ตัวเลขเฉพาะ: ความมากมายของปริศนาที่ยังไขไม่ออก

บทความนี้กล่าวถึงแนวคิดเรื่องจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ คำจำกัดความของตัวเลขดังกล่าวมีให้พร้อมตัวอย่าง เราแสดงหลักฐานว่าปริมาณ หมายเลขเฉพาะไม่จำกัดแล้วเขียนลงในตารางจำนวนเฉพาะโดยใช้วิธีเอราทอสเธเนส จะมีการมอบหลักฐานเพื่อพิจารณาว่าตัวเลขนั้นเป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

จำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ - คำจำกัดความและตัวอย่าง

จำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบจัดเป็นจำนวนเต็มบวก จะต้องมีมากกว่าหนึ่ง ตัวหารยังแบ่งออกเป็นแบบง่ายและแบบประกอบ หากต้องการเข้าใจแนวคิดเรื่องจำนวนประกอบ คุณต้องศึกษาแนวคิดเรื่องตัวหารและตัวคูณก่อน

คำจำกัดความ 1

จำนวนเฉพาะคือจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 และมีตัวหารบวกสองตัว นั่นคือ ตัวมันเองและ 1

คำจำกัดความ 2

จำนวนประกอบคือจำนวนเต็มที่มากกว่าหนึ่งและมีตัวหารบวกอย่างน้อยสามตัว

หนึ่งไม่ใช่จำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ มีตัวหารบวกเพียงตัวเดียว จึงแตกต่างจากจำนวนบวกอื่นๆ ทั้งหมด จำนวนเต็มบวกทั้งหมดเรียกว่าจำนวนธรรมชาติ ซึ่งใช้ในการนับ

คำจำกัดความ 3

เลขเด่นเป็นจำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารบวกเพียงสองตัว

คำจำกัดความที่ 4

หมายเลขประกอบเป็นจำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารบวกมากกว่าสองตัว

จำนวนใดๆ ที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ จากคุณสมบัติการหารลงตัว เรามี 1 และจำนวน a ที่จะเป็นตัวหารของจำนวน a ใดๆ เสมอ นั่นคือมันจะหารด้วยตัวมันเองและ 1 ลงตัว ลองให้คำจำกัดความของจำนวนเต็มกัน

คำจำกัดความที่ 5

จำนวนธรรมชาติที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะเรียกว่าจำนวนประกอบ

จำนวนเฉพาะ: 2, 3, 11, 17, 131, 523 พวกมันหารด้วยตัวมันเองและ 1 ลงตัวเท่านั้น. หมายเลขผสม: 6, 63, 121, 6697 นั่นคือเลข 6 สามารถแบ่งออกเป็น 2 และ 3 และ 63 เป็น 1, 3, 7, 9, 21, 63 และ 121 เป็น 11, 11 นั่นคือตัวหารจะเป็น 1, 11, 121 หมายเลข 6697 แบ่งออกเป็น 37 และ 181 โปรดทราบว่าแนวคิดเรื่องจำนวนเฉพาะและจำนวนเฉพาะเป็นแนวคิดที่แตกต่างกัน

เพื่อให้ง่ายต่อการใช้จำนวนเฉพาะ คุณต้องใช้ตาราง:

ตารางสำหรับจำนวนธรรมชาติที่มีอยู่ทั้งหมดนั้นไม่สมจริง เนื่องจากมีจำนวนอนันต์ เมื่อตัวเลขมีขนาดถึง 10,000 หรือ 1000000000 คุณควรพิจารณาใช้ตะแกรงเอราทอสเทนีส

ลองพิจารณาทฤษฎีบทที่อธิบายข้อความสุดท้าย

ทฤษฎีบท 1

ตัวหารบวกที่น้อยที่สุดที่ไม่ใช่ 1 ของจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนเฉพาะ

หลักฐานที่ 1

สมมติว่า a เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 โดย b เป็นตัวหารที่ไม่ใช่ 1 ที่เล็กที่สุดของ a จำเป็นต้องพิสูจน์ว่า b เป็นจำนวนเฉพาะโดยใช้วิธีขัดแย้ง

ให้เราสมมุติว่า b – หมายเลขประกอบ- จากตรงนี้ เราพบว่ามีตัวหารของ b ซึ่งต่างจาก 1 และจาก b ตัวหารดังกล่าวเขียนแทนด้วย b 1 จำเป็นต้องมีเงื่อนไขที่ 1< b 1 < b เสร็จสมบูรณ์

จากเงื่อนไขเป็นที่ชัดเจนว่า a หารด้วย b, b หารด้วย b 1 ซึ่งหมายความว่าแนวคิดเรื่องการหารลงตัวแสดงได้ดังนี้: ก = ข คิวและ b = b 1 · q 1 จากที่ a = b 1 · (q 1 · q) โดยที่ q และ คำถามที่ 1เป็นจำนวนเต็ม ตามกฎการคูณจำนวนเต็ม เราได้ผลลัพธ์ของจำนวนเต็มเป็นจำนวนเต็มที่มีความเท่ากันในรูปแบบ a = b 1 · (q 1 · q) จะเห็นได้ว่า b1 เป็นตัวหารของจำนวน a ความไม่เท่าเทียมกัน 1< b 1 < b ไม่สอดคล้องกัน เพราะเราพบว่า b เป็นตัวหารบวกที่น้อยที่สุดและไม่ใช่ 1 ของ a

ทฤษฎีบท 2

จำนวนเฉพาะมีจำนวนอนันต์

หลักฐานที่ 2

สมมุติว่าเราเอาจำนวนธรรมชาติจำนวนจำกัด n มาเขียนเป็น p 1, p 2, …, p n ลองพิจารณาตัวเลือกในการหาจำนวนเฉพาะที่แตกต่างจากที่ระบุไว้

ให้เราพิจารณาจำนวน p ซึ่งเท่ากับ p 1, p 2, ..., p n + 1 มันไม่เท่ากับตัวเลขแต่ละตัวที่ตรงกับจำนวนเฉพาะในรูปแบบ p 1, p 2, ..., p n จำนวน p เป็นจำนวนเฉพาะ จากนั้นจึงถือว่าทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์ หากเป็นแบบประกอบ คุณจะต้องใช้สัญลักษณ์ p n + 1 และแสดงว่าตัวหารไม่ตรงกับ p 1, p 2, ..., p n ตัวใดตัวหนึ่ง

หากไม่เป็นเช่นนั้น ก็ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติการหารลงตัวของผลิตภัณฑ์ p 1, p 2, ..., p n , เราพบว่ามันจะหารด้วย pn + 1 ลงตัว โปรดทราบว่านิพจน์ p n + 1 การหารจำนวน p เท่ากับผลรวม p 1, p 2, ..., p n + 1 เราพบว่านิพจน์ p n + 1 ต้องหารเทอมที่สองของผลรวมนี้ซึ่งเท่ากับ 1 แต่เป็นไปไม่ได้

จะเห็นได้ว่าสามารถหาจำนวนเฉพาะใดๆ ได้จากจำนวนเฉพาะใดๆ ก็ตามของจำนวนเฉพาะที่กำหนด ตามมาด้วยจำนวนเฉพาะจำนวนนับไม่ถ้วน

เนื่องจากมีจำนวนเฉพาะจำนวนมาก ตารางจึงจำกัดอยู่ที่ตัวเลข 100, 1,000, 10,000 และอื่นๆ

เมื่อรวบรวมตารางจำนวนเฉพาะ คุณควรคำนึงว่างานดังกล่าวต้องมีการตรวจสอบตัวเลขตามลำดับ เริ่มตั้งแต่ 2 ถึง 100 หากไม่มีตัวหาร จะถูกบันทึกลงในตาราง หากเป็นแบบประกอบ จะไม่ถูกป้อนลงในตาราง

ลองดูทีละขั้นตอน

หากคุณขึ้นต้นด้วยเลข 2 จะมีตัวหารเพียง 2 ตัวเท่านั้น คือ 2 และ 1 ซึ่งหมายความว่าสามารถใส่ลงในตารางได้ เช่นเดียวกับหมายเลข 3 หมายเลข 4 เป็นแบบประกอบ ต้องแยกย่อยเป็น 2 และ 2 เลข 5 เป็นเลขจำนวนเฉพาะ ซึ่งหมายความว่าสามารถบันทึกลงในตารางได้ ทำเช่นนี้จนถึงจำนวน 100

วิธีนี้ไม่สะดวกและใช้เวลานาน คุณสามารถสร้างตารางได้ แต่คุณจะต้องใช้จ่าย จำนวนมากเวลา. จำเป็นต้องใช้เกณฑ์การหารซึ่งจะทำให้กระบวนการหาตัวหารเร็วขึ้น

วิธีใช้ตะแกรง Eratosthenes ถือว่าสะดวกที่สุด ลองดูตารางตัวอย่างด้านล่างนี้ เริ่มต้นด้วยการเขียนตัวเลข 2, 3, 4, ... , 50

ตอนนี้คุณต้องขีดฆ่าตัวเลขทั้งหมดที่เป็นผลคูณของ 2 ออก ดำเนินการขีดฆ่าตามลำดับ เราได้รับตารางดังนี้:

เราไปขีดฆ่าตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 5. เราได้รับ:

ขีดฆ่าตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 7, 11 ในที่สุดโต๊ะก็ดูเหมือน

เรามาดูการกำหนดทฤษฎีบทกันดีกว่า

ทฤษฎีบท 3

ตัวหารบวกและไม่ใช่ 1 ที่น้อยที่สุดของจำนวนฐาน a จะไม่เกิน a โดยที่ a คือรากเลขคณิตของจำนวนที่กำหนด

หลักฐานที่ 3

จะต้องถูกกำหนดข ตัวหารน้อยที่สุดหมายเลขประกอบ ก. มีจำนวนเต็ม q โดยที่ a = b · q และเรามี b ≤ q นั้น ความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์มเป็นสิ่งที่ยอมรับไม่ได้ ข > คิว,เพราะสภาพถูกละเมิด ทั้งสองด้านของอสมการ b ≤ q ควรคูณด้วยจำนวนบวก b ใดๆ ที่ไม่เท่ากับ 1 เราจะได้ว่า b · b ≤ b · q โดยที่ b 2 ≤ a และ b ≤ a

จากทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วเป็นที่ชัดเจนว่าการขีดฆ่าตัวเลขในตารางนำไปสู่ความจริงที่ว่าจำเป็นต้องเริ่มต้นด้วยตัวเลขที่เท่ากับ b 2 และเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน b 2 ≤ a นั่นคือ หากคุณขีดฆ่าตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 2 กระบวนการจะเริ่มต้นด้วย 4 และทวีคูณของ 3 ด้วย 9 และต่อไปเรื่อยๆ จนถึง 100

การคอมไพล์ตารางดังกล่าวโดยใช้ทฤษฎีบทของเอราทอสเธนีส เสนอว่าเมื่อจำนวนประกอบทั้งหมดถูกขีดฆ่าออก จำนวนเฉพาะจะยังคงอยู่ที่ไม่เกิน n ในตัวอย่างโดยที่ n = 50 เราจะได้ n = 50 จากจุดนี้เราพบว่าตะแกรงของเอราทอสเทนีสจะกรองจำนวนประกอบทั้งหมดที่ไม่มีค่าออกมา มูลค่าที่มากขึ้นรากของ 50 การค้นหาตัวเลขทำได้โดยการขีดฆ่า

ก่อนจะแก้โจทย์ คุณต้องค้นหาก่อนว่าจำนวนนั้นเป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ มักใช้เกณฑ์การหาร ลองดูตัวอย่างด้านล่างนี้

ตัวอย่างที่ 1

พิสูจน์ว่าจำนวน 898989898989898989 เป็นจำนวนประกอบ

สารละลาย

ผลรวมของตัวเลขที่กำหนดคือ 9 8 + 9 9 = 9 17 ซึ่งหมายความว่าตัวเลข 9 · 17 หารด้วย 9 ลงตัว โดยอาศัยการทดสอบการหารด้วย 9 ลงตัว ตามมาว่าเป็นคอมโพสิต

สัญญาณดังกล่าวไม่สามารถพิสูจน์ความเป็นสำคัญของตัวเลขได้ หากจำเป็นต้องมีการตรวจสอบ ควรดำเนินการอื่นๆ ที่สุด วิธีที่เหมาะสม- มันเป็นตัวเลขจำนวนมาก ในระหว่างขั้นตอนนี้ คุณสามารถค้นหาจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบได้ นั่นคือตัวเลขไม่ควรเกินค่า นั่นคือต้องแยกจำนวน a ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ หากเป็นที่พอใจ จำนวน a ก็ถือเป็นจำนวนเฉพาะได้

ตัวอย่างที่ 2

กำหนดจำนวนประกอบหรือจำนวนเฉพาะ 11723

สารละลาย

ตอนนี้คุณต้องค้นหาตัวหารทั้งหมดของหมายเลข 11723 ต้องประเมิน 11723

จากตรงนี้เราจะเห็นว่า 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 และ 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม การประเมินที่แม่นยำหมายเลข 11723 คุณต้องเขียนนิพจน์ 108 2 = 11 664 และ 109 2 = 11 881 , ที่ 108 2 < 11 723 < 109 2 - ตามมาด้วยหมายเลข 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

เมื่อขยายออกเราจะพบว่า 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 เป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมด ทั้งหมด กระบวนการนี้สามารถแสดงเป็นการหารด้วยคอลัมน์ได้ นั่นคือหาร 11723 ด้วย 19 เลข 19 เป็นปัจจัยหนึ่ง เนื่องจากเราหารได้โดยไม่มีเศษ. เรามาแสดงการแบ่งเป็นคอลัมน์:

ตามมาด้วยว่า 11723 เป็นจำนวนประกอบ เพราะนอกจากตัวมันเองและ 1 แล้ว ยังมีตัวหารด้วย 19 ด้วย

คำตอบ: 11723 เป็นจำนวนประกอบ

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

จำนวนธรรมชาติอื่นๆ ทั้งหมดเรียกว่าจำนวนประกอบ จำนวนธรรมชาติ 1 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ

ตัวอย่าง

ออกกำลังกาย.จำนวนธรรมชาติใดที่เขียนด้านล่างนี้เป็นจำนวนเฉพาะ:

คำตอบ.

แยกตัวประกอบตัวเลข

การแทนจำนวนธรรมชาติเป็นผลคูณของจำนวนธรรมชาติเรียกว่า การแยกตัวประกอบ- ถ้าในการแยกตัวประกอบของจำนวนธรรมชาติ ตัวประกอบทั้งหมดเป็นจำนวนเฉพาะ ก็จะเรียกว่าการแยกตัวประกอบดังกล่าว การแยกตัวประกอบเฉพาะ.

ทฤษฎีบท

(ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต)

จำนวนธรรมชาติทุกตัวที่ไม่ใช่ 1 สามารถแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะได้ และด้วยวิธีเฉพาะ (หากเราระบุการแยกตัวประกอบ และ โดยที่ และ เป็นจำนวนเฉพาะ)

ด้วยการรวมปัจจัยเฉพาะที่เหมือนกันในการสลายตัวของตัวเลข เราจะได้สิ่งที่เรียกว่าการสลายตัวตามบัญญัติของตัวเลข:

โดยที่ เป็นจำนวนเฉพาะต่างๆ และเป็นจำนวนธรรมชาติ

ตัวอย่าง

ออกกำลังกาย.ค้นหาการขยายตัวเลขตามรูปแบบบัญญัติ:

สารละลาย.ในการค้นหาการแบ่งแยกตามรูปแบบบัญญัติของตัวเลข คุณต้องแยกตัวประกอบเหล่านี้เป็นตัวประกอบเฉพาะก่อน จากนั้นจึงรวมตัวประกอบเดียวกันและเขียนผลคูณของตัวเลขเป็นกำลังด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ:

คำตอบ.

ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์

จะทราบได้อย่างไรว่าจำนวนใดเป็นจำนวนเฉพาะและจำนวนใดไม่ใช่? วิธีที่ใช้กันทั่วไปในการค้นหาจำนวนเฉพาะทั้งหมดในช่วงจำนวนใดๆ เสนอขึ้นในศตวรรษที่ 3 พ.ศ จ. Eratosthenes (วิธีนี้เรียกว่า "ตะแกรงของ Eratosthenes") สมมติว่าเราต้องพิจารณาว่าจำนวนใดเป็นจำนวนเฉพาะ ลองเขียนมันออกมาเรียงกันและขีดฆ่าตัวเลขทุกวินาทีจากตัวเลขที่ตามหลังเลข 2 - พวกมันทั้งหมดประกอบกัน เนื่องจากมันเป็นจำนวนทวีคูณของเลข 2 เลขตัวแรกของตัวเลขที่เหลือที่ไม่ได้ขีดฆ่า - 3 - เป็นจำนวนเฉพาะ ลองขีดฆ่าตัวเลขทุก ๆ สามจากตัวเลขที่อยู่หลังเลข 3 ตัวเลขถัดไปที่ไม่ถูกขีดฆ่า - 5 - จะเป็นจำนวนเฉพาะเช่นกัน เมื่อใช้หลักการเดียวกัน เราจะขีดฆ่าตัวเลขทุกๆ ห้าออกจากตัวเลขที่ตามหลังเลข 5 และโดยทั่วไป ขีดฆ่าตัวเลขทุกตัวจากตัวเลขที่ตามหลังตัวเลข . จำนวนที่ไม่มีการครอสที่เหลือทั้งหมดจะเป็นจำนวนเฉพาะ

เมื่อจำนวนเฉพาะเพิ่มขึ้น มันก็จะค่อยๆ พบน้อยลงเรื่อยๆ อย่างไรก็ตาม คนสมัยก่อนตระหนักดีอยู่แล้วว่ามีอยู่มากมายนับไม่ถ้วน หลักฐานของเขาแสดงไว้ใน Euclid's Elements

• การแปล

คุณสมบัติของจำนวนเฉพาะได้รับการศึกษาครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ กรีกโบราณ- นักคณิตศาสตร์ของโรงเรียนพีทาโกรัส (500 - 300 ปีก่อนคริสตกาล) สนใจคุณสมบัติทางลึกลับและตัวเลขของจำนวนเฉพาะเป็นหลัก พวกเขาเป็นคนแรกที่คิดไอเดียเกี่ยวกับตัวเลขที่สมบูรณ์แบบและเป็นมิตร

จำนวนสมบูรณ์มีผลรวมของตัวหารเองเท่ากับตัวมันเอง ตัวอย่างเช่น ตัวหารแท้ของเลข 6 คือ 1, 2 และ 3 1 + 2 + 3 = 6 ตัวหารแท้ของเลข 28 คือ 1, 2, 4, 7 และ 14 ยิ่งไปกว่านั้น 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

ตัวเลขจะถูกเรียกว่าเป็นมิตรถ้าผลรวมของตัวหารแท้ของจำนวนหนึ่งเท่ากับอีกจำนวนหนึ่ง และในทางกลับกัน เช่น 220 และ 284 เราสามารถพูดได้ว่าจำนวนสมบูรณ์นั้นเป็นมิตรกับตัวมันเอง

เมื่อถึงเวลาธาตุ Euclid ใน 300 ปีก่อนคริสตกาล หลายอย่างได้รับการพิสูจน์แล้ว ข้อเท็จจริงที่สำคัญเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ ในเล่มที่ 9 ของธาตุ ยุคลิดพิสูจน์ว่าจำนวนเฉพาะมีจำนวนอนันต์ อย่างไรก็ตาม นี่เป็นหนึ่งในตัวอย่างแรกๆ ของการใช้การพิสูจน์โดยมีข้อขัดแย้ง นอกจากนี้เขายังพิสูจน์ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต - จำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถแสดงเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะได้โดยไม่ซ้ำกัน

เขายังแสดงด้วยว่าถ้าเลข 2n-1 เป็นจำนวนเฉพาะ แล้วเลข 2n-1 * (2n-1) ก็จะสมบูรณ์แบบ ออยเลอร์นักคณิตศาสตร์อีกคนสามารถแสดงในปี 1747 ว่าจำนวนสมบูรณ์ทั้งหมดสามารถเขียนในรูปแบบนี้ได้ จนถึงทุกวันนี้ ยังไม่ทราบว่ามีเลขสมบูรณ์คี่อยู่หรือไม่

ในปี 200 ปีก่อนคริสตกาล ชาวกรีก Eratosthenes มีอัลกอริธึมในการค้นหาจำนวนเฉพาะที่เรียกว่า Sieve of Eratosthenes

และจากนั้นก็เกิดการแตกหักครั้งใหญ่ในประวัติศาสตร์ของการศึกษาจำนวนเฉพาะ ที่เกี่ยวข้องกับยุคกลาง

การค้นพบต่อไปนี้เกิดขึ้นเมื่อต้นศตวรรษที่ 17 โดยนักคณิตศาสตร์แฟร์มาต์ เขาพิสูจน์การคาดเดาของอัลเบิร์ต จิราร์ดว่าจำนวนเฉพาะใดๆ ในรูปแบบ 4n+1 สามารถเขียนได้โดยไม่ซ้ำกันเป็นผลรวมของกำลังสองสองอัน และยังได้กำหนดทฤษฎีบทที่ว่าจำนวนใดๆ ก็ตามสามารถเขียนเป็นผลรวมของกำลังสองสี่ตัวได้

เขาพัฒนาขึ้น วิธีการใหม่การแยกตัวประกอบ จำนวนมากและสาธิตมันบนหมายเลข 2027651281 = 44021 × 46061 นอกจากนี้ เขายังพิสูจน์ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์ด้วย: ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ แล้วสำหรับจำนวนเต็ม a ใดๆ มันจะเป็นเรื่องจริงที่ a p = a โมดูโล p

ข้อความนี้พิสูจน์ครึ่งหนึ่งของสิ่งที่เรียกว่า "การคาดเดาแบบจีน" และมีอายุย้อนกลับไป 2,000 ปี: จำนวนเต็ม n เป็นจำนวนเฉพาะก็ต่อเมื่อ 2 n -2 หารด้วย n ลงตัวเท่านั้น ส่วนที่สองของสมมติฐานกลายเป็นเท็จ เช่น 2,341 - 2 หารด้วย 341 ลงตัว แม้ว่าจำนวน 341 จะประกอบกันก็ตาม: 341 = 31 × 11

ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์ทำหน้าที่เป็นพื้นฐานสำหรับผลลัพธ์อื่นๆ มากมายในทฤษฎีจำนวนและวิธีการทดสอบว่าตัวเลขเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ ซึ่งหลายๆ วิธียังคงใช้อยู่ในปัจจุบัน

แฟร์มาต์มีความสอดคล้องกับคนรุ่นราวคราวเดียวกับเขามาก โดยเฉพาะกับพระภิกษุชื่อมาเรน เมอร์เซน ในจดหมายฉบับหนึ่งของเขา เขาตั้งสมมติฐานว่าตัวเลขในรูปแบบ 2 n +1 จะเป็นจำนวนเฉพาะเสมอถ้า n เป็นกำลังของสอง เขาทดสอบค่านี้สำหรับ n = 1, 2, 4, 8 และ 16 และมั่นใจว่าในกรณีที่ n ไม่ใช่กำลังสอง จำนวนนั้นก็ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเฉพาะเสมอไป ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าตัวเลขของแฟร์มาต์ และเพียง 100 ปีต่อมาออยเลอร์แสดงให้เห็นว่าจำนวนถัดไป 2 32 + 1 = 4294967297 หารด้วย 641 ลงตัว จึงไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

ตัวเลขในรูปแบบ 2 n - 1 ก็เป็นหัวข้อวิจัยเช่นกัน เนื่องจากเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าถ้า n ประกอบเข้าด้วยกัน ตัวเลขนั้นก็จะประกอบกันด้วย ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าตัวเลข Mersenne เนื่องจากเขาได้ศึกษาตัวเลขเหล่านี้อย่างกว้างขวาง

แต่ไม่ใช่ทุกจำนวนที่อยู่ในรูป 2 n - 1 โดยที่ n เป็นจำนวนเฉพาะ จึงเป็นจำนวนเฉพาะ ตัวอย่างเช่น 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89 ค้นพบครั้งแรกในปี 1536

เป็นเวลาหลายปีมาแล้วที่ตัวเลขประเภทนี้ทำให้นักคณิตศาสตร์มีจำนวนเฉพาะที่รู้จักมากที่สุด M 19 ได้รับการพิสูจน์โดย Cataldi ในปี 1588 และเป็นเวลา 200 ปีที่เป็นจำนวนเฉพาะที่รู้จักมากที่สุด จนกระทั่งออยเลอร์พิสูจน์ว่า M 31 ก็เป็นจำนวนเฉพาะเช่นกัน บันทึกนี้คงอยู่ต่อไปอีกร้อยปี จากนั้นลูคัสก็แสดงให้เห็นว่า M 127 เป็นจำนวนเฉพาะ (และนี่คือตัวเลข 39 หลักอยู่แล้ว) และหลังจากนั้น การวิจัยก็ดำเนินต่อไปด้วยการถือกำเนิดของคอมพิวเตอร์

ในปี 1952 ความเป็นเลิศของตัวเลข M 521, M 607, M 1279, M 2203 และ M 2281 ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ภายในปี พ.ศ. 2548 สามารถค้นพบจำนวนเฉพาะของเมอร์แซนน์ได้ 42 ตัว ที่ใหญ่ที่สุดคือ M 25964951 ประกอบด้วย 7816230 หลัก

งานของออยเลอร์มีผลกระทบอย่างมากต่อทฤษฎีตัวเลข รวมถึงจำนวนเฉพาะด้วย เขาขยายทฤษฎีบทลิตเติ้ลของแฟร์มาต์และแนะนำฟังก์ชัน φ แยกตัวประกอบของแฟร์มาต์หมายเลขที่ 5 2 32 +1 หาจำนวนที่เป็นมิตรได้ 60 คู่ และตั้งกฎการตอบแทนซึ่งกันและกันกำลังสอง (แต่พิสูจน์ไม่ได้)

เขาเป็นคนแรกที่แนะนำวิธีการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และพัฒนาทฤษฎีจำนวนวิเคราะห์ เขาพิสูจน์ว่าไม่เพียงแต่อนุกรมฮาร์มอนิก ∑ (1/n) เท่านั้น แต่ยังรวมถึงอนุกรมของรูปแบบด้วย

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

ผลลัพธ์ที่ได้จากผลรวมของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะก็จะต่างกันออกไปเช่นกัน ผลรวมของพจน์ n ของอนุกรมฮาร์มอนิกจะเพิ่มขึ้นโดยประมาณเป็น log(n) และอนุกรมที่สองจะแยกออกช้ากว่าเมื่อเป็น log[ log(n) ] ซึ่งหมายความว่า ตัวอย่างเช่น ผลรวมของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่พบจนถึงปัจจุบันจะให้เพียง 4 แม้ว่าอนุกรมจะยังคงแยกจากกันก็ตาม

เมื่อดูเผินๆ ดูเหมือนว่าจำนวนเฉพาะจะกระจายแบบสุ่มไปตามจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น ในบรรดาตัวเลข 100 ตัวที่อยู่ก่อน 10000000 จะมีจำนวนเฉพาะ 9 ตัว และในจำนวน 100 ตัวที่อยู่หลังค่านี้มีเพียง 2 ตัวเท่านั้น แต่สำหรับกลุ่มขนาดใหญ่ จำนวนเฉพาะจะถูกกระจายอย่างเท่าเทียมกัน Legendre และ Gauss จัดการกับปัญหาเรื่องการจำหน่าย เกาส์เคยบอกเพื่อนว่าในช่วง 15 นาทีฟรีๆ เขาจะนับจำนวนเฉพาะใน 1,000 ตัวถัดไปเสมอ เมื่อบั้นปลายชีวิต เขาได้นับจำนวนเฉพาะทั้งหมดได้ถึง 3 ล้าน ลีเจนเดรและเกาส์คำนวณเท่ากันว่าสำหรับ n ขนาดใหญ่ ความหนาแน่นเฉพาะคือ 1/log(n) Legendre ประมาณจำนวนจำนวนเฉพาะในช่วงตั้งแต่ 1 ถึง n เช่น

π(n) = n/(บันทึก(n) - 1.08366)

และเกาส์ก็เหมือนกับอินทิกรัลลอการิทึม

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

โดยมีช่วงการรวมตั้งแต่ 2 ถึง n

ข้อความเกี่ยวกับความหนาแน่นเฉพาะ 1/log(n) เรียกว่าทฤษฎีบทการกระจายตัวเฉพาะ พวกเขาพยายามพิสูจน์มันตลอดศตวรรษที่ 19 และ Chebyshev และ Riemann ก็ประสบความสำเร็จ พวกเขาเชื่อมโยงมันกับสมมติฐานรีมันน์ ซึ่งเป็นสมมติฐานที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์เกี่ยวกับการแจกแจงของศูนย์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ความหนาแน่นของจำนวนเฉพาะได้รับการพิสูจน์พร้อมกันโดยฮาดามาร์ดและวัลเล-ปูแซ็งในปี พ.ศ. 2439

ยังมีคำถามที่ยังไม่ได้แก้อีกมากมายในทฤษฎีจำนวนเฉพาะ บางคำถามมีอายุหลายร้อยปี:

• สมมติฐานจำนวนเฉพาะคู่นั้นเกี่ยวกับจำนวนคู่ของจำนวนเฉพาะที่มีค่าไม่สิ้นสุดซึ่งต่างกันด้วย 2
• การคาดเดาของโกลด์บัค: จำนวนคู่ใดๆ ที่เริ่มต้นด้วย 4 สามารถแสดงเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองตัวได้
• จำนวนเฉพาะในรูปแบบ n 2 + 1 มีจำนวนอนันต์หรือไม่?
• เป็นไปได้ไหมที่จะหาจำนวนเฉพาะระหว่าง n 2 ถึง (n + 1) 2? (ข้อเท็จจริงที่ว่ามีจำนวนเฉพาะระหว่าง n ถึง 2n เสมอ ได้รับการพิสูจน์โดย Chebyshev)
• จำนวนเฉพาะของแฟร์มาต์เป็นจำนวนอนันต์ใช่หรือไม่? มีจำนวนเฉพาะแฟร์มาต์หลัง 4 หรือไม่?
• มันมีอยู่จริงไหม ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเฉพาะที่ต่อเนื่องกันสำหรับความยาวใดๆ ที่กำหนด? ตัวอย่างเช่น สำหรับความยาว 4: 251, 257, 263, 269 ความยาวสูงสุดที่พบคือ 26
• มีจำนวนเฉพาะสามตัวติดต่อกันเป็นจำนวนอนันต์ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หรือไม่?
• n 2 - n + 41 เป็นจำนวนเฉพาะสำหรับ 0 ≤ n ≤ 40 จำนวนเฉพาะดังกล่าวมีจำนวนอนันต์หรือไม่? คำถามเดียวกันสำหรับสูตร n 2 - 79 n + 1601 ตัวเลขเหล่านี้เป็นจำนวนเฉพาะสำหรับ 0 ≤ n ≤ 79
• จำนวนเฉพาะในรูปแบบ n# + 1 มีจำนวนอนันต์หรือไม่? (n# คือผลลัพธ์ของการคูณจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่น้อยกว่า n)
• จำนวนเฉพาะในรูปแบบ n# -1 มีจำนวนอนันต์หรือไม่?
• จำนวนเฉพาะในรูป n มีจำนวนอนันต์หรือไม่? +1?
• จำนวนเฉพาะในรูป n มีจำนวนอนันต์หรือไม่? – 1?
• ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ 2 p -1 จะไม่มีกำลังสองจำนวนเฉพาะอยู่ท่ามกลางปัจจัยของมันเสมอไปใช่หรือไม่
• ลำดับฟีโบนัชชีมีจำนวนเฉพาะจำนวนอนันต์หรือไม่?

จำนวนเฉพาะคู่ที่ใหญ่ที่สุดคือ 2003663613 × 2 195000 ± 1 ประกอบด้วย 58711 หลัก และถูกค้นพบในปี พ.ศ. 2550

จำนวนเฉพาะแฟคทอเรียลที่ใหญ่ที่สุด (ประเภท n! ± 1) คือ 147855! - 1. ประกอบด้วยตัวเลข 142891 หลัก พบเมื่อปี พ.ศ. 2545.

จำนวนเฉพาะปฐมภูมิที่ใหญ่ที่สุด (ตัวเลขในรูปแบบ n# ± 1) คือ 1098133# + 1

ในบทความนี้เราจะสำรวจ จำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ- ขั้นแรก เราจะให้คำจำกัดความของจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบพร้อมทั้งยกตัวอย่างด้วย หลังจากนี้ เราจะพิสูจน์ว่ามีจำนวนเฉพาะจำนวนอนันต์ ต่อไป เราจะเขียนตารางจำนวนเฉพาะ และพิจารณาวิธีการรวบรวมตารางจำนวนเฉพาะ โดยให้ความสนใจเป็นพิเศษกับวิธีที่เรียกว่าตะแกรงเอราทอสเธนีส โดยสรุป เราเน้นประเด็นหลักที่ต้องนำมาพิจารณาเมื่อพิสูจน์สิ่งนั้น หมายเลขที่กำหนดเป็นเรื่องง่ายหรือซับซ้อน

การนำทางหน้า

จำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ - คำจำกัดความและตัวอย่าง

แนวคิดเรื่องจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบหมายถึงจำนวนที่มากกว่าหนึ่ง จำนวนเต็มดังกล่าว ขึ้นอยู่กับจำนวนของตัวหารบวก จะถูกแบ่งออกเป็นจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ จึงจะเข้าใจ คำจำกัดความของจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบคุณต้องมีความเข้าใจเป็นอย่างดีว่าตัวหารและตัวคูณคืออะไร

คำนิยาม.

เลขเด่นเป็นจำนวนเต็ม หน่วยขนาดใหญ่ ซึ่งมีตัวหารบวกเพียงสองตัว คือ ตัวมันเอง และ 1

คำนิยาม.

ตัวเลขประกอบคือจำนวนเต็มขนาดใหญ่ที่มีตัวหารบวกอย่างน้อยสามตัว

นอกจากนี้ เราสังเกตว่าหมายเลข 1 ใช้ไม่ได้กับจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ หน่วยมีตัวหารบวกเพียงตัวเดียวซึ่งก็คือเลข 1 นั่นเอง ซึ่งจะทำให้ตัวเลข 1 แตกต่างจากจำนวนเต็มบวกอื่นๆ ทั้งหมดที่มีตัวหารบวกอย่างน้อยสองตัว

เมื่อพิจารณาว่าจำนวนเต็มบวกคือ และค่านั้นมีตัวหารบวกเพียงตัวเดียว เราก็สามารถให้สูตรอื่นๆ ของคำจำกัดความที่ระบุไว้ของจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบได้

คำนิยาม.

เลขเด่นเป็นจำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารบวกเพียงสองตัว

คำนิยาม.

ตัวเลขประกอบเป็นจำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารบวกมากกว่าสองตัว

โปรดทราบว่าจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบก็ได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่มีจำนวนเต็มเพียงตัวเดียวที่ไม่ใช่ทั้งจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ ตามมาจากคุณสมบัติของการหารลงตัว ซึ่งระบุว่าตัวเลข 1 และ a เป็นตัวหารของจำนวนเต็ม a ใดๆ เสมอ

จากข้อมูลในย่อหน้าก่อนหน้า เราสามารถให้คำจำกัดความของจำนวนประกอบได้ดังต่อไปนี้

คำนิยาม.

เรียกจำนวนธรรมชาติที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ คอมโพสิต.

ให้กันเถอะ ตัวอย่างจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ.

ตัวอย่างของจำนวนประกอบ ได้แก่ 6, 63, 121 และ 6,697 ข้อความนี้ยังต้องมีการชี้แจง จำนวน 6 นอกเหนือจากตัวหารบวก 1 และ 6 แล้ว ยังมีตัวหาร 2 และ 3 อีกด้วย เนื่องจาก 6 = 2 3 ดังนั้น 6 จึงเป็นจำนวนประกอบอย่างแท้จริง ตัวประกอบบวกของ 63 คือตัวเลข 1, 3, 7, 9, 21 และ 63 จำนวน 121 เท่ากับผลคูณ 11·11 ดังนั้นตัวหารบวกคือ 1, 11 และ 121 และจำนวน 6,697 นั้นเป็นจำนวนประกอบ เนื่องจากตัวหารบวก นอกเหนือจาก 1 และ 6,697 ก็เป็นตัวเลข 37 และ 181 เช่นกัน

โดยสรุปประเด็นนี้ ฉันอยากจะดึงความสนใจไปที่ข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนเฉพาะและจำนวนโคไพรม์นั้นห่างไกลจากสิ่งเดียวกัน

ตารางเลขเด่น

จำนวนเฉพาะ เพื่อความสะดวกในการใช้งานต่อไป จะถูกบันทึกไว้ในตารางที่เรียกว่าตารางจำนวนเฉพาะ ด้านล่างคือ ตารางเลขเด่นมากถึง 1,000.

คำถามเชิงตรรกะเกิดขึ้น: “เหตุใดเราจึงเติมตารางจำนวนเฉพาะเพียง 1,000 เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างตารางจำนวนเฉพาะที่มีอยู่ทั้งหมด”?

มาตอบคำถามนี้ในส่วนแรกกันก่อน สำหรับปัญหาส่วนใหญ่ที่ต้องใช้จำนวนเฉพาะ จำนวนเฉพาะที่อยู่ในหลักพันก็เพียงพอแล้ว ในกรณีอื่น ๆ เป็นไปได้มากว่าคุณจะต้องหันไปใช้เทคนิคการแก้ปัญหาพิเศษบางอย่าง แม้ว่าเราจะสามารถสร้างตารางจำนวนเฉพาะได้จนถึงจำนวนเต็มบวกจำกัดขนาดใหญ่ตามใจชอบ ไม่ว่าจะเป็น 10,000 หรือ 1,000,000,000 ในย่อหน้าถัดไป เราจะพูดถึงวิธีการสร้างตารางจำนวนเฉพาะโดยเฉพาะ เราจะมาดูวิธีการกัน เรียกว่า.

ตอนนี้เรามาดูความเป็นไปได้ (หรือค่อนข้างเป็นไปไม่ได้) ในการรวบรวมตารางจำนวนเฉพาะที่มีอยู่ทั้งหมด เราไม่สามารถสร้างตารางจำนวนเฉพาะทั้งหมดได้ เนื่องจากมีจำนวนเฉพาะจำนวนอนันต์ ข้อความสุดท้ายคือทฤษฎีบทที่เราจะพิสูจน์หลังจากทฤษฎีบทเสริมต่อไปนี้

ทฤษฎีบท.

ตัวหารบวกที่น้อยที่สุดที่ไม่ใช่ 1 ของจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนเฉพาะ

การพิสูจน์.

อนุญาต a เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 และ b เป็นตัวหารบวกที่น้อยที่สุดของอีกจำนวนหนึ่ง ลองพิสูจน์ว่า b เป็นจำนวนเฉพาะโดยขัดแย้งกัน

สมมติว่า b เป็นจำนวนประกอบ แล้วจะมีตัวหารของจำนวน b (ลองแสดงว่าเป็น b 1) ซึ่งแตกต่างจากทั้ง 1 และ b หากเราคำนึงด้วยว่าค่าสัมบูรณ์ของตัวหารไม่เกิน ค่าสัมบูรณ์หารลงตัวได้ (เรารู้จากคุณสมบัติของการหารลงตัว) แล้วต้องเป็นไปตามเงื่อนไขที่ 1

เนื่องจากจำนวน a หารด้วย b ลงตัวตามเงื่อนไข และเราบอกว่า b หารด้วย b 1 ลงตัว แนวคิดเรื่องการหารลงตัวทำให้เราสามารถพูดถึงการมีอยู่ของจำนวนเต็ม q และ q 1 โดยที่ a=b q และ b=b 1 q 1 จากที่ไหน a= b 1 ·(q 1 ·q) . ผลคูณของจำนวนเต็มสองตัวคือจำนวนเต็ม ดังนั้นความเท่ากัน a=b 1 ·(q 1 ·q) แสดงว่า b 1 เป็นตัวหารของจำนวน a โดยคำนึงถึงความไม่เท่าเทียมกันข้างต้น 1

ตอนนี้เราสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีจำนวนเฉพาะจำนวนอนันต์

ทฤษฎีบท.

จำนวนเฉพาะมีจำนวนอนันต์

การพิสูจน์.

สมมติว่านี่ไม่ใช่กรณี นั่นคือ สมมติว่ามีจำนวนเฉพาะ n ตัวเท่านั้น และจำนวนเฉพาะเหล่านี้คือ p 1, p 2, ..., p n ให้เราแสดงว่าเราสามารถหาจำนวนเฉพาะที่แตกต่างจากที่ระบุได้เสมอ

พิจารณาจำนวน p เท่ากับ p 1 ·p 2 ·…·p n +1 เห็นได้ชัดว่าจำนวนนี้แตกต่างจากจำนวนเฉพาะแต่ละตัว p 1, p 2, ..., p n หากจำนวน p เป็นจำนวนเฉพาะ แสดงว่าทฤษฎีบทนั้นได้รับการพิสูจน์แล้ว ถ้าจำนวนนี้เป็นจำนวนประกอบ ดังนั้นโดยอาศัยทฤษฎีบทที่แล้ว จะมีตัวหารเฉพาะของจำนวนนี้ (เราแสดงว่ามัน p n+1) ให้เราแสดงว่าตัวหารนี้ไม่ตรงกับตัวเลขใดๆ p 1, p 2, ..., p n

หากไม่เป็นเช่นนั้น ตามคุณสมบัติของการหารลงตัว ผลคูณ p 1 ·p 2 ·…·p n จะถูกหารด้วย p n+1 แต่จำนวน p ก็หารด้วย p n+1 ลงตัวเช่นกัน ซึ่งเท่ากับผลรวม p 1 ·p 2 ·…·p n +1 ตามมาว่า p n+1 ต้องหารเทอมที่สองของผลบวกนี้ ซึ่งเท่ากับ 1 แต่เป็นไปไม่ได้

ดังนั้นจึงได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสามารถพบจำนวนเฉพาะใหม่ได้เสมอซึ่งไม่รวมอยู่ในจำนวนเฉพาะที่กำหนดไว้ล่วงหน้า จึงมีจำนวนเฉพาะมากมายนับไม่ถ้วน

ดังนั้น เนื่องจากจำนวนเฉพาะมีจำนวนอนันต์ เมื่อรวบรวมตารางจำนวนเฉพาะ คุณจึงจำกัดตัวเองจากด้านบนให้เหลือเพียงจำนวนใดจำนวนหนึ่ง เช่น 100, 1,000, 10,000 เป็นต้น

ตะแกรงเอราทอสเธเนส

ตอนนี้เราจะพูดถึงวิธีสร้างตารางจำนวนเฉพาะ สมมติว่าเราต้องสร้างตารางจำนวนเฉพาะจนถึง 100

วิธีที่ชัดเจนที่สุดในการแก้ปัญหานี้คือการตรวจสอบจำนวนเต็มบวกตามลำดับ โดยเริ่มจาก 2 ถึงลงท้ายด้วย 100 ว่ามีตัวหารบวกที่มากกว่า 1 และน้อยกว่าจำนวนที่ทดสอบ (จากคุณสมบัติการหารลงตัวที่เราทราบ ว่าค่าสัมบูรณ์ของตัวหารไม่เกินค่าสัมบูรณ์ของเงินปันผลไม่เป็นศูนย์) หากไม่พบตัวหารดังกล่าว จำนวนที่กำลังทดสอบจะเป็นจำนวนเฉพาะและนำไปใส่ลงในตารางจำนวนเฉพาะ หากพบตัวหารดังกล่าว จำนวนที่กำลังทดสอบจะเป็นจำนวนประกอบ จะไม่รวมอยู่ในตารางจำนวนเฉพาะ หลังจากนั้น การเปลี่ยนแปลงจะเกิดขึ้นกับตัวเลขถัดไป ซึ่งจะมีการตรวจสอบการมีอยู่ของตัวหารในทำนองเดียวกัน

มาอธิบายขั้นตอนแรกกัน

เราเริ่มต้นด้วยหมายเลข 2 จำนวน 2 ไม่มีตัวหารบวกนอกจาก 1 และ 2 ดังนั้นจึงเป็นเรื่องง่าย เราจึงใส่มันลงในตารางจำนวนเฉพาะ ในที่นี้จะบอกว่า 2 เป็นจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุด เรามาต่อกันที่อันดับ 3 กันเลย ตัวหารบวกที่เป็นไปได้ที่ไม่ใช่ 1 และ 3 คือเลข 2 แต่ 3 หารด้วย 2 ลงตัวไม่ได้ ดังนั้น 3 จึงเป็นจำนวนเฉพาะ และต้องรวมไว้ในตารางจำนวนเฉพาะด้วย เรามาต่อกันที่อันดับ 4 กันเลย ตัวหารบวกที่ไม่ใช่ 1 และ 4 อาจเป็นตัวเลข 2 และ 3 ได้ ลองตรวจสอบดู จำนวน 4 หารด้วย 2 ลงตัว ดังนั้น 4 จึงเป็นจำนวนประกอบและไม่จำเป็นต้องรวมไว้ในตารางจำนวนเฉพาะ โปรดทราบว่า 4 เป็นจำนวนประกอบที่เล็กที่สุด เรามาต่อกันที่อันดับ 5 กันเลย เราตรวจสอบว่าอย่างน้อยหนึ่งในตัวเลข 2, 3, 4 เป็นตัวหารหรือไม่ เนื่องจาก 5 หารด้วย 2, 3 หรือ 4 ไม่ลงตัว จึงเป็นจำนวนเฉพาะ และต้องเขียนลงในตารางจำนวนเฉพาะ จากนั้นจะมีการเปลี่ยนไปใช้ตัวเลข 6, 7 และต่อไปจนถึง 100

วิธีการรวบรวมตารางจำนวนเฉพาะนี้ยังห่างไกลจากอุดมคติ ไม่ทางใดก็ทางหนึ่งเขามีสิทธิ์ที่จะดำรงอยู่ โปรดทราบว่าเมื่อใช้วิธีสร้างตารางจำนวนเต็มนี้ คุณจะใช้เกณฑ์การหารลงตัวได้ ซึ่งจะทำให้กระบวนการหาตัวหารเร็วขึ้นเล็กน้อย

มีวิธีที่สะดวกกว่าในการสร้างตารางจำนวนเฉพาะที่เรียกว่า คำว่า "ตะแกรง" ที่อยู่ในชื่อไม่ใช่เรื่องบังเอิญ เนื่องจากการกระทำของวิธีนี้ช่วยในการ "กรอง" จำนวนเต็มและหน่วยขนาดใหญ่ผ่านตะแกรงของ Eratosthenes เพื่อแยกอันธรรมดาออกจากอันประกอบ

เรามาแสดงการทำงานของตะแกรงของ Eratosthenes เมื่อรวบรวมตารางจำนวนเฉพาะมากถึง 50

ขั้นแรกให้เขียนตัวเลข 2, 3, 4, ..., 50 ตามลำดับ

เลขตัวแรกที่เขียน 2 เป็นจำนวนเฉพาะ ตอนนี้ จากหมายเลข 2 เราเลื่อนไปทางขวาตามลำดับด้วยตัวเลขสองตัว และขีดฆ่าตัวเลขเหล่านี้ออกจนกระทั่งถึงจุดสิ้นสุดของตารางตัวเลขที่กำลังรวบรวม วิธีนี้จะขีดฆ่าตัวเลขทั้งหมดที่เป็นผลคูณของสอง

เลขตัวแรกถัดจาก 2 ที่ไม่ได้ขีดฆ่าคือ 3 หมายเลขนี้เป็นจำนวนเฉพาะ ตอนนี้จากหมายเลข 3 เราเลื่อนไปทางขวาอย่างต่อเนื่องด้วยตัวเลขสามตัว (โดยคำนึงถึงตัวเลขที่ขีดฆ่าไว้แล้ว) แล้วขีดฆ่าพวกมันออก วิธีนี้จะขีดฆ่าตัวเลขทั้งหมดที่เป็นผลคูณของสาม

เลขตัวแรกถัดจาก 3 ที่ไม่ได้ขีดฆ่าคือ 5 หมายเลขนี้เป็นจำนวนเฉพาะ ตอนนี้จากหมายเลข 5 เราเลื่อนไปทางขวาอย่างต่อเนื่องด้วยตัวเลข 5 ตัว (เรายังคำนึงถึงตัวเลขที่ขีดฆ่าก่อนหน้านี้ด้วย) และขีดฆ่าพวกมัน วิธีนี้จะขีดฆ่าตัวเลขทั้งหมดที่เป็นผลคูณของห้า

ต่อไป เราจะขีดฆ่าตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 7 จากนั้นคูณด้วย 11 และอื่นๆ กระบวนการจะสิ้นสุดลงเมื่อไม่มีตัวเลขให้ขีดฆ่าอีกต่อไป ด้านล่างนี้เป็นตารางจำนวนเฉพาะจนถึง 50 ที่ได้โดยใช้ตะแกรงเอราทอสเธนีส จำนวนที่ไม่ถูกขีดฆ่าทั้งหมดนั้นเป็นจำนวนเฉพาะ และจำนวนที่ขีดฆ่าทั้งหมดนั้นเป็นจำนวนประกอบ

เรามากำหนดและพิสูจน์ทฤษฎีบทที่จะเร่งกระบวนการรวบรวมตารางจำนวนเฉพาะโดยใช้ตะแกรงของเอราทอสเทนีสกันดีกว่า

ทฤษฎีบท.

ตัวหารบวกที่น้อยที่สุดของจำนวนประกอบ a ที่แตกต่างจากตัวหนึ่งจะต้องไม่เกิน โดยที่ มาจาก a

การพิสูจน์.

ให้เราแสดงด้วยตัวอักษร b ซึ่งเป็นตัวหารที่น้อยที่สุดของจำนวนประกอบ a ที่แตกต่างจากตัวหนึ่ง (ตัวเลข b เป็นจำนวนเฉพาะ ดังต่อจากทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วในตอนต้นของย่อหน้าก่อนหน้า) จากนั้นจะมีจำนวนเต็ม q โดยที่ a=b·q (ในที่นี้ q คือจำนวนเต็มบวก ซึ่งเป็นไปตามกฎของการคูณจำนวนเต็ม) และ (สำหรับ b>q เงื่อนไขที่ b เป็นตัวหารที่น้อยที่สุดของ a จะถูกละเมิด เนื่องจาก q เป็นตัวหารของจำนวน a เนื่องจากความเท่าเทียมกัน a=q·b ) โดยการคูณทั้งสองด้านของอสมการด้วยค่าบวกและจำนวนเต็มที่มากกว่าหนึ่ง (เราได้รับอนุญาตให้ทำเช่นนี้) เราได้รับ จากการที่ และ .

ทฤษฎีบทที่ได้รับการพิสูจน์แล้วให้ประโยชน์อะไรแก่เราเกี่ยวกับตะแกรงของเอราทอสเทนีส

ประการแรก การขีดฆ่าจำนวนประกอบที่เป็นจำนวนทวีคูณของจำนวนเฉพาะ b ควรขึ้นต้นด้วยจำนวนที่เท่ากับ (ซึ่งตามมาจากอสมการ) ตัวอย่างเช่น การขีดฆ่าตัวเลขที่เป็นทวีคูณของทั้งสองควรเริ่มต้นด้วยตัวเลข 4, ทวีคูณของสามด้วยตัวเลข 9, ผลคูณของห้าด้วยตัวเลข 25 และอื่นๆ

ประการที่สอง การรวบรวมตารางจำนวนเฉพาะจนถึงจำนวน n โดยใช้ตะแกรงเอราทอสเธนีสจะถือว่าสมบูรณ์เมื่อจำนวนประกอบทั้งหมดที่เป็นจำนวนทวีคูณของจำนวนเฉพาะไม่เกิน ในตัวอย่างของเรา n=50 (เนื่องจากเรากำลังสร้างตารางจำนวนเฉพาะจนถึง 50) ดังนั้น ตะแกรงเอราทอสเทนีสจึงควรกำจัดจำนวนประกอบทั้งหมดที่เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ 2, 3, 5 และ 7 ที่ทำ ไม่เกินรากที่สองทางคณิตศาสตร์ของ 50 นั่นคือ เราไม่จำเป็นต้องค้นหาและขีดฆ่าตัวเลขที่เป็นจำนวนทวีคูณของจำนวนเฉพาะ 11, 13, 17, 19, 23 และอื่นๆ จนถึง 47 อีกต่อไป เนื่องจากพวกมันจะถูกขีดฆ่าเป็นจำนวนทวีคูณของจำนวนเฉพาะที่มีขนาดเล็กกว่า 2 อีกต่อไป , 3, 5 และ 7 .

จำนวนนี้เป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ?

งานบางอย่างจำเป็นต้องค้นหาว่าจำนวนที่กำหนดเป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ โดยทั่วไปงานนี้ไม่ใช่เรื่องง่ายโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับตัวเลขที่การเขียนประกอบด้วยอักขระจำนวนมาก ในกรณีส่วนใหญ่ คุณจะต้องมองหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะเจาะจง อย่างไรก็ตาม เราจะพยายามกำหนดทิศทางให้กับขบวนความคิดในกรณีง่ายๆ

แน่นอน คุณสามารถลองใช้การทดสอบการหารลงตัวเพื่อพิสูจน์ว่าจำนวนที่กำหนดนั้นเป็นจำนวนประกอบ ตัวอย่างเช่น หากการทดสอบการหารลงตัวแสดงว่าจำนวนที่กำหนดหารด้วยจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 ลงตัวแล้ว จำนวนดั้งเดิมจะเป็นจำนวนประกอบ

ตัวอย่าง.

พิสูจน์ว่า 898,989,898,989,898,989 เป็นจำนวนประกอบ

สารละลาย.

ผลรวมของตัวเลขนี้คือ 9·8+9·9=9·17 เนื่องจากตัวเลขที่เท่ากับ 9·17 หารด้วย 9 ลงตัว ดังนั้นด้วยเกณฑ์การหารด้วย 9 ลงตัว จึงอาจโต้แย้งได้ว่าจำนวนเดิมก็หารด้วย 9 ลงตัวเช่นกัน ดังนั้นจึงเป็นแบบประกอบ

ข้อเสียเปรียบที่สำคัญของแนวทางนี้คือเกณฑ์การหารลงตัวไม่อนุญาตให้พิสูจน์ความเป็นไพรม์ของจำนวนได้ ดังนั้นเมื่อตรวจสอบตัวเลขเพื่อดูว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ จึงต้องดำเนินการแตกต่างออกไป

แนวทางที่สมเหตุสมผลที่สุดคือลองตัวหารที่เป็นไปได้ทั้งหมดของจำนวนที่กำหนด หากไม่มีตัวหารที่เป็นไปได้ที่เป็นตัวหารจริงของจำนวนที่กำหนด จำนวนนี้จะเป็นจำนวนเฉพาะ ไม่เช่นนั้นจะถูกประกอบเข้าด้วยกัน จากทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วในย่อหน้าก่อน เป็นไปตามว่าจะต้องหาตัวหารของจำนวนที่กำหนด a ในจำนวนเฉพาะไม่เกิน ดังนั้น จำนวน a จึงสามารถหารตามลำดับด้วยจำนวนเฉพาะ (ซึ่งนำมาจากตารางจำนวนเฉพาะอย่างสะดวก) โดยพยายามหาตัวหารของจำนวน a หากพบตัวหาร จำนวน a จะเป็นจำนวนประกอบ ถ้าจำนวนเฉพาะในจำนวนไม่เกิน ไม่มีตัวหารของจำนวน a แสดงว่าจำนวน a นั้นเป็นจำนวนเฉพาะ

ตัวอย่าง.

ตัวเลข 11 723 ง่ายหรือประสม?

สารละลาย.

เรามาดูกันว่าตัวหารของจำนวน 11,723 สามารถเป็นจำนวนเฉพาะได้เท่าใด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ มาประเมินกัน

มันค่อนข้างชัดเจนว่า ตั้งแต่ 200 2 = 40,000 และ 11,723<40 000 (при необходимости смотрите статью การเปรียบเทียบตัวเลข- ดังนั้น ตัวประกอบเฉพาะที่เป็นไปได้ของ 11,723 จึงน้อยกว่า 200 สิ่งนี้ทำให้งานของเราง่ายขึ้นมาก หากเราไม่ทราบสิ่งนี้ เราจะต้องผ่านจำนวนเฉพาะทั้งหมดไม่เกิน 200 แต่ไม่เกินจำนวน 11,723

หากต้องการคุณสามารถประเมินได้แม่นยำยิ่งขึ้น เนื่องจาก 108 2 =11,664 และ 109 2 =11,881 จากนั้น 108 2<11 723<109 2 , следовательно, - ดังนั้น จำนวนเฉพาะใดๆ ที่น้อยกว่า 109 อาจเป็นตัวประกอบเฉพาะของจำนวนที่กำหนด 11,723

ตอนนี้เราจะแบ่งจำนวน 11,723 ออกเป็นจำนวนเฉพาะตามลำดับ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . ถ้าจำนวน 11,723 หารด้วยจำนวนเฉพาะตัวใดตัวหนึ่ง ก็จะนำมาประกอบกัน ถ้าหารด้วยจำนวนเฉพาะใดๆ ที่เขียนไว้ไม่ลงตัว แสดงว่าจำนวนเดิมนั้นเป็นจำนวนเฉพาะ

เราจะไม่อธิบายกระบวนการแบ่งแยกที่น่าเบื่อหน่ายและซ้ำซากจำเจทั้งหมดนี้ สมมุติว่า 11,723 ทันที

จำนวนเฉพาะเป็นหนึ่งในปรากฏการณ์ทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจที่สุด ซึ่งดึงดูดความสนใจของนักวิทยาศาสตร์และประชาชนทั่วไปมานานกว่าสองพันปี แม้ว่าตอนนี้เราจะอยู่ในยุคของคอมพิวเตอร์และโปรแกรมข้อมูลที่ทันสมัยที่สุด แต่ปริศนาจำนวนเฉพาะจำนวนมากยังไม่ได้รับการแก้ไข มีแม้กระทั่งบางส่วนที่นักวิทยาศาสตร์ไม่รู้ว่าจะเข้าใกล้ได้อย่างไร

จำนวนเฉพาะนั้น ดังที่ทราบกันดีอยู่แล้วในวิชาเลขคณิตเบื้องต้น คือจำนวนที่หารลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือเพียงตัวเดียวและตัวมันเอง อย่างไรก็ตาม หากจำนวนธรรมชาติหารด้วยจำนวนอื่นใดนอกเหนือจากที่ระบุไว้ข้างต้นได้ลงตัว จะเรียกว่าจำนวนประกอบ ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงที่สุดข้อหนึ่งระบุว่าจำนวนประกอบใดๆ สามารถแสดงเป็นผลคูณที่เป็นไปได้เฉพาะของจำนวนเฉพาะได้

ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจบางประการ ประการแรก หน่วยนี้มีเอกลักษณ์เฉพาะในแง่ที่ว่า ที่จริงแล้ว หน่วยนี้ไม่ได้เป็นของจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ ในเวลาเดียวกันในชุมชนวิทยาศาสตร์ยังคงเป็นธรรมเนียมที่จะต้องจำแนกประเภทดังกล่าวโดยเฉพาะในกลุ่มแรกเนื่องจากอย่างเป็นทางการเป็นไปตามข้อกำหนดอย่างสมบูรณ์

ประการที่สอง จำนวนคู่เพียงตัวเดียวที่ถูกบีบให้อยู่ในกลุ่ม “จำนวนเฉพาะ” ก็คือสองนั่นเอง จำนวนคู่อื่นๆ ไม่สามารถมาที่นี่ได้ เนื่องจากตามคำจำกัดความแล้ว นอกจากตัวมันเองและหนึ่งแล้ว ยังหารด้วยสองได้อีกด้วย

จำนวนเฉพาะ รายการดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น สามารถเริ่มต้นด้วยหนึ่งได้ แสดงถึงอนุกรมอนันต์ และอนันต์เท่ากับอนุกรมของจำนวนธรรมชาติ จากทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต เราสามารถสรุปได้ว่าจำนวนเฉพาะจะไม่ถูกขัดจังหวะและไม่มีวันสิ้นสุด เนื่องจากมิฉะนั้น ชุดของจำนวนธรรมชาติก็จะถูกขัดจังหวะอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้

จำนวนเฉพาะจะไม่ปรากฏแบบสุ่มในชุดข้อมูลทั่วไป เนื่องจากอาจปรากฏเมื่อมองแวบแรก เมื่อวิเคราะห์อย่างรอบคอบแล้ว คุณจะสังเกตเห็นคุณสมบัติหลายประการได้ทันที สิ่งที่น่าสนใจที่สุดซึ่งเกี่ยวข้องกับสิ่งที่เรียกว่าตัวเลข "คู่" พวกเขาถูกเรียกอย่างนั้นเพราะด้วยวิธีที่เข้าใจยากพวกเขาจึงมาอยู่ติดกันโดยคั่นด้วยตัวคั่นคู่เท่านั้น (ห้าและเจ็ด, สิบเจ็ดและสิบเก้า)

หากคุณมองดูใกล้ๆ คุณจะสังเกตเห็นว่าผลรวมของตัวเลขเหล่านี้เป็นจำนวนเท่าของสามเสมอ ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อหารทางซ้ายหนึ่งด้วยสาม ส่วนที่เหลือก็จะยังคงเป็นสองเสมอ และทางขวาก็จะยังคงเป็นหนึ่งเสมอ นอกจากนี้ การกระจายตัวของตัวเลขเหล่านี้เหนืออนุกรมธรรมชาติสามารถทำนายได้หากเราจินตนาการถึงอนุกรมทั้งหมดนี้ในรูปแบบของไซนัสอยด์แบบสั่น ซึ่งประเด็นหลักจะเกิดขึ้นเมื่อตัวเลขถูกหารด้วยสามและสอง

จำนวนเฉพาะไม่เพียงแต่เป็นเป้าหมายของการพิจารณาอย่างใกล้ชิดโดยนักคณิตศาสตร์ทั่วโลกเท่านั้น แต่ยังถูกนำมาใช้อย่างประสบความสำเร็จมายาวนานในการรวบรวมชุดตัวเลขต่างๆ ซึ่งเป็นพื้นฐานเหนือสิ่งอื่นใดสำหรับการเข้ารหัส ควรตระหนักว่าความลึกลับจำนวนมากที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบที่ยอดเยี่ยมเหล่านี้ยังคงรอการแก้ไขอยู่ คำถามมากมายไม่เพียงมีนัยสำคัญทางปรัชญาเท่านั้น แต่ยังมีความสำคัญในทางปฏิบัติด้วย