ภาพวาดจัตุรมุขสี่เหลี่ยม จัตุรมุขปกติ (ปิรามิด) การคำนวณปริมาตรของจัตุรมุขหากทราบพิกัดของจุดยอด

ข้อความถอดความของบทเรียน:

สวัสดีตอนบ่าย เราศึกษาหัวข้อต่อไป: “ความขนานของเส้นและระนาบ”

ฉันคิดว่าเป็นที่ชัดเจนแล้วว่าวันนี้เราจะพูดถึงรูปทรงหลายเหลี่ยม - พื้นผิวของตัวเรขาคณิตที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยม

คือเกี่ยวกับจัตุรมุข

เราจะศึกษารูปทรงหลายเหลี่ยมตามแผน:

1. คำจำกัดความของจัตุรมุข

2. องค์ประกอบของจัตุรมุข

3. การพัฒนาจัตุรมุข

4.ภาพบนเครื่องบิน

1. สร้างสามเหลี่ยม ABC

2. จุด D ไม่นอนอยู่ในระนาบของสามเหลี่ยมนี้

3. เชื่อมต่อจุด D กับส่วนต่างๆ กับจุดยอดของสามเหลี่ยม ABC เราได้สามเหลี่ยม DAB, DBC และ DCA

คำจำกัดความ: พื้นผิวที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมสี่รูป ABC, DAB, DBC และ DCA เรียกว่าจัตุรมุข

ป้ายกำกับ: กสทช.

องค์ประกอบของจัตุรมุข

สามเหลี่ยมที่ประกอบเป็นจัตุรมุขเรียกว่าใบหน้า ด้านข้างเป็นขอบ และจุดยอดเรียกว่าจุดยอดของจัตุรมุข

จัตุรมุขมีใบหน้า ขอบ และจุดยอดกี่ด้าน?

จัตุรมุขมีสี่หน้า หกขอบ และสี่จุดยอด

ขอบสองด้านของจัตุรมุขที่ไม่มีจุดยอดร่วมเรียกว่าตรงกันข้าม

ในรูป ขอบ AD และ BC, BD และ AC, CD และ AB อยู่ตรงข้ามกัน

บางครั้งใบหน้าหนึ่งของจัตุรมุขก็ถูกแยกออกและเรียกว่าฐานและอีกสามใบหน้าเรียกว่าใบหน้าด้านข้าง

การพัฒนาจัตุรมุข

ในการสร้างจัตุรมุขจากกระดาษคุณจะต้องมีการพัฒนาดังต่อไปนี้:

จะต้องถ่ายโอนไปยังกระดาษหนา ตัดออก พับตามเส้นประแล้วติดกาว

บนเครื่องบินจะมีภาพจัตุรมุข

เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสนูนหรือไม่นูนมีเส้นทแยงมุม ในกรณีนี้ ขอบที่มองไม่เห็นจะแสดงด้วยเส้นประ

ในภาพแรก AC คือขอบที่มองไม่เห็น

ในวันที่สอง - EK, LK และ KF

มาแก้ปัญหาจัตุรมุขทั่วไปหลายประการ:

ค้นหาพื้นที่การพัฒนาของจัตุรมุขปกติที่มีขอบ 5 ซม.

สารละลาย. มาวาดพัฒนาการของจัตุรมุขกันดีกว่า

(การสแกนจัตุรมุขปรากฏบนหน้าจอ)

จัตุรมุขนี้ประกอบด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่าสี่รูป ดังนั้น พื้นที่การพัฒนาของจัตุรมุขปกติจะเท่ากับพื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมดของจัตุรมุขหรือพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติสี่อัน

เราค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติโดยใช้สูตร:

จากนั้นเราจะได้พื้นที่ของจัตุรมุขเท่ากับ:

ให้เราแทนความยาวของขอบ a = 5 ซม. ลงในสูตร

ปรากฎว่า

คำตอบ: พื้นที่พัฒนาของจัตุรมุขปกติ

สร้างส่วนของจัตุรมุขโดยมีระนาบผ่านจุด M, N และ K

a) อันที่จริง ให้เราเชื่อมโยงจุด M และ N (เป็นของ ADC ใบหน้า), จุด M และ K (เป็นของ ADB ใบหน้า), จุด N และ K (ใบหน้า DBC) ภาพตัดขวางของจัตุรมุขคือสามเหลี่ยม MKN

b) เชื่อมต่อจุด M และ K (เป็นของหน้า ADB), จุด K และ N (เป็นของหน้า DCB) จากนั้นต่อเส้น MK และ AB จนกระทั่งตัดกันและวางจุด P เส้น PN และจุด T อยู่ในระนาบเดียวกัน ABC และตอนนี้เราสามารถสร้างจุดตัดของเส้นตรง MK กับแต่ละหน้าได้แล้ว ผลลัพธ์ที่ได้คือ MKNT รูปสี่เหลี่ยมซึ่งเป็นส่วนที่ต้องการ

|
จัตุรมุข, สูตรจัตุรมุข
จัตุรมุข(กรีกโบราณ τετρά-εδρον - จัตุรมุขมาจากภาษากรีกโบราณ τέσσᾰρες, τέσσερες, τέττᾰρες, τέττορες, τέτορες - "สี่" + กรีกโบราณ ἕδρα - "ที่นั่ง, ฐาน") เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุด ใบหน้ามีรูปสามเหลี่ยมสี่อัน จัตุรมุขมี 4 หน้า 4 จุดยอด และ 6 ขอบ จัตุรมุขที่ใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเรียกว่าปกติ จัตุรมุขปกติเป็นหนึ่งในห้ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

  • 1 คุณสมบัติของจัตุรมุข
  • จัตุรมุข 2 ประเภท
  • 3 ปริมาตรของจัตุรมุข
  • 4 จัตุรมุขในพิภพเล็ก ๆ
  • 5 จัตุรมุขในธรรมชาติที่มีชีวิต
  • 6 จัตุรมุขในเทคโนโลยี
  • 7 หมายเหตุ
  • 8 ดูเพิ่มเติม

คุณสมบัติของจัตุรมุข

  • ระนาบขนานที่ผ่านคู่ของขอบที่ตัดกันของจัตุรมุขจะกำหนดเส้นขนานที่อธิบายไว้รอบๆ จัตุรมุข
  • ระนาบที่ผ่านจุดกึ่งกลางของขอบสองส่วนที่ตัดกันของจัตุรมุขจะแบ่งออกเป็นสองส่วนโดยมีปริมาตรเท่ากัน: 216-217

ประเภทของจัตุรมุข

นอกจากจัตุรมุขปกติแล้ว จัตุรมุขชนิดพิเศษต่อไปนี้ยังมีความโดดเด่นอีกด้วย

  • จัตุรมุขด้านเท่าซึ่งใบหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน
  • จัตุรมุขออร์โธเซนตริกซึ่งมีความสูงทั้งหมดจากจุดยอดไปยังด้านตรงข้ามมาตัดกันที่จุดหนึ่ง
  • จัตุรมุขสี่เหลี่ยมซึ่งขอบทั้งหมดที่อยู่ติดกับจุดยอดด้านใดด้านหนึ่งตั้งฉากกัน
  • จัตุรมุขเฟรมคือจัตุรมุขที่ตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:
    • มีทรงกลมสัมผัสทุกขอบ
    • ผลรวมของความยาวของขอบตัดเท่ากัน
    • ผลรวมของมุมไดฮีดรัลที่ขอบด้านตรงข้ามมีค่าเท่ากัน
    • วงกลมที่จารึกไว้ในใบหน้าสัมผัสกันเป็นคู่
    • มีการอธิบายรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนทั้งหมดที่เกิดจากการพัฒนาจัตุรมุข
    • ตั้งฉากกับใบหน้าจากศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในนั้นตัดกันที่จุดหนึ่ง
  • จัตุรมุขที่มีสัดส่วนเท่ากันซึ่งมีส่วนสูงเท่ากัน
  • จัตุรมุขแบบศูนย์กลางซึ่งส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของจัตุรมุขกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้บนด้านตรงข้ามจะตัดกันที่จุดหนึ่ง

ปริมาตรของจัตุรมุข

ปริมาตรของจัตุรมุข (คำนึงถึงเครื่องหมาย) ซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่จุดต่างๆ เท่ากับ:

หรือบริเวณของใบหน้าใด ๆ อยู่ที่ไหน และความสูงลดลงบนใบหน้านี้หรือไม่

ปริมาตรของจัตุรมุขแสดงผ่านความยาวของขอบโดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์ Cayley-Menger:

เตตราเฮดราในพิภพเล็ก ๆ

  • จัตุรมุขปกตินั้นเกิดจากการผสมพันธุ์ sp3 ของออร์บิทัลอะตอม (แกนของพวกมันถูกส่งไปยังจุดยอดของจัตุรมุขปกติและนิวเคลียสของอะตอมกลางตั้งอยู่ในศูนย์กลางของทรงกลมที่อธิบายไว้ของจัตุรมุขปกติ) ดังนั้น โมเลกุลจำนวนมากใน ซึ่งการผสมพันธุ์ของอะตอมกลางดังกล่าวเกิดขึ้นมีลักษณะของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้
  • โมเลกุลมีเทน CH4
  • แอมโมเนียมไอออน NH4+
  • ซัลเฟตไอออน SO42-, ฟอสเฟตไอออน PO43-, เปอร์คลอเรตไอออน ClO4- และไอออนอื่นๆ อีกมากมาย
  • Diamond C เป็นจัตุรมุขที่มีขอบเท่ากับ 2.5220 อังสตรอม
  • ฟลูออไรต์ CaF2 จัตุรมุขที่มีขอบเท่ากับ 3,8626 อังสตรอม
  • สฟาเลอไรต์, ZnS, จัตุรมุขที่มีขอบเท่ากับ 3.823 อังสตรอม
  • ไอออนเชิงซ้อน -, 2-, 2-, 2+
  • ซิลิเกตซึ่งมีโครงสร้างอยู่บนพื้นฐานของจัตุรมุขซิลิกอนออกซิเจน 4-

จัตุรมุขในธรรมชาติ

วอลนัทจัตุรมุข

ผลไม้บางชนิดซึ่งมีสี่ผลในมือข้างหนึ่งจะอยู่ที่จุดยอดของจัตุรมุขที่ใกล้เคียงกับปกติ การออกแบบนี้เกิดจากการที่จุดศูนย์กลางของลูกบอลสี่ลูกที่เหมือนกันซึ่งสัมผัสกันนั้นอยู่ที่จุดยอดของจัตุรมุขปกติ ดังนั้นผลไม้ที่มีลักษณะคล้ายลูกบอลจึงเกิดการจัดเรียงที่คล้ายคลึงกัน ตัวอย่างเช่นวอลนัทสามารถจัดเรียงได้ด้วยวิธีนี้

จัตุรมุขในเทคโนโลยี

  • จัตุรมุขสร้างโครงสร้างที่แข็งแกร่งและกำหนดแบบคงที่ได้ จัตุรมุขที่ทำจากแท่งมักใช้เป็นพื้นฐานสำหรับโครงสร้างรับน้ำหนักเชิงพื้นที่ของช่วงอาคาร พื้น คาน โครงถัก สะพาน ฯลฯ แท่งรับน้ำหนักตามยาวเท่านั้น
  • จัตุรมุขสี่เหลี่ยมถูกนำมาใช้ในทัศนศาสตร์ หากผิวหน้าที่ทำมุมฉากถูกเคลือบด้วยสารสะท้อนแสง หรือจัตุรมุขทั้งหมดทำจากวัสดุที่มีการหักเหของแสงสูงเพื่อสร้างเอฟเฟกต์ของการสะท้อนภายในทั้งหมด แสงที่ส่องไปที่พื้นผิวตรงข้ามกับจุดยอดที่ทำมุมฉากจะสะท้อนใน ทิศทางเดียวกับที่มันมา คุณสมบัตินี้ใช้เพื่อสร้างตัวสะท้อนแสงมุมและตัวสะท้อนแสง
  • กราฟทริกเกอร์ควอเทอร์นารีคือจัตุรมุข

หมายเหตุ

  1. พจนานุกรมกรีก-รัสเซียโบราณของดโวเรตสกี “τετρά-εδρον”
  2. เซลิวานอฟ ดี.เอฟ. เรขาคณิต // พจนานุกรมสารานุกรมของ Brockhaus และ Efron: 86 เล่ม (82 เล่มและเพิ่มเติม 4 เล่ม) - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก พ.ศ. 2433-2450
  3. Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. พีชคณิตเวกเตอร์ในตัวอย่างนี้และปัญหา - ม.: มัธยมปลาย, 2528. - 232 น.
  4. V. E. MATIZEN Isohedral และเฟรมจัตุรมุข “Kvant” หมายเลข 7, 1983
  5. http://knol.google.com/k/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%B3%D0%B5%D1%80#view ทริกเกอร์

ดูเพิ่มเติม

  • Simplex - จัตุรมุข n มิติ

จัตุรมุข, จัตุรมุข, จัตุรมุข, มุมมองด้านข้างจัตุรมุข, มุมมองด้านข้างจัตุรมุข, มุมมองด้านข้างจัตุรมุข, จัตุรมุข gezh yuu ve, จัตุรมุข gezh yuu ve, จัตุรมุข gezh yuu ve, จัตุรมุข durs, จัตุรมุข durs, จัตุรมุข durs, เฮดรอนจากกระดาษ จัตุรมุขจากกระดาษ จัตุรมุขกระดาษ, รูปภาพจัตุรมุข, รูปภาพจัตุรมุข, รูปภาพจัตุรมุข, คำจำกัดความจัตุรมุข, คำจำกัดความจัตุรมุข, คำจำกัดความจัตุรมุข, สูตรจัตุรมุข, สูตรจัตุรมุข, สูตรจัตุรมุข, การวาดภาพจัตุรมุข, การวาดภาพจัตุรมุข, การวาดภาพจัตุรมุข, แม่แบบจัตุรมุข, เทมเพลตจัตุรมุข แม่แบบฮีดรอน

ข้อมูลเกี่ยวกับจัตุรมุข

จัตุรมุขหรือปิรามิดรูปสามเหลี่ยมเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุด เช่นเดียวกับสามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดบนระนาบ คำว่า "จัตุรมุข" เกิดจากคำภาษากรีกสองคำ: tetra - "สี่" และ hedra - "ฐาน", "ใบหน้า" จัตุรมุขถูกกำหนดโดยจุดยอดสี่จุด - จุดที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน ใบหน้าของจัตุรมุขเป็นรูปสามเหลี่ยมสี่อัน จัตุรมุขมีหกขอบ ต่างจากปิรามิดแบบเหลี่ยมตามอำเภอใจ (ใน ) สามารถเลือกใบหน้าใด ๆ ของมันให้เป็นฐานของจัตุรมุขได้

คุณสมบัติหลายประการของจัตุรมุขนั้นคล้ายคลึงกับคุณสมบัติที่สอดคล้องกันของรูปสามเหลี่ยม โดยเฉพาะอย่างยิ่งเครื่องบิน 6 ลำที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของขอบของจัตุรมุขที่ตั้งฉากกับพวกมันจะตัดกันที่จุดหนึ่ง ณ จุดเดียวกัน เส้นตรง 4 เส้นที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบใบหน้าที่ตั้งฉากกับระนาบของใบหน้าจะตัดกัน และนี่คือจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ล้อมรอบจัตุรมุข (รูปที่ 1) ในทำนองเดียวกัน 6 ระนาบครึ่งเส้นแบ่งครึ่งของจัตุรมุข นั่นคือ ครึ่งระนาบที่แบ่งมุมไดฮีดรัลที่ขอบของจัตุรมุขครึ่งหนึ่งก็ตัดกันที่จุดหนึ่ง - ที่ใจกลางของทรงกลมที่จารึกไว้ในจัตุรมุข - ทรงกลมที่สัมผัสทั้งหมด สี่หน้าของจัตุรมุข สามเหลี่ยมใดๆ นอกเหนือจากวงกลมด้านในแล้ว ยังมีวงกลมด้านนอกอีก 3 เส้น (ดูสามเหลี่ยม) แต่จัตุรมุขสามารถมีตัวเลขใดก็ได้ - ตั้งแต่ 4 ถึง 7 - วงกลมด้านนอก เช่น ทรงกลมสัมผัสกับระนาบของจัตุรมุขทั้งสี่หน้า มีทรงกลม 4 อันถูกจารึกไว้ในมุมสามเหลี่ยมที่ถูกตัดทอนเสมอ ซึ่งหนึ่งในนั้นแสดงไว้ในรูปที่ 1 2 ใช่แล้ว สามารถจารึกทรงกลมอีก 3 อันได้ (ไม่เสมอไป!) ในมุมไดฮีดรัลที่ถูกตัดทอนที่ขอบของจัตุรมุข - หนึ่งในนั้นแสดงในรูปที่ 1 2 ซ้าย

สำหรับจัตุรมุขมีความเป็นไปได้ที่จะมีตำแหน่งร่วมกันกับทรงกลม - สัมผัสกับทรงกลมบางอันด้วยขอบทั้งหมด (รูปที่ 3) ทรงกลมดังกล่าว - บางครั้งเรียกว่า "ครึ่งจารึก" - มีอยู่เฉพาะในกรณีที่ผลรวมของความยาวของขอบด้านตรงข้ามของจัตุรมุขเท่ากัน: (รูปที่ 3)

สำหรับจัตุรมุขใดๆ ก็ตาม อะนาล็อกของทฤษฎีบทเรื่องจุดตัดของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมที่จุดหนึ่งนั้นใช้ได้ กล่าวคือเครื่องบิน 6 ลำที่ลากผ่านขอบของจัตุรมุขและจุดกึ่งกลางของขอบตรงข้ามตัดกันที่จุดหนึ่ง - ที่จุดศูนย์กลางของจัตุรมุข (รูปที่ 4) "เส้นกึ่งกลาง" สามเส้นก็ผ่านจุดเซนทรอยด์ด้วย - ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของขอบตรงข้ามสามคู่และแบ่งออกเป็นครึ่งจุด ในที่สุด "ค่ามัธยฐาน" ของจัตุรมุข 4 อันก็ผ่านไปเช่นกัน - ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดกับเซนทรอยด์ของใบหน้าตรงข้ามและพวกมันจะถูกแบ่งที่จุดหนึ่งในอัตราส่วน 3: 1 นับจากจุดยอด

คุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของรูปสามเหลี่ยม - ความเท่าเทียมกัน (หรือ) - ไม่มีอะนาล็อก "จัตุรมุข" ที่สมเหตุสมผล: ผลรวมของมุมไดฮีดรัลทั้ง 6 มุมของจัตุรมุขสามารถรับค่าใดก็ได้ระหว่าง และ . (แน่นอนว่า ผลรวมของมุมระนาบทั้ง 12 มุมของจัตุรมุข - 3 ที่แต่ละจุดยอด - ไม่ได้ขึ้นอยู่กับจัตุรมุขและเท่ากับ )

โดยทั่วไปรูปสามเหลี่ยมจะถูกจำแนกตามระดับความสมมาตร: รูปสามเหลี่ยมปกติหรือรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามีแกนสมมาตรสามแกน ส่วนรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีแกนเดียว การจำแนกประเภทของจัตุรมุขตามระดับความสมมาตรนั้นสมบูรณ์ยิ่งขึ้น จัตุรมุขที่สมมาตรมากที่สุดคือทรงสม่ำเสมอ โดยมีสามเหลี่ยมปกติสี่อันล้อมรอบ มีระนาบสมมาตร 6 ระนาบ - ผ่านแต่ละขอบตั้งฉากกับขอบด้านตรงข้าม - และสมมาตร 3 แกนผ่านจุดกึ่งกลางของขอบด้านตรงข้าม (รูปที่ 5) สมมาตรน้อยกว่าคือปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ (ระนาบสมมาตร 3 ระนาบ รูปที่ 6) และจัตุรมุขแบบมีมิติเท่ากัน (เช่น จัตุรมุขที่มีใบหน้าเท่ากัน - สมมาตร 3 แกน รูปที่ 7)

จัตุรมุขเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุด ประกอบด้วยหน้าสี่หน้า แต่ละหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า โดยแต่ละด้านเชื่อมต่อกันด้วยหน้าเดียว เมื่อศึกษาคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตสามมิตินี้ เพื่อความชัดเจน ควรทำแบบจำลองจัตุรมุขจากกระดาษเพื่อความชัดเจน

วิธีการติดจัตุรมุขจากกระดาษ?

ในการสร้างจัตุรมุขแบบง่ายจากกระดาษเราจะต้อง:

  • กระดาษเอง (หนาคุณสามารถใช้กระดาษแข็งได้)
  • ไม้โปรแทรกเตอร์;
  • ไม้บรรทัด;
  • กรรไกร;
  • กาว;
  • จัตุรมุขกระดาษ แผนภาพ

ความก้าวหน้าของงาน

  • หากกระดาษหนามากคุณควรใช้วัตถุแข็งเช่นขอบไม้บรรทัดตามรอยพับ
  • เพื่อให้ได้จัตุรมุขหลากสีคุณสามารถวาดขอบหรือสแกนบนแผ่นกระดาษสีได้

วิธีทำจัตุรมุขจากกระดาษโดยไม่ต้องติดกาว?

เราขอนำเสนอมาสเตอร์คลาสที่บอกวิธีประกอบจัตุรมุขกระดาษ 6 ชิ้นเป็นโมดูลเดียวโดยใช้เทคนิคการพับกระดาษ

เราจะต้อง:

  • กระดาษสี่เหลี่ยม 5 คู่ในสีต่างๆ
  • กรรไกร.

ความก้าวหน้าของงาน

  1. เราแบ่งกระดาษแต่ละแผ่นออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กัน ตัดแล้วรับแถบ ซึ่งมีอัตราส่วน 1 ถึง 3 เป็นผลให้เราได้ 30 แถบ ซึ่งเราจะพับโมดูล
  2. วางแถบคว่ำหน้าคุณโดยยืดเป็นแนวนอน เรางอมันลงครึ่งหนึ่ง คลี่ออกแล้วพับไปทางกลางขอบ
  3. ที่ขอบขวาสุด งอมุมเพื่อทำลูกศร โดยขยับให้ห่างจากขอบ 2-3 ซม.
  4. เรางอมุมซ้ายในลักษณะเดียวกัน (ภาพวิธีทำจัตุรมุขจากกระดาษ 3)
  5. เรางอมุมขวาบนของสามเหลี่ยมเล็ก ๆ ที่เกิดจากการดำเนินการครั้งก่อน ด้วยวิธีนี้ ด้านข้างของขอบพับจะอยู่ในมุมเดียวกัน
  6. คลี่พับที่เกิดขึ้น
  7. เราคลี่มุมซ้ายและหมุนมุมเข้าด้านในตามรอยพับที่มีอยู่ตามที่แสดงในรูปภาพ
  8. ที่มุมขวา งอขอบด้านบนลงเพื่อให้ตัดกับรอยพับที่ทำระหว่างการดำเนินการหมายเลข 3
  9. เราหมุนขอบด้านนอกไปทางขวาอีกครั้งโดยใช้การพับที่เกิดขึ้นจากการดำเนินการหมายเลข 3
  10. เราทำซ้ำการดำเนินการก่อนหน้านี้จากปลายอีกด้านของแถบ แต่เพื่อให้รอยพับเล็ก ๆ อยู่ที่ปลายขนานของแถบ
  11. เราพับแถบผลลัพธ์ลงครึ่งหนึ่งตามยาวแล้วปล่อยให้เปิดออกเอง มุมเปิดที่แน่นอนจะชัดเจนในภายหลังระหว่างการประกอบโมเดลครั้งสุดท้าย องค์ประกอบพร้อมแล้ว ตอนนี้เราทำอีก 29 รายการในลักษณะเดียวกัน
  12. เราพลิกลิงค์เพื่อให้มองเห็นด้านนอกระหว่างการประกอบ เราเชื่อมต่อทั้งสองข้อต่อเข้าด้วยกันโดยสอดลิ้นเข้าไปในกระเป๋าที่เกิดจากมุมเล็กๆ ด้านใน
  13. ลิงก์ที่เชื่อมต่อควรสร้างมุม60⁰ซึ่งจะรวมลิงก์อื่น ๆ (รูปถ่ายวิธีทำจัตุรมุขจากกระดาษ 13)
  14. เราเพิ่มลิงค์ที่สามเข้ากับลิงค์ที่สองและเชื่อมต่อลิงค์ที่สองกับลิงค์แรก ปรากฎจุดสิ้นสุดของภาพซึ่งด้านบนสุดของลิงก์ทั้งสามเชื่อมโยงกัน
  15. ในทำนองเดียวกัน ให้เพิ่มลิงก์อีกสามลิงก์ จัตุรมุขแรกพร้อมแล้ว
  16. มุมของรูปที่เสร็จแล้วอาจไม่เหมือนกันทุกประการ ดังนั้นเพื่อให้พอดียิ่งขึ้น ควรเปิดมุมแต่ละมุมของจัตุรมุขที่ตามมาทั้งหมดทิ้งไว้
  17. ควรเชื่อมต่อจัตุรมุขเข้าด้วยกันเพื่อให้มุมของด้านหนึ่งทะลุผ่านรูอีกด้านหนึ่ง
  18. จัตุรมุขสามอันเชื่อมต่อถึงกัน
  19. สี่จัตุรมุขที่เชื่อมต่อถึงกัน
  20. โมดูลจัตุรมุขห้าอันพร้อมแล้ว

หากคุณเชี่ยวชาญจัตุรมุขแล้ว คุณสามารถดำเนินการต่อและสร้างได้

ส่วน: คณิตศาสตร์

แผนการเตรียมและดำเนินบทเรียน:

I. ขั้นตอนการเตรียมการ:

  1. การทำซ้ำคุณสมบัติที่ทราบของปิรามิดสามเหลี่ยม
  2. เสนอสมมติฐานเกี่ยวกับคุณลักษณะที่เป็นไปได้ของจัตุรมุขที่ไม่ได้พิจารณามาก่อน
  3. การจัดตั้งกลุ่มเพื่อทำการวิจัยเกี่ยวกับสมมติฐานเหล่านี้
  4. การกระจายงานสำหรับแต่ละกลุ่ม (คำนึงถึงความต้องการ)
  5. การแบ่งหน้าที่รับผิดชอบในการบรรลุภารกิจ

ครั้งที่สอง เวทีหลัก:

  1. วิธีแก้ปัญหาสมมุติฐาน
  2. ปรึกษาหารือกับอาจารย์
  3. ทะเบียนงาน.

III. ขั้นตอนสุดท้าย:

  1. การนำเสนอและการป้องกันสมมติฐาน

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

  • สรุปและจัดระบบความรู้และทักษะของนักเรียน ศึกษาเนื้อหาทางทฤษฎีเพิ่มเติมในหัวข้อนี้ สอนการประยุกต์ใช้ความรู้ในการแก้ปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐานเพื่อดูองค์ประกอบง่ายๆ
  • เพื่อพัฒนาความสามารถของนักเรียนในการทำงานกับวรรณกรรมเพิ่มเติม เพื่อปรับปรุงความสามารถในการวิเคราะห์ สรุป ค้นหาสิ่งสำคัญในสิ่งที่พวกเขาอ่าน และพิสูจน์สิ่งใหม่ พัฒนาทักษะการสื่อสารของนักเรียน
  • ปลูกฝังวัฒนธรรมกราฟิก

ขั้นเตรียมความพร้อม (1 บทเรียน):

  1. ข้อความจากนักเรียนเรื่อง “ความลับของมหาปิรามิด”
  2. ครูบรรยายเรื่องปิรามิดชนิดต่างๆ
  3. การอภิปรายคำถาม:
  • ปิรามิดสามเหลี่ยมที่ผิดปกติสามารถรวมเข้าด้วยกันตามเกณฑ์ใด
  • จุดออร์โธเซนเตอร์ของรูปสามเหลี่ยมเราหมายถึงอะไร และสิ่งที่เรียกว่าจุดออร์โธเซ็นเตอร์ของจัตุรมุข
  • จัตุรมุขสี่เหลี่ยมมีออร์โธเซ็นเตอร์หรือไม่?
  • จัตุรมุขชนิดใดที่เรียกว่า isohedral?
  1. จากการพิจารณาจัตุรมุขต่างๆ และอภิปรายคุณสมบัติของพวกมัน แนวคิดจึงได้รับการชี้แจงและมีโครงสร้างบางอย่างปรากฏขึ้น:

  1. ให้เราพิจารณาคุณสมบัติของจัตุรมุขปกติ (ภาคผนวก)

คุณสมบัติ 1-4 ได้รับการพิสูจน์ด้วยวาจาโดยใช้สไลด์ 1

คุณสมบัติ 1: ขอบทั้งหมดเท่ากัน

คุณสมบัติ 2: มุมระนาบทั้งหมดเท่ากับ 60°

คุณสมบัติ 3: ผลรวมของมุมระนาบที่จุดยอดใดๆ ของทรงสี่หน้าเท่ากับ 180°

คุณสมบัติ 4: หากจัตุรมุขเป็นแบบปกติ จุดยอดใดๆ ของมันจะถูกฉายไปที่จุดศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์ของด้านตรงข้าม

ที่ให้ไว้:

ABCD – จัตุรมุขปกติ

อา - ความสูง

พิสูจน์:

H – ออร์โธเซ็นเตอร์

การพิสูจน์:

1) จุด H อาจตรงกับจุด A, B, C ใดๆ ให้ H ? B, H ?

2) AH + (ABC) => AH + BH, AH + CH, AH + DH,

3) พิจารณา ABH, BCH, ADH

AD – ทั่วไป => ABH, BCH, ADH => BH =CH = DH

AB = AC = AD t. H – เป็นจุดศูนย์กลางของ ABC

Q.E.D.

  1. ในบทเรียนแรก คุณสมบัติ 5-9 ได้รับการกำหนดเป็นสมมติฐานที่ต้องการการพิสูจน์

แต่ละกลุ่มจะได้รับการบ้านของตนเอง:

พิสูจน์คุณสมบัติอย่างใดอย่างหนึ่ง

เตรียมเหตุผลพร้อมการนำเสนอ

ครั้งที่สอง เวทีหลัก (ภายในหนึ่งสัปดาห์):

  1. วิธีแก้ปัญหาสมมุติฐาน
  2. ปรึกษาหารือกับอาจารย์
  3. ทะเบียนงาน.

III. ขั้นตอนสุดท้าย (1-2 บทเรียน):

การนำเสนอและปกป้องสมมติฐานโดยใช้การนำเสนอ

เมื่อเตรียมเนื้อหาสำหรับบทเรียนสุดท้าย นักเรียนได้ข้อสรุปเกี่ยวกับความพิเศษของจุดตัดกันของความสูง เราตกลงที่จะเรียกมันว่าจุดที่ "น่าทึ่ง"

คุณสมบัติ 5: จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่มีขอบเขตและทรงกลมตรงกัน

ที่ให้ไว้:

DABC – จัตุรมุขปกติ

O 1 - ศูนย์กลางของทรงกลมที่อธิบายไว้

O - ศูนย์กลางของทรงกลมที่ถูกจารึกไว้

N คือจุดสัมผัสของทรงกลมที่ถูกจารึกไว้กับหน้า ABC

พิสูจน์: O 1 = O

การพิสูจน์:

ให้ OA = OB =OD = OC – รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

ละเว้น ON + (ABC)

AON = CON – สี่เหลี่ยม ตามแนวขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก => AN = CN

ละเว้น OM + (BCD)

COM DOM - สี่เหลี่ยมตามแนวขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก => CM = DM

จากจุดที่ 1 CON COM => ON =OM

ON + (ABC) => ON,OM – รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

สำหรับจัตุรมุขปกติมีความเป็นไปได้ที่จะมีตำแหน่งร่วมกับทรงกลมโดยสัมผัสกับทรงกลมบางอันด้วยขอบทั้งหมด ทรงกลมดังกล่าวบางครั้งเรียกว่า "กึ่งจารึก"

คุณสมบัติ 6: ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของขอบด้านตรงข้ามและตั้งฉากกับขอบเหล่านี้คือรัศมีของทรงกลมที่จารึกไว้ครึ่งหนึ่ง

ที่ให้ไว้:

ABCD – จัตุรมุขปกติ;

AL=BL, AK=CK, AS=DS,

BP=ซีพี, BM=DM, CN=DN

พิสูจน์:

LO = ตกลง = OS = OM = เปิด =OP

การพิสูจน์.

จัตุรมุข ABCD – ถูกต้อง => AO= BO = CO =DO

พิจารณารูปสามเหลี่ยม AOB, AOC, COD, BOD, BOC, AOD

AO=BO=>?AOB – หน้าจั่ว =>
OL – ค่ามัธยฐาน ส่วนสูง เส้นแบ่งครึ่ง
AO=CO=>?AOC– หน้าจั่ว =>
ตกลง – ค่ามัธยฐาน ส่วนสูง เส้นแบ่งครึ่ง
CO=DO=>?COD– หน้าจั่ว =>
เปิด– ค่ามัธยฐาน ความสูง เส้นแบ่งครึ่ง AOB=> AOC= COD=
BO=DO=>?BOD– หน้าจั่ว => BOD= BOC= AOD
OM – ค่ามัธยฐาน ส่วนสูง เส้นแบ่งครึ่ง
AO=DO=>?AOD– หน้าจั่ว =>
OS – ค่ามัธยฐาน ส่วนสูง เส้นแบ่งครึ่ง
BO=CO=>?BOC– หน้าจั่ว =>
OP – ค่ามัธยฐาน ส่วนสูง เส้นแบ่งครึ่ง
อ่าว=BO=CO=DO
AB=AC=AD=BC=BD=ซีดี

3) OL, OK, ON, OM, OS, OP - ความสูงเท่ากับ OL, OK, ON, OM, OS, รัศมี OP

หน้าจั่ว สามเหลี่ยม ทรงกลม

ผลที่ตามมา:

ทรงกลมที่ถูกจารึกไว้ครึ่งหนึ่งสามารถวาดได้ในจัตุรมุขปกติ

คุณสมบัติ 7:ถ้าจัตุรมุขเป็นแบบปกติ ขอบด้านตรงข้ามทุกสองด้านของจัตุรมุขจะตั้งฉากกัน

ที่ให้ไว้:

DABC – จัตุรมุขปกติ;

H – ออร์โธเซ็นเตอร์

พิสูจน์:

การพิสูจน์:

DABC – จัตุรมุขปกติ =>?ADB – ด้านเท่ากันหมด

(ADB) (EDC) = ก.พ

ED – ความสูง ADB => ED +AB,

AB + CE ,=> AB+ (EDC) => AB + ซีดี

ความตั้งฉากของขอบอื่นๆ ได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกัน

คุณสมบัติ 8: ระนาบสมมาตรหกระนาบตัดกันที่จุดหนึ่ง ที่จุด O เส้นตรงสี่เส้นตัดกัน ลากผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบใบหน้า ซึ่งตั้งฉากกับระนาบของใบหน้า และจุด O คือจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่จำกัดขอบเขต

ที่ให้ไว้:

ABCD – จัตุรมุขปกติ

พิสูจน์:

O – ศูนย์กลางของทรงกลมที่อธิบายไว้

ระนาบสมมาตร 6 ระนาบตัดกันที่จุด O;

การพิสูจน์.

CG + BD เพราะ BCD - ด้านเท่ากันหมด => GO + BD (โดยทฤษฎีบทของ GO + BD สามเส้นตั้งฉาก)

BG = GD เพราะว่า AG – ค่ามัธยฐาน ABD

เอบีดี (ABD)=> ? BOD - หน้าจั่ว => BO=DO

ED + AB เพราะว่า ABD – ด้านเท่ากันหมด => OE + AD (ตามทฤษฎีบทสามตั้งฉาก)

พ.ศ. = AE เพราะ DE – ค่ามัธยฐาน?ABD

ABD (ABD) =>?AOB – หน้าจั่ว =>BO=AO

(AOB) (ABD) = เอบี

ON + (ABC) OF + AC (ตามทฤษฎีบทสาม

BF + AC เพราะ ABC - ตั้งฉากด้านเท่ากันหมด)

AF = FC เพราะ BF – ค่ามัธยฐาน?ABC

ABC (ABC) => AOC - หน้าจั่ว => AO = CO

(AOC) ?(ABC) = เอซี

BO = AO =>AO = BO = CO = DO – รัศมีของทรงกลม

AO = CO อธิบายไว้ใกล้กับจัตุรมุข ABCD

(ABR) (ACG) = AO

(BCT) (ABR) = บีโอ

(ACG) (BCT) = CO

(ADH) (CED) = DO

AB + (ABR)(ABR)(BCT)(ACG)(ADH)(CED) (BDF)

เพราะฉะนั้น:

จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่มีขอบเขตจำกัด

ระนาบสมมาตร 6 ระนาบตัดกันที่จุด O

คุณสมบัติ 9: มุมป้านระหว่างตั้งฉากที่ผ่านจุดยอดของจัตุรมุขถึงจุดออร์โธเซ็นเตอร์คือ 109°28"

ที่ให้ไว้:

ABCD – จัตุรมุขปกติ;

O – ศูนย์กลางของทรงกลมที่มีขอบเขต;

พิสูจน์:

การพิสูจน์:

1)AS – ความสูง

ASB = 90 o OSB สี่เหลี่ยม

2) (โดยทรัพย์สินของจัตุรมุขปกติ)

3)AO=BO – รัศมีของทรงกลมที่มีขอบเขตจำกัด

4) 70°32"

6) AO=BO=CO=DO =>?AOD=?AOC=?AOD=?COD=?BOD=?BOC

  • คือจุดตัดของความสูงของจัตุรมุขปกติ
  • เป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ถูกจารึกไว้
  • เป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลมกึ่งจารึก
  • เป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่มีขอบเขตจำกัด
  • เป็นจุดศูนย์ถ่วงของจัตุรมุข
  • คือยอดปิรามิดทรงสามเหลี่ยมปกติที่มีขนาดเท่ากันสี่ปิรามิด โดยมีฐานเป็นหน้าจัตุรมุข

    • บทสรุป.

    (ครูและนักเรียนสรุปบทเรียน นักเรียนคนหนึ่งพูดพร้อมรายงานสั้น ๆ เกี่ยวกับจัตุรมุขซึ่งเป็นหน่วยโครงสร้างขององค์ประกอบทางเคมี)

    มีการศึกษาคุณสมบัติของจัตุรมุขปกติและจุดที่ "น่าทึ่ง" ของมัน

    พบว่ารูปร่างของจัตุรมุขเท่านั้นซึ่งมีคุณสมบัติข้างต้นทั้งหมดรวมถึงจุดที่ "เหมาะ" เท่านั้นที่สามารถสร้างรูปร่างได้ด้วยโมเลกุลของซิลิเกตและไฮโดรคาร์บอน หรือโมเลกุลอาจประกอบด้วยจัตุรมุขปกติหลายตัว ปัจจุบันจัตุรมุขเป็นที่รู้จักไม่เพียง แต่เป็นตัวแทนของอารยธรรมและคณิตศาสตร์โบราณเท่านั้น แต่ยังเป็นพื้นฐานสำหรับโครงสร้างของสสารอีกด้วย

    ซิลิเกตเป็นสารคล้ายเกลือที่ประกอบด้วยสารประกอบของซิลิคอนและออกซิเจน ชื่อของพวกเขามาจากคำภาษาละติน "silex" - "flint" พื้นฐานของโมเลกุลซิลิเกตประกอบด้วยอนุมูลอะตอมในรูปของจัตุรมุข

    ซิลิเกตได้แก่ ทราย ดินเหนียว อิฐ แก้ว ซีเมนต์ สารเคลือบฟัน ทัลก์ แร่ใยหิน มรกต และโทแพซ

    ซิลิเกตประกอบด้วยเปลือกโลกมากกว่า 75% (และรวมกับควอตซ์ประมาณ 87%) และหินอัคนีมากกว่า 95%

    คุณลักษณะที่สำคัญของซิลิเกตคือความสามารถในการรวมกัน (พอลิเมอไรเซชัน) ของเตตระเฮดราซิลิคอน-ออกซิเจนตั้งแต่สองตัวขึ้นไปผ่านอะตอมออกซิเจนทั่วไป

    ไฮโดรคาร์บอนอิ่มตัวมีรูปร่างโมเลกุลเหมือนกัน แต่แตกต่างจากซิลิเกตตรงที่ประกอบด้วยคาร์บอนและไฮโดรเจน สูตรทั่วไปของโมเลกุล

    ไฮโดรคาร์บอนรวมถึงก๊าซธรรมชาติ

    เราจะพิจารณาคุณสมบัติของจัตุรมุขทรงสี่เหลี่ยมและทรงหน้าจั่ว

    วรรณกรรม.

    • Potapov V.M. , Tatarinchik S.N. “เคมีอินทรีย์”, มอสโก 2519
    • บาบาริน วี.พี. “ความลับของมหาปิรามิด”, เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก, 2543
    • Sharygin I.F. “ ปัญหาทางเรขาคณิต”, มอสโก, 1984
    • พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่
    • “ หนังสืออ้างอิงของโรงเรียน”, มอสโก, 2544

    บทความใหม่

    บทความยอดนิยม

    2024 ตอนนี้ออนไลน์.ru
    เกี่ยวกับแพทย์ โรงพยาบาล คลินิก โรงพยาบาลคลอดบุตร