ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยมด้านขนานและคุณสมบัติของมัน

ในบทเรียนวันนี้ เราจะทบทวนคุณสมบัติพื้นฐานของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จากนั้นเราจะให้ความสนใจกับการพิจารณาคุณสมบัติสองประการแรกของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแล้วพิสูจน์มัน ในระหว่างการพิสูจน์ ให้เรานึกถึงการใช้การทดสอบความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ซึ่งเราศึกษาเมื่อปีที่แล้วและทำซ้ำในบทเรียนแรก ในตอนท้าย จะมีการยกตัวอย่างการประยุกต์ใช้คุณลักษณะที่ศึกษาของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

หัวข้อ: รูปสี่เหลี่ยม

บทเรียน: สัญญาณของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เริ่มต้นด้วยการนึกถึงคำจำกัดความของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

คำนิยาม. สี่เหลี่ยมด้านขนาน- รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ด้านตรงข้ามทุกสองด้านขนานกัน (ดูรูปที่ 1)

ข้าว. 1. สี่เหลี่ยมด้านขนาน

มาจำกัน คุณสมบัติพื้นฐานของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน:

เพื่อให้สามารถใช้คุณสมบัติเหล่านี้ได้ทั้งหมด คุณต้องแน่ใจว่าตัวเลขที่คุณกำลังพูดถึงนั้น เรากำลังพูดถึง, เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ในการทำเช่นนี้ คุณจำเป็นต้องรู้ข้อเท็จจริงต่างๆ เช่น คุณลักษณะของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เราจะพิจารณาสองคนแรกในวันนี้

ทฤษฎีบท. เครื่องหมายแรกของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหากด้านตรงข้ามสองด้านของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากันและขนานกัน รูปสี่เหลี่ยมนี้จะเท่ากับ สี่เหลี่ยมด้านขนาน. .

ข้าว. 2. เครื่องหมายแรกของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์. ลองวาดเส้นทแยงมุมในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (ดูรูปที่ 2) โดยแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูป ลองเขียนสิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับสามเหลี่ยมเหล่านี้:

ตามเกณฑ์แรกของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

จากความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมที่ระบุ จะเป็นไปตามนั้นโดยอาศัยความขนานของเส้นเมื่อตัดกับเส้นตัด เรามีสิ่งนั้น:

พิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท. เครื่องหมายที่สองของสี่เหลี่ยมด้านขนานถ้าในรูปสี่เหลี่ยมด้านตรงข้ามทุกสองด้านเท่ากัน รูปสี่เหลี่ยมนี้จะเท่ากับ สี่เหลี่ยมด้านขนาน. .

ข้าว. 3. เครื่องหมายที่สองของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์. ลองวาดเส้นทแยงมุมในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (ดูรูปที่ 3) โดยแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูป ให้เราเขียนสิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับสามเหลี่ยมเหล่านี้ตามการกำหนดทฤษฎีบท:

ตามเกณฑ์ที่สามสำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

จากความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมเป็นไปตามหลักการความเท่าเทียมของเส้นเมื่อตัดกับเส้นตัด เราได้รับ:

สี่เหลี่ยมด้านขนานตามคำนิยาม Q.E.D.

พิสูจน์แล้ว

ลองดูตัวอย่างการใช้คุณลักษณะสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ตัวอย่างที่ 1 ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูน ค้นหา: ก) มุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน; ข) ด้าน

สารละลาย. ลองพรรณนารูป 4.

ข้าว. 4

สี่เหลี่ยมด้านขนานตามเครื่องหมายแรกของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ซิกกี ปา-รัล-เล-โล-แกรม-มา

1. ความหมายและคุณสมบัติพื้นฐานของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เริ่มต้นด้วยการนึกถึงคำจำกัดความของ para-ral-le-lo-gram

คำนิยาม. สี่เหลี่ยมด้านขนาน- what-you-rekh-gon-nick ซึ่งมีด้าน pro-ti-false ทุก ๆ สองด้านที่ขนานกัน (ดูรูปที่ 1)

ข้าว. 1. ปา-ราล-เลอ-โล-แกรม

มาจำกัน คุณสมบัติพื้นฐานของพา-ราล-เลอ-โล-แกรม-มา:

เพื่อให้สามารถใช้คุณสมบัติเหล่านี้ทั้งหมดได้ คุณต้องแน่ใจว่า fi-gu-ra เกี่ยวกับใครบางคน -roy ที่เรากำลังพูดถึง - par-ral-le-lo-gram ในการทำเช่นนี้จำเป็นต้องรู้ข้อเท็จจริงเช่นสัญญาณของ pa-ral-le-lo-gram-ma เรากำลังดูสองคนแรกตอนนี้

2. เครื่องหมายแรกของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ทฤษฎีบท. สัญญาณแรกของ pa-ral-le-lo-gram-maถ้าในถ่านหินสี่ก้อน ด้านตรงข้ามทั้งสองเท่ากันและขนานกัน ดังนั้นชื่อเล่นถ่านหินสี่ก้อนนี้ - สี่เหลี่ยมด้านขนาน. .

ข้าว. 2. สัญญาณแรกของ pa-ral-le-lo-gram-ma

การพิสูจน์. เราใส่ dia-go-nal ลงใน four-reh-coal-ni-ke (ดูรูปที่ 2) เธอแบ่งออกเป็น tri-coal-ni-ka สองอัน ลองเขียนสิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับสามเหลี่ยมเหล่านี้:

ตามเครื่องหมายแรกของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมที่ระบุตามมาด้วยสัญลักษณ์ของความขนานของเส้นตรงเมื่อข้าม ch-nii s-ku-shchi ของพวกเขา เรามีสิ่งนั้น:

โด-คา-ซ่า-แต่

3. เครื่องหมายที่สองของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ทฤษฎีบท. เครื่องหมายที่สองคือ pa-ral-le-lo-gram-maถ้าในสี่มุมทุกสองด้านตรงข้ามเท่ากัน แล้วสี่มุมนี้ก็เท่ากับ สี่เหลี่ยมด้านขนาน. .

ข้าว. 3. สัญลักษณ์ที่สองของ pa-ral-le-lo-gram-ma

การพิสูจน์. เราใส่ไดอะโกนัลไว้ที่มุมทั้งสี่ (ดูรูปที่ 3) เธอแบ่งมันออกเป็นสามเหลี่ยมสองอัน ลองเขียนสิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับสามเหลี่ยมเหล่านี้ตามรูปแบบของทฤษฎี:

ตามเครื่องหมายที่สามของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

จากความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม ตามมาด้วยเครื่องหมายของเส้นคู่ขนาน เมื่อพวกมันตัดกัน s-ku-shchey มากินกันเถอะ:

พาร์-ราล-เลอ-โล-แกรม ตามคำนิยาม Q.E.D.

โด-คา-ซ่า-แต่

4. ตัวอย่างการใช้คุณลักษณะสี่เหลี่ยมด้านขนานแรก

ลองดูตัวอย่างการใช้สัญลักษณ์ของ pa-ral-le-lo-gram

ตัวอย่างที่ 1. ในส่วนที่นูนไม่มีถ่านหิน ค้นหา: ก) มุมของถ่านหิน; b) ร้อยรูดี

สารละลาย. ภาพประกอบ รูปที่. 4.

pa-ral-le-lo-gram ตามสัญญาณแรกของ pa-ral-le-lo-gram-ma

ก. โดยสมบัติของพาร์-ราล-เลอ-โล-แกรมเกี่ยวกับมุมโปร-ติ-เท็จ โดยสมบัติของพาร์-ราล-เลอ-โล-แกรมเกี่ยวกับผลรวมของมุม เมื่อนอนตะแคงข้างหนึ่ง

บี. โดยธรรมชาติของความเสมอภาคของฝ่ายสนับสนุนเท็จ

เครื่องหมายซ้ำ pa-ral-le-lo-gram-ma

5. ทบทวน: ความหมายและคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

จำไว้ว่า สี่เหลี่ยมด้านขนาน- นี่คือมุมสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีด้านโปรติเท็จเป็นคู่ นั่นคือถ้า - par-ral-le-lo-gram แล้ว (ดูรูปที่ 1)

Parallel-le-lo-gram มีคุณสมบัติหลายประการ: มุมตรงข้ามเท่ากัน () มุมตรงข้าม -เราเท่ากัน ( - นอกจากนี้ เดีย-โก-นา-ลี ปา-ราล-เล-โล-แกรม-มา ณ จุดเร-เซ-เช-นิยะ จะถูกแบ่งออกตามผลรวมของมุม โดยที่-เล- กดไปทางใดๆ ด้าน pa-ral-le-lo-gram-ma เท่ากับ ฯลฯ

แต่เพื่อที่จะใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติเหล่านี้ทั้งหมด จำเป็นต้องแน่ใจอย่างแน่นอนว่า ri-va-e-my th-you-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram เพื่อจุดประสงค์นี้ มีสัญญาณของ par-ral-le-lo-gram: นั่นคือข้อเท็จจริงเหล่านั้นซึ่งสามารถสรุปได้เพียงคุณค่าเดียว ว่าสิ่งที่คุณ rekh-coal-nick เป็น par-ral- เลอ-โล-แกรม-แม่ ในบทเรียนที่แล้ว เราได้ดูสัญญาณสองประการแล้ว ตอนนี้เรากำลังดูครั้งที่สาม

6. เครื่องหมายที่สามของสี่เหลี่ยมด้านขนานและการพิสูจน์

หากในถ่านหินสี่ก้อนมีไดอาโกออน ณ จุดรีเซเชนิยะที่พวกเขาทำบายลัม ดังนั้นโรห์โคลนิคที่คุณให้สี่คนนั้นเป็นปาราเล -โล-แกรม-แม่.

ที่ให้ไว้:

สิ่งที่คุณเป็นถ่านหินนิค; - -

พิสูจน์:

สี่เหลี่ยมด้านขนาน.

การพิสูจน์:

เพื่อที่จะพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้ จำเป็นต้องแสดงความเท่าเทียมของคู่สัญญากับพาร์-เลอ-โล-แกรม และความขนานของเส้นตรงส่วนใหญ่มักปรากฏผ่านความเท่าเทียมกันของมุมขวางภายในที่มุมขวาเหล่านี้ ดังนั้น นี่คือวิธีถัดไปในการรับเครื่องหมายที่สามของพาร์-ราล -เลอ-โล-แกรม-มา: ผ่านความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม .

ลองดูว่าสามเหลี่ยมเหล่านี้เท่ากันอย่างไร แท้จริงแล้วจากเงื่อนไขดังต่อไปนี้: . นอกจากนี้ เนื่องจากมุมเป็นแนวตั้ง จึงมีเท่ากัน นั่นคือ:

(สัญญาณแรกของความเท่าเทียมกันไตรถ่านหิน-ni-cov- ตามสองด้านและมุมระหว่างพวกเขา)

จากความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม: (เนื่องจากมุมขวางภายในของเส้นตรงและหน้าตัดเหล่านี้เท่ากัน) นอกจากนี้ จากความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมจะเป็นไปตามนั้น . ซึ่งหมายความว่าเราเข้าใจว่าในสี่ถ่านหินสองร้อยมีค่าเท่ากันและขนานกัน ตามสัญญาณแรก pa-ral-le-lo-gram-ma: - pa-ral-le-lo-gram

โด-คา-ซ่า-แต่

7. ตัวอย่างปัญหาบนเครื่องหมายที่สามของสี่เหลี่ยมด้านขนานและลักษณะทั่วไป

ลองดูตัวอย่างการใช้เครื่องหมายที่สามของ pa-ral-le-lo-gram

ตัวอย่างที่ 1

ที่ให้ไว้:

- สี่เหลี่ยมด้านขนาน; - - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (ดูรูปที่ 2)

พิสูจน์:- พา-ราล-เลอ-โล-แกรม

การพิสูจน์:

ซึ่งหมายความว่าในสี่ถ่านหิน-โน-เดีย-โก-ออน-ไม่ว่าพวกเขาจะทำบายลัม ณ จุดเรเซเชนิยะหรือไม่ก็ตาม. ด้วยเครื่องหมายที่สามของ pa-ral-le-lo-gram ตามมาจากนี้ - pa-ral-le-lo-gram

โด-คา-ซ่า-แต่

หากคุณวิเคราะห์เครื่องหมายที่สามของ pa-ral-le-lo-gram คุณจะสังเกตได้ว่าเครื่องหมายนี้ตรงกับสัตวแพทย์- มีคุณสมบัติเป็น par-ral-le-lo-gram นั่นคือความจริงที่ว่า เดีย-โก-นา-ลี เด-ลา-เซียไม่ได้เป็นเพียงคุณสมบัติของพาร์-เล-โล-แกรมเท่านั้น แต่ยังมีความโดดเด่นคือ คา-รัก-เต-รี-สติ-เช- ทรัพย์สินซึ่งสามารถแยกแยะได้จากชุด what-you-rekh-coal-ni-cov

แหล่งที่มา

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://wwww.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านตรงข้ามขนานกัน กล่าวคือ นอนอยู่บนเส้นคู่ขนาน

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน:
ทฤษฎีบท 22 ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากัน
การพิสูจน์. ในสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD เราวาดเส้นทแยงมุม AC สามเหลี่ยม ACD และ ACB เท่ากัน เนื่องจากมีด้าน AC ร่วมและมีคู่สองคู่ มุมเท่ากัน- ที่อยู่ติดกัน: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ACB=∠ DAC (เป็นมุมขวางที่มีเส้นขนาน AD และ BC) ซึ่งหมายความว่า AB=CD และ BC=AD เป็นด้านที่สอดคล้องกัน สามเหลี่ยมเท่ากันฯลฯ จากความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้ มุมที่สอดคล้องกันของรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากัน:
ทฤษฎีบท 23 มุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากัน: ∠ A=∠ C และ ∠ B=∠ D
ความเท่าเทียมกันของคู่แรกมาจากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ABD และ CBD และคู่ที่สอง - ABC และ ACD
ทฤษฎีบท 24 มุมที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เช่น มุมที่อยู่ติดกันด้านหนึ่งรวมกันได้ 180 องศา
ที่เป็นเช่นนี้เพราะมันเป็นมุมด้านเดียวภายใน
ทฤษฎีบท 25 เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะแบ่งครึ่งกันที่จุดตัดกัน
การพิสูจน์. พิจารณาสามเหลี่ยม BOC และ AOD ตามคุณสมบัติแรก AD=BC ∠ OAD=∠ OCB และ ∠ ODA=∠ OBC ที่วางขวางสำหรับเส้นขนาน AD และ BC ดังนั้น สามเหลี่ยม BOC และ AOD จึงมีด้านเท่ากันและมุมประชิดกัน ซึ่งหมายความว่า BO=OD และ AO=OS เช่น ด้านที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมเท่ากัน เป็นต้น

สัญญาณของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ทฤษฎีบท 26 ถ้าด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากันเป็นคู่ๆ ก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
การพิสูจน์. ให้รูปสี่เหลี่ยม ABCD มีด้าน AD และ BC, AB และ CD เท่ากันตามลำดับ (รูปที่ 2) ลองวาดเส้นทแยงมุม AC กัน สามเหลี่ยม ABC และ ACD เท่ากันทั้งสามด้าน แล้วมุม BAC และ DCA เท่ากัน ดังนั้น AB จึงขนานกับ CD ความขนานกันของด้าน BC และ AD ตามมาจากความเท่ากันของมุม CAD และ ACB
ทฤษฎีบท 27 ถ้ามุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากันเป็นคู่ ก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ให้ ∠ A=∠ C และ ∠ B=∠ D เพราะ ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o จากนั้น ∠ A+∠ B=180 o และด้าน AD และ BC ขนานกัน (ขึ้นอยู่กับความขนานของเส้นตรง) เราจะพิสูจน์ความขนานของด้าน AB และ CD และสรุปว่า ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานตามคำจำกัดความ
ทฤษฎีบท 28 หากมุมที่อยู่ติดกันของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเช่น มุมที่อยู่ประชิดด้านหนึ่งรวมกันได้ 180 องศา จึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
หากมุมด้านเดียวภายในรวมกันได้ 180 องศา แสดงว่าเส้นตรงนั้นขนานกัน ดังนั้น AB ขนานกับ CD และ BC ขนานกับ AD รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนกลายเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานตามคำจำกัดความ
ทฤษฎีบท 29 ถ้าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมตัดกันที่จุดตัด รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนั้นจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
การพิสูจน์. ถ้า AO = OC, BO = OD สามเหลี่ยม AOD และ BOC จะเท่ากัน เนื่องจากมีมุมเท่ากัน (แนวตั้ง) ที่จุดยอด O ซึ่งอยู่ระหว่างคู่ทั้งสอง ด้านที่เท่ากัน- จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม เราสรุปได้ว่า AD และ BC เท่ากัน ด้าน AB และ CD ก็เท่ากัน และรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนกลายเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานตามเกณฑ์ที่ 1
ทฤษฎีบท 30 ถ้ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีด้านคู่ขนานกันเท่ากัน แสดงว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ให้ด้าน AB และ CD ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD ขนานกันและเท่ากัน ลองวาดเส้นทแยงมุม AC และ BD กัน จากความขนานของเส้นเหล่านี้ จะได้ว่ามุมขวาง ABO = CDO และ BAO = OCD เท่ากัน สามเหลี่ยม ABO และ CDO เท่ากันทั้งด้านและมุมประชิด ดังนั้น AO=OS, VO=ОD เช่น เส้นทแยงมุมจะถูกแบ่งครึ่งด้วยจุดตัด และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะกลายเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานตามเกณฑ์ที่ 4

ในเรขาคณิต จะพิจารณากรณีพิเศษของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

หลักสูตรวิดีโอ "Get an A" มีหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับความสำเร็จ ผ่านการสอบ Unified Stateในวิชาคณิตศาสตร์ได้ 60-65 คะแนน ครบทุกปัญหา 1-13 การตรวจสอบโปรไฟล์ Unified Stateในวิชาคณิตศาสตร์ ยังเหมาะสำหรับการผ่านการสอบ Basic Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย หากคุณต้องการผ่านการสอบ Unified State ด้วยคะแนน 90-100 คุณต้องแก้ส่วนที่ 1 ใน 30 นาทีโดยไม่มีข้อผิดพลาด!

หลักสูตรเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State สำหรับเกรด 10-11 รวมถึงสำหรับครู ทุกสิ่งที่คุณต้องการเพื่อแก้ส่วนที่ 1 ของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหา 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่คือมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และทั้งนักเรียน 100 คะแนนและนักศึกษามนุษยศาสตร์ก็สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา

ทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมด วิธีที่รวดเร็วแนวทางแก้ไข ข้อผิดพลาด และความลับของการสอบ Unified State งานปัจจุบันทั้งหมดของส่วนที่ 1 จาก FIPI Task Bank ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้สอดคล้องกับข้อกำหนดของ Unified State Exam 2018 อย่างสมบูรณ์

หลักสูตรประกอบด้วย 5 หัวข้อใหญ่ หัวข้อละ 2.5 ชั่วโมง แต่ละหัวข้อได้รับตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน

งานสอบ Unified State หลายร้อยรายการ ปัญหาคำศัพท์และทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมที่ง่ายและง่ายต่อการจดจำสำหรับการแก้ปัญหา เรขาคณิต. ทฤษฎี, วัสดุอ้างอิง, วิเคราะห์งาน Unified State Examination ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี วิธีแก้ปัญหาที่ยุ่งยาก เอกสารโกงที่มีประโยชน์ การพัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้นจนถึงปัญหา 13 ทำความเข้าใจแทนการยัดเยียด คำอธิบายที่ชัดเจนของแนวคิดที่ซับซ้อน พีชคณิต. ราก กำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ พื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนของส่วนที่ 2 ของการสอบ Unified State