โมดูลัสของตัวเลข (ค่าสัมบูรณ์ของตัวเลข) คำจำกัดความ ตัวอย่าง คุณสมบัติ โมดูลตัวเลข คำอธิบายแบบไม่มีหลักวิทยาศาสตร์ว่าทำไมจึงจำเป็น คุณสมบัติพื้นฐานของโมดูลัสของจำนวนจริง

ขั้นแรก เรากำหนดเครื่องหมายนิพจน์ใต้เครื่องหมายโมดูล จากนั้นจึงขยายโมดูล:

• หากค่าของนิพจน์มากกว่าศูนย์ เราก็เพียงลบมันออกจากใต้เครื่องหมายโมดูลัส
• หากนิพจน์น้อยกว่าศูนย์ เราจะลบมันออกจากใต้เครื่องหมายโมดูลัส โดยเปลี่ยนเครื่องหมาย ดังที่เราทำก่อนหน้านี้ในตัวอย่าง

เรามาลองกันไหม? มาประเมินกัน:

(ลืม ย้ำ)

ถ้าเป็นเช่นนั้นมันมีสัญญาณอะไร? แน่นอน!

ดังนั้นเราจึงขยายเครื่องหมายของโมดูลโดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของนิพจน์:

เข้าใจแล้ว? จากนั้นลองด้วยตัวเอง:

คำตอบ:

โมดูลมีคุณสมบัติอื่นใดอีกบ้าง?

หากเราต้องคูณตัวเลขภายในเครื่องหมายโมดูลัส เราก็คูณโมดูลัสของตัวเลขเหล่านี้ได้ง่ายๆ!!!

ในแง่คณิตศาสตร์ โมดูลัสของผลคูณของตัวเลข เท่ากับผลคูณของโมดูลัสของตัวเลขเหล่านี้

ตัวอย่างเช่น:

จะเกิดอะไรขึ้นหากเราต้องหารตัวเลขสองตัว (นิพจน์) ใต้เครื่องหมายโมดูลัส?

ใช่ เช่นเดียวกับการคูณ! ลองแบ่งมันออกเป็นสองตัวเลขแยกกัน (นิพจน์) ใต้เครื่องหมายโมดูลัส:

โดยมีเงื่อนไขว่า (เนื่องจากคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้)

มันคุ้มค่าที่จะจดจำคุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งของโมดูล:

โมดูลัสของผลรวมของตัวเลขจะน้อยกว่าหรือเท่ากับผลรวมของโมดูลัสของตัวเลขเหล่านี้เสมอ:

ทำไมจึงเป็นเช่นนี้? มันง่ายมาก!

อย่างที่เราจำได้ โมดูลัสจะเป็นค่าบวกเสมอ แต่ภายใต้เครื่องหมายโมดูลัส สามารถมีตัวเลขใดก็ได้: ทั้งบวกและลบ สมมติว่าตัวเลข และ เป็นบวกทั้งคู่ จากนั้นนิพจน์ทางซ้ายจะเท่ากับนิพจน์ทางขวา

ลองดูตัวอย่าง:

ถ้าภายใต้เครื่องหมายโมดูลัส ตัวเลขตัวหนึ่งเป็นลบ และอีกตัวเป็นค่าบวก นิพจน์ทางซ้ายจะน้อยกว่านิพจน์ทางขวาเสมอ:

ทุกอย่างดูชัดเจนสำหรับคุณสมบัตินี้ มาดูคุณสมบัติที่มีประโยชน์อีกสองสามประการของโมดูลกัน

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเรามีนิพจน์นี้:

เราทำอะไรกับนิพจน์นี้ได้บ้าง? เราไม่ทราบค่าของ x แต่เรารู้อยู่แล้วว่าหมายถึงอะไร

ตัวเลขมากกว่าศูนย์ ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถเขียนได้ว่า:

เรามาสู่อีกทรัพย์สินหนึ่งซึ่งโดยทั่วไปสามารถแสดงได้ดังนี้:

นิพจน์นี้เท่ากับอะไร:

ดังนั้นเราจึงต้องกำหนดเครื่องหมายไว้ใต้โมดูลัส จำเป็นต้องกำหนดสัญลักษณ์ที่นี่หรือไม่?

ไม่แน่นอน หากคุณจำได้ว่าจำนวนใดๆ ที่กำลังสองจะต้องมากกว่าศูนย์เสมอ! ถ้าจำไม่ได้ก็ดูหัวข้อครับ แล้วจะเกิดอะไรขึ้น? นี่คือสิ่งที่:

เยี่ยมมากใช่มั้ย? ค่อนข้างสะดวก และตอนนี้เป็นตัวอย่างเฉพาะเพื่อเสริมกำลัง:

แล้วจะสงสัยทำไม? มาทำหน้าที่อย่างกล้าหาญกันเถอะ!

คุณคิดออกหมดแล้วหรือยัง? จากนั้นไปข้างหน้าและฝึกฝนด้วยตัวอย่าง!

1. ค้นหาค่าของนิพจน์ถ้า

2. จำนวนใดมีโมดูลัสเท่ากัน

3. ค้นหาความหมายของสำนวน:

หากทุกอย่างชัดเจนยังไม่ชัดเจนและมีปัญหาในการแก้ปัญหา เรามาทำความเข้าใจกันดีกว่า:

โซลูชันที่ 1:

ดังนั้น เรามาแทนที่ค่าและนิพจน์กัน

โซลูชันที่ 2:

อย่างที่เราจำได้ จำนวนที่ตรงกันข้ามมีโมดูลัสเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าค่าโมดูลัสเท่ากับตัวเลขสองตัว: และ

โซลูชันที่ 3:

ก)
ข)
วี)
ช)

คุณจับทุกอย่างแล้วหรือยัง? ถึงเวลาไปสู่สิ่งที่ซับซ้อนกว่านี้แล้ว!

ลองทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

สารละลาย:

ดังนั้นเราจึงจำไว้ว่าค่าโมดูลัสต้องไม่ต่ำกว่าศูนย์ หากสัญญาณมอดุลัสเป็นบวกจากนั้นเราก็ทิ้งเครื่องหมายไปได้เลย: โมดูลัสของตัวเลขจะเท่ากับตัวเลขนี้

แต่หากมีเลขลบอยู่ใต้เครื่องหมายโมดูลัสจากนั้นค่าโมดูลัสจะเท่ากับจำนวนตรงข้าม (นั่นคือตัวเลขที่มีเครื่องหมาย "-")

ในการค้นหาโมดูลัสของนิพจน์ใดๆ คุณต้องค้นหาก่อนว่าค่านั้นมีค่าเป็นบวกหรือลบ

ปรากฎว่าค่าของนิพจน์แรกภายใต้โมดูล

ดังนั้น การแสดงออกภายใต้เครื่องหมายโมดูลัสจึงเป็นลบ นิพจน์ที่สองภายใต้เครื่องหมายโมดูลัสจะเป็นค่าบวกเสมอ เนื่องจากเราจะบวกเลขบวกสองตัว

ดังนั้น ค่าของนิพจน์แรกภายใต้เครื่องหมายมอดุลัสจึงเป็นค่าลบ ส่วนค่าที่สองคือค่าบวก:

ซึ่งหมายความว่าเมื่อขยายเครื่องหมายมอดุลัสของนิพจน์แรก เราต้องใช้นิพจน์นี้โดยมีเครื่องหมาย "-" แบบนี้:

ในกรณีที่สอง เราเพียงแต่ทิ้งเครื่องหมายมอดุลัสไป:

มาทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้นทั้งหมด:

โมดูลของตัวเลขและคุณสมบัติของมัน (คำจำกัดความและการพิสูจน์ที่เข้มงวด)

คำนิยาม:

โมดูลัส (ค่าสัมบูรณ์) ของตัวเลขคือตัวเลขเอง ถ้า และตัวเลข ถ้า:

ตัวอย่างเช่น:

ตัวอย่าง:

ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย:

คุณสมบัติพื้นฐานของโมดูล

สำหรับทุกคน:

ตัวอย่าง:

พิสูจน์ทรัพย์สินหมายเลข 5

การพิสูจน์:

ให้เราสมมติว่ามีเช่นนั้น

ลองยกกำลังสองด้านซ้ายและขวาของอสมการ (ซึ่งสามารถทำได้ เนื่องจากอสมการทั้งสองด้านไม่เป็นลบเสมอ):

และสิ่งนี้ขัดแย้งกับคำจำกัดความของโมดูล

ด้วยเหตุนี้ คนดังกล่าวจึงไม่มีอยู่จริง ซึ่งหมายความว่าความไม่เท่าเทียมกันจะมีอยู่สำหรับทุกคน

ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

1) พิสูจน์ทรัพย์สินหมายเลข 6

2) ลดความซับซ้อนของนิพจน์

คำตอบ:

1) ลองใช้คุณสมบัติหมายเลข 3: และตั้งแต่นั้นมา

เพื่อให้ง่ายขึ้น คุณต้องขยายโมดูล และในการขยายโมดูล คุณต้องค้นหาว่านิพจน์ภายใต้โมดูลนั้นเป็นค่าบวกหรือค่าลบ?

ก.

ลองเปรียบเทียบตัวเลขและและ:

ข.

ทีนี้มาเปรียบเทียบกัน:

โมดูลัส (ค่าสัมบูรณ์) ของตัวเลขคือตัวเลขเอง ถ้า และตัวเลข ถ้า:

คุณสมบัติของโมดูล:

1. โมดูลัสของตัวเลขเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ: ;
2. โมดูลของจำนวนตรงข้ามจะเท่ากัน: ;
3. โมดูลัสของผลิตภัณฑ์ของตัวเลขสองตัว (หรือมากกว่า) เท่ากับผลคูณของโมดูลัส: ;
4. โมดูลัสของผลหารของตัวเลขสองตัวเท่ากับผลหารของโมดูลัส: ;
5. โมดูลัสของผลรวมของตัวเลขจะน้อยกว่าหรือเท่ากับผลรวมของโมดูลัสของตัวเลขเหล่านี้เสมอ: ;
6. ตัวคูณบวกคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายโมดูลัส: ที่;

หากต้องการใช้ตัวอย่างการนำเสนอ ให้สร้างบัญชี Google และเข้าสู่ระบบ: https://accounts.google.com

คำอธิบายสไลด์:

เป้าหมายและวัตถุประสงค์ของบทเรียน แนะนำคำจำกัดความของโมดูลของจำนวนจริง พิจารณาคุณสมบัติและอธิบายความหมายทางเรขาคณิตของโมดูล ป้อนฟังก์ชัน y = |x | แสดงกฎเกณฑ์ในการสร้างกราฟ สอนวิธีการแก้สมการที่มีโมดูลในรูปแบบต่างๆ พัฒนาความสนใจในด้านคณิตศาสตร์ ความเป็นอิสระ การคิดเชิงตรรกะ การพูดทางคณิตศาสตร์ ปลูกฝังความแม่นยำ และการทำงานหนัก

คำนิยาม. ตัวอย่างเช่น: |8|=8 ; - -8 | =-(-8)=8; =-(-8)=8;

คุณสมบัติของโมดูล

ความหมายทางเรขาคณิตของโมดูล เส้นจำนวนเป็นตัวอย่างที่ดีของเซตของจำนวนจริง ลองทำเครื่องหมายจุด a และ b สองจุดบนเส้นจำนวนแล้วลองหาระยะทาง ρ(a ; b) ระหว่างจุดเหล่านี้ แน่นอนว่า ระยะนี้เท่ากับ b-a ถ้า b>a ถ้าเราสลับสถานที่ นั่นคือ a > b ระยะทางจะเท่ากับ a - b ถ้า a = b ระยะทางจะเป็นศูนย์ เนื่องจากผลลัพธ์คือจุด เราสามารถอธิบายทั้งสามกรณีได้เหมือนกัน:

ตัวอย่าง. แก้สมการ: a) |x-3|=6 b) |x+5|=3 c) |x|=2.8 d) วิธีแก้ ก) เราจำเป็นต้องค้นหาจุดบนเส้นพิกัดที่อยู่ห่างจากจุด 3 ที่ระยะเท่ากับ 6 จุดดังกล่าวคือ 9 และ -3 (เราบวกและลบหกจากสาม) คำตอบ: x=9 และ x=-3 b) | x +5|=3 เราเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ | x -(-5)|=3. ลองหาระยะทางจากจุด -5 ลบออกด้วย 3 ระยะนี้ปรากฎว่ามาจากจุดสองจุด: x=2 และ x=-8 คำตอบ: x=2 และ x=-8 ค) | x |=2.8 สามารถแสดงเป็น |x-0|=2.8 หรือแน่นอน x=-2.8 หรือ x=2.8 คำตอบ: x=-2.8 และ x=2.8 d) เทียบเท่า เห็นได้ชัดว่า

ฟังก์ชัน y = |x|

แก้สมการ |x-1| = 4 วิธีที่ 1 (วิเคราะห์) งานที่ 2

วิธีที่ 2 (กราฟิก)

โมดูลัสของจำนวนจริง เอกลักษณ์ พิจารณานิพจน์ ถ้า a>0 เราก็จะรู้สิ่งนั้น แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเป็น 0 2. เรามาสรุปกันดีกว่า: ตามคำจำกัดความของโมดูล: นั่นคือ

โมดูลัสของจำนวนจริง ตัวอย่าง. ลดความซับซ้อนของนิพจน์ถ้า: a) a-2≥0 b) a -2

โมดูลัสของจำนวนจริง ตัวอย่าง. คำนวณโซลูชัน เรารู้ว่า: ยังคงต้องขยายโมดูล พิจารณานิพจน์แรก:

ลองพิจารณานิพจน์ที่สอง: การใช้คำจำกัดความเราขยายสัญญาณของโมดูล: ด้วยเหตุนี้เราจึงได้: คำตอบ: 1

การรวมวัสดุใหม่ หมายเลข 16.2, หมายเลข 16.3, หมายเลข 16.4, หมายเลข 16.12, หมายเลข 16.16 (a, d), หมายเลข 16.19

ปัญหาสำหรับการแก้ปัญหาอย่างอิสระ 1. แก้สมการ: ก) | x -10|=3 ข) | x +2|=1 ค) | x |=2.8 d) 2. แก้สมการ: a) |3 x -9|=33 b) |8-4 x |=16 c) | x +7|=-3 3. ลดความซับซ้อนของนิพจน์ถ้า a) a-3≥0 b) a -3

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว: Zvavich L.I. พีชคณิต. การศึกษาเชิงลึก ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8: หนังสือปัญหา / L.I. ซวาวิช, เอ.อาร์. ไรซานอฟสกี้ – ฉบับที่ 4, ว. – อ.: Mnemosyne, 2549. – 284 หน้า มอร์ดโควิช เอ.จี. พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป / A.G. มอร์ดโควิช. – ฉบับที่ 12, ลบออก. – อ.: Mnemosyne, 2014. – 215 น. Mordkovich A.G. และคนอื่นๆ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 2 หนังสือปัญหาสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป / ed. เอ.จี. มอร์ดโควิช. – ฉบับที่ 12, ว. และเพิ่มเติม – อ.: Mnemosyne, 2014. – 271 น.

§ 1 โมดูลัสของจำนวนจริง

ในบทนี้ เราจะศึกษาแนวคิดเรื่อง "โมดูลัส" สำหรับจำนวนจริงใดๆ

ให้เราเขียนคุณสมบัติของโมดูลัสของจำนวนจริง:

§ 2 การแก้สมการ

การใช้ความหมายทางเรขาคณิตของโมดูลัสของจำนวนจริง เราจะแก้สมการต่างๆ ได้

ดังนั้นสมการจึงมี 2 ราก: -1 และ 3

ดังนั้นสมการจึงมี 2 ราก: -3 และ 3

ในทางปฏิบัติ มีการใช้คุณสมบัติต่างๆ ของโมดูล

ลองดูตัวอย่างที่ 2:

ดังนั้น ในบทเรียนนี้ คุณได้ศึกษาแนวคิดเรื่อง "โมดูลัสของจำนวนจริง" คุณสมบัติพื้นฐานและความหมายทางเรขาคณิต นอกจากนี้เรายังแก้ไขปัญหาทั่วไปหลายประการโดยใช้คุณสมบัติและการแทนค่าทางเรขาคณิตของโมดูลัสของจำนวนจริง

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้:

1. มอร์ดโควิช เอ.จี. "พีชคณิต" ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 เวลา 14.00 น. ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษา / A.G. มอร์ดโควิช. – ฉบับที่ 9 แก้ไขใหม่ – อ.: Mnemosyne, 2550. – 215 น.: ป่วย.
2. มอร์ดโควิช เอ.จี. "พีชคณิต" ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 เวลา 14.00 น. ตอนที่ 2 หนังสือปัญหาสำหรับสถาบันการศึกษา / A.G. Mordkovich, T.N. มิชูสตินา, E.E. Tulchinskaya.. – ฉบับที่ 8, – อ.: Mnemosyne, 2006. – 239 น.
3. พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 แบบทดสอบสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาของแอล.เอ. อเล็กซานดรอฟ เอ็ด. เอ.จี. Mordkovich ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2 ถูกลบออก - อ.: Mnemosyne, 2552. - 40 น.
4. พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 งานอิสระสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษา: ไปยังตำราเรียนของ A.G. มอร์ดโควิช แอล.เอ. อเล็กซานดรอฟ เอ็ด. เอ.จี. มอร์โควิช ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 9 ถูกลบทิ้ง - อ.: Mnemosyne, 2013. - 112 น.

ในบทความนี้เราจะวิเคราะห์โดยละเอียด โมดูลัสของจำนวน- เราจะให้คำจำกัดความต่างๆ ของโมดูลัสของตัวเลข แนะนำสัญกรณ์ และจัดเตรียมภาพประกอบกราฟิก ในเวลาเดียวกัน เรามาดูตัวอย่างต่างๆ ของการค้นหาโมดูลัสของตัวเลขตามคำจำกัดความกัน หลังจากนี้ เราจะแสดงรายการและปรับคุณสมบัติหลักของโมดูล ในตอนท้ายของบทความ เราจะพูดถึงวิธีการหาโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน

การนำทางหน้า

โมดูลตัวเลข - คำจำกัดความ สัญกรณ์ และตัวอย่าง

ก่อนอื่นเราขอแนะนำ การกำหนดโมดูลัสจำนวน- เราจะเขียนโมดูลัสของตัวเลข a เป็น กล่าวคือ เราจะใส่เครื่องหมายขีดแนวตั้งทางซ้ายและขวาของตัวเลขเพื่อสร้างเครื่องหมายโมดูลัส ลองยกตัวอย่างสักสองสามตัวอย่าง ตัวอย่างเช่น โมดูล −7 สามารถเขียนเป็น ; โมดูล 4.125 เขียนเป็น และโมดูลมีสัญลักษณ์ของแบบฟอร์ม

คำจำกัดความของโมดูลัสต่อไปนี้อ้างอิงถึง และดังนั้น ถึง และถึงจำนวนเต็ม และจำนวนตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของเซตของจำนวนจริง เราจะพูดถึงโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนใน

คำนิยาม.

โมดูลัสของจำนวน a– อาจเป็นตัวเลข a เอง ถ้า a เป็นจำนวนบวก หรือตัวเลข −a ซึ่งตรงกันข้ามกับตัวเลข a ถ้า a เป็นจำนวนลบ หรือ 0 ถ้า a=0

คำจำกัดความที่เปล่งออกมาของโมดูลัสของตัวเลขมักเขียนในรูปแบบต่อไปนี้ รายการนี้หมายความว่า if a>0 , if a=0 และ if a<0 .

บันทึกสามารถนำเสนอในรูปแบบที่กะทัดรัดยิ่งขึ้น - สัญกรณ์นี้หมายความว่า ถ้า (a มากกว่าหรือเท่ากับ 0) และถ้า a<0 .

มีเข้าด้วย - ในที่นี้เราควรแยกอธิบายกรณีที่ a=0 ในกรณีนี้ เรามี แต่ −0=0 เนื่องจากศูนย์ถือเป็นตัวเลขที่อยู่ตรงข้ามกับตัวมันเอง

ให้กันเถอะ ตัวอย่างการหาโมดูลัสของตัวเลขโดยใช้คำจำกัดความที่ระบุไว้ ตัวอย่างเช่น ลองหาโมดูลของตัวเลข 15 และ . เริ่มต้นด้วยการค้นหา เนื่องจากจำนวน 15 เป็นบวก โมดูลัสตามคำจำกัดความจึงเท่ากับจำนวนนี้เอง นั่นคือ . โมดูลัสของตัวเลขคืออะไร? เนื่องจากเป็นจำนวนลบ โมดูลัสของมันจะเท่ากับจำนวนที่อยู่ตรงข้ามกับตัวเลข ซึ่งก็คือตัวเลขนั่นเอง - ดังนั้น, .

เพื่อสรุปประเด็นนี้ เรานำเสนอข้อสรุปหนึ่งที่สะดวกมากในทางปฏิบัติเมื่อค้นหาโมดูลัสของตัวเลข จากนิยามของมอดุลัสของตัวเลขจะได้ดังนี้ โมดูลัสของตัวเลขจะเท่ากับตัวเลขที่อยู่ใต้เครื่องหมายโมดูลัสโดยไม่คำนึงถึงเครื่องหมายของมันและจากตัวอย่างที่กล่าวมาข้างต้นนี้เห็นได้ชัดเจนมาก ข้อความดังกล่าวอธิบายว่าเหตุใดจึงเรียกโมดูลของตัวเลขด้วย ค่าสัมบูรณ์ของจำนวน- ดังนั้นโมดูลัสของตัวเลขและค่าสัมบูรณ์ของตัวเลขจึงเป็นหนึ่งเดียวกัน

โมดูลัสของตัวเลขเป็นระยะทาง

ในเชิงเรขาคณิต โมดูลัสของตัวเลขสามารถตีความได้ว่าเป็น ระยะทาง- ให้กันเถอะ การหาโมดูลัสของตัวเลขผ่านระยะทาง.

คำนิยาม.

โมดูลัสของจำนวน a– คือระยะห่างจากจุดกำเนิดบนเส้นพิกัดถึงจุดที่ตรงกับเลข a

คำจำกัดความนี้สอดคล้องกับคำจำกัดความของโมดูลัสของตัวเลขที่กำหนดในย่อหน้าแรก มาชี้แจงประเด็นนี้กัน ระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุดที่ตรงกับจำนวนบวกจะเท่ากับจำนวนนี้ ศูนย์สอดคล้องกับจุดกำเนิด ดังนั้นระยะทางจากจุดเริ่มต้นถึงจุดด้วยพิกัด 0 เท่ากับศูนย์ (คุณไม่จำเป็นต้องแยกส่วนของหน่วยออกเป็นส่วนๆ และไม่ใช่ส่วนเดียวที่ประกอบขึ้นเป็นเศษส่วนใดๆ ของส่วนของหน่วยตามลำดับ เพื่อเดินทางจากจุด O ไปยังจุดที่มีพิกัด 0) ระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุดที่มีพิกัดลบเท่ากับตัวเลขที่อยู่ตรงข้ามกับพิกัดของจุดนี้ เนื่องจากจะเท่ากับระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุดที่พิกัดเป็นเลขตรงข้าม

ตัวอย่างเช่น โมดูลัสของเลข 9 เท่ากับ 9 เนื่องจากระยะห่างจากจุดกำเนิดถึงจุดที่มีพิกัด 9 เท่ากับเก้า ลองยกตัวอย่างอื่น จุดที่มีพิกัด −3.25 จะอยู่ที่ระยะ 3.25 จากจุด O ดังนั้น .

คำจำกัดความของโมดูลัสของตัวเลขที่ระบุเป็นกรณีพิเศษของคำจำกัดความของโมดูลัสของผลต่างของตัวเลขสองตัว

คำนิยาม.

โมดูลัสผลต่างของตัวเลขสองตัว a และ b เท่ากับระยะห่างระหว่างจุดของเส้นพิกัดกับพิกัด a และ b

นั่นคือ ถ้าให้จุดบนเส้นพิกัด A(a) และ B(b) แล้ว ระยะทางจากจุด A ไปยังจุด B จะเท่ากับโมดูลัสของความแตกต่างระหว่างตัวเลข a และ b หากเราถือว่าจุด O (จุดกำเนิด) เป็นจุด B เราจะได้คำจำกัดความของโมดูลัสของตัวเลขที่กำหนดไว้ที่ตอนต้นของย่อหน้านี้

การหาโมดูลัสของตัวเลขโดยใช้รากที่สองทางคณิตศาสตร์

เกิดขึ้นเป็นบางครั้ง การหาโมดูลัสโดยใช้รากที่สองทางคณิตศาสตร์.

ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณโมดูลัสของตัวเลข −30 และตามคำจำกัดความนี้ เรามี. ในทำนองเดียวกัน เราคำนวณโมดูลของสองในสาม: .

คำจำกัดความของมอดุลัสของตัวเลขผ่านรากที่สองทางคณิตศาสตร์ยังสอดคล้องกับคำจำกัดความที่ให้ไว้ในย่อหน้าแรกของบทความนี้ด้วย มาแสดงกันเถอะ ให้ a เป็นจำนวนบวก และให้ −a เป็นจำนวนลบ แล้ว และ ถ้า a=0 แล้ว .

คุณสมบัติของโมดูล

โมดูลนี้มีผลลัพธ์ลักษณะเฉพาะหลายประการ - คุณสมบัติของโมดูล- ตอนนี้เราจะนำเสนอหลักและใช้บ่อยที่สุด เมื่อพิจารณาคุณสมบัติเหล่านี้ เราจะอาศัยคำจำกัดความของโมดูลัสของตัวเลขในรูปของระยะทาง

เริ่มจากคุณสมบัติที่ชัดเจนที่สุดของโมดูลกันก่อน - โมดูลัสของตัวเลขไม่สามารถเป็นจำนวนลบได้- ตามตัวอักษร คุณสมบัตินี้มีรูปแบบสำหรับตัวเลข a ใดๆ คุณสมบัตินี้ง่ายต่อการพิสูจน์: โมดูลัสของตัวเลขคือระยะทาง และระยะทางไม่สามารถแสดงเป็นจำนวนลบได้

มาดูคุณสมบัติของโมดูลถัดไปกันดีกว่า โมดูลัสของตัวเลขจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวเลขนี้เป็นศูนย์เท่านั้น- โมดูลัสของศูนย์คือศูนย์ตามคำจำกัดความ ศูนย์สอดคล้องกับจุดกำเนิด ไม่มีจุดอื่นบนเส้นพิกัดที่สอดคล้องกับศูนย์ เนื่องจากแต่ละจำนวนจริงเชื่อมโยงกับจุดเดียวบนเส้นพิกัด ด้วยเหตุผลเดียวกัน จำนวนใดๆ ก็ตามที่ไม่ใช่ศูนย์จะสอดคล้องกับจุดที่แตกต่างจากจุดกำเนิด และระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุดใดๆ ที่ไม่ใช่จุด O ไม่เป็นศูนย์ เนื่องจากระยะห่างระหว่างจุดสองจุดจะเป็นศูนย์ ถ้าจุดเหล่านี้ตรงกันเท่านั้น เหตุผลข้างต้นพิสูจน์ว่าโมดูลัสของศูนย์เท่านั้นที่เท่ากับศูนย์

เดินหน้าต่อไป จำนวนตรงข้ามมีโมดูลเท่ากัน กล่าวคือ สำหรับจำนวน a ใดๆ แท้จริงแล้ว จุดสองจุดบนเส้นพิกัดซึ่งมีพิกัดเป็นตัวเลขตรงข้ามกันนั้นอยู่ห่างจากจุดกำเนิดเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าโมดูลของตัวเลขตรงข้ามจะเท่ากัน

คุณสมบัติของโมดูลต่อไปนี้คือ: โมดูลัสของผลคูณของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับผลคูณของโมดูลัสของตัวเลขเหล่านี้นั่นคือ . ตามคำนิยาม โมดูลัสของผลคูณของจำนวน a และ b เท่ากับ a·b ถ้า หรือ −(a·b) ถ้า จากกฎการคูณจำนวนจริง ผลคูณของโมดูลัสของตัวเลข a และ b เท่ากับ a·b, หรือ −(a·b) ถ้า ซึ่งพิสูจน์คุณสมบัติที่เป็นปัญหา

โมดูลัสของผลหารของหารด้วย b เท่ากับผลหารของโมดูลัสของจำนวนหารด้วยโมดูลัสของ bนั่นคือ . ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติของโมดูลนี้ เนื่องจากผลหารเท่ากับผลคูณแล้ว โดยอาศัยทรัพย์สินเดิมที่เรามี - สิ่งที่เหลืออยู่คือการใช้ความเท่าเทียมกัน ซึ่งถูกต้องโดยอาศัยคำจำกัดความของโมดูลัสของตัวเลข

คุณสมบัติของโมดูลต่อไปนี้ถูกเขียนเป็นความไม่เท่าเทียมกัน: , a , b และ c เป็นจำนวนจริงใดๆ ก็ตาม ความไม่เท่าเทียมกันที่เป็นลายลักษณ์อักษรไม่มีอะไรมากไปกว่า อสมการสามเหลี่ยม- เพื่อให้ชัดเจน ลองใช้จุด A(a), B(b), C(c) บนเส้นพิกัด และพิจารณาสามเหลี่ยม ABC ที่เสื่อมลง ซึ่งมีจุดยอดอยู่บนเส้นเดียวกัน ตามคำนิยาม โมดูลัสของส่วนต่างจะเท่ากับความยาวของส่วน AB - ความยาวของส่วน AC และ - ความยาวของส่วน CB เนื่องจากความยาวของด้านใดๆ ของรูปสามเหลี่ยมไม่เกินผลรวมของความยาวของอีกสองด้านที่เหลือ อสมการจึงเป็นจริง ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันก็เป็นจริงเช่นกัน

ความไม่เท่าเทียมกันที่เพิ่งได้รับการพิสูจน์นั้นพบได้ทั่วไปในรูปแบบนี้มาก - ความไม่เท่าเทียมกันที่เป็นลายลักษณ์อักษรมักจะถือเป็นคุณสมบัติแยกต่างหากของโมดูลโดยมีสูตร: “ โมดูลัสของผลรวมของตัวเลขสองตัวจะต้องไม่เกินผลรวมของโมดูลัสของตัวเลขเหล่านี้- แต่อสมการจะตามมาโดยตรงจากอสมการถ้าเราใส่ −b แทน b แล้วเอา c=0

โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน

ให้กันเถอะ นิยามโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน- ขอให้มันมอบให้เรา จำนวนเชิงซ้อนเขียนในรูปแบบพีชคณิต โดยที่ x และ y เป็นจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง แทนส่วนจริงและส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนด z ตามลำดับ และเป็นหน่วยจินตภาพ