ขีดจำกัดของนิพจน์สามารถถูกแทนที่ด้วยขีดจำกัดของอนุพันธ์ได้ Guillaume L'Hopital เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ผู้ก่อตั้งโรงเรียนการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์แห่งฝรั่งเศส เขาพิสูจน์ว่าขีดจำกัดของนิพจน์เท่ากับขีดจำกัดของอนุพันธ์ของนิพจน์เหล่านี้ ในสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ กฎของเขาจะเป็นดังนี้
ปัจจุบันวิธีของโลปิตาลใช้ในการแก้ความไม่แน่นอนของประเภท 0:0 หรือ ?:?
เขียนกฎสำหรับการหารและการคูณ
หากต้องการคูณตัวเลขด้วย 0.1 คุณเพียงแค่ต้องเลื่อนจุดทศนิยม
ตัวอย่างเช่นมันเป็น 56 มันกลายเป็น 5,6 .
หากต้องการหารด้วยจำนวนเดียวกัน คุณต้องเลื่อนลูกน้ำไปในทิศทางตรงกันข้าม:
ตัวอย่างเช่นมันเป็น 56 มันกลายเป็น 560 .
ด้วยหมายเลข 0.01 ทุกอย่างจะเหมือนกัน แต่คุณต้องเลื่อนไปที่ 2 หลัก ไม่ใช่หนึ่งหลัก
โดยทั่วไป ให้โอนเลขศูนย์ได้มากเท่าที่คุณต้องการ
เช่น มีตัวเลข 123456789.
คุณต้องคูณด้วย 0.000000001
มีศูนย์เก้าตัวในหมายเลข 0.000000001 (เรายังนับศูนย์ทางด้านซ้ายของจุดทศนิยมด้วย) ซึ่งหมายความว่าเราเปลี่ยนหมายเลข 123456789 ด้วยตัวเลข 9 หลัก:
มันคือ 123456789 และตอนนี้คือ 0.123456789
เพื่อไม่ให้คูณ แต่หารด้วยจำนวนเดียวกัน เราเลื่อนไปในทิศทางอื่น:
มันคือ 123456789 และตอนนี้คือ 123456789000000000
หากต้องการเปลี่ยนจำนวนเต็มด้วยวิธีนี้ เราเพียงเพิ่มศูนย์ลงไป และในเศษส่วนเราจะย้ายเครื่องหมายจุลภาค
การหารตัวเลขด้วย 0.1 เท่ากับการคูณตัวเลขนั้นด้วย 10
การหารตัวเลขด้วย 0.01 เท่ากับการคูณตัวเลขนั้นด้วย 100
หารด้วย 0.001 คูณด้วย 1,000
เพื่อให้จำได้ง่ายขึ้น เราอ่านตัวเลขที่เราต้องหารจากขวาไปซ้ายโดยไม่ต้องสนใจลูกน้ำ และคูณด้วยตัวเลขผลลัพธ์
ตัวอย่าง: 50: 0.0001 นี่เหมือนกับ 50 คูณด้วย (อ่านจากขวาไปซ้ายโดยไม่มีเครื่องหมายจุลภาค - 10,000) 10,000 ปรากฎว่า 500,000
สิ่งเดียวกันกับการคูณ กลับกันเท่านั้น:
400 x 0.01 เหมือนกับการหาร 400 ด้วย (อ่านจากขวาไปซ้ายโดยไม่มีลูกน้ำ - 100) 100: 400: 100 = 4
สำหรับผู้ที่พบว่าสะดวกกว่าในการเลื่อนลูกน้ำไปทางขวาเมื่อหารและไปทางซ้ายเมื่อคูณเมื่อคูณและหารด้วยตัวเลขดังกล่าวก็สามารถทำได้
www.bolshoyvopros.ru
ฉัน. หากต้องการหารตัวเลขด้วยเศษส่วนทศนิยม คุณต้องย้ายเครื่องหมายจุลภาคในตัวหารและตัวหารไปทางขวาให้มากที่สุดเท่าที่อยู่หลังจุดทศนิยมในตัวหาร แล้วหารด้วยจำนวนธรรมชาติ
นายกรัฐมนตรีรี
ดำเนินการแบ่ง: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.
สารละลาย.
ตัวอย่าง 1) 16,38: 0,7.
ในตัวแบ่ง 0,7 มีตัวเลขหนึ่งหลักอยู่หลังจุดทศนิยม ดังนั้นให้ย้ายเครื่องหมายจุลภาคในเงินปันผลและตัวหารไปทางขวาหนึ่งหลัก
จากนั้นเราจะต้องแบ่ง 163,8 บน 7 .
มาทำการหารตามกฎการหารเศษส่วนทศนิยมด้วยจำนวนธรรมชาติกัน
เราหารเมื่อจำนวนธรรมชาติถูกหาร วิธีลบหมายเลข 8 - หลักแรกหลังจุดทศนิยม (เช่น หลักในหลักสิบ) ให้ทันที ใส่ลูกน้ำในผลหารและแบ่งต่อไป
คำตอบ: 23.4.
ตัวอย่าง 2) 15,6: 0,15.
เราย้ายเครื่องหมายจุลภาคในการจ่ายเงินปันผล ( 15,6 ) และตัวหาร ( 0,15 ) ตัวเลขสองหลักทางขวา เนื่องจากอยู่ในตัวหาร 0,15 มีตัวเลขสองหลักอยู่หลังจุดทศนิยม
เราจำไว้ว่าคุณสามารถเพิ่มศูนย์ได้มากเท่าที่คุณต้องการลงในเศษส่วนทศนิยมทางด้านขวา และจะไม่เปลี่ยนเศษส่วนทศนิยม
15,6:0,15=1560:15.
เราทำการหารจำนวนธรรมชาติ
คำตอบ: 104.
ตัวอย่าง 3) 3,114: 4,5.
ย้ายเครื่องหมายจุลภาคในเงินปันผลและตัวหารไปทางขวาหนึ่งหลักแล้วหาร 31,14 บน 45 ตามกฎการหารเศษส่วนทศนิยมด้วยจำนวนธรรมชาติ
3,114:4,5=31,14:45.
ในผลหารเราใส่ลูกน้ำทันทีที่เราลบตัวเลขออก 1 ในอันดับที่สิบ จากนั้นเราก็แบ่งต่อไป
เราต้องมอบหมายงานเพื่อให้การแบ่งส่วนเสร็จสมบูรณ์ ศูนย์ไปที่หมายเลข 9 - ความแตกต่างระหว่างตัวเลข 414 และ 405 . (เรารู้ว่าสามารถเพิ่มศูนย์ทางด้านขวาของเศษส่วนทศนิยมได้)
ตอบ: 0.692.
ตัวอย่าง 4) 53,84: 0,1.
ย้ายเครื่องหมายจุลภาคในเงินปันผลและตัวหารไปที่ 1 หมายเลขทางด้านขวา
เราได้รับ: 538,4:1=538,4.
มาวิเคราะห์ความเท่าเทียมกัน: 53,84:0,1=538,4. ให้ความสนใจกับลูกน้ำในเงินปันผลในตัวอย่างนี้ และลูกน้ำในผลหารผลลัพธ์ เราสังเกตเห็นว่าลูกน้ำในเงินปันผลถูกย้ายไปที่ 1 ตัวเลขทางขวาเหมือนกับว่าเราคูณกัน 53,84 บน 10. (ดูวิดีโอ “การคูณทศนิยมด้วย 10, 100, 1,000 ฯลฯ”) ดังนั้นกฎสำหรับการหารทศนิยมด้วย 0,1; 0,01; 0,001 ฯลฯ
ครั้งที่สอง หากต้องการหารทศนิยมด้วย 0.1; 0.01; 0.001 ฯลฯ คุณต้องย้ายจุดทศนิยมไปทางขวา 1, 2, 3 ฯลฯ หลัก (การหารทศนิยมด้วย 0.1, 0.01, 0.001 ฯลฯ ก็เหมือนกับการคูณทศนิยมนั้นด้วย 10, 100, 1,000 เป็นต้น)
ตัวอย่าง.
ดำเนินการแบ่ง: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.
สารละลาย.
ตัวอย่าง 1) 617,35: 0,1.
ตามกฎแล้ว ครั้งที่สอง แบ่งตาม 0,1 มีค่าเท่ากับการคูณด้วย 10 และย้ายเครื่องหมายจุลภาคในเงินปันผล 1 หลักไปทางขวา:
1) 617,35:0,1=6173,5.
ตัวอย่าง 2) 0,235: 0,01.
แบ่งตาม 0,01 มีค่าเท่ากับการคูณด้วย 100 ซึ่งหมายความว่าเราย้ายลูกน้ำในเงินปันผล บน 2 หลักทางขวา:
2) 0,235:0,01=23,5.
ตัวอย่าง 3) 2,7845: 0,001.
เพราะ แบ่งตาม 0,001 มีค่าเท่ากับการคูณด้วย 1000 แล้วเลื่อนเครื่องหมายจุลภาค 3 หลักไปทางขวา:
3) 2,7845:0,001=2784,5.
ตัวอย่าง 4) 26,397: 0,0001.
หารทศนิยมด้วย 0,0001 - ก็เหมือนกับการคูณด้วย 10000 (เลื่อนเครื่องหมายจุลภาค โดย 4 หลัก ขวา- เราได้รับ:
www.mathematics-repetition.com
สมัครสมาชิกแล้ว? เข้าสู่ระบบ
บทเรียนนี้จะครอบคลุมถึงวิธีการคูณและหารด้วยตัวเลขในรูปแบบ 10, 100, 0.1, 0.001 ตัวอย่างต่างๆ ในหัวข้อนี้จะได้รับการแก้ไขด้วย
ออกกำลังกาย.จะคูณตัวเลข 25.78 ด้วย 10 ได้อย่างไร?
สัญกรณ์ทศนิยมของตัวเลขที่กำหนดคือสัญกรณ์ชวเลขสำหรับจำนวนเงิน จำเป็นต้องอธิบายโดยละเอียดเพิ่มเติม:
ดังนั้นคุณต้องคูณจำนวนเงิน ในการทำเช่นนี้ คุณสามารถคูณแต่ละพจน์ได้:
ปรากฎว่า...
เราสามารถสรุปได้ว่าการคูณเศษส่วนทศนิยมด้วย 10 นั้นง่ายมาก: คุณต้องย้ายจุดทศนิยมไปทางขวาหนึ่งตำแหน่ง
ออกกำลังกาย.คูณ 25.486 ด้วย 100
การคูณด้วย 100 เหมือนกับการคูณด้วย 10 สองครั้ง กล่าวคือ คุณต้องเลื่อนจุดทศนิยมไปทางขวาสองครั้ง:
ออกกำลังกาย.หาร 25.78 ด้วย 10.
เช่นเดียวกับในกรณีก่อนหน้านี้ คุณต้องแสดงตัวเลข 25.78 เป็นผลรวม:
เนื่องจากคุณจำเป็นต้องหารผลรวม จึงเท่ากับการหารแต่ละเทอม:
ปรากฎว่าในการหารด้วย 10 คุณต้องเลื่อนจุดทศนิยมไปทางซ้ายหนึ่งตำแหน่ง ตัวอย่างเช่น:
ออกกำลังกาย.หาร 124.478 ด้วย 100
การหารด้วย 100 เหมือนกับการหารด้วย 10 สองครั้ง ดังนั้นจุดทศนิยมจึงเลื่อนไปทางซ้าย 2 ตำแหน่ง:
หากจำเป็นต้องคูณเศษส่วนทศนิยมด้วย 10, 100, 1,000 เป็นต้น คุณต้องย้ายจุดทศนิยมไปทางขวาตามตำแหน่งที่มีศูนย์อยู่ในตัวคูณ
ในทางกลับกัน หากเศษส่วนทศนิยมต้องหารด้วย 10, 100, 1,000 เป็นต้น คุณต้องย้ายจุดทศนิยมไปทางซ้ายตามตำแหน่งที่มีศูนย์อยู่ในตัวคูณ
การคูณด้วย 100 หมายถึงการเลื่อนจุดทศนิยมไปทางขวา 2 ตำแหน่ง
หลังจากการเปลี่ยน คุณจะพบว่าไม่มีตัวเลขอีกต่อไปหลังจุดทศนิยม ซึ่งหมายความว่าส่วนที่เป็นเศษส่วนหายไป ไม่จำเป็นต้องใส่ลูกน้ำ เพราะตัวเลขเป็นจำนวนเต็ม
คุณต้องเลื่อน 4 ตำแหน่งไปทางขวา แต่มีเพียงสองหลักหลังจุดทศนิยมเท่านั้น ควรจำไว้ว่ามีสัญลักษณ์ที่เทียบเท่ากันสำหรับเศษส่วน 56.14
การคูณด้วย 10,000 เป็นเรื่องง่าย:
หากยังไม่ชัดเจนว่าทำไมคุณสามารถเพิ่มเลขศูนย์สองตัวลงในเศษส่วนในตัวอย่างก่อนหน้านี้ วิดีโอเพิ่มเติมในลิงก์สามารถช่วยได้
สัญกรณ์ทศนิยมที่เท่ากัน
รายการ 52 หมายถึงสิ่งต่อไปนี้:
ถ้าเราใส่ 0 ข้างหน้า เราจะได้ค่า 052 ค่าเหล่านี้เทียบเท่ากัน
เป็นไปได้ไหมที่จะใส่ศูนย์สองตัวไว้ข้างหน้า? ใช่ รายการเหล่านี้เทียบเท่ากัน
ตอนนี้เรามาดูเศษส่วนทศนิยม:
หากคุณกำหนดให้เป็นศูนย์ คุณจะได้รับ:
รายการเหล่านี้เทียบเท่ากัน ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถกำหนดค่าศูนย์หลายตัวได้
ดังนั้น จำนวนใดๆ ก็สามารถมีเลขศูนย์หลายตัวหลังเศษส่วนและมีเลขศูนย์หลายตัวก่อนเศษส่วนได้ สิ่งเหล่านี้จะเป็นรายการที่เทียบเท่ากับจำนวนเดียวกัน
เนื่องจากเกิดการหารด้วย 100 จึงจำเป็นต้องย้ายจุดทศนิยม 2 ตำแหน่งไปทางซ้าย ไม่มีตัวเลขเหลือทางด้านซ้ายของจุดทศนิยม ขาดหายไปทั้งส่วน สัญกรณ์นี้มักใช้โดยโปรแกรมเมอร์ ในทางคณิตศาสตร์ หากไม่มีส่วนใดส่วนหนึ่ง ก็ให้ใส่ศูนย์แทน
คุณต้องเลื่อนไปทางซ้ายสามตำแหน่ง แต่มีเพียงสองตำแหน่งเท่านั้น หากคุณเขียนเลขศูนย์หลายตัวหน้าตัวเลข มันจะเป็นสัญลักษณ์ที่เทียบเท่ากัน
นั่นคือเมื่อเลื่อนไปทางซ้ายหากตัวเลขหมดคุณจะต้องเติมศูนย์ด้วย
ในกรณีนี้ ควรจำไว้ว่าจะมีเครื่องหมายจุลภาคตามหลังส่วนทั้งหมดเสมอ แล้ว:
การคูณและหารด้วยตัวเลข 10, 100, 1,000 เป็นขั้นตอนที่ง่ายมาก สถานการณ์เหมือนกันทุกประการกับตัวเลข 0.1, 0.01, 0.001
ตัวอย่าง- คูณ 25.34 ด้วย 0.1
เขียนเศษส่วนทศนิยม 0.1 ให้เป็นเศษส่วนธรรมดา แต่การคูณก็เหมือนกับการหารด้วย 10 ดังนั้นคุณต้องย้ายจุดทศนิยม 1 ตำแหน่งไปทางซ้าย:
ในทำนองเดียวกัน การคูณด้วย 0.01 ก็หารด้วย 100:
ตัวอย่าง. 5.235 หารด้วย 0.1
วิธีแก้ของตัวอย่างนี้มีโครงสร้างคล้ายกัน: 0.1 จะแสดงเป็นเศษส่วนร่วม และการหารด้วยก็เหมือนกับการคูณด้วย 10:
นั่นคือ หากต้องการหารด้วย 0.1 คุณจะต้องย้ายจุดทศนิยมไปทางด้านขวาหนึ่งตำแหน่ง ซึ่งเทียบเท่ากับการคูณด้วย 10
การคูณด้วย 10 และหารด้วย 0.1 เป็นสิ่งเดียวกัน ต้องเลื่อนลูกน้ำไปทางขวา 1 ตำแหน่ง
หารด้วย 10 และคูณด้วย 0.1 เป็นสิ่งเดียวกัน ต้องเลื่อนลูกน้ำไปทางขวา 1 ตำแหน่ง:
บทสรุป
ในบทเรียนนี้ ศึกษากฎการหารและการคูณด้วย 10, 100 และ 1,000 นอกจากนี้ยังได้ศึกษากฎการคูณและการหารด้วย 0.1, 0.01, 0.001
ตัวอย่างการใช้กฎเหล่านี้ได้รับการตรวจสอบและแก้ไขแล้ว
อ้างอิง
1. Vilenkin N.Ya. คณิตศาสตร์: หนังสือเรียน. สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 การศึกษาทั่วไป อย่างนั้น ฉบับที่ 17 – ม.: Mnemosyne, 2005.
2. เชฟคิน เอ.วี. ปัญหาคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์: 5–6 – อ.: อิเล็กซา, 2011.
3. Ershova A.P., Goloborodko V.V. คณิตศาสตร์ของโรงเรียนทั้งหมดในงานอิสระและงานทดสอบ คณิต 5–6 – ม.: อิเล็กซา, 2549.
4. Khlevnyuk N.N. , Ivanova M.V. การพัฒนาทักษะการคำนวณในบทเรียนคณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5–9 – อ.: อิเล็กซา, 2011 .
1. พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต “เทศกาลแนวคิดการสอน” (ที่มา)
2. พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต “Matematika-na.ru” (ที่มา)
3. พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต “School.xvatit.com” (ที่มา)
การบ้าน
3. เปรียบเทียบความหมายของสำนวน:
ตัวเลขในวิชาคณิตศาสตร์ ศูนย์ครอบครองสถานที่พิเศษ ความจริงก็คือโดยพื้นฐานแล้วมันหมายถึง "ไม่มีอะไร" "ความว่างเปล่า" แต่ความสำคัญของมันนั้นยากที่จะประเมินค่าสูงไป ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอที่จะจำอย่างน้อยว่าอะไรกันแน่ เครื่องหมายศูนย์และการนับพิกัดตำแหน่งของจุดในระบบพิกัดใด ๆ จะเริ่มขึ้น
ศูนย์ใช้กันอย่างแพร่หลายในเศษส่วนทศนิยมเพื่อกำหนดค่าของตำแหน่งที่ “ว่าง” ทั้งก่อนและหลังจุดทศนิยม นอกจากนี้กฎพื้นฐานประการหนึ่งของเลขคณิตยังเกี่ยวข้องด้วยซึ่งระบุว่า ศูนย์ไม่สามารถแบ่งได้ พูดอย่างเคร่งครัด ตรรกะของมันเกิดขึ้นจากแก่นแท้ของตัวเลขนี้ จริงๆ แล้วเป็นไปไม่ได้เลยที่จะจินตนาการว่าคุณค่าบางอย่างที่แตกต่างจากตัวเลขนี้ (และตัวมันเองด้วย) จะถูกแบ่งออกเป็น "ไม่มีเลย"
กับ ศูนย์การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดดำเนินการและจำนวนเต็มเศษส่วนสามัญและทศนิยมสามารถใช้เป็น "คู่" และทั้งหมดสามารถมีทั้งค่าบวกและลบ ให้เรายกตัวอย่างการใช้งานและคำอธิบายบางส่วนสำหรับพวกเขา
เมื่อเพิ่ม ศูนย์เป็นจำนวนหนึ่ง (ทั้งจำนวนเต็มและเศษส่วน ทั้งบวกและลบ) ค่าของมันยังคงไม่เปลี่ยนแปลงอย่างแน่นอน
ยี่สิบสี่บวก ศูนย์เท่ากับยี่สิบสี่
สิบเจ็ดจุดสามแปดบวก ศูนย์เท่ากับสิบเจ็ดจุดสามแปด
ศูนย์เองก็เป็นตัวเลขที่น่าสนใจมาก โดยตัวมันเองหมายถึงความว่างเปล่า ขาดความหมาย และถัดจากตัวเลขอื่นก็เพิ่มนัยสำคัญถึง 10 เท่า ตัวเลขใดๆ ก็ตามที่เป็นศูนย์ยกกำลังจะให้ 1 เสมอ เครื่องหมายนี้ใช้ในอารยธรรมมายา และยังแสดงถึงแนวคิดของ "จุดเริ่มต้น สาเหตุ" แม้แต่ปฏิทินก็ยังเริ่มต้นด้วยวันที่เป็นศูนย์ ตัวเลขนี้ยังเกี่ยวข้องกับการห้ามอย่างเข้มงวด
ตั้งแต่สมัยชั้นประถมศึกษา เราทุกคนได้เรียนรู้กฎเกณฑ์ที่ว่า “คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้” แต่ถ้าในวัยเด็กคุณเชื่อในหลายๆ เรื่องและคำพูดของผู้ใหญ่ไม่ค่อยทำให้เกิดความสงสัย เมื่อเวลาผ่านไป บางครั้งคุณยังต้องการเข้าใจเหตุผล เพื่อทำความเข้าใจว่าเหตุใดกฎเกณฑ์บางอย่างจึงถูกตั้งขึ้น
ทำไมคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์? ฉันต้องการคำอธิบายเชิงตรรกะที่ชัดเจนสำหรับคำถามนี้ ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 ครูไม่สามารถทำเช่นนี้ได้ เพราะในวิชาคณิตศาสตร์กฎต่างๆ อธิบายโดยใช้สมการ และในยุคนั้นเราไม่รู้ว่ามันคืออะไร และตอนนี้ก็ถึงเวลาหาคำตอบและรับคำอธิบายเชิงตรรกะที่ชัดเจนว่าเหตุใดคุณจึงหารด้วยศูนย์ไม่ได้
ความจริงก็คือในทางคณิตศาสตร์มีเพียงสองในสี่การดำเนินการพื้นฐาน (+, -, x, /) ที่มีตัวเลขเท่านั้นที่ได้รับการยอมรับว่าเป็นอิสระ: การคูณและการบวก การดำเนินงานที่เหลือถือเป็นอนุพันธ์ ลองดูตัวอย่างง่ายๆ
บอกฉันหน่อยว่าคุณจะได้เท่าไหร่ถ้าคุณลบ 18 จาก 20? โดยปกติแล้วคำตอบจะปรากฏในหัวของเราทันที มันจะเป็น 2 เรามาถึงผลลัพธ์นี้ได้อย่างไร คำถามนี้อาจดูแปลกสำหรับบางคน - ท้ายที่สุดทุกอย่างชัดเจนว่าผลลัพธ์จะเป็น 2 บางคนจะอธิบายว่าเขารับ 18 จาก 20 kopecks และได้รับสอง kopecks ตามหลักเหตุผลแล้ว คำตอบทั้งหมดนี้ไม่ต้องสงสัย แต่จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ปัญหานี้ควรได้รับการแก้ไขแตกต่างออกไป ขอให้เราระลึกอีกครั้งว่าการดำเนินการหลักในคณิตศาสตร์คือการคูณและการบวก ดังนั้นในกรณีของเรา คำตอบอยู่ที่การแก้สมการต่อไปนี้: x + 18 = 20 จากนั้นจึงตามด้วย x = 20 - 18, x = 2 . ดูเหมือนว่าทำไมต้องอธิบายทุกอย่างโดยละเอียด? ท้ายที่สุดแล้วทุกอย่างก็ง่ายมาก อย่างไรก็ตาม หากไม่มีสิ่งนี้ ก็ยากที่จะอธิบายว่าทำไมคุณจึงไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้
ทีนี้ลองดูว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราอยากหาร 18 ด้วยศูนย์. มาสร้างสมการอีกครั้ง: 18: 0 = x เนื่องจากการหารเป็นอนุพันธ์ของขั้นตอนการคูณ การแปลงสมการของเราจึงได้ x * 0 = 18 นี่คือจุดเริ่มต้นของทางตัน จำนวนใดๆ แทนที่ X เมื่อคูณด้วยศูนย์จะได้ 0 และเราจะไม่สามารถได้ 18 ตอนนี้มันชัดเจนมากว่าทำไมคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ ศูนย์สามารถหารด้วยจำนวนใดก็ได้ แต่ในทางกลับกัน - อนิจจามันเป็นไปไม่ได้
จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณหารศูนย์ด้วยตัวเอง? สามารถเขียนได้ดังนี้: 0: 0 = x หรือ x * 0 = 0 สมการนี้มีคำตอบจำนวนอนันต์ ดังนั้นผลลัพธ์สุดท้ายจึงไม่มีที่สิ้นสุด ดังนั้นการดำเนินการในกรณีนี้จึงไม่สมเหตุสมผลเช่นกัน
การหารด้วย 0 เป็นรากฐานของเรื่องตลกทางคณิตศาสตร์ในจินตนาการมากมายที่สามารถใช้เพื่อไขปริศนาคนโง่เขลาได้หากต้องการ ตัวอย่างเช่น พิจารณาสมการ: 4*x - 20 = 7*x - 35 ลองเอา 4 ออกจากวงเล็บทางด้านซ้ายและ 7 ทางด้านขวา เราจะได้: 4*(x - 5) = 7*(x - 5) ทีนี้ลองคูณด้านซ้ายและด้านขวาของสมการด้วยเศษส่วน 1 / (x - 5) สมการจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: 4*(x - 5)/(x - 5) = 7*(x - 5)/ (x - 5) ลองลดเศษส่วนลง (x - 5) แล้วปรากฎว่า 4 = 7 จากนี้สรุปได้ว่า 2*2 = 7! แน่นอน สิ่งที่จับได้ตรงนี้ก็คือ มันเท่ากับ 5 และเป็นไปไม่ได้ที่จะหักล้างเศษส่วน เนื่องจากสิ่งนี้นำไปสู่การหารด้วยศูนย์ ดังนั้น เมื่อลดเศษส่วน คุณต้องตรวจสอบเสมอว่าศูนย์ไม่ได้ไปอยู่ในตัวส่วนโดยไม่ตั้งใจ ไม่เช่นนั้นผลลัพธ์จะไม่สามารถคาดเดาได้อย่างสมบูรณ์
ตัวเลขในวิชาคณิตศาสตร์ ศูนย์ครอบครองสถานที่พิเศษ ความจริงก็คือโดยพื้นฐานแล้วมันหมายถึง "ไม่มีอะไร" "ความว่างเปล่า" แต่ความสำคัญของมันนั้นยากที่จะประเมินค่าสูงไป ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอที่จะจำอย่างน้อยว่าอะไรกันแน่ เครื่องหมายศูนย์และการนับพิกัดตำแหน่งของจุดในระบบพิกัดใด ๆ จะเริ่มขึ้น
ศูนย์ใช้กันอย่างแพร่หลายในเศษส่วนทศนิยมเพื่อกำหนดค่าของตำแหน่งที่ “ว่าง” ทั้งก่อนและหลังจุดทศนิยม นอกจากนี้กฎพื้นฐานประการหนึ่งของเลขคณิตยังเกี่ยวข้องด้วยซึ่งระบุว่า ศูนย์ไม่สามารถแบ่งได้ พูดอย่างเคร่งครัด ตรรกะของมันเกิดขึ้นจากแก่นแท้ของตัวเลขนี้ จริงๆ แล้วเป็นไปไม่ได้เลยที่จะจินตนาการว่าคุณค่าบางอย่างที่แตกต่างจากตัวเลขนี้ (และตัวมันเองด้วย) จะถูกแบ่งออกเป็น "ไม่มีเลย"
ตัวอย่างการคำนวณ
กับ ศูนย์การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดดำเนินการและจำนวนเต็มเศษส่วนสามัญและทศนิยมสามารถใช้เป็น "คู่" และทั้งหมดสามารถมีทั้งค่าบวกและลบ ให้เรายกตัวอย่างการใช้งานและคำอธิบายบางส่วนสำหรับพวกเขา
ส่วนที่เพิ่มเข้าไป
เมื่อเพิ่ม ศูนย์เป็นจำนวนหนึ่ง (ทั้งจำนวนเต็มและเศษส่วน ทั้งบวกและลบ) ค่าของมันยังคงไม่เปลี่ยนแปลงอย่างแน่นอน
ตัวอย่างที่ 1ยี่สิบสี่บวก ศูนย์เท่ากับยี่สิบสี่
ตัวอย่างที่ 2สิบเจ็ดจุดสามแปดบวก ศูนย์เท่ากับสิบเจ็ดจุดสามแปด
การคูณ
เมื่อคูณตัวเลขใดๆ (จำนวนเต็ม เศษส่วน บวกหรือลบ) ด้วย ศูนย์ปรากฎว่า ศูนย์.
ตัวอย่างที่ 1ห้าร้อยแปดสิบหกครั้ง ศูนย์เท่ากับ ศูนย์.
ตัวอย่างที่ 2ศูนย์คูณด้วยหนึ่งร้อยสามสิบห้าจุดหกเจ็ดเท่ากับ ศูนย์.
ตัวอย่างที่ 3ศูนย์คูณด้วย ศูนย์เท่ากับ ศูนย์.
แผนก
กฎสำหรับการหารตัวเลขในกรณีที่ตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์จะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับบทบาทของตัวศูนย์เอง: เงินปันผลหรือตัวหาร?
ในกรณีที่ ศูนย์หมายถึงเงินปันผลผลลัพธ์จะเท่ากับมันเสมอไม่ว่าค่าตัวหารจะเป็นอย่างไร
ตัวอย่างที่ 1ศูนย์หารด้วยสองร้อยหกสิบห้าเท่ากับ ศูนย์.
ตัวอย่างที่ 2ศูนย์หารด้วยสิบเจ็ดห้าร้อยเก้าสิบหกเท่ากับ ศูนย์.
0: | = 0 |
แบ่ง ศูนย์ถึงศูนย์ตามกฎของคณิตศาสตร์ มันเป็นไปไม่ได้ ซึ่งหมายความว่าเมื่อดำเนินการตามขั้นตอนดังกล่าว ผลหารจะไม่แน่นอน ดังนั้น ตามทฤษฎีแล้ว มันสามารถแทนจำนวนใดๆ ก็ได้อย่างแน่นอน
0: 0 = 8 เพราะ 8 × 0 = 0
ในทางคณิตศาสตร์มีปัญหาเช่น การหารศูนย์ด้วยศูนย์ไม่สมเหตุสมผลเลย เนื่องจากผลลัพธ์ของมันคือเซตอนันต์ อย่างไรก็ตาม ข้อความนี้จะเป็นจริงหากไม่มีข้อมูลเพิ่มเติมที่อาจส่งผลต่อผลลัพธ์สุดท้าย
หากมีอยู่ควรประกอบด้วยการระบุระดับการเปลี่ยนแปลงขนาดของทั้งเงินปันผลและตัวหารและแม้กระทั่งก่อนช่วงเวลาที่พวกเขากลายเป็น ศูนย์- หากสิ่งนี้ถูกกำหนดไว้ นิพจน์เช่น ศูนย์หารด้วย ศูนย์ในกรณีส่วนใหญ่ ความหมายบางอย่างสามารถแนบมาด้วยได้
หารด้วยศูนย์ในทางคณิตศาสตร์ การหารที่ตัวหารเป็นศูนย์ การหารดังกล่าวสามารถเขียนได้อย่างเป็นทางการ ⁄ 0 โดยที่เงินปันผล
ในเลขคณิตธรรมดา (ที่มีจำนวนจริง) นิพจน์นี้ไม่สมเหตุสมผล เนื่องจาก:
ในอดีต หนึ่งในการอ้างอิงแรกๆ เกี่ยวกับความเป็นไปไม่ได้ทางคณิตศาสตร์ในการกำหนดค่า ⁄ 0 มีอยู่ในคำวิจารณ์ของจอร์จ เบิร์กลีย์เกี่ยวกับแคลคูลัสที่มีขนาดจิ๋ว
เนื่องจากเมื่อเราคูณจำนวนใดๆ ด้วยศูนย์ เราจะได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์เสมอ เมื่อเราหารทั้งสองส่วนของนิพจน์ × 0 = × 0 ซึ่งเป็นจริงโดยไม่คำนึงถึงค่าของ และ ด้วย 0 เราจะได้นิพจน์ = ซึ่ง ไม่ถูกต้องในกรณีของตัวแปรที่ระบุโดยพลการ เนื่องจากศูนย์ไม่สามารถระบุได้อย่างชัดเจน แต่อยู่ในรูปแบบของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ค่อนข้างซับซ้อน เช่น ในรูปแบบของผลต่างของค่าสองค่าที่ลดลงซึ่งกันและกันผ่านการแปลงพีชคณิต การหารดังกล่าวอาจเป็นข้อผิดพลาดที่ค่อนข้างไม่ชัดเจน การนำการแบ่งส่วนดังกล่าวเข้าสู่กระบวนการพิสูจน์โดยมองไม่เห็น เพื่อแสดงเอกลักษณ์ของปริมาณที่แตกต่างกันอย่างเห็นได้ชัด ดังนั้นจึงพิสูจน์ข้อความที่ไร้สาระได้ เป็นหนึ่งในความหลากหลายของความซับซ้อนทางคณิตศาสตร์
ในการเขียนโปรแกรม ขึ้นอยู่กับภาษาการเขียนโปรแกรม ประเภทข้อมูล และมูลค่าของเงินปันผล การพยายามหารด้วยศูนย์อาจทำให้เกิดผลที่ตามมาที่แตกต่างกัน ผลที่ตามมาของการหารด้วยศูนย์ในจำนวนเต็มและเลขคณิตจริงนั้นแตกต่างกันโดยพื้นฐาน:
การหารด้วยศูนย์โดยอุบัติเหตุในโปรแกรมคอมพิวเตอร์บางครั้งอาจทำให้ฮาร์ดแวร์ที่ควบคุมโดยโปรแกรมทำงานผิดปกติราคาแพงหรือเป็นอันตรายได้ ตัวอย่างเช่น เมื่อวันที่ 21 กันยายน พ.ศ. 2540 จากการหารด้วยศูนย์ในระบบควบคุมด้วยคอมพิวเตอร์ของเรือลาดตระเวนกองทัพเรือสหรัฐฯ USS Yorktown (CG-48) อุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ทั้งหมดในระบบก็ปิดลง ทำให้ระบบขับเคลื่อนของเรือเกิด หยุดการทำงาน
ฟังก์ชัน = 1 ⁄ . เมื่อมีแนวโน้มเป็นศูนย์จากทางขวา ก็จะมีแนวโน้มเป็นอนันต์ เมื่อมีแนวโน้มเป็นศูนย์จากทางซ้าย มีแนวโน้มที่จะลบอนันต์
หากคุณหารตัวเลขใดๆ ด้วยศูนย์บนเครื่องคิดเลขทั่วไป มันจะให้ตัวอักษร E หรือคำว่า Error ซึ่งก็คือ "ข้อผิดพลาด"
ในกรณีที่คล้ายกัน เครื่องคิดเลขของคอมพิวเตอร์จะเขียน (ใน Windows XP): “ไม่อนุญาตให้หารด้วยศูนย์”
ทุกอย่างเป็นไปตามกฎที่โรงเรียนรู้จักว่าคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้
ลองหาสาเหตุว่าทำไม
การหารคือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ผกผันกับการคูณ การหารถูกกำหนดโดยการคูณ
แบ่งตัวเลข ก(หารลงตัว เช่น 8) ตามจำนวน ข(ตัวหาร เช่น เลข 2) - หมายถึงการหาตัวเลขดังกล่าว x(ผลหาร) เมื่อคูณด้วยตัวหาร ขมันกลายเป็นเงินปันผล ก(4 2 = 8) นั่นคือ กหารด้วย ขหมายถึงการแก้สมการ x · b = a
สมการ a: b = x เทียบเท่ากับสมการ x · b = a
เราแทนที่การหารด้วยการคูณ: แทนที่จะเป็น 8: 2 = x เราเขียน x · 2 = 8
8: 2 = 4 เท่ากับ 4 2 = 8
18: 3 = 6 เท่ากับ 6 3 = 18
20: 2 = 10 เท่ากับ 10 2 = 20
ผลการหารสามารถตรวจสอบได้ด้วยการคูณเสมอ ผลการคูณตัวหารด้วยผลหารจะต้องเป็นเงินปันผล
ลองหารด้วยศูนย์ด้วยวิธีเดียวกัน.
ตัวอย่างเช่น 6: 0 = ... เราจำเป็นต้องหาตัวเลขที่เมื่อคูณด้วย 0 จะได้ 6 แต่เรารู้ว่าเมื่อคูณด้วยศูนย์ เราจะได้ศูนย์เสมอ ไม่มีจำนวนใดที่เมื่อคูณด้วยศูนย์แล้วจะได้ค่าอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์
เมื่อพวกเขาบอกว่าการหารด้วยศูนย์เป็นไปไม่ได้หรือถูกห้าม หมายความว่าไม่มีตัวเลขที่สอดคล้องกับผลลัพธ์ของการหารดังกล่าว (การหารด้วยศูนย์เป็นไปได้ แต่การหารไม่ได้ :))
ดังนั้นใน คำนิยามการดำเนินการหาร a ด้วย b จะเน้นทันทีว่า b ≠ 0
หากทุกสิ่งที่เขียนไว้ข้างต้นดูซับซ้อนเกินไปสำหรับคุณ ลองทำดู: การหาร 8 ด้วย 2 หมายถึงการหาจำนวนสองตัวที่คุณต้องหารจึงจะได้ 8 (คำตอบ: 4) การหาร 18 ด้วย 3 หมายถึงการหาจำนวนสามที่คุณต้องหารจึงจะได้ 18 (คำตอบ: 6)
การหาร 6 ด้วยศูนย์หมายถึงการหาว่าต้องหารศูนย์กี่ตัวจึงจะได้ 6 ไม่ว่าคุณจะเอาศูนย์ไปกี่ตัว คุณก็จะได้ศูนย์เหมือนเดิม แต่จะไม่มีทางได้ 6 เลย กล่าวคือ การหารด้วยศูนย์นั้นไม่ได้ถูกกำหนดไว้
ผลลัพธ์ที่น่าสนใจจะเกิดขึ้นหากคุณพยายามหารตัวเลขด้วยศูนย์บนเครื่องคิดเลข Android หน้าจอจะแสดง ∞ (อินฟินิตี้) (หรือ - ∞ หากหารด้วยจำนวนลบ) ผลลัพธ์นี้ไม่ถูกต้องเนื่องจากไม่มีตัวเลข ∞ เห็นได้ชัดว่าโปรแกรมเมอร์สับสนการดำเนินการที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง - การหารตัวเลขและการค้นหาขีดจำกัดของลำดับตัวเลข n/x โดยที่ x → 0 เมื่อหารศูนย์ด้วยศูนย์ NaN (ไม่ใช่ตัวเลข) จะถูกเขียน
“คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้!” - เด็กนักเรียนส่วนใหญ่เรียนรู้กฎนี้ด้วยใจโดยไม่ต้องถามคำถาม เด็กทุกคนรู้ว่า "คุณทำไม่ได้" คืออะไร และจะเกิดอะไรขึ้นหากคุณถามกลับว่า "ทำไม" แต่ในความเป็นจริงมันน่าสนใจและสำคัญมากที่ต้องรู้ว่าเหตุใดจึงเป็นไปไม่ได้
ประเด็นก็คือว่าการดำเนินการทั้งสี่ของเลขคณิต ได้แก่ การบวก การลบ การคูณ และการหาร นั้นแท้จริงแล้วไม่เท่ากัน นักคณิตศาสตร์ยอมรับว่ามีเพียงสองข้อเท่านั้นที่ถูกต้อง: การบวกและการคูณ การดำเนินการและคุณสมบัติเหล่านี้รวมอยู่ในคำจำกัดความของแนวคิดเรื่องตัวเลข การกระทำอื่น ๆ ทั้งหมดถูกสร้างขึ้นไม่ทางใดก็ทางหนึ่งจากทั้งสองนี้
ตัวอย่างเช่น พิจารณาการลบ มันหมายความว่าอะไร 5 - 3 - นักเรียนจะตอบคำถามง่ายๆ: คุณต้องนำสิ่งของห้าชิ้นออกไป (ลบ) สามชิ้นแล้วดูว่าเหลืออยู่กี่ชิ้น แต่นักคณิตศาสตร์มองปัญหานี้แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง ไม่มีการลบ มีเพียงการบวกเท่านั้น ดังนั้นการเข้า 5 - 3 หมายถึง ตัวเลขที่เมื่อบวกเข้ากับตัวเลขแล้ว 3 จะให้เลข 5 - นั่นก็คือ 5 - 3 เป็นเพียงสมการแบบชวเลข: x + 3 = 5- ไม่มีการลบในสมการนี้
มีเพียงงาน - เพื่อค้นหาหมายเลขที่เหมาะสม
การคูณและการหารก็เช่นเดียวกัน บันทึก 8: 4 สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นผลมาจากการแบ่งวัตถุแปดชิ้นออกเป็นสี่กองเท่า ๆ กัน แต่ในความเป็นจริง นี่เป็นเพียงสมการรูปแบบย่อเท่านั้น 4 x = 8.
นี่คือจุดที่ชัดเจนว่าเหตุใดจึงเป็นไปไม่ได้ (หรือค่อนข้างเป็นไปไม่ได้) ที่จะหารด้วยศูนย์ บันทึก 5: 0 เป็นคำย่อของ 0 x = 5- นั่นคือภารกิจนี้คือการหาตัวเลขที่เมื่อคูณด้วย 0 จะให้ 5 - แต่เรารู้ว่าเมื่อคูณด้วย 0 มันได้ผลเสมอ 0 - นี่เป็นคุณสมบัติโดยธรรมชาติของศูนย์ หรือพูดอย่างเคร่งครัด ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของคำจำกัดความ
จำนวนดังกล่าวเมื่อคูณด้วย 0 จะให้สิ่งอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ มันก็ไม่มีอยู่จริง นั่นคือปัญหาของเราไม่มีทางแก้ไข (ใช่ สิ่งนี้เกิดขึ้น ไม่ใช่ทุกปัญหาจะมีทางแก้ไข) ซึ่งหมายถึงบันทึก 5: 0 ไม่ตรงกับตัวเลขใดๆ และไม่มีความหมายใดๆ จึงไม่มีความหมาย ความไร้ความหมายของรายการนี้แสดงออกมาสั้นๆ โดยบอกว่าคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้
ผู้อ่านที่เอาใจใส่มากที่สุดในสถานที่นี้จะถามอย่างแน่นอน: เป็นไปได้ไหมที่จะหารศูนย์ด้วยศูนย์?
แท้จริงแล้วสมการ 0 x = 0แก้ไขได้สำเร็จ ตัวอย่างเช่นคุณสามารถใช้ x = 0แล้วเราก็ได้ 0 0 = 0- ปรากฎว่า 0: 0=0 - แต่อย่ารีบเร่ง เรามาลองรับกัน x = 1- เราได้รับ 0 1 = 0- ขวา? วิธี, 0: 0 = 1 - แต่คุณสามารถใช้หมายเลขใดก็ได้และรับ 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 ฯลฯ
แต่หากหมายเลขใดเหมาะสมเราก็ไม่มีเหตุผลที่จะเลือกหมายเลขใดหมายเลขหนึ่ง นั่นคือเราไม่สามารถบอกได้ว่ารายการนั้นตรงกับหมายเลขใด 0: 0 - และถ้าเป็นเช่นนั้น เราก็ถูกบังคับให้ยอมรับว่าข้อความนี้ไม่สมเหตุสมผลเช่นกัน ปรากฎว่าแม้แต่ศูนย์ก็ไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ (ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ มีหลายกรณีที่เนื่องจากเงื่อนไขเพิ่มเติมของปัญหา เราสามารถให้ความพึงพอใจกับหนึ่งในคำตอบที่เป็นไปได้ของสมการ 0 x = 0- ในกรณีเช่นนี้ นักคณิตศาสตร์พูดถึง "การเปิดเผยความไม่แน่นอน" แต่กรณีดังกล่าวไม่ได้เกิดขึ้นในวิชาเลขคณิต)
นี่คือลักษณะเฉพาะของการดำเนินการฝ่าย แม่นยำยิ่งขึ้นการดำเนินการของการคูณและจำนวนที่เกี่ยวข้องนั้นมีศูนย์
คนที่พิถีพิถันที่สุดเมื่ออ่านมาถึงขนาดนี้อาจถามว่า: ทำไมคุณถึงหารด้วยศูนย์ไม่ได้ แต่คุณสามารถลบศูนย์ได้? ในแง่หนึ่ง นี่คือจุดเริ่มต้นของคณิตศาสตร์ที่แท้จริง คุณสามารถตอบได้โดยการทำความคุ้นเคยกับคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการของชุดตัวเลขและการดำเนินการกับชุดเหล่านั้นเท่านั้น ไม่ใช่เรื่องยาก แต่ด้วยเหตุผลบางอย่างจึงไม่ได้สอนในโรงเรียน แต่ในการบรรยายคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัย พวกเขาจะสอนคุณแบบนี้เป็นหลัก
ฟังก์ชันการหารไม่ได้ถูกกำหนดไว้สำหรับช่วงที่ตัวหารเป็นศูนย์ แบ่งได้แต่ผลไม่แน่นอน
คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ คณิตศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2
หากหน่วยความจำของฉันทำหน้าที่ได้อย่างถูกต้อง ศูนย์ก็สามารถแสดงเป็นค่าที่ไม่สิ้นสุดได้ ดังนั้นจะมีค่าอนันต์ และโรงเรียนแบบ "ศูนย์ - ไม่มีอะไร" เป็นเพียงการทำให้เข้าใจง่าย มีมากมายในวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียน) แต่มันเป็นไปไม่ได้หากไม่มีพวกเขา ทุกอย่างจะเกิดขึ้นตามเวลาที่กำหนด
เข้าสู่ระบบเพื่อเขียนตอบกลับ
ความฉลาดทางจาก หารด้วยศูนย์ไม่มีตัวเลขอื่นนอกจากศูนย์
การให้เหตุผลมีดังนี้ เนื่องจากในกรณีนี้ ไม่มีจำนวนใดที่ตรงกับคำจำกัดความของผลหารได้
เรามาเขียนกัน เช่น
ไม่ว่าคุณจะลองเลขอะไรก็ตาม (เช่น 2, 3, 7) มันไม่เหมาะเพราะ:
\[ 2 0 = 0 \]
\[ 3 0 = 0 \]
\[ 7 0 = 0 \]
ฯลฯ แต่คุณต้องได้ 2,3,7 ในสินค้า
เราสามารถพูดได้ว่าปัญหาการหารจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ด้วยศูนย์ไม่มีวิธีแก้ไข อย่างไรก็ตาม จำนวนอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์สามารถหารด้วยตัวเลขที่ใกล้กับศูนย์ได้ตามต้องการ และยิ่งตัวหารเข้าใกล้ศูนย์มากเท่าไร ผลหารก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น แล้วถ้าเราหาร 7 ด้วย
\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]
จากนั้นเราจะได้ผลหาร 70, 700, 7000, 70,000 ฯลฯ ซึ่งเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด
ดังนั้น พวกเขาจึงมักพูดว่าผลหารของ 7 หารด้วย 0 นั้น “ใหญ่เป็นอนันต์” หรือ “เท่ากับอนันต์” และเขียนว่า
\[ 7: 0 = \อินฟิน \]
ความหมายของสำนวนนี้คือ ถ้าตัวหารเข้าใกล้ศูนย์และเงินปันผลยังคงเท่ากับ 7 (หรือเข้าใกล้ 7) ผลหารจะเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด