สูตรสำหรับพื้นที่และปริมาตรของตัวเลขเชิงปริมาตร สูตรการหาปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน

และชาวอียิปต์โบราณก็ใช้วิธีการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขต่างๆ คล้ายกับวิธีของเรา

ในหนังสือของฉัน "จุดเริ่มต้น"ยูคลิด นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณผู้โด่งดังอธิบายไว้ค่อนข้างมาก จำนวนมากวิธีการคำนวณพื้นที่ของหลายๆ รูปทรงเรขาคณิต- ต้นฉบับฉบับแรกใน Rus' ที่มีข้อมูลทางเรขาคณิตเขียนขึ้นในศตวรรษที่ 16 อธิบายกฎเกณฑ์ในการหาพื้นที่ของรูปทรงต่างๆ

วันนี้มีตัวช่วย วิธีการที่ทันสมัยคุณสามารถค้นหาพื้นที่ของรูปใด ๆ ได้อย่างแม่นยำ

ลองพิจารณาตัวเลขที่ง่ายที่สุดตัวหนึ่ง นั่นคือสี่เหลี่ยมผืนผ้า และสูตรในการค้นหาพื้นที่ของมัน

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า

ลองพิจารณารูปหนึ่ง (รูปที่ 1) ซึ่งประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส $8$ โดยมีด้านละ $1$ cm พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งด้านที่มีด้าน $1$ cm เรียกว่า ตารางเซนติเมตร และเขียนว่า $1\ cm^2 $.

พื้นที่ของรูปนี้ (รูปที่ 1) จะเท่ากับ $8\cm^2$

พื้นที่ของรูปที่สามารถแบ่งออกเป็นหลายช่องโดยมีด้าน $1\ cm$ (เช่น $p$) จะเท่ากับ $p\ cm^2$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง พื้นที่ของรูปจะเท่ากับหลาย ๆ $cm^2$ ออกเป็นจำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน $1\ cm$ ของรูปนี้สามารถแบ่งได้เป็นจำนวนเท่าใด

ลองพิจารณาสี่เหลี่ยมผืนผ้า (รูปที่ 2) ซึ่งประกอบด้วยแถบ $3$ ซึ่งแต่ละแถบแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส $5$ โดยมีด้าน $1\ cm$ สี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหมดประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส $5\cdot 3=15$ และพื้นที่ของมันคือ $15\cm^2$

รูปที่ 1.

รูปที่ 2.

พื้นที่ของตัวเลขมักจะแสดงด้วยตัวอักษร $S$

หากต้องการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า คุณต้องคูณความยาวด้วยความกว้าง

หากเราแสดงความยาวด้วยตัวอักษร $a$ และความกว้างด้วยตัวอักษร $b$ สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะมีลักษณะดังนี้:

คำจำกัดความ 1

ตัวเลขที่เรียกว่า เท่ากันถ้าเมื่อซ้อนทับกันตัวเลขจะตรงกัน มีตัวเลขเท่ากัน พื้นที่เท่ากันและปริมณฑลเท่ากัน

พื้นที่ของรูปสามารถหาได้จากผลรวมของพื้นที่ของส่วนต่างๆ

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างเช่น ในรูปที่ $3$ สี่เหลี่ยม $ABCD$ จะถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนตามบรรทัด $KLMN$ พื้นที่ของส่วนหนึ่งคือ $12\ cm^2$ และอีกส่วนหนึ่งคือ $9\ cm^2$ จากนั้น พื้นที่ของสี่เหลี่ยม $ABCD$ จะเท่ากับ $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$ ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมโดยใช้สูตร:

อย่างที่คุณเห็น พื้นที่ที่พบโดยทั้งสองวิธีมีค่าเท่ากัน

รูปที่ 3.

รูปที่ 4.

ส่วนของเส้นตรง $AC$ แบ่งสี่เหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปเท่าๆ กัน: $ABC$ และ $ADC$ ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ของแต่ละสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมทั้งหมด

คำจำกัดความ 2

สี่เหลี่ยมผืนผ้าด้วย ด้านที่เท่ากันเรียกว่า สี่เหลี่ยม.

หากเราแสดงด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วยตัวอักษร $a$ สูตรจะพบพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส:

ดังนั้นชื่อของตัวเลข $a$

ตัวอย่างที่ 2

ตัวอย่างเช่น หากด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ $5$ cm พื้นที่ของมันคือ:

เล่ม

ด้วยการพัฒนาด้านการค้าและการก่อสร้าง แม้แต่ในสมัยอารยธรรมโบราณ ความต้องการก็เพิ่มขึ้นในการค้นหาปริมาณ ในทางคณิตศาสตร์ มีเรขาคณิตสาขาหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาตัวเลขเชิงพื้นที่ เรียกว่าสามมิติ การกล่าวถึงสาขาคณิตศาสตร์ที่แยกจากกันนี้พบแล้วใน $IV$ ศตวรรษก่อนคริสต์ศักราช

นักคณิตศาสตร์โบราณได้พัฒนาวิธีการคำนวณปริมาตรของตัวเลขอย่างง่าย - ลูกบาศก์และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน อาคารทุกหลังในสมัยนั้นมีรูปร่างเช่นนี้ แต่พบวิธีต่อมาในการคำนวณปริมาตรของรูปทรงที่ซับซ้อนมากขึ้น

ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน

หากคุณเติมทรายเปียกลงในแม่พิมพ์แล้วพลิกกลับ คุณจะได้รูปทรงสามมิติที่มีปริมาตร หากคุณสร้างฟิกเกอร์หลายตัวโดยใช้แม่พิมพ์เดียวกัน คุณจะได้ฟิกเกอร์ที่มีปริมาตรเท่ากัน หากคุณเติมน้ำลงในแม่พิมพ์ ปริมาตรของน้ำและปริมาตรของรูปร่างทรายก็จะเท่ากันด้วย

รูปที่ 5.

คุณสามารถเปรียบเทียบปริมาตรของภาชนะสองใบได้โดยการเติมน้ำลงในภาชนะใบหนึ่งแล้วเทลงในภาชนะใบที่สอง หากภาชนะใบที่สองเต็มไปหมด ภาชนะนั้นจะมีปริมาตรเท่ากัน ถ้าน้ำยังคงอยู่ในถังใบแรก ปริมาตรของถังใบแรกจะมากกว่าปริมาตรของถังใบที่สอง หากเมื่อเทน้ำจากภาชนะใบแรกแล้วไม่สามารถเติมน้ำใบที่สองได้จนเต็ม ปริมาตรของภาชนะใบแรกจะน้อยกว่าปริมาตรของภาชนะใบที่สอง

ปริมาตรวัดโดยใช้หน่วยต่อไปนี้:

$mm^3$ -- ลูกบาศก์มิลลิเมตร

$cm^3$ -- ลูกบาศก์เซนติเมตร

$dm^3$ -- ลูกบาศก์เดซิเมตร

$m^3$ -- ลูกบาศก์เมตร

$km^3$ -- ลูกบาศก์กิโลเมตร

ตัวเรขาคณิตใดๆ สามารถกำหนดลักษณะได้จากพื้นที่ผิว (S) และปริมาตร (V) พื้นที่และปริมาตรไม่เหมือนกันเลย วัตถุสามารถมี V ที่ค่อนข้างเล็กและ S ขนาดใหญ่ได้ เช่น นี่คือวิธีการทำงานของสมองของมนุษย์ การคำนวณตัวบ่งชี้เหล่านี้สำหรับรูปทรงเรขาคณิตที่เรียบง่ายนั้นง่ายกว่ามาก

Parallelepiped: คำจำกัดความประเภทและคุณสมบัติ

ปริซึมรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือปริซึมสี่เหลี่ยมที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เหตุใดคุณจึงต้องมีสูตรในการหาปริมาตรของตัวเลข หนังสือ กล่องบรรจุภัณฑ์ และสินค้าอื่นๆ อีกมากมายจาก ชีวิตประจำวัน- ห้องในอาคารพักอาศัยและอาคารสำนักงานมักเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน ในการติดตั้งระบบระบายอากาศ เครื่องปรับอากาศ และกำหนดจำนวนองค์ประกอบความร้อนในห้อง จำเป็นต้องคำนวณปริมาตรของห้อง

รูปนี้มี 6 ใบหน้า - สี่เหลี่ยมด้านขนานและ 12 ขอบ; ใบหน้าที่เลือกโดยพลการสองอันเรียกว่าฐาน Parallelepiped มีหลายประเภท ความแตกต่างเกิดจากมุมระหว่างขอบที่อยู่ติดกัน สูตรการหา Vs ของรูปหลายเหลี่ยมต่างๆ จะแตกต่างกันเล็กน้อย

ถ้าหน้าทั้ง 6 ของรูปทรงเรขาคณิตเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ก็จะเรียกว่าสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์เป็นกรณีพิเศษของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่หน้าทั้ง 6 หน้ามีสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากัน ในกรณีนี้ หากต้องการหา V คุณต้องหาความยาวของด้านเดียวแล้วยกกำลังสาม

ในการแก้ปัญหา คุณจะต้องมีความรู้ไม่เพียงแต่เกี่ยวกับสูตรสำเร็จรูปเท่านั้น แต่ยังรวมถึงคุณสมบัติของรูปด้วย รายการคุณสมบัติพื้นฐานของปริซึมสี่เหลี่ยมมีขนาดเล็กและเข้าใจง่ายมาก:

1. ด้านตรงข้ามของรูปจะเท่ากันและขนานกัน ซึ่งหมายความว่าซี่โครงที่อยู่ตรงข้ามมีความยาวและมุมเอียงเท่ากัน
2. ทั้งหมด ใบหน้าด้านข้างขนานกันทางขวา - สี่เหลี่ยม
3. เส้นทแยงมุมหลักทั้งสี่เส้นของรูปทรงเรขาคณิตตัดกันที่จุดหนึ่งและถูกแบ่งครึ่งด้วยจุดนั้น
4. กำลังสองของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีค่าเท่ากับผลรวมของกำลังสองของมิติของรูป (ต่อจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส)

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสระบุว่าผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมที่สร้างบนด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมเดียวกัน

หลักฐานทรัพย์สินสุดท้ายสามารถดูได้จากภาพด้านล่าง กระบวนการแก้ไขปัญหานั้นง่ายและไม่ต้องการคำอธิบายโดยละเอียด

สูตรหาปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สูตรในการค้นหารูปทรงเรขาคณิตทุกประเภทจะเหมือนกัน: V=S*h โดยที่ V คือปริมาตรที่ต้องการ S คือพื้นที่ของฐานของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน h คือความสูงที่ลดลงจากจุดยอดตรงข้าม และ ตั้งฉากกับฐาน ในสี่เหลี่ยมผืนผ้า h เกิดขึ้นพร้อมกับด้านใดด้านหนึ่งของรูป ดังนั้นหากต้องการหาปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัส คุณจะต้องคูณสามมิติ

โดยทั่วไปปริมาตรจะแสดงเป็น cm3 การรู้ค่าทั้งสามค่าของ a, b และ c การค้นหาปริมาตรของรูปนั้นไม่ใช่เรื่องยากเลย ปัญหาประเภทที่พบบ่อยที่สุดในการสอบ Unified State คือการหาปริมาตรหรือเส้นทแยงมุมของเส้นขนาน แก้ทั่วไปหลายอย่าง งานสอบ Unified Stateเป็นไปไม่ได้หากไม่มีสูตรปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ตัวอย่างของงานและการออกแบบโซลูชันแสดงอยู่ในรูปด้านล่าง

หมายเหตุ 1- พื้นที่ผิวของปริซึมสี่เหลี่ยมสามารถหาได้โดยการคูณด้วย 2 ผลรวมของพื้นที่ของทั้งสามด้านของรูป: ฐาน (ab) และด้านสองด้านที่อยู่ติดกัน (bc + ac)

หมายเหตุ 2- พื้นที่ผิวของใบหน้าด้านข้างสามารถกำหนดได้อย่างง่ายดายโดยการคูณเส้นรอบวงของฐานด้วยความสูงของเส้นขนาน

อิงตามคุณสมบัติแรกของเส้นขนาน AB = A1B1 และหน้า B1D1 = BD ตามข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ผลรวมของมุมทั้งหมดในสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 180° และขาที่อยู่ตรงข้ามกับมุม 30° คือ เท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉาก- เมื่อนำความรู้นี้ไปใช้กับรูปสามเหลี่ยม เราจะสามารถหาความยาวของด้าน AB และ AD ได้อย่างง่ายดาย จากนั้นเราจะคูณค่าที่ได้รับและคำนวณปริมาตรของขนาน

สูตรการหาปริมาตรของเส้นขนานที่ลาดเอียง

ในการค้นหาปริมาตรของเส้นขนานที่ลาดเอียงจำเป็นต้องคูณพื้นที่ของฐานของรูปด้วยความสูงที่ลดลงถึงฐานที่กำหนดจากมุมตรงข้าม

ดังนั้น V ที่ต้องการสามารถแสดงในรูปแบบของ h - จำนวนชีตที่มีพื้นที่ฐาน S ดังนั้นปริมาตรของสำรับจึงประกอบด้วย Vs ของไพ่ทั้งหมด

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

งานสอบเดี่ยวจะต้องเสร็จสิ้นภายในระยะเวลาที่กำหนด งานทั่วไปตามกฎแล้วไม่มี ปริมาณมากคอมพิวเตอร์และ เศษส่วนที่ซับซ้อน- บ่อยครั้งที่นักเรียนถูกถามถึงวิธีหาปริมาตรของรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ปกติ ในกรณีเช่นนี้ กฎง่ายๆ ที่ต้องจำก็คือปริมาณรวม เท่ากับผลรวมส่วนประกอบของวี

ดังที่คุณเห็นจากตัวอย่างในภาพด้านบน ไม่มีอะไรยากในการแก้ปัญหาดังกล่าว งานจากส่วนที่ซับซ้อนมากขึ้นต้องอาศัยความรู้เกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและผลที่ตามมา รวมถึงสูตรสำหรับความยาวของเส้นทแยงมุมของรูป เพื่อที่จะแก้ปัญหางานทดสอบได้สำเร็จ การทำความคุ้นเคยกับตัวอย่างงานทั่วไปล่วงหน้าก็เพียงพอแล้ว

และชาวอียิปต์โบราณก็ใช้วิธีการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขต่างๆ คล้ายกับวิธีของเรา

ในหนังสือของฉัน "จุดเริ่มต้น"ยูคลิด นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณผู้โด่งดังได้อธิบายวิธีการคำนวณพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตจำนวนมากไว้ค่อนข้างมาก ต้นฉบับฉบับแรกใน Rus' ที่มีข้อมูลทางเรขาคณิตเขียนขึ้นในศตวรรษที่ 16 อธิบายกฎเกณฑ์ในการหาพื้นที่ของรูปทรงต่างๆ

ทุกวันนี้ด้วยวิธีการที่ทันสมัย ​​คุณสามารถค้นหาพื้นที่ของตัวเลขใด ๆ ได้อย่างแม่นยำ

ลองพิจารณาตัวเลขที่ง่ายที่สุดตัวหนึ่ง นั่นคือสี่เหลี่ยมผืนผ้า และสูตรในการค้นหาพื้นที่ของมัน

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า

ลองพิจารณารูปหนึ่ง (รูปที่ 1) ซึ่งประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส $8$ โดยมีด้านละ $1$ cm พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งด้านที่มีด้าน $1$ cm เรียกว่า ตารางเซนติเมตร และเขียนว่า $1\ cm^2 $.

พื้นที่ของรูปนี้ (รูปที่ 1) จะเท่ากับ $8\cm^2$

พื้นที่ของรูปที่สามารถแบ่งออกเป็นหลายช่องโดยมีด้าน $1\ cm$ (เช่น $p$) จะเท่ากับ $p\ cm^2$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง พื้นที่ของรูปจะเท่ากับหลาย ๆ $cm^2$ ออกเป็นจำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน $1\ cm$ ของรูปนี้สามารถแบ่งได้เป็นจำนวนเท่าใด

ลองพิจารณาสี่เหลี่ยมผืนผ้า (รูปที่ 2) ซึ่งประกอบด้วยแถบ $3$ ซึ่งแต่ละแถบแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส $5$ โดยมีด้าน $1\ cm$ สี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหมดประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส $5\cdot 3=15$ และพื้นที่ของมันคือ $15\cm^2$

รูปที่ 1.

รูปที่ 2.

พื้นที่ของตัวเลขมักจะแสดงด้วยตัวอักษร $S$

หากต้องการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า คุณต้องคูณความยาวด้วยความกว้าง

หากเราแสดงความยาวด้วยตัวอักษร $a$ และความกว้างด้วยตัวอักษร $b$ สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะมีลักษณะดังนี้:

คำจำกัดความ 1

ตัวเลขที่เรียกว่า เท่ากันถ้าเมื่อซ้อนทับกันตัวเลขจะตรงกัน ตัวเลขที่เท่ากันมีพื้นที่และเส้นรอบวงเท่ากัน

พื้นที่ของรูปสามารถหาได้จากผลรวมของพื้นที่ของส่วนต่างๆ

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างเช่น ในรูปที่ $3$ สี่เหลี่ยม $ABCD$ จะถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนตามบรรทัด $KLMN$ พื้นที่ของส่วนหนึ่งคือ $12\ cm^2$ และอีกส่วนหนึ่งคือ $9\ cm^2$ จากนั้น พื้นที่ของสี่เหลี่ยม $ABCD$ จะเท่ากับ $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$ ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมโดยใช้สูตร:

อย่างที่คุณเห็น พื้นที่ที่พบโดยทั้งสองวิธีมีค่าเท่ากัน

รูปที่ 3.

รูปที่ 4.

ส่วนของเส้นตรง $AC$ แบ่งสี่เหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปเท่าๆ กัน: $ABC$ และ $ADC$ ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ของแต่ละสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมทั้งหมด

คำจำกัดความ 2

เรียกว่าสี่เหลี่ยมที่มีด้านเท่ากัน สี่เหลี่ยม.

หากเราแสดงด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วยตัวอักษร $a$ สูตรจะพบพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส:

ดังนั้นชื่อของตัวเลข $a$

ตัวอย่างที่ 2

ตัวอย่างเช่น หากด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ $5$ cm พื้นที่ของมันคือ:

เล่ม

ด้วยการพัฒนาด้านการค้าและการก่อสร้าง แม้แต่ในสมัยอารยธรรมโบราณ ความต้องการก็เพิ่มขึ้นในการค้นหาปริมาณ ในทางคณิตศาสตร์ มีเรขาคณิตสาขาหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาตัวเลขเชิงพื้นที่ เรียกว่าสามมิติ การกล่าวถึงสาขาคณิตศาสตร์ที่แยกจากกันนี้พบแล้วใน $IV$ ศตวรรษก่อนคริสต์ศักราช

นักคณิตศาสตร์โบราณได้พัฒนาวิธีการคำนวณปริมาตรของตัวเลขอย่างง่าย - ลูกบาศก์และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน อาคารทุกหลังในสมัยนั้นมีรูปร่างเช่นนี้ แต่พบวิธีต่อมาในการคำนวณปริมาตรของรูปทรงที่ซับซ้อนมากขึ้น

ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน

หากคุณเติมทรายเปียกลงในแม่พิมพ์แล้วพลิกกลับ คุณจะได้รูปทรงสามมิติที่มีปริมาตร หากคุณสร้างฟิกเกอร์หลายตัวโดยใช้แม่พิมพ์เดียวกัน คุณจะได้ฟิกเกอร์ที่มีปริมาตรเท่ากัน หากคุณเติมน้ำลงในแม่พิมพ์ ปริมาตรของน้ำและปริมาตรของรูปร่างทรายก็จะเท่ากันด้วย

รูปที่ 5.

คุณสามารถเปรียบเทียบปริมาตรของภาชนะสองใบได้โดยการเติมน้ำลงในภาชนะใบหนึ่งแล้วเทลงในภาชนะใบที่สอง หากภาชนะใบที่สองเต็มไปหมด ภาชนะนั้นจะมีปริมาตรเท่ากัน ถ้าน้ำยังคงอยู่ในถังใบแรก ปริมาตรของถังใบแรกจะมากกว่าปริมาตรของถังใบที่สอง หากเมื่อเทน้ำจากภาชนะใบแรกแล้วไม่สามารถเติมน้ำใบที่สองได้จนเต็ม ปริมาตรของภาชนะใบแรกจะน้อยกว่าปริมาตรของภาชนะใบที่สอง

ปริมาตรวัดโดยใช้หน่วยต่อไปนี้:

$mm^3$ -- ลูกบาศก์มิลลิเมตร

$cm^3$ -- ลูกบาศก์เซนติเมตร

$dm^3$ -- ลูกบาศก์เดซิเมตร

$m^3$ -- ลูกบาศก์เมตร

$km^3$ -- ลูกบาศก์กิโลเมตร

ในการแก้ปัญหาเรขาคณิต คุณจำเป็นต้องรู้สูตรต่างๆ เช่น พื้นที่ของสามเหลี่ยมหรือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน รวมถึงเทคนิคง่ายๆ ที่เราจะกล่าวถึง

ขั้นแรก เรามาเรียนรู้สูตรสำหรับพื้นที่ของตัวเลขกันก่อน เราได้รวบรวมไว้เป็นพิเศษในตารางที่สะดวก พิมพ์ เรียนรู้ และนำไปใช้!

แน่นอนว่าไม่มีสูตรเรขาคณิตทั้งหมดอยู่ในตารางของเรา เช่น การแก้ปัญหาทางเรขาคณิตและสามมิติในส่วนที่สอง โปรไฟล์การตรวจสอบ Unified Stateในทางคณิตศาสตร์ก็ใช้สูตรอื่นสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้วย เราจะบอกคุณเกี่ยวกับพวกเขาอย่างแน่นอน

แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณต้องการค้นหาไม่ใช่พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหรือสามเหลี่ยม แต่เป็นพื้นที่ของรูปร่างที่ซับซ้อนล่ะ? มีวิธีการที่เป็นสากล! เราจะแสดงให้พวกเขาดูโดยใช้ตัวอย่างจากคลังงาน FIPI

1. จะหาพื้นที่ของตัวเลขที่ไม่ได้มาตรฐานได้อย่างไร? ตัวอย่างเช่นรูปสี่เหลี่ยมตามอำเภอใจ? เทคนิคง่ายๆ - ลองแบ่งตัวเลขนี้ออกเป็นส่วนที่เรารู้ทุกอย่างแล้วหาพื้นที่ของมัน - เป็นผลรวมของพื้นที่ของตัวเลขเหล่านี้

แบ่งรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนี้ด้วยเส้นแนวนอนออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูป โดยมีฐานร่วมเท่ากับ ความสูงของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้เท่ากับ และ จากนั้นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งสอง: .

คำตอบ: .

2. ในบางกรณีพื้นที่ของรูปสามารถแสดงเป็นผลต่างของบางพื้นที่ได้

มันไม่ง่ายเลยที่จะคำนวณว่าฐานและความสูงของสามเหลี่ยมนี้เท่ากับเท่าใด! แต่เราสามารถพูดได้ว่าพื้นที่ของมันเท่ากับความแตกต่างระหว่างพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านหนึ่งด้านกับสามเหลี่ยมมุมฉากสามรูป คุณเห็นพวกเขาในภาพไหม? เราได้รับ: .

คำตอบ: .

3. บางครั้งในงานคุณต้องค้นหาพื้นที่ที่ไม่ใช่ทั้งร่าง แต่เป็นส่วนหนึ่งของพื้นที่ โดยปกติแล้วเรากำลังพูดถึงพื้นที่ของเซกเตอร์ - ส่วนหนึ่งของวงกลม ค้นหาพื้นที่ของเซกเตอร์ของวงกลมรัศมีที่มีความยาวส่วนโค้งเท่ากับ .

ในภาพนี้เราเห็นส่วนหนึ่งของวงกลม พื้นที่ของวงกลมทั้งหมดเท่ากับ ยังคงต้องค้นหาว่าส่วนใดของวงกลมที่ปรากฎ เนื่องจากความยาวของวงกลมทั้งหมดเท่ากัน (ตั้งแต่) และความยาวของส่วนโค้งของเซกเตอร์ที่กำหนดจะเท่ากัน ดังนั้น ความยาวของส่วนโค้งจึงน้อยกว่าความยาวของวงกลมทั้งหมดหนึ่งครั้ง มุมที่ส่วนโค้งนี้วางอยู่ก็เป็นปัจจัยที่น้อยกว่าวงกลมเต็มวงด้วย (นั่นคือ องศา) ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ของเซกเตอร์จะเล็กกว่าพื้นที่ของวงกลมทั้งหมดหลายเท่า

ภาพรวมทั่วไป สูตรสามมิติ!

สวัสดี, เพื่อนรัก- ในบทความนี้ฉันตัดสินใจที่จะทำ ภาพรวมทั่วไปงาน Stereometry ที่จะเปิดใช้งาน การสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์จ. ต้องบอกว่างานของกลุ่มนี้ค่อนข้างหลากหลายแต่ก็ไม่ยาก ปัญหาเหล่านี้คือปัญหาในการค้นหาปริมาณเรขาคณิต ได้แก่ ความยาว มุม พื้นที่ ปริมาตร

พิจารณา: ลูกบาศก์, ทรงลูกบาศก์, ปริซึม, ปิรามิด, รูปทรงหลายเหลี่ยมผสม, ทรงกระบอก, กรวย, ลูกบอล ความจริงที่น่าเศร้าก็คือผู้สำเร็จการศึกษาบางคนไม่ได้ประสบปัญหาดังกล่าวในระหว่างการสอบแม้ว่ามากกว่า 50% จะได้รับการแก้ไขอย่างง่ายๆ เกือบจะพูดก็ตาม

ที่เหลือใช้ความพยายาม ความรู้ และเทคนิคพิเศษเพียงเล็กน้อย ในบทความต่อๆ ไป เราจะพิจารณางานเหล่านี้ อย่าพลาด สมัครรับการอัปเดตบล็อก

ในการแก้ปัญหาคุณจำเป็นต้องรู้ สูตรพื้นที่ผิวและปริมาตรพีระมิด ปริซึม ทรงกระบอก กรวย และทรงกลม ไม่มีปัญหายากๆ ทั้งหมดแก้ไขได้ใน 2-3 ขั้นตอน สิ่งสำคัญคือต้อง "ดู" ว่าต้องใช้สูตรใด

สูตรที่จำเป็นทั้งหมดแสดงอยู่ด้านล่าง:

ลูกบอลหรือทรงกลม พื้นผิวทรงกลมหรือทรงกลม (บางครั้งก็เป็นเพียงทรงกลม) คือตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดต่างๆ ในอวกาศซึ่งมีระยะห่างเท่ากันจากจุดหนึ่งซึ่งก็คือจุดศูนย์กลางของลูกบอล

ปริมาณบอลเท่ากับปริมาตรของปิรามิดที่มีฐานมีพื้นที่เท่ากับพื้นผิวของลูกบอล และความสูงคือรัศมีของลูกบอล

ปริมาตรของทรงกลมน้อยกว่าปริมาตรของทรงกระบอกที่ล้อมรอบทรงกลมหนึ่งเท่าครึ่ง

กรวยทรงกลมสามารถหาได้โดยการหมุนสามเหลี่ยมมุมฉากรอบขาข้างใดข้างหนึ่ง ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมกรวยทรงกลมจึงถูกเรียกว่ากรวยแห่งการปฏิวัติ ดูเพิ่มเติมที่ พื้นที่ผิวของกรวยทรงกลม

ปริมาตรของกรวยกลมเท่ากับหนึ่งในสามของผลิตภัณฑ์ของพื้นที่ฐาน S และความสูง H:

(H คือความสูงของขอบลูกบาศก์)

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือปริซึมที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน รูปด้านขนานมีหกหน้า และทั้งหมดเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีหน้าด้านทั้งสี่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เรียกว่า รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตรง รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีหน้าหกหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหมดเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง:

(S คือพื้นที่ฐานของปิรามิด, h คือความสูงของปิรามิด)

ปิรามิดคือรูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งมีหน้าเดียว - ฐานของปิรามิด - รูปหลายเหลี่ยมตามอำเภอใจและส่วนที่เหลือ - ใบหน้าด้านข้าง - สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันเรียกว่าด้านบนของปิรามิด

ส่วนที่ขนานกับฐานของปิรามิดจะแบ่งปิรามิดออกเป็นสองส่วน ส่วนของปิรามิดระหว่างฐานกับส่วนนี้คือปิรามิดที่ถูกตัดทอน

ปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเท่ากับหนึ่งในสามของผลคูณของความสูง ชั่วโมง (ระบบปฏิบัติการ)ด้วยผลรวมของพื้นที่ฐานบน S1 (เอบีซีดี)ฐานล่างของปิรามิดที่ถูกตัดทอน S2 (เอบีซี)และสัดส่วนเฉลี่ยระหว่างกัน

1.

วี=

n - จำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติ - ฐาน ปิรามิดปกติ
a - ด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติ - ฐานของปิรามิดปกติ
h - ความสูงของปิรามิดปกติ

ปิรามิดรูปสามเหลี่ยมปกติคือรูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งมีหน้าเดียว - ฐานของปิรามิด - สามเหลี่ยมปกติและส่วนที่เหลือ - ใบหน้าด้านข้าง - สามเหลี่ยมเท่ากันกับยอดทั่วไป ความสูงลงมาที่กึ่งกลางฐานจากด้านบน

ปริมาณถูกต้อง ปิรามิดสามเหลี่ยม เท่ากับหนึ่งในสามของผลคูณของพื้นที่ สามเหลี่ยมปกติซึ่งเป็นพื้นฐาน เอส (เอบีซี)ถึงความสูง ชั่วโมง (ระบบปฏิบัติการ)

a - ด้านของสามเหลี่ยมปกติ - ฐานของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ
h - ความสูงของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ

ที่มาของสูตรปริมาตรของจัตุรมุข

ปริมาตรของจัตุรมุขคำนวณโดยใช้สูตรคลาสสิกสำหรับปริมาตรของปิรามิด จำเป็นต้องทดแทนความสูงของจัตุรมุขและพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติ (ด้านเท่ากันหมด)

ปริมาตรของจัตุรมุข- เท่ากับเศษส่วนในตัวเศษซึ่งรากที่สองของสองในตัวส่วนคือสิบสอง คูณด้วยกำลังสามของความยาวของขอบของจัตุรมุข

(h คือความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน)

เส้นรอบวง พีมีความยาวประมาณสามส่วนและหนึ่งในเจ็ดของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม อัตราส่วนที่แน่นอนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลางนั้นระบุด้วยตัวอักษรกรีก π

เป็นผลให้เส้นรอบวงของวงกลมหรือเส้นรอบวงคำนวณโดยใช้สูตร

π ร

(r - รัศมีส่วนโค้ง, n - มุมกลางส่วนโค้งเป็นองศา)