ค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

เพื่อนรัก- กลุ่มงานที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ประกอบด้วยงาน - เงื่อนไขให้กราฟของฟังก์ชัน หลายจุดบนกราฟนี้ และคำถามคือ:

อนุพันธ์สูงสุด (เล็กที่สุด) ณ จุดใด?

ทำซ้ำสั้น ๆ :

อนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งเท่ากับ ความลาดชันแทนเจนต์ผ่านไปจุดนี้บนกราฟ

ยูในทางกลับกันค่าสัมประสิทธิ์โดยรวมของแทนเจนต์จะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมเอียงของแทนเจนต์นี้

*หมายถึงมุมระหว่างแทนเจนต์กับแกน x

1. ในช่วงเวลาของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น อนุพันธ์จะมี ค่าบวก.

2. ในช่วงระยะเวลาที่ลดลง อนุพันธ์จะมีค่าเป็นลบ

พิจารณาภาพร่างต่อไปนี้:

ที่จุด 1,2,4 อนุพันธ์ของฟังก์ชันมีค่าเป็นลบ เนื่องจากจุดเหล่านี้อยู่ในช่วงเวลาที่ลดลง

ที่จุด 3,5,6 อนุพันธ์ของฟังก์ชันมีค่าเป็นบวก เนื่องจากจุดเหล่านี้อยู่ในช่วงที่เพิ่มขึ้น

อย่างที่คุณเห็นทุกอย่างชัดเจนกับความหมายของอนุพันธ์นั่นคือมันไม่ยากที่จะตัดสินว่ามีเครื่องหมายใด (บวกหรือลบ) ที่จุดใดจุดหนึ่งของกราฟ

ยิ่งกว่านั้น ถ้าเราสร้างแทนเจนต์ที่จุดเหล่านี้ด้วยจิตใจ เราจะเห็นว่าเส้นตรงที่ผ่านจุดที่ 3, 5 และ 6 เกิดเป็นมุม โดยมีแกน oX อยู่ระหว่าง 0 ถึง 90 o และเส้นตรงที่ผ่านจุด 1, 2 และ 4 เกิดเป็นมุม ด้วยแกน OX มุมจะอยู่ในช่วงตั้งแต่ 90 o ถึง 180 o

*ความสัมพันธ์ชัดเจน: แทนเจนต์ที่ผ่านจุดที่เป็นช่วงของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นจะเกิดขึ้นกับแกน oX มุมที่คมชัด, แทนเจนต์ที่ผ่านจุดที่เป็นช่วงของฟังก์ชันที่ลดลงทำให้เกิดมุมป้านกับแกน oX

ตอนนี้คำถามสำคัญ!

มูลค่าของอนุพันธ์เปลี่ยนแปลงไปอย่างไร? ท้ายที่สุดแล้ว แทนเจนต์เข้า จุดที่แตกต่างกันกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องสร้างมุมที่แตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับจุดบนกราฟที่ฟังก์ชันนั้นผ่าน

*หรือการพูด ในภาษาง่ายๆแทนเจนต์จะอยู่ในลักษณะ "แนวนอน" หรือ "แนวตั้ง" ดู:

เส้นตรงสร้างมุมโดยมีแกน oX อยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 90 o

เส้นตรงสร้างมุมด้วยแกน oX ตั้งแต่ 90° ถึง 180°

ดังนั้น หากคุณมีคำถามใดๆ:

— ที่จุดใดที่กำหนดบนกราฟที่อนุพันธ์มีค่าน้อยที่สุด?

- จุดใดที่กำหนดบนกราฟที่อนุพันธ์มีค่ามากที่สุด?

จากนั้นเพื่อตอบจำเป็นต้องเข้าใจว่าค่าแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์เปลี่ยนแปลงไปอย่างไรในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 180 o

*ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งจะเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของแทนเจนต์กับแกน oX

ค่าแทนเจนต์เปลี่ยนแปลงดังนี้:

เมื่อมุมเอียงของเส้นตรงเปลี่ยนจาก 0° ถึง 90° ค่าของแทนเจนต์และอนุพันธ์จะเปลี่ยนตามจาก 0 ถึง +∞;

เมื่อมุมเอียงของเส้นตรงเปลี่ยนจาก 90° เป็น 180° ค่าของแทนเจนต์และอนุพันธ์จะเปลี่ยนตาม –∞ เป็น 0

สามารถเห็นได้ชัดเจนจากกราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์:

ในแง่ง่ายๆ:

ที่มุมเอียงแทนเจนต์ตั้งแต่ 0° ถึง 90°

ยิ่งเข้าใกล้ 0 o ค่าอนุพันธ์ก็จะยิ่งใกล้ศูนย์ (ด้านบวก)

ยิ่งมุมเข้าใกล้ 90° มากเท่าใด ค่าอนุพันธ์ก็จะเพิ่มขึ้นไปทาง +∞ มากขึ้นเท่านั้น

มีมุมเอียงสัมผัสตั้งแต่ 90° ถึง 180°

ยิ่งเข้าใกล้ 90 o ค่าอนุพันธ์ก็จะลดลงไปทาง –∞ มากขึ้นเท่านั้น

ยิ่งมุมเข้าใกล้ 180° ค่าของอนุพันธ์ก็จะยิ่งใกล้กับศูนย์มากขึ้น (ด้านลบ)

317543 รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = ฉ(x) และมีการทำเครื่องหมายจุดต่างๆ–2, –1, 1, 2 จุดใดต่อไปนี้เป็นอนุพันธ์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุด? โปรดระบุจุดนี้ในคำตอบของคุณ

เรามีสี่จุด: สองจุดอยู่ในช่วงเวลาที่ฟังก์ชันลดลง (นี่คือจุด –1 และ 1) และสองจุดเป็นช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น (นี่คือจุด –2 และ 2)

เราสามารถสรุปได้ทันทีว่าที่จุด –1 และ 1 อนุพันธ์มีค่าเป็นลบ และที่จุด –2 และ 2 มีค่าเป็นบวก ดังนั้นใน ในกรณีนี้จำเป็นต้องวิเคราะห์จุด –2 และ 2 และพิจารณาว่าจุดใดจะมีมูลค่ามากที่สุด มาสร้างแทนเจนต์ที่ผ่านจุดที่ระบุ:

ค่าแทนเจนต์ของมุมระหว่างเส้นตรง a และแกนแอบซิสซาจะเป็นดังนี้ มูลค่าที่มากขึ้นแทนเจนต์ของมุมระหว่างเส้น b กับแกนนี้ ซึ่งหมายความว่ามูลค่าของอนุพันธ์ ณ จุด –2 จะมากที่สุด

เราจะตอบ คำถามต่อไป: ณ จุดใดที่ –2, –1, 1 หรือ 2 เป็นอนุพันธ์ที่เป็นลบมากที่สุด? โปรดระบุจุดนี้ในคำตอบของคุณ

อนุพันธ์จะมีค่าเป็นลบ ณ จุดที่เป็นของช่วงเวลาที่ลดลง ดังนั้นลองพิจารณาจุด –2 และ 1 มาสร้างแทนเจนต์ที่ผ่านพวกมันกัน:

เราจะเห็นว่ามุมป้านระหว่างเส้นตรง b และแกน oX นั้น "ใกล้กว่า" ถึง 180โอ ดังนั้นแทนเจนต์ของมันจะมากกว่าแทนเจนต์ของมุมที่เกิดจากเส้นตรง a และแกน oX

ดังนั้น ณ จุด x = 1 ค่าของอนุพันธ์จะเป็นลบมากที่สุด

317544 รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = ฉ(x) และมีการทำเครื่องหมายจุดต่างๆ–2, –1, 1, 4 จุดใดต่อไปนี้เป็นอนุพันธ์ที่น้อยที่สุด? โปรดระบุจุดนี้ในคำตอบของคุณ

เรามีสี่จุด: สองจุดอยู่ในช่วงเวลาที่ฟังก์ชันลดลง (นี่คือจุด –1 และ 4) และสองจุดเป็นช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น (นี่คือจุด –2 และ 1)

เราสามารถสรุปได้ทันทีว่า ณ จุด –1 และ 4 อนุพันธ์มีค่าเป็นลบ และที่จุด –2 และ 1 มีค่าเป็นบวก ดังนั้นในกรณีนี้จำเป็นต้องวิเคราะห์จุด –1 และ 4 และพิจารณาว่าจุดใดจะมีค่าน้อยที่สุด มาสร้างแทนเจนต์ที่ผ่านจุดที่ระบุ:

ค่าแทนเจนต์ของมุมระหว่างเส้นตรง a และแกนแอบซิสซาจะมากกว่าค่าแทนเจนต์ของมุมระหว่างเส้นตรง b กับแกนนี้ ซึ่งหมายความว่าค่าของอนุพันธ์ ณ จุด x = 4 จะน้อยที่สุด

คำตอบ: 4

ฉันหวังว่าฉันจะไม่ "ทำงานหนักเกินไป" คุณด้วยจำนวนการเขียน ที่จริงแล้ว ทุกอย่างง่ายมาก คุณเพียงแค่ต้องเข้าใจคุณสมบัติของอนุพันธ์ของมันก่อน ความหมายทางเรขาคณิตและแทนเจนต์ของมุมเปลี่ยนจาก 0 เป็น 180 o อย่างไร

1. ขั้นแรก กำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ที่จุดเหล่านี้ (+ หรือ -) และเลือกจุดที่จำเป็น (ขึ้นอยู่กับคำถามที่ถูกวาง)

2. สร้างแทนเจนต์ที่จุดเหล่านี้

3. ใช้กราฟแทนจีซอยด์ ทำเครื่องหมายมุมและแสดงผลตามแผนผังอเล็กซานเดอร์.

ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

จากมุมมองเชิงปฏิบัติความสนใจที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคือการใช้อนุพันธ์เพื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับอะไร? เพิ่มผลกำไรสูงสุด ลดต้นทุน กำหนดภาระของอุปกรณ์ที่เหมาะสมที่สุด... กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในหลาย ๆ ด้านของชีวิต เราต้องแก้ไขปัญหาในการปรับพารามิเตอร์บางตัวให้เหมาะสม และนี่คือภารกิจในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน

ควรสังเกตว่าค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันมักจะหาในช่วงเวลาหนึ่ง X ซึ่งเป็นโดเมนทั้งหมดของฟังก์ชันหรือส่วนหนึ่งของโดเมนคำจำกัดความ ช่วง X เองสามารถเป็นส่วนได้ ซึ่งเป็นช่วงเปิด , ช่วงเวลาอันไม่มีที่สิ้นสุด

ในบทความนี้เราจะพูดถึงการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดอย่างชัดเจน ฟังก์ชันที่กำหนดตัวแปรหนึ่งตัว y=f(x) .

การนำทางหน้า

ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน - คำจำกัดความ ภาพประกอบ

ลองดูคำจำกัดความหลักโดยย่อ

ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน นั่นสำหรับใครก็ตาม ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง

ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y=f(x) บนช่วง X เรียกว่าค่าดังกล่าว นั่นสำหรับใครก็ตาม ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง

คำจำกัดความเหล่านี้เข้าใจง่าย: ค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชันคือค่าที่ยอมรับมากที่สุด (น้อยที่สุด) ในช่วงเวลาที่กำลังพิจารณาที่ abscissa

จุดคงที่– นี่คือค่าของอาร์กิวเมนต์ที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันกลายเป็นศูนย์

เหตุใดเราจึงต้องมีจุดคงที่เมื่อค้นหาค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุด? คำตอบสำหรับคำถามนี้ได้มาจากทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ จากทฤษฎีบทนี้ เป็นไปตามว่าหากฟังก์ชันหาอนุพันธ์มีจุดสุดโต่ง (ค่าต่ำสุดเฉพาะจุดหรือค่าสูงสุดเฉพาะจุด) ณ จุดใดจุดหนึ่ง จุดนี้จะคงที่ ดังนั้น ฟังก์ชันมักจะรับค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ในช่วง X ที่จุดใดจุดหนึ่งที่อยู่นิ่งจากช่วงเวลานี้

นอกจากนี้ฟังก์ชันมักจะรับค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด ณ จุดที่ไม่มีอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันนี้และมีการกำหนดฟังก์ชันเอง

มาตอบคำถามที่พบบ่อยที่สุดในหัวข้อนี้ทันที: “เป็นไปได้หรือไม่ที่จะกำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชัน”? ไม่ไม่เสมอไป บางครั้งขอบเขตของช่วง X ตรงกับขอบเขตของโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน หรือช่วง X เป็นอนันต์ และฟังก์ชันบางฟังก์ชันที่อนันต์และที่ขอบเขตของโดเมนของคำจำกัดความสามารถรับทั้งค่าที่มากเป็นอนันต์และที่เล็กเป็นอนันต์ได้ ในกรณีเหล่านี้ ไม่สามารถพูดได้เกี่ยวกับค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

เพื่อความชัดเจนเราจะให้ภาพประกอบกราฟิก ดูภาพแล้วจะชัดเจนขึ้นมาก

บนส่วน

ในรูปแรก ฟังก์ชันจะใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุด (สูงสุด y) และค่าน้อยที่สุด (ต่ำสุด y) ที่จุดคงที่ซึ่งอยู่ภายในส่วน [-6;6]

พิจารณากรณีที่ปรากฎในรูปที่สอง มาเปลี่ยนส่วนเป็น. ในตัวอย่างนี้ ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันจะได้มา ณ จุดที่อยู่นิ่ง และค่าที่ใหญ่ที่สุดที่จุดนั้นด้วยค่า Abscissa ที่สอดคล้องกับขอบเขตด้านขวาของช่วงเวลา

ในรูปที่ 3 จุดขอบเขตของเซ็กเมนต์ [-3;2] คือจุดขาดของจุดที่สอดคล้องกับค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

ในช่วงเวลาเปิด

ในรูปที่สี่ ฟังก์ชันจะใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุด (สูงสุด y) และค่าน้อยที่สุด (ต่ำสุด y) ที่จุดคงที่ซึ่งอยู่ภายในช่วงเปิด (-6;6)

ในช่วงเวลา ไม่สามารถสรุปเกี่ยวกับค่าที่มากที่สุดได้

ที่อนันต์

ในตัวอย่างที่แสดงในรูปที่ 7 ฟังก์ชันรับค่าที่ใหญ่ที่สุด (สูงสุด y) ที่จุดคงที่โดยมี abscissa x=1 และค่าที่น้อยที่สุด (min y) จะได้รับบนขอบเขตด้านขวาของช่วงเวลา ที่ค่าอนันต์ลบ ค่าฟังก์ชันจะเข้าใกล้ y=3 เชิงซีมโตติคัล

ในช่วงเวลาดังกล่าว ฟังก์ชันจะไม่ได้ค่าที่น้อยที่สุดหรือค่าที่มากที่สุด เมื่อ x=2 เข้าใกล้จากทางขวา ค่าของฟังก์ชันมีแนวโน้มที่จะลบอนันต์ (เส้นตรง x=2 เป็นเส้นกำกับแนวตั้ง) และเมื่อ Abscissa มีแนวโน้มที่จะบวกอนันต์ ค่าของฟังก์ชันจะเข้าใกล้ y=3 ในรูปแบบเชิงเส้นกำกับ ภาพประกอบกราฟิกของตัวอย่างนี้แสดงในรูปที่ 8

อัลกอริทึมในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซ็กเมนต์

ให้เราเขียนอัลกอริทึมที่ช่วยให้เราสามารถค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

1. เราค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันและตรวจสอบว่ามีส่วนทั้งหมดหรือไม่
2. เราค้นหาจุดทั้งหมดที่ไม่มีอนุพันธ์อันดับแรกและมีอยู่ในเซ็กเมนต์ (โดยปกติแล้วจุดดังกล่าวจะพบในฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์ภายใต้เครื่องหมายโมดูลัส และในฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน-ตรรกยะ) หากไม่มีจุดดังกล่าวให้ไปยังจุดถัดไป
3. เรากำหนดจุดคงที่ทั้งหมดที่อยู่ในส่วนนั้น ในการทำเช่นนี้เราจัดให้มันเป็นศูนย์แก้สมการผลลัพธ์และเลือกรากที่เหมาะสม หากไม่มีจุดที่อยู่นิ่งหรือไม่มีจุดใดตกอยู่ในส่วน ให้ไปยังจุดถัดไป
4. เราคำนวณค่าของฟังก์ชัน ณ จุดคงที่ที่เลือก (ถ้ามี) ณ จุดที่ไม่มีอนุพันธ์อันดับหนึ่ง (ถ้ามี) รวมถึงที่ x=a และ x=b
5. จากค่าที่ได้รับของฟังก์ชันเราเลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด - มันจะเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันที่ต้องการตามลำดับ

มาวิเคราะห์อัลกอริทึมในการแก้ตัวอย่างเพื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

ตัวอย่าง.

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

• ในส่วน;
• ในส่วน [-4;-1] .

สารละลาย.

โดเมนของฟังก์ชันคือเซตทั้งหมด ตัวเลขจริงยกเว้นศูนย์นั่นคือ ทั้งสองส่วนอยู่ในโดเมนคำจำกัดความ

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยคำนึงถึง:

แน่นอนว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันมีอยู่ที่ทุกจุดของเซ็กเมนต์และ [-4;-1]

เราหาจุดคงที่จากสมการ รากที่แท้จริงเพียงตัวเดียวคือ x=2 จุดคงที่นี้อยู่ในส่วนแรก

ในกรณีแรก เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนและที่จุดคงที่ นั่นคือสำหรับ x=1, x=2 และ x=4:

ดังนั้นค่าสูงสุดของฟังก์ชัน ทำได้ที่ x=1 และมีค่าน้อยที่สุด – ที่ x=2.

สำหรับกรณีที่สองเราคำนวณค่าฟังก์ชันเฉพาะที่ส่วนท้ายของส่วน [-4;-1] (เนื่องจากไม่มีจุดคงที่จุดเดียว):

บางครั้งในปัญหา B15 มีฟังก์ชัน "ไม่ดี" ซึ่งทำให้หาอนุพันธ์ได้ยาก ก่อนหน้านี้สิ่งนี้เกิดขึ้นระหว่างการทดสอบตัวอย่างเท่านั้น แต่ตอนนี้งานเหล่านี้เป็นเรื่องธรรมดามากจนไม่สามารถเพิกเฉยได้อีกต่อไปเมื่อเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State จริง

ในกรณีนี้ เทคนิคอื่นๆ ได้ผล หนึ่งในนั้นคือ โมโนโทน.

ฟังก์ชัน f (x) ได้รับการกล่าวขานว่าเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนบนเซกเมนต์ ถ้าจุดใดๆ x 1 และ x 2 ของเซ็กเมนต์นี้มีค่าดังต่อไปนี้:

x1< x 2 ⇒ f (x1) < f (x2).

ฟังก์ชัน f (x) ได้รับการกล่าวขานว่าลดลงอย่างซ้ำซากจำเจในส่วนนี้ หากจุดใดๆ x 1 และ x 2 ของส่วนนี้มีค่าดังต่อไปนี้:

x1< x 2 ⇒ f (x1) > ฉ ( x2).

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น ยิ่ง x ยิ่งมากเท่าไร f(x) ก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น สำหรับฟังก์ชันที่ลดลง สิ่งที่ตรงกันข้ามจะเป็นจริง: ยิ่ง x มาก เท่ากับ the น้อยฉ(x)

ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมจะเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนหากฐาน a > 1 และจะลดลงแบบโมโนโทนหาก 0< a < 1. Не забывайте про область ค่าที่ยอมรับได้ลอการิทึม: x > 0

f (x) = บันทึก a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

รากกำลังสองทางคณิตศาสตร์ (และไม่ใช่แค่กำลังสอง) จะเพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากจำเจตลอดขอบเขตคำจำกัดความ:

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีพฤติกรรมคล้ายกับลอการิทึม โดยจะเพิ่มขึ้นเมื่อ > 1 และลดลงเมื่อ 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, ฟังก์ชันเลขชี้กำลังกำหนดไว้สำหรับตัวเลขทั้งหมด ไม่ใช่แค่ x > 0:

ฉ (x) = ก x (ก > 0)

สุดท้าย องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ คุณสามารถเขียนมันเป็นเศษส่วนได้. พวกเขามีจุดพักที่ทำให้ความน่าเบื่อหายไป

ฟังก์ชั่นทั้งหมดนี้ไม่เคยพบใน รูปแบบบริสุทธิ์- พวกเขาเพิ่มพหุนาม เศษส่วน และเรื่องไร้สาระอื่นๆ ซึ่งทำให้คำนวณอนุพันธ์ได้ยาก มาดูกันว่าเกิดอะไรขึ้นในกรณีนี้

พิกัดจุดยอดพาราโบลา

ส่วนใหญ่แล้วอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันจะถูกแทนที่ด้วย ตรีโกณมิติกำลังสองของรูปแบบ y = ax 2 + bx + c กราฟของมันคือพาราโบลามาตรฐานที่เราสนใจ:

1. กิ่งก้านของพาราโบลาสามารถขึ้น (สำหรับ a > 0) หรือลง (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. จุดยอดของพาราโบลาคือจุดปลายสุดของฟังก์ชันกำลังสองซึ่งฟังก์ชันนี้รับค่าต่ำสุด (สำหรับ a > 0) หรือค่าสูงสุด (a< 0) значение.

สิ่งที่น่าสนใจที่สุดคือ จุดยอดของพาราโบลา, abscissa ซึ่งคำนวณโดยสูตร:

ดังนั้นเราจึงพบจุดปลายสุดของฟังก์ชันกำลังสองแล้ว แต่ถ้าฟังก์ชันดั้งเดิมเป็นแบบโมโนโทนิค จุด x 0 ก็จะเป็นจุดสุดขั้วเช่นกัน ดังนั้นเราจึงกำหนดกฎสำคัญ:

จุดสุดขีด ตรีโกณมิติกำลังสองและฟังก์ชันที่ซับซ้อนซึ่งรวมอยู่ด้วยนั้นเกิดขึ้นพร้อมกัน ดังนั้น คุณสามารถมองหา x 0 เพื่อหาตรีโกณมิติกำลังสอง และลืมฟังก์ชันไปได้เลย

จากเหตุผลข้างต้น ยังไม่ชัดเจนว่าเราได้จุดใด: สูงสุดหรือต่ำสุด อย่างไรก็ตาม งานต่างๆ ได้รับการออกแบบมาโดยเฉพาะเพื่อให้เรื่องนี้ไม่สำคัญ ตัดสินด้วยตัวคุณเอง:

1. ไม่มีส่วนใดในคำชี้แจงปัญหา ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องคำนวณ f(a) และ f(b) ยังคงต้องพิจารณาเฉพาะจุดปลายสุดเท่านั้น
2. แต่มีจุดดังกล่าวเพียงจุดเดียว - นี่คือจุดยอดของพาราโบลา x 0 ซึ่งพิกัดที่คำนวณตามตัวอักษรและไม่มีอนุพันธ์ใด ๆ

ดังนั้นการแก้ปัญหาจึงง่ายขึ้นอย่างมากและมีเพียงสองขั้นตอนเท่านั้น:

1. เขียนสมการของพาราโบลา y = ax 2 + bx + c แล้วหาจุดยอดโดยใช้สูตร: x 0 = −b /2a ;
2. ค้นหาค่าของฟังก์ชันดั้งเดิม ณ จุดนี้: f (x 0) ถ้าไม่ เงื่อนไขเพิ่มเติมไม่ นั่นจะเป็นคำตอบ

เมื่อมองแวบแรก อัลกอริธึมนี้และเหตุผลอาจดูซับซ้อน ฉันจงใจไม่โพสต์ไดอะแกรมโซลูชัน "เปล่า" เนื่องจากการใช้กฎดังกล่าวโดยไม่ไตร่ตรองเต็มไปด้วยข้อผิดพลาด

มาดูปัญหาที่แท้จริงจาก ทดลองสอบ Unified Stateในวิชาคณิตศาสตร์ - นี่คือจุดที่เทคนิคนี้พบบ่อยที่สุด ในเวลาเดียวกัน เราจะทำให้แน่ใจว่าด้วยวิธีนี้ปัญหาวิตามินบี 15 จำนวนมากเกือบจะเกิดขึ้นได้ทางปาก

ใต้ฐานราก ฟังก์ชันกำลังสอง y = x 2 + 6x + 13 กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลาที่มีกิ่งก้านสูงขึ้น เนื่องจากสัมประสิทธิ์ a = 1 > 0

จุดยอดของพาราโบลา:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

เนื่องจากกิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้น ณ จุด x 0 = −3 ฟังก์ชัน y = x 2 + 6x + 13 จะใช้ค่าต่ำสุด

ค่ารูทจะเพิ่มขึ้นแบบซ้ำซาก ซึ่งหมายความว่า x 0 คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชันทั้งหมด เรามี:

งาน. ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน:

y = บันทึก 2 (x 2 + 2x + 9)

ใต้ลอการิทึมจะมีฟังก์ชันกำลังสองอีกครั้ง: y = x 2 + 2x + 9 กราฟเป็นรูปพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้น เนื่องจาก ก = 1 > 0

จุดยอดของพาราโบลา:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

ดังนั้น ณ จุด x 0 = −1 ฟังก์ชันกำลังสองจะใช้ค่าต่ำสุดของมัน แต่ฟังก์ชัน y = log 2 x เป็นแบบโมโนโทนิก ดังนั้น:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

เลขชี้กำลังประกอบด้วยฟังก์ชันกำลังสอง y = 1 − 4x − x 2 ลองเขียนมันใหม่ในรูปแบบปกติ: y = −x 2 − 4x + 1

แน่นอนว่ากราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลาที่แตกแขนงลงมา (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

ฟังก์ชันดั้งเดิมเป็นแบบเอกซ์โปเนนเชียล และเป็นโมโนโทนิก ดังนั้นค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดจะอยู่ที่จุดที่พบ x 0 = −2:

ผู้อ่านที่เอาใจใส่อาจสังเกตเห็นว่าเราไม่ได้เขียนช่วงของค่าที่อนุญาตของรูทและลอการิทึม แต่สิ่งนี้ไม่จำเป็น: ภายในมีฟังก์ชันที่มีค่าเป็นบวกเสมอ

ข้อพิสูจน์จากโดเมนของฟังก์ชัน

บางครั้งการหาจุดยอดของพาราโบลาเพียงอย่างเดียวอาจไม่เพียงพอที่จะแก้ปัญหา B15 คุณค่าที่คุณกำลังมองหาอาจอยู่ ที่ส่วนท้ายของส่วนและไม่ได้อยู่ที่จุดสุดขั้วเลย หากปัญหาไม่ได้ระบุถึงส่วนใดส่วนหนึ่งเลยให้ดูที่ ช่วงของค่าที่ยอมรับได้ฟังก์ชั่นดั้งเดิม กล่าวคือ:

โปรดทราบอีกครั้ง: 0 อาจอยู่ใต้ราก แต่ไม่เคยอยู่ในลอการิทึมหรือตัวส่วนของเศษส่วน มาดูกันว่าสิ่งนี้ทำงานอย่างไรด้วยตัวอย่างเฉพาะ:

งาน. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน:

ใต้รากจะมีฟังก์ชันกำลังสองอีกครั้ง: y = 3 − 2x − x 2 กราฟของมันคือพาราโบลา แต่จะแตกแขนงลงเพราะ a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический รากที่สองของจำนวนลบไม่มีอยู่

เราเขียนช่วงของค่าที่อนุญาต (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

ตอนนี้เรามาดูจุดยอดของพาราโบลากัน:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

จุด x 0 = −1 อยู่ในส่วน ODZ - และนี่ถือว่าดี ตอนนี้เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด x 0 รวมถึงที่ส่วนท้ายของ ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

ดังนั้นเราจึงได้ตัวเลข 2 และ 0 เราถูกขอให้หาที่ใหญ่ที่สุด - นี่คือหมายเลข 2

งาน. ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน:

y = บันทึก 0.5 (6x - x 2 − 5)

ภายในลอการิทึมจะมีฟังก์ชันกำลังสอง y = 6x − x 2 − 5 นี่คือพาราโบลาที่มีกิ่งก้านลงมา แต่ในลอการิทึมไม่สามารถมีได้ ตัวเลขติดลบดังนั้นเราจึงเขียน ODZ ออกมา:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

โปรดทราบ: ความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด ดังนั้นจุดสิ้นสุดจึงไม่เป็นของ ODZ สิ่งนี้ทำให้ลอการิทึมแตกต่างจากราก ซึ่งจุดสิ้นสุดของเซ็กเมนต์นั้นเหมาะกับเราค่อนข้างดี

เรากำลังมองหาจุดยอดของพาราโบลา:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

จุดยอดของพาราโบลาพอดีตาม ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5) แต่เนื่องจากเราไม่สนใจส่วนท้ายของเซ็กเมนต์ เราจึงคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด x 0 เท่านั้น:

y นาที = y (3) = log 0.5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0.5 (18 − 9 − 5) = log 0.5 4 = −2

จะค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ได้อย่างไร?

สำหรับสิ่งนี้ เราปฏิบัติตามอัลกอริธึมที่รู้จักกันดี:

1 - การค้นหาฟังก์ชัน ODZ

2 - การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

3 - การทำให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

4 - เราค้นหาช่วงเวลาที่อนุพันธ์คงเครื่องหมายไว้และจากนั้นเราจะกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน:

ถ้าในช่วงเวลา I อนุพันธ์ของฟังก์ชันคือ 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} เพิ่มขึ้นในช่วงเวลานี้

ถ้าในช่วงเวลา I อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ดังนั้นฟังก์ชัน ลดลงในช่วงเวลานี้

5 - เราพบ จุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน.

ใน ที่จุดสูงสุดของฟังก์ชัน อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจาก "+" เป็น "-".

ใน จุดต่ำสุดของฟังก์ชันเครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์จาก "-" เป็น "+".

6 - เราค้นหาค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์

• จากนั้นเราจะเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนและที่จุดสูงสุด และ เลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดหากคุณต้องการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน
• หรือเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และที่จุดต่ำสุด และ เลือกค่าที่น้อยที่สุดหากคุณต้องการค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน

อย่างไรก็ตาม ขึ้นอยู่กับว่าฟังก์ชันทำงานบนเซ็กเมนต์อย่างไร อัลกอริธึมนี้สามารถลดลงได้อย่างมาก

พิจารณาฟังก์ชัน - กราฟของฟังก์ชันนี้มีลักษณะดังนี้:

ลองดูตัวอย่างการแก้ปัญหาต่างๆ จาก Open Task Bank for

1. งาน B15 (หมายเลข 26695)

บนส่วน.

1. ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้สำหรับค่าจริงทั้งหมดของ x

แน่นอนว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบ และอนุพันธ์เป็นบวกสำหรับค่าทั้งหมดของ x ดังนั้น ฟังก์ชันจึงเพิ่มขึ้นและรับค่าสูงสุดที่ด้านขวาสุดของช่วงเวลา ซึ่งก็คือที่ x=0

คำตอบ: 5.

2 . งาน B15 (หมายเลข 26702)

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วน

1. ฟังก์ชัน ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(ใน)(bbZ)">!}

อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ที่ อย่างไรก็ตาม ณ จุดเหล่านี้จะไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย:

ดังนั้น title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(คอส^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} เพิ่มและรับค่าสูงสุดที่ด้านขวาสุดของช่วงเวลา ที่

เพื่อให้ชัดเจนว่าเหตุใดอนุพันธ์จึงไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย เราจึงแปลงนิพจน์ของอนุพันธ์ดังนี้:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

คำตอบ: 5.

3. งาน B15 (หมายเลข 26708)

ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

1. ฟังก์ชัน ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

ลองวางรากของสมการนี้บนวงกลมตรีโกณมิติ

ช่วงประกอบด้วยตัวเลขสองตัว: และ

มาติดป้ายกัน. ในการทำเช่นนี้ เราจะกำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ที่จุด x=0: - เมื่อผ่านจุดและเครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์

ให้เราพรรณนาถึงการเปลี่ยนแปลงสัญญาณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันบนเส้นพิกัด:

แน่นอนว่าจุดนี้คือจุดต่ำสุด (ซึ่งอนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจาก "-" เป็น "+") และหากต้องการค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ คุณต้องเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่ จุดต่ำสุดและที่ปลายด้านซ้ายของเซ็กเมนต์

ให้ฟังก์ชัน ย =ฉ(เอ็กซ์)มีความต่อเนื่องในช่วงเวลา [ ก, ข- ดังที่ทราบกันว่าฟังก์ชันดังกล่าวถึงค่าสูงสุดและต่ำสุดในส่วนนี้ ฟังก์ชันสามารถรับค่าเหล่านี้ได้ที่จุดภายในของเซ็กเมนต์ [ ก, ข] หรือบนขอบเขตของเซ็กเมนต์

เพื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ [ ก, ข] จำเป็น:

1) ค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชันในช่วงเวลา ( ก, ข);

2) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤตที่พบ

3) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์นั่นคือเมื่อใด x=กและ x = ข;

4) จากค่าที่คำนวณได้ทั้งหมดของฟังก์ชัน ให้เลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด

ตัวอย่าง.ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน

บนส่วน

ค้นหาจุดวิกฤติ:

จุดเหล่านี้อยู่ภายในส่วนนั้น ย(1) = ‒ 3; ย(2) = ‒ 4; ย(0) = ‒ 8; ย(3) = 1;

ตรงจุด x= 3 และตรงจุด x= 0.

ศึกษาฟังก์ชันของจุดนูนและจุดเปลี่ยนเว้า

การทำงาน ย = ฉ (x) เรียกว่า นูนขึ้นในระหว่าง (ก, ข) ถ้ากราฟของมันอยู่ใต้แทนเจนต์ที่วาด ณ จุดใด ๆ ในช่วงเวลานี้ และถูกเรียก นูนลง (เว้า)ถ้ากราฟอยู่เหนือแทนเจนต์

จุดที่ความนูนถูกแทนที่ด้วยความเว้าหรือในทางกลับกันเรียกว่า จุดสะท้อน.

อัลกอริทึมสำหรับตรวจสอบความนูนและจุดเปลี่ยนเว้า:

1. ค้นหาจุดวิกฤตของประเภทที่สอง นั่นคือจุดที่อนุพันธ์อันดับสองมีค่าเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่

2. เขียนจุดวิกฤตบนเส้นจำนวนโดยแบ่งเป็นช่วงๆ ค้นหาเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสองในแต่ละช่วง ถ้า แสดงว่าฟังก์ชันนูนขึ้น ถ้า ฟังก์ชันจะนูนลง

3. หากเมื่อผ่านจุดวิกฤตประเภทที่สอง เครื่องหมายเปลี่ยนไป และ ณ จุดนี้อนุพันธ์อันดับสองเท่ากับศูนย์ แล้วจุดนี้ก็คือจุดขาดของจุดเปลี่ยนเว้า ค้นหาพิกัดของมัน

เส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน การศึกษาฟังก์ชันสำหรับเส้นกำกับ

คำนิยาม.เรียกว่าเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน ตรงซึ่งมีคุณสมบัติว่าระยะห่างจากจุดใดๆ บนกราฟถึงเส้นนี้มีแนวโน้มเป็นศูนย์เนื่องจากจุดบนกราฟเคลื่อนที่จากจุดกำเนิดอย่างไม่มีกำหนด

เส้นกำกับมีสามประเภท: แนวตั้ง แนวนอน และเอียง

คำนิยาม.เส้นตรงเรียกว่า เส้นกำกับแนวตั้งกราฟิกฟังก์ชั่น ย = ฉ(x)ถ้าขีดจำกัดด้านเดียวของฟังก์ชัน ณ จุดนี้อย่างน้อยหนึ่งค่าเท่ากับอนันต์ นั่นก็คือ

จุดไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันอยู่ที่ไหน นั่นคือ ไม่ได้อยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความ

ตัวอย่าง.

ด ( ย) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – จุดพัก

คำนิยาม.ตรง ย =กเรียกว่า เส้นกำกับแนวนอนกราฟิกฟังก์ชั่น ย = ฉ(x)ที่ ถ้า

ตัวอย่าง.

x
ย

คำนิยาม.ตรง ย =เคx +ข (เค≠ 0) ถูกเรียก เส้นกำกับเฉียงกราฟิกฟังก์ชั่น ย = ฉ(x)ที่ไหน

รูปแบบทั่วไปสำหรับศึกษาฟังก์ชันและการสร้างกราฟ

อัลกอริธึมการวิจัยฟังก์ชันย = ฉ(x) :

1. ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน ดี (ย).

2. ค้นหา (ถ้าเป็นไปได้) จุดตัดของกราฟด้วยแกนพิกัด (ถ้า x= 0 และที่ ย = 0).

3. ตรวจสอบความสม่ำเสมอและความคี่ของฟังก์ชัน ( ย (‒ x) = ย (x) ‒ ความเท่าเทียมกัน; ย(‒ x) = ‒ ย (x) ‒ แปลก).

4. ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

5. ค้นหาช่วงเวลาของความน่าเบื่อของฟังก์ชัน

6. ค้นหาจุดสุดขีดของฟังก์ชัน

7. ค้นหาช่วงเวลาของความนูน (เว้า) และจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟฟังก์ชัน

8. จากการวิจัยที่ดำเนินการ สร้างกราฟของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง.สำรวจฟังก์ชันและสร้างกราฟ

1) ดี (ย) =

x= 4 – จุดพัก

2) เมื่อใด x = 0,

(0; ‒ 5) – จุดตัดกับ โอ้.

ที่ ย = 0,

3) ย(‒ x)= การทำงาน ปริทัศน์(ไม่เป็นคู่หรือคี่)

4) เราตรวจสอบเส้นกำกับ

ก) แนวตั้ง

ข) แนวนอน

c) ค้นหาเส้นกำกับเฉียงที่ไหน

– สมการเส้นกำกับเฉียง

5) ในสมการนี้ ไม่จำเป็นต้องค้นหาช่วงเวลาของความน่าเบื่อของฟังก์ชัน

6)

จุดวิกฤตเหล่านี้แบ่งโดเมนทั้งหมดของคำจำกัดความของฟังก์ชันออกเป็นระยะ (ดรีม∞; เมื่อคุณ 2), (ดรีม 2; 4), (4; 10) และ (10; +∞) สะดวกในการนำเสนอผลที่ได้ตามตารางต่อไปนี้