อสมการกำลังสองมีค่าน้อยกว่าศูนย์ อสมการกำลังสอง อัลกอริทึมสำหรับการประยุกต์ใช้วิธีช่วงเวลา

อสมการกำลังสอง – “จากและถึง”ในบทความนี้ เราจะดูวิธีแก้ปัญหาของอสมการกำลังสองอย่างที่เขาว่ากัน ไปจนถึงรายละเอียดปลีกย่อย ฉันแนะนำให้ศึกษาเนื้อหาในบทความอย่างละเอียดโดยไม่พลาดอะไรเลย คุณจะไม่สามารถเชี่ยวชาญบทความได้ทันที ฉันแนะนำให้ทำหลายวิธี มีข้อมูลมากมาย

เนื้อหา:

การแนะนำ. สำคัญ!

การแนะนำ. สำคัญ!

อสมการกำลังสองคือความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ:

หากคุณใช้สมการกำลังสองและแทนที่เครื่องหมายเท่ากับด้วยค่าใดๆ ข้างต้น คุณจะได้รับอสมการกำลังสอง การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันหมายถึงการตอบคำถามว่าค่า x ความไม่เท่าเทียมกันนี้จะเป็นจริง ตัวอย่าง:

10 x 2 – 6 x+12 ≤ 0

2 x 2 + 5 x –500 > 0

– 15 x 2 – 2 x+13 > 0

8 x 2 – 15 x+45≠ 0

อสมการกำลังสองสามารถระบุโดยปริยายได้ ตัวอย่างเช่น:

10 x 2 – 6 x+14 x 2 –5 x +2≤ 56

2 x 2 > 36

8 x 2 <–15 x 2 – 2 x+13

0> – 15 x 2 – 2 x+13

ในกรณีนี้ จำเป็นต้องทำการแปลงพีชคณิตและนำไปอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน (1)

*ค่าสัมประสิทธิ์อาจเป็นเศษส่วนและไม่มีเหตุผล แต่ตัวอย่างดังกล่าวหาได้ยากในหลักสูตรของโรงเรียน และไม่พบในงาน Unified State Examination เลย แต่อย่าตกใจไป เช่น หากคุณเจอ:

นี่ก็เป็นอสมการกำลังสองเช่นกัน

ขั้นแรก ลองพิจารณาอัลกอริธึมวิธีแก้ปัญหาง่ายๆ ที่ไม่ต้องใช้ความเข้าใจว่าฟังก์ชันกำลังสองคืออะไร และกราฟของฟังก์ชันนี้ดูบนระนาบพิกัดสัมพันธ์กับแกนพิกัดอย่างไร หากคุณสามารถจดจำข้อมูลได้อย่างมั่นคงและเป็นเวลานาน และเสริมด้วยการฝึกฝนอย่างสม่ำเสมอ อัลกอริธึมจะช่วยคุณได้ นอกจากนี้หากอย่างที่พวกเขาพูดกันว่าคุณต้องแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน "ในคราวเดียว" อัลกอริทึมจะช่วยคุณได้ เมื่อปฏิบัติตาม คุณจะนำโซลูชันไปใช้ได้อย่างง่ายดาย

หากคุณกำลังเรียนที่โรงเรียนฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้คุณเริ่มศึกษาบทความจากส่วนที่สองซึ่งบอกความหมายทั้งหมดของวิธีแก้ปัญหา (ดูด้านล่างจากจุด -) หากคุณเข้าใจสาระสำคัญก็ไม่จำเป็นต้องเรียนรู้หรือจดจำอัลกอริทึมที่ระบุ คุณสามารถแก้ไขอสมการกำลังสองได้อย่างรวดเร็ว

แน่นอน ฉันควรเริ่มการอธิบายทันทีด้วยกราฟของฟังก์ชันกำลังสองและการอธิบายความหมาย แต่ฉันตัดสินใจ "สร้าง" บทความด้วยวิธีนี้

อีกประเด็นทางทฤษฎี! ดูสูตรการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง:

โดยที่ x 1 และ x 2 เป็นรากของสมการกำลังสองขวาน 2+ บีเอ็กซ์+ค=0

*ในการแก้อสมการกำลังสอง จำเป็นต้องแยกตัวประกอบตรีโนเมียลกำลังสอง

อัลกอริธึมที่แสดงด้านล่างเรียกอีกอย่างว่าวิธีช่วงเวลา เหมาะสำหรับแก้ความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม ฉ(x)>0, ฉ(x)<0 , ฉ(x)≥0และฉ(x)≤0 - โปรดทราบว่าสามารถมีตัวคูณได้มากกว่าสองตัว ตัวอย่างเช่น:

(x–10)(x+5)(x–1)(x+104)(x+6)(x–1)<0

อัลกอริธึมโซลูชัน วิธีช่วงเวลา ตัวอย่าง.

โดยคำนึงถึงความไม่เท่าเทียมกัน ขวาน 2 + บีเอ็กซ์+ c > 0 (เครื่องหมายใดๆ)

1. เขียนสมการกำลังสอง ขวาน 2 + บีเอ็กซ์+ ค = 0 และแก้ไขมัน เราได้รับ x 1 และ x 2– รากของสมการกำลังสอง

2. แทนค่าสัมประสิทธิ์เป็นสูตร (2) ก และราก -

ขวาน – x 1 )(x – x 2)>0

3. กำหนดช่วงบนเส้นจำนวน (รากของสมการแบ่งเส้นจำนวนออกเป็นช่วง):

4. กำหนด "เครื่องหมาย" ในช่วงเวลา (+ หรือ -) โดยการแทนที่ค่า "x" โดยพลการจากแต่ละช่วงเวลาที่เป็นผลเป็นนิพจน์:

ขวาน – x 1 )(x – x2)

และเฉลิมฉลองพวกเขา

5. สิ่งที่เหลืออยู่คือจดช่วงเวลาที่เราสนใจโดยทำเครื่องหมายไว้:

- มีเครื่องหมาย “+” หากความไม่เท่าเทียมกันมี “>0” หรือ “≥0”

- ลงชื่อ “–” หากรวมความไม่เท่าเทียมกันด้วย “<0» или «≤0».

ใส่ใจ!!! สัญญาณที่บ่งบอกถึงความไม่เท่าเทียมกันอาจเป็น:

เข้มงวด - นี่คือ ">", "<» и нестрогими – это «≥», «≤».

สิ่งนี้ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการตัดสินใจอย่างไร?

ด้วยสัญญาณความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด ขอบเขตของช่วงเวลาจะไม่รวมอยู่ในการแก้ปัญหา ในขณะที่คำตอบนั้น ช่วงเวลานั้นจะถูกเขียนในรูปแบบ ( x 1 ; x 2 ) – วงเล็บเหลี่ยม

สำหรับสัญญาณความไม่เท่าเทียมกันแบบอ่อน ขอบเขตของช่วงเวลาจะรวมอยู่ในคำตอบด้วย และคำตอบจะเขียนอยู่ในรูปแบบ [ x 1 ; x 2 ] – วงเล็บเหลี่ยม

*สิ่งนี้ใช้ไม่เพียงแต่กับอสมการกำลังสองเท่านั้น วงเล็บเหลี่ยมหมายความว่าขอบเขตของช่วงนั้นรวมอยู่ในคำตอบด้วย

คุณจะเห็นสิ่งนี้ในตัวอย่าง ลองดูบางส่วนเพื่อเคลียร์คำถามทั้งหมดเกี่ยวกับเรื่องนี้ ตามทฤษฎีแล้ว อัลกอริธึมอาจดูค่อนข้างซับซ้อน แต่ในความเป็นจริงแล้ว ทุกอย่างเรียบง่าย

ตัวอย่างที่ 1: แก้ปัญหา x 2 – 60 x+500 ≤ 0

การแก้สมการกำลังสอง x 2 –60 x+500=0

ดี = ข 2 –4 เครื่องปรับอากาศ = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600

ค้นหาต้นตอ:

แทนค่าสัมประสิทธิ์ ก

x 2 –60 x+500 = (x–50)(x–10)

เราเขียนอสมการในรูปแบบ (x–50)(x–10) ≤ 0

รากของสมการจะแบ่งเส้นจำนวนออกเป็นระยะๆ มาแสดงให้พวกเขาเห็นบนเส้นจำนวน:

เราได้รับสามช่วงเวลา (–∞;10), (10;50) และ (50;+∞)

เรากำหนด "สัญญาณ" ในช่วงเวลา เราทำสิ่งนี้โดยการแทนที่ค่าที่กำหนดเองของแต่ละช่วงเวลาที่เกิดเป็นนิพจน์ (x–50)(x–10) และดูความสอดคล้องของ "สัญญาณ" ที่เป็นผลลัพธ์กับการลงชื่อเข้าใช้ ความไม่เท่าเทียมกัน (x–50)(x–10) ≤ 0:

ที่ x=2 (x–50)(x–10) = 384 > 0 ไม่ถูกต้อง

ที่ x=20 (x–50)(x–10) = –300 < 0 верно

ที่ x=60 (x–50)(x–10) = 500 > 0 ไม่ถูกต้อง

การแก้ปัญหาจะเป็นช่วง

สำหรับค่า x ทั้งหมดจากช่วงเวลานี้ อสมการจะเป็นจริง

*โปรดทราบว่าเราได้รวมวงเล็บเหลี่ยมไว้ด้วย

สำหรับ x = 10 และ x = 50 อสมการจะเป็นจริงด้วย กล่าวคือ ขอบเขตจะรวมอยู่ในคำตอบด้วย

คำตอบ: x∊

อีกครั้ง:

— ขอบเขตของช่วงเวลาจะรวมอยู่ในคำตอบของอสมการเมื่อเงื่อนไขมีเครื่องหมาย ≤ หรือ ≥ (อสมการไม่เข้มงวด) ในกรณีนี้ เป็นเรื่องปกติที่จะแสดงรากผลลัพธ์ในแบบร่างด้วยวงกลม HASHED

— ขอบเขตของช่วงเวลาไม่รวมอยู่ในการแก้อสมการเมื่อเงื่อนไขมีเครื่องหมาย< или >(ความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด) ในกรณีนี้ เป็นธรรมเนียมที่จะแสดงรากในภาพร่างเป็นวงกลม UNHASHED

ตัวอย่างที่ 2: แก้ปัญหา x 2 + 4 x–21 > 0

การแก้สมการกำลังสอง x 2 + 4 x–21 = 0

ดี = ข 2 –4 เครื่องปรับอากาศ = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100

ค้นหาต้นตอ:

แทนค่าสัมประสิทธิ์ กและรูทเป็นสูตร (2) เราจะได้:

x 2 + 4 x–21 = (x–3)(x+7)

เราเขียนอสมการในรูปแบบ (x–3)(x+7) > 0.

รากของสมการจะแบ่งเส้นจำนวนออกเป็นระยะๆ มาทำเครื่องหมายไว้บนเส้นจำนวน:

*ความไม่เท่าเทียมกันไม่ได้เข้มงวด ดังนั้นการกำหนดรากจึงไม่ถูกแรเงา เราได้รับสามช่วงเวลา (–∞;–7), (–7;3) และ (3;+∞)

เรากำหนด "สัญญาณ" ในช่วงเวลาเราทำสิ่งนี้โดยการแทนที่ค่าที่กำหนดเองของช่วงเวลาเหล่านี้เป็นนิพจน์ (x–3)(x+7) และมองหาการปฏิบัติตามความไม่เท่าเทียมกัน (x–3)(x+7)> 0:

ที่ x= –10 (–10–3)(–10 +7) = 39 > 0 ถูก

ที่ x= 0 (0–3)(0 +7) = –21< 0 неверно

ที่ x=10 (10–3)(10 +7) = 119 > 0 ถูก

วิธีแก้ปัญหาจะเป็นสองช่วง (–∞;–7) และ (3;+∞) สำหรับค่า x ทั้งหมดจากช่วงเวลาเหล่านี้ อสมการจะเป็นจริง

*โปรดทราบว่าเราได้รวมวงเล็บไว้แล้ว ที่ x = 3 และ x = –7 ความไม่เท่าเทียมกันจะไม่ถูกต้อง - ขอบเขตจะไม่รวมอยู่ในวิธีแก้ปัญหา

คำตอบ: x∊(–∞;–7) U (3;+∞)

ตัวอย่างที่ 3: แก้ปัญหา – x 2 –9 x–20 > 0

การแก้สมการกำลังสอง – x 2 –9 x–20 = 0.

ก = –1 ข = –9 ค = –20

ดี = ข 2 –4 เครื่องปรับอากาศ = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.

ค้นหาต้นตอ:

แทนค่าสัมประสิทธิ์ กและรูทเป็นสูตร (2) เราจะได้:

– x 2 –9 x–20 =–(x–(–5))(x–(–4))= –(x+5)(x+4)

เราเขียนอสมการในรูปแบบ –(x+5)(x+4) > 0.

รากของสมการจะแบ่งเส้นจำนวนออกเป็นระยะๆ ทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวน:

*ความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด ดังนั้นสัญลักษณ์ของรากจึงไม่ถูกแรเงา เรามีช่วงเวลาสามช่วง (–∞;–5), (–5; –4) และ (–4;+∞)

เราให้คำจำกัดความของ “เครื่องหมาย” เป็นระยะๆ เราทำสิ่งนี้โดยการแทนที่ลงในนิพจน์ –(x+5)(x+4)ค่าที่กำหนดเองของช่วงเวลาเหล่านี้และดูความสอดคล้องกับความไม่เท่าเทียมกัน –(x+5)(x+4)>0:

ที่ x= –10 – (–10+5)(–10 +4) = –30< 0 неверно

ที่ x= –4.5 – (–4.5+5)(–4.5+4) = 0.25 > 0 ถูก

ที่ x= 0 – (0+5)(0 +4) = –20< 0 неверно

คำตอบจะเป็นช่วง (–5,–4) สำหรับค่าทั้งหมดของ "x" ที่เป็นของมันความไม่เท่าเทียมกันจะเป็นจริง

*โปรดทราบว่าขอบเขตไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของการแก้ปัญหา สำหรับ x = –5 และ x = –4 อสมการจะไม่เป็นจริง

ความคิดเห็น!

เมื่อแก้สมการกำลังสอง เราอาจลงเอยด้วยรากเดียวหรือไม่มีรากเลย จากนั้นเมื่อใช้วิธีนี้อย่างสุ่มสี่สุ่มห้า ปัญหาในการหาคำตอบอาจเกิดขึ้นได้

สรุปเล็กๆ น้อยๆ! วิธีนี้ดีและสะดวกในการใช้งาน โดยเฉพาะถ้าคุณคุ้นเคยกับฟังก์ชันกำลังสองและรู้คุณสมบัติของกราฟอยู่แล้ว ถ้าไม่โปรดลองดูและไปยังส่วนถัดไป

การใช้กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง ฉันแนะนำ!

สมการกำลังสองเป็นฟังก์ชันในรูปแบบ:

กราฟของมันคือพาราโบลา กิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้นหรือลง:

กราฟสามารถวางตำแหน่งได้ดังต่อไปนี้ สามารถตัดแกน x ที่จุดสองจุด สามารถสัมผัสที่จุดหนึ่ง (จุดยอด) หรือไม่สามารถตัดกันได้ เพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ในภายหลัง

ตอนนี้เรามาดูแนวทางนี้พร้อมตัวอย่าง กระบวนการแก้ปัญหาทั้งหมดประกอบด้วยสามขั้นตอน มาแก้อสมการกัน x 2 +2 x –8 >0.

ขั้นแรก

การแก้สมการ x 2 +2 x–8=0.

ดี = ข 2 –4 เครื่องปรับอากาศ = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36

ค้นหาต้นตอ:

เราได้ x 1 = 2 และ x 2 = – 4

ขั้นตอนที่สอง

การสร้างพาราโบลา ย=x 2 +2 x–8 ตามคะแนน:

จุดที่ 4 และ 2 คือจุดตัดกันของพาราโบลากับแกน x มันง่ายมาก! คุณทำอะไร? เราแก้สมการกำลังสองแล้ว x 2 +2 x–8=0. ตรวจสอบโพสต์ของเขาเช่นนี้:

0 = x 2+2x – 8

ศูนย์สำหรับเราคือค่าของ "y" เมื่อ y = 0 เราจะได้ค่า abscissa ของจุดตัดของพาราโบลากับแกน x เราสามารถพูดได้ว่าค่าศูนย์ "y" คือแกน x

ทีนี้ลองดูว่าค่า x ของนิพจน์คืออะไร x 2 +2 x – 8 มากกว่า (หรือน้อยกว่า) กว่าศูนย์? นี่ไม่ใช่เรื่องยากที่จะระบุจากกราฟพาราโบลา อย่างที่บอก ทุกอย่างอยู่ในสายตา:

1. ที่ x< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен x 2 +2 x –8 จะเป็นบวก

2. ที่ –4< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен x 2 +2 x –8 จะเป็นลบ

3. สำหรับ x > 2 สาขาของพาราโบลาจะอยู่เหนือแกน x สำหรับ x ที่ระบุ จะเป็นตรีนาม x 2 +2 x –8 จะเป็นบวก

ขั้นตอนที่สาม

จากพาราโบลา เราจะเห็นได้ทันทีว่า x เป็นนิพจน์อะไร x 2 +2 x–8 มากกว่าศูนย์ เท่ากับศูนย์ น้อยกว่าศูนย์ นี่คือสาระสำคัญของขั้นตอนที่สามของการแก้ปัญหา กล่าวคือ เพื่อดูและระบุพื้นที่บวกและลบในภาพวาด เราเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้รับกับความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมและจดคำตอบไว้ ในตัวอย่างของเรา จำเป็นต้องกำหนดค่าทั้งหมดของ x ที่เป็นนิพจน์ x 2 +2 x–8 มากกว่าศูนย์ เราทำสิ่งนี้ในขั้นตอนที่สอง

สิ่งที่เหลืออยู่คือการเขียนคำตอบ

คำตอบ: x∊(–∞;–4) U (2;∞)

สรุป: เมื่อคำนวณรากของสมการในขั้นตอนแรกแล้ว เราสามารถทำเครื่องหมายจุดผลลัพธ์บนแกน x ได้ (นี่คือจุดตัดกันของพาราโบลากับแกน x) ต่อไป เราสร้างพาราโบลาตามแผนผัง และเราก็เห็นวิธีแก้ปัญหาแล้ว ทำไมต้องมีแผนผัง? เราไม่จำเป็นต้องมีตารางเวลาที่แม่นยำทางคณิตศาสตร์ และลองจินตนาการดูว่า หากรากออกมาเป็น 10 ถึง 1500 ให้ลองสร้างกราฟที่แม่นยำบนกระดาษแผ่นหนึ่งด้วยค่าต่างๆ ดังกล่าว เกิดคำถาม! เราได้รากแล้ว เราทำเครื่องหมายไว้บนแกน o แต่เราควรร่างตำแหน่งของพาราโบลาเอง โดยให้กิ่งของมันขึ้นหรือลง? ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่! ค่าสัมประสิทธิ์ของ x 2 จะบอกคุณว่า:

- หากมากกว่าศูนย์ กิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ขึ้น

- ถ้าน้อยกว่าศูนย์ กิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ลง

ในตัวอย่างของเรา มันเท่ากับ 1 นั่นคือบวก

*บันทึก! หากความไม่เท่าเทียมกันมีเครื่องหมายที่ไม่เข้มงวด นั่นคือ ≤ หรือ ≥ รากบนเส้นจำนวนควรถูกแรเงา ซึ่งตามอัตภาพบ่งชี้ว่าขอบเขตของช่วงนั้นรวมอยู่ในคำตอบของอสมการด้วย ในกรณีนี้รากจะไม่ถูกแรเงา (เจาะออก) เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันของเราเข้มงวด (มีเครื่องหมาย ">") ยิ่งกว่านั้น ในกรณีนี้ คำตอบจะใช้วงเล็บแทนวงเล็บเหลี่ยม (ไม่รวมเส้นขอบในคำตอบ)

เขียนไปเยอะแล้ว สงสัยมีคนสับสน แต่ถ้าคุณแก้อสมการอย่างน้อย 5 ข้อโดยใช้พาราโบลา ความชื่นชมของคุณจะไร้ขอบเขต มันง่ายมาก!

ดังนั้นโดยย่อ:

1. เราเขียนความไม่เท่าเทียมกันและลดให้เป็นค่ามาตรฐาน

2. เขียนสมการกำลังสองแล้วแก้โจทย์

3. วาดแกน x ทำเครื่องหมายรากผลลัพธ์ วาดพาราโบลาตามแผนผัง โดยแยกกิ่งขึ้นหากสัมประสิทธิ์ x 2 เป็นบวก หรือแยกกิ่งลงหากเป็นลบ

4. ระบุด้านบวกหรือด้านลบด้วยสายตา และจดคำตอบของความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1: แก้ปัญหา x 2 –15 x+50 > 0

ขั้นแรก.

การแก้สมการกำลังสอง x 2 –15 x+50=0

ดี = ข 2 –4 เครื่องปรับอากาศ = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25

ค้นหาต้นตอ:

ขั้นตอนที่สอง

เรากำลังสร้างแกน o มาทำเครื่องหมายรากผลลัพธ์กัน เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันของเราเข้มงวด เราจะไม่ปิดบังพวกเขา เราสร้างพาราโบลาตามแผนผัง โดยวางกิ่งก้านไว้ด้านบน เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ x 2 เป็นบวก:

ขั้นตอนที่สาม

เรากำหนดพื้นที่ที่มองเห็นได้ในเชิงบวกและเชิงลบ ที่นี่เราทำเครื่องหมายไว้ด้วยสีต่างๆ เพื่อความชัดเจน คุณไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้

เราเขียนคำตอบ

คำตอบ: x∊(–∞;5) U (10;∞)

*เครื่องหมาย U แสดงถึงการแก้ปัญหาการรวมกัน หากพูดเป็นรูปเป็นร่าง วิธีแก้คือช่วงเวลา "นี้" และ "นี่"

ตัวอย่างที่ 2: แก้ปัญหา – x 2 + x+20 ≤ 0

ขั้นแรก.

การแก้สมการกำลังสอง – x 2 + x+20=0

ดี = ข 2 –4 เครื่องปรับอากาศ = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81

ค้นหาต้นตอ:

ขั้นตอนที่สอง

เรากำลังสร้างแกน o มาทำเครื่องหมายรากผลลัพธ์กัน เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันของเราไม่ได้เข้มงวด เราจึงแรเงาการกำหนดราก เราสร้างพาราโบลาตามแผนผัง โดยวางกิ่งก้านลง เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ของ x 2 เป็นลบ (เท่ากับ –1):

ขั้นตอนที่สาม

เราระบุด้านบวกและด้านลบด้วยสายตา เราเปรียบเทียบกับอสมการดั้งเดิม (เครื่องหมายของเราคือ ≤ 0) อสมการจะเป็นจริงสำหรับ x ≤ – 4 และ x ≥ 5

เราเขียนคำตอบ

คำตอบ: x∊(–∞;–4] U ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) หรือ x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 .

ตัวอย่างที่ 3

แก้อสมการกำลังสอง - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов.

สารละลาย

ก่อนอื่น เรามาค้นหารากของตรีโกณมิติกำลังสองจากทางด้านซ้ายของอสมการกันก่อน:

ง " = 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7

นี่เป็นความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด ดังนั้นเราจึงใช้จุด "ว่าง" บนกราฟ พร้อมพิกัดที่7.

ตอนนี้เราต้องกำหนดสัญญาณในช่วงเวลาผลลัพธ์ (− ∞, 7) และ (7, + ∞) เนื่องจากการแบ่งแยกของตรีโกณมิติกำลังสองเป็นศูนย์และสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็นลบ เราจึงใส่เครื่องหมาย − , − :

เนื่องจากเรากำลังแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันด้วยเครื่องหมาย< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:

ในกรณีนี้ คำตอบจะมีทั้งสองช่วง (− ∞ , 7) , (7 , + ∞)

คำตอบ:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) หรือในรูปแบบอื่น x ≠ 7

ตัวอย่างที่ 4

อสมการกำลังสอง x 2 + x + 7 หรือไม่< 0 решения?

สารละลาย

ลองหารากของตรีโกณมิติกำลังสองจากทางด้านซ้ายของอสมการกัน เพื่อหาค่าจำแนก: D = 1 2 − 4 · 1 · 7 = 1 − 28 = − 27 ค่าจำแนกมีค่าน้อยกว่าศูนย์ ซึ่งหมายความว่าไม่มีรากที่แท้จริง

ภาพกราฟิกจะมีลักษณะเป็นเส้นจำนวนโดยไม่มีจุดทำเครื่องหมายไว้

ให้เรากำหนดสัญลักษณ์ของค่าของตรีโกณมิติกำลังสอง ที่ D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :

ในกรณีนี้ เราสามารถใช้การแรเงาบนช่องว่างที่มีเครื่องหมาย "-" ได้ แต่เราไม่มีช่องว่างดังกล่าว ดังนั้นภาพวาดจึงมีลักษณะดังนี้:

จากการคำนวณ เราได้รับเซตว่าง ซึ่งหมายความว่าอสมการกำลังสองนี้ไม่มีทางแก้ได้

คำตอบ:เลขที่

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ในส่วนนี้ เราได้รวบรวมข้อมูลเกี่ยวกับอสมการกำลังสองและแนวทางหลักในการแก้ไข มารวมเนื้อหาเข้ากับการวิเคราะห์ตัวอย่างกัน

อสมการกำลังสองคืออะไร

มาดูวิธีแยกแยะระหว่างอสมการประเภทต่างๆ ตามประเภทของการบันทึก และระบุอสมการกำลังสองในนั้น

คำจำกัดความ 1

อสมการกำลังสองคือความไม่เท่าเทียมกันที่มีรูปแบบ ก x 2 + ข x + ค< 0 โดยที่ a, b และ ค– ตัวเลขบางตัว และ กไม่เท่ากับศูนย์ x เป็นตัวแปรและแทนที่เครื่องหมาย < สัญญาณความไม่เท่าเทียมกันอื่น ๆ สามารถปรากฏขึ้นได้

ชื่อที่สองของสมการกำลังสองคือชื่อ "อสมการระดับที่สอง" การมีอยู่ของชื่อที่สองสามารถอธิบายได้ดังนี้ ทางด้านซ้ายของอสมการจะมีพหุนามของดีกรีที่สอง - ตรีโนเมียลกำลังสอง การใช้คำว่า "อสมการกำลังสอง" กับอสมการกำลังสองนั้นไม่ถูกต้อง เนื่องจากฟังก์ชันที่ได้รับจากสมการในรูปแบบนั้นเป็นกำลังสอง y = ก x 2 + ข x + ค.

นี่คือตัวอย่างของอสมการกำลังสอง:

ตัวอย่างที่ 1

เอาล่ะ 5 x 2 − 3 x + 1 > 0- ในกรณีนี้ a = 5, b = − 3 และ ค = 1.

หรือความไม่เท่าเทียมกันนี้:

ตัวอย่างที่ 2

− 2 , 2 z 2 − 0 , 5 z − 11 ≤ 0โดยที่ a = − 2, 2, b = − 0, 5 และ ค = − 11.

ลองแสดงตัวอย่างของอสมการกำลังสอง:

ตัวอย่างที่ 3

ควรให้ความสนใจเป็นพิเศษกับข้อเท็จจริงที่ว่าค่าสัมประสิทธิ์ที่ x2ถือว่าไม่เท่ากับศูนย์ สิ่งนี้อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าไม่เช่นนั้นเราจะได้ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นของแบบฟอร์ม ข x + ค > 0เนื่องจากตัวแปรกำลังสองเมื่อคูณด้วยศูนย์ตัวมันเองจะเท่ากับศูนย์ ในขณะเดียวกันก็มีค่าสัมประสิทธิ์ ขและ คสามารถมีค่าเท่ากับศูนย์ได้ทั้งร่วมกันและแยกกัน

ตัวอย่างที่ 4

ตัวอย่างของความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว x 2 - 5 ≥ 0.

วิธีการแก้อสมการกำลังสอง

มีสามวิธีหลัก:

คำจำกัดความ 2

• กราฟิก;
• วิธีช่วงเวลา
• โดยเลือกกำลังสองของทวินามทางด้านซ้าย

วิธีการแบบกราฟิก

วิธีการนี้เกี่ยวข้องกับการสร้างและวิเคราะห์กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง y = ก x 2 + ข x + คสำหรับอสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ) . วิธีแก้อสมการกำลังสองคือช่วงหรือช่วงที่ฟังก์ชันที่ระบุรับค่าบวกและค่าลบ

วิธีช่วงเวลา

คุณสามารถแก้อสมการกำลังสองในตัวแปรตัวเดียวได้โดยใช้วิธีช่วงเวลา วิธีนี้ใช้ได้กับการแก้ไขอสมการทุกประเภท ไม่ใช่แค่สมการกำลังสองเท่านั้น สาระสำคัญของวิธีนี้คือการกำหนดสัญญาณของช่วงเวลาที่แกนพิกัดถูกหารด้วยศูนย์ของตรีโกณมิติ ก x 2 + ข x + คถ้ามี

สำหรับความไม่เท่าเทียมกัน ก x 2 + ข x + ค< 0 คำตอบคือช่วงที่มีเครื่องหมายลบสำหรับอสมการ a x 2 + b x + c > 0ช่องว่างที่มีเครื่องหมายบวก หากเรากำลังเผชิญกับความไม่เท่าเทียมกันแบบหลวมๆ คำตอบจะกลายเป็นช่วงที่มีจุดที่สอดคล้องกับศูนย์ของตรีโกณมิติ

การแยกกำลังสองของทวินาม

หลักการของการแยกกำลังสองของทวินามทางด้านซ้ายของอสมการกำลังสองคือการแปลงค่าที่เท่ากันซึ่งทำให้เราสามารถแก้อสมการที่เท่ากันของรูปแบบได้ (x − p) 2< q (≤ , >, ≥) โดยที่ พีและ ถาม- ตัวเลขบางตัว

อสมการกำลังสองสามารถรับได้โดยใช้การแปลงที่เทียบเท่าจากอสมการประเภทอื่น ซึ่งสามารถทำได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น โดยการจัดเรียงเงื่อนไขใหม่ในความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนด หรือการโอนเงื่อนไขจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่ง

ลองยกตัวอย่าง พิจารณาการเปลี่ยนแปลงที่เทียบเท่าของอสมการ 5 ≤ 2 x − 3 x 2- หากเราย้ายพจน์ทั้งหมดจากด้านขวาไปด้านซ้าย เราจะได้อสมการกำลังสองของแบบฟอร์ม 3 x 2 − 2 x + 5 ≤ 0.

ตัวอย่างที่ 5

จำเป็นต้องค้นหาชุดวิธีแก้ปัญหาสำหรับอสมการ 3 (x − 1) (x + 1)< (x − 2) 2 + x 2 + 5 .

สารละลาย

เพื่อแก้ปัญหาเราใช้สูตรการคูณแบบย่อ ในการดำเนินการนี้ เรารวบรวมคำศัพท์ทั้งหมดทางด้านซ้ายของความไม่เท่าเทียมกัน เปิดวงเล็บและแสดงคำศัพท์ที่คล้ายกัน:

3 · (x − 1) · (x + 1) − (x − 2) 2 − x 2 − 5< 0 , 3 · (x 2 − 1) − (x 2 − 4 · x + 4) − x 2 − 5 < 0 , 3 · x 2 − 3 − x 2 + 4 · x − 4 − x 2 − 5 < 0 , x 2 + 4 · x − 12 < 0 .

เราได้รับอสมการกำลังสองที่เท่ากัน ซึ่งสามารถแก้ไขได้แบบกราฟิกโดยการกำหนดจุดจำแนกและจุดตัด

D ’ = 2 2 − 1 · (− 12) = 16 , x 1 = − 6 , x 2 = 2

เมื่อวาดกราฟ เราจะเห็นว่าชุดคำตอบคือช่วง (- 6, 2)

คำตอบ: (− 6 , 2) .

ตัวอย่างของอสมการที่มักลดเหลืออสมการกำลังสอง ได้แก่ อสมการไม่ลงตัวและอสมการลอการิทึม ตัวอย่างเช่น อสมการ 2 x 2 + 5< x 2 + 6 · x + 14

เทียบเท่ากับอสมการกำลังสอง x 2 − 6 x − 9< 0 และบันทึกอสมการลอการิทึม 3 (x 2 + x + 7) ≥ 2 – อสมการ x 2 + x − 2 ≥ 0.

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

บทความนี้มีเนื้อหาครอบคลุมหัวข้อ “ การแก้อสมการกำลังสอง- ขั้นแรก จะแสดงให้เห็นว่าอสมการกำลังสองกับตัวแปรตัวหนึ่งคืออะไร และให้รูปแบบทั่วไปของตัวแปรเหล่านั้นมา แล้วเราจะดูรายละเอียดวิธีแก้อสมการกำลังสองอย่างละเอียด แนวทางหลักในการแก้ปัญหาจะแสดงอยู่ ได้แก่ วิธีการแบบกราฟิก วิธีการกำหนดช่วงเวลา และโดยการเลือกกำลังสองของทวินามทางด้านซ้ายของอสมการ มีการให้คำตอบของตัวอย่างทั่วไป

การนำทางหน้า

อสมการกำลังสองคืออะไร?

โดยปกติแล้ว ก่อนที่จะพูดถึงการแก้อสมการกำลังสอง เราต้องเข้าใจให้ชัดเจนว่าอสมการกำลังสองคืออะไร กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณต้องสามารถแยกแยะอสมการกำลังสองจากอสมการประเภทอื่นๆ ตามประเภทของการบันทึก

คำนิยาม.

อสมการกำลังสองคืออสมการในรูปแบบ a x 2 +b x+c<0 (вместо знака >อาจมีเครื่องหมายอสมการอื่นๆ ≤, >, ≥) โดยที่ a, b และ c เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง และ a≠0 และ x เป็นตัวแปร (ตัวแปรสามารถเขียนแทนด้วยตัวอักษรอื่นใดก็ได้)

เรามาเรียกอีกชื่อหนึ่งของอสมการกำลังสองกันดีกว่า - อสมการระดับที่สอง- ชื่อนี้อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าทางด้านซ้ายของอสมการ a x 2 +b x+c<0 находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства».

บางครั้งคุณยังสามารถได้ยินอสมการกำลังสองที่เรียกว่าอสมการกำลังสอง สิ่งนี้ไม่ถูกต้องทั้งหมด: คำจำกัดความของ "กำลังสอง" หมายถึงฟังก์ชันที่กำหนดโดยสมการในรูปแบบ y=a·x 2 +b·x+c จึงมีอสมการกำลังสองและ ฟังก์ชันกำลังสองแต่ไม่ใช่อสมการกำลังสอง

ลองแสดงตัวอย่างของอสมการกำลังสอง: 5 x 2 −3 x+1>0 โดยที่ a=5, b=−3 และ c=1; −2.2·z 2 −0.5·z−11≤0ค่าสัมประสิทธิ์ของอสมการกำลังสองนี้คือ a=−2.2, b=−0.5 และ c=−11; ในกรณีนี้ .

โปรดทราบว่าในคำจำกัดความของอสมการกำลังสอง ค่าสัมประสิทธิ์ a ของ x 2 จะถือว่าไม่เป็นศูนย์ สิ่งนี้เป็นเรื่องที่เข้าใจได้ ความเท่าเทียมกันของสัมประสิทธิ์ a ถึงศูนย์จะ "ลบ" กำลังสองออกไป และเราจะจัดการกับความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นของรูปแบบ b x+c>0 โดยไม่มีกำลังสองของตัวแปร แต่ค่าสัมประสิทธิ์ b และ c สามารถเท่ากับศูนย์ทั้งแบบแยกกันและพร้อมกัน นี่คือตัวอย่างของอสมการกำลังสอง: x 2 −5≥0 โดยที่สัมประสิทธิ์ b สำหรับตัวแปร x เท่ากับศูนย์ −3 x 2 −0.6 เท่า<0 , здесь c=0 ; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 ทั้ง b และ c เป็นศูนย์

จะแก้อสมการกำลังสองได้อย่างไร?

ตอนนี้คุณสามารถงงกับคำถามว่าจะแก้อสมการกำลังสองได้อย่างไร โดยทั่วไปจะใช้วิธีหลักสามวิธีในการแก้ปัญหา:

• วิธีการแบบกราฟิก (หรือใน A.G. Mordkovich, Functional-graphic)
• วิธีช่วงเวลา
• และแก้อสมการกำลังสองโดยแยกกำลังสองของทวินามทางด้านซ้าย

แบบกราฟิก

ให้เราจองทันทีว่าวิธีการแก้อสมการกำลังสองซึ่งเรากำลังพิจารณาอยู่ตอนนี้ไม่เรียกว่าแบบกราฟิกในตำราพีชคณิตของโรงเรียน อย่างไรก็ตาม โดยพื้นฐานแล้วนี่คือสิ่งที่เขาเป็น นอกจากนี้การได้รู้จักครั้งแรกด้วย วิธีกราฟิกสำหรับแก้อสมการมักจะเริ่มต้นเมื่อมีคำถามเกิดขึ้นว่าจะแก้อสมการกำลังสองได้อย่างไร

วิธีกราฟิกสำหรับการแก้อสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥) ประกอบด้วยการวิเคราะห์กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง y=a·x 2 +b·x+c เพื่อค้นหาช่วงเวลาที่ฟังก์ชันที่ระบุรับค่าลบ บวก ไม่บวก หรือไม่เป็นลบ ช่วงเหล่านี้ประกอบขึ้นเป็นคำตอบของอสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c<0 , a·x 2 +b·x+c>0, a x 2 +b x+c≤0 และ a x 2 +b x+c≥0 ตามลำดับ

วิธีช่วงเวลา

ในการแก้อสมการกำลังสองด้วยตัวแปรตัวเดียว นอกเหนือจากวิธีแบบกราฟิกแล้ว วิธีช่วงเวลายังค่อนข้างสะดวก ซึ่งในตัวมันเองมีความเป็นสากลมากและเหมาะสำหรับการแก้อสมการต่างๆ ไม่ใช่แค่กำลังสองเท่านั้น ด้านทฤษฎีอยู่นอกเหนือขีดจำกัดของหลักสูตรพีชคณิตเกรด 8 และเกรด 9 เมื่อพวกเขาเรียนรู้ที่จะแก้อสมการกำลังสอง ดังนั้น เราจะไม่พูดถึงเหตุผลเชิงทฤษฎีของวิธีช่วงเวลา แต่จะเน้นไปที่วิธีการแก้ไขอสมการกำลังสองด้วยความช่วยเหลือ

สาระสำคัญของวิธีช่วงเวลาที่เกี่ยวข้องกับการแก้อสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥) ประกอบด้วยการกำหนดสัญญาณที่มีค่าของตรีโกณมิติกำลังสอง a·x 2 +b·x+c ตามช่วงเวลาที่แกนพิกัดหารด้วยศูนย์ของตรีโกณมิตินี้ (ถ้ามี) ช่วงที่มีเครื่องหมายลบประกอบขึ้นเป็นคำตอบของอสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c<0 , со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0 และเมื่อแก้ไขอสมการที่ไม่เข้มงวด จุดที่สอดคล้องกับศูนย์ของตรีโกณมิติจะถูกเพิ่มในช่วงเวลาที่ระบุ

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับรายละเอียดทั้งหมดของวิธีนี้, อัลกอริธึม, กฎสำหรับการวางสัญญาณในช่วงเวลาและพิจารณาวิธีแก้ปัญหาสำเร็จรูปสำหรับตัวอย่างทั่วไปพร้อมภาพประกอบที่ให้ไว้โดยการอ้างอิงถึงเนื้อหาในบทความ การแก้อสมการกำลังสองโดยใช้วิธีช่วงเวลา .

โดยการยกกำลังสองของทวินาม

นอกจากวิธีแบบกราฟิกและวิธีการแบบช่วงเวลาแล้ว ยังมีวิธีอื่นๆ ที่ช่วยให้คุณแก้อสมการกำลังสองได้ และเราก็มาถึงหนึ่งในนั้นซึ่งมีพื้นฐานมาจาก ทวินามกำลังสองทางด้านซ้ายของอสมการกำลังสอง

หลักการของวิธีการแก้อสมการกำลังสองนี้คือการแปลงอสมการที่เท่ากัน ทำให้สามารถแก้อสมการที่เท่ากันในรูป (x−p) 2 ได้ , ≥) โดยที่ p และ q คือตัวเลขจำนวนหนึ่ง

และการเปลี่ยนแปลงไปสู่ความไม่เท่าเทียมกัน (x−p) 2 เกิดขึ้นได้อย่างไร? , ≥) และวิธีแก้ปัญหา บทความนี้จะอธิบายวิธีแก้อสมการกำลังสองโดยการแยกกำลังสองของทวินาม นอกจากนี้ยังมีตัวอย่างการแก้อสมการกำลังสองโดยใช้วิธีนี้และภาพประกอบกราฟิกที่จำเป็น

อสมการที่ลดลงเป็นกำลังสอง

ในทางปฏิบัติ บ่อยครั้งเราต้องจัดการกับอสมการที่สามารถลดลงได้โดยใช้การแปลงที่เทียบเท่ากับอสมการกำลังสองในรูปแบบ a x 2 +b x+c<0 (знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам.

เรามาเริ่มด้วยตัวอย่างของอสมการที่ง่ายที่สุดที่ลดเหลืออสมการกำลังสอง บางครั้ง เพื่อที่จะก้าวไปสู่อสมการกำลังสอง ก็เพียงพอแล้วที่จะจัดเรียงเงื่อนไขในอสมการนี้ใหม่หรือย้ายจากส่วนหนึ่งไปอีกส่วนหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ถ้าเราโอนพจน์ทั้งหมดจากด้านขวาของอสมการ 5≤2·x−3·x 2 ไปทางซ้าย เราจะได้อสมการกำลังสองในรูปแบบที่ระบุไว้ข้างต้น 3·x 2 −2·x+5≤ 0. อีกตัวอย่างหนึ่ง: การจัดเรียงด้านซ้ายของอสมการใหม่ 5+0.6 x 2 −x<0 слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0 .

ที่โรงเรียน ระหว่างบทเรียนพีชคณิต เมื่อพวกเขาเรียนรู้ที่จะแก้อสมการกำลังสอง พวกเขาก็จัดการกับมันด้วย การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลลดเหลือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส วิธีแก้ไขคือการโอนพจน์ทั้งหมดไปทางด้านซ้าย แล้วเปลี่ยนนิพจน์ที่เกิดขึ้นให้อยู่ในรูปแบบ a·x 2 +b·x+c โดยดำเนินการ ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

ค้นหาวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันมากมาย 3·(x−1)·(x+1)<(x−2) 2 +x 2 +5 .ความไม่เท่าเทียมกันอย่างไม่มีเหตุผล เทียบเท่ากับอสมการกำลังสอง x 2 −6 x−9<0 , а อสมการลอการิทึม – อสมการ x 2 +x−2≥0

อ้างอิง.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9.
• พีชคณิต:ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9: การศึกษา เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2552. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-021134-5.
• มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich - ฉบับที่ 11 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2552. - 215 น.: ป่วย. ไอ 978-5-346-01155-2.
• มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov - ฉบับที่ 13 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2011. - 222 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-01752-3.
• มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนสถาบันการศึกษาทั่วไป (ระดับโปรไฟล์) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov - ฉบับที่ 2, ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2551. - 287 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-01027-2.