อนุพันธ์ของโคไซน์: (cos x)′ อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ: แทนเจนต์ ไซน์ โคไซน์ และอื่นๆ

หาอนุพันธ์.

ตัวเลือกที่ 1

ตัวเลือกที่ 2

ที่ = 2เอ็กซ์ + 5.

ที่ = 2เอ็กซ์ – 5.

ที่= 4คอส เอ็กซ์.

ที่= 3ซิน เอ็กซ์.

ที่= ทีจี เอ็กซ์+กะรัต เอ็กซ์.

ที่= ทีจี เอ็กซ์-ctg เอ็กซ์.

ที่= บาป 3 เอ็กซ์.

ที่= คอส 4 เอ็กซ์.

ตัวเลือกคำตอบ

– 4ซิน เอ็กซ์

– 3คอส เอ็กซ์

1/คอส 2 เอ็กซ์+ 1/บาป 2 เอ็กซ์

1/คอส 2 เอ็กซ์–1/บาป 2 เอ็กซ์

1/บาป 2 เอ็กซ์–1/คอส 2 เอ็กซ์

– 4ซิน4 เอ็กซ์

– 3cos3 เอ็กซ์

ฉ(x) = บาป x+คอส x

ฉ(x) = บาป 2 x – x

ฉ(x) = 2x+คอส(4 x – )

ตัวเลือกที่ 1

ตัวเลือกที่ 2

ย = 2เอ็กซ์ 3

ย = 3เอ็กซ์ 2

ย = 1/4 เอ็กซ์ 4 + 2เอ็กซ์ 2 – 7

ย = 1/2 เอ็กซ์ 4 + 4เอ็กซ์ + 5

ย = เอ็กซ์ 3 + 4เอ็กซ์ 2 – 3เอ็กซ์.
แก้สมการ ย " = 0

ย = 2เอ็กซ์ 3 – 9เอ็กซ์ 2 + 12เอ็กซ์ + 7.
แก้สมการ ย " = 0.

ย= บาป 2 เอ็กซ์– คอส 3 เอ็กซ์.

ย= คอส 2 เอ็กซ์– บาป 3 เอ็กซ์.

ย= ทีจี เอ็กซ์–ctg( เอ็กซ์ + /4).

ย=กะทิ เอ็กซ์+ ทีจี( เอ็กซ์ – /4).

ย= บาป 2 เอ็กซ์.

ย= คอส 2 เอ็กซ์.

ตัวเลือกคำตอบ

เมื่อได้สูตรแรกของตาราง เราจะเริ่มจากคำจำกัดความของฟังก์ชันอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง เอาล่ะเอาที่ไหน. x- ใดๆ จำนวนจริงนั่นคือ x– จำนวนใดๆ จากโดเมนนิยามของฟังก์ชัน ให้เราเขียนขีด จำกัด ของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ที่ :

ควรสังเกตว่าภายใต้เครื่องหมายขีด จำกัด จะได้นิพจน์ซึ่งไม่ใช่ความไม่แน่นอนของศูนย์หารด้วยศูนย์เนื่องจากตัวเศษไม่มีค่าน้อยที่สุด แต่เป็นศูนย์อย่างแม่นยำ กล่าวอีกนัยหนึ่ง การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคงที่จะเป็นศูนย์เสมอ

ดังนั้น, อนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่เท่ากับศูนย์ตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันยกกำลัง

สูตรหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังมีรูปแบบ โดยที่เลขชี้กำลัง พี- จำนวนจริงใดๆ

ก่อนอื่นให้เราพิสูจน์สูตรของเลขชี้กำลังธรรมชาติ นั่นก็คือ สำหรับ พี = 1, 2, 3, …

เราจะใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์ ให้เราเขียนขีด จำกัด ของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันกำลังต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์:

เพื่อให้นิพจน์ในตัวเศษง่ายขึ้น เราจะใช้สูตรทวินามของนิวตัน:

เพราะฉะนั้น,

สิ่งนี้พิสูจน์สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังของเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

เรานำเสนอที่มาของสูตรอนุพันธ์ตามคำจำกัดความ:

เรามาถึงความไม่แน่นอนแล้ว เพื่อขยายมัน เราแนะนำตัวแปรใหม่และที่ . แล้ว . ในการเปลี่ยนครั้งล่าสุด เราใช้สูตรในการเปลี่ยนไปใช้ฐานลอการิทึมใหม่

แทนที่ด้วยขีดจำกัดเดิม:

หากเราจำลิมิตที่น่าทึ่งอันที่สองได้ เราก็จะได้สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม

ขอให้เราพิสูจน์สูตรเพื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมสำหรับทุกคน xจากขอบเขตของคำจำกัดความและค่าฐานที่ถูกต้องทั้งหมด กลอการิทึม ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์เรามี:

ดังที่คุณสังเกตเห็น ในระหว่างการพิสูจน์ การแปลงได้ดำเนินการโดยใช้คุณสมบัติของลอการิทึม ความเท่าเทียมกัน เป็นจริงเนื่องจากขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่สอง

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เพื่อให้ได้สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราจะต้องจำสูตรตรีโกณมิติบางสูตร รวมถึงขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่งด้วย

ตามนิยามของอนุพันธ์ของฟังก์ชันไซน์ที่เรามี .

ลองใช้สูตรผลต่างของไซน์:

ยังคงต้องหันไปสู่ขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่ง:

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน บาป xมี เพราะ x.

สูตรสำหรับอนุพันธ์ของโคไซน์ได้รับการพิสูจน์ด้วยวิธีเดียวกันทุกประการ

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เพราะ xมี –บาป x.

เราจะได้สูตรสำหรับตารางอนุพันธ์สำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์โดยใช้กฎการหาอนุพันธ์ที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว (อนุพันธ์ของเศษส่วน)

อนุพันธ์ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

กฎของการสร้างความแตกต่างและสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังจากตารางอนุพันธ์ทำให้เราสามารถหาสูตรสำหรับอนุพันธ์ของไซน์ไฮเปอร์โบลิก, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์

อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน

เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนระหว่างการนำเสนอ ให้เราแสดงตัวห้อยอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันที่ใช้สร้างความแตกต่าง นั่นคือ มันเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x)โดย x.

ตอนนี้เรามากำหนดกัน กฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน

ปล่อยให้ฟังก์ชั่น ย = ฉ(x)และ x = ก(ย)ผกผันซึ่งกันและกัน กำหนดตามช่วงเวลาและตามลำดับ ถ้า ณ จุดหนึ่ง มีอนุพันธ์จำกัดที่ไม่เป็นศูนย์ของฟังก์ชัน ฉ(x)จากนั้น ณ จุดนั้นจะมีอนุพันธ์จำกัดของฟังก์ชันผกผัน ก(ย), และ - ในอีกโพสต์หนึ่ง .

กฎนี้สามารถกำหนดรูปแบบใหม่ได้ xจากช่วงเวลา แล้วเราจะได้ .

มาตรวจสอบความถูกต้องของสูตรเหล่านี้กัน

ลองหาฟังก์ชันผกผันของลอการิทึมธรรมชาติกัน (ที่นี่ ยเป็นฟังก์ชัน และ x- การโต้แย้ง). เมื่อแก้สมการนี้แล้ว xเราได้รับ (ที่นี่ xเป็นฟังก์ชัน และ ย– ข้อโต้แย้งของเธอ) นั่นคือ และฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน

จากตารางอนุพันธ์เราจะเห็นว่า และ .

ตรวจสอบให้แน่ใจว่าสูตรในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันทำให้เราได้ผลลัพธ์เดียวกัน:

นำเสนอข้อพิสูจน์และที่มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ของโคไซน์ - cos(x) - ตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์ของ cos 2x, cos 3x, cos nx, โคไซน์กำลังสอง, ยกกำลังสาม และยกกำลัง n สูตรหาอนุพันธ์ของโคไซน์ลำดับที่ n

อนุพันธ์เทียบกับตัวแปร x จากโคไซน์ของ x เท่ากับลบไซน์ของ x:
(cos x)′ = - บาป x.

การพิสูจน์

เพื่อให้ได้สูตรอนุพันธ์ของโคไซน์ เราใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์:
.

มาแปลงนิพจน์นี้เพื่อลดให้เป็นไปตามกฎและกฎทางคณิตศาสตร์ที่ทราบกัน การทำเช่นนี้เราต้องรู้คุณสมบัติสี่ประการ
1) สูตรตรีโกณมิติ เราจะต้องมีสูตรต่อไปนี้:
(1) ;
2) คุณสมบัติความต่อเนื่องของฟังก์ชันไซน์:
(2) ;
3) ความหมายของขีด จำกัด ที่น่าทึ่งประการแรก:
(3) ;
4) คุณสมบัติของขีดจำกัดของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน:
ถ้า และ แล้ว
(4) .

ลองใช้กฎหมายเหล่านี้กับขีดจำกัดของเรา ขั้นแรกเราแปลงนิพจน์พีชคณิต
.
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราใช้สูตร
(1) ;
ในกรณีของเรา
- - แล้ว
;
;
;
.

มาทำการทดแทนกันเถอะ
.

ที่ , . เราใช้คุณสมบัติของความต่อเนื่อง (2):
.

เรามาทำการทดแทนแบบเดียวกันและใช้ขีดจำกัดที่น่าทึ่งอันแรก (3):

.

เนื่องจากมีขีดจำกัดที่คำนวณไว้ข้างต้น เราจึงใช้คุณสมบัติ (4):

ดังนั้นเราจึงได้สูตรอนุพันธ์ของโคไซน์

ตัวอย่าง ลองพิจารณาดูตัวอย่างง่ายๆ การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่มีโคไซน์ ลองหาอนุพันธ์ของ:
ฟังก์ชั่นต่อไปนี้ y = คอส 2x; y = คอส 3x; y = cos nx; ย =เพราะ 2 x - ย =เพราะ 3 x และ ย =.

เพราะไม่มี

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาอนุพันธ์ของ เพราะ 2x,และ เพราะ 3x.

cosnx

สารละลาย ฟังก์ชั่นดั้งเดิมมีรูปแบบคล้ายกัน ดังนั้น เราจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้ y = cosnx เพราะ 3x- จากนั้นเป็นอนุพันธ์ของ แทน n = 2 และ n = 3 ดังนั้นเราจึงได้สูตรอนุพันธ์ของเพราะ 2x เพราะ 2x, .

และ
ฟังก์ชั่นดั้งเดิมมีรูปแบบคล้ายกัน ดังนั้น เราจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้ .
ดังนั้นเราจึงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้
1)
2)
ลองจินตนาการถึงฟังก์ชันของตัวแปร x ที่เป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนที่ประกอบด้วยฟังก์ชัน 2 ฟังก์ชัน:
.

ดังนั้นฟังก์ชันดั้งเดิมจึงเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน (คอมโพสิต) ที่ประกอบด้วยฟังก์ชันและ :
.
มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเทียบกับตัวแปร x:
.
มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเทียบกับตัวแปรกัน:
.
เราสมัคร.
มาทดแทนกัน: .

(P1)
;
.

ตอนนี้ในสูตร (A1) เราแทนและ:

;
;
.

คำตอบ

ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาอนุพันธ์ของโคไซน์กำลังสอง โคไซน์กำลังสาม และโคไซน์กำลัง n: y = คอส 2x; y = คอส 3x; y = cos nx; ย =เพราะ 2 x - ย =เพราะ 2 x และ ย =.

cosnx

ย = ในตัวอย่างนี้ ฟังก์ชันก็มีลักษณะคล้ายกันเช่นกัน ดังนั้นเราจะหาอนุพันธ์ได้มากที่สุดฟังก์ชั่นทั่วไป
ค้นหาอนุพันธ์ของโคไซน์กำลังสอง โคไซน์กำลังสาม และโคไซน์กำลัง n: และ ย =.
- โคไซน์กำลัง n:

จากนั้นเราแทน n = 2 และ n = 3 ดังนั้นเราจึงได้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของโคไซน์กำลังสองและโคไซน์กำลังสอง
.
มาเขียนใหม่ในรูปแบบที่เข้าใจได้ง่ายขึ้น:
.
ลองจินตนาการว่าฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนซึ่งประกอบด้วยสองฟังก์ชัน:
1) ฟังก์ชั่นขึ้นอยู่กับตัวแปร: ;
2) ฟังก์ชั่นขึ้นอยู่กับตัวแปร: .
ดังนั้นฟังก์ชันดั้งเดิมจึงเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนที่ประกอบด้วยสองฟังก์ชันและ :
.

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเทียบกับตัวแปร x:
.
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเทียบกับตัวแปร:
.
เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน
.
เราสมัคร.
(P2) .

ทีนี้มาแทนที่และ:
;
.

ตอนนี้ในสูตร (A1) เราแทนและ:

;
;
.

อนุพันธ์ลำดับที่สูงขึ้น

โปรดทราบว่าอนุพันธ์ของ เพราะ xลำดับแรกสามารถแสดงผ่านโคไซน์ได้ดังนี้
.

มาหาอนุพันธ์อันดับสองโดยใช้สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

.
ที่นี่ .

โปรดทราบว่าความแตกต่าง เพราะ xทำให้อาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นโดย
(5) .

จากนั้นอนุพันธ์ลำดับที่ n จะมีรูปแบบ:

สูตรนี้สามารถพิสูจน์ได้อย่างเคร่งครัดมากขึ้นโดยใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ การพิสูจน์อนุพันธ์อันดับ n ของไซน์แสดงอยู่ในหน้า “อนุพันธ์ของไซน์” สำหรับอนุพันธ์อันดับ n ของโคไซน์ การพิสูจน์จะเหมือนกันทุกประการ คุณเพียงแค่ต้องแทนที่ sin ด้วย cos ในทุกสูตร

นำเสนออนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันและการได้มาของสูตร นอกจากนี้ยังมีการแสดงนิพจน์สำหรับอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่าด้วย ลิงก์ไปยังหน้าที่มีคำอธิบายโดยละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับที่มาของสูตร
ค้นหาอนุพันธ์ของโคไซน์กำลังสอง โคไซน์กำลังสาม และโคไซน์กำลัง n: ขั้นแรก เราได้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของอาร์คไซน์ อนุญาต.
อาร์คซิน x
.
เนื่องจากอาร์กไซน์เป็นฟังก์ชันผกผันของไซน์
.
โดยที่ y คือฟังก์ชันของ x
.
แยกความแตกต่างด้วยความเคารพกับตัวแปร x:
.

เราใช้:
.
ดังนั้นเราจึงพบว่า:
เพราะว่าแล้ว.
.

แล้ว
.
และสูตรก่อนหน้าจะอยู่ในรูปแบบ:
.

- จากที่นี่ ด้วยวิธีนี้ คุณจะได้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์ อย่างไรก็ตาม การใช้สูตรที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันจะง่ายกว่า:แล้ว

คำอธิบายโดยละเอียดเพิ่มเติมแสดงอยู่ในหน้า “การได้มาของอนุพันธ์ของอาร์คไซน์และอาร์กโคไซน์” มีให้

ที่มาของอนุพันธ์ในสองวิธี

- กล่าวถึงข้างต้นและตามสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน
ค้นหาอนุพันธ์ของโคไซน์กำลังสอง โคไซน์กำลังสาม และโคไซน์กำลัง n: ที่มาของอนุพันธ์ของอาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์.
ในทำนองเดียวกัน เราจะหาอนุพันธ์ของอาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์
.
อนุญาต
.
อาร์คแทน เอ็กซ์
.
แยกความแตกต่างด้วยความเคารพกับตัวแปร x:
.

อาร์กแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันผกผันของแทนเจนต์:
.

แยกความแตกต่างด้วยความเคารพกับตัวแปร x:

- กล่าวถึงข้างต้นและตามสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน
.
เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
.
อนุพันธ์ของอาร์คโคแทนเจนต์:
;
.
อนุพันธ์อาร์คไซน์
.
เราได้พบอนุพันธ์อันดับหนึ่งของอาร์คไซน์แล้ว:
.

การแยกสมการนี้ทำให้เราสามารถหาอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่าได้

อนุพันธ์ของอาร์คไซน์ลำดับที่ n

อนุพันธ์ของอาร์คไซน์ของลำดับ n มี มุมมองถัดไป:
,
พหุนามของดีกรีอยู่ที่ไหน .
;
.
ที่นี่ .

ถูกกำหนดโดยสูตร:
.

พหุนามเป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์:

อนุพันธ์ของอาร์กโคไซน์ลำดับที่ n
.
อนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์ได้มาจากอนุพันธ์ของอาร์คไซน์โดยใช้สูตรตรีโกณมิติ:
.

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้จึงต่างกันเพียงเครื่องหมาย:

อนุพันธ์ของอาร์กแทนเจนต์
.

อนุญาต . เราพบอนุพันธ์ของอาร์คโคแทนเจนต์ของลำดับแรก:

.
แบ่งเศษส่วนให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด:

นี่คือหน่วยจินตภาพ,

.

เราแยกความแตกต่างเพียงครั้งเดียวและนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม:
.

การทดแทน เราได้รับ:

อนุพันธ์ของอาร์กแทนเจนต์ลำดับที่ n
;
.

ดังนั้นอนุพันธ์ของอาร์กแทนเจนต์ของลำดับที่ n สามารถแสดงได้หลายวิธี:

อนุพันธ์ของอาร์คโคแทนเจนต์
.
ปล่อยให้มันเป็นตอนนี้
.

ให้เราใช้สูตรเชื่อมต่อฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน:
.

จากนั้นอนุพันธ์ลำดับที่ n ของส่วนโค้งแทนเจนต์จะแตกต่างกันเฉพาะสัญญาณจากอนุพันธ์ของส่วนโค้งแทนเจนต์:
การทดแทน เราพบว่า:

วรรณกรรมที่ใช้: น.เอ็ม. กุนเธอร์ อาร์.โอ. Kuzmin, ชุดของปัญหาทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง, “ลาน”, 2546. เพื่อค้นหา อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติจำเป็นต้องใช้

ตารางอนุพันธ์ คืออนุพันธ์ 6-13 เมื่อคุณพบ

• อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดทั่วไป คุณควรใส่ใจกับประเด็นต่อไปนี้:ในนิพจน์ฟังก์ชัน คำใดคำหนึ่งมักจะเป็น
• ไซน์ โคไซน์ หรือฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ
• ไม่ได้มาจากอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน แต่มาจากตัวเลข (ค่าคงที่) ดังนั้นอนุพันธ์ของเทอมนี้จึงเท่ากับศูนย์ เกือบทุกครั้งคุณจะต้องทำให้นิพจน์ที่ได้รับเป็นผลมาจากการแยกความแตกต่างง่ายขึ้นและด้วยเหตุนี้คุณจึงจำเป็นต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับการปฏิบัติการกับเศษส่วนอย่างมั่นใจเพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่คุณจำเป็นต้องรู้เกือบทุกครั้ง

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติเช่น สูตรมุมคู่และสูตรหน่วยเป็นผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันสารละลาย. เอาเป็นว่ากับ อนุพันธ์ของโคไซน์สิบสองหารด้วยพายเหรอ? คำตอบ: ถือว่าเท่ากับศูนย์! ที่นี่ไซน์ (ฟังก์ชัน!) เป็นกับดัก เนื่องจากอาร์กิวเมนต์ไม่ใช่ตัวแปร X หรือตัวแปรอื่นใด แต่เป็นเพียงตัวเลข นั่นคือไซน์ของจำนวนนี้ก็เป็นตัวเลขเช่นกัน และอนุพันธ์ของตัวเลข (ค่าคงที่) อย่างที่เรารู้จากตารางอนุพันธ์นั้นมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราจึงเหลือเพียงลบไซน์ของ X แล้วหาอนุพันธ์ของมันโดยไม่ลืมเครื่องหมาย:

.

ตัวอย่างที่ 2เช่น สูตรมุมคู่และสูตรหน่วยเป็นผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์

.

สารละลาย. เทอมที่สองเป็นกรณีเดียวกับเทอมแรกในตัวอย่างก่อนหน้า นั่นคือมันคือตัวเลข และอนุพันธ์ของตัวเลขคือศูนย์ เราพบว่าอนุพันธ์ของเทอมที่สองเป็นอนุพันธ์ของผลหาร:

ตัวอย่างที่ 3เช่น สูตรมุมคู่และสูตรหน่วยเป็นผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์

สารละลาย. นี่เป็นอีกปัญหาหนึ่ง: ในเทอมแรกไม่มีอาร์คไซน์หรือฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ แต่มี x ซึ่งหมายความว่ามันคือฟังก์ชันของ x ดังนั้นเราจึงแยกความแตกต่างออกเป็นคำในผลรวมของฟังก์ชัน:

ในที่นี้จำเป็นต้องมีทักษะในการดำเนินการกับเศษส่วน กล่าวคือ ในการกำจัดโครงสร้างเศษส่วนสามชั้น

ตัวอย่างที่ 4เช่น สูตรมุมคู่และสูตรหน่วยเป็นผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์

.

สารละลาย. ในที่นี้ตัวอักษร "phi" มีบทบาทเหมือนกับ "x" ในกรณีก่อนหน้านี้ (และในกรณีอื่นๆ ส่วนใหญ่ แต่ไม่ใช่ทั้งหมด) ซึ่งเป็นตัวแปรอิสระ ดังนั้น เมื่อเรามองหาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน เราจะไม่เร่งรีบที่จะประกาศอนุพันธ์ของรากของ “phi” ให้เท่ากับศูนย์ ดังนั้น:

แต่การแก้ปัญหาไม่ได้จบเพียงแค่นั้น เนื่องจากคำศัพท์ที่คล้ายกันถูกรวบรวมไว้ในวงเล็บสองวงเล็บ เราจึงยังคงต้องแปลง (ลดความซับซ้อน) นิพจน์ ดังนั้นเราจึงคูณวงเล็บด้วยปัจจัยที่อยู่ข้างหลัง แล้วนำพจน์มาเป็นตัวส่วนร่วมและทำการแปลงเบื้องต้นอื่นๆ:

ตัวอย่างที่ 5เช่น สูตรมุมคู่และสูตรหน่วยเป็นผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์

สารละลาย. ในตัวอย่างนี้ เราจะต้องรู้ข้อเท็จจริงที่ว่ามีฟังก์ชันตรีโกณมิติ - ซีแคนต์ - และสูตรของมันผ่านโคไซน์ มาแยกแยะกัน:

ตัวอย่างที่ 6เช่น สูตรมุมคู่และสูตรหน่วยเป็นผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์

.

สารละลาย. ในตัวอย่างนี้ เราจะต้องจำสูตรมุมคู่จากโรงเรียน แต่ก่อนอื่นมาแยกความแตกต่าง:

,

(นี่คือสูตรมุมคู่)