วิธีหาความชันของเส้นจากกราฟ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

ความลาดชันเป็นเส้นตรง ในบทความนี้ เราจะดูปัญหาที่เกี่ยวข้องกับระนาบพิกัดที่รวมอยู่ในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ งานเหล่านี้เป็นงานสำหรับ:

— การหาค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงเมื่อทราบจุดสองจุดที่ผ่านไป
- การหาค่าแอบซิสซาหรือพิกัดของจุดตัดของเส้นตรงสองเส้นบนระนาบ

Abscissa และลำดับของจุดคืออะไรตามที่อธิบายไว้ในส่วนนี้ ในนั้นเราได้พิจารณาปัญหาหลายประการที่เกี่ยวข้องกับระนาบพิกัดแล้ว คุณต้องเข้าใจอะไรบ้างสำหรับประเภทของปัญหาที่กำลังพิจารณา ทฤษฎีเล็กน้อย

สมการของเส้นตรงบนระนาบพิกัดมีรูปแบบดังนี้

ที่ไหน เค – นี่แหละ ความลาดชันโดยตรง.

วินาทีต่อไป! ความชันของเส้นตรงเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรง นี่คือมุมระหว่างเส้นที่กำหนดกับแกนโอ้.

มีตั้งแต่ 0 ถึง 180 องศา

นั่นคือถ้าเราลดสมการของเส้นตรงให้อยู่ในรูป ย = เคเอ็กซ์ + ขจากนั้นเราสามารถกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ k (สัมประสิทธิ์ความชัน) ได้เสมอ

นอกจากนี้ หากตามเงื่อนไขที่เราสามารถหาแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงได้ เราก็จะได้ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของมัน

ประเด็นทฤษฏีต่อไป!สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุดสูตรดูเหมือนว่า:

พิจารณางานต่างๆ (คล้ายกับงานจากธนาคารงานที่เปิด):

ค้นหาความชันของเส้นที่ผ่านจุดต่างๆ ด้วยพิกัด (–6;0) และ (0;6)

ในปัญหานี้ วิธีที่มีเหตุผลที่สุดในการแก้ปัญหาคือการหาค่าแทนเจนต์ของมุมระหว่างแกน x กับเส้นตรงที่กำหนด เรียกได้ว่าเท่ากับความชัน พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดจากเส้นตรงและแกน x และ oy:

ค่าแทนเจนต์ของมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด:

*ขาทั้งสองข้างเท่ากับหก (นี่คือความยาว)

แน่นอนว่าปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรในการหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด แต่นี่จะเป็นวิธีแก้ปัญหาที่ยาวกว่า

คำตอบ: 1

ค้นหาความชันของเส้นที่ผ่านจุดต่างๆ ด้วยพิกัด (5;0) และ (0;5)

จุดของเรามีพิกัด (5;0) และ (0;5) วิธี,

มาใส่สูตรในรูปแบบกัน ย = เคเอ็กซ์ + ข

เราพบว่ามีความลาดชัน เค = – 1.

คำตอบ: –1

ตรง กผ่านจุดที่มีพิกัด (0;6) และ (8;0) ตรง ขผ่านจุดที่มีพิกัด (0;10) และขนานกับเส้นตรง ก ขมีเพลา โอ้.

ในปัญหานี้ คุณสามารถค้นหาสมการของเส้นตรงได้ กให้กำหนดความชันของมัน อยู่ที่เส้นตรง ขความชันจะเท่ากันเนื่องจากขนานกัน ต่อไปคุณจะพบสมการของเส้นตรง ข- จากนั้นเมื่อแทนค่า y = 0 เข้าไปแล้วหาค่า Abscissa แต่!

ใน ในกรณีนี้จะใช้สมบัติความคล้ายคลึงของรูปสามเหลี่ยมได้ง่ายกว่า

สามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดจากเส้น (ขนาน) และแกนพิกัดจะคล้ายกัน ซึ่งหมายความว่าอัตราส่วนของด้านที่ตรงกันจะเท่ากัน

Abscissa ที่ต้องการคือ 40/3

คำตอบ: 40/3

ตรง กผ่านจุดที่มีพิกัด (0;8) และ (–12;0) ตรง ขผ่านจุดที่มีพิกัด (0; –12) และขนานกับเส้นตรง ก- ค้นหาจุดตัดของเส้นตรง ขมีเพลา โอ้.

สำหรับปัญหานี้ วิธีที่มีเหตุผลที่สุดในการแก้ปัญหาคือใช้สมบัติของความคล้ายคลึงของรูปสามเหลี่ยม แต่เราจะแก้ปัญหาด้วยวิธีอื่น

เรารู้จุดที่เส้นผ่าน ก- เราสามารถเขียนสมการของเส้นตรงได้ สูตรสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุดมีรูปแบบดังนี้

ตามเงื่อนไข จุดต่างๆ จะมีพิกัด (0;8) และ (–12;0) วิธี,

เรามานึกกัน ย = เคเอ็กซ์ + ข:

ได้มุมนั้นแล้ว เค = 2/3.

*ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมหาได้จากค่าแทนเจนต์ของมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขา 8 และ 12

เป็นที่ทราบกันว่าเส้นขนานมีค่าสัมประสิทธิ์มุมเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (0;-12) มีรูปแบบดังนี้

หาค่า ขเราสามารถแทนค่า abscissa และจัดลำดับลงในสมการได้:

ดังนั้นเส้นตรงจึงมีลักษณะดังนี้:

ตอนนี้เพื่อค้นหาจุดตัดของเส้นตรงด้วยแกน x ที่ต้องการคุณต้องแทนที่ y = 0:

คำตอบ: 18

ค้นหาพิกัดของจุดตัดแกน โอ้และเส้นที่ผ่านจุด B(10;12) และขนานกับเส้นที่ผ่านจุดกำเนิดและจุด A(10;24)

ลองหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่มีพิกัด (0;0) และ (10;24) กัน

สูตรสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุดมีรูปแบบดังนี้

จุดของเรามีพิกัด (0;0) และ (10;24) วิธี,

เรามานึกกัน ย = เคเอ็กซ์ + ข

ค่าสัมประสิทธิ์มุมของเส้นขนานจะเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด B(10;12) มีรูปแบบดังนี้

ความหมาย ขลองค้นหาโดยการแทนที่พิกัดของจุด B(10;12) ลงในสมการนี้:

เราได้สมการเส้นตรง:

เพื่อหาพิกัดของจุดตัดของเส้นนี้กับแกน โอ้จะต้องแทนลงในสมการที่พบ เอ็กซ์= 0:

* ทางออกที่ง่ายที่สุด เมื่อใช้การแปลแบบขนาน เราจะเลื่อนบรรทัดนี้ลงไปตามแนวแกน โอ้ถึงจุด (10;12) การเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้น 12 หน่วย นั่นคือ จุด A(10;24) “ย้าย” ไปยังจุด B(10;12) และจุด O(0;0) “ย้าย” ไปยังจุด (0;–12) ซึ่งหมายความว่าเส้นตรงที่ได้จะตัดกับแกน โอ้ณ จุด (0;–12)

ลำดับที่ต้องการคือ –12

คำตอบ: –12

ค้นหาพิกัดของจุดตัดของเส้นที่กำหนดโดยสมการ

3x + 2у = 6มีแกน เฮ้ย.

พิกัดของจุดตัดของเส้นที่กำหนดกับแกน โอ้มีรูปแบบ (0; ที่- ลองแทนค่าแอบซิสซาเข้าไปในสมการกัน เอ็กซ์= 0 และค้นหาพิกัด:

พิกัดของจุดตัดของเส้นตรงและแกน โอ้เท่ากับ 3

*ระบบได้รับการแก้ไขแล้ว:

คำตอบ: 3

ค้นหาพิกัดของจุดตัดของเส้นที่กำหนดโดยสมการ

3x + 2y = 6และ ย = – x.

เมื่อให้เส้นตรงสองเส้นมา และคำถามเกี่ยวกับการหาพิกัดของจุดตัดของเส้นเหล่านี้ ระบบของสมการเหล่านี้จะได้รับการแก้ไข:

ในสมการแรกเราแทน - เอ็กซ์แทน ที่:

เลขลำดับมีค่าเท่ากับลบหก.

คำตอบ: – 6

ค้นหาความชันของเส้นที่ผ่านจุดต่างๆ ด้วยพิกัด (–2;0) และ (0;2)

ค้นหาความชันของเส้นที่ผ่านจุดต่างๆ ด้วยพิกัด (2;0) และ (0;2)

กำหนดเส้นจุดผ่านด้วยพิกัด (0;4) และ (6;0) เส้น b ผ่านจุดที่มีพิกัด (0;8) และขนานกับเส้น a ค้นหาจุดตัดของเส้น b กับแกน Ox

ค้นหาพิกัดของจุดตัดของแกน oy กับเส้นที่ผ่านจุด B (6;4) และขนานกับเส้นที่ผ่านจุดกำเนิดและจุด A (6;8)

1. จำเป็นต้องเข้าใจอย่างชัดเจนว่าค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรง สิ่งนี้จะช่วยคุณในการแก้ไขปัญหาประเภทนี้มากมาย

2. ต้องเข้าใจสูตรการหาเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด ด้วยความช่วยเหลือของมัน คุณจะพบสมการของเส้นตรงเสมอหากให้พิกัดของจุดสองจุดของมัน

3. จำไว้ว่าความชันของเส้นขนานนั้นเท่ากัน

4. ตามที่คุณเข้าใจแล้ว ในบางปัญหา การใช้คุณลักษณะความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมจะสะดวกกว่า ปัญหาได้รับการแก้ไขด้วยวาจา

5. ปัญหาที่มีการกำหนดเส้นสองเส้นและจำเป็นต้องค้นหาจุดตัดหรือกำหนดจุดตัดของเส้นทั้งสองนั้น สามารถแก้ไขได้ด้วยภาพกราฟิก นั่นคือสร้างพวกมันบนระนาบพิกัด (บนแผ่นกระดาษเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส) และกำหนดจุดตัดด้วยสายตา *แต่วิธีนี้ใช้ไม่ได้เสมอไป

6. และสุดท้าย. หากให้เส้นตรงและพิกัดของจุดตัดกับแกนพิกัดแล้วในปัญหาดังกล่าวจะสะดวกในการค้นหาสัมประสิทธิ์เชิงมุมโดยการค้นหาแทนเจนต์ของมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดขึ้น วิธี “มองเห็น” สามเหลี่ยมนี้ซึ่งมีตำแหน่งต่างๆ ของเส้นตรงบนเครื่องบินแสดงไว้ในแผนผังด้านล่าง:

>> มุมตรงตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา<<

>> มุมตรงตั้งแต่ 90 ถึง 180 องศา<<

นั่นคือทั้งหมดที่ ขอให้โชคดี!

ขอแสดงความนับถืออเล็กซานเดอร์

ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

ในบทที่แล้วได้แสดงให้เห็นว่า โดยการเลือกระบบพิกัดบางอย่างบนระนาบ เราสามารถแสดงคุณสมบัติทางเรขาคณิตที่แสดงลักษณะของจุดของเส้นที่กำลังพิจารณาในเชิงวิเคราะห์โดยสมการระหว่างพิกัดปัจจุบัน ดังนั้นเราจึงได้สมการของเส้นตรง บทนี้จะกล่าวถึงสมการเส้นตรง

ในการสร้างสมการสำหรับเส้นตรงในพิกัดคาร์ทีเซียน คุณจะต้องกำหนดเงื่อนไขที่กำหนดตำแหน่งที่สัมพันธ์กับแกนพิกัด

ขั้นแรก เราจะแนะนำแนวคิดเรื่องสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง ซึ่งเป็นหนึ่งในปริมาณที่แสดงลักษณะของเส้นตรงบนระนาบ

ลองเรียกมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน Ox ว่าเป็นมุมที่ต้องหมุนแกน Ox เพื่อให้ตรงกับเส้นที่กำหนด (หรือขนานกับมัน) ตามปกติเราจะพิจารณามุมโดยคำนึงถึงเครื่องหมาย (เครื่องหมายจะถูกกำหนดโดยทิศทางการหมุน: ทวนเข็มนาฬิกาหรือตามเข็มนาฬิกา) เนื่องจากการหมุนเพิ่มเติมของแกน Ox ผ่านมุม 180° จะทำให้แกนนั้นอยู่ในแนวเดียวกับเส้นตรงอีกครั้ง จึงไม่สามารถเลือกมุมเอียงของเส้นตรงกับแกนได้อย่างชัดเจน (ขึ้นอยู่กับเทอมที่เป็นผลคูณของ ) .

แทนเจนต์ของมุมนี้จะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกัน (เนื่องจากการเปลี่ยนมุมจึงไม่เปลี่ยนแทนเจนต์)

แทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน Ox เรียกว่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง

ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมแสดงลักษณะของเส้นตรง (เราไม่ได้แยกความแตกต่างระหว่างสองทิศทางที่ตรงข้ามกันของเส้นตรง) ถ้าความชันของเส้นตรงเป็นศูนย์ เส้นนั้นจะขนานกับแกน x ด้วยค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมบวก มุมเอียงของเส้นตรงถึงแกน Ox จะเป็นแบบเฉียบพลัน (เรากำลังพิจารณาค่าบวกที่เล็กที่สุดของมุมเอียงที่นี่) (รูปที่ 39) ยิ่งไปกว่านั้น ยิ่งค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมมากเท่าไร มุมเอียงของแกน Ox ก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น หากค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเป็นลบมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน Ox จะเป็นมุมป้าน (รูปที่ 40) โปรดทราบว่าเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน Ox ไม่มีสัมประสิทธิ์เชิงมุม (ไม่มีค่าแทนเจนต์ของมุม)

เส้นตรง y=f(x) จะสัมผัสกับกราฟที่แสดงในรูปที่จุด x0 หากเส้นตรงผ่านจุดที่มีพิกัด (x0; f(x0)) และมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม f"(x0) ค้นหา ค่าสัมประสิทธิ์ดังกล่าว การรู้คุณลักษณะของแทนเจนต์ก็ไม่ใช่เรื่องยาก

คุณจะต้อง

• - หนังสืออ้างอิงทางคณิตศาสตร์
• - ดินสอธรรมดา
• - สมุดบันทึก;
• - ไม้โปรแทรกเตอร์;
• - เข็มทิศ;
• - ปากกา.

คำแนะนำ

หากไม่มีค่า f'(x0) แสดงว่าไม่มีค่าแทนเจนต์หรือค่านั้นทำงานในแนวตั้ง เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ การมีอยู่ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x0 เกิดจากการมีอยู่ของแทนเจนต์แทนเจนต์ที่ไม่ใช่แนวตั้งกับกราฟของฟังก์ชันที่จุด (x0, f(x0)) ในกรณีนี้ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์จะเท่ากับ f "(x0) ดังนั้นความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์จึงชัดเจน - การคำนวณค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์

วาดแทนเจนต์เพิ่มเติมที่จะสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่จุด x1, x2 และ x3 และยังทำเครื่องหมายมุมที่เกิดจากแทนเจนต์เหล่านี้ด้วยแกน x (มุมนี้จะถูกนับในทิศทางบวกจากแกนถึง เส้นสัมผัสกัน) ตัวอย่างเช่น มุมซึ่งก็คือ α1 จะเป็นมุมแหลม มุมที่สอง (α2) จะเป็นมุมป้าน และมุมที่สาม (α3) จะเป็นศูนย์ เนื่องจากเส้นสัมผัสกันขนานกับแกน OX ในกรณีนี้ ค่าแทนเจนต์ของมุมป้านจะเป็นลบ ค่าแทนเจนต์ของมุมแหลมจะเป็นค่าบวก และที่ tg0 ผลลัพธ์จะเป็นศูนย์

โปรดทราบ

กำหนดมุมที่เกิดจากแทนเจนต์ได้อย่างถูกต้อง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้ไม้โปรแทรกเตอร์

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

เส้นเอียงสองเส้นจะขนานกันถ้าค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากัน ตั้งฉากถ้าผลคูณของสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์เหล่านี้เท่ากับ -1

แหล่งที่มา:

• แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน

โคไซน์ก็เหมือนกับไซน์ ถูกจัดเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ "โดยตรง" แทนเจนต์ (ร่วมกับโคแทนเจนต์) จัดเป็นอีกคู่หนึ่งที่เรียกว่า "อนุพันธ์" มีคำจำกัดความหลายประการของฟังก์ชันเหล่านี้ที่ทำให้สามารถค้นหาแทนเจนต์ที่กำหนดโดยค่าโคไซน์ที่ทราบซึ่งมีค่าเท่ากันได้

คำแนะนำ

ลบผลหารของเอกภาพด้วยค่าที่เพิ่มขึ้นเป็นโคไซน์ของมุมที่กำหนด และแยกรากที่สองออกจากผลลัพธ์ ซึ่งจะเป็นค่าแทนเจนต์ของมุม ซึ่งแสดงด้วยโคไซน์: tg(α)=√(1- 1/(คอส(α))²) . โปรดทราบว่าในสูตร โคไซน์อยู่ในตัวส่วนของเศษส่วน ความเป็นไปไม่ได้ที่จะหารด้วยศูนย์จะทำให้การใช้นิพจน์นี้สำหรับมุมที่เท่ากับ 90° รวมถึงมุมที่แตกต่างจากค่านี้ด้วยตัวเลขที่ทวีคูณของ 180° (270°, 450°, -90° ฯลฯ)

มีอีกวิธีหนึ่งในการคำนวณแทนเจนต์จากค่าโคไซน์ที่ทราบ สามารถใช้ได้หากไม่มีข้อจำกัดในการใช้งานของผู้อื่น หากต้องการนำวิธีนี้ไปใช้ ขั้นแรกให้กำหนดค่ามุมจากค่าโคไซน์ที่ทราบ ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้ฟังก์ชันอาร์คโคไซน์ จากนั้นเพียงคำนวณแทนเจนต์สำหรับมุมของค่าผลลัพธ์ โดยทั่วไป อัลกอริทึมนี้สามารถเขียนได้ดังนี้: tg(α)=tg(arccos(cos(α)))

นอกจากนี้ยังมีตัวเลือกแปลกใหม่ที่ใช้คำจำกัดความของโคไซน์และแทนเจนต์ผ่านมุมแหลมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ในคำจำกัดความนี้ โคไซน์สอดคล้องกับอัตราส่วนของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากกับความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เมื่อทราบค่าโคไซน์แล้ว คุณสามารถเลือกความยาวที่สอดคล้องกันของทั้งสองด้านได้ ตัวอย่างเช่น ถ้า cos(α) = 0.5 ดังนั้นด้านประชิดจะเท่ากับ 10 ซม. และด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 20 ซม. ตัวเลขเฉพาะไม่สำคัญที่นี่ - คุณจะได้รับตัวเลขที่เหมือนกันและถูกต้องพร้อมค่าใด ๆ ที่เหมือนกัน จากนั้นใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสหาความยาวของด้านที่หายไป - ขาตรงข้าม มันจะเท่ากับรากที่สองของผลต่างระหว่างความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากกำลังสองกับขาที่ทราบ: √(20²-10²)=√300 ตามคำจำกัดความ แทนเจนต์สอดคล้องกับอัตราส่วนของความยาวของขาตรงข้ามและขาที่อยู่ติดกัน (√300/10) - คำนวณและรับค่าแทนเจนต์ที่พบโดยใช้คำจำกัดความดั้งเดิมของโคไซน์

แหล่งที่มา:

• โคไซน์ผ่านสูตรแทนเจนต์

หนึ่งในฟังก์ชันตรีโกณมิติซึ่งส่วนใหญ่มักแสดงด้วยตัวอักษร tg แม้ว่าจะใช้สีแทนก็ตาม วิธีที่ง่ายที่สุดในการแทนเจนต์คืออัตราส่วนไซน์ มุมถึงโคไซน์ของมัน นี่เป็นฟังก์ชันคี่เป็นคาบและไม่ต่อเนื่อง แต่ละรอบจะเท่ากับตัวเลข Pi และจุดพักสอดคล้องกับครึ่งหนึ่งของตัวเลขนี้

ความต่อเนื่องของหัวข้อ สมการของเส้นบนระนาบมีพื้นฐานมาจากการศึกษาเส้นตรงจากบทเรียนพีชคณิต บทความนี้ให้ข้อมูลทั่วไปในหัวข้อสมการเส้นตรงและความชัน ลองพิจารณาคำจำกัดความ หาสมการ และระบุความเชื่อมโยงกับสมการประเภทอื่นๆ กัน ทุกอย่างจะหารือกันโดยใช้ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

ก่อนที่จะเขียนสมการนี้จำเป็นต้องกำหนดมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน O x ด้วยค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม ให้เราสมมติว่าระบบพิกัดคาร์ทีเซียน O x บนระนาบถูกกำหนดไว้

คำจำกัดความ 1

มุมเอียงของเส้นตรงถึงแกน O xซึ่งอยู่ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน O x y บนระนาบ นี่คือมุมที่วัดจากทิศทางบวก O x ถึงเส้นตรงทวนเข็มนาฬิกา

เมื่อเส้นตรงขนานกับ O x หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน มุมเอียงจะเป็น 0 จากนั้นมุมเอียงของเส้นตรงที่กำหนด α ถูกกำหนดไว้ในช่วงเวลา [ 0 , π) .

คำจำกัดความ 2

ความลาดชันโดยตรงคือค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงที่กำหนด

การกำหนดมาตรฐานคือ k จากคำจำกัดความ เราพบว่า k = t g α . เมื่อเส้นขนานกับวัว พวกเขาบอกว่าความชันไม่มีอยู่จริง เนื่องจากเส้นนี้ไปสู่ระยะอนันต์

ความชันจะเป็นค่าบวกเมื่อกราฟของฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและในทางกลับกัน รูปนี้แสดงการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของมุมฉากต่างๆ ที่สัมพันธ์กับระบบพิกัดด้วยค่าสัมประสิทธิ์

ในการค้นหามุมนี้จำเป็นต้องใช้คำจำกัดความของสัมประสิทธิ์เชิงมุมและคำนวณแทนเจนต์ของมุมเอียงในระนาบ

สารละลาย

จากเงื่อนไขที่เรามี α = 120° ตามคำจำกัดความจะต้องคำนวณความชัน ลองหาได้จากสูตร k = t g α = 120 = - 3

คำตอบ:เค = - 3 .

หากทราบค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมและจำเป็นต้องค้นหามุมเอียงกับแกน abscissa ควรคำนึงถึงค่าของสัมประสิทธิ์เชิงมุมด้วย ถ้า k > 0 มุมขวาจะเป็นมุมแหลมและหาได้จากสูตร α = a r c t g k ถ้าเค< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

ตัวอย่างที่ 2

กำหนดมุมเอียงของเส้นตรงที่กำหนดให้กับ O x โดยมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากับ 3

สารละลาย

จากเงื่อนไขที่เราได้รับว่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเป็นบวก ซึ่งหมายความว่ามุมเอียงต่อ O x น้อยกว่า 90 องศา การคำนวณทำได้โดยใช้สูตร α = a r c t g k = a r c t g 3

คำตอบ: α = a rc t g 3 .

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหามุมเอียงของเส้นตรงถึงแกน O x หากความชัน = - 1 3

สารละลาย

หากเราใช้ตัวอักษร k เป็นค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม แล้ว α คือมุมเอียงของเส้นตรงที่กำหนดในทิศทางบวก O x ดังนั้น k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6

คำตอบ: 5 พาย 6 .

สมการที่อยู่ในรูปแบบ y = k x + b โดยที่ k คือความชัน และ b คือค่าบางส่วน จำนวนจริงเรียกว่าสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์มุม สมการนี้เป็นเรื่องปกติสำหรับเส้นตรงใดๆ ที่ไม่ขนานกับแกน O y

หากเราพิจารณารายละเอียดเส้นตรงบนระนาบในระบบพิกัดคงที่ซึ่งระบุโดยสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมซึ่งมีรูปแบบ y = k x + b ในกรณีนี้ หมายความว่าสมการสอดคล้องกับพิกัดของจุดใดๆ บนเส้น หากเราแทนที่พิกัดของจุด M, M 1 (x 1, y 1) ลงในสมการ y = k x + b ในกรณีนี้เส้นจะผ่านจุดนี้ มิฉะนั้นจุดจะไม่เป็นของเส้น

ตัวอย่างที่ 4

จะได้เส้นตรงที่มีความชัน y = 1 3 x - 1 คำนวณว่าจุด M 1 (3, 0) และ M 2 (2, - 2) อยู่ในบรรทัดที่กำหนดหรือไม่

สารละลาย

จำเป็นต้องแทนที่พิกัดของจุด M 1 (3, 0) ลงในสมการที่กำหนด จากนั้นเราจะได้ 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0 ความเท่าเทียมกันเป็นจริง ซึ่งหมายความว่าจุดนั้นอยู่ในเส้นตรง

หากเราแทนที่พิกัดของจุด M 2 (2, - 2) เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้องของแบบฟอร์ม - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 เราสามารถสรุปได้ว่าจุด M 2 ไม่อยู่ในเส้น

คำตอบ: M 1 เป็นของเส้น แต่ M 2 ไม่ใช่ของเส้น

เป็นที่ทราบกันว่าเส้นถูกกำหนดโดยสมการ y = k · x + b ผ่าน M 1 (0, b) เมื่อทดแทนเราได้รับความเท่าเทียมกันของรูปแบบ b = k · 0 + b ⇔ b = b จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม y = k x + b บนระนาบจะกำหนดเส้นตรงที่ผ่านจุด 0, b มันสร้างมุม α โดยมีทิศทางบวกของแกน O x โดยที่ k = t g α

ให้เราพิจารณาเป็นตัวอย่าง เส้นตรงที่กำหนดโดยใช้สัมประสิทธิ์เชิงมุมที่ระบุในรูปแบบ y = 3 · x - 1 เราพบว่าเส้นตรงจะผ่านจุดที่มีพิกัด 0, - 1 โดยมีความชัน α = a r c t g 3 = π 3 เรเดียนในทิศทางบวกของแกน O x นี่แสดงว่าสัมประสิทธิ์คือ 3

สมการของเส้นตรงที่มีความชันที่ผ่านจุดที่กำหนด

มีความจำเป็นต้องแก้ปัญหาโดยจำเป็นต้องได้สมการของเส้นตรงที่มีความชันที่กำหนดผ่านจุด M 1 (x 1, y 1)

ความเท่าเทียมกัน y 1 = k · x + b ถือว่าใช้ได้เนื่องจากเส้นผ่านจุด M 1 (x 1, y 1) หากต้องการลบหมายเลข b จำเป็นต้องออกจากด้านซ้ายและ ชิ้นส่วนที่ถูกต้องลบสมการความชัน จากนี้ไป y - y 1 = k · (x - x 1) ความเท่าเทียมกันนี้เรียกว่าสมการของเส้นตรงที่มีความชัน k โดยผ่านพิกัดของจุด M 1 (x 1, y 1)

ตัวอย่างที่ 5

เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 ด้วยพิกัด (4, - 1) โดยมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากับ - 2

สารละลาย

ตามเงื่อนไขเราจะได้ว่า x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2 จากตรงนี้ สมการของเส้นจะเขียนได้ดังนี้: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

คำตอบ:ย = - 2 x + 7 .

ตัวอย่างที่ 6

เขียนสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมที่ผ่านจุด M 1 ด้วยพิกัด (3, 5) ขนานกับเส้นตรง y = 2 x - 2

สารละลาย

โดยเงื่อนไข เราจะได้ว่าเส้นขนานมีมุมเอียงเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากัน หากต้องการหาความชันจากสมการนี้ คุณต้องจำสูตรพื้นฐานของมัน y = 2 x - 2 จากนั้นจึงตามด้วย k = 2 เราเขียนสมการด้วยสัมประสิทธิ์ความชันและรับ:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

คำตอบ: y = 2 x - 1 .

การเปลี่ยนจากสมการเส้นตรงที่มีความชันเป็นสมการเส้นตรงประเภทอื่นและย้อนกลับ

สมการนี้ใช้ไม่ได้กับการแก้ปัญหาเสมอไป เนื่องจากเขียนไม่สะดวกนัก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องนำเสนอในรูปแบบอื่น ตัวอย่างเช่น สมการในรูปแบบ y = k x + b ไม่อนุญาตให้เราเขียนพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงหรือพิกัดของเวกเตอร์ปกติ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องเรียนรู้ที่จะแทนด้วยสมการประเภทอื่น

เราสามารถหาสมการมาตรฐานของเส้นตรงบนระนาบได้โดยใช้สมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์มุม เราได้ x - x 1 a x = y - y 1 ay จำเป็นต้องย้ายคำว่า b ไปที่ ด้านซ้ายและหารด้วยการแสดงออกของความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้น จากนั้นเราจะได้สมการในรูปแบบ y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · xk = y - b k ⇔ x 1 = y - b k

สมการของเส้นตรงที่มีความชันกลายเป็นสมการมาตรฐานของเส้นนี้

ตัวอย่างที่ 7

นำสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม y = - 3 x + 12 มาเป็นรูปแบบมาตรฐาน

สารละลาย

ให้เราคำนวณและนำเสนอในรูปแบบของสมการบัญญัติของเส้นตรง เราได้รับสมการของรูปแบบ:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

คำตอบ: x 1 = y - 12 - 3

สมการทั่วไปของเส้นตรงหาได้ง่ายที่สุดจาก y = k · x + b แต่สำหรับสิ่งนี้ จำเป็นต้องทำการแปลง: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0 การเปลี่ยนจากสมการทั่วไปของเส้นไปเป็นสมการประเภทอื่น

ตัวอย่างที่ 8

รับสมการเส้นตรงในรูปแบบ y = 1 7 x - 2 . ค้นหาว่าเวกเตอร์ที่มีพิกัด a → = (- 1, 7) เป็นเวกเตอร์เส้นปกติหรือไม่?

สารละลาย

เพื่อแก้ปัญหาจำเป็นต้องย้ายไปยังรูปแบบอื่นของสมการนี้เพื่อสิ่งนี้เราเขียน:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

ค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่หน้าตัวแปรคือพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรง ลองเขียนแบบนี้: n → = 1 7, - 1 ดังนั้น 1 7 x - y - 2 = 0 เห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์ a → = (- 1, 7) อยู่ในแนวเดียวกันกับเวกเตอร์ n → = 1 7, - 1 เนื่องจากเรามีความสัมพันธ์ที่ยุติธรรม a → = - 7 · n → ตามมาด้วยเวกเตอร์ดั้งเดิม a → = - 1, 7 เป็นเวกเตอร์ปกติของเส้นตรง 1 7 x - y - 2 = 0 ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ดังกล่าวถือเป็นเวกเตอร์ปกติของเส้นตรง y = 1 7 x - 2

คำตอบ:เป็น

ลองแก้ปัญหาผกผันของอันนี้กัน

ต้องย้ายจาก มุมมองทั่วไปสมการ A x + B y + C = 0 โดยที่ B ≠ 0 ถึงสมการที่มีความชัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแก้สมการของ y เราได้ A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการที่มีความชันเท่ากับ - A B

ตัวอย่างที่ 9

จะได้สมการเส้นตรงในรูปแบบ 2 3 x - 4 y + 1 = 0 หาสมการของเส้นตรงที่กำหนดด้วยสัมประสิทธิ์เชิงมุม

สารละลาย

ตามเงื่อนไขจำเป็นต้องแก้หา y จากนั้นเราจะได้สมการของรูปแบบ:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

คำตอบ: y = 1 6 x + 1 4 .

สมการของรูปแบบ x a + y b = 1 ได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกันซึ่งเรียกว่าสมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ หรือรูปแบบบัญญัติของรูปแบบ x - x 1 a x = y - y 1 ay เราจำเป็นต้องแก้มันหา y จากนั้นเราจะได้สมการที่มีความชัน:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b

สมการทางบัญญัติสามารถลดลงเป็นรูปแบบที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมได้ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = ay a x · x - aya x · x 1 + y 1

ตัวอย่างที่ 10

มีเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ x 2 + y - 3 = 1 ลดรูปให้อยู่ในรูปสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม

สารละลาย.

จำเป็นต้องแปลงสภาพตามเงื่อนไข จากนั้นเราจะได้สมการในรูปแบบ _formula_ ทั้งสองด้านของสมการจะต้องคูณด้วย - 3 เพื่อให้ได้สมการความชันที่ต้องการ การแปลงเราได้รับ:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

คำตอบ:ย = 3 2 x - 3 .

ตัวอย่างที่ 11

ลดสมการเส้นตรงของรูปแบบ x - 2 2 = y + 1 5 ให้เป็นรูปแบบที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม

สารละลาย

จำเป็นต้องคำนวณนิพจน์ x - 2 2 = y + 1 5 เป็นสัดส่วน เราได้มาว่า 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) ตอนนี้คุณต้องเปิดใช้งานโดยสมบูรณ์เพื่อทำสิ่งนี้:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 ปี + 2 ⇔ 2 ปี = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

คำตอบ: y = 5 2 x - 6 .

เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าว สมการพาราเมตริกของเส้นในรูปแบบ x = x 1 + a x · แลม y = y 1 + a y · แลม ควรลดลงเป็นสมการบัญญัติของเส้นตรง หลังจากนี้เท่านั้นจึงจะสามารถดำเนินการสมการด้วย ค่าสัมประสิทธิ์ความชัน

ตัวอย่างที่ 12

จงหาความชันของเส้นตรงหากกำหนดโดยสมการพาราเมตริก x = แลม y = - 1 + 2 · แลม

สารละลาย

จำเป็นต้องเปลี่ยนจากมุมมองพาราเมตริกไปเป็นความชัน ในการทำเช่นนี้ เราจะพบสมการทางบัญญัติจากพาราเมตริกที่กำหนด:

x = แลมบ์ y = - 1 + 2 · แลมบ์ ⇔ แลมบ์ = x แลมบ์ = y + 1 2 ⇔ x 1 = ย + 1 2 .

ตอนนี้จำเป็นต้องแก้ไขความเท่าเทียมกันนี้ด้วยความเคารพต่อ y เพื่อให้ได้สมการของเส้นตรงที่มีสัมประสิทธิ์เชิงมุม เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้เขียนดังนี้:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

ตามมาด้วยความชันของเส้นตรงเป็น 2 เขียนเป็น k = 2

คำตอบ:เค = 2.

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

เรียนรู้การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันอนุพันธ์แสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งซึ่งอยู่บนกราฟของฟังก์ชันนี้ ในกรณีนี้ กราฟอาจเป็นเส้นตรงหรือเส้นโค้งก็ได้ นั่นคืออนุพันธ์แสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง จดจำ กฎทั่วไปโดยการนำอนุพันธ์มาใช้แล้วทำตามขั้นตอนต่อไปเท่านั้น

• อ่านบทความ
• อธิบายวิธีการหาอนุพันธ์ที่ง่ายที่สุด เช่น อนุพันธ์ของสมการเลขชี้กำลัง การคำนวณที่นำเสนอในขั้นตอนต่อไปนี้จะขึ้นอยู่กับวิธีการที่อธิบายไว้ในนั้น

เรียนรู้ที่จะแยกแยะปัญหาที่ต้องคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ความชันโดยใช้อนุพันธ์ของฟังก์ชันปัญหาไม่ได้ขอให้คุณค้นหาความชันหรืออนุพันธ์ของฟังก์ชันเสมอไป ตัวอย่างเช่น คุณอาจถูกขอให้ค้นหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันที่จุด A(x,y) คุณอาจถูกขอให้หาความชันของเส้นสัมผัสที่จุด A(x,y) ในทั้งสองกรณี จำเป็นต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ให้มาไม่จำเป็นต้องสร้างกราฟที่นี่ คุณเพียงต้องการสมการของฟังก์ชันเท่านั้น ในตัวอย่างของเรา หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน หาอนุพันธ์ตามวิธีการที่ระบุไว้ในบทความที่กล่าวถึงข้างต้น:

• อนุพันธ์:

แทนที่พิกัดของจุดที่กำหนดให้กับอนุพันธ์ที่พบเพื่อคำนวณความชันอนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับความชันที่จุดใดจุดหนึ่ง กล่าวอีกนัยหนึ่ง f"(x) คือความชันของฟังก์ชันที่จุดใดๆ (x,f(x)) ในตัวอย่างของเรา:

• ค้นหาความชันของฟังก์ชัน f (x) = 2 x 2 + 6 x (\รูปแบบการแสดงผล f(x)=2x^(2)+6x)ที่จุด A(4,2)
• อนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
  • f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
• แทนค่าของพิกัด “x” ของจุดนี้:
  • f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
• ค้นหาความชัน:
• ฟังก์ชั่นความลาดชัน f (x) = 2 x 2 + 6 x (\รูปแบบการแสดงผล f(x)=2x^(2)+6x)ที่จุด A(4,2) เท่ากับ 22

ถ้าเป็นไปได้ ให้ตรวจสอบคำตอบของคุณบนกราฟโปรดจำไว้ว่าไม่สามารถคำนวณความชันได้ทุกจุด แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ตรวจสอบฟังก์ชันที่ซับซ้อนและกราฟที่ซับซ้อนซึ่งไม่สามารถคำนวณความชันได้ทุกจุด และในบางกรณี จุดนั้นไม่ได้อยู่บนกราฟเลย หากเป็นไปได้ ให้ใช้เครื่องคิดเลขกราฟเพื่อตรวจสอบว่าความชันของฟังก์ชันที่คุณได้รับนั้นถูกต้อง มิฉะนั้น ให้วาดแทนเจนต์ให้กับกราฟ ณ จุดที่กำหนด และพิจารณาว่าค่าความชันที่คุณพบตรงกับที่คุณเห็นบนกราฟหรือไม่

• แทนเจนต์จะมีความชันเท่ากับกราฟของฟังก์ชันที่จุดใดจุดหนึ่ง หากต้องการวาดเส้นสัมผัสกันที่จุดที่กำหนด ให้เลื่อนไปทางซ้าย/ขวาบนแกน X (ในตัวอย่างของเรา 22 ค่าไปทางขวา) จากนั้นขึ้นหนึ่งค่าบนแกน Y ทำเครื่องหมายจุดนั้นแล้วเชื่อมต่อกับ จุดที่มอบให้กับคุณ ในตัวอย่างของเรา เชื่อมต่อจุดต่างๆ ด้วยพิกัด (4,2) และ (26,3)