ไซน์โคไซน์แทนเจนต์โคแทนเจนต์คืออะไร อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน สูตรผสม และที่มา

ไซนัสมุมแหลม α ของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วน ตรงข้ามขาถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก
แสดงไว้ดังนี้: sin α

โคไซน์มุมแหลม α ของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก
มันถูกกำหนดไว้ดังนี้: cos α

แทนเจนต์มุมแหลม α คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านที่อยู่ติดกัน
มันถูกกำหนดไว้ดังนี้: tg α

โคแทนเจนต์มุมแหลม α คืออัตราส่วน ขาที่อยู่ติดกันไปยังสิ่งที่ตรงกันข้าม
มันถูกกำหนดไว้ดังนี้: ctg α

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมจะขึ้นอยู่กับขนาดของมุมเท่านั้น

กฎ:

ขั้นพื้นฐาน อัตลักษณ์ตรีโกณมิติในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก:

(α – มุมแหลมตรงข้ามกับขา ข และติดกับขา ก - ด้านข้าง กับ – ด้านตรงข้ามมุมฉาก β – มุมเฉียบพลันที่สอง)

ข บาป α = - ค	บาป 2 α + cos 2 α = 1
ก คอส α = - ค	1 1 + ตาล 2 α = -- คอส 2 α
ข ตาล α = - ก	1 1 + cotg 2 α = -- บาป 2 α
ก CTG α = - ข	1 1 1 + -- = -- ตาล 2 α บาป 2 α
บาป α ทีจี α = -- cos α

เมื่อมุมแหลมเพิ่มขึ้นบาป α และตาล α เพิ่มขึ้นและcos α ลดลง

สำหรับมุมแหลมใดๆ α:

บาป (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = บาป α

ตัวอย่าง-คำอธิบาย:

ปล่อยให้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC
เอบี = 6,
พ.ศ. = 3,
มุม A = 30°

ลองหาไซน์ของมุม A และโคไซน์ของมุม B กัน

สารละลาย .

1) ขั้นแรก เราหาค่าของมุม B ทุกอย่างเป็นเรื่องง่ายที่นี่: เนื่องจากในสามเหลี่ยมมุมฉากผลรวมของมุมแหลมคือ 90° จากนั้นมุม B = 60°:

บี = 90° – 30° = 60°

2) ลองคำนวณ sin A กัน เรารู้ว่าไซน์เท่ากับอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก สำหรับมุม A ด้านตรงข้ามคือด้าน BC ดังนั้น:

พ.ศ. 3 1
บาป A = -- = - = -
เอบี 6 2

3) ทีนี้ มาคำนวณ cos B กัน เรารู้ว่าโคไซน์เท่ากับอัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก สำหรับมุม B ขาที่อยู่ติดกันจะเป็นด้านเดียวกัน BC ซึ่งหมายความว่าเราต้องหาร BC ด้วย AB อีกครั้งนั่นคือดำเนินการแบบเดียวกับเมื่อคำนวณไซน์ของมุม A:

พ.ศ. 3 1
เพราะ B = -- = - = -
เอบี 6 2

ผลลัพธ์คือ:
บาป A = cos B = 1/2

บาป30º = cos 60º = 1/2

จากนี้ไปในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีไซน์ของมุมแหลมหนึ่งมุม เท่ากับโคไซน์อีกมุมแหลม - และในทางกลับกัน นี่คือความหมายของสูตรทั้งสองของเรา:
บาป (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = บาป α

มาตรวจสอบเรื่องนี้อีกครั้ง:

1) ให้ α = 60° เมื่อแทนค่า α ลงในสูตรไซน์ เราจะได้:
บาป (90° – 60°) = cos 60°
บาป30º = cos 60º

2) ให้ α = 30° เมื่อแทนค่า α ลงในสูตรโคไซน์ เราจะได้:
cos (90° – 30°) = บาป 30°
เพราะ 60° = บาป 30°

(สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับตรีโกณมิติ โปรดดูส่วนพีชคณิต)

บทความนี้ประกอบด้วย ตารางไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์- ขั้นแรกเราจะจัดทำตารางค่าพื้นฐานของฟังก์ชันตรีโกณมิตินั่นคือตารางไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุม 0, 30, 45, 60, 90, ... , 360 องศา ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πเรเดียน). หลังจากนี้เราจะให้ตารางไซน์และโคไซน์รวมถึงตารางแทนเจนต์และโคแทนเจนต์โดย V. M. Bradis และแสดงวิธีใช้ตารางเหล่านี้เมื่อค้นหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

การนำทางหน้า

ตารางไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์สำหรับมุม 0, 30, 45, 60, 90, ... องศา

อ้างอิง.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 9 เฉลี่ย โรงเรียน/ยู N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; เอ็ด S. A. Telyakovsky - ม.: การศึกษา, 2533 - 272 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-002727-7
• บาชมาคอฟ เอ็ม.ไอ.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียน สำหรับเกรด 10-11 เฉลี่ย โรงเรียน - ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา พ.ศ. 2536 - 351 หน้า: ป่วย - ไอ 5-09-004617-4.
• พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และคนอื่น ๆ ; เอ็ด A. N. Kolmogorov - ฉบับที่ 14 - ม.: การศึกษา, 2547 - 384 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-013651-3
• Gusev V.A., Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค) พรบ. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2527-351 น. ป่วย
• แบรดิส วี.เอ็ม.ตารางคณิตศาสตร์สี่หลัก: เพื่อการศึกษาทั่วไป หนังสือเรียน สถานประกอบการ - ฉบับที่ 2 - อ.: อีแร้ง, 2542.- 96 น.: ป่วย ไอ 5-7107-2667-2

ตรีโกณมิติเป็นสาขาหนึ่งของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ที่ศึกษา ฟังก์ชันตรีโกณมิติและการนำไปใช้ในเรขาคณิต การพัฒนาตรีโกณมิติเริ่มขึ้นในสมัยกรีกโบราณ ในช่วงยุคกลาง นักวิทยาศาสตร์จากตะวันออกกลางและอินเดียมีส่วนสำคัญในการพัฒนาวิทยาศาสตร์นี้

บทความนี้เกี่ยวข้องกับแนวคิดพื้นฐานและคำจำกัดความของตรีโกณมิติ โดยจะกล่าวถึงคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ ความหมายของพวกเขาได้รับการอธิบายและแสดงไว้ในบริบทของเรขาคณิต

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

ในตอนแรก คำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีการโต้แย้งเป็นมุมจะแสดงเป็นอัตราส่วนของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

คำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ไซน์ของมุม (sin α) คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ตรงข้ามมุมนี้ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

โคไซน์ของมุม (cos α) - อัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

แทนเจนต์มุม (t g α) - อัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านที่อยู่ติดกัน

โคแทนเจนต์มุม (c t g α) - อัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกันกับด้านตรงข้าม

คำจำกัดความเหล่านี้ให้ไว้สำหรับมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก!

เรามายกตัวอย่างกัน

ในรูปสามเหลี่ยม ABC ที่มีมุมฉาก C ไซน์ของมุม A เท่ากับอัตราส่วนของขา BC ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก AB

คำจำกัดความของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ช่วยให้คุณสามารถคำนวณค่าของฟังก์ชันเหล่านี้จากความยาวที่ทราบของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม

สิ่งสำคัญที่ต้องจำ!

ช่วงของค่าของไซน์และโคไซน์คือตั้งแต่ -1 ถึง 1 กล่าวอีกนัยหนึ่งไซน์และโคไซน์รับค่าตั้งแต่ -1 ถึง 1 ช่วงของค่าของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์คือเส้นจำนวนทั้งหมด นั่นคือฟังก์ชันเหล่านี้สามารถรับค่าใดๆ ก็ได้

คำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้นใช้กับมุมแหลม ในวิชาตรีโกณมิติ มีการใช้แนวคิดเรื่องมุมการหมุน ซึ่งต่างจากมุมเฉียบพลัน ซึ่งไม่จำกัดอยู่ที่ 0 ถึง 90 องศา มุมการหมุนในหน่วยองศาหรือเรเดียนจะแสดงเป็นจำนวนจริงตั้งแต่ - ∞ ถึง + ∞

ในบริบทนี้ เราสามารถนิยามไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมขนาดใดก็ได้ ลองจินตนาการถึงวงกลมหนึ่งหน่วยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

จุดเริ่มต้น A ที่มีพิกัด (1, 0) หมุนรอบจุดศูนย์กลางของวงกลมหน่วยผ่านมุมที่กำหนด α และไปที่จุด A 1 คำจำกัดความได้รับในแง่ของพิกัดของจุด A 1 (x, y)

ไซน์ (บาป) ของมุมการหมุน

ไซน์ของมุมการหมุน α คือพิกัดของจุด A 1 (x, y) บาป α = y

โคไซน์ (cos) ของมุมการหมุน

โคไซน์ของมุมการหมุน α คือค่าแอบซิสซาของจุด A 1 (x, y) คอส α = x

แทนเจนต์ (tg) ของมุมการหมุน

แทนเจนต์ของมุมการหมุน α คืออัตราส่วนของพิกัดของจุด A 1 (x, y) ต่อการตัดทอนของมัน เสื้อ ก α = y x

โคแทนเจนต์ (ctg) ของมุมการหมุน

โคแทนเจนต์ของมุมการหมุน α คืออัตราส่วนของ abscissa ของจุด A 1 (x, y) ต่อพิกัด c t g α = x y

ไซน์และโคไซน์ถูกกำหนดไว้สำหรับมุมการหมุนใดๆ นี่เป็นตรรกะ เนื่องจากสามารถกำหนดจุดหักมุมและพิกัดของจุดหลังการหมุนได้ทุกมุม สถานการณ์แตกต่างกับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ แทนเจนต์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้เมื่อจุดหลังการหมุนไปยังจุดที่มีจุดหักมุมเป็นศูนย์ (0, 1) และ (0, - 1) ในกรณีเช่นนี้ นิพจน์สำหรับแทนเจนต์ t g α = y x นั้นไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากประกอบด้วยการหารด้วยศูนย์ สถานการณ์คล้ายกับโคแทนเจนต์ ข้อแตกต่างก็คือโคแทนเจนต์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในกรณีที่พิกัดของจุดไปที่ศูนย์

สิ่งสำคัญที่ต้องจำ!

ไซน์และโคไซน์ถูกกำหนดไว้สำหรับมุมใดๆ α

แทนเจนต์ถูกกำหนดไว้สำหรับทุกมุม ยกเว้น α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

โคแทนเจนต์ถูกกำหนดไว้สำหรับทุกมุม ยกเว้น α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

เมื่อแก้ตัวอย่างเชิงปฏิบัติ อย่าพูดว่า "ไซน์ของมุมการหมุน α" คำว่า "มุมการหมุน" ถูกตัดออกไป หมายความว่าสิ่งที่กำลังพูดคุยกันนั้นชัดเจนอยู่แล้วจากบริบท

ตัวเลข

แล้วการหาไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของตัวเลข แทนที่จะเป็นมุมการหมุนล่ะ

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ของจำนวน

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของจำนวน ทีคือจำนวนที่เท่ากับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ตามลำดับ ทีเรเดียน.

ตัวอย่างเช่น ไซน์ของเลข 10 π เท่ากับไซน์ของมุมการหมุนของ 10 π rad

มีอีกวิธีหนึ่งในการกำหนดไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของตัวเลข เรามาดูกันดีกว่า

จำนวนจริงใดๆ ทีจุดบนวงกลมหน่วยสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ถูกกำหนดผ่านพิกัดของจุดนี้

จุดเริ่มต้นบนวงกลมคือจุด A ที่มีพิกัด (1, 0)

จำนวนบวก ที

จำนวนลบ ทีสอดคล้องกับจุดที่จุดเริ่มต้นจะไปถ้ามันเคลื่อนที่รอบวงกลมทวนเข็มนาฬิกาและผ่านเส้นทาง t

ตอนนี้ความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขกับจุดบนวงกลมได้ถูกสร้างขึ้นแล้ว เราจะมาดูคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

ไซน์ (บาป) ของ t

ไซน์ของจำนวน ที- พิกัดของจุดบนวงกลมหน่วยที่สอดคล้องกับตัวเลข ที บาป t = y

โคไซน์ (cos) ของ t

โคไซน์ของจำนวน ที- การแยกจุดของวงกลมหน่วยที่สอดคล้องกับตัวเลข ที เพราะ เสื้อ = x

แทนเจนต์ (tg) ของ t

แทนเจนต์ของตัวเลข ที- อัตราส่วนของพิกัดต่อจุดขาดของจุดบนวงกลมหน่วยที่สอดคล้องกับตัวเลข ที t g t = y x = sin t เพราะ t

คำจำกัดความล่าสุดเป็นไปตามและไม่ขัดแย้งกับคำจำกัดความที่ให้ไว้ตอนต้นของย่อหน้านี้ ชี้ไปที่วงกลมที่ตรงกับตัวเลข ทีเกิดขึ้นพร้อมกับจุดที่จุดเริ่มต้นไปหลังจากเลี้ยวเป็นมุม ทีเรเดียน.

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์เชิงมุมและตัวเลข

แต่ละค่าของมุม α สอดคล้องกับค่าหนึ่งของไซน์และโคไซน์ของมุมนี้ เช่นเดียวกับทุกมุม α นอกเหนือจาก α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) สอดคล้องกับค่าแทนเจนต์ที่แน่นอน โคแทนเจนต์ตามที่ระบุไว้ข้างต้น ถูกกำหนดให้กับ α ทั้งหมด ยกเว้น α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

เราสามารถพูดได้ว่า sin α, cos α, t g α, c t g α เป็นฟังก์ชันของมุมอัลฟา หรือฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์เชิงมุม

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพูดถึงไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ที่เป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์เชิงตัวเลขได้ ทุกจำนวนจริง ทีสอดคล้องกับค่าหนึ่งของไซน์หรือโคไซน์ของตัวเลข ที- จำนวนทั้งหมดที่ไม่ใช่ π 2 + π · k, k ∈ Z สอดคล้องกับค่าแทนเจนต์ โคแทนเจนต์ในทำนองเดียวกันถูกกำหนดไว้สำหรับตัวเลขทั้งหมด ยกเว้น π · k, k ∈ Z

ฟังก์ชันพื้นฐานของตรีโกณมิติ

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน

โดยปกติแล้วจะชัดเจนจากบริบทว่าเรากำลังเผชิญกับอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติใด (อาร์กิวเมนต์เชิงมุมหรืออาร์กิวเมนต์ตัวเลข)

กลับไปที่คำจำกัดความที่ให้ไว้ที่จุดเริ่มต้นและมุมอัลฟ่าซึ่งอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา คำจำกัดความตรีโกณมิติของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์สอดคล้องกับคำจำกัดความทางเรขาคณิตที่กำหนดโดยอัตราส่วนกว้างยาวของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากโดยสิ้นเชิง มาแสดงกันเถอะ

ลองใช้วงกลมหน่วยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม ลองหมุนจุดเริ่มต้น A (1, 0) เป็นมุมสูงถึง 90 องศาแล้ววาดตั้งฉากกับแกน abscissa จากจุดผลลัพธ์ A 1 (x, y) ในผลลัพธ์ของสามเหลี่ยมมุมฉาก มุม A 1 O H เท่ากับมุมเลี้ยวαความยาวของขา O H เท่ากับจุดขาดของจุด A 1 (x, y) ความยาวของขาที่อยู่ตรงข้ามมุมจะเท่ากับพิกัดของจุด A 1 (x, y) และความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ 1 เนื่องจากเป็นรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วย

ตามคำนิยามจากเรขาคณิต ไซน์ของมุม α เท่ากับอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

บาป α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

ซึ่งหมายความว่าการหาไซน์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากผ่านอัตราส่วนกว้างยาวจะเทียบเท่ากับการหาไซน์ของมุมการหมุน α โดยที่อัลฟาอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา

ในทำนองเดียวกัน ความสอดคล้องของคำจำกัดความสามารถแสดงสำหรับโคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ได้

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ตรีโกณมิติเป็นวิทยาศาสตร์ที่มีต้นกำเนิดในตะวันออกโบราณ อัตราส่วนตรีโกณมิติแรกได้มาจากนักดาราศาสตร์เพื่อสร้างปฏิทินและการวางแนวที่แม่นยำโดยดวงดาว การคำนวณเหล่านี้เกี่ยวข้องกับตรีโกณมิติทรงกลมในขณะที่เข้า หลักสูตรของโรงเรียนศึกษาอัตราส่วนของด้านและมุมของสามเหลี่ยมระนาบ

ตรีโกณมิติเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติและความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม

ในช่วงรุ่งเรืองของวัฒนธรรมและวิทยาศาสตร์ในสหัสวรรษที่ 1 ความรู้แพร่กระจายจากตะวันออกโบราณไปยังกรีซ แต่การค้นพบตรีโกณมิติที่สำคัญคือข้อดีของคนในศาสนาอิสลามแห่งอาหรับ โดยเฉพาะอย่างยิ่งนักวิทยาศาสตร์ชาวเติร์กเมนิสถานอัล-มาราซวีได้แนะนำฟังก์ชันต่างๆ เช่น แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ และรวบรวมตารางค่าแรกสำหรับไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ แนวคิดเรื่องไซน์และโคไซน์ได้รับการแนะนำโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดีย ตรีโกณมิติได้รับความสนใจอย่างมากในผลงานของบุคคลสำคัญในสมัยโบราณเช่น Euclid, Archimedes และ Eratosthenes

ปริมาณพื้นฐานของตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานของอาร์กิวเมนต์ตัวเลข ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ แต่ละคนมีกราฟของตัวเอง: ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์

สูตรในการคำนวณค่าของปริมาณเหล่านี้จะขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทพีทาโกรัส เด็กนักเรียนเป็นที่รู้จักกันดีในสูตร: "กางเกงพีทาโกรัสมีความเท่าเทียมกันในทุกทิศทาง" เนื่องจากการพิสูจน์ให้ไว้โดยใช้ตัวอย่างของสามเหลี่ยมหน้าจั่วหน้าจั่ว

ไซน์ โคไซน์ และการพึ่งพาอื่นๆ สร้างความสัมพันธ์ระหว่าง มุมที่คมชัดและด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ให้เรานำเสนอสูตรสำหรับการคำนวณปริมาณเหล่านี้สำหรับมุม A และติดตามความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

อย่างที่คุณเห็น tg และ ctg เป็นฟังก์ชันผกผัน ถ้าเราจินตนาการว่าขา a เป็นผลคูณของบาป A และด้านตรงข้ามมุมฉาก c และขา b เป็น cos A * c เราจะได้สูตรต่อไปนี้สำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์:

วงกลมตรีโกณมิติ

ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณดังกล่าวสามารถแสดงได้ดังนี้:

เส้นรอบวง, นิ้ว ในกรณีนี้, แสดงถึงทุกสิ่งทุกอย่าง ค่าที่เป็นไปได้มุม α - ตั้งแต่ 0° ถึง 360° ดังที่เห็นจากรูป แต่ละฟังก์ชันรับค่าลบหรือบวกขึ้นอยู่กับมุม ตัวอย่างเช่น sin α จะมีเครื่องหมาย "+" หาก α อยู่ในควอเตอร์ที่ 1 และ 2 ของวงกลม นั่นคือ มันอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0° ถึง 180° สำหรับ α ตั้งแต่ 180° ถึง 360° (ไตรมาส III และ IV) sin α สามารถเป็นค่าลบได้เท่านั้น

เรามาลองสร้างตารางตรีโกณมิติสำหรับมุมเฉพาะและค้นหาความหมายของปริมาณกัน

ค่า α เท่ากับ 30°, 45°, 60°, 90°, 180° และอื่นๆ เรียกว่ากรณีพิเศษ ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับฟังก์ชันเหล่านี้จะถูกคำนวณและนำเสนอในรูปแบบของตารางพิเศษ

มุมเหล่านี้ไม่ได้ถูกเลือกแบบสุ่ม การกำหนด π ในตารางเป็นการกำหนดเรเดียน แรดคือมุมที่ความยาวของส่วนโค้งของวงกลมสอดคล้องกับรัศมี ค่านี้ถูกนำมาใช้เพื่อสร้างการพึ่งพาสากล เมื่อคำนวณเป็นเรเดียน ความยาวจริงของรัศมีเป็นซม. ไม่สำคัญ

มุมในตารางสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติสอดคล้องกับค่าเรเดียน:

ดังนั้น จึงไม่ยากที่จะเดาว่า 2π เป็นวงกลมที่สมบูรณ์หรือ 360°

คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ: ไซน์และโคไซน์

ในการพิจารณาและเปรียบเทียบคุณสมบัติพื้นฐานของไซน์และโคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ จำเป็นต้องวาดฟังก์ชันของพวกมัน ซึ่งสามารถทำได้ในรูปแบบของเส้นโค้งที่อยู่ในระบบพิกัดสองมิติ

พิจารณาตารางเปรียบเทียบคุณสมบัติของไซน์และโคไซน์:

คลื่นไซน์	โคไซน์
y = บาปx	y = cos x
โอดีซ [-1; 1]	โอดีซ [-1; 1]
บาป x = 0 สำหรับ x = πk โดยที่ k ϵ Z	cos x = 0 สำหรับ x = π/2 + πk โดยที่ k ϵ Z
sin x = 1 สำหรับ x = π/2 + 2πk โดยที่ k ϵ Z	cos x = 1 ที่ x = 2πk โดยที่ k ϵ Z
sin x = - 1 ที่ x = 3π/2 + 2πk โดยที่ k ϵ Z	cos x = - 1 สำหรับ x = π + 2πk โดยที่ k ϵ Z
sin (-x) = - sin x นั่นคือฟังก์ชันเป็นเลขคี่	cos (-x) = cos x นั่นคือฟังก์ชันเป็นเลขคู่
	ฟังก์ชันเป็นแบบคาบ คาบที่เล็กที่สุดคือ 2π
sin x › 0 โดยที่ x อยู่ในควอเตอร์ที่ 1 และ 2 หรือตั้งแต่ 0° ถึง 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0 โดยที่ x อยู่ในควอเตอร์ I และ IV หรือตั้งแต่ 270° ถึง 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0 โดยที่ x อยู่ในควอเตอร์ที่สามและสี่ หรือตั้งแต่ 180° ถึง 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0 โดยที่ x อยู่ในควอเตอร์ที่ 2 และ 3 หรือตั้งแต่ 90° ถึง 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา [-π + 2πk, 2πk]
ลดลงในช่วงเวลา [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	ลดลงตามช่วงเวลา
อนุพันธ์ (บาป x)’ = cos x	อนุพันธ์ (cos x)’ = - sin x

การพิจารณาว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่หรือไม่นั้นทำได้ง่ายมาก พอจะจินตนาการได้ วงกลมตรีโกณมิติด้วยเครื่องหมายของปริมาณตรีโกณมิติและ "พับ" กราฟทางจิตใจสัมพันธ์กับแกน OX ถ้าสัญญาณตรงกัน ฟังก์ชันจะเป็นเลขคู่ ไม่เช่นนั้นจะเป็นเลขคี่

การแนะนำเรเดียนและการแสดงรายการคุณสมบัติพื้นฐานของคลื่นไซน์และโคไซน์ทำให้เราสามารถนำเสนอรูปแบบต่อไปนี้:

มันง่ายมากที่จะตรวจสอบว่าสูตรถูกต้อง ตัวอย่างเช่น สำหรับ x = π/2 ไซน์คือ 1 เช่นเดียวกับโคไซน์ของ x = 0 การตรวจสอบสามารถทำได้โดยการปรึกษาตารางหรือโดยการติดตามเส้นโค้งของฟังก์ชันสำหรับค่าที่กำหนด

คุณสมบัติของแทนเจนต์ซอยด์และโคแทนเจนต์ซอยด์

กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ ค่า tg และ ctg เป็นส่วนกลับของกันและกัน

1. Y = สีแทน x
2. แทนเจนต์มีแนวโน้มไปที่ค่า y ที่ x = π/2 + πk แต่ไม่เคยไปถึงค่าเหล่านั้น
3. คาบบวกที่น้อยที่สุดของแทนเจนตอยด์คือ π
4. Tg (- x) = - tg x เช่น ฟังก์ชันเป็นเลขคี่
5. Tg x = 0 สำหรับ x = πk
6. ฟังก์ชั่นกำลังเพิ่มขึ้น
7. Tg x › 0 สำหรับ x ϵ (πk, π/2 + πk)
8. Tg x ‹ 0 สำหรับ x ϵ (— π/2 + πk, πk)
9. อนุพันธ์ (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x

พิจารณาภาพกราฟิกของโคแทนเจนตอยด์ด้านล่างในข้อความ

คุณสมบัติหลักของโคแทนเจนตอยด์:

1. Y = เปล x
2. ต่างจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ในแทนเจนต์อยด์ Y สามารถใช้ค่าของเซตของจำนวนจริงทั้งหมดได้
3. โคแทนเจนตอยด์มีแนวโน้มที่จะมีค่า y ที่ x = πk แต่ไม่เคยไปถึงค่าเหล่านั้น
4. คาบบวกที่น้อยที่สุดของโคแทนเจนตอยด์คือ π
5. Ctg (- x) = - ctg x นั่นคือฟังก์ชันเป็นเลขคี่
6. CTG x = 0 สำหรับ x = π/2 + πk
7. ฟังก์ชันกำลังลดลง
8. Ctg x › 0 สำหรับ x ϵ (πk, π/2 + πk)
9. Ctg x ‹ 0, สำหรับ x ϵ (π/2 + πk, πk)
10. อนุพันธ์ (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x ถูกต้อง

ขั้นแรก ให้พิจารณาวงกลมที่มีรัศมี 1 และมีศูนย์กลางอยู่ที่ (0;0) สำหรับ αЄR ใดๆ สามารถวาดรัศมี 0A เพื่อให้การวัดเรเดียนของมุมระหว่าง 0A และแกน 0x เท่ากับ α ทิศทางทวนเข็มนาฬิกาถือว่าเป็นบวก ให้จุดสิ้นสุดของรัศมี A มีพิกัด (a,b)

ความหมายของไซน์

คำจำกัดความ: จำนวน b ซึ่งเท่ากับพิกัดของรัศมีหน่วยที่สร้างขึ้นตามวิธีที่อธิบายไว้ แสดงด้วย sinα และเรียกว่าไซน์ของมุม α

ตัวอย่าง: บาป 3π cos3π/2 = 0 0 = 0

ความหมายของโคไซน์

คำจำกัดความ: จำนวน a ซึ่งเท่ากับค่า Abscissa ของจุดสิ้นสุดของรัศมีหน่วยที่สร้างขึ้นตามวิธีที่อธิบายไว้ แสดงด้วย cosα และเรียกว่าโคไซน์ของมุม α

ตัวอย่าง: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2

ตัวอย่างเหล่านี้ใช้คำจำกัดความของไซน์และโคไซน์ของมุมในแง่ของพิกัดของจุดสิ้นสุดของรัศมีหน่วยและวงกลมหน่วย เพื่อให้เห็นภาพมากขึ้น คุณต้องวาดวงกลมหนึ่งหน่วยและพลอตจุดที่สอดคล้องกันบนวงกลมนั้น จากนั้นนับจุดหักมุมเพื่อคำนวณโคไซน์และจัดลำดับเพื่อคำนวณไซน์

คำนิยามแทนเจนต์

คำจำกัดความ: ฟังก์ชัน tgx=sinx/cosx สำหรับ x≠π/2+πk, kЄZ เรียกว่าโคแทนเจนต์ของมุม x โดเมนของฟังก์ชัน tgx คือทุกสิ่งทุกอย่าง ตัวเลขจริง, ยกเว้น x=π/2+πn, nЄZ

ตัวอย่าง: tg0 tgπ = 0 0 = 0

ตัวอย่างนี้คล้ายกับตัวอย่างก่อนหน้า ในการคำนวณแทนเจนต์ของมุม คุณต้องหารพิกัดของจุดด้วยแอบซิสซา

คำจำกัดความของโคแทนเจนต์

คำจำกัดความ: ฟังก์ชัน ctgx=cosx/sinx สำหรับ x≠πk, kЄZ เรียกว่าโคแทนเจนต์ของมุม x โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน ctgx = คือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจุด x=πk, kЄZ

ลองดูตัวอย่างโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉากปกติ

เพื่อให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นว่าโคไซน์ ไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์คืออะไร ลองดูตัวอย่างโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉากปกติที่มีมุม y และ ข้าง a,b,c- ด้านตรงข้ามมุมฉาก c, ขา a และ b ตามลำดับ มุมระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉาก c และขา b y

คำนิยาม:ไซน์ของมุม y คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก: siny = a/c

คำนิยาม:โคไซน์ของมุม y คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก: cosy= in/c

คำนิยาม:แทนเจนต์ของมุม y คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด: tgy = a/b

คำนิยาม:โคแทนเจนต์ของมุม y คืออัตราส่วนของด้านประชิดกับด้านตรงข้าม: ctgy= in/a

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ แต่ละมุมมีไซน์และโคไซน์ของตัวเอง และเกือบทุกคนมีแทนเจนต์และโคแทนเจนต์เป็นของตัวเอง

เชื่อกันว่าถ้าเราให้มุม เราก็จะรู้จักไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมัน! และในทางกลับกัน เมื่อกำหนดให้ไซน์หรือฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ ตามลำดับ เราก็รู้มุมนั้น แม้แต่ตารางพิเศษก็ถูกสร้างขึ้นโดยเขียนฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับแต่ละมุม