ระบบสมการเชิงเส้นพร้อมโมดูลัส โมดูลัสของตัวเลขในวิชาคณิตศาสตร์คืออะไร

โมดูลัสคือค่าสัมบูรณ์ของนิพจน์ เพื่อระบุโมดูล เป็นเรื่องปกติที่จะต้องใช้วงเล็บเหลี่ยม ค่าที่อยู่ในวงเล็บคู่คือค่าที่ใช้แบบโมดูโล กระบวนการแก้ไขโมดูลใดๆ ประกอบด้วยการเปิดวงเล็บตรงเหล่านั้น ซึ่งในภาษาคณิตศาสตร์เรียกว่าวงเล็บแบบโมดูลาร์ การเปิดเผยเกิดขึ้นตามกฎจำนวนหนึ่ง นอกจากนี้ตามลำดับการแก้โมดูลจะพบชุดของค่าของนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บแบบโมดูลาร์ ในกรณีส่วนใหญ่ โมดูลจะถูกขยายในลักษณะที่นิพจน์ที่เป็นโมดูลย่อยได้รับทั้งค่าบวกและค่าลบ รวมถึงค่าศูนย์ด้วย หากเราเริ่มต้นจากคุณสมบัติที่กำหนดไว้ของโมดูลจากนั้นในกระบวนการจะรวบรวมสมการหรืออสมการต่าง ๆ จากนิพจน์ดั้งเดิมซึ่งจะต้องแก้ไข เรามาดูวิธีแก้ปัญหาโมดูลกันดีกว่า

กระบวนการแก้ปัญหา

การแก้โมดูลเริ่มต้นด้วยการเขียนสมการดั้งเดิมด้วยโมดูล หากต้องการตอบคำถามว่าจะแก้สมการด้วยโมดูลัสได้อย่างไร คุณต้องเปิดมันให้หมด เพื่อแก้สมการดังกล่าว โมดูลจึงถูกขยาย ต้องพิจารณานิพจน์โมดูลาร์ทั้งหมด มีความจำเป็นต้องพิจารณาว่าค่าใดของปริมาณที่ไม่รู้จักรวมอยู่ในองค์ประกอบการแสดงออกแบบโมดูลาร์ในวงเล็บจะกลายเป็นศูนย์ ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะจัดนิพจน์ในวงเล็บแบบโมดูลาร์ให้เป็นศูนย์ จากนั้นจึงคำนวณผลเฉลยของสมการผลลัพธ์ ต้องบันทึกค่าที่พบ ในทำนองเดียวกัน คุณยังต้องกำหนดค่าของตัวแปรที่ไม่รู้จักทั้งหมดสำหรับโมดูลทั้งหมดในสมการนี้ด้วย ต่อไป จำเป็นต้องพิจารณาและพิจารณาทุกกรณีของการมีอยู่ของตัวแปรในนิพจน์เมื่อตัวแปรแตกต่างจากค่าศูนย์ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องเขียนระบบความไม่เท่าเทียมกันบางอย่างที่สอดคล้องกับโมดูลทั้งหมดในความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม จะต้องร่างความไม่เท่าเทียมกันเพื่อให้ครอบคลุมทั้งหมดที่มีอยู่และ ค่าที่เป็นไปได้สำหรับตัวแปรที่พบในเส้นจำนวน จากนั้นคุณจะต้องวาดเส้นจำนวนเดียวกันนี้เพื่อสร้างภาพข้อมูลซึ่งจะลงจุดค่าที่ได้รับทั้งหมดในภายหลัง

เกือบทุกอย่างสามารถทำได้บนอินเทอร์เน็ตแล้ว โมดูลนี้ไม่มีข้อยกเว้นสำหรับกฎ คุณสามารถแก้ไขได้ทางออนไลน์โดยใช้แหล่งข้อมูลสมัยใหม่ที่มีอยู่มากมาย ค่าทั้งหมดของตัวแปรที่อยู่ในโมดูลศูนย์จะเป็นข้อจำกัดพิเศษที่จะใช้ในกระบวนการแก้สมการโมดูลาร์ ในสมการดั้งเดิม คุณต้องเปิดวงเล็บโมดูลาร์ที่มีอยู่ทั้งหมด ในขณะที่เปลี่ยนเครื่องหมายของนิพจน์เพื่อให้ค่าของตัวแปรที่ต้องการตรงกับค่าที่มองเห็นได้บนเส้นจำนวน ต้องแก้สมการผลลัพธ์ ค่าของตัวแปรที่จะได้รับระหว่างการแก้สมการต้องได้รับการตรวจสอบกับข้อจำกัดที่ระบุโดยโมดูลเอง หากค่าของตัวแปรเป็นไปตามเงื่อนไขโดยสมบูรณ์ แสดงว่าค่านั้นถูกต้อง จะต้องทิ้งรากทั้งหมดที่จะได้รับระหว่างการแก้สมการ แต่ไม่เข้าเกณฑ์ที่กำหนด

หนึ่งในหัวข้อที่ยากที่สุดสำหรับนักเรียนคือการแก้สมการที่มีตัวแปรอยู่ใต้เครื่องหมายโมดูลัส ก่อนอื่นเรามาดูกันว่าสิ่งนี้เชื่อมโยงกับอะไร? ตัวอย่างเช่น เหตุใดเด็กส่วนใหญ่จึงถอดรหัสสมการกำลังสองเช่นถั่ว แต่กลับมีปัญหามากมายกับแนวคิดที่ห่างไกลจากแนวคิดที่ซับซ้อนในฐานะโมดูล

ในความคิดของฉัน ปัญหาทั้งหมดเหล่านี้เกี่ยวข้องกับการขาดกฎที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนในการแก้สมการด้วยโมดูลัส ดังนั้นการตัดสินใจ สมการกำลังสองนักเรียนรู้แน่ว่าเขาต้องใช้สูตรแยกแยะก่อน จากนั้นจึงใช้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง จะทำอย่างไรถ้าพบโมดูลัสในสมการ? เราจะพยายามอธิบายแผนปฏิบัติการที่จำเป็นอย่างชัดเจนในกรณีที่สมการมีสิ่งไม่ทราบอยู่ใต้เครื่องหมายโมดูลัส เราจะยกตัวอย่างหลายกรณีสำหรับแต่ละกรณี

แต่ก่อนอื่นเรามาจำไว้ คำจำกัดความของโมดูล- ดังนั้นโมดูโลตัวเลข กหมายเลขนี้เองเรียกว่าถ้า กไม่เป็นลบและ -กถ้าเป็นตัวเลข กน้อยกว่าศูนย์ คุณสามารถเขียนได้ดังนี้:

|a| = a ถ้า ≥ 0 และ |a| = -a ถ้าก< 0

พูดถึง ความรู้สึกทางเรขาคณิตโมดูล ควรจำไว้ว่าจำนวนจริงแต่ละตัวสอดคล้องกับจุดใดจุดหนึ่งบนแกนตัวเลข - ถึง ประสานงาน ดังนั้นโมดูลหรือ ค่าสัมบูรณ์ number คือระยะห่างจากจุดนี้ถึงจุดกำเนิดของแกนจำนวน ระยะทางจะถูกระบุเป็นจำนวนบวกเสมอ ดังนั้นโมดูลใดๆ จำนวนลบเป็นจำนวนบวก อย่างไรก็ตาม แม้ในขั้นตอนนี้ นักเรียนหลายคนก็เริ่มสับสน โมดูลสามารถมีตัวเลขใดก็ได้ แต่ผลลัพธ์ของการใช้โมดูลจะเป็นจำนวนบวกเสมอ

ตอนนี้เรามาดูการแก้สมการกันโดยตรง

1. พิจารณาสมการที่อยู่ในรูปแบบ |x| = c โดยที่ c เป็นจำนวนจริง สมการนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้นิยามโมดูลัส

เราแบ่งจำนวนจริงทั้งหมดออกเป็นสามกลุ่ม: จำนวนที่มากกว่าศูนย์, จำนวนที่น้อยกว่าศูนย์ และกลุ่มที่สามคือเลข 0 เราเขียนคำตอบในรูปของแผนภาพ:

(±c ถ้า c > 0

ถ้า |x| = c แล้ว x = (0 ถ้า c = 0

(ไม่มีรากถ้ามี< 0

1) |x| = 5 เพราะว่า 5 > 0 จากนั้น x = ±5;

2) |x| = -5 เพราะว่า -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0 จากนั้น x = 0

2. สมการของแบบฟอร์ม |f(x)| = b โดยที่ b > 0 ในการแก้สมการนี้ จำเป็นต้องกำจัดโมดูลออก เราทำอย่างนี้: f(x) = b หรือ f(x) = -b ตอนนี้คุณต้องแก้สมการผลลัพธ์แต่ละสมการแยกกัน ถ้าอยู่ในสมการเดิม b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4 เพราะว่า 4 > 0 แล้ว

x + 2 = 4 หรือ x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11 เพราะว่า 11 > 0 แล้ว

x 2 – 5 = 11 หรือ x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 ไม่มีราก

3) |x 2 – 5x| = -8 เพราะว่า -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. สมการที่อยู่ในรูปแบบ |f(x)| = ก(x) ตามความหมายของโมดูลสมการดังกล่าวจะมีคำตอบถ้าเป็นเช่นนั้น ด้านขวามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ เช่น g(x) ≥ 0 จากนั้นเราจะได้:

ฉ(x) = ก(x)หรือ ฉ(x) = -ก(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10 สมการนี้จะมีรากถ้า 5x – 10 ≥ 0 นี่คือจุดเริ่มต้นของการแก้สมการดังกล่าว

1. โอ.ดี.ซี. 5x – 10 ≥ 0

2. วิธีแก้ไข:

2x – 1 = 5x – 10 หรือ 2x – 1 = -(5x – 10)

3. เรารวม O.D.Z. และวิธีแก้ปัญหาเราได้รับ:

ราก x = 11/7 ไม่ตรงกับ O.D.Z. ซึ่งน้อยกว่า 2 แต่ x = 3 เป็นไปตามเงื่อนไขนี้

คำตอบ: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. โอ.ดี.ซี. 1 – x 2 ≥ 0 ลองแก้อสมการนี้โดยใช้วิธีช่วงเวลา:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. วิธีแก้ไข:

x – 1 = 1 – x 2 หรือ x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 หรือ x = 1 x = 0 หรือ x = 1

3. เรารวมโซลูชันและ O.D.Z.:

เฉพาะราก x = 1 และ x = 0 เท่านั้นที่เหมาะสม

คำตอบ: x = 0, x = 1

4. สมการของแบบฟอร์ม |f(x)| = |ก.(x)|. สมการดังกล่าวเทียบเท่ากับสมการสองสมการต่อไปนี้ f(x) = g(x) หรือ f(x) = -g(x)

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. สมการนี้เทียบเท่ากับสองสมการต่อไปนี้:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 หรือ x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 หรือ x = 4 x = 2 หรือ x = 1

คำตอบ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4

5. สมการแก้ได้โดยวิธีการทดแทน (การแทนที่ตัวแปร) วิธีการนี้วิธีแก้ปัญหานั้นอธิบายได้ง่ายที่สุด ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง- ดังนั้น ให้เราได้รับสมการกำลังสองพร้อมโมดูลัส:

x 2 – 6|x| + 5 = 0 โดยคุณสมบัติโมดูลัส x 2 = |x| 2 ดังนั้นจึงสามารถเขียนสมการใหม่ได้ดังนี้:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0 มาแทนที่ |x| กันดีกว่า = t ≥ 0 จากนั้นเราจะได้:

t 2 – 6t + 5 = 0 เมื่อแก้สมการนี้ เราจะพบว่า t = 1 หรือ t = 5 ลองกลับไปที่การแทนที่กัน:

|x| = 1 หรือ |x| = 5

x = ±1 x = ±5

คำตอบ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5

ลองดูตัวอย่างอื่น:

x 2 + |x| – 2 = 0 โดยคุณสมบัติโมดูลัส x 2 = |x| 2 ดังนั้น

|x| 2 + |x| – 2 = 0 มาแทนที่ |x| กันดีกว่า = เสื้อ ≥ 0 ดังนั้น:

t 2 + t – 2 = 0 เมื่อแก้สมการนี้ เราจะได้ t = -2 หรือ t = 1 กลับไปที่การแทนที่กัน:

|x| = -2 หรือ |x| = 1

ไม่มีราก x = ± 1

คำตอบ: x = -1, x = 1

6. สมการอีกประเภทหนึ่งคือสมการที่มีโมดูลัส "เชิงซ้อน" สมการดังกล่าวรวมถึงสมการที่มี "โมดูลภายในโมดูล" สมการประเภทนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้คุณสมบัติของโมดูล

1) |3 – |x|| = 4 เราจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับในสมการประเภทที่สอง เพราะ 4 > 0 เราจะได้สมการสองสมการ:

3 – |x| = 4 หรือ 3 – |x| = -4.

ตอนนี้ให้เราแสดงโมดูลัส x ในแต่ละสมการ จากนั้น |x| = -1 หรือ |x| = 7.

เราแก้สมการผลลัพธ์แต่ละสมการ ไม่มีรากในสมการแรก เพราะว่า -1< 0, а во втором x = ±7.

ตอบ x = -7, x = 7

2) |3 + |x + 1|| = 5 เราแก้สมการนี้ในลักษณะเดียวกัน:

3 + |x + 1| = 5 หรือ 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 หรือ x + 1 = -2 ไม่มีราก.

คำตอบ: x = -3, x = 1

นอกจากนี้ยังมีวิธีการสากลในการแก้สมการด้วยโมดูลัส นี่คือวิธีช่วงเวลา แต่เราจะดูมันในภายหลัง

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม

การแก้สมการและอสมการด้วยโมดูลัสมักจะทำให้เกิดความยุ่งยาก แต่ถ้าคุณเข้าใจดีว่ามันคืออะไร โมดูลัสของจำนวน, และ วิธีขยายนิพจน์ที่มีเครื่องหมายโมดูลัสอย่างถูกต้องแล้วการมีอยู่ของสมการ การแสดงออกภายใต้เครื่องหมายโมดูลัสย่อมไม่เป็นอุปสรรคต่อการแก้ปัญหาอีกต่อไป

ทฤษฎีเล็กน้อย ตัวเลขแต่ละตัวมีลักษณะเฉพาะสองประการ: ค่าสัมบูรณ์ของตัวเลขและเครื่องหมาย

ตัวอย่างเช่น ตัวเลข +5 หรือเพียง 5 มีเครื่องหมาย “+” และค่าสัมบูรณ์เป็น 5

ตัวเลข -5 มีเครื่องหมาย "-" และมีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 5

ค่าสัมบูรณ์ของตัวเลข 5 และ -5 คือ 5

ค่าสัมบูรณ์ของตัวเลข x เรียกว่าโมดูลัสของตัวเลข และเขียนแทนด้วย |x|

ดังที่เราเห็น โมดูลัสของตัวเลขจะเท่ากับตัวเลขนั้นเอง ถ้าตัวเลขนี้มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ และกับตัวเลขนี้ที่มีเครื่องหมายตรงกันข้ามถ้าตัวเลขนี้เป็นลบ

เช่นเดียวกับนิพจน์ใดๆ ที่ปรากฏใต้เครื่องหมายโมดูลัส

กฎการขยายโมดูลมีลักษณะดังนี้:

|f(x)|= f(x) ถ้า f(x) ≥ 0 และ

|f(x)|= - f(x) ถ้า f(x)< 0

ตัวอย่างเช่น |x-3|=x-3 ถ้า x-3≥0 และ |x-3|=-(x-3)=3-x ถ้า x-3<0.

หากต้องการแก้สมการที่มีนิพจน์ใต้เครื่องหมายโมดูลัส คุณต้องก่อน ขยายโมดูลตามกฎการขยายโมดูล.

จากนั้นสมการหรืออสมการของเราก็จะกลายเป็น ออกเป็นสองสมการที่แตกต่างกันซึ่งมีอยู่ในช่วงเวลาตัวเลขที่แตกต่างกันสองช่วง

สมการหนึ่งมีอยู่ในช่วงตัวเลขซึ่งนิพจน์ใต้เครื่องหมายมอดุลัสไม่เป็นค่าลบ

และสมการที่สองมีอยู่ในช่วงเวลาที่นิพจน์ใต้เครื่องหมายโมดูลัสเป็นลบ

ลองดูตัวอย่างง่ายๆ

มาแก้สมการกัน:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. มาเปิดโมดูลกัน

|x-3|=x-3 ถ้า x-3≥0 เช่น ถ้าx≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x ถ้า x-3<0, т.е. если х<3

2. เราได้รับช่วงตัวเลขสองช่วง: x≥3 และ x<3.

ให้เราพิจารณาว่าสมการใดที่สมการดั้งเดิมถูกแปลงในแต่ละช่วงเวลา:

A) สำหรับ x≥3 |x-3|=x-3 และการกระทบกระทั่งของเรามีรูปแบบ:

ความสนใจ! สมการนี้มีเฉพาะในช่วงเวลา x≥3!

มาเปิดวงเล็บและนำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน:

และแก้สมการนี้

สมการนี้มีราก:

x 1 = 0, x 2 = 3

ความสนใจ! เนื่องจากสมการ x-3=-x 2 +4x-3 มีอยู่เฉพาะในช่วงเวลา x≥3 เราจึงสนใจเฉพาะรากที่อยู่ในช่วงเวลานี้เท่านั้น เงื่อนไขนี้จะเป็นไปตาม x 2 = 3 เท่านั้น

B) ที่ x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

ความสนใจ! สมการนี้มีเฉพาะในช่วง x เท่านั้น<3!

มาเปิดวงเล็บและนำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน เราได้รับสมการ:

x 1 = 2, x 2 = 3

ความสนใจ! เนื่องจากสมการ 3-x=-x 2 +4x-3 มีเฉพาะในช่วง x เท่านั้น<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

ดังนั้น: จากช่วงแรกเราใช้เฉพาะรูท x=3 จากช่วงที่สอง - รูท x=2

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อแจ้งข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้นได้ไม่ซ้ำใคร
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงด้านการบริหาร ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

ท่ามกลาง ตัวอย่างต่อโมดูลมักจะมีสมการที่คุณต้องค้นหา รากของโมดูลในโมดูลนั่นคือสมการของรูปแบบ
||a*x-b|-c|=k*x+m
ถ้า k=0 นั่นคือ ด้านขวาเท่ากับค่าคงที่ (m) การหาคำตอบจะง่ายกว่า สมการกับโมดูลแบบกราฟิกด้านล่างเป็นวิธีการ การเปิดโมดูลคู่โดยใช้ตัวอย่างทั่วไปในทางปฏิบัติ เข้าใจอัลกอริธึมการคำนวนสมการด้วยโมดูลต่างๆ ได้ดี จะได้ไม่มีปัญหาเรื่องข้อสอบ ข้อสอบ และเพิ่งรู้

ตัวอย่างที่ 1 แก้สมการโมดูโล |3|x|-5|=-2x-2
วิธีแก้ไข: เริ่มเปิดสมการจากโมดูลภายในเสมอ
|x|=0 <->x=0.
ณ จุด x=0 สมการที่มีโมดูลัสจะถูกหารด้วย 2
ที่เอ็กซ์< 0 подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
สำหรับ x>0 หรือเท่ากับ การขยายโมดูลที่เราได้รับ
|3x-5|=-2x-2
มาแก้สมการกันสำหรับตัวแปรลบ (x< 0) . Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе - раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная - меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).

จากสมการแรกเราได้ว่าคำตอบไม่ควรเกิน (-1) เช่น

ข้อจำกัดนี้เป็นของขอบเขตที่เรากำลังแก้ไขทั้งหมด ลองย้ายตัวแปรและค่าคงที่ไปยังด้านตรงข้ามของความเท่าเทียมกันในระบบที่หนึ่งและสองกัน

และหาทางแก้ไข


ค่าทั้งสองอยู่ในช่วงเวลาที่กำลังพิจารณานั่นคือค่าเหล่านี้คือค่าราก
พิจารณาสมการที่มีโมดูลัสสำหรับตัวแปรบวก
|3x-5|=-2x-2
การขยายโมดูลเราจะได้ระบบสมการสองระบบ

จากสมการแรกซึ่งเหมือนกันกับทั้งสองระบบ เราได้เงื่อนไขที่คุ้นเคย

ซึ่งเมื่อตัดกับเซตที่เรากำลังมองหาคำตอบ จะได้เซตว่าง (ไม่มีจุดตัดกัน) ดังนั้นรากเดียวของโมดูลที่มีโมดูลคือค่า
x=-3; x=-1.4.

ตัวอย่างที่ 2 แก้สมการด้วยโมดูลัส ||x-1|-2|=3x-4
วิธีแก้ไข: เริ่มต้นด้วยการเปิดโมดูลภายใน
|x-1|=0 <=>x=1.
ฟังก์ชั่น submodular จะเปลี่ยนเครื่องหมายที่จุดเดียว สำหรับค่าที่น้อยกว่าจะเป็นลบ ถ้าค่าที่มากกว่าจะเป็นค่าบวก ด้วยเหตุนี้ เมื่อขยายโมดูลภายใน เราจะได้สมการสองสมการพร้อมกับโมดูล
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4
อย่าลืมตรวจสอบทางด้านขวาของสมการมอดุลัส โดยค่านั้นจะต้องมากกว่าศูนย์
3x-4>=0 -> x>=4/3
ซึ่งหมายความว่าไม่จำเป็นต้องแก้สมการตัวแรก เนื่องจากสมการนี้เขียนไว้สำหรับ x< 1, что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4หรือ x-3=4-3x;
4-3=3x-x หรือ x+3x=4+3;
2x=1 หรือ 4x=7;
x=1/2 หรือ x=7/4
เราได้รับสองค่า โดยค่าแรกถูกปฏิเสธเนื่องจากไม่อยู่ในช่วงที่กำหนด สุดท้าย สมการนี้มีคำตอบเดียว x=7/4

ตัวอย่างที่ 3 แก้สมการด้วยโมดูลัส ||2x-5|-1|=x+3
วิธีแก้ไข: มาเปิดโมดูลภายในกันดีกว่า
|2x-5|=0 <=>x=5/2=2.5
จุด x=2.5 แบ่งเส้นจำนวนออกเป็นสองช่วง ตามลำดับ ฟังก์ชันย่อยเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อผ่าน 2.5 ให้เราเขียนเงื่อนไขสำหรับการแก้ปัญหาด้วยด้านขวา
สมการกับโมดูลัส x+3>=0.
-> x>=-3
ดังนั้นผลเฉลยสามารถมีค่าได้ไม่ต่ำกว่า (-3) . มาขยายโมดูลสำหรับค่าลบของโมดูลภายในกัน
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3
โมดูลนี้จะให้ 2 สมการเมื่อขยาย
-2x+4=x+3 หรือ 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 หรือ 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3 หรือ x=7 .
เราปฏิเสธค่า x=7 เนื่องจากเรากำลังมองหาวิธีแก้ไขในช่วง [-3;2.5]
ตอนนี้เราเปิดโมดูลภายในสำหรับ x>2.5 เราได้สมการจากหนึ่งโมดูล
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
เมื่อขยายโมดูล เราจะได้สมการเชิงเส้นดังต่อไปนี้
3x=3; x=1 หรือ x=9 .
ค่าแรก x=1 ไม่ตรงตามเงื่อนไข x>2.5
ดังนั้นในช่วงเวลานี้ เรามีหนึ่งรากของสมการที่มีโมดูลัส x=9 และมีทั้งหมดสองราก (x=1/3) คุณสามารถตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณได้โดยการทดแทน

คำตอบ: x=1/3; x=9. ตัวอย่างที่ 4
ค้นหาคำตอบของโมดูลคู่ ||3x-1|-5|=2x-3
วิธีแก้ไข: มาขยายโมดูลภายในของสมการกัน <=>|3x-1|=0
x=1/3.
จุด x=2.5 แบ่งเส้นจำนวนออกเป็นสองช่วง และสมการที่กำหนดออกเป็นสองกรณี เราเขียนเงื่อนไขสำหรับการแก้ปัญหาตามรูปแบบของสมการทางด้านขวา 2x-3>=0
-> x>=3/2=1.5. ตามมาว่าเราสนใจค่า >=1.5 ดังนั้น สมการโมดูลาร์
,
พิจารณาเป็นสองช่วง
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3
โมดูลผลลัพธ์เมื่อขยายจะแบ่งออกเป็น 2 สมการ
-3x-4=2x-3 หรือ 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 หรือ 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 หรือ x=-7 .
ค่าทั้งสองไม่ตกอยู่ในช่วงเวลา กล่าวคือ ไม่ใช่คำตอบของสมการด้วยโมดูลัส ต่อไป เราจะขยายโมดูลสำหรับ x>2.5 เราได้สมการต่อไปนี้
|3x-1-5|=2x-3;.
|3x-6|=2x-3
เมื่อขยายโมดูลเราจะได้สมการเชิงเส้น 2 อัน 3x-6=2x-3 หรือ
–(3x-6)=2x-3; 3x-2x=-3+6
หรือ 2x+3x=6+3;
x=3 หรือ 5x=9; x=9/5=1.8
ค่าที่สองที่พบไม่ตรงกับเงื่อนไข x>2.5 เราปฏิเสธ
ในที่สุดเราก็มีหนึ่งรากของสมการที่มีโมดูล x=3
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3 .
กำลังดำเนินการตรวจสอบ
ดังนั้นในช่วงเวลานี้ เรามีหนึ่งรากของสมการที่มีโมดูลัส x=9 และมีทั้งหมดสองราก (x=1/3) คุณสามารถตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณได้โดยการทดแทน