การแยกราก: วิธีการ ตัวอย่าง วิธีแก้ไข จะหารากที่สองได้อย่างไร? สรรพคุณ ตัวอย่างการสกัดราก

ถึงเวลาต้องจัดการมันแล้ว วิธีการสกัดราก- ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของรากโดยเฉพาะอย่างยิ่งต่อความเท่าเทียมกันซึ่งเป็นจริงสำหรับสิ่งใด ๆ จำนวนลบข.

ด้านล่างเราจะดูวิธีการหลักในการแยกรากทีละรายการ

เริ่มจากกรณีที่ง่ายที่สุดกันก่อน - แยกรากออกจากจำนวนธรรมชาติโดยใช้ตารางสี่เหลี่ยม ตารางลูกบาศก์ ฯลฯ

ถ้าเป็นโต๊ะสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ ฯลฯ หากคุณไม่มีมัน ก็สมเหตุสมผลที่จะใช้วิธีการแยกราก ซึ่งเกี่ยวข้องกับการสลายจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

เป็นเรื่องที่ควรค่าแก่การกล่าวถึงเป็นพิเศษถึงสิ่งที่เป็นไปได้สำหรับรากที่มีเลขชี้กำลังคี่

สุดท้ายนี้ ลองพิจารณาวิธีการที่ช่วยให้เราค้นหาตัวเลขของค่ารูทได้ตามลำดับ

มาเริ่มกันเลย

การใช้โต๊ะสี่เหลี่ยม โต๊ะลูกบาศก์ ฯลฯ

ในส่วนใหญ่ กรณีง่ายๆตารางสี่เหลี่ยมลูกบาศก์ ฯลฯ ช่วยให้คุณสามารถแยกรากได้ ตารางเหล่านี้คืออะไร?

ตารางกำลังสองของจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง 99 รวม (แสดงด้านล่าง) ประกอบด้วยสองโซน โซนแรกของตารางจะอยู่บนพื้นหลังสีเทา โดยการเลือกแถวที่ต้องการและคอลัมน์เฉพาะ จะทำให้คุณสามารถเขียนตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 99 ได้ ตัวอย่างเช่น ลองเลือกแถวที่มี 8 สิบและคอลัมน์ 3 หน่วย ซึ่งเราได้แก้ไขหมายเลข 83 แล้ว โซนที่สองครอบครองส่วนที่เหลือของตาราง แต่ละเซลล์จะอยู่ที่จุดตัดของแถวหนึ่งกับบางคอลัมน์ และมีช่องสี่เหลี่ยมของตัวเลขที่ตรงกันตั้งแต่ 0 ถึง 99 ที่จุดตัดของแถว 8 สิบและคอลัมน์ 3 ที่เราเลือกจะมีเซลล์ที่มีหมายเลข 6,889 ซึ่งเป็นกำลังสองของหมายเลข 83

ตารางลูกบาศก์ ตารางกำลังสี่ของตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 99 และอื่นๆ คล้ายกับตารางสี่เหลี่ยม มีเพียงลูกบาศก์ กำลังสี่ ฯลฯ ในโซนที่สอง ตัวเลขที่สอดคล้องกัน

ตารางสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ กำลังสี่ ฯลฯ ช่วยให้คุณสามารถแยกรากที่สอง รากที่สาม รากที่สี่ ฯลฯ ตามลำดับจากตัวเลขในตารางเหล่านี้ ให้เราอธิบายหลักการใช้งานเมื่อทำการแยกราก

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแยกรากที่ n ของตัวเลข a ในขณะที่ตัวเลข a อยู่ในตารางของกำลังที่ n เมื่อใช้ตารางนี้เราจะพบตัวเลข b โดยที่ a=b n แล้ว ดังนั้นเลข b จะเป็นรากที่ต้องการของดีกรีที่ n

ตามตัวอย่าง เราจะแสดงวิธีใช้ตารางคิวบ์เพื่อแยกรากที่สามของ 19,683 เราพบเลข 19,683 ในตารางลูกบาศก์ จากนั้นเราพบว่าเลขนี้คือเลขกำลังสามของเลข 27 ดังนั้น .

เห็นได้ชัดว่าตารางเลขยกกำลัง n สะดวกมากในการแยกราก อย่างไรก็ตาม สิ่งเหล่านี้มักจะไม่อยู่ในมือ และการคอมไพล์ต้องใช้เวลาพอสมควร ยิ่งไปกว่านั้น บ่อยครั้งจำเป็นต้องแยกรากออกจากตัวเลขที่ไม่อยู่ในตารางที่เกี่ยวข้อง ในกรณีเหล่านี้ คุณต้องหันไปใช้วิธีอื่นในการสกัดราก

แยกตัวประกอบจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

เพียงพอ ด้วยวิธีที่สะดวกซึ่งทำให้สามารถแยกรากออกจากจำนวนธรรมชาติได้ (แน่นอนว่าถ้าแยกรากออก) ก็คือการสลายตัวของจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ ของเขา ประเด็นคือสิ่งนี้: หลังจากนั้นมันค่อนข้างง่ายที่จะแทนมันเป็นกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่ต้องการซึ่งช่วยให้คุณได้รับค่าของรูท มาชี้แจงประเด็นนี้กัน

ให้รากที่ n ของจำนวนธรรมชาติ a มีค่าเท่ากับ b ในกรณีนี้ ความเท่าเทียมกัน a=b n เป็นจริง จำนวน b ก็เหมือนกับจำนวนธรรมชาติใดๆ สามารถแสดงเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดได้ p 1 , p 2 , …, p m ในรูปแบบ p 1 ·p 2 ·…·p m และเลขราก a ในกรณีนี้ แสดงเป็น (p 1 ·p 2 ·…·p m) n เนื่องจากการสลายตัวของจำนวนหนึ่งไปเป็นตัวประกอบเฉพาะจะมีลักษณะเฉพาะ การสลายตัวของจำนวนราก a ไปเป็นตัวประกอบเฉพาะจะมีรูปแบบ (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ซึ่งทำให้สามารถคำนวณค่าของรากได้ เช่น.

โปรดสังเกตว่าถ้าการสลายตัวไปเป็นตัวประกอบเฉพาะของจำนวนราก a ไม่สามารถแสดงในรูปแบบได้ (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ดังนั้นรากที่ n ของจำนวน a จะยังไม่ถูกดึงออกจนหมด

ลองคิดดูเมื่อแก้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

หารากที่สองของ 144

สารละลาย.

หากคุณดูตารางกำลังสองที่ให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า คุณจะเห็นได้ชัดเจนว่า 144 = 12 2 ซึ่งชัดเจนว่ารากที่สองของ 144 คือ 12

แต่เมื่อคำนึงถึงประเด็นนี้ เราสนใจว่ารากจะถูกแยกออกมาอย่างไรโดยการแยกเลขราก 144 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ ลองดูวิธีแก้ปัญหานี้

มาย่อยสลายกันเถอะ 144 ถึงตัวประกอบเฉพาะ:

นั่นคือ 144=2·2·2·2·3·3 ขึ้นอยู่กับการสลายตัวที่เกิดขึ้น การเปลี่ยนแปลงต่อไปนี้สามารถดำเนินการได้: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2- เพราะฉะนั้น, .

การใช้คุณสมบัติของดีกรีและคุณสมบัติของราก อาจทำให้สูตรการแก้ปัญหาแตกต่างออกไปเล็กน้อย:

คำตอบ:

หากต้องการรวมวัสดุ ให้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของอีกสองตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

คำนวณค่าของรูท

สารละลาย.

การแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนราก 243 มีรูปแบบ 243=3 5 ดังนั้น, .

คำตอบ:

ตัวอย่าง.

ค่ารูตเป็นจำนวนเต็มหรือไม่?

สารละลาย.

เพื่อตอบคำถามนี้ ลองแยกจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะแล้วดูว่าสามารถแสดงเป็นกำลังสามของจำนวนเต็มได้หรือไม่

เรามี 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. การขยายตัวที่เกิดขึ้นไม่สามารถแสดงเป็นกำลังสามของจำนวนเต็มได้ เนื่องจากกำลังของตัวประกอบเฉพาะ 7 ไม่ใช่ผลคูณของสาม ดังนั้น จึงไม่สามารถแยกรากที่สามของ 285,768 ได้อย่างสมบูรณ์

คำตอบ:

เลขที่

แยกรากออกจากเลขเศษส่วน

ถึงเวลาที่จะหาวิธีแยกรากออกมา จำนวนเศษส่วน- ให้เขียนเลขรากเศษส่วนเป็น p/q ตามคุณสมบัติของรากของผลหาร ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง จากความเท่าเทียมกันนี้เป็นไปตามนั้น กฎการแยกรากของเศษส่วน: รากของเศษส่วนเท่ากับผลหารของรากของตัวเศษหารด้วยรากของตัวส่วน

ลองดูตัวอย่างการแยกรากออกจากเศษส่วน

ตัวอย่าง.

สแควร์รูทของอะไร เศษส่วนทั่วไป 25/169 .

สารละลาย.

จากการใช้ตารางกำลังสอง เราพบว่ารากที่สองของตัวเศษของเศษส่วนเดิมเท่ากับ 5 และรากที่สองของตัวส่วนเท่ากับ 13 แล้ว - เป็นการเสร็จสิ้นการแยกรากของเศษส่วนร่วม 25/169

คำตอบ:

รากของเศษส่วนทศนิยมหรือจำนวนคละจะถูกแยกออกมาหลังจากแทนที่จำนวนรากด้วยเศษส่วนสามัญ

ตัวอย่าง.

หารากที่สามของเศษส่วนทศนิยม 474.552

สารละลาย.

ลองจินตนาการถึงต้นฉบับ ทศนิยมเป็นเศษส่วนร่วม: 474.552=474552/1000 แล้ว - ยังคงต้องแยกรากที่สามที่อยู่ในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนผลลัพธ์ เพราะ 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 และ 1 000 = 10 3 จากนั้น และ - สิ่งที่เหลืออยู่คือการคำนวณให้เสร็จสิ้น .

คำตอบ:

.

การหารากของจำนวนลบ

การแยกรากออกจากจำนวนลบก็คุ้มค่าที่จะอยู่แยกกัน เมื่อศึกษาราก เราบอกว่าเมื่อเลขชี้กำลังรากเป็นเลขคี่ ก็อาจมีเลขลบอยู่ใต้เครื่องหมายรากได้ เราให้ความหมายเหล่านี้แก่รายการเหล่านี้: สำหรับจำนวนลบ −a และเลขชี้กำลังคี่ของราก 2 n−1 - ความเท่าเทียมกันนี้ให้ กฎสำหรับการแยกรากคี่ออกจากจำนวนลบ: หากต้องการแยกรากของจำนวนลบ คุณต้องหารากของจำนวนบวกตรงข้าม และใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าผลลัพธ์

ลองดูวิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

ค้นหาค่าของราก

สารละลาย.

มาแปลงนิพจน์ดั้งเดิมเพื่อให้มีจำนวนบวกอยู่ใต้เครื่องหมายรูท: - ตอนนี้แทนที่จำนวนคละด้วยเศษส่วนสามัญ: - เราใช้กฎในการแยกรากของเศษส่วนสามัญ: - ยังคงต้องคำนวณรากในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนผลลัพธ์: .

นี่เป็นบทสรุปสั้นๆ ของวิธีแก้ปัญหา: .

คำตอบ:

.

การกำหนดค่ารูตในระดับบิต

ในกรณีทั่วไป ใต้รากจะมีตัวเลขจำนวนหนึ่งซึ่งไม่สามารถแสดงเป็นกำลังที่ n ของจำนวนใดๆ ได้ด้วยการใช้เทคนิคที่กล่าวถึงข้างต้น แต่ในกรณีนี้ จำเป็นต้องทราบความหมายของรากที่กำหนด อย่างน้อยก็ขึ้นอยู่กับสัญญาณบางอย่าง ในกรณีนี้หากต้องการแยกรูทคุณสามารถใช้อัลกอริธึมที่ช่วยให้คุณได้รับค่าตัวเลขของตัวเลขที่ต้องการตามลำดับตามลำดับ

ขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมนี้คือการค้นหาว่าบิตที่สำคัญที่สุดของค่ารูตคืออะไร ในการทำเช่นนี้ ตัวเลข 0, 10, 100, ... จะถูกยกกำลัง n ตามลำดับจนกระทั่งถึงช่วงเวลาที่ตัวเลขเกินจำนวนรากที่ได้รับ จากนั้นตัวเลขที่เรายกกำลัง n ในขั้นตอนก่อนหน้าจะระบุตัวเลขที่มีนัยสำคัญที่สุดที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างเช่น พิจารณาขั้นตอนนี้ของอัลกอริทึมเมื่อทำการแตกข้อมูล รากที่สองจากห้า นำตัวเลข 0, 10, 100, ... มายกกำลังสองจนกระทั่งเราได้ตัวเลขที่มากกว่า 5 เรามี 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 ซึ่งหมายความว่าหลักที่สำคัญที่สุดจะเป็นหลักหน่วย ค่าของบิตนี้และค่าที่ต่ำกว่าจะพบได้ในขั้นตอนถัดไปของอัลกอริธึมการแยกรูต

ขั้นตอนต่อไปนี้ทั้งหมดของอัลกอริทึมมีวัตถุประสงค์เพื่อชี้แจงค่าของรูทตามลำดับโดยการค้นหาค่าของบิตถัดไปของค่ารูตที่ต้องการโดยเริ่มจากค่าสูงสุดและเลื่อนไปยังค่าต่ำสุด ตัวอย่างเช่น ค่าของรูตในขั้นตอนแรกกลายเป็น 2 ในขั้นตอนที่สอง – 2.2 ในขั้นตอนที่สาม – 2.23 และต่อ ๆ ไปใน 2.236067977… ให้เราอธิบายว่าจะหาค่าของบิตได้อย่างไร

ตัวเลขจะพบได้โดยการค้นหาผ่านพวกเขา ค่าที่เป็นไปได้ 0, 1, 2, …, 9. ในกรณีนี้ กำลังที่ n ของตัวเลขที่เกี่ยวข้องจะถูกคำนวณแบบขนาน และนำไปเปรียบเทียบกับจำนวนราก หากในบางขั้นตอนค่าของระดับเกินจำนวนรากจะถือว่าพบค่าของตัวเลขที่สอดคล้องกับค่าก่อนหน้าและจะเปลี่ยนไปใช้ขั้นตอนถัดไปของอัลกอริธึมการแยกรูตหากไม่เกิดขึ้น แล้วค่าของหลักนี้คือ 9

ให้เราอธิบายประเด็นเหล่านี้โดยใช้ตัวอย่างเดียวกันในการแยกรากที่สองของห้า

ก่อนอื่นเราจะหาค่าของหลักหน่วย เราจะผ่านค่า 0, 1, 2, ..., 9 โดยคำนวณ 0 2, 1 2, ..., 9 2 ตามลำดับจนกว่าเราจะได้ค่าที่มากกว่าเลขราก 5 สะดวกในการนำเสนอการคำนวณทั้งหมดเหล่านี้ในรูปแบบของตาราง:

ดังนั้นค่าของหลักหน่วยคือ 2 (เนื่องจาก 2 2<5 , а 2 3 >5) มาดูค่าของตำแหน่งในสิบกันดีกว่า. ในกรณีนี้เราจะยกกำลังสองตัวเลข 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 เปรียบเทียบค่าผลลัพธ์กับเลขราก 5:

ตั้งแต่ 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 แล้วค่าของตำแหน่งในสิบคือ 2 คุณสามารถดำเนินการค้นหามูลค่าของตำแหน่งที่ร้อยได้:

นี่คือวิธีที่หาค่าถัดไปของรากของห้าได้ ซึ่งก็คือ 2.23 ดังนั้นคุณจึงสามารถค้นหาค่าต่อไปได้: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

ในการรวมวัสดุเข้าด้วยกัน เราจะวิเคราะห์การแยกรากด้วยความแม่นยำระดับหนึ่งในร้อยโดยใช้อัลกอริธึมที่พิจารณา

ขั้นแรกเรากำหนดตัวเลขที่สำคัญที่สุด ในการทำเช่นนี้ เรายกกำลังสามของตัวเลข 0, 10, 100 เป็นต้น จนเราได้จำนวนที่มากกว่า 2,151,186 เรามี 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 ดังนั้นเลขนัยสำคัญที่สุดคือหลักสิบ

มากำหนดมูลค่าของมันกัน

ตั้งแต่ 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186 แล้วค่าหลักสิบคือ 1 มาดูหน่วยกันต่อ

ดังนั้น ค่าของหลักหน่วยคือ 2 เรามาต่อกันที่สิบกันดีกว่า

เนื่องจากแม้แต่ 12.9 3 ก็น้อยกว่าเลขราก 2 151.186 ดังนั้นค่าของตำแหน่งที่สิบคือ 9 ยังคงดำเนินการขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริทึมโดยจะให้ค่าของรูทแก่เราด้วยความแม่นยำที่ต้องการ

ในขั้นตอนนี้ ค่าของรากจะพบว่าแม่นยำถึงหนึ่งในร้อย: .

โดยสรุปของบทความนี้ผมอยากจะบอกว่ามีวิธีอื่นอีกมากมายในการแยกราก แต่สำหรับงานส่วนใหญ่ งานที่เราศึกษาข้างต้นก็เพียงพอแล้ว

อ้างอิง.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 สถาบันการศึกษา
• โคลโมโกรอฟ เอ.เอ็น., อับรามอฟ เอ.เอ็ม., ดุดนิตซิน ยู.พี. และอื่น ๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10 - 11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค)

นักเรียนมักจะถามเสมอว่า “ทำไมฉันไม่สามารถใช้เครื่องคิดเลขในการสอบคณิตศาสตร์ได้? วิธีแยกรากที่สองของตัวเลขโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข? ลองตอบคำถามนี้กัน

จะแยกรากที่สองของตัวเลขโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลขได้อย่างไร?

การกระทำ รากที่สองผกผันกับการกระทำของกำลังสอง

√81= 9 9 2 =81

หากคุณหารากที่สองของจำนวนบวกแล้วยกกำลังสองผลลัพธ์ คุณจะได้จำนวนเดียวกัน

จากจำนวนเล็กๆ ที่เป็นกำลังสองของจำนวนธรรมชาติ เช่น 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 สามารถแยกรากที่สองออกมาทางวาจาได้ โดยปกติที่โรงเรียนพวกเขาจะสอนตารางกำลังสองของจำนวนธรรมชาติมากถึงยี่สิบ เมื่อรู้ตารางนี้แล้ว มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแยกรากที่สองออกจากตัวเลข 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 จากตัวเลขที่มากกว่า 400 คุณสามารถแยกมันออกมาได้โดยใช้วิธีการเลือกโดยใช้เคล็ดลับบางประการ ลองมาดูวิธีนี้พร้อมตัวอย่าง

ตัวอย่าง: แยกรากของหมายเลข 676.

เราสังเกตว่า 20 2 = 400 และ 30 2 = 900 ซึ่งหมายถึง 20< √676 < 900.

กำลังสองที่แน่นอนของจำนวนธรรมชาติลงท้ายด้วย 0; 1; 4; 5; 6; 9.
หมายเลข 6 ถูกกำหนดโดย 4 2 และ 6 2
ซึ่งหมายความว่าหากรากถูกนำมาจาก 676 จะเป็น 24 หรือ 26

ยังคงต้องตรวจสอบ: 24 2 = 576, 26 2 = 676

คำตอบ: √676 = 26 .

มากกว่า ตัวอย่าง: √6889 .

ตั้งแต่ 80 2 = 6400 และ 90 2 = 8100 จากนั้น 80< √6889 < 90.
หมายเลข 9 กำหนดโดย 3 2 และ 7 2 จากนั้น √6889 จะเท่ากับ 83 หรือ 87

ตรวจสอบกัน: 83 2 = 6889

คำตอบ: √6889 = 83 .

หากคุณพบว่าการแก้ปัญหาโดยใช้วิธีการเลือกนั้นทำได้ยาก คุณสามารถแยกตัวประกอบนิพจน์รากได้

ตัวอย่างเช่น, หา √893025.

ลองแยกตัวประกอบตัวเลข 893025 จำไว้ว่าคุณทำตอนเกรด 6

เราได้รับ: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945

มากกว่า ตัวอย่าง: √20736- ลองแยกตัวประกอบจำนวน 20736:

เราได้ √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144

แน่นอนว่าการแยกตัวประกอบต้องอาศัยความรู้เกี่ยวกับเครื่องหมายหารลงตัวและทักษะการแยกตัวประกอบ

และสุดท้ายก็มี กฎการแยกรากที่สอง- มาทำความคุ้นเคยกับกฎนี้พร้อมตัวอย่าง

คำนวณ √279841.

หากต้องการแยกรากของจำนวนเต็มหลายหลัก ให้หารจากขวาไปซ้ายเป็นหน้าที่มี 2 หลัก (ขอบซ้ายสุดอาจมีหนึ่งหลัก) เราเขียนแบบนี้: 27'98'41

ในการหาเลขตัวแรกของราก (5) เราจะหารากที่สองของกำลังสองสมบูรณ์ที่ใหญ่ที่สุดที่มีอยู่ในหน้าแรกทางด้านซ้าย (27)
จากนั้นกำลังสองของหลักแรกของราก (25) จะถูกลบออกจากหน้าแรกและหน้าถัดไป (98) จะถูกบวกเข้ากับผลต่าง (ลบออก)
ทางด้านซ้ายของผลลัพธ์ 298 เขียนเลขสองหลักของรูต (10) หารด้วยจำนวนสิบทั้งหมดของตัวเลขที่ได้รับก่อนหน้านี้ (29/2 data 2) ทดสอบผลหาร (102 ∙2 = 204 ไม่ควรเกิน 298) และเขียน (2) หลังหลักแรกของราก
จากนั้นผลหารผลลัพธ์ 204 จะถูกลบออกจาก 298 และขอบถัดไป (41) จะถูกบวกเข้ากับผลต่าง (94)
ทางด้านซ้ายของผลลัพธ์หมายเลข 9441 เขียนผลคูณสองเท่าของหลักราก (52 ∙2 = 104) หารจำนวนสิบทั้งหมดของตัวเลข 9441 (944/104 กลับไปยัง 9) ด้วยผลิตภัณฑ์นี้ ทดสอบ ผลหาร (1,049 ∙9 = 9441) ควรเป็น 9441 และจดไว้ (9) หลังหลักที่สองของราก

เราได้รับคำตอบ √279841 = 529

สกัดในลักษณะเดียวกัน รากของเศษส่วนทศนิยม- เฉพาะจำนวนรากเท่านั้นที่ต้องแบ่งออกเป็นหน้าเพื่อให้ลูกน้ำอยู่ระหว่างหน้า

ตัวอย่าง. ค้นหาค่า √0.00956484

เพียงจำไว้ว่าหากเศษส่วนทศนิยมมีจำนวนตำแหน่งทศนิยมเป็นคี่ ก็จะไม่สามารถถอดรากที่สองจากเศษส่วนนั้นได้

ตอนนี้คุณได้เห็นสามวิธีในการแยกรากแล้ว เลือกอันที่เหมาะกับคุณที่สุดแล้วฝึกฝน หากต้องการเรียนรู้ที่จะแก้ปัญหา คุณต้องแก้ปัญหาเหล่านั้น และหากคุณมีคำถามใดๆ ลงทะเบียนบทเรียนของฉันได้เลย

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม

พื้นที่ที่ดินแปลงสี่เหลี่ยมคือ 81 dm² ค้นหาด้านของเขา สมมติว่าความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับ เอ็กซ์เดซิเมตร จากนั้นพื้นที่ของแปลงคือ เอ็กซ์² ตารางเดซิเมตร เนื่องจากตามเงื่อนไข พื้นที่นี้เท่ากับ 81 dm² ดังนั้น เอ็กซ์² = 81 ความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นจำนวนบวก จำนวนบวกที่มีกำลังสองคือ 81 คือหมายเลข 9 เมื่อแก้ปัญหาจำเป็นต้องค้นหาตัวเลข x ซึ่งมีกำลังสองคือ 81 เช่น แก้สมการ เอ็กซ์² = 81 สมการนี้มีสองราก: x 1 = 9 และ x 2 = - 9 เนื่องจาก 9² = 81 และ (- 9)² = 81 ทั้งเลข 9 และ - 9 เรียกว่ารากที่สองของ 81

โปรดทราบว่ารากที่สองตัวใดตัวหนึ่ง เอ็กซ์= 9 เป็นจำนวนบวก มันถูกเรียกว่ารากที่สองทางคณิตศาสตร์ของ 81 และเขียนแทน √81 ดังนั้น √81 = 9

รากที่สองทางคณิตศาสตร์ของตัวเลข กเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งมีกำลังสองเท่ากับ ก.

ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 6 และ - 6 เป็นรากที่สองของตัวเลข 36 อย่างไรก็ตาม ตัวเลข 6 เป็นรากที่สองทางคณิตศาสตร์ของ 36 เนื่องจาก 6 เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ และ 6² = 36 ตัวเลข - 6 ไม่ใช่ รากเลขคณิต

รากที่สองทางคณิตศาสตร์ของตัวเลข กแสดงดังต่อไปนี้: √ ก.

เครื่องหมายนี้เรียกว่าเครื่องหมายรากที่สองทางคณิตศาสตร์ ก- เรียกว่า สำนวนที่รุนแรง. นิพจน์ √ กอ่าน เช่นนี้: รากที่สองทางคณิตศาสตร์ของตัวเลข ก.ตัวอย่างเช่น √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7 ในกรณีที่ชัดเจนว่าเรากำลังพูดถึงรากเลขคณิต พวกเขาพูดสั้น ๆ ว่า: “รากที่สองของ ก«.

การค้นหารากที่สองของตัวเลขเรียกว่าการรูทกำลังสอง การกระทำนี้จะตรงกันข้ามกับการยกกำลังสอง

คุณสามารถยกกำลังสองจำนวนใดก็ได้ แต่คุณไม่สามารถแยกรากที่สองออกจากจำนวนใดๆ ได้ ตัวอย่างเช่นเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากที่สองของตัวเลข - 4 หากมีรากดังกล่าวอยู่แล้วให้แสดงด้วยตัวอักษร เอ็กซ์เราจะได้ค่าเท่ากันที่ไม่ถูกต้อง x² = - 4 เนื่องจากมีจำนวนที่ไม่เป็นลบทางด้านซ้ายและจำนวนลบทางด้านขวา

นิพจน์ √ กมันสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อเท่านั้น ≥ 0. คำจำกัดความของรากที่สองสามารถเขียนสั้นๆ ได้ดังนี้: √ ≥ 0, (√ก)² = ก- ความเท่าเทียมกัน (√ ก)² = กถูกต้องสำหรับ ≥ 0. ดังนั้นเพื่อให้แน่ใจว่ารากที่สองของจำนวนที่ไม่เป็นลบ กเท่ากับ ขนั่นคือในความเป็นจริงแล้ว √ ก =ขคุณต้องตรวจสอบว่าตรงตามเงื่อนไขสองประการต่อไปนี้: ข ≥ 0, ข² = ก.

รากที่สองของเศษส่วน

มาคำนวณกัน โปรดทราบว่า √25 = 5, √36 = 6 และมาตรวจสอบว่ามีความเท่าเทียมกันหรือไม่

เพราะ และ แล้วความเท่าเทียมกันก็เป็นจริง ดังนั้น, .

ทฤษฎีบท:ถ้า ก≥ 0 และ ข> 0 นั่นคือรากของเศษส่วนเท่ากับรากของตัวเศษหารด้วยรากของตัวส่วน จำเป็นต้องพิสูจน์ว่า: และ .

ตั้งแต่ √ ก≥0 และ √ ข> 0 จากนั้น

เรื่องคุณสมบัติของการยกเศษส่วนเป็นกำลังและนิยามของรากที่สอง ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว ลองดูตัวอย่างบางส่วน

คำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว .

ตัวอย่างที่สอง: พิสูจน์สิ่งนั้น , ถ้า ก ≤ 0, ข < 0. .

อีกตัวอย่างหนึ่ง: คำนวณ .

.

การแปลงรากที่สอง

การลบตัวคูณออกจากใต้เครื่องหมายรูท ให้การแสดงออกได้รับ ถ้า ก≥ 0 และ ข≥ 0 จากนั้นใช้ทฤษฎีบทรากของผลิตภัณฑ์ที่เราสามารถเขียนได้:

การแปลงนี้เรียกว่าการลบตัวประกอบออกจากเครื่องหมายรูท ลองดูตัวอย่าง;

คำนวณได้ที่ เอ็กซ์= 2. การทดแทนโดยตรง เอ็กซ์= 2 ในนิพจน์รากทำให้เกิดการคำนวณที่ซับซ้อน การคำนวณเหล่านี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้หากคุณลบตัวประกอบออกจากเครื่องหมายรากก่อน: เมื่อแทนค่า x = 2 เราจะได้:

ดังนั้น เมื่อลบตัวประกอบออกจากใต้เครื่องหมายราก นิพจน์รากจะแสดงในรูปแบบของผลคูณโดยที่ตัวประกอบตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปเป็นกำลังสองของจำนวนที่ไม่เป็นลบ จากนั้นใช้ทฤษฎีบทรากผลคูณแล้วหารากของแต่ละตัวประกอบ ลองพิจารณาตัวอย่าง: ลดความซับซ้อนของนิพจน์ A = √8 + √18 - 4√2 โดยการนำตัวประกอบในสองเทอมแรกออกจากใต้เครื่องหมายราก เราจะได้: เราเน้นย้ำถึงความเท่าเทียมกัน ใช้ได้เฉพาะเมื่อเท่านั้น ก≥ 0 และ ข≥ 0. ถ้า ก < 0, то .

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งคำขอบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวม ข้อมูลต่างๆรวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบได้ ข้อเสนอที่ไม่ซ้ำใครโปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และ การศึกษาต่างๆเพื่อปรับปรุงบริการที่เรามอบให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเรา
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย กระบวนการยุติธรรม การดำเนินคดี และ/หรือ ตามคำขอสาธารณะ หรือการร้องขอจาก หน่วยงานภาครัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงด้านการบริหาร ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

คณิตศาสตร์เกิดขึ้นเมื่อมนุษย์ตระหนักถึงตนเองและเริ่มวางตำแหน่งตนเองเป็นหน่วยอิสระของโลก ความปรารถนาที่จะวัด เปรียบเทียบ นับสิ่งที่อยู่รอบตัวคุณ - นี่คือสิ่งที่อยู่เบื้องหลัง วิทยาศาสตร์พื้นฐานวันของเรา ในตอนแรกสิ่งเหล่านี้เป็นอนุภาคของคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาซึ่งทำให้สามารถเชื่อมโยงตัวเลขกับการแสดงออกทางกายภาพได้ต่อมาข้อสรุปเริ่มถูกนำเสนอในทางทฤษฎีเท่านั้น (เนื่องจากความเป็นนามธรรม) แต่หลังจากนั้นไม่นานตามที่นักวิทยาศาสตร์คนหนึ่งกล่าวไว้ " คณิตศาสตร์ถึงจุดสูงสุดของความซับซ้อนเมื่อมันหายไปจากตัวเลขทั้งหมด” แนวคิดของ "รากที่สอง" ปรากฏขึ้นในเวลาที่ข้อมูลเชิงประจักษ์สามารถรองรับได้อย่างง่ายดาย ซึ่งอยู่นอกเหนือระนาบของการคำนวณ

ที่ซึ่งทุกอย่างเริ่มต้นขึ้น

การกล่าวถึงรากครั้งแรกซึ่งปัจจุบันแสดงเป็น √ ได้รับการบันทึกไว้ในงานของนักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนซึ่งเป็นผู้วางรากฐานสำหรับเลขคณิตสมัยใหม่ แน่นอนว่าพวกเขามีความคล้ายคลึงเล็กน้อยกับรูปแบบปัจจุบัน - นักวิทยาศาสตร์ในช่วงหลายปีที่ผ่านมาใช้แท็บเล็ตขนาดใหญ่เป็นครั้งแรก แต่ในสหัสวรรษที่สองก่อนคริสต์ศักราช จ. พวกเขาได้รับสูตรการคำนวณโดยประมาณที่แสดงวิธีแยกรากที่สอง ภาพด้านล่างแสดงหินที่นักวิทยาศาสตร์ชาวบาบิโลนแกะสลักกระบวนการอนุมาน √2 และปรากฏว่าถูกต้องมากจนพบความคลาดเคลื่อนในคำตอบในทศนิยมตำแหน่งที่สิบเท่านั้น

นอกจากนี้ รากยังถูกใช้หากจำเป็นต้องค้นหาด้านของสามเหลี่ยม โดยที่รู้อีกสองอัน เมื่อแก้สมการกำลังสอง ไม่มีทางหนีจากการแตกรากได้

นอกเหนือจากงานของชาวบาบิโลนแล้ว วัตถุประสงค์ของบทความนี้ยังได้รับการศึกษาในงานจีนเรื่อง "คณิตศาสตร์ในหนังสือเก้าเล่ม" และชาวกรีกโบราณได้ข้อสรุปว่าจำนวนใดก็ตามที่ไม่สามารถแยกรากออกมาได้โดยไม่มีเศษเหลือให้ผลลัพธ์ที่ไม่มีเหตุผล .

ต้นทาง เทอมนี้เกี่ยวข้องกับการแทนตัวเลขในภาษาอาหรับ: นักวิทยาศาสตร์โบราณเชื่อว่ากำลังสองของจำนวนที่ต้องการนั้นเติบโตจากรากเหมือนพืช ในภาษาละติน คำนี้ฟังดูเหมือน Radix (คุณสามารถติดตามรูปแบบได้ - ทุกสิ่งที่มีความหมายว่า "ราก" นั้นเป็นพยัญชนะ ไม่ว่าจะเป็นหัวไชเท้าหรือหัวไชเท้าอักเสบ)

นักวิทยาศาสตร์รุ่นต่อๆ มาหยิบยกแนวคิดนี้ขึ้นมา โดยกำหนดให้เป็น Rx ตัวอย่างเช่น ในศตวรรษที่ 15 เพื่อระบุว่ามีการใช้รากที่สองของจำนวนใดๆ a พวกเขาจึงเขียน R 2 a นิสัย มุมมองที่ทันสมัย"ติ๊ก" √ ปรากฏเฉพาะในศตวรรษที่ 17 ต้องขอบคุณ Rene Descartes

วันของเรา

ในแง่คณิตศาสตร์ รากที่สองของตัวเลข y คือตัวเลข z ซึ่งกำลังสองเท่ากับ y กล่าวอีกนัยหนึ่ง z 2 =y เทียบเท่ากับ √y=z อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความนี้เกี่ยวข้องกับรากเลขคณิตเท่านั้น เนื่องจากมีความหมายเป็นนัยถึงค่าที่ไม่เป็นลบของนิพจน์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง √y=z โดยที่ z มากกว่าหรือเท่ากับ 0

โดยทั่วไป ซึ่งใช้กับการหารากพีชคณิต ค่าของนิพจน์อาจเป็นค่าบวกหรือลบก็ได้ ดังนั้น เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่า z 2 =y และ (-z) 2 =y เรามี: √y=±z หรือ √y=|z|

เนื่องจากความจริงที่ว่าความรักในคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นเมื่อมีการพัฒนาทางวิทยาศาสตร์เท่านั้นจึงมีอาการแสดงความรักต่อคณิตศาสตร์หลายอย่างที่ไม่ได้แสดงออกด้วยการคำนวณแบบแห้ง ตัวอย่างเช่น นอกเหนือจากปรากฏการณ์ที่น่าสนใจเช่นวันพายแล้ว ก็มีการเฉลิมฉลองวันหยุดรากที่สองด้วย มีการเฉลิมฉลองเก้าครั้งทุกๆ ร้อยปี และถูกกำหนดตามหลักการต่อไปนี้ ตัวเลขที่กำหนดวันและเดือนตามลำดับจะต้องเป็นรากที่สองของปี ดังนั้นครั้งต่อไปที่เราจะเฉลิมฉลองวันหยุดนี้คือวันที่ 4 เมษายน 2016

คุณสมบัติของรากที่สองบนสนาม R

นิพจน์ทางคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมดมีพื้นฐานทางเรขาคณิต และ √y ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่ y ก็ไม่สามารถรอดพ้นชะตากรรมนี้ได้

จะหารากของตัวเลขได้อย่างไร?

มีอัลกอริธึมการคำนวณหลายอย่าง วิธีที่ง่ายที่สุด แต่ในขณะเดียวกันก็ค่อนข้างยุ่งยากคือการคำนวณทางคณิตศาสตร์ตามปกติซึ่งมีดังต่อไปนี้:

1) จากจำนวนที่เราต้องการรูท เลขคี่จะถูกลบออกตามลำดับ - จนกว่าส่วนที่เหลือที่เอาต์พุตจะน้อยกว่าจำนวนที่ถูกลบออกหรือแม้กระทั่งเท่ากับศูนย์ จำนวนการเคลื่อนไหวจะกลายเป็นจำนวนที่ต้องการในที่สุด เช่น คำนวณรากที่สองของ 25:

เลขคี่ถัดไปคือ 11 ส่วนที่เหลือคือ 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

ในกรณีเช่นนี้ จะมีการขยายซีรีส์ Taylor:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n โดยที่ n รับค่าตั้งแต่ 0 ถึง

+∞ และ |y|≤1

การแสดงกราฟของฟังก์ชัน z=√y

พิจารณาฟังก์ชันเบื้องต้น z=√y บนสนามของจำนวนจริง R โดยที่ y มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ กำหนดการมีลักษณะดังนี้:

เส้นโค้งขยายจากจุดกำเนิดและจำเป็นต้องตัดกันจุด (1; 1)

คุณสมบัติของฟังก์ชัน z=√y บนสนามของจำนวนจริง R

1. โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่พิจารณาคือช่วงจากศูนย์ถึงบวกอนันต์ (รวมศูนย์ด้วย)

2. ช่วงของค่าของฟังก์ชันที่พิจารณาคือช่วงจากศูนย์ถึงบวกอนันต์ (รวมศูนย์อีกครั้ง)

3. ฟังก์ชันรับค่าต่ำสุด (0) ที่จุด (0; 0) เท่านั้น ไม่มีมูลค่าสูงสุด

4. ฟังก์ชัน z=√y ไม่เป็นคู่หรือคี่

5. ฟังก์ชัน z=√y ไม่ใช่คาบ

6. มีจุดตัดกันเพียงจุดเดียวของกราฟของฟังก์ชัน z=√y ที่มีแกนพิกัด: (0; 0)

7. จุดตัดของกราฟของฟังก์ชัน z=√y จะเป็นศูนย์ของฟังก์ชันนี้ด้วย

8. ฟังก์ชัน z=√y มีการเติบโตอย่างต่อเนื่อง

9. ฟังก์ชัน z=√y รับเฉพาะค่าบวก ดังนั้นกราฟจึงครองมุมพิกัดแรก

ตัวเลือกสำหรับการแสดงฟังก์ชัน z=√y

ในทางคณิตศาสตร์ เพื่ออำนวยความสะดวกในการคำนวณนิพจน์ที่ซับซ้อน บางครั้งจึงใช้รูปแบบกำลังของการเขียนรากที่สอง: √y=y 1/2 ตัวเลือกนี้สะดวก เช่น ในการเพิ่มฟังก์ชันเป็นกำลัง: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 วิธีนี้ยังเป็นตัวแทนที่ดีในการหาอนุพันธ์ด้วยการอินทิเกรต เนื่องจากวิธีนี้ทำให้รากที่สองจึงแสดงเป็นฟังก์ชันยกกำลังธรรมดาได้

และในการเขียนโปรแกรม การแทนที่สัญลักษณ์ √ คือการรวมกันของตัวอักษร sqrt

เป็นที่น่าสังเกตว่าในพื้นที่นี้รากที่สองเป็นที่ต้องการอย่างมากเนื่องจากเป็นส่วนหนึ่งของสูตรเรขาคณิตส่วนใหญ่ที่จำเป็นสำหรับการคำนวณ อัลกอริธึมการนับนั้นค่อนข้างซับซ้อนและขึ้นอยู่กับการเรียกซ้ำ (ฟังก์ชันที่เรียกตัวเอง)

รากที่สองในสนามเชิงซ้อน C

โดยทั่วไปแล้ว มันเป็นหัวข้อของบทความนี้ที่กระตุ้นการค้นพบสนามของจำนวนเชิงซ้อน C เนื่องจากนักคณิตศาสตร์ถูกหลอกหลอนด้วยคำถามของการได้รากคู่ของจำนวนลบ นี่คือวิธีที่หน่วยจินตภาพที่ฉันปรากฏ ซึ่งมีคุณสมบัติที่น่าสนใจมาก นั่นคือกำลังสองของมันคือ -1 ด้วยเหตุนี้ สมการกำลังสองจึงถูกแก้ไขแม้จะมีการแบ่งแยกเชิงลบก็ตาม ใน C คุณสมบัติเดียวกันนี้เกี่ยวข้องกับรากที่สองเช่นเดียวกับใน R สิ่งเดียวคือข้อจำกัดเกี่ยวกับนิพจน์รากจะถูกลบออก