ตัวอย่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์พร้อมเฉลยข้อ 9 รายการที่มีแท็ก "ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เกรด 9" III. การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

หากต้องการใช้ตัวอย่างการนำเสนอ ให้สร้างบัญชี Google และเข้าสู่ระบบ: https://accounts.google.com

คำอธิบายสไลด์:

ดูตัวอย่าง:

เรื่อง

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

เป้า :

• สอนให้รู้จักความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยใช้คำจำกัดความและเครื่องหมาย
• สอนวิธีแก้ปัญหาโดยใช้คำจำกัดความ เครื่องหมาย สูตรสำหรับระยะทั่วไปของความก้าวหน้า

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

ให้คำจำกัดความของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ พิสูจน์สัญลักษณ์ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และสอนวิธีใช้ในการแก้ปัญหา

วิธีการฝึกอบรม:

อัพเดทความรู้ของนักศึกษา งานอิสระ งานเดี่ยว สร้างสถานการณ์ปัญหา

เทคโนโลยีสมัยใหม่:

ไอซีที การเรียนรู้จากปัญหา การเรียนรู้ที่แตกต่าง เทคโนโลยีเพื่อสุขภาพ

แผนการสอน

	ขั้นตอนของบทเรียน	เวลาในการดำเนินการ
	ช่วงเวลาขององค์กร	2 นาที
	การทำซ้ำสิ่งที่ได้รับการคุ้มครอง	5 นาที
	การเรียนรู้เนื้อหาใหม่	15 นาที
	นาทีพลศึกษา	3 นาที
	เสร็จสิ้นการมอบหมายงานในหัวข้อ	15 นาที
	การบ้าน	2 นาที
	สรุป.	3 นาที

ความก้าวหน้าของบทเรียน:

1. ในบทเรียนสุดท้าย เราได้รู้จักแนวคิดเรื่อง "ลำดับ"

วันนี้เราจะศึกษาลำดับตัวเลขต่อไป นิยามบางส่วน และทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติและคุณลักษณะของมัน

1. ตอบคำถาม: ลำดับคืออะไร?

มีลำดับอะไรบ้าง?

คุณสามารถกำหนดลำดับได้ด้วยวิธีใดบ้าง?

ลำดับตัวเลขคืออะไร?

คุณรู้วิธีการระบุลำดับตัวเลขอย่างไร สูตรใดเรียกว่าเกิดซ้ำ?

1. กำหนดลำดับตัวเลข:

1. 1, 2, 3, 4, 5, …
2. 2, 5, 8, 11, 14,…
3. 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
4. 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …

ค้นหารูปแบบของแต่ละลำดับและตั้งชื่อสามพจน์ถัดไปของแต่ละลำดับ

1. n = n -1 +1
2. n = n -1 + 3
3. n = n -1 + (-2)
4. n = n -1 + 0.5

ให้สูตรการเกิดซ้ำสำหรับแต่ละลำดับ

สไลด์ 1

ลำดับตัวเลขซึ่งสมาชิกแต่ละตัวเริ่มต้นจากวินาทีมีค่าเท่ากับสมาชิกก่อนหน้าที่บวกเข้ากับจำนวนเดียวกัน เรียกว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ตัวเลข d เรียกว่าผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือลำดับตัวเลข ดังนั้นจึงสามารถเพิ่ม ลด หรือคงที่ได้ ยกตัวอย่างลำดับดังกล่าว ตั้งชื่อความแตกต่างระหว่างแต่ละความก้าวหน้า และสรุปผล

ขอให้เราได้สูตรสำหรับคำศัพท์ทั่วไปของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

บนกระดาน: ให้ก 1 คือเทอมแรกของความก้าวหน้า จากนั้น d คือผลต่างของมัน

ก 2 =ก 1 +ง

ก 3 =(ก 1 +ง)+d=ก 1 +2d

ก 4 =(ก 1 +2d)+d=ก 1 +3d

ก 5 =(ก 1 +3d)+d=ก 1 +4d

n =a 1 +d (n-1) - สูตรของเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

แก้ปัญหา: ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เทอมแรกคือ 5 และผลต่างคือ 4

ค้นหาระยะที่ 22 ของความก้าวหน้านี้

นักเรียนตัดสินใจบนกระดาน: n =ก 1 +d(n-1)

ก 22 =ก 1 +21d=5+21*4=89

นาทีพลศึกษา

เราลุกขึ้น.

มือบนเข็มขัด เอียงไปทางซ้าย, ขวา (2 ครั้ง);

โค้งไปข้างหน้าถอยหลัง (2 ครั้ง);

ยกมือขึ้น หายใจเข้าลึก ๆ ลดมือลง หายใจออก (2 ครั้ง)

พวกเขาจับมือกัน ขอบคุณ

เรานั่งลง มาเรียนบทเรียนต่อ

เราแก้ปัญหาโดยใช้สูตรสำหรับเทอมทั่วไปของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

นักเรียนจะได้รับงานต่อไปนี้:

1. ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เทอมแรกคือ -2, d=3, aน =118.

ค้นหา n.

1. ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เทอมแรกคือ 7 เทอมที่สิบห้าคือ –35 ค้นหาความแตกต่าง
2. เป็นที่ทราบกันว่าในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ d=-2, a39=83 ค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้า

นักเรียนจะถูกแบ่งออกเป็นกลุ่ม งานจะได้รับเป็นเวลา 5 นาที ต่อไป นักเรียน 3 คนแรกที่แก้ปัญหาได้จะต้องแก้บนกระดาน วิธีแก้ปัญหาถูกทำซ้ำบนสไลด์

พิจารณาคุณสมบัติเฉพาะของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

และ -d=a (n-1)

n +d=a (n+1)

ลองบวกความเท่าเทียมกันสองตัวนี้ทีละเทอม เราได้: 2a n =ก (n+1) +ก (n-1)

ก n =(ก (n+1) +ก (n-1 ))/2

ซึ่งหมายความว่าสมาชิกแต่ละคนของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ยกเว้นสมาชิกตัวแรกและตัวสุดท้าย จะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกก่อนหน้าและสมาชิกที่ตามมา

ทฤษฎีบท:

ลำดับตัวเลขคือการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ก็ต่อเมื่อสมาชิกแต่ละตัวในลำดับนั้น ยกเว้นสมาชิกตัวแรก (และสมาชิกสุดท้ายในกรณีของลำดับจำกัด) เท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกก่อนหน้าและสมาชิกลำดับถัดไป (คุณสมบัติเฉพาะของ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์)

การทำความเข้าใจหัวข้อต่างๆ ในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์มีความเกี่ยวข้องกับความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของอนุกรมจำนวน เด็กนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 เมื่อเรียนวิชา "พีชคณิต" ให้พิจารณาลำดับตัวเลขที่สำคัญอย่างหนึ่งนั่นคือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เรานำเสนอสูตรพื้นฐานของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (เกรด 9) รวมถึงตัวอย่างการใช้งานในการแก้ปัญหา

ความก้าวหน้าทางพีชคณิตหรือเลขคณิต

ชุดหมายเลขที่จะกล่าวถึงในบทความนี้มีชื่อเรียก 2 วิธีที่แตกต่างกัน ซึ่งนำเสนอในชื่อเรื่องของย่อหน้านี้ ดังนั้น จากการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เราหมายถึงชุดตัวเลขที่ตัวเลขสองตัวที่อยู่ติดกันต่างกันด้วยจำนวนเท่ากัน เรียกว่าผลต่าง ตัวเลขในชุดดังกล่าวมักจะแสดงด้วยตัวอักษรที่มีดัชนีจำนวนเต็มต่ำกว่า เช่น 1, 2, 3 เป็นต้น โดยที่ดัชนีระบุจำนวนองค์ประกอบของอนุกรม

เมื่อคำนึงถึงคำจำกัดความข้างต้นของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันได้ดังต่อไปนี้: a 2 -a 1 =...=a n -a n-1 =d โดยที่ d คือผลต่างของความก้าวหน้าทางพีชคณิต และ n คือจำนวนเต็มใดๆ . ถ้า d>0 เราก็สามารถคาดหวังได้ว่าสมาชิกลำดับถัดไปแต่ละตัวจะมีค่ามากกว่าสมาชิกก่อนหน้า ในกรณีนี้ เราพูดถึงความก้าวหน้าที่เพิ่มขึ้น ถ้าง<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .

สูตรก้าวหน้าเลขคณิต (ร.9)

ชุดตัวเลขที่เป็นปัญหา เนื่องจากมีการจัดลำดับและเป็นไปตามกฎทางคณิตศาสตร์บางประการ จึงมีคุณสมบัติสองประการที่สำคัญต่อการใช้งาน:

1. ประการแรก เมื่อรู้เพียงตัวเลขสองตัวคือ 1 และ d คุณจะสามารถหาสมาชิกของลำดับใดๆ ได้ ทำได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้: a n = a 1 +(n-1)*d
2. ประการที่สอง ในการคำนวณผลรวมของพจน์ n ตัวแรก ไม่จำเป็นต้องบวกพวกมันตามลำดับ เนื่องจากคุณสามารถใช้สูตรต่อไปนี้: S n = n*(a n +a 1)/2

สูตรแรกนั้นเข้าใจง่ายเนื่องจากเป็นผลโดยตรงจากการที่สมาชิกแต่ละคนในซีรีส์ที่กำลังพิจารณานั้นแตกต่างจากเพื่อนบ้านด้วยความแตกต่างที่เท่ากัน

สูตรที่สองสำหรับการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถหาได้โดยสังเกตว่าผลรวม a 1 +a n จะเท่ากับผลบวกของ a 2 +a n-1, 3 +a n-2 และอื่นๆ อันที่จริง เนื่องจาก 2 = d+a 1, a n-2 = -2*d+a n, a 3 = 2*d+a 1 และ n-1 = -d+a n จากนั้นจึงแทนนิพจน์เหล่านี้ลงใน จำนวนเงินที่สอดคล้องกัน เราพบว่าพวกเขาจะเท่ากัน ตัวประกอบ n/2 ในสูตรที่ 2 (สำหรับ S n) ปรากฏขึ้นเนื่องจากผลรวมของประเภท a i+1 +a n-i กลายเป็น n/2 พอดี โดยที่ i เป็นจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง n /2 -1.

ตามหลักฐานทางประวัติศาสตร์ที่ยังมีชีวิตอยู่ สูตรสำหรับผลรวม S n ได้รับครั้งแรกโดย Carl Gauss (นักคณิตศาสตร์ชื่อดังชาวเยอรมัน) เมื่อเขาได้รับมอบหมายจากครูในโรงเรียนให้บวกเลข 100 ตัวแรก

ปัญหาตัวอย่าง #1: ค้นหาความแตกต่าง

ปัญหาที่ตั้งคำถามดังนี้: การรู้สูตรของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์, วิธีค้นหา d (d) เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดสำหรับหัวข้อนี้เท่านั้น

ลองยกตัวอย่าง: เมื่อได้รับลำดับตัวเลข -5,-2, 1, 4, ... จำเป็นต้องกำหนดความแตกต่างนั่นคือ d

สิ่งนี้สามารถทำได้ง่ายที่สุด: คุณต้องใช้สององค์ประกอบแล้วลบองค์ประกอบที่เล็กกว่าออกจากองค์ประกอบที่ใหญ่กว่า ในกรณีนี้ เรามี: d = -2 - (-5) = 3

เพื่อให้แน่ใจว่าคำตอบที่ได้รับ ขอแนะนำให้ตรวจสอบความแตกต่างที่เหลือ เนื่องจากลำดับที่นำเสนออาจไม่เป็นไปตามเงื่อนไขความก้าวหน้าทางพีชคณิต เรามี: 1-(-2)=3 และ 4-1=3 ข้อมูลเหล่านี้บ่งชี้ว่าเราได้รับผลลัพธ์ที่ถูกต้อง (d=3) และพิสูจน์ว่าชุดตัวเลขในข้อความปัญหาแสดงถึงความก้าวหน้าทางพีชคณิตจริงๆ

ตัวอย่างปัญหาหมายเลข 2: ค้นหาความแตกต่าง โดยรู้เงื่อนไขสองข้อของความก้าวหน้า

ลองพิจารณาปัญหาที่น่าสนใจอีกข้อหนึ่งซึ่งถามว่าจะหาความแตกต่างได้อย่างไร ในกรณีนี้ต้องใช้สูตรความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สำหรับเทอมที่ n ดังนั้น ภารกิจ: เมื่อพิจารณาตัวเลขตัวแรกและตัวที่ห้าของอนุกรมที่สอดคล้องกับคุณสมบัติทั้งหมดของความก้าวหน้าทางพีชคณิต เช่น ตัวเลขเหล่านี้คือ 1 = 8 และ 5 = -10 จะหาความแตกต่าง d ได้อย่างไร?

คุณควรเริ่มแก้ไขปัญหานี้ด้วยการเขียนสูตรทั่วไปขององค์ประกอบตัวที่ n: a n = a 1 +d*(-1+n) ตอนนี้คุณสามารถไปได้สองวิธี: แทนที่ตัวเลขทันทีแล้วทำงานกับมัน หรือแสดง d จากนั้นไปยังค่าเฉพาะ 1 และ 5 เมื่อใช้วิธีสุดท้าย เราจะได้: a 5 = a 1 +d*(-1+5) หรือ a 5 = 4*d+a 1 ซึ่งหมายความว่า d = (a 5 -a 1)/4 ตอนนี้คุณสามารถแทนที่ข้อมูลที่ทราบจากเงื่อนไขได้อย่างปลอดภัยและรับคำตอบสุดท้าย: d = (-10-8)/4 = -4.5

โปรดทราบว่าในกรณีนี้ ผลต่างของความก้าวหน้ากลายเป็นลบ กล่าวคือ มีลำดับตัวเลขที่ลดลง จำเป็นต้องใส่ใจกับข้อเท็จจริงนี้เมื่อแก้ไขปัญหาเพื่อไม่ให้เกิดความสับสนกับเครื่องหมาย "+" และ "-" สูตรทั้งหมดที่ให้ไว้ข้างต้นเป็นสูตรสากล ดังนั้นจึงควรปฏิบัติตามเสมอ โดยไม่คำนึงถึงสัญลักษณ์ของตัวเลขที่ใช้ดำเนินการ

ตัวอย่างการแก้ปัญหาข้อที่ 3: หา a1 รู้ความแตกต่างและองค์ประกอบ

ลองเปลี่ยนคำชี้แจงปัญหาเล็กน้อย ให้มีตัวเลขสองตัว: ผลต่าง d=6 และองค์ประกอบที่ 9 ของการก้าวหน้า a 9 = 10 จะหา a1 ได้อย่างไร? สูตรสำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ลองใช้มันดูสิ สำหรับเลข 9 เรามีนิพจน์ต่อไปนี้: a 1 +d*(9-1) = a 9 จากจุดที่เราได้รับองค์ประกอบแรกของอนุกรมอย่างง่ายดาย: a 1 = a 9 -8*d = 10 - 8*6 = -38

ตัวอย่างการแก้ปัญหาข้อที่ 4: ค้นหา a1 โดยรู้องค์ประกอบสองประการ

ปัญหาเวอร์ชันนี้เป็นเวอร์ชันที่ซับซ้อนจากเวอร์ชันก่อนหน้า สาระสำคัญเหมือนกันจำเป็นต้องคำนวณ 1 แต่ตอนนี้ไม่ทราบความแตกต่าง d และแทนที่จะให้องค์ประกอบอื่นของความก้าวหน้า

ตัวอย่างของปัญหาประเภทนี้มีดังต่อไปนี้: ค้นหาหมายเลขแรกของลำดับที่ทราบว่าเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และองค์ประกอบที่ 15 และ 23 ของมันคือ 7 และ 12 ตามลำดับ

จำเป็นต้องแก้ไขปัญหานี้ด้วยการเขียนนิพจน์สำหรับเทอมที่ n สำหรับแต่ละองค์ประกอบที่ทราบจากเงื่อนไข เรามี: a 15 = d*(15-1)+a 1 และ a 23 = d*(23-1) +ก 1 . อย่างที่คุณเห็น เราได้รับสมการเชิงเส้นสองสมการที่ต้องแก้สำหรับ 1 และ d ลองทำสิ่งนี้: ลบอันแรกออกจากสมการที่สอง จากนั้นเราจะได้นิพจน์ต่อไปนี้: a 23 -a 15 = 22*d - 14*d = 8*d เมื่อหาสมการสุดท้าย ค่าของ 1 จะถูกละไว้ เนื่องจากค่าจะหักล้างเมื่อลบออก เมื่อแทนที่ข้อมูลที่ทราบ เราจะพบความแตกต่าง: d = (a 23 -a 15)/8 = (12-7)/8 = 0.625

ค่าของ d ต้องถูกแทนที่ด้วยสูตรใดๆ ขององค์ประกอบที่ทราบเพื่อให้ได้เทอมแรกของลำดับ: a 15 = 14*d+a 1 โดยที่: a 1 =a 15 -14*d = 7-14* 0.625 = -1.75.

มาตรวจสอบผลลัพธ์ที่ได้รับ โดยหา 1 ผ่านนิพจน์ที่สอง: a 23 = d*22+a 1 หรือ 1 = a 23 -d*22 = 12 - 0.625*22 = -1.75

ตัวอย่างการแก้ปัญหาข้อที่ 5: ค้นหาผลรวมขององค์ประกอบ n

อย่างที่คุณเห็น จนถึงจุดนี้ มีการใช้สูตรก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เพียงสูตรเดียว (เกรด 9) เท่านั้นสำหรับการแก้ปัญหา ตอนนี้เรานำเสนอปัญหา วิธีแก้ปัญหาที่ต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับสูตรที่สอง นั่นคือ สำหรับผลรวม S n

มีชุดตัวเลขเรียงลำดับต่อไปนี้ -1,1, -2,1, -3,1,... คุณต้องคำนวณผลรวมของ 11 องค์ประกอบแรก

จากชุดนี้ชัดเจนว่ากำลังลดลง และ 1 = -1.1 ความแตกต่างเท่ากับ: d = -2.1 - (-1.1) = -1 ทีนี้ลองนิยามเทอมที่ 11 กัน: a 11 = 10*d + a 1 = -10 + (-1.1) = -11.1 เมื่อเสร็จสิ้นการคำนวณเตรียมการแล้ว คุณสามารถใช้สูตรที่ระบุไว้ข้างต้นสำหรับจำนวนเงินที่เรามี: S 11 =11*(-1.1 +(-11.1))/2 = -67.1 เนื่องจากพจน์ทั้งหมดเป็นจำนวนลบ ผลรวมจึงมีเครื่องหมายตรงกันด้วย

ตัวอย่างการแก้ปัญหาข้อ 6: ค้นหาผลรวมขององค์ประกอบตั้งแต่ n ถึง m

บางทีปัญหาประเภทนี้อาจเป็นปัญหาที่ยากที่สุดสำหรับเด็กนักเรียนส่วนใหญ่ ลองยกตัวอย่างทั่วไป: เมื่อพิจารณาชุดตัวเลข 2, 4, 6, 8... คุณจะต้องค้นหาผลรวมตั้งแต่เทอมที่ 7 ถึงเทอมที่ 13

สูตร ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์(ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9) ถูกใช้เหมือนกับปัญหาทั้งหมดก่อนหน้านี้ทุกประการ ขอแนะนำให้แก้ไขปัญหานี้ทีละขั้นตอน:

1. ขั้นแรกให้หาผลรวมของคำศัพท์ 13 คำโดยใช้สูตรมาตรฐาน
2. จากนั้นคำนวณผลรวมนี้สำหรับ 6 องค์ประกอบแรก
3. หลังจากนั้นให้ลบอันที่ 2 จากจำนวนที่ 1

มาดูวิธีแก้ปัญหากันดีกว่า เช่นเดียวกับในกรณีก่อนหน้านี้ เราจะดำเนินการคำนวณเพื่อเตรียมการ: a 6 = 5*d+a 1 = 10+2 = 12, a 13 = 12*d+a 1 = 24+2 = 26

ลองคำนวณผลรวมสองค่า: S 13 = 13*(2+26)/2 = 182, S 6 = 6*(2+12)/2 = 42 เราหาผลต่างแล้วได้คำตอบที่ต้องการ: S 7-13 = S 13 - S 6 = 182-42 = 140 โปรดทราบว่าเมื่อได้รับค่านี้จะเป็นผลรวมของ 6 องค์ประกอบของความก้าวหน้าที่ใช้เป็นส่วนย่อยเนื่องจากเทอมที่ 7 จะรวมอยู่ในผลรวม S 7-13

ลำดับตัวเลขซึ่งสมาชิกแต่ละตัวเริ่มต้นจากวินาทีมีค่าเท่ากับลำดับก่อนหน้าที่บวกเข้ากับหมายเลขเดียวกันสำหรับลำดับที่กำหนด เรียกว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ หมายเลขที่บวกกับหมายเลขก่อนหน้าแต่ละครั้งจะถูกเรียก ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และถูกกำหนดโดยจดหมาย ง.

ดังนั้นลำดับตัวเลขคือ 1; 2; 3; 4; 5; ... และ n จะเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ถ้า a 2 = a 1 + d;

3 = 2 + d;

พวกเขาบอกว่ามีการให้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยใช้คำทั่วไป และ n- เขียนลงไป: ให้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (หนึ่ง).

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะถือว่ามีการกำหนดไว้หากทราบเทอมแรก 1และความแตกต่าง ง.

ตัวอย่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ตัวอย่างที่ 1 1; 3; 5; 7; 9;...นี่ 1 = 1; ง = 2.

ตัวอย่างที่ 2 8; 5; 2; -1; -4; -7; -10;... นี่ 1 = 8; ง =-3.

ตัวอย่างที่ 3-16; -12; -8; -4;... นี่ 1 = -16; ง = 4.

โปรดทราบว่าแต่ละเทอมของการก้าวหน้า เริ่มจากวินาที จะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเทอมข้างเคียง

ใน 1 ตัวอย่างเทอมที่สอง 3 =(1+5): 2 ; เหล่านั้น. 2 = (1 + 3) : 2; สมาชิกคนที่สาม 5 =(3+7): 2;

เช่น 3 = (a 2 + a 4) : 2.

ดังนั้นสูตรจึงใช้ได้:

แต่ในความเป็นจริง สมาชิกแต่ละคนของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เริ่มจากวินาที จะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตไม่เพียงแต่สมาชิกข้างเคียงเท่านั้น แต่ยังรวมถึง ระยะเท่ากันจากสมาชิกของเขาเช่น

เลี้ยวกันเถอะ ตัวอย่างที่ 2- ตัวเลข -1 เป็นเทอมที่สี่ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และอยู่ห่างจากเทอมที่หนึ่งและเจ็ดเท่ากัน (a 1 = 8 และ 7 = -10)

ตามสูตร (**) เรามี:

เรามาสรุปสูตรกันดีกว่า ไม่มีระยะที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ดังนั้นเราจึงได้เทอมที่สองของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ถ้าเราบวกผลต่างเข้ากับเทอมแรก ง- เราจะได้เทอมที่สามถ้าเราบวกผลต่างเข้ากับเทอมที่สอง งหรือบวกความแตกต่างสองประการเข้ากับเทอมแรก ง- เราจะได้เทอมที่สี่ถ้าเราบวกผลต่างเข้ากับเทอมที่สาม งหรือเพิ่มความแตกต่างสามประการให้กับข้อแรก งและอื่น ๆ

คุณเดาได้แล้ว: a 2 = a 1 + d;

3 = 2 + d = 1 + 2d;

4 = 3 + d = 1 + 3d;

…………………….

n = n-1 + d = 1 + (n-1) d

สูตรผลลัพธ์ที่ได้ หนึ่ง = ก 1 + (n-1) ง (***)

เรียกว่า สูตรnระยะที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ทีนี้เรามาพูดถึงวิธีหาผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กัน ให้เราแสดงจำนวนเงินนี้ด้วย ส.

การจัดเรียงตำแหน่งของเงื่อนไขใหม่จะไม่ทำให้ค่าผลรวมเปลี่ยนแปลง ดังนั้นจึงสามารถเขียนได้สองวิธี

ส= a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n และ

ส น = n + n-1 + n-2 + n-3 + …...+ 4 + 3 + 2 + 1

ลองบวกความเท่าเทียมกันทั้งสองนี้ทีละเทอม:

2ส น= (ก 1 + ก n) + (ก 2 + n-1) + (ก 3 + n-2) + (ก 4 + n-3) + …

ค่าในวงเล็บมีค่าเท่ากัน เนื่องจากเป็นผลรวมของพจน์ที่มีระยะห่างเท่ากันของอนุกรม ซึ่งหมายความว่าเราสามารถเขียนได้: 2S n = n· (a 1 + a n)

เราได้รับสูตร ผลรวมของครั้งแรกnเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

หากเราแทนที่ n ด้วยค่า a 1 + (n-1) d โดยใช้สูตร (***) เราจะได้สูตรอื่นสำหรับผลรวมของสูตรแรก nเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

คณิตศาสตร์มีความสวยงามในตัวเอง เช่นเดียวกับการวาดภาพและบทกวี

นักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซีย ช่างเครื่อง N.E. จูคอฟสกี้

ปัญหาที่พบบ่อยมากในการสอบเข้าวิชาคณิตศาสตร์คือปัญหาที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดเรื่องความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เพื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าวได้สำเร็จ คุณต้องมีความรู้ที่ดีเกี่ยวกับคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และมีทักษะบางอย่างในการนำไปประยุกต์ใช้

ก่อนอื่นให้เรานึกถึงคุณสมบัติพื้นฐานของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และนำเสนอสูตรที่สำคัญที่สุด, ที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดนี้

คำนิยาม. ลำดับหมายเลข, โดยแต่ละเทอมต่อๆ มามีความแตกต่างจากเทอมก่อนหน้าด้วยจำนวนที่เท่ากัน, เรียกว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ในกรณีนี้คือหมายเลขเรียกว่าความต่างความก้าวหน้า

สำหรับการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สูตรต่อไปนี้ใช้ได้:

, (1)

ที่ไหน . สูตร (1) เรียกว่าสูตรของเทอมทั่วไปของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และสูตร (2) แสดงถึงคุณสมบัติหลักของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: แต่ละเทอมของความก้าวหน้าเกิดขึ้นพร้อมกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเทอมข้างเคียง และ

โปรดทราบว่าเป็นเพราะคุณสมบัตินี้เองที่ความก้าวหน้าที่พิจารณาเรียกว่า "เลขคณิต"

สูตรข้างต้น (1) และ (2) มีลักษณะทั่วไปดังนี้:

(3)

เพื่อคำนวณจำนวนเงินอันดับแรก เงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ปกติจะใช้สูตรนี้

(5) ที่ไหน และ .

ถ้าเราคำนึงถึงสูตร (1), จากสูตร (5) เป็นไปตามนั้น

ถ้าเราแสดงว่า แล้ว

ที่ไหน . เนื่องจาก สูตร (7) และ (8) เป็นลักษณะทั่วไปของสูตรที่สอดคล้องกัน (5) และ (6)

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จากสูตร (5) เป็นไปตามนี้, อะไร

นักเรียนส่วนใหญ่ไม่ค่อยมีใครรู้จักคือคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ซึ่งกำหนดขึ้นตามทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท.ถ้าอย่างนั้น

การพิสูจน์.ถ้าอย่างนั้น

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างเช่น , โดยใช้ทฤษฎีบทก็สามารถแสดงได้ว่า

มาดูตัวอย่างทั่วไปของการแก้ปัญหาในหัวข้อ "ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์" กันดีกว่า

ตัวอย่างที่ 1ช่างมัน. หา .

สารละลาย.การใช้สูตร (6) เราได้รับ ตั้งแต่ และ แล้ว หรือ .

ตัวอย่างที่ 2ปล่อยให้มันมากกว่า 3 เท่า และเมื่อหารด้วยผลหาร ผลลัพธ์คือ 2 และเศษคือ 8 หาค่า และ .

สารละลาย.จากเงื่อนไขตัวอย่างจะได้ระบบสมการดังนี้

ตั้งแต่ , , และ จากนั้นจากระบบสมการ (10) ที่เราได้รับ

ผลเฉลยของระบบสมการนี้คือ และ

ตัวอย่างที่ 3หาว่า และ .

สารละลาย.ตามสูตร (5) เรามี หรือ . อย่างไรก็ตาม เมื่อใช้คุณสมบัติ (9) เราจะได้

ตั้งแต่ และ แล้วจากความเท่าเทียมกัน สมการดังต่อไปนี้หรือ .

ตัวอย่างที่ 4หาว่า.

สารละลาย.ตามสูตร (5) ที่เรามี

อย่างไรก็ตาม เราสามารถเขียนทฤษฎีบทได้

จากที่นี่และจากสูตร (11) เราได้รับ

ตัวอย่างที่ 5. ที่ให้ไว้: . หา .

สารละลาย.ตั้งแต่นั้นมา. อย่างไรก็ตาม ดังนั้น.

ตัวอย่างที่ 6ให้ และ . หา .

สารละลาย.โดยใช้สูตร (9) เราจะได้ ดังนั้น ถ้า แล้ว หรือ

ตั้งแต่และ ตรงนี้เรามีระบบสมการ

การแก้ปัญหาที่เราได้รับ และ .

รากธรรมชาติของสมการเป็น .

ตัวอย่างที่ 7หาว่า และ .

สารละลาย.เนื่องจากตามสูตร (3) เรามีสิ่งนั้น ดังนั้นระบบสมการจึงเป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหา

ถ้าเราแทนพจน์เข้าไปในสมการที่สองของระบบแล้วเราจะได้ หรือ .

รากของสมการกำลังสองคือและ .

ลองพิจารณาสองกรณี

1. ให้แล้ว. ตั้งแต่ และ จากนั้น .

ในกรณีนี้ตามสูตร (6) เราได้

2. ถ้า แล้ว และ

คำตอบ: และ.

ตัวอย่างที่ 8เป็นที่รู้กันว่าและ. หา .

สารละลาย.โดยคำนึงถึงสูตรบัญชี (5) และเงื่อนไขของตัวอย่าง เราเขียน และ .

นี่หมายถึงระบบสมการ

ถ้าเราคูณสมการแรกของระบบด้วย 2 แล้วบวกเข้ากับสมการที่สอง เราก็จะได้

ตามสูตร (9) ที่เรามี- ทั้งนี้ เป็นไปตาม (12)หรือ .

ตั้งแต่ และ จากนั้น .

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 9หาว่า และ .

สารละลาย.เนื่องจาก และตามเงื่อนไข แล้ว หรือ

จากสูตร (5) ทราบแล้วว่า, อะไร . ตั้งแต่นั้นมา.

เพราะฉะนั้น , ตรงนี้เรามีระบบสมการเชิงเส้น

จากที่นี่เราได้รับ และ . โดยคำนึงถึงสูตรบัญชี (8) เราเขียน .

ตัวอย่างที่ 10แก้สมการ

สารละลาย.จากสมการที่กำหนดให้จะได้ดังนี้ ให้เราสมมุติว่า , , และ . ในกรณีนั้น.

ตามสูตร (1) เราสามารถเขียนได้ หรือ .

เนื่องจาก สมการ (13) มีเพียงรากที่เหมาะสมเท่านั้น

ตัวอย่างที่ 11จงหาค่าสูงสุดที่มีให้ และ

สารละลาย.เนื่องจาก ดังนั้นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่กำลังพิจารณาจึงลดลง ในเรื่องนี้ นิพจน์จะใช้ค่าสูงสุดเมื่อเป็นจำนวนเทอมบวกขั้นต่ำของความก้าวหน้า

ให้เราใช้สูตร (1) และข้อเท็จจริง, นั่น และ . แล้วเราจะได้สิ่งนั้นหรือ.

ตั้งแต่ แล้ว หรือ - อย่างไรก็ตามในความไม่เท่าเทียมกันนี้จำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดเพราะเหตุนั้น.

หากค่าของ และ แทนที่เป็นสูตร (6) เราจะได้

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 12หาผลรวมของจำนวนธรรมชาติสองหลักทั้งหมดที่เมื่อหารด้วยเลข 6 จะเหลือเศษเป็น 5

สารละลาย.ให้เราแสดงด้วยเซตของตัวเลขธรรมชาติสองหลักทั้งหมด เช่น - ต่อไป เราจะสร้างเซตย่อยที่ประกอบด้วยสมาชิก (ตัวเลข) ของเซตที่เมื่อหารด้วยเลข 6 จะได้เศษเหลือ 5

ติดตั้งง่าย, อะไร . อย่างชัดเจน , ว่าองค์ประกอบของเซตสร้างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ซึ่ง และ .

ในการสร้างจำนวนสมาชิก (จำนวนองค์ประกอบ) ของเซต เราจะถือว่า เนื่องจาก และ ตามมาจากสูตร (1) หรือ โดยคำนึงถึงสูตรบัญชี (5) ที่เราได้รับ

ตัวอย่างการแก้ปัญหาข้างต้นไม่สามารถอ้างได้ครบถ้วนสมบูรณ์ บทความนี้เขียนขึ้นจากการวิเคราะห์วิธีการสมัยใหม่ในการแก้ปัญหาทั่วไปในหัวข้อที่กำหนด สำหรับการศึกษาเชิงลึกเกี่ยวกับวิธีการแก้ไขปัญหาที่เกี่ยวข้องกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ขอแนะนำให้ดูรายการวรรณกรรมที่แนะนำ

1. รวบรวมปัญหาทางคณิตศาสตร์สำหรับผู้สมัครเข้าวิทยาลัย / อ. มิ.ย. สแกนวิ – อ.: สันติภาพและการศึกษา, 2013. – 608 น.

2. สุพรรณ วี.พี. คณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย: ส่วนเพิ่มเติมของหลักสูตรของโรงเรียน – ม.: เลนันด์ / URSS, 2014. – 216 น.

3. เมดินสกี้ เอ็ม.เอ็ม. หลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาที่สมบูรณ์ในด้านปัญหาและแบบฝึกหัด เล่มที่ 2: ลำดับตัวเลขและความก้าวหน้า – ม.: บรรณาธิการ, 2558 – 208 น.

ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม?

หากต้องการความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ ให้ลงทะเบียน

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม

เรื่อง: ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต

ระดับ: 9

ระบบการฝึกอบรม: วัสดุเตรียมการศึกษาหัวข้อพีชคณิตและขั้นเตรียมสอบผ่าน OGE

เป้า: การก่อตัวของแนวคิดเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต

งาน: สอนแยกแยะประเภทความก้าวหน้า สอนถูก ใช้สูตร

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ตั้งชื่อลำดับของตัวเลข (เงื่อนไขของความก้าวหน้า)

ซึ่งแต่ละเทอมต่อๆ ไปจะแตกต่างจากเทอมก่อนด้วยเทอมใหม่ เรียกว่าขั้นหรือความแตกต่างของความก้าวหน้า

ดังนั้น โดยการระบุขั้นตอนความก้าวหน้าและเทอมแรก คุณสามารถค้นหาองค์ประกอบใด ๆ ของมันได้โดยใช้สูตร

1) สมาชิกแต่ละคนของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เริ่มจากเลขตัวที่สอง คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกรายก่อนหน้าและรายถัดไปของการก้าวหน้า

การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเทอมคี่ (คู่) ที่อยู่ติดกันของการก้าวหน้าเท่ากับเทอมที่อยู่ระหว่างเทอมเหล่านั้น ลำดับของตัวเลขนี้ก็คือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ การใช้คำสั่งนี้ ทำให้ง่ายต่อการตรวจสอบลำดับใดๆ

นอกจากนี้ ด้วยคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สูตรข้างต้นสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้

วิธีนี้ง่ายต่อการตรวจสอบหากคุณเขียนพจน์ทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับ

มักใช้ในทางปฏิบัติเพื่อลดความซับซ้อนในการคำนวณปัญหา

2) ผลรวมของเงื่อนไข n แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คำนวณโดยใช้สูตร

โปรดจำไว้ว่าสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ในการคำนวณและมักพบในสถานการณ์ชีวิตที่เรียบง่าย

3) หากคุณต้องการค้นหาไม่ใช่ผลรวมทั้งหมด แต่เป็นส่วนหนึ่งของลำดับที่เริ่มต้นจากเทอมที่ k สูตรผลรวมต่อไปนี้จะเป็นประโยชน์สำหรับคุณ

4) สิ่งที่น่าสนใจในทางปฏิบัติคือการหาผลรวมของเงื่อนไข n ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยเริ่มจากเลข k เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้สูตร

จงหาระยะที่สี่สิบของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 4;7;...

สารละลาย:

ตามเงื่อนไขที่เรามี

เรามากำหนดขั้นตอนความก้าวหน้ากันดีกว่า

ด้วยการใช้สูตรที่รู้จักกันดี เราจะพบระยะที่สี่สิบของความก้าวหน้า

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเทอมที่สามและเจ็ด ค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้าและผลรวมของสิบ

สารละลาย:

ให้เราเขียนองค์ประกอบที่กำหนดของความก้าวหน้าโดยใช้สูตร

การก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดโดยตัวส่วนและเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่ง ค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้า ผลรวมของ 50 เทอมที่เริ่มต้นจาก 50 และผลรวมของ 100 เทอมแรก

สารละลาย:

มาเขียนสูตรสำหรับองค์ประกอบที่ร้อยของความก้าวหน้ากัน

และหาอันแรก

จากข้อแรก เราจะพบระยะที่ 50 ของความก้าวหน้า

การหาผลรวมของส่วนของความก้าวหน้า

และผลรวมของ 100 ตัวแรก

ผลรวมของความก้าวหน้าคือ 250 ค้นหาจำนวนเทอมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หาก:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111

สารละลาย:

เรามาเขียนสมการในรูปของเทอมแรกและขั้นตอนการก้าวหน้าแล้วพิจารณากัน

เราแทนค่าที่ได้รับลงในสูตรผลรวมเพื่อกำหนดจำนวนคำศัพท์ในผลรวม

เราดำเนินการลดความซับซ้อน

และแก้สมการกำลังสอง

จากค่าทั้งสองที่พบ มีเพียงหมายเลข 8 เท่านั้นที่เหมาะกับเงื่อนไขของปัญหา ดังนั้น ผลรวมของแปดเทอมแรกของการก้าวหน้าคือ 111

แก้สมการ

1+3+5+...+x=307.

สารละลาย:

สมการนี้คือผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ลองเขียนเทอมแรกออกมาแล้วค้นหาความแตกต่างในความก้าวหน้า

เราแทนค่าที่พบลงในสูตรด้วยผลรวมของความก้าวหน้าเพื่อค้นหาจำนวนเทอม

เช่นเดียวกับงานก่อนหน้านี้ เราจะดำเนินการลดความซับซ้อนและแก้สมการกำลังสอง

เราเลือกค่าที่สมเหตุสมผลกว่าของทั้งสองค่า เราได้ผลรวมของความก้าวหน้า 18 เทอมที่มีค่าที่กำหนด a1=1, d=2 เท่ากับ Sn=307

ตัวอย่างการแก้ปัญหา: ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ปัญหาที่ 1

ทีมนักศึกษารับเหมาปูกระเบื้องเซรามิคบนพื้นห้องโถงของสโมสรเยาวชนที่มีพื้นที่ 288 ตร.ม. จากประสบการณ์ที่ได้รับ นักศึกษาจึงปูกระเบื้องเพิ่มอีก 2 ตร.ม. ในแต่ละวันต่อ ๆ ไป เริ่มจากวินาทีที่ 2 มากกว่าวันที่ วันก่อนหน้า และกระเบื้องของพวกเขาก็เพียงพอสำหรับการทำงาน 11 วันพอดี การวางแผนว่าจะเพิ่มผลิตภาพแรงงานในลักษณะเดียวกัน หัวหน้าคนงานตัดสินใจว่าจะใช้เวลาอีก 5 วันจึงจะเสร็จงาน เขาควรสั่งกระเบื้องกี่กล่องถ้า 1 กล่องเพียงพอสำหรับพื้น 1.2 ตร.ม. และต้องใช้ 3 กล่องเพื่อทดแทนกระเบื้องคุณภาพต่ำ

สารละลาย

ตามเงื่อนไขของปัญหา เป็นที่ชัดเจนว่าเรากำลังพูดถึงความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยให้

а1=х, Sn=288, n=16

จากนั้นเราใช้สูตร: Sn= (2a1+d(n-1))*n/0.86=200mmHg ศิลปะ.

288=(2x+2*15)*16/2

ลองคำนวณจำนวนนักเรียนที่จะวางตารางเมตรใน 11 วัน: S11=(2*3+2*10)*11.2=143m2

288-143=145m2 เหลือหลังจากทำงาน 11 วัน เช่น เป็นเวลา 5 วัน

145/1.2=121(โดยประมาณ)กล่องต้องสั่ง 5 วัน

121+3=124 กล่องต้องสั่งโดยคำนึงถึงข้อบกพร่องด้วย

คำตอบ: 124 กล่อง

ปัญหาที่ 2

หลังจากการเคลื่อนไหวของลูกสูบปั๊มสุญญากาศแต่ละครั้ง อากาศ 20% ในนั้นจะถูกกำจัดออกจากถัง ขอให้เราพิจารณาความดันอากาศภายในถังหลังจากลูกสูบเคลื่อนที่หกครั้ง ถ้าความดันเริ่มต้นคือ 760 มม. ปรอท ศิลปะ.

สารละลาย

เนื่องจากหลังจากการเคลื่อนไหวของลูกสูบแต่ละครั้ง อากาศที่มีอยู่ 20% จะถูกกำจัดออกจากถัง ทำให้มีอากาศเหลืออยู่ 80% หากต้องการทราบความดันอากาศในถังหลังจากลูกสูบเคลื่อนที่ครั้งถัดไป คุณต้องคูณความดันของการเคลื่อนที่ครั้งก่อนของลูกสูบด้วย 0.8

เรามีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่งมีเทอมแรกเป็น 760 และตัวส่วนของมันคือ 0.8 ตัวเลขที่แสดงความดันอากาศในถัง (เป็นมม. ปรอท) หลังจากลูกสูบเคลื่อนที่หกครั้งถือเป็นระยะที่เจ็ดของความก้าวหน้านี้ มีค่าเท่ากับ 760*0.86=200mmHg ศิลปะ.

ตอบ 200 มม.ปรอท

มีการกำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ โดยที่เทอมที่ห้าและสิบมีค่าเท่ากับ 38 และ 23 ตามลำดับ ค้นหาเทอมที่สิบห้าของความก้าวหน้าและผลรวมของสิบเทอมแรก

สารละลาย:

จงหาจำนวนพจน์ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 5,14,23,..., ถ้าเทอมที่ 3 คือ 239

สารละลาย:

หา จำนวนเทอมของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือ 9,12,15,..., ถ้าผลรวมคือ 306.

สารละลาย:

ค้นหา x โดยที่ตัวเลข x-1, 2x-1, x2-5 ก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

สารละลาย:

มาหาความแตกต่างระหว่างเงื่อนไขที่ 1 และ 2 ของความก้าวหน้า:

d=(2x-1)-(x-1)=x

มาหาความแตกต่างระหว่างเงื่อนไข 2 และ 3 ของความก้าวหน้า:

d=(x2-5)-(2x-1)=x2-2x-4

เพราะ ความแตกต่างจะเหมือนกัน ดังนั้นเงื่อนไขของความก้าวหน้าจึงสามารถเทียบเคียงได้:

เมื่อตรวจสอบทั้งสองกรณี จะได้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

คำตอบ: ที่ x=-1 และ x=4

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดโดยเทอมที่สามและเจ็ด a3=5; ก7=13. ค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้าและผลรวมของสิบ

สารละลาย:

เราลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง ผลก็คือเราพบขั้นตอนการก้าวหน้า

a1+6d-(a1+2d)=4d=13-5=8 จากนั้น d=2

เราแทนค่าที่พบลงในสมการใดๆ เพื่อค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

เราคำนวณผลรวมของเงื่อนไขสิบข้อแรกของความก้าวหน้า

S10=(2*1+(10-1)*2)*10/2=100

คำตอบ: a1=1; S10=100

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ซึ่งมีเทอมแรกคือ -3.4 และผลต่างคือ 3 ให้หาเทอมที่ห้าและสิบเอ็ด

เรารู้ว่า a1 = -3.4; d = 3 ค้นหา: a5, a11-

สารละลาย.ในการค้นหาเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เราใช้สูตร: an = a1+ (n – 1)d เรามี:

ก5 = ก1 + (5 – 1)ง = -3.4 + 4 3 = 8.6;

a11 = a1 + (11 – 1)d = -3.4 + 10 3 = 26.6

อย่างที่คุณเห็น ในกรณีนี้ การแก้ปัญหาไม่ใช่เรื่องยาก

เทอมที่สิบสองของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือ 74 และผลต่างคือ -4 ค้นหาระยะที่สามสิบสี่ของความก้าวหน้านี้

เราได้รับแจ้งว่า a12 = 74; d = -4 และเราจำเป็นต้องหา a34-

ในปัญหานี้ ไม่สามารถใช้สูตร an = a1 + (n – 1)d ได้ทันที เนื่องจาก เทอมแรก a1 ไม่เป็นที่รู้จัก ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้หลายขั้นตอน

1. เมื่อใช้คำว่า a12 และสูตรสำหรับพจน์ที่ n เราจะพบ a1:

a12 = a1 + (12 – 1)d ทีนี้มาลดรูปและแทนที่ d: a12 = a1 + 11 · (-4) จากสมการนี้ เราพบว่า a1: a1 = a12 – (-44);

เรารู้เทอมที่ 12 จากประโยคปัญหา เราก็เลยคำนวณ a1 ได้ง่ายๆ

a1 = 74 + 44 = 118 มาดูขั้นตอนที่สองกัน – คำนวณ a34

2. อีกครั้งโดยใช้สูตร an = a1 + (n – 1)d เนื่องจากทราบ a1 อยู่แล้ว เราจะหา a34-

a34 = a1 + (34 – 1)d = 118 + 33 · (-4) = 118 – 132 = -14

คำตอบ: ระยะที่ 34 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือ -14

อย่างที่คุณเห็น วิธีแก้ของตัวอย่างที่สองนั้นซับซ้อนกว่า ใช้สูตรเดียวกันสองครั้งเพื่อให้ได้คำตอบ แต่ทุกอย่างซับซ้อนมาก คุณสามารถทำให้สารละลายสั้นลงได้โดยใช้สูตรเพิ่มเติม

ตามที่ระบุไว้แล้วหากทราบ a1 ในปัญหาสูตรในการกำหนดเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ก็ใช้งานได้สะดวกมาก แต่ถ้าเงื่อนไขไม่ได้ระบุเทอมแรก สูตรที่เชื่อมโยงเทอมที่ n ที่เราต้องการและคำว่า ak ที่ระบุในปัญหาสามารถช่วยได้

an = ak + (n – k)d.

มาแก้ตัวอย่างที่สองกัน แต่ใช้สูตรใหม่

ให้ไว้: a12 = 74; ง = -4. ค้นหา: a34-

เราใช้สูตร an = ak + (n – k)d ในกรณีของเรามันจะเป็น:

a34 = a12 + (34 – 12) · (-4) = 74 + 22 · (-4) = 74 – 88 = -14

คำตอบของปัญหาได้รับเร็วกว่ามาก เนื่องจากไม่จำเป็นต้องดำเนินการเพิ่มเติมและมองหาความก้าวหน้าในระยะแรก

การใช้สูตรข้างต้นทำให้คุณสามารถแก้ปัญหาในการคำนวณผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้ ดังนั้นการใช้สูตร an = a1 + (n – 1)d เราสามารถแสดง d:

ง = (อัน – a1) / (n – 1) อย่างไรก็ตาม ปัญหาเกี่ยวกับเทอมแรกที่ระบุนั้นไม่ได้เกิดขึ้นบ่อยนัก และสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรของเรา an = ak + (n – k)d ซึ่งชัดเจนว่า d = (an – ak) / (n – ฎ) ลองดูที่ปัญหานี้

ค้นหาผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หากรู้ว่า a3 = 36; ก8 = 106.

เมื่อใช้สูตรที่เราได้รับ วิธีแก้ปัญหาสามารถเขียนเป็นบรรทัดเดียว:

ง = (ก8 – ก3) / (8 – 3) = (106 – 36) / 5 = 14

หากไม่มีสูตรนี้การแก้ปัญหาคงใช้เวลานานกว่านี้มากเพราะว่า จะต้องแก้ระบบสมการสองสมการ

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

1. สูตรของเทอมที่ 3 (คำทั่วไปของความก้าวหน้า)
2. สูตรสำหรับผลรวมของเทอมแรกของความก้าวหน้า: . เมื่อเป็นเรื่องปกติที่จะพูดถึงความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแบบมาบรรจบกัน ในกรณีนี้ คุณสามารถคำนวณผลรวมของความก้าวหน้าทั้งหมดได้โดยใช้สูตร
3. สูตรสำหรับ "ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต": ถ้า , , เป็นเทอมสามเทอมติดต่อกันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต จากนั้นตามคำจำกัดความ เราจะมีความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้: อย่างใดอย่างหนึ่ง หรือ .