สิ่งที่เรียกว่าจำนวนตรรกยะ คำจำกัดความของจำนวนตรรกยะ

คำจำกัดความของจำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะได้แก่:

จำนวนธรรมชาติที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ตัวอย่างเช่น $7=\frac(7)(1)$
จำนวนเต็ม รวมถึงศูนย์ ซึ่งสามารถแสดงเป็นเศษส่วนบวกหรือลบ หรือเป็นศูนย์ได้ ตัวอย่างเช่น $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$
เศษส่วนร่วม (บวกหรือลบ)
จำนวนคละที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนเกินได้ ตัวอย่างเช่น $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ และ $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$
สุดยอด ทศนิยมและเศษส่วนคาบอนันต์ซึ่งสามารถแสดงเป็นเศษส่วนสามัญได้ ตัวอย่างเช่น $-7.73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$

หมายเหตุ 1

โปรดทราบว่าเศษส่วนทศนิยมที่ไม่ใช่คาบไม่จำกัดไม่อยู่ในจำนวนตรรกยะ เพราะ ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดาได้

ตัวอย่างที่ 1

จำนวนธรรมชาติ $7, 670, 21\456$ เป็นจำนวนตรรกยะ

จำนวนเต็ม $76, –76, 0, –555\666$ เป็นจำนวนตรรกยะ

เศษส่วนสามัญ $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ – จำนวนตรรกยะ .

ดังนั้นจำนวนตรรกยะจึงแบ่งออกเป็นบวกและลบ จำนวนศูนย์นั้นเป็นจำนวนตรรกยะ แต่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะบวกหรือลบ

ให้เรากำหนดเพิ่มเติม คำจำกัดความสั้น ๆจำนวนตรรกยะ

คำจำกัดความ 3

มีเหตุผลคือตัวเลขที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมแบบจำกัดหรืออนันต์ได้

สามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้:

จำนวนเต็มบวกและลบและ ตัวเลขเศษส่วนอยู่ในเซตของจำนวนตรรกยะ
จำนวนตรรกยะสามารถแสดงเป็นเศษส่วนที่มีตัวเศษจำนวนเต็มและตัวส่วนตามธรรมชาติและเป็นจำนวนตรรกยะ
จำนวนตรรกยะสามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมเป็นงวดใดๆ ที่เป็นจำนวนตรรกยะได้

วิธีการ ตรวจสอบว่าตัวเลขเป็นจำนวนตรรกยะหรือไม่

โดยให้หมายเลขเป็น นิพจน์เชิงตัวเลขซึ่งประกอบด้วยจำนวนตรรกยะและเครื่องหมายการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เท่านั้น ในกรณีนี้ ค่าของนิพจน์จะเป็นจำนวนตรรกยะ
รากที่สองของจำนวนธรรมชาติจะเป็นจำนวนตรรกยะก็ต่อเมื่อรากมีจำนวนที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ของจำนวนธรรมชาติบางตัวเท่านั้น ตัวอย่างเช่น $\sqrt(9)$ และ $\sqrt(121)$ เป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องจาก $9=3^2$ และ $121=11^2$
รากที่ $n$th ของจำนวนเต็มจะเป็นจำนวนตรรกยะก็ต่อเมื่อตัวเลขที่อยู่ใต้เครื่องหมายรากคือกำลัง $n$th ของจำนวนเต็มบางตัวเท่านั้น ตัวอย่างเช่น $\sqrt(8)$ เป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องจาก $8=2^3$.

บนแกนจำนวน จำนวนตรรกยะจะถูกกระจายอย่างหนาแน่นตลอด: ระหว่างจำนวนตรรกยะทุกๆ สองจำนวนที่ไม่เท่ากัน สามารถหาจำนวนตรรกยะได้อย่างน้อยหนึ่งตัว (ด้วยเหตุนี้ เซตของจำนวนตรรกยะที่ไม่มีที่สิ้นสุด) ในเวลาเดียวกัน เซตของจำนวนตรรกยะมีลักษณะเฉพาะด้วยจำนวนเชิงการนับที่สามารถนับได้ (นั่นคือ องค์ประกอบทั้งหมดของเซตสามารถกำหนดหมายเลขได้) ชาวกรีกโบราณพิสูจน์ว่ามีตัวเลขที่ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ พวกเขาแสดงให้เห็นว่าไม่มีจำนวนตรรกยะที่มีกำลังสองเท่ากับ $2$ จากนั้นจำนวนตรรกยะไม่เพียงพอที่จะแสดงปริมาณทั้งหมดได้ ซึ่งต่อมาได้นำไปสู่การปรากฏของจำนวนจริง เซตของจำนวนตรรกยะต่างจากจำนวนจริงตรงที่เป็นเซตศูนย์

คำจำกัดความของจำนวนตรรกยะ:

จำนวนตรรกยะคือตัวเลขที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ตัวเศษของเศษส่วนดังกล่าวเป็นของเซตของจำนวนเต็ม และตัวส่วนเป็นของเซตของจำนวนธรรมชาติ

เหตุใดตัวเลขจึงเรียกว่าตรรกยะ?

ในภาษาลาติน อัตราส่วน หมายถึง อัตราส่วน จำนวนตรรกยะสามารถแสดงเป็นความสัมพันธ์ได้เช่น กล่าวอีกนัยหนึ่งเป็นเศษส่วน

ตัวอย่างจำนวนตรรกยะ

จำนวน 2/3 เป็นจำนวนตรรกยะ ทำไม จำนวนนี้แสดงเป็นเศษส่วน โดยตัวเศษเป็นของเซตจำนวนเต็ม และตัวส่วนของเซตของจำนวนธรรมชาติ

หากต้องการดูตัวอย่างเพิ่มเติมของจำนวนตรรกยะ โปรดดูบทความ

จำนวนตรรกยะเท่ากัน

เศษส่วนเบ็ดเตล็ดสามารถแทนจำนวนตรรกยะได้หนึ่งจำนวน

พิจารณาจำนวนตรรกยะ 3/5 จำนวนตรรกยะนี้เท่ากับ

ลองลดตัวเศษและส่วนด้วยตัวประกอบร่วมที่ 2:

6	=	2 * 3	=	3
10	=	2 * 5	=	5

เราได้เศษส่วน 3/5 ซึ่งหมายความว่า

) คือตัวเลขที่มีเครื่องหมายบวกหรือลบ (จำนวนเต็มและเศษส่วน) และศูนย์ แนวคิดเรื่องจำนวนตรรกยะที่แม่นยำยิ่งขึ้นมีดังนี้:

จำนวนตรรกยะ- จำนวนที่แสดงเป็นเศษส่วนร่วม ม./นโดยที่ตัวเศษ มเป็นจำนวนเต็มและตัวส่วน n- ตัวเลขธรรมชาติ เช่น 2/3.

เศษส่วนที่ไม่ใช่คาบไม่จำกัดไม่รวมอยู่ในเซตของจำนวนตรรกยะ

มี/ข, ที่ไหน ก∈ ซี (กเป็นของจำนวนเต็ม) ข∈ เอ็น (ขเป็นของจำนวนธรรมชาติ)

การใช้จำนวนตรรกยะในชีวิตจริง

ใน ชีวิตจริงชุดของจำนวนตรรกยะใช้ในการนับส่วนของวัตถุที่หารจำนวนเต็มบางส่วน ตัวอย่างเช่นเค้กหรืออาหารอื่นๆ ที่หั่นเป็นชิ้นๆ ก่อนบริโภค หรือเพื่อประมาณความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ของวัตถุที่ขยายออกมาอย่างคร่าวๆ

คุณสมบัติของจำนวนตรรกยะ

คุณสมบัติพื้นฐานของจำนวนตรรกยะ

1. ความเป็นระเบียบเรียบร้อย กและ ขมีกฎที่อนุญาตให้คุณระบุความสัมพันธ์ระหว่าง 1 และ 3 ความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขาได้อย่างชัดเจน: “<», «>" หรือ "=" นี่คือกฎ - กฎการสั่งซื้อและกำหนดดังนี้:

2 จำนวนบวก ก=ม ก /น กและ ข=ม ข /n ขมีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์เดียวกันกับจำนวนเต็ม 2 ตัว ม⋅ ไม่มีและ ม.ข⋅ ไม่ใช่;
2 จำนวนลบ กและ ขมีความสัมพันธ์กันด้วยอัตราส่วนเดียวกับจำนวนบวก 2 จำนวน |ข|และ |a|;
เมื่อไร กเชิงบวกและ ข- ลบแล้ว ก>ข.

∀ ก,ข∈ ถาม(ก ∨ ก>ข∨ ก=ข)

2. การดำเนินการเพิ่มเติม- สำหรับจำนวนตรรกยะทั้งหมด กและ ขมี กฎการรวมซึ่งกำหนดจำนวนตรรกยะจำนวนหนึ่งให้กับพวกเขา ค- ขณะเดียวกันก็มีตัวเลขนั้นเอง ค- นี้ ผลรวมตัวเลข กและ ขและมันถูกแสดงเป็น (ก+ข) ผลรวม.

กฎการรวมดูเหมือนว่านี้:

ม/n ก + ม ข/ไม่มี ข =(ม⋅ ไม่มีข + มข⋅ ไม่ใช่)/(ไม่ใช่⋅ ไม่ใช่ข)

∀ ก,ข∈ ถาม∃ !(ก+ข)∈ ถาม

3. การดำเนินการคูณ- สำหรับจำนวนตรรกยะทั้งหมด กและ ขมี กฎการคูณมันเชื่อมโยงพวกมันกับจำนวนตรรกยะจำนวนหนึ่ง ค- เรียกเลข c งานตัวเลข กและ ขและแสดงถึง (ก⋅ข)และกระบวนการค้นหาหมายเลขนี้เรียกว่า การคูณ.

กฎการคูณดูเหมือนว่านี้: ฉันไม่มี⋅ ม บี เอ็น ข = ม⋅ ฉัน บี นา⋅ ไม่มี.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. การผ่านของความสัมพันธ์ลำดับสำหรับจำนวนตรรกยะสามจำนวนใดๆ ก, ขและ คถ้า กน้อย ขและ ขน้อย ค, ที่ กน้อย คและถ้า กเท่ากับ ขและ ขเท่ากับ ค, ที่ กเท่ากับ ค.

∀ ก,ข,ค∈ ถาม(ก ∧ ข ⇒ ก ∧ (ก = ข∧ ข = ค⇒ ก = ค)

5. การสับเปลี่ยนของการบวก- การเปลี่ยนตำแหน่งของเงื่อนไขที่เป็นตรรกยะจะไม่ทำให้ผลรวมเปลี่ยนแปลง

∀ ก,ข∈ ถาม ก+ข=ข+ก

6. นอกจากนี้การเชื่อมโยง- ลำดับการเพิ่มจำนวนตรรกยะ 3 ตัวจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์

∀ ก,ข,ค∈ ถาม (ก+ข)+ค=ก+(ข+ค)

7. การมีอยู่ของศูนย์- มีจำนวนตรรกยะเป็น 0 ซึ่งจะคงจำนวนตรรกยะอื่นๆ ทุกจำนวนเมื่อบวกเข้าด้วยกัน

∃ 0 ∈ ถาม∀ ก∈ ถาม+0=ก

8. การมีอยู่ของจำนวนตรงข้ามกัน- จำนวนตรรกยะใดๆ จะมีจำนวนตรรกยะตรงกันข้าม และเมื่อบวกกัน ผลลัพธ์จะเป็น 0

∀ ก∈ ถาม∃ (-ก)∈ ถาม ก+(−ก)=0

9. การสับเปลี่ยนของการคูณ- การเปลี่ยนตำแหน่งของปัจจัยเชิงตรรกศาสตร์ไม่ทำให้ผลิตภัณฑ์เปลี่ยนแปลง

∀ ก,ข∈ ถาม⋅ ข=ข⋅ ก

10. ความสัมพันธ์ของการคูณ- ลำดับการคูณจำนวนตรรกยะ 3 จำนวนจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์

∀ ก,ข,ค∈ ถาม(ก⋅ ข)⋅ ค=ก⋅ (ข⋅ ค)

11. ความพร้อมของหน่วย- มีจำนวนตรรกยะ 1 ซึ่งจะคงจำนวนตรรกยะอื่นๆ ทั้งหมดไว้ในกระบวนการคูณ

∃ 1 ∈ ถาม∀ ก∈ ถาม⋅ 1=ก

12. การปรากฏตัวของตัวเลขซึ่งกันและกัน- จำนวนตรรกยะทุกตัวที่ไม่ใช่ศูนย์จะมีจำนวนตรรกยะผกผัน คูณด้วยผลลัพธ์ที่ได้ 1 .

∀ ก∈ ถาม∃ ก−1∈ ถาม⋅ ก−1=1

13. การกระจายตัวของการคูณสัมพันธ์กับการบวก- การดำเนินการคูณเกี่ยวข้องกับการบวกโดยใช้กฎการกระจาย:

∀ ก,ข,ค∈ ถาม(ก+ข)⋅ ค=ก⋅ ค+บี⋅ ค

14. ความสัมพันธ์ระหว่างความสัมพันธ์ลำดับและการดำเนินการบวก- ไปทางซ้ายและ ด้านขวาสำหรับอสมการเชิงตรรกยะ ให้บวกจำนวนตรรกยะเดียวกันเข้าไปด้วย

∀ ก,ข,ค∈ ถาม ⇒ เอ+ซี

15. ความสัมพันธ์ระหว่างความสัมพันธ์ลำดับกับการดำเนินการคูณ- ด้านซ้ายและขวาของอสมการเชิงตรรกยะสามารถคูณด้วยจำนวนตรรกยะที่ไม่เป็นลบอันเดียวกันได้

∀ ก,ข,ค∈ ค ค>0∧ ก ⇒ ก⋅ ค ⋅ ค

16. สัจพจน์ของอาร์คิมีดีส- ไม่ว่าจะเป็นจำนวนตรรกยะก็ตาม กมันง่ายที่จะเอาหลายหน่วยจนผลรวมของมันมากขึ้น ก.

ดังที่เราได้เห็นแล้วว่าเซตของจำนวนธรรมชาติ

ปิดภายใต้การบวกและการคูณ และเซตของจำนวนเต็ม

ปิดภายใต้การบวก การคูณ และการลบ อย่างไรก็ตาม ทั้งสองชุดไม่ได้ถูกปิดโดยการหาร เนื่องจากการหารจำนวนเต็มอาจส่งผลให้เกิดเศษส่วนได้ เช่น ในกรณีของ 4/3, 7/6, -2/5 เป็นต้น เซตของเศษส่วนดังกล่าวทั้งหมดจะประกอบกันเป็นเซตของจำนวนตรรกยะ ดังนั้น จำนวนตรรกยะ (เศษส่วนตรรกยะ) คือตัวเลขที่สามารถแสดงได้ในรูปแบบ โดยที่ a และ d เป็นจำนวนเต็ม และ d ไม่เท่ากับศูนย์ ให้เราแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับคำจำกัดความนี้

1) เรากำหนดให้ d ต้องไม่เป็นศูนย์ ข้อกำหนดนี้ (เขียนทางคณิตศาสตร์ว่าเป็นอสมการ) จำเป็นเพราะในที่นี้ d คือตัวหาร ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้:

กรณีที่ 1. .

กรณีที่ 2...

ในกรณีที่ 1 d เป็นตัวหารตามความหมายของบทที่แล้ว กล่าวคือ 7 เป็นตัวหารที่ตรงกันของ 21 ในกรณีที่ 2 d ยังคงเป็นตัวหาร แต่ในอีกแง่หนึ่ง เนื่องจาก 7 ไม่ใช่ตัวหารที่แน่นอนของ 25 .

ถ้าเราเรียก 25 ตัวหารและ 7 ตัวหาร เราจะได้ผลหารของ 3 และเศษของ 4 ดังนั้น คำว่าตัวหารจึงถูกใช้ในความหมายทั่วไปและใช้กับ มากกว่ากรณีมากกว่าในบท I. อย่างไรก็ตาม ในกรณีเช่น กรณีที่ 1 แนวคิดของตัวหารที่นำมาใช้ใน Chap ฉัน; ดังนั้นจึงจำเป็น เช่นเดียวกับในบทที่ ฉันไม่รวมความเป็นไปได้ของ d = 0

2) โปรดทราบว่าในขณะที่นิพจน์จำนวนตรรกยะและเศษส่วนตรรกยะมีความหมายเหมือนกัน แต่คำว่าเศษส่วนนั้นใช้เพื่อแสดงถึงใดๆ การแสดงออกทางพีชคณิตประกอบด้วยตัวเศษและตัวส่วน เช่น

3) คำจำกัดความของจำนวนตรรกยะรวมถึงนิพจน์ “ตัวเลขที่สามารถแสดงในรูปแบบ โดยที่ a และ d เป็นจำนวนเต็ม และ เหตุใดจึงไม่สามารถแทนที่ด้วยนิพจน์ “ตัวเลขของแบบฟอร์ม โดยที่ a และ d เป็นจำนวนเต็ม และเหตุผลก็คือความจริงที่ว่ามีวิธีแสดงเศษส่วนเดียวกันได้หลายวิธีอย่างไม่สิ้นสุด (เช่น 2/3 สามารถ เขียนเป็น 4/6, 6 /9 หรือ 213/33 หรืออื่นๆ ก็ได้) และเป็นที่พึงปรารถนาสำหรับเราว่าคำจำกัดความของจำนวนตรรกยะไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการแสดงออกโดยเฉพาะ

เศษส่วนถูกกำหนดในลักษณะที่ค่าของมันจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อตัวเศษและส่วนถูกคูณด้วยจำนวนเดียวกัน อย่างไรก็ตาม ไม่สามารถบอกได้เสมอไปโดยดูจากเศษส่วนที่ระบุว่าเป็นจำนวนตรรกยะหรือไม่ พิจารณาตัวเลขต่างๆ เป็นต้น

ไม่มีรายการใดในรายการที่เราเลือกอยู่ในรูปแบบ โดยที่ a และ d เป็นจำนวนเต็ม

อย่างไรก็ตาม เราสามารถทำการแปลงเลขคณิตกับเศษส่วนแรกเป็นชุดและรับได้

ดังนั้นเราจึงได้เศษส่วนเท่ากับเศษส่วนเดิม โดยที่ . ดังนั้นจำนวนจึงเป็นจำนวนตรรกยะ แต่จะไม่เป็นจำนวนตรรกยะหากนิยามของจำนวนตรรกยะกำหนดให้ตัวเลขอยู่ในรูปแบบ a/b โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็ม กรณีการแปลงเศษส่วน

นำไปสู่หมายเลข ในบทต่อๆ ไป เราจะเรียนรู้ว่าตัวเลขไม่สามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองตัวได้ ดังนั้นจึงไม่มีเหตุผลหรือกล่าวได้ว่าไม่มีเหตุผล

4) โปรดทราบว่าจำนวนเต็มทุกจำนวนมีเหตุผล ตามที่เราเพิ่งเห็น นี่เป็นเรื่องจริงในกรณีของจำนวน 2 ในกรณีทั่วไปของจำนวนเต็มใดๆ เราสามารถกำหนดตัวส่วนเป็น 1 ให้กับแต่ละจำนวนในทำนองเดียวกันและรับการแทนค่าเป็นเศษส่วนตรรกยะได้

หัวข้อเรื่องจำนวนตรรกยะค่อนข้างครอบคลุม คุณสามารถพูดคุยเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ไม่รู้จบและเขียนผลงานทั้งหมดทุกครั้งที่รู้สึกประหลาดใจกับฟีเจอร์ใหม่ ๆ

เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดในอนาคต ในบทนี้เราจะเจาะลึกหัวข้อจำนวนตรรกยะให้ลึกลงไปอีกเล็กน้อย รวบรวมข้อมูลที่จำเป็นจากข้อมูลนั้นแล้วเดินหน้าต่อไป

เนื้อหาบทเรียน

จำนวนตรรกยะคืออะไร

จำนวนตรรกยะคือตัวเลขที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ ก—นี่คือตัวเศษของเศษส่วน ขเป็นตัวส่วนของเศษส่วน นอกจากนี้ ขต้องไม่เป็นศูนย์เพราะไม่อนุญาตให้หารด้วยศูนย์

จำนวนตรรกยะประกอบด้วยหมวดหมู่ของตัวเลขต่อไปนี้:

จำนวนเต็ม (เช่น −2, −1, 0 1, 2 เป็นต้น)

เศษส่วนทศนิยม (เช่น 0.2 เป็นต้น)

เศษส่วนคาบไม่สิ้นสุด (เช่น 0, (3) เป็นต้น)

ตัวเลขแต่ละตัวในหมวดหมู่นี้สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้

ตัวอย่างที่ 1จำนวนเต็ม 2 สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ซึ่งหมายความว่าเลข 2 ไม่เพียงแต่ใช้กับจำนวนเต็มเท่านั้น แต่ยังใช้กับจำนวนตรรกยะด้วย

ตัวอย่างที่ 2จำนวนคละสามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ เศษส่วนนี้ได้มาจากการแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกิน

ซึ่งหมายความว่าจำนวนคละเป็นจำนวนตรรกยะ

ตัวอย่างที่ 3ทศนิยม 0.2 สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ เศษส่วนนี้ได้มาจากการแปลงเศษส่วนทศนิยม 0.2 เป็นเศษส่วนร่วม หากคุณมีปัญหาในตอนนี้ ให้ทำซ้ำหัวข้อนี้

เนื่องจากเศษส่วนทศนิยม 0.2 สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ จึงหมายความว่าเศษส่วนนั้นเป็นของจำนวนตรรกยะด้วย

ตัวอย่างที่ 4เศษส่วนคาบไม่สิ้นสุด 0, (3) สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ เศษส่วนนี้ได้มาจากการแปลงเศษส่วนคาบบริสุทธิ์ให้เป็นเศษส่วนสามัญ หากคุณมีปัญหาในตอนนี้ ให้ทำซ้ำหัวข้อนี้

เนื่องจากเศษส่วนคาบไม่สิ้นสุด 0, (3) สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ จึงหมายความว่าเศษส่วนนั้นเป็นของจำนวนตรรกยะด้วย

ในอนาคต เราจะเรียกตัวเลขทั้งหมดที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนต่อหนึ่งวลีได้มากขึ้น - จำนวนตรรกยะ.

จำนวนตรรกยะบนเส้นพิกัด

เราดูเส้นพิกัดเมื่อเราศึกษาจำนวนลบ จำไว้ว่านี่คือเส้นตรงที่มีหลายจุดอยู่ ดูเหมือนว่านี้:

รูปนี้แสดงส่วนเล็กๆ ของเส้นพิกัดตั้งแต่ −5 ถึง 5

การทำเครื่องหมายจำนวนเต็มในรูปแบบ 2, 0, −3 บนเส้นพิกัดนั้นไม่ใช่เรื่องยาก

ตัวเลขอื่นๆ จะน่าสนใจกว่ามาก เช่น เศษส่วนธรรมดา ตัวเลขคละ ทศนิยม ฯลฯ ตัวเลขเหล่านี้อยู่ระหว่างจำนวนเต็มและมีตัวเลขเหล่านี้มากมายนับไม่ถ้วน

ตัวอย่างเช่น ลองทำเครื่องหมายจำนวนตรรกยะบนเส้นพิกัด เบอร์นี้อยู่ระหว่างศูนย์ถึงหนึ่งพอดี

ลองทำความเข้าใจว่าทำไมเศษส่วนจึงอยู่ระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง

ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น ระหว่างจำนวนเต็มจะมีตัวเลขอื่น ๆ อยู่ - เศษส่วนสามัญ, ทศนิยม, ตัวเลขคละ ฯลฯ ตัวอย่างเช่น หากคุณเพิ่มส่วนของเส้นพิกัดจาก 0 เป็น 1 คุณจะเห็นภาพต่อไปนี้

จะเห็นได้ว่าระหว่างจำนวนเต็ม 0 ถึง 1 มีจำนวนตรรกยะอื่นๆ อยู่ ซึ่งเป็นเศษส่วนทศนิยมที่คุ้นเคย ที่นี่คุณจะเห็นเศษส่วนของเราซึ่งอยู่ในตำแหน่งเดียวกับเศษส่วนทศนิยม 0.5 การตรวจสอบตัวเลขนี้อย่างละเอียดจะช่วยตอบคำถามว่าเหตุใดเศษส่วนจึงอยู่ตรงจุดนั้น

เศษส่วนหมายถึงการหาร 1 ด้วย 2 และถ้าเราหาร 1 ด้วย 2 เราจะได้ 0.5

เศษส่วนทศนิยม 0.5 สามารถปลอมตัวเป็นเศษส่วนอื่นได้ จากคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน เรารู้ว่าถ้าตัวเศษและส่วนของเศษส่วนถูกคูณหรือหารด้วยจำนวนเดียวกัน ค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง

หากตัวเศษและส่วนของเศษส่วนคูณด้วยตัวเลขใดๆ เช่น 4 เราก็จะได้เศษส่วนใหม่และเศษส่วนนี้ก็เท่ากับ 0.5 เช่นกัน

ซึ่งหมายความว่าบนเส้นพิกัด เศษส่วนสามารถวางในตำแหน่งเดียวกับตำแหน่งของเศษส่วนได้

ตัวอย่างที่ 2ลองทำเครื่องหมายจำนวนตรรกยะบนพิกัดกัน หมายเลขนี้อยู่ระหว่างหมายเลข 1 และ 2 พอดี

ค่าเศษส่วนคือ 1.5

หากเราเพิ่มส่วนของเส้นพิกัดจาก 1 เป็น 2 เราจะเห็นภาพต่อไปนี้:

จะเห็นได้ว่าระหว่างจำนวนเต็ม 1 และ 2 มีจำนวนตรรกยะอื่นๆ อยู่ด้วย ซึ่งเป็นเศษส่วนทศนิยมที่คุ้นเคย ที่นี่คุณจะเห็นเศษส่วนของเราซึ่งอยู่ในตำแหน่งเดียวกับเศษส่วนทศนิยม 1.5

เราขยายบางส่วนบนเส้นพิกัดเพื่อดูจำนวนที่เหลืออยู่บนส่วนนี้ เป็นผลให้เราค้นพบเศษส่วนทศนิยมที่มีหนึ่งหลักหลังจุดทศนิยม

แต่ตัวเลขเหล่านี้ไม่ใช่ตัวเลขเดียวที่อยู่ในกลุ่มเหล่านี้ มีตัวเลขมากมายนับไม่ถ้วนอยู่บนเส้นพิกัด

เดาได้ไม่ยากว่าระหว่างเศษส่วนทศนิยมที่มีเลขหลักหลังจุดทศนิยมยังมีเศษส่วนทศนิยมอื่นๆ ที่มีเลข 2 หลักหลังจุดทศนิยม กล่าวอีกนัยหนึ่งหนึ่งในร้อยของเซ็กเมนต์

เช่น ลองมาดูตัวเลขที่อยู่ระหว่างเศษส่วนทศนิยม 0.1 กับ 0.2

อีกตัวอย่างหนึ่ง เศษส่วนทศนิยมที่มีตัวเลขสองหลักหลังจุดทศนิยมและอยู่ระหว่างศูนย์และจำนวนตรรกยะ 0.1 มีลักษณะดังนี้:

ตัวอย่างที่ 3ให้เราทำเครื่องหมายจำนวนตรรกยะบนเส้นพิกัด จำนวนตรรกยะนี้จะใกล้กับศูนย์มาก

ค่าของเศษส่วนคือ 0.02

หากเราเพิ่มส่วนจาก 0 เป็น 0.1 เราจะเห็นว่าจำนวนตรรกยะอยู่ที่ใด

จะเห็นได้ว่าจำนวนตรรกยะของเราอยู่ในตำแหน่งเดียวกับเศษส่วนทศนิยม 0.02

ตัวอย่างที่ 4ให้เราทำเครื่องหมายจำนวนตรรกยะ 0 บนเส้นพิกัด (3)

จำนวนตรรกยะ 0, (3) เป็นเศษส่วนคาบไม่สิ้นสุด เศษส่วนของมันไม่มีที่สิ้นสุด มันไม่มีที่สิ้นสุด

และเนื่องจากตัวเลข 0,(3) มีส่วนที่เป็นเศษส่วนอนันต์ ซึ่งหมายความว่าเราจะไม่สามารถหาตำแหน่งที่แน่นอนบนเส้นพิกัดซึ่งเป็นตำแหน่งของตัวเลขนี้ได้ เราสามารถระบุสถานที่นี้ได้ประมาณเท่านั้น

จำนวนตรรกยะ 0.33333... จะอยู่ใกล้กับเศษส่วนทศนิยมสามัญ 0.3 มาก

รูปนี้ไม่ได้แสดงตำแหน่งที่แน่นอนของเลข 0,(3) นี่เป็นเพียงภาพประกอบเพื่อแสดงให้เห็นว่าเศษส่วนคาบ 0.(3) สามารถเข้าใกล้เศษส่วนทศนิยมปกติ 0.3 ได้อย่างไร

ตัวอย่างที่ 5ให้เราทำเครื่องหมายจำนวนตรรกยะบนเส้นพิกัด จำนวนตรรกยะนี้จะอยู่ตรงกลางระหว่างเลข 2 และ 3

นี่คือ 2 (จำนวนเต็มสองจำนวน) และ (หนึ่งวินาที) เศษส่วนเรียกอีกอย่างว่า "ครึ่ง" ดังนั้นเราจึงทำเครื่องหมายสองส่วนทั้งหมดและอีกครึ่งหนึ่งบนเส้นพิกัด

ถ้าเราแปลงจำนวนคละเป็นเศษส่วนเกิน เราจะได้เศษส่วนสามัญ เศษส่วนบนเส้นพิกัดนี้จะอยู่ในตำแหน่งเดียวกับเศษส่วน

ค่าของเศษส่วนคือ 2.5

หากเราเพิ่มส่วนของเส้นพิกัดจาก 2 เป็น 3 เราจะเห็นภาพต่อไปนี้:

จะเห็นได้ว่าจำนวนตรรกยะของเราอยู่ในตำแหน่งเดียวกับเศษส่วนทศนิยม 2.5

ลบก่อนจำนวนตรรกยะ

ในบทเรียนที่แล้วซึ่งมีชื่อว่า เราได้เรียนรู้วิธีหารจำนวนเต็มแล้ว ทั้งจำนวนบวกและลบสามารถทำหน้าที่เป็นเงินปันผลและตัวหารได้

ลองพิจารณานิพจน์ที่ง่ายที่สุด

(−6) : 2 = −3

ในนิพจน์นี้ เงินปันผล (−6) เป็นจำนวนลบ

ตอนนี้ให้พิจารณานิพจน์ที่สอง

6: (−2) = −3

โดยที่ตัวหาร (−2) นั้นเป็นจำนวนลบอยู่แล้ว แต่ในทั้งสองกรณี เราได้คำตอบเดียวกันคือ -3

เมื่อพิจารณาว่าการหารใดๆ สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ เราก็สามารถเขียนตัวอย่างที่กล่าวถึงข้างต้นเป็นเศษส่วนได้:

และเนื่องจากในทั้งสองกรณี ค่าของเศษส่วนจะเท่ากัน ค่าลบของตัวเศษหรือตัวส่วนจึงสามารถทำให้เป็นค่าร่วมได้โดยวางไว้หน้าเศษส่วน

ดังนั้น คุณสามารถใส่เครื่องหมายเท่ากับระหว่างสำนวนต่างๆ และ และ เนื่องจากสำนวนเหล่านี้มีความหมายเหมือนกัน

ในอนาคต เมื่อทำงานกับเศษส่วน ถ้าเราเจอลบในตัวเศษหรือตัวส่วน เราจะทำให้ค่าลบนี้เป็นค่าร่วมโดยวางไว้หน้าเศษส่วน

จำนวนตรรกยะตรงข้าม

เช่นเดียวกับจำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะจะมีจำนวนตรงข้ามกัน

ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนตรรกยะ หมายเลขตรงข้ามเป็น . มันตั้งอยู่บนเส้นพิกัดอย่างสมมาตรกับตำแหน่งที่สัมพันธ์กับที่มาของพิกัด กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวเลขทั้งสองนี้มีระยะห่างจากจุดกำเนิดเท่ากัน

การแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกิน

เรารู้ว่าในการแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกิน เราต้องคูณส่วนทั้งหมดด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแล้วบวกเข้ากับตัวเศษของเศษส่วน จำนวนผลลัพธ์จะเป็นตัวเศษของเศษส่วนใหม่แต่ตัวส่วนยังคงเท่าเดิม

ตัวอย่างเช่น ลองแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกิน

คูณส่วนทั้งหมดด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแล้วบวกตัวเศษของเศษส่วน:

ลองคำนวณนิพจน์นี้:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

ผลลัพธ์หมายเลข 5 จะเป็นตัวเศษของเศษส่วนใหม่ แต่ตัวส่วนจะยังคงเหมือนเดิม:

เต็มที่ ขั้นตอนนี้เขียนดังนี้:

หากต้องการคืนจำนวนคละเดิม ให้เลือกทั้งส่วนในเศษส่วนก็เพียงพอแล้ว

แต่วิธีการแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกินวิธีนี้จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อจำนวนคละเป็นบวกเท่านั้น สำหรับ จำนวนลบวิธีนี้จะไม่ทำงาน

ลองพิจารณาเศษส่วนกัน. ลองเลือกเศษส่วนนี้ทั้งหมด. เราได้รับ

หากต้องการส่งกลับเศษส่วนเดิม คุณต้องแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกิน แต่ถ้าเราใช้กฎเก่า กล่าวคือ คูณส่วนทั้งหมดด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแล้วบวกตัวเศษของเศษส่วนเข้ากับตัวเลขผลลัพธ์ เราจะได้ข้อขัดแย้งดังต่อไปนี้:

เราได้รับเศษส่วน แต่เราควรจะได้รับเศษส่วน

เราสรุปได้ว่าจำนวนคละถูกแปลงเป็นเศษส่วนเกินอย่างไม่ถูกต้อง

หากต้องการแปลงจำนวนคละลบให้เป็นเศษส่วนเกินอย่างถูกต้อง คุณต้องคูณส่วนทั้งหมดด้วยตัวส่วนของเศษส่วน และจากจำนวนผลลัพธ์ ลบตัวเศษของเศษส่วน ในกรณีนี้ทุกอย่างจะเข้าที่สำหรับเรา

จำนวนคละที่เป็นลบจะตรงข้ามกับจำนวนคละ หากจำนวนบวกคละอยู่ทางด้านขวาและมีลักษณะเช่นนี้