ฟังก์ชัน f x เรียกว่า ถ้าเป็นคี่ ฟังก์ชันคู่และคี่ ระยะเวลาของฟังก์ชัน สุดขีดของฟังก์ชัน

แม้ว่าทั้งหมด \(x\) จากโดเมนของคำจำกัดความต่อไปนี้จะเป็นจริง: \(f(-x)=f(x)\)

กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน \(y\):

ตัวอย่าง: ฟังก์ชัน \(f(x)=x^2+\cos x\) เป็นเลขคู่ เพราะว่า \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\) .

\(\blacktriangleright\) ฟังก์ชัน \(f(x)\) เรียกว่าคี่ ถ้าสำหรับทุก \(x\) จากโดเมนของคำจำกัดความ ต่อไปนี้เป็นจริง: \(f(-x)=-f(x) \) .

กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด:

ตัวอย่าง: ฟังก์ชัน \(f(x)=x^3+x\) เป็นเลขคี่ เพราะ \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\) .

\(\blacktriangleright\) ฟังก์ชันที่ไม่ใช่เลขคู่หรือคี่เรียกว่าฟังก์ชัน มุมมองทั่วไป- ฟังก์ชันดังกล่าวสามารถแสดงเป็นผลรวมของฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่ได้โดยไม่ซ้ำกันเสมอ

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน \(f(x)=x^2-x\) คือผลรวมของฟังก์ชันคู่ \(f_1=x^2\) และค่าคี่ \(f_2=-x\)

\(\สามเหลี่ยมสีดำขวา\) คุณสมบัติบางอย่าง:

1) ผลคูณและผลหารของสองฟังก์ชันที่มีความเท่าเทียมกันเป็นฟังก์ชันคู่

2) ผลคูณและผลหารของสองฟังก์ชันที่มีความเท่าเทียมกันเป็นฟังก์ชันคี่

3) ผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันคู่ - ฟังก์ชันคู่

4) ผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันคี่ - ฟังก์ชันคี่

5) ถ้า \(f(x)\) เป็นฟังก์ชันเลขคู่ ดังนั้นสมการ \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) จะมีรากที่ไม่ซ้ำกันก็ต่อเมื่อ \( x =0\) .

6) ถ้า \(f(x)\) เป็นฟังก์ชันคู่หรือคี่ และสมการ \(f(x)=0\) มีราก \(x=b\) แล้วสมการนี้จะมีวินาทีแน่นอน ราก \(x =-b\)

\(\blacktriangleright\) ฟังก์ชัน \(f(x)\) เรียกว่าเป็นคาบบน \(X\) ถ้าสำหรับตัวเลขบางตัว \(T\ne 0\) ค่าต่อไปนี้คงอยู่: \(f(x)=f( x+T) \) โดยที่ \(x, x+T\in X\) \(T\) ที่เล็กที่สุดซึ่งเป็นไปตามความเท่าเทียมกันนี้เรียกว่าคาบหลัก (หลัก) ของฟังก์ชัน

คุณ ฟังก์ชั่นเป็นระยะตัวเลขใดๆ ในรูปแบบ \(nT\) โดยที่ \(n\in \mathbb(Z)\) จะเป็นจุดเช่นกัน

ตัวอย่าง: ใด ๆ ฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นงวด;
สำหรับฟังก์ชัน \(f(x)=\sin x\) และ \(f(x)=\cos x\) คาบหลักจะเท่ากับ \(2\pi\) สำหรับฟังก์ชัน \(f(x )=\mathrm( tg)\,x\) และ \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) คาบหลักเท่ากับ \(\pi\)

ในการสร้างกราฟของฟังก์ชันคาบ คุณสามารถพล็อตกราฟบนส่วนของความยาวใดๆ \(T\) (คาบหลัก) จากนั้นกราฟของฟังก์ชันทั้งหมดจะเสร็จสมบูรณ์โดยการเลื่อนส่วนที่สร้างตามจำนวนงวดไปทางขวาและซ้าย:

\(\blacktriangleright\) โดเมน \(D(f)\) ของฟังก์ชัน \(f(x)\) เป็นชุดที่ประกอบด้วยค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ \(x\) ซึ่งฟังก์ชันนี้สมเหตุสมผล (ถูกกำหนดไว้)

ตัวอย่าง: ฟังก์ชัน \(f(x)=\sqrt x+1\) มีโดเมนที่มีความหมาย: \(x\in

ภารกิจที่ 1 #6364

ระดับงาน: เท่ากับการสอบ Unified State

ค่าใดของพารามิเตอร์ \(a\) ที่ทำสมการ

มี ทางออกเดียว?

โปรดทราบว่าเนื่องจาก \(x^2\) และ \(\cos x\) เป็นฟังก์ชันคู่ หากสมการมีราก \(x_0\) ก็จะมีราก \(-x_0\) ด้วยเช่นกัน
โดยแท้แล้ว ให้ \(x_0\) เป็นราก นั่นคือ ความเท่าเทียมกัน \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) เป็นจริง แทน \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\ ,(\cos x_0)+a^2=0\) .

ดังนั้น ถ้า \(x_0\ne 0\) สมการก็จะมีรากอย่างน้อยสองรากอยู่แล้ว ดังนั้น \(x_0=0\) แล้ว:

เราได้รับสองค่าสำหรับพารามิเตอร์ \(a\) โปรดทราบว่าเราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า \(x=0\) เป็นรากของสมการดั้งเดิมทุกประการ แต่เราไม่เคยใช้ความจริงที่ว่าเขาเป็นคนเดียว ดังนั้นคุณต้องแทนที่ค่าผลลัพธ์ของพารามิเตอร์ \(a\) ลงในสมการดั้งเดิมและตรวจสอบว่า \(a\) รูท \(x=0\) เฉพาะใดจะไม่ซ้ำกันจริงๆ

1) ถ้า \(a=0\) สมการจะอยู่ในรูปแบบ \(2x^2=0\) แน่นอนว่าสมการนี้มีเพียงรากเดียวเท่านั้น \(x=0\) ดังนั้นค่า \(a=0\) จึงเหมาะกับเรา

2) ถ้า \(a=-\mathrm(tg)\,1\) สมการจะอยู่ในรูปแบบ \ เราเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ \ เนื่องจาก \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\) จากนั้น \(- \mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\) ดังนั้น ค่าทางด้านขวาของสมการ (*) จึงอยู่ในส่วน \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\)

เนื่องจาก \(x^2\geqslant 0\) ดังนั้น ด้านซ้ายสมการ (*) มากกว่าหรือเท่ากับ \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\)

ดังนั้น ความเท่าเทียมกัน (*) จะเป็นที่น่าพอใจก็ต่อเมื่อทั้งสองด้านของสมการเท่ากับ \(\mathrm(tg)^2\,1\) เท่านั้น ซึ่งหมายความว่า \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \ mathrm( tg)\,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(กรณี) \quad\ลูกศรซ้ายขวา\quad \begin(กรณี) x=0\\ \mathrm(tg)\, (\ cos x)=\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] ดังนั้นค่า \(a=-\mathrm(tg)\,1\) จึงเหมาะกับเรา

คำตอบ:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

ภารกิจที่ 2 #3923

ระดับงาน: เท่ากับการสอบ Unified State

ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ \(a\) ซึ่งแต่ละค่าจะมีกราฟของฟังก์ชัน \

สมมาตรเกี่ยวกับต้นกำเนิด

หากกราฟของฟังก์ชันมีความสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิด ฟังก์ชันดังกล่าวจะเป็นเลขคี่ นั่นคือ \(f(-x)=-f(x)\) ถือไว้สำหรับ \(x\) ใดๆ จากโดเมน นิยามของฟังก์ชัน ดังนั้นจึงจำเป็นต้องค้นหาค่าพารามิเตอร์เหล่านั้นซึ่ง \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ขวาน)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ขวาน)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ขวาน)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \ลูกศรขวา \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(ชิด)\]

สมการสุดท้ายจะต้องเป็นไปตามทุก \(x\) จากโดเมนของคำจำกัดความ \(f(x)\) ดังนั้น \(\sin(2\pi a)=0 \ลูกศรขวา a=\dfrac n2, n \in\mathbb(Z)\) .

คำตอบ:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

ภารกิจที่ 3 #3069

ระดับงาน: เท่ากับการสอบ Unified State

ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ \(a\) โดยแต่ละสมการ \ มี 4 คำตอบ โดยที่ \(f\) เป็นฟังก์ชันคาบคู่ที่มีจุด \(T=\dfrac(16)3\) กำหนดบนเส้นจำนวนทั้งหมด และ \(f(x)=ax^2\) สำหรับ \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(งานจากสมาชิก)

เนื่องจาก \(f(x)\) เป็นฟังก์ชันคู่ กราฟของกราฟจึงสมมาตรด้วยความเคารพต่อแกนพิกัด ดังนั้น สำหรับ \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^ 2\) . ดังนั้น สำหรับ \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) และนี่คือส่วนของความยาว \(\dfrac(16)3\) ฟังก์ชันคือ \(f(x)=ax^2\ ) .

1) ให้ \(a>0\) . จากนั้นกราฟของฟังก์ชัน \(f(x)\) จะมีลักษณะดังนี้:


จากนั้น เพื่อให้สมการมี 4 คำตอบ กราฟ \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) ต้องผ่านจุด \(A\) :


ดังนั้น \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9 (a+2)=-32a\end(ชิด)\end(รวบรวม)\right \quad\ลูกศรซ้าย\quad \left[\begin(รวบรวม)\begin(ชิด) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(ชิด) \end( รวบรวม)\right.\] เนื่องจาก \(a>0\) ดังนั้น \(a=\dfrac(18)(23)\) จึงเหมาะสม

2) ให้ \(a0\) ) หากผลคูณของรากทั้งสองเป็นบวกและผลรวมของมันเป็นบวก รากนั้นก็จะเป็นบวก ดังนั้น คุณต้อง: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a