กฎการคูณเศษส่วนด้วยตัวส่วนต่างกัน เศษส่วน การคูณเศษส่วนสามัญ ทศนิยม และเศษส่วนคละ

ในหลักสูตรระดับมัธยมศึกษาตอนต้นและมัธยมปลาย นักเรียนจะพูดถึงหัวข้อ “เศษส่วน” อย่างไรก็ตาม แนวคิดนี้กว้างกว่าแนวคิดที่ให้ไว้ในกระบวนการเรียนรู้มาก ทุกวันนี้ แนวคิดเรื่องเศษส่วนเกิดขึ้นค่อนข้างบ่อย และไม่ใช่ทุกคนที่จะคำนวณนิพจน์ใดๆ ได้ เช่น การคูณเศษส่วน

เศษส่วนคืออะไร?

ในอดีต ตัวเลขที่เป็นเศษส่วนเกิดขึ้นจากความจำเป็นในการวัด ตามที่แสดงในทางปฏิบัติ มักจะมีตัวอย่างในการกำหนดความยาวของส่วนและปริมาตรของสี่เหลี่ยมมุมฉาก

ในขั้นต้น นักเรียนจะได้รับการแนะนำให้รู้จักกับแนวคิดเรื่องการแบ่งปัน เช่น ถ้าคุณแบ่งแตงโมออกเป็น 8 ส่วน แต่ละคนก็จะได้หนึ่งในแปดของแตงโม ส่วนหนึ่งของแปดนี้เรียกว่าส่วนแบ่ง

ส่วนแบ่งที่เท่ากับ 1/2 ของมูลค่าใดๆ เรียกว่าครึ่งหนึ่ง ⅓ - สาม; ¼ - หนึ่งในสี่ บันทึกในรูปแบบ 5/8, 4/5, 2/4 เรียกว่าเศษส่วนสามัญ เศษส่วนร่วมแบ่งออกเป็นทั้งเศษและส่วน ระหว่างนั้นคือแถบเศษส่วนหรือแถบเศษส่วน เส้นเศษส่วนสามารถวาดเป็นเส้นแนวนอนหรือเส้นเฉียงก็ได้ ใน ในกรณีนี้มันแสดงถึงเครื่องหมายแบ่ง

ตัวส่วนแสดงถึงจำนวนหรือวัตถุที่ถูกแบ่งออกเป็นจำนวนเท่าๆ กัน และตัวเศษคือจำนวนหุ้นที่เหมือนกัน ตัวเศษเขียนไว้เหนือเส้นเศษส่วน ส่วนตัวส่วนเขียนไว้ด้านล่าง

วิธีที่สะดวกที่สุดในการแสดงเศษส่วนสามัญบนเรย์พิกัด หากส่วนของหน่วยแบ่งออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กัน ให้ติดป้ายกำกับแต่ละส่วน อักษรละตินแล้วผลลัพธ์ที่ได้จะดีเยี่ยม เครื่องช่วยการมองเห็น- ดังนั้น จุด A แสดงส่วนแบ่งเท่ากับ 1/4 ของส่วนของหน่วยทั้งหมด และจุด B ทำเครื่องหมาย 2/8 ของส่วนที่กำหนด

ประเภทของเศษส่วน

เศษส่วนอาจเป็นตัวเลขธรรมดา ทศนิยม และคละก็ได้ นอกจากนี้ เศษส่วนยังแบ่งได้เป็นถูกและไม่เหมาะสม การจำแนกประเภทนี้เหมาะกับเศษส่วนสามัญมากกว่า

เศษส่วนแท้คือจำนวนที่มีตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน ดังนั้น เศษส่วนเกินคือจำนวนที่มีตัวเศษมากกว่าตัวส่วน ประเภทที่สองมักจะเขียนเป็นจำนวนคละ นิพจน์นี้ประกอบด้วยจำนวนเต็มและเศษส่วน ตัวอย่างเช่น 1½ 1 - ทั้งส่วน, ½ - เศษส่วน อย่างไรก็ตาม หากคุณต้องการดำเนินการบางอย่างกับนิพจน์ (การหารหรือคูณเศษส่วน ลดหรือแปลง) จำนวนคละจะถูกแปลงเป็นเศษส่วนเกิน

นิพจน์เศษส่วนที่ถูกต้องจะมีค่าน้อยกว่าหนึ่งเสมอ และนิพจน์เศษส่วนที่ถูกต้องจะต้องมากกว่าหรือเท่ากับ 1 เสมอ

สำหรับนิพจน์นี้ เราหมายถึงบันทึกที่มีการแสดงตัวเลขใดๆ ตัวส่วนของนิพจน์เศษส่วนซึ่งสามารถแสดงในรูปของหนึ่งที่มีศูนย์หลายตัวได้ หากเศษส่วนถูกต้อง ส่วนจำนวนเต็มในรูปแบบทศนิยมจะเท่ากับศูนย์

ในการเขียนเศษส่วนทศนิยม คุณต้องเขียนเศษส่วนทั้งหมดก่อน แยกเศษส่วนโดยใช้ลูกน้ำ จากนั้นจึงเขียนนิพจน์เศษส่วน ต้องจำไว้ว่าหลังจุดทศนิยม ตัวเศษจะต้องมีจำนวนอักขระดิจิทัลเท่ากัน เนื่องจากในตัวส่วนมีศูนย์

ตัวอย่าง- แสดงเศษส่วน 7 21/1000 ในรูปแบบทศนิยม

อัลกอริทึมสำหรับการแปลงเศษส่วนเกินให้เป็นจำนวนคละและในทางกลับกัน

การเขียนเศษส่วนเกินในการตอบปัญหานั้นไม่ถูกต้อง ดังนั้นจึงต้องแปลงเป็นจำนวนคละ:

• หารตัวเศษด้วยตัวส่วนที่มีอยู่
• วี ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงผลหารที่ไม่สมบูรณ์ - ทั้งหมด;
• และเศษที่เหลือคือตัวเศษของเศษส่วนโดยที่ตัวส่วนยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

ตัวอย่าง- แปลงเศษส่วนเกินให้เป็นจำนวนคละ: 47/5

สารละลาย- 47: 5 ผลหารย่อยคือ 9 ส่วนที่เหลือ = 2 ดังนั้น 47 / 5 = 9 2 / 5

บางครั้งคุณจำเป็นต้องแทนจำนวนคละเป็นเศษส่วนเกิน จากนั้นคุณต้องใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้:

• ส่วนจำนวนเต็มจะถูกคูณด้วยตัวส่วนของนิพจน์เศษส่วน
• ผลิตภัณฑ์ผลลัพธ์จะถูกเพิ่มเข้าไปในตัวเศษ
• ผลลัพธ์จะเขียนเป็นตัวเศษ ส่วนส่วนยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

ตัวอย่าง- แสดงตัวเลขในรูปแบบคละเป็นเศษส่วนเกิน: 9 8 / 10

สารละลาย- 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 เป็นตัวเศษ

คำตอบ: 98 / 10.

การคูณเศษส่วน

การดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตต่างๆ สามารถดำเนินการกับเศษส่วนสามัญได้ หากต้องการคูณตัวเลขสองตัว คุณต้องคูณตัวเศษด้วยตัวเศษ และตัวส่วนคูณด้วยตัวส่วน นอกจากนี้การคูณเศษส่วนด้วย ตัวส่วนที่แตกต่างกันไม่ต่างจากการทำงาน ตัวเลขเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

มันเกิดขึ้นว่าหลังจากพบผลลัพธ์แล้วคุณจะต้องลดเศษส่วนลง มีความจำเป็นที่จะต้องลดความซับซ้อนของนิพจน์ผลลัพธ์ให้มากที่สุด แน่นอนว่าไม่มีใครสามารถพูดได้ว่าเศษส่วนเกินในคำตอบนั้นเป็นข้อผิดพลาด แต่ก็เป็นการยากที่จะเรียกว่าเป็นคำตอบที่ถูกต้องเช่นกัน

ตัวอย่าง- ค้นหาผลคูณของเศษส่วนสามัญสองตัว: ½ และ 20/18

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง หลังจากค้นหาผลคูณแล้ว จะได้สัญลักษณ์เศษส่วนแบบลดได้ ทั้งเศษและส่วนในกรณีนี้ถูกหารด้วย 4 และผลลัพธ์คือคำตอบ 5/9

การคูณเศษส่วนทศนิยม

ผลคูณของเศษส่วนทศนิยมค่อนข้างแตกต่างจากผลคูณของเศษส่วนธรรมดาในหลักการ ดังนั้นการคูณเศษส่วนจึงเป็นดังนี้:

• จะต้องเขียนเศษส่วนทศนิยมสองอันไว้ข้างใต้เพื่อให้ตัวเลขที่อยู่ขวาสุดอยู่ใต้อีกอันหนึ่ง
• คุณต้องคูณตัวเลขที่เขียนแม้จะมีเครื่องหมายจุลภาคนั่นคือเป็นตัวเลขธรรมชาติ
• นับจำนวนหลักหลังจุดทศนิยมในแต่ละตัวเลข
• ในผลลัพธ์ที่ได้หลังจากการคูณคุณต้องนับสัญลักษณ์ดิจิทัลทางขวาให้มากที่สุดเท่าที่จะรวมอยู่ในผลรวมของทั้งสองตัวหลังจุดทศนิยมและใส่เครื่องหมายแยก
• หากมีตัวเลขน้อยกว่าในผลิตภัณฑ์คุณจะต้องเขียนเลขศูนย์ให้มากที่สุดข้างหน้าเพื่อครอบคลุมตัวเลขนี้ ใส่ลูกน้ำแล้วบวกทั้งส่วนที่เท่ากับศูนย์

ตัวอย่าง- คำนวณผลคูณของเศษส่วนทศนิยมสองตำแหน่ง: 2.25 และ 3.6

สารละลาย.

การคูณเศษส่วนคละ

ในการคำนวณผลคูณของเศษส่วนผสมสองชิ้น คุณต้องใช้กฎในการคูณเศษส่วน:

• แปลงตัวเลขคละให้เป็นเศษส่วนเกิน
• ค้นหาผลคูณของตัวเศษ
• ค้นหาผลคูณของตัวส่วน
• เขียนผลลัพธ์
• ลดความซับซ้อนของนิพจน์ให้มากที่สุด

ตัวอย่าง- หาผลคูณของ4½ และ 6 2/5

การคูณตัวเลขด้วยเศษส่วน (เศษส่วนด้วยตัวเลข)

นอกจากการหาผลคูณของเศษส่วนสองตัวและจำนวนคละแล้ว ยังมีงานที่คุณต้องคูณด้วยเศษส่วนอีกด้วย

เพื่อที่จะพบกับสินค้า ทศนิยมและจำนวนธรรมชาติ คุณต้องมี:

• เขียนตัวเลขไว้ใต้เศษส่วนเพื่อให้หลักขวาสุดอยู่เหนืออีกหลักหนึ่ง
• ค้นหาผลิตภัณฑ์แม้จะมีเครื่องหมายจุลภาค
• ในผลลัพธ์ที่ได้ให้แยกส่วนจำนวนเต็มออกจากส่วนที่เป็นเศษส่วนโดยใช้ลูกน้ำโดยนับจากทางขวาถึงจำนวนหลักที่อยู่หลังจุดทศนิยมในเศษส่วน

หากต้องการคูณเศษส่วนร่วมด้วยตัวเลข คุณต้องหาผลคูณของตัวเศษและตัวประกอบทางธรรมชาติ หากคำตอบทำให้เกิดเศษส่วนที่สามารถลดทอนได้ ก็ควรแปลงคำตอบ

ตัวอย่าง- คำนวณผลคูณของ 5/8 และ 12

สารละลาย. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

คำตอบ: 7 1 / 2.

ดังที่คุณเห็นจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ จำเป็นต้องลดผลลัพธ์ที่ได้และแปลงนิพจน์เศษส่วนที่ไม่ปกติให้เป็นจำนวนคละ

การคูณเศษส่วนยังเกี่ยวข้องกับการหาผลคูณของตัวเลขในรูปแบบผสมและตัวประกอบทางธรรมชาติ หากต้องการคูณตัวเลขสองตัวนี้ คุณควรคูณส่วนทั้งหมดของตัวประกอบที่ผสมด้วยตัวเลข คูณตัวเศษด้วยค่าเดียวกัน และปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง หากจำเป็น คุณจะต้องลดความซับซ้อนของผลลัพธ์ที่ได้ให้มากที่สุด

ตัวอย่าง- ค้นหาผลคูณของ 9 5 / 6 และ 9

สารละลาย- 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1/2

คำตอบ: 88 1 / 2.

การคูณด้วยปัจจัย 10, 100, 1,000 หรือ 0.1; 0.01; 0.001

สืบเนื่องมาจากย่อหน้าที่แล้ว กฎถัดไป- หากต้องการคูณเศษส่วนทศนิยมด้วย 10, 100, 1,000, 10,000 ฯลฯ คุณต้องย้ายจุดทศนิยมไปทางขวาตามหลักหลายหลักเนื่องจากมีศูนย์อยู่หลังจุดทศนิยมในตัวประกอบ

ตัวอย่างที่ 1- ค้นหาผลคูณของ 0.065 และ 1,000

สารละลาย- 0.065 x 1,000 = 0065 = 65

คำตอบ: 65.

ตัวอย่างที่ 2- ค้นหาผลิตภัณฑ์ของ 3.9 และ 1,000

สารละลาย- 3.9 x 1,000 = 3.900 x 1,000 = 3900

คำตอบ: 3900.

หากคุณต้องการคูณจำนวนธรรมชาติและ 0.1; 0.01; 0.001; 0.0001 เป็นต้น คุณควรย้ายเครื่องหมายจุลภาคในผลลัพธ์ที่ได้ไปทางซ้ายตามอักขระหลักให้มากที่สุดเท่าที่มีศูนย์อยู่ข้างหน้า หากจำเป็น ให้เขียนเลขศูนย์ให้เพียงพอก่อนจำนวนธรรมชาติ

ตัวอย่างที่ 1- ค้นหาผลคูณของ 56 และ 0.01

สารละลาย- 56 x 0.01 = 0056 = 0.56

คำตอบ: 0,56.

ตัวอย่างที่ 2- ค้นหาผลคูณของ 4 และ 0.001

สารละลาย- 4 x 0.001 = 0004 = 0.004

คำตอบ: 0,004.

ดังนั้นการหาผลคูณของเศษส่วนที่ต่างกันไม่ควรทำให้เกิดปัญหา ยกเว้นการคำนวณผลลัพธ์ ในกรณีนี้คุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีเครื่องคิดเลข

§ 87 การบวกเศษส่วน

การบวกเศษส่วนมีความคล้ายคลึงกับการบวกจำนวนเต็มหลายประการ การบวกเศษส่วนเป็นการกระทำที่ประกอบด้วยตัวเลข (เงื่อนไข) ที่กำหนดหลายจำนวนรวมกันเป็นตัวเลขเดียว (ผลรวม) ซึ่งมีหน่วยและเศษส่วนทั้งหมดของหน่วยของคำศัพท์

เราจะพิจารณาสามกรณีตามลำดับ:

1. การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกัน
2. การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน
3. การบวกเลขคละ

1. การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกัน

ลองพิจารณาตัวอย่าง: 1/5 + 2/5

ลองใช้ส่วน AB (รูปที่ 17) มาเป็นหนึ่งแล้วหารด้วย 5 ส่วนที่เท่ากันจากนั้น AC ส่วนของส่วนนี้จะเท่ากับ 1/5 ของส่วน AB และส่วนหนึ่งของ CD ส่วนเดียวกันจะเท่ากับ 2/5 AB

จากรูปวาดจะชัดเจนว่าหากเราหาส่วน AD จะเท่ากับ 3/5 AB แต่ส่วน AD เป็นผลรวมของส่วน AC และ CD อย่างแม่นยำ ดังนั้นเราจึงเขียนได้:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

เมื่อพิจารณาเงื่อนไขเหล่านี้และผลรวม เราจะเห็นว่าตัวเศษของผลรวมได้มาจากการบวกตัวเศษของเงื่อนไข และตัวส่วนยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

จากนี้เราจะได้กฎต่อไปนี้: หากต้องการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณต้องบวกตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนเท่ากัน

ลองดูตัวอย่าง:

2. การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน

มาบวกเศษส่วนกัน: 3/4 + 3/8 ก่อนอื่นต้องลดให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด:

ไม่สามารถเขียนลิงก์กลาง 6/8 + 3/8 ได้ เราเขียนไว้ที่นี่เพื่อความชัดเจน

ดังนั้น ในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน คุณต้องลดให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดก่อน เพิ่มตัวเศษและลงชื่อ ตัวส่วนร่วม.

ลองพิจารณาตัวอย่าง (เราจะเขียนตัวประกอบเพิ่มเติมเหนือเศษส่วนที่เกี่ยวข้อง):

3. การบวกเลขคละ

มาบวกตัวเลขกัน: 2 3/8 + 3 5/6

ขั้นแรก นำเศษส่วนของตัวเลขของเรามาเป็นตัวส่วนร่วมแล้วเขียนใหม่อีกครั้ง:

ตอนนี้เราเพิ่มส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วนตามลำดับ:

§ 88 การลบเศษส่วน

การลบเศษส่วนถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับการลบจำนวนเต็ม นี่คือการกระทำที่ได้รับความช่วยเหลือ เมื่อพิจารณาจากผลรวมของคำศัพท์สองคำและหนึ่งในนั้น ก็จะพบคำศัพท์อีกคำหนึ่ง ให้เราพิจารณาสามกรณีติดต่อกัน:

1. การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
2. การลบเศษส่วนด้วยตัวส่วนต่างกัน
3. การลบจำนวนคละ

1. การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

ลองดูตัวอย่าง:

13 / 15 - 4 / 15

ลองใช้ส่วน AB (รูปที่ 18) มาเป็นหน่วยแล้วแบ่งออกเป็น 15 ส่วนเท่า ๆ กัน จากนั้น AC ส่วนหนึ่งของส่วนนี้จะแสดงถึง 1/15 ของ AB และส่วนหนึ่งของ AD ของกลุ่มเดียวกันจะสอดคล้องกับ 13/15 AB ให้เรากันส่วน ED อีกส่วนหนึ่งไว้เท่ากับ 4/15 AB

เราต้องลบเศษส่วน 4/15 จาก 13/15. ในรูปวาดหมายความว่าส่วน ED จะต้องถูกลบออกจากส่วน AD ด้วยเหตุนี้ ส่วน AE จะยังคงอยู่ ซึ่งก็คือ 9/15 ของส่วน AB ดังนั้นเราจึงเขียนได้:

ตัวอย่างที่เราทำแสดงให้เห็นว่าตัวเศษของผลต่างได้มาจากการลบตัวเศษ แต่ตัวส่วนยังคงเหมือนเดิม

ดังนั้น หากต้องการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณจะต้องลบตัวเศษของตัวลบออกจากตัวเศษของเครื่องหมายลบและปล่อยให้ตัวส่วนเท่ากัน

2. การลบเศษส่วนด้วยตัวส่วนต่างกัน

ตัวอย่าง. 3/4 - 5/8

ขั้นแรก ลองลดเศษส่วนเหล่านี้ให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด:

ลิงค์กลาง 6 / 8 - 5 / 8 เขียนไว้ที่นี่เพื่อความชัดเจน แต่สามารถข้ามได้ตั้งแต่บัดนี้เป็นต้นไป

ดังนั้น ในการที่จะลบเศษส่วนออกจากเศษส่วน คุณต้องลดมันให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดก่อน จากนั้นจึงลบตัวเศษของเครื่องหมายลบออกจากตัวเศษของเครื่องหมายตัวส่วนร่วมภายใต้ผลต่างของมัน

ลองดูตัวอย่าง:

3. การลบจำนวนคละ

ตัวอย่าง. 10 3/4 - 7 2/3.

ให้เราลดเศษส่วนของ minuend และลบให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด:

เราลบจำนวนเต็มออกจากจำนวนเต็ม และลบเศษส่วนออกจากเศษส่วน แต่มีบางกรณีที่เศษส่วนของสิ่งที่ถูกลบออกนั้นมากกว่าเศษส่วนของสิ่งที่ถูกลดทอน ในกรณีเช่นนี้ คุณต้องนำหนึ่งหน่วยจากส่วน minuend ทั้งหมด แยกออกเป็นส่วนที่แสดงส่วนที่เป็นเศษส่วน และเพิ่มเข้าไปในส่วนที่เป็นเศษส่วนของ minuend จากนั้นการลบจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้า:

§ 89 การคูณเศษส่วน

เมื่อศึกษาการคูณเศษส่วนเราจะพิจารณา คำถามต่อไปนี้:

1. การคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม
2. การหาเศษส่วนของจำนวนที่กำหนด
3. การคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน
4. การคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน
5. การคูณจำนวนคละ
6. แนวคิดเรื่องความสนใจ
7. การหาเปอร์เซ็นต์ของตัวเลขที่กำหนด ลองพิจารณาตามลำดับ

1. การคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม

การคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มมีความหมายเหมือนกับการคูณจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม การคูณเศษส่วน (ตัวคูณ) ด้วยจำนวนเต็ม (ตัวประกอบ) หมายถึงการสร้างผลรวมของพจน์ที่เหมือนกัน โดยแต่ละพจน์จะเท่ากับตัวคูณ และจำนวนพจน์จะเท่ากับตัวคูณ

ซึ่งหมายความว่าหากคุณต้องการคูณ 1/9 ด้วย 7 ก็สามารถทำได้ดังนี้:

เราได้ผลลัพธ์อย่างง่ายดาย เนื่องจากการกระทำลดลงเหลือเพียงการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน เพราะฉะนั้น,

การพิจารณาการกระทำนี้แสดงให้เห็นว่าการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มจะเทียบเท่ากับการเพิ่มเศษส่วนนี้หลายๆ ครั้งตามจำนวนหน่วยในจำนวนเต็ม และเนื่องจากการเพิ่มเศษส่วนสามารถทำได้โดยการเพิ่มตัวเศษ

หรือโดยการลดตัวส่วนของมัน จากนั้นเราสามารถคูณตัวเศษด้วยจำนวนเต็มหรือหารตัวส่วนด้วยก็ได้ หากเป็นไปได้

จากที่นี่เราได้รับกฎ:

หากต้องการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม คุณต้องคูณตัวเศษด้วยจำนวนเต็มนั้นและปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม หรือถ้าเป็นไปได้ ให้หารตัวส่วนด้วยจำนวนนั้น โดยไม่เปลี่ยนแปลงตัวเศษ

เมื่อคูณจะใช้ตัวย่อได้ เช่น

2. การหาเศษส่วนของจำนวนที่กำหนดมีปัญหามากมายที่คุณต้องค้นหาหรือคำนวณส่วนหนึ่งของตัวเลขที่กำหนด ความแตกต่างระหว่างปัญหาเหล่านี้กับปัญหาอื่นๆ ก็คือให้จำนวนของวัตถุหรือหน่วยวัด และคุณจำเป็นต้องค้นหาส่วนหนึ่งของตัวเลขนี้ ซึ่งมีเศษส่วนจำนวนหนึ่งระบุด้วย เพื่อช่วยให้เกิดความเข้าใจ ก่อนอื่นเราจะยกตัวอย่างปัญหาดังกล่าวแล้วจึงแนะนำวิธีการแก้ไข

ภารกิจที่ 1ฉันมี 60 รูเบิล ฉันใช้เงินจำนวนนี้ไป 1/3 เพื่อซื้อหนังสือ หนังสือราคาเท่าไหร่?

ภารกิจที่ 2รถไฟจะต้องเดินทางระยะทางระหว่างเมือง A และ B เท่ากับ 300 กม. เขาได้ครอบคลุม 2/3 ของระยะนี้แล้ว นี่กี่กิโลเมตร?

ภารกิจที่ 3ในหมู่บ้านมีบ้าน 400 หลัง 3/4 หลังเป็นอิฐ ที่เหลือเป็นบ้านไม้ บ้านอิฐมีทั้งหมดกี่หลัง?

เหล่านี้คือปัญหาบางส่วนที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาส่วนหนึ่งของตัวเลขที่เราพบ มักเรียกว่าปัญหาในการหาเศษส่วนของจำนวนที่กำหนด

วิธีแก้ปัญหา 1.จาก 60 ถู ฉันใช้เวลา 1/3 ไปกับหนังสือ ซึ่งหมายความว่าในการหาราคาหนังสือคุณต้องหารเลข 60 ด้วย 3:

การแก้ปัญหา2.ประเด็นของปัญหาคือคุณต้องหา 2/3 ของ 300 กม. ก่อนอื่นมาคำนวณ 1/3 ของ 300 ก่อน ทำได้โดยการหาร 300 กม. ด้วย 3:

300: 3 = 100 (นั่นคือ 1/3 ของ 300)

หากต้องการค้นหาสองในสามของ 300 คุณต้องเพิ่มผลหารผลลัพธ์เป็นสองเท่า นั่นคือ คูณด้วย 2:

100 x 2 = 200 (นั่นคือ 2/3 ของ 300)

การแก้ปัญหา3.ที่นี่คุณต้องกำหนดจำนวนบ้านอิฐที่มี 3/4 ของ 400 ก่อนอื่นต้องหา 1/4 ของ 400 ก่อน

400: 4 = 100 (นั่นคือ 1/4 ของ 400)

ในการคำนวณสามในสี่ของ 400 ผลหารผลลัพธ์จะต้องเพิ่มเป็นสามเท่า นั่นคือ คูณด้วย 3:

100 x 3 = 300 (นั่นคือ 3/4 ของ 400)

จากแนวทางแก้ไขปัญหาเหล่านี้ เราสามารถหากฎต่อไปนี้ได้:

ในการค้นหาค่าเศษส่วนจากจำนวนที่กำหนด คุณต้องหารตัวเลขนี้ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนและคูณผลหารผลลัพธ์ด้วยตัวเศษ

3. การคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน

ก่อนหน้านี้ (มาตรา 26) มีการกำหนดไว้ว่าควรเข้าใจการคูณจำนวนเต็มเป็นการบวกพจน์ที่เหมือนกัน (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20) ในย่อหน้านี้ (จุดที่ 1) เป็นที่ยอมรับว่าการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มหมายถึงการค้นหาผลรวมของพจน์ที่เหมือนกันเท่ากับเศษส่วนนี้

ในทั้งสองกรณี การคูณประกอบด้วยการค้นหาผลรวมของพจน์ที่เหมือนกัน

ตอนนี้เรามาดูการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วนกัน ที่นี่เราจะพบกับการคูณ: 9 2 / 3 เป็นที่ชัดเจนว่าคำจำกัดความก่อนหน้าของการคูณใช้ไม่ได้กับกรณีนี้ เห็นได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าเราไม่สามารถแทนที่การคูณดังกล่าวด้วยการเพิ่มจำนวนที่เท่ากันได้

ด้วยเหตุนี้ เราจึงต้องให้คำจำกัดความใหม่ของการคูณ กล่าวคือ ตอบคำถามว่าการคูณด้วยเศษส่วนควรเข้าใจอะไร และจะเข้าใจการกระทำนี้อย่างไร

ความหมายของการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วนนั้นชัดเจนจากคำจำกัดความต่อไปนี้: การคูณจำนวนเต็ม (คูณ) ด้วยเศษส่วน (คูณ) หมายถึงการหาเศษส่วนนี้ของตัวคูณ

กล่าวคือ การคูณ 9 ด้วย 2/3 หมายถึงการหา 2/3 ของเก้าหน่วย ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ปัญหาดังกล่าวได้รับการแก้ไขแล้ว มันง่ายที่จะคิดว่าเราจะได้ 6.

แต่ตอนนี้มีความน่าสนใจและ คำถามสำคัญ: ทำไมพวกเขาถึงเป็นแบบนี้ตั้งแต่แรกเห็น? การกระทำต่างๆการหาผลรวมของจำนวนเท่ากันและการหาเศษส่วนของตัวเลขที่เรียกว่า "การคูณ" ในเลขคณิตเป็นอย่างไร

สิ่งนี้เกิดขึ้นเนื่องจากการกระทำก่อนหน้า (การทำซ้ำตัวเลขด้วยเงื่อนไขหลายครั้ง) และการกระทำใหม่ (การค้นหาเศษส่วนของตัวเลข) ให้คำตอบสำหรับคำถามที่เป็นเนื้อเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าเราดำเนินการต่อจากข้อพิจารณาว่าคำถามหรืองานที่เป็นเนื้อเดียวกันได้รับการแก้ไขด้วยการกระทำเดียวกัน

เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ ให้พิจารณาปัญหาต่อไปนี้: “ ผ้า 1 ม. ราคา 50 รูเบิล ผ้าดังกล่าว 4 เมตรราคาเท่าไหร่?

ปัญหานี้แก้ไขได้โดยการคูณจำนวนรูเบิล (50) ด้วยจำนวนเมตร (4) เช่น 50 x 4 = 200 (รูเบิล)

ลองใช้ปัญหาเดียวกัน แต่ในนั้นปริมาณผ้าจะแสดงเป็นเศษส่วน: “ ผ้า 1 เมตรราคา 50 รูเบิล ผ้าดังกล่าว 3/4 เมตรจะราคาเท่าไหร่”

ปัญหานี้ต้องแก้ไขด้วยการคูณจำนวนรูเบิล (50) ด้วยจำนวนเมตร (3/4)

คุณสามารถเปลี่ยนตัวเลขได้หลายครั้ง โดยไม่เปลี่ยนความหมายของปัญหา เช่น ใช้เวลา 9/10 ม. หรือ 2 3/10 ม. เป็นต้น

เนื่องจากปัญหาเหล่านี้มีเนื้อหาเหมือนกันและต่างกันเพียงตัวเลข เราจึงเรียกการดำเนินการที่ใช้ในการแก้ปัญหาด้วยคำเดียวกัน - การคูณ

คุณจะคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วนได้อย่างไร?

ลองใช้ตัวเลขที่พบในปัญหาสุดท้าย:

ตามคำจำกัดความ เราต้องหา 3/4 ของ 50 หา 1/4 ของ 50 ก่อนแล้วจึงหา 3/4

1/4 ของ 50 คือ 50/4;

3/4 ของจำนวน 50 คือ .

เพราะฉะนั้น.

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง: 12 5 / 8 =?

1/8 ของจำนวน 12 คือ 12/8

5/8 ของจำนวน 12 คือ .

เพราะฉะนั้น,

จากที่นี่เราได้รับกฎ:

หากต้องการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณจำนวนเต็มด้วยตัวเศษของเศษส่วน และทำให้ผลคูณนี้เป็นตัวเศษ และลงชื่อตัวส่วนของเศษส่วนนี้เป็นตัวส่วน

มาเขียนกฎนี้โดยใช้ตัวอักษร:

เพื่อให้กฎนี้ชัดเจน ควรจำไว้ว่าเศษส่วนสามารถถือเป็นผลหารได้ ดังนั้นจึงมีประโยชน์ในการเปรียบเทียบกฎที่พบกับกฎสำหรับการคูณตัวเลขด้วยผลหารซึ่งกำหนดไว้ในมาตรา 38

สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าก่อนทำการคูณควรทำ (ถ้าเป็นไปได้) การลดลง, ตัวอย่างเช่น:

4. การคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนมีความหมายเหมือนกับการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน กล่าวคือ เมื่อคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณจะต้องหาเศษส่วนที่อยู่ในตัวประกอบจากเศษส่วนแรก (ตัวคูณ)

กล่าวคือ การคูณ 3/4 ด้วย 1/2 (ครึ่งหนึ่ง) หมายถึงการหาครึ่งหนึ่งของ 3/4

คุณจะคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนได้อย่างไร?

ลองมาตัวอย่าง: 3/4 คูณด้วย 5/7 ซึ่งหมายความว่าคุณต้องหา 5/7 ของ 3/4 ก่อนอื่นให้หา 1/7 ของ 3/4 แล้วตามด้วย 5/7

1/7 ของจำนวน 3/4 จะแสดงได้ดังนี้:

5/7 ตัวเลข 3/4 จะแสดงดังนี้:

ดังนั้น,

อีกตัวอย่าง: 5/8 คูณด้วย 4/9

1/9 ของ 5/8 คือ ,

4/9 ของจำนวน 5/8 คือ .

ดังนั้น,

จากตัวอย่างเหล่านี้สามารถอนุมานกฎต่อไปนี้ได้:

ในการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณตัวเศษด้วยตัวเศษ และตัวส่วนคูณด้วยตัวส่วน จากนั้นให้ผลคูณแรกเป็นตัวเศษ และผลิตภัณฑ์ตัวที่สองเป็นตัวส่วนของผลคูณ

นี่คือกฎใน มุมมองทั่วไปสามารถเขียนได้ดังนี้:

เมื่อคูณจำเป็นต้องลด (ถ้าเป็นไปได้) ลองดูตัวอย่าง:

5. การคูณจำนวนคละเนื่องจากจำนวนคละสามารถแทนที่ได้อย่างง่ายดายด้วยเศษส่วนเกิน จึงมักใช้สถานการณ์นี้เมื่อคูณจำนวนคละ ซึ่งหมายความว่า ในกรณีที่ตัวคูณ หรือตัวประกอบ หรือทั้งสองตัวแสดงเป็นจำนวนคละ จะถูกแทนที่ด้วยเศษส่วนเกิน ลองคูณตัวเลขคละ: 2 1/2 และ 3 1/5 ลองเปลี่ยนแต่ละเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนเกินแล้วคูณเศษส่วนที่ได้ตามกฎการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน:

กฎ.หากต้องการคูณจำนวนคละ คุณต้องแปลงให้เป็นเศษส่วนเกินก่อนแล้วจึงคูณตามกฎการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน

บันทึก.ถ้าตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งเป็นจำนวนเต็ม การคูณสามารถทำได้ตามกฎการแจกแจงดังนี้

6. แนวคิดเรื่องความสนใจเมื่อแก้ไขปัญหาและคำนวณเชิงปฏิบัติต่างๆ เราใช้เศษส่วนทุกประเภท แต่ต้องระลึกไว้ว่าปริมาณจำนวนมากไม่อนุญาตให้มีการแบ่งเขตย่อยใด ๆ แต่เป็นการแบ่งส่วนที่เป็นธรรมชาติสำหรับพวกเขา ตัวอย่างเช่นคุณสามารถใช้รูเบิลได้หนึ่งร้อย (1/100) มันจะเป็น kopeck สองในร้อยคือ 2 kopeck สามในร้อยคือ 3 kopeck คุณสามารถรับ 1/10 ของรูเบิล มันจะเป็น "10 โกเปค หรือสิบโกเปคชิ้น คุณสามารถรับหนึ่งในสี่ของรูเบิล เช่น 25 โกเปค ครึ่งรูเบิล เช่น 50 โกเปค (ห้าสิบโกเปค) แต่ ในทางปฏิบัติพวกเขาไม่ได้ใช้มัน เช่น 2/7 ของรูเบิล เพราะรูเบิลไม่ได้แบ่งออกเป็นเจ็ด

หน่วยของน้ำหนัก เช่น กิโลกรัม อนุญาตให้มีการหารทศนิยมเป็นหลัก เช่น 1/10 กิโลกรัม หรือ 100 กรัม และเศษส่วนของกิโลกรัม เช่น 1/6, 1/11, 1/13 นั้นไม่ธรรมดา

โดยทั่วไป การวัด (เมตริก) ของเราเป็นทศนิยมและอนุญาตให้แบ่งทศนิยมได้

อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่าการใช้วิธีแบ่งย่อยปริมาณแบบเดียวกัน (สม่ำเสมอ) มีประโยชน์และสะดวกอย่างยิ่งในหลายกรณี ประสบการณ์หลายปีได้แสดงให้เห็นว่าแผนกที่สมเหตุสมผลเช่นนี้คือแผนกที่ "ร้อย" ขอให้เราพิจารณาตัวอย่างต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับการปฏิบัติของมนุษย์ในด้านต่างๆ ที่หลากหลายที่สุด

1. ราคาหนังสือลดลง 12/100 จากราคาเดิม

ตัวอย่าง. ราคาหนังสือก่อนหน้านี้คือ 10 รูเบิล ลดลง 1 รูเบิล 20 โคเปค

2. ธนาคารออมสินจ่ายเงินให้ผู้ฝาก 2/100 ของจำนวนเงินที่ฝากเพื่อการออมในระหว่างปี

ตัวอย่าง. ฝาก 500 รูเบิลในเครื่องบันทึกเงินสด รายได้จากจำนวนนี้สำหรับปีคือ 10 รูเบิล

3. จำนวนผู้สำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนแห่งหนึ่งคือ 5/100 ของจำนวนนักเรียนทั้งหมด

ตัวอย่าง มีนักเรียนเพียง 1,200 คนที่โรงเรียน ซึ่ง 60 คนที่สำเร็จการศึกษา

ส่วนที่ร้อยของจำนวนเรียกว่าเปอร์เซ็นต์.

คำว่า "เปอร์เซ็นต์" ยืมมาจาก ภาษาละตินและรากของคำว่า "เซ็นต์" แปลว่า หนึ่งร้อย เมื่อรวมกับคำบุพบท (pro centum) คำนี้แปลว่า "หนึ่งร้อย" ความหมายของสำนวนดังกล่าวนั้นสืบเนื่องมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าในขั้นต้นนั้น โรมโบราณดอกเบี้ยคือเงินที่ลูกหนี้จ่ายให้กับผู้ให้กู้ “ทุก ๆ ร้อย” คำว่า "เซ็นต์" ได้ยินในคำที่คุ้นเคยเช่น centner (หนึ่งร้อยกิโลกรัม) เซนติเมตร (พูดเป็นเซนติเมตร)

ตัวอย่างเช่น แทนที่จะบอกว่าในเดือนที่ผ่านมาโรงงานผลิตสินค้าทั้งหมดที่ผลิตโดยมีข้อบกพร่อง 1/100 เราจะพูดแบบนี้: ในเดือนที่ผ่านมาโรงงานผลิตข้อบกพร่องหนึ่งเปอร์เซ็นต์ แทนที่จะพูดว่า: โรงงานผลิตผลิตภัณฑ์ได้มากกว่าแผนที่กำหนดไว้ 4/100 รายการ เราจะพูดว่า: โรงงานทำได้เกินแผน 4 เปอร์เซ็นต์

ตัวอย่างข้างต้นสามารถแสดงได้แตกต่างกัน:

1. ราคาหนังสือลดลงร้อยละ 12 จากราคาเดิม

2. ธนาคารออมสินจ่ายเงินให้ผู้ฝากร้อยละ 2 ต่อปีของจำนวนเงินที่ฝาก

3. จำนวนผู้สำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนแห่งหนึ่งคือร้อยละ 5 ของนักเรียนทั้งหมด

หากต้องการย่อตัวอักษรให้สั้นลง เป็นเรื่องปกติที่จะเขียนสัญลักษณ์ % แทนคำว่า "เปอร์เซ็นต์"

อย่างไรก็ตาม คุณต้องจำไว้ว่าในการคำนวณ เครื่องหมาย % มักจะไม่ได้เขียนไว้ในคำสั่งปัญหาและในผลลัพธ์สุดท้าย เมื่อทำการคำนวณ คุณจะต้องเขียนเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 100 แทนที่จะเป็นจำนวนเต็มด้วยสัญลักษณ์นี้

คุณต้องสามารถแทนที่จำนวนเต็มด้วยไอคอนที่ระบุด้วยเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 100:

ในทางกลับกัน คุณต้องคุ้นเคยกับการเขียนจำนวนเต็มด้วยสัญลักษณ์ที่ระบุ แทนที่จะเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 100:

7. การหาเปอร์เซ็นต์ของตัวเลขที่กำหนด

ภารกิจที่ 1โรงเรียนได้รับ 200 ลูกบาศก์เมตร. m ฟืนโดยมีฟืนเบิร์ชคิดเป็น 30% มีฟืนเบิร์ชมากแค่ไหน?

ความหมายของปัญหานี้คือ ฟืนเบิร์ชประกอบขึ้นเพียงส่วนหนึ่งของฟืนที่ส่งให้กับโรงเรียน และส่วนนี้แสดงเป็นเศษส่วน 30/100 ซึ่งหมายความว่าเรามีหน้าที่ต้องหาเศษส่วนของจำนวน เพื่อแก้ปัญหานี้ เราต้องคูณ 200 ด้วย 30/100 (ปัญหาในการหาเศษส่วนของตัวเลขจะแก้ได้ด้วยการคูณตัวเลขด้วยเศษส่วน)

ซึ่งหมายความว่า 30% ของ 200 เท่ากับ 60

เศษส่วน 30/100 ที่พบในปัญหานี้สามารถลดลงได้ 10 ซึ่งสามารถลดได้ตั้งแต่ต้น แนวทางแก้ไขปัญหาจะไม่เปลี่ยนแปลง

ภารกิจที่ 2ในค่ายมีเด็กหลากหลายวัยจำนวน 300 คน เด็กอายุ 11 ปีคิดเป็น 21% เด็กอายุ 12 ปีคิดเป็น 61% และในที่สุดเด็กอายุ 13 ปีคิดเป็น 18% มีเด็กในแต่ละวัยกี่คนในค่าย?

ในปัญหานี้ คุณต้องทำการคำนวณสามรายการ ได้แก่ ค้นหาจำนวนเด็กอายุ 11 ปี จากนั้น 12 ปี และสุดท้ายคือ 13 ปี

ซึ่งหมายความว่าคุณจะต้องหาเศษส่วนของจำนวนสามครั้งที่นี่ มาทำสิ่งนี้กัน:

1) มีเด็กอายุ 11 ปีกี่คน?

2) มีเด็กอายุ 12 ปีกี่คน?

3) มีเด็กอายุ 13 ปีกี่คน?

หลังจากแก้ไขปัญหาแล้ว จะมีประโยชน์ในการเพิ่มตัวเลขที่พบ ผลรวมของพวกเขาควรเป็น 300:

63 + 183 + 54 = 300

ควรสังเกตว่าผลรวมของเปอร์เซ็นต์ที่ระบุในคำชี้แจงปัญหาคือ 100:

21% + 61% + 18% = 100%

นี่แสดงให้เห็นว่า จำนวนทั้งหมดเด็กในค่ายถูกจับได้ 100%

3 วัน วัน ชั่วโมง 3.คนงานได้รับ 1,200 รูเบิลต่อเดือน ในจำนวนนี้ เขาใช้จ่ายเรื่องอาหาร 65%, อพาร์ทเมนต์และเครื่องทำความร้อน 6%, ค่าน้ำมัน, ไฟฟ้าและวิทยุ 4%, ความต้องการด้านวัฒนธรรม 10% และประหยัดเงิน 15% มีการใช้เงินไปเท่าไรกับความต้องการที่ระบุไว้ในงาน?

เพื่อแก้ปัญหานี้ คุณต้องหาเศษส่วนของ 1,200 5 ครั้ง ลองทำกันดู

1) ใช้เงินไปเท่าไหร่กับค่าอาหาร? ปัญหาบอกว่าค่าใช้จ่ายนี้คือ 65% ของรายได้ทั้งหมด เช่น 65/100 ของจำนวน 1,200 มาคำนวณกันดีกว่า:

2) คุณจ่ายเงินเท่าไหร่สำหรับอพาร์ทเมนต์ที่มีเครื่องทำความร้อน? การให้เหตุผลคล้ายกับเหตุผลก่อนหน้า เราได้การคำนวณต่อไปนี้:

3) คุณจ่ายค่าน้ำมัน ค่าไฟ และวิทยุไปเท่าไหร่?

4) ใช้เงินไปเท่าไรกับความต้องการทางวัฒนธรรม?

5) คนงานประหยัดเงินได้เท่าไหร่?

หากต้องการตรวจสอบ จะเป็นประโยชน์ในการบวกตัวเลขที่พบในคำถามทั้ง 5 ข้อนี้ จำนวนควรเป็น 1,200 รูเบิล รายได้ทั้งหมดถือเป็น 100% ซึ่งง่ายต่อการตรวจสอบโดยการบวกจำนวนเปอร์เซ็นต์ที่ระบุในคำชี้แจงปัญหา

เราแก้ไขปัญหาสามข้อแล้ว แม้ว่าปัญหาเหล่านี้จะเกี่ยวข้องกับเรื่องต่างๆ (การส่งฟืนให้กับโรงเรียน จำนวนเด็กที่มีอายุต่างกัน ค่าใช้จ่ายของคนงาน) แต่ก็ได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกัน สิ่งนี้เกิดขึ้นเพราะในทุกปัญหาจำเป็นต้องค้นหาตัวเลขที่กำหนดหลายเปอร์เซ็นต์

§ 90. การหารเศษส่วน

เมื่อเราศึกษาการหารเศษส่วน เราจะพิจารณาคำถามต่อไปนี้:

1. หารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม
2. การหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม
3. การหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน
4. การหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน
5. การหารเลขคละ
6. การค้นหาตัวเลขจากเศษส่วนที่กำหนด
7. การค้นหาตัวเลขตามเปอร์เซ็นต์

ลองพิจารณาตามลำดับ

1. หารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม

ตามที่ระบุในภาคจำนวนเต็ม การหารคือการกระทำที่ประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่า เมื่อพิจารณาผลคูณของตัวประกอบสองตัว (เงินปันผล) และตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่ง (ตัวหาร) ก็จะพบตัวประกอบอีกตัวหนึ่ง

เราดูการหารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็มในส่วนของจำนวนเต็ม เราพบกรณีของการหารสองกรณี: การหารโดยไม่มีเศษ หรือ "ทั้งหมด" (150: 10 = 15) และการหารด้วยเศษ (100: 9 = 11 และ 1 เศษ) ดังนั้นเราจึงกล่าวได้ว่าในสาขาจำนวนเต็ม การหารที่แน่นอนนั้นเป็นไปไม่ได้เสมอไป เพราะเงินปันผลไม่ได้เป็นผลคูณของตัวหารด้วยจำนวนเต็มเสมอไป หลังจากแนะนำการคูณด้วยเศษส่วนแล้ว เราสามารถพิจารณาว่ากรณีใดๆ ก็ตามของการหารจำนวนเต็มที่เป็นไปได้ (ไม่รวมการหารด้วยศูนย์เท่านั้น)

เช่น การหาร 7 ด้วย 12 หมายถึงการหาจำนวนที่ผลคูณของ 12 เท่ากับ 7 จำนวนดังกล่าวคือเศษส่วน 7 / 12 เพราะ 7 / 12 12 = 7 อีกตัวอย่างหนึ่ง: 14: 25 = 14/25 เพราะ 14/25 25 = 14

ดังนั้น หากต้องการหารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม คุณต้องสร้างเศษส่วนที่มีตัวเศษเท่ากับเงินปันผลและตัวส่วนเท่ากับตัวหาร

2. การหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม

หารเศษส่วน 6/7 ด้วย 3 ตามคำจำกัดความของการหารที่ระบุข้างต้น เราได้ผลลัพธ์ (6/7) และหนึ่งในปัจจัย (3) จำเป็นต้องค้นหาปัจจัยที่สองซึ่งเมื่อคูณด้วย 3 จะได้ผลลัพธ์เป็น 6/7 แน่นอนว่าควรมีขนาดเล็กกว่าผลิตภัณฑ์นี้ถึงสามเท่า ซึ่งหมายความว่างานที่เราตั้งไว้ก่อนหน้าคือลดเศษส่วน 6/7 ลง 3 เท่า

เรารู้อยู่แล้วว่าการลดเศษส่วนสามารถทำได้โดยการลดตัวเศษหรือเพิ่มตัวส่วน ดังนั้นคุณจึงสามารถเขียนได้ว่า:

ในกรณีนี้ ตัวเศษ 6 หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้นตัวเศษจึงควรลดลง 3 ครั้ง

ลองอีกตัวอย่างหนึ่ง: 5/8 หารด้วย 2 ในที่นี้ตัวเศษ 5 ไม่สามารถหารด้วย 2 ลงตัวได้ ซึ่งหมายความว่าตัวส่วนจะต้องคูณด้วยตัวเลขนี้:

จากนี้ สามารถสร้างกฎได้: หากต้องการหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม คุณต้องหารตัวเศษของเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มนั้น(ถ้าเป็นไปได้) โดยปล่อยให้ตัวส่วนเท่ากันหรือคูณตัวส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนนี้ โดยปล่อยให้ตัวเศษเท่ากัน

3. การหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน

ปล่อยให้จำเป็นต้องหาร 5 ด้วย 1/2 กล่าวคือ หาตัวเลขที่เมื่อคูณด้วย 1/2 จะได้ผลลัพธ์เป็น 5 แน่นอนว่าตัวเลขนี้ต้องมากกว่า 5 เนื่องจาก 1/2 เป็นเศษส่วนแท้ และเมื่อคูณตัวเลขผลคูณของเศษส่วนแท้จะต้องน้อยกว่าผลคูณที่กำลังคูณ เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น มาเขียนการกระทำของเราดังนี้: 5: 1 / 2 = เอ็กซ์ ซึ่งหมายถึง x 1/2 = 5

เราจะต้องค้นหาตัวเลขดังกล่าว เอ็กซ์ ซึ่งหากคูณด้วย 1/2 จะได้ 5 เนื่องจากคูณจำนวนหนึ่งด้วย 1/2 หมายถึงการหา 1/2 ของจำนวนนี้ ดังนั้น 1/2 ของจำนวนที่ไม่รู้จัก เอ็กซ์ เท่ากับ 5 และเป็นจำนวนเต็ม เอ็กซ์ สองเท่าเช่น 5 2 = 10

ดังนั้น 5: 1/2 = 5 2 = 10

มาตรวจสอบกัน:

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่ง สมมติว่าคุณต้องการหาร 6 ด้วย 2/3 ก่อนอื่นเรามาลองค้นหาผลลัพธ์ที่ต้องการโดยใช้ภาพวาด (รูปที่ 19)

รูปที่ 19

ให้เราวาดส่วน AB เท่ากับ 6 หน่วยแล้วแบ่งแต่ละหน่วยออกเป็น 3 ส่วนเท่าๆ กัน ในแต่ละหน่วย สามในสาม (3/3) ของส่วน AB ทั้งหมดมีขนาดใหญ่กว่า 6 เท่า นั่นคือ จ. 18/3 ใช้วงเล็บขนาดเล็กเราเชื่อมต่อส่วนที่เป็นผลลัพธ์ 18 ส่วนจาก 2; จะมีเพียง 9 ภาคเท่านั้น ซึ่งหมายความว่าเศษส่วน 2/3 มี 6 หน่วย 9 ครั้ง หรืออีกนัยหนึ่ง เศษส่วน 2/3 มีค่าน้อยกว่า 6 หน่วยทั้งหมด 9 เท่า เพราะฉะนั้น,

วิธีรับผลลัพธ์นี้โดยไม่ต้องวาดรูปโดยใช้การคำนวณเพียงอย่างเดียว ลองให้เหตุผลดังนี้: เราต้องหาร 6 ด้วย 2/3 กล่าวคือ เราต้องตอบคำถามว่า 2/3 มีอยู่ใน 6 กี่ครั้ง มาดูกันก่อนว่า 1/3 มีอยู่ใน 6 กี่ครั้ง? ในหนึ่งหน่วยมี 3 ใน 3 ส่วนใน 6 หน่วยมีมากกว่า 6 เท่า เช่น 18 ใน 3 หากต้องการค้นหาตัวเลขนี้ เราจะต้องคูณ 6 ด้วย 3 ซึ่งหมายความว่า 1/3 อยู่ในหน่วย b 18 ครั้ง และ 2/3 อยู่ในหน่วย b ไม่ใช่ 18 ครั้ง แต่ครึ่งหนึ่งของหลายๆ ครั้ง เช่น 18: 2 = 9 . ดังนั้น เมื่อหาร 6 ด้วย 2/3 เราได้ดังนี้:

จากตรงนี้ เราจะได้กฎสำหรับการหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน หากต้องการหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณจำนวนเต็มด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่กำหนด และทำให้ผลคูณนี้เป็นตัวเศษ แล้วหารด้วยตัวเศษของเศษส่วนที่กำหนด

มาเขียนกฎโดยใช้ตัวอักษร:

เพื่อให้กฎนี้ชัดเจน ควรจำไว้ว่าเศษส่วนสามารถถือเป็นผลหารได้ ดังนั้นจึงมีประโยชน์ในการเปรียบเทียบกฎที่พบกับกฎสำหรับการหารตัวเลขด้วยผลหารซึ่งกำหนดไว้ในมาตรา 38 โปรดทราบว่าได้รับสูตรเดียวกันที่นั่น

เมื่อทำการหารจะสามารถใช้คำย่อได้ เช่น

4. การหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน

สมมุติว่าเราต้องหาร 3/4 ด้วย 3/8. ตัวเลขที่เกิดจากการหารจะหมายถึงอะไร? มันจะตอบคำถามว่ามีเศษส่วน 3/8 อยู่ในเศษส่วน 3/4 กี่ครั้ง เพื่อให้เข้าใจถึงปัญหานี้ มาวาดภาพกัน (รูปที่ 20)

ลองเอาส่วน AB มารวมกันเป็นหนึ่งแล้วแบ่งออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กันและทำเครื่องหมาย 3 ส่วนดังกล่าว ส่วน AC จะเท่ากับ 3/4 ของส่วน AB ตอนนี้ให้เราแบ่งแต่ละส่วนเดิมทั้งสี่ส่วนออกครึ่งหนึ่ง จากนั้นส่วน AB จะถูกแบ่งออกเป็น 8 ส่วนเท่าๆ กัน และแต่ละส่วนดังกล่าวจะเท่ากับ 1/8 ของส่วน AB ให้เราเชื่อมต่อ 3 ส่วนดังกล่าวด้วยส่วนโค้ง จากนั้นแต่ละส่วน AD และ DC จะเท่ากับ 3/8 ของส่วน AB ภาพวาดแสดงให้เห็นว่าส่วนที่เท่ากับ 3/8 มีอยู่ในส่วนที่เท่ากับ 3/4 2 ครั้งพอดี ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์ของการหารสามารถเขียนได้ดังนี้:

3 / 4: 3 / 8 = 2

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่ง สมมติว่าเราต้องหาร 15/16 ด้วย 3/32:

เราให้เหตุผลเช่นนี้: เราต้องหาตัวเลขที่เมื่อคูณด้วย 3/32 แล้ว จะได้ผลลัพธ์เท่ากับ 15/16 มาเขียนการคำนวณดังนี้:

15 / 16: 3 / 32 = เอ็กซ์

3 / 32 เอ็กซ์ = 15 / 16

3/32 ไม่ทราบหมายเลข เอ็กซ์ คือ 15/16

1/32 ของจำนวนที่ไม่รู้จัก เอ็กซ์ เป็น ,

32/32 เบอร์ เอ็กซ์ แต่งหน้า

เพราะฉะนั้น,

ดังนั้น ในการหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณตัวเศษของเศษส่วนแรกด้วยตัวส่วนของวินาที และคูณตัวส่วนของเศษส่วนแรกด้วยตัวเศษของวินาที แล้วทำให้ผลคูณแรกเป็นตัวเศษ และตัวที่สองเป็นตัวส่วน

มาเขียนกฎโดยใช้ตัวอักษร:

เมื่อทำการหารจะสามารถใช้คำย่อได้ เช่น

5. การหารเลขคละ

เมื่อทำการหารจำนวนคละ จะต้องแปลงเป็นเศษส่วนเกินก่อน จากนั้นเศษส่วนที่ได้จะต้องหารตามกฎการหารเศษส่วน ลองดูตัวอย่าง:

มาแปลงตัวเลขคละให้เป็นเศษส่วนเกินกัน:

ทีนี้มาแบ่งกัน:

ดังนั้น ในการหารจำนวนคละ คุณต้องแปลงให้เป็นเศษส่วนเกินแล้วจึงหารโดยใช้กฎการหารเศษส่วน

6. การค้นหาตัวเลขจากเศษส่วนที่กำหนด

ในบรรดาโจทย์เศษส่วนต่างๆ บางครั้งมีปัญหาที่ให้ค่าเศษส่วนบางส่วนของจำนวนที่ไม่รู้จักมาและคุณจำเป็นต้องค้นหาตัวเลขนี้ ปัญหาประเภทนี้จะเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับปัญหาในการหาเศษส่วนของจำนวนที่กำหนด มีการให้ตัวเลขไว้และจำเป็นต้องหาเศษส่วนของจำนวนนี้ ที่นี่ให้เศษส่วนของตัวเลขและจำเป็นต้องค้นหาตัวเลขนี้เอง แนวคิดนี้จะชัดเจนยิ่งขึ้นหากเราหันมาแก้ไขปัญหาประเภทนี้

ภารกิจที่ 1ในวันแรก ช่างกระจกได้เคลือบหน้าต่าง 50 บาน ซึ่งคิดเป็น 1/3 ของหน้าต่างทั้งหมดของบ้านที่สร้างขึ้น บ้านนี้มีหน้าต่างกี่บาน?

สารละลาย.ปัญหาบอกว่าหน้าต่างกระจก 50 บานคิดเป็น 1/3 ของหน้าต่างทั้งหมดของบ้าน ซึ่งหมายความว่ามีหน้าต่างทั้งหมดมากกว่า 3 เท่า กล่าวคือ

บ้านหลังนี้มีหน้าต่าง 150 บาน

ภารกิจที่ 2ร้านค้าขายแป้งได้ 1,500 กิโลกรัม ซึ่งคิดเป็น 3/8 ของสต็อกแป้งทั้งหมดที่ร้านมี แป้งที่ทางร้านมีให้ในตอนแรกคือเท่าใด

สารละลาย.จากเงื่อนไขของปัญหาพบว่าแป้งที่ขายได้ 1,500 กิโลกรัมคิดเป็น 3/8 ของสต๊อกทั้งหมด ซึ่งหมายความว่า 1/8 ของทุนสำรองนี้จะน้อยกว่า 3 เท่านั่นคือ ในการคำนวณคุณต้องลด 1,500 ลง 3 เท่า:

1,500: 3 = 500 (นี่คือ 1/8 ของทุนสำรอง)

แน่นอนว่าอุปทานทั้งหมดจะมีขนาดใหญ่ขึ้น 8 เท่า เพราะฉะนั้น,

500 8 = 4,000 (กก.)

สต๊อกแป้งเริ่มแรกในร้านคือ 4,000 กิโลกรัม

จากการพิจารณาปัญหานี้ จะได้กฎเกณฑ์ต่อไปนี้

หากต้องการค้นหาตัวเลขจากค่าเศษส่วนที่กำหนด ก็เพียงพอที่จะหารค่านี้ด้วยตัวเศษของเศษส่วนแล้วคูณผลลัพธ์ด้วยตัวส่วนของเศษส่วน

เราได้แก้ไขปัญหาสองข้อในการค้นหาตัวเลขจากเศษส่วนของมัน ปัญหาดังกล่าวดังที่เห็นได้ชัดจากข้อที่แล้ว ได้รับการแก้ไขด้วยการกระทำสองประการ: การหาร (เมื่อพบส่วนหนึ่ง) และการคูณ (เมื่อพบจำนวนเต็ม)

อย่างไรก็ตาม หลังจากที่เราเรียนรู้เรื่องการหารเศษส่วนแล้ว ปัญหาข้างต้นสามารถแก้ไขได้ด้วยการกระทำเพียงครั้งเดียว ซึ่งก็คือ การหารด้วยเศษส่วน

ตัวอย่างเช่น งานสุดท้ายสามารถแก้ไขได้ด้วยการดำเนินการเดียวดังนี้:

ในอนาคตเราจะแก้ปัญหาในการค้นหาตัวเลขจากเศษส่วนด้วยการหารการกระทำเดียว

7. การค้นหาตัวเลขตามเปอร์เซ็นต์

ในปัญหาเหล่านี้ คุณจะต้องค้นหาตัวเลขที่รู้เปอร์เซ็นต์ของจำนวนนั้น

ภารกิจที่ 1เมื่อต้นปีนี้ฉันได้รับ 60 รูเบิลจากธนาคารออมสิน รายได้จากจำนวนเงินที่ฉันสะสมไว้เมื่อปีที่แล้ว ฉันใส่เงินในธนาคารออมสินไปเท่าไหร่แล้ว? (โต๊ะเงินสดให้ผลตอบแทนแก่ผู้ฝาก 2% ต่อปี)

ความหมายของปัญหาคือฉันฝากเงินจำนวนหนึ่งไว้ในธนาคารออมสินและอยู่ที่นั่นเป็นเวลาหนึ่งปี หนึ่งปีผ่านไปฉันได้รับเงิน 60 รูเบิลจากเธอ รายได้ซึ่งก็คือ 2/100 ของเงินที่ฉันฝาก ฉันใส่เงินไปเท่าไหร่?

ดังนั้นเมื่อรู้ส่วนหนึ่งของเงินนี้ซึ่งแสดงออกมาในสองวิธี (เป็นรูเบิลและเศษส่วน) เราจะต้องค้นหาจำนวนเงินทั้งหมดโดยที่ยังไม่ทราบ นี่เป็นปัญหาทั่วไปในการหาตัวเลขจากเศษส่วนของมัน ปัญหาต่อไปนี้ได้รับการแก้ไขโดยการแบ่ง:

ซึ่งหมายความว่ามีเงินฝาก 3,000 รูเบิลในธนาคารออมสิน

ภารกิจที่ 2ชาวประมงบรรลุแผนรายเดือนได้ 64% ภายในสองสัปดาห์ โดยสามารถจับปลาได้ 512 ตัน พวกเขามีแผนอะไร?

จากสภาพปัญหาเป็นที่ทราบกันว่าชาวประมงได้ดำเนินการเสร็จสิ้นตามแผนบางส่วนแล้ว ส่วนนี้เท่ากับ 512 ตัน คิดเป็น 64% ของแผน เราไม่รู้ว่าต้องเตรียมปลากี่ตันตามแผน การค้นหาหมายเลขนี้จะเป็นวิธีแก้ปัญหา

ปัญหาดังกล่าวแก้ไขได้ด้วยการแบ่ง:

ซึ่งหมายความว่าตามแผนจะต้องเตรียมปลาจำนวน 800 ตัน

ภารกิจที่ 3รถไฟไปจากริกาไปมอสโก เมื่อผ่านไปกิโลเมตรที่ 276 ผู้โดยสารคนหนึ่งถามพนักงานควบคุมรถที่ผ่านไปมาว่าได้เดินทางไปแล้วกี่กิโลเมตร ผู้ควบคุมวงตอบว่า: “เราได้ครอบคลุมการเดินทางทั้งหมดแล้ว 30%” ระยะทางจากรีกาไปมอสโกคือเท่าไร?

จากสภาพปัญหาเป็นที่ชัดเจนว่า 30% ของเส้นทางจากริกาไปมอสโกคือ 276 กม. เราจำเป็นต้องค้นหาระยะทางทั้งหมดระหว่างเมืองเหล่านี้ เช่น ในส่วนนี้ ให้ค้นหาทั้งหมด:

§ 91. หมายเลขซึ่งกันและกัน การแทนที่การหารด้วยการคูณ

ลองหาเศษส่วน 2/3 แล้วแทนที่ตัวเศษแทนตัวส่วน เราจะได้ 3/2 เราได้อินเวอร์สของเศษส่วนนี้.

เพื่อให้ได้ค่าผกผันของเศษส่วนที่กำหนด คุณต้องใส่ตัวเศษแทนตัวส่วน และให้ตัวส่วนแทนตัวเศษ ด้วยวิธีนี้ เราจะได้ส่วนกลับของเศษส่วนใดๆ. ตัวอย่างเช่น:

3/4, ย้อนกลับ 4/3; 5/6 ย้อนกลับ 6/5

เศษส่วน 2 ตัวที่มีคุณสมบัติว่าเศษของตัวแรกเป็นตัวส่วนของวินาที และส่วนของของตัวแรกคือเศษของวินาที เรียกว่า ผกผันซึ่งกันและกัน

ทีนี้ ลองคิดว่าเศษส่วนจะเป็นส่วนกลับของ 1/2. แน่นอน มันจะเป็น 2/1 หรือแค่ 2 เมื่อหาเศษส่วนผกผันของค่าที่กำหนด เราก็ได้จำนวนเต็ม และกรณีนี้ไม่ได้แยกออกจากกัน ในทางตรงกันข้าม เศษส่วนทั้งหมดที่มีตัวเศษเป็น 1 (หนึ่ง) ส่วนกลับจะเป็นจำนวนเต็ม เช่น

1/3, ย้อนกลับ 3; 1/5, ย้อนกลับ 5

เนื่องจากในการค้นหาเศษส่วนกลับ เราก็พบจำนวนเต็มด้วย ต่อไปนี้เราจะไม่พูดถึงเศษส่วนกลับ แต่เกี่ยวกับ ตัวเลขซึ่งกันและกัน.

ลองหาวิธีเขียนค่าผกผันของจำนวนเต็มกัน สำหรับเศษส่วน สามารถแก้ไขได้ง่ายๆ โดยคุณต้องใส่ตัวส่วนแทนตัวเศษ ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถได้ค่าผกผันของจำนวนเต็ม เนื่องจากจำนวนเต็มใดๆ สามารถมีส่วนเป็น 1 ได้ ซึ่งหมายความว่าค่าผกผันของ 7 จะเป็น 1/7 เพราะ 7 = 7/1; สำหรับเลข 10 ค่าผกผันจะเป็น 1/10 เนื่องจาก 10 = 10/1

แนวคิดนี้สามารถแสดงออกได้แตกต่างออกไป: ส่วนกลับของจำนวนที่กำหนดจะได้มาโดยการหารหนึ่งด้วยจำนวนที่กำหนด- ข้อความนี้เป็นจริงไม่เพียงแต่กับจำนวนเต็มเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเศษส่วนด้วย อันที่จริง หากเราต้องเขียนค่าผกผันของเศษส่วน 5/9 เราก็สามารถหา 1 แล้วหารด้วย 5/9 ได้ กล่าวคือ

ตอนนี้เราขอชี้ให้เห็นสิ่งหนึ่ง คุณสมบัติตัวเลขกลับกันซึ่งจะเป็นประโยชน์สำหรับเรา: ผลคูณของจำนวนกลับมีค่าเท่ากับหนึ่งในความเป็นจริง:

เมื่อใช้คุณสมบัตินี้ เราจะสามารถค้นหาตัวเลขส่วนกลับได้ดังต่อไปนี้ สมมุติว่าเราต้องหาค่าผกผันของ 8

เรามาแสดงด้วยตัวอักษรกันดีกว่า เอ็กซ์ จากนั้น 8 เอ็กซ์ = 1 ดังนั้น เอ็กซ์ = 1/8. ลองหาตัวเลขอีกตัวที่เป็นอินเวอร์สของ 7/12 แล้วเขียนแทนด้วยตัวอักษร เอ็กซ์ จากนั้น 7/12 เอ็กซ์ = 1 ดังนั้น เอ็กซ์ = 1: 7 / 12 หรือ เอ็กซ์ = 12 / 7 .

เรานำเสนอแนวคิดเรื่องจำนวนกลับเพื่อเสริมข้อมูลเกี่ยวกับการหารเศษส่วนเล็กน้อย

เมื่อเราหารตัวเลข 6 ด้วย 3/5 เราจะทำดังต่อไปนี้:

ให้ความสนใจเป็นพิเศษกับสำนวนและเปรียบเทียบกับสำนวนที่กำหนด: .

หากเราแยกนิพจน์ออกจากกันโดยไม่เกี่ยวข้องกับนิพจน์ก่อนหน้า ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะตอบคำถามว่ามาจากไหน: จากการหาร 6 ด้วย 3/5 หรือจากการคูณ 6 ด้วย 5/3 ในทั้งสองกรณีสิ่งเดียวกันเกิดขึ้น ดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้ การหารตัวเลขหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่งสามารถแทนที่ได้ด้วยการคูณเงินปันผลด้วยค่าผกผันของตัวหาร

ตัวอย่างที่เราให้ด้านล่างยืนยันข้อสรุปนี้อย่างสมบูรณ์

การคูณและหารเศษส่วน

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)

การดำเนินการนี้ดีกว่าการบวก-การลบมาก! เพราะมันง่ายกว่า โปรดทราบว่าหากต้องการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณตัวเศษ (ซึ่งจะเป็นตัวเศษของผลลัพธ์) และตัวส่วน (ซึ่งจะเป็นตัวส่วน) นั่นคือ:

ตัวอย่างเช่น:

ทุกอย่างง่ายมาก- และโปรดอย่ามองหาตัวส่วนร่วม! ที่นี่ไม่จำเป็นสำหรับเขา...

หากต้องการหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องกลับด้าน ที่สอง(นี่เป็นสิ่งสำคัญ!) เศษส่วนแล้วคูณเช่น:

ตัวอย่างเช่น:

หากคุณเจอการคูณหรือการหารด้วยจำนวนเต็มและเศษส่วนก็ไม่เป็นไร เช่นเดียวกับการบวก เราสร้างเศษส่วนจากจำนวนเต็มโดยมีหนึ่งอยู่ในตัวส่วน - แล้วไปต่อเลย! ตัวอย่างเช่น:

ในโรงเรียนมัธยมปลาย คุณมักจะต้องจัดการกับเศษส่วนสามชั้น (หรือสี่ชั้นด้วยซ้ำ!) ตัวอย่างเช่น:

ฉันจะทำให้เศษส่วนนี้ดูดีได้อย่างไร? ใช่ ง่ายมาก! ใช้การหารสองจุด:

แต่อย่าลืมลำดับการแบ่ง! ตรงนี้สำคัญมากซึ่งต่างจากการคูณ! แน่นอน เราจะไม่สับสน 4:2 หรือ 2:4 แต่มันง่ายที่จะทำผิดพลาดในเรื่องเศษส่วนสามชั้น โปรดทราบตัวอย่าง:

ในกรณีแรก (นิพจน์ทางด้านซ้าย):

ในวินาที (นิพจน์ทางด้านขวา):

คุณรู้สึกถึงความแตกต่างหรือไม่? 4 และ 1/9!

อะไรเป็นตัวกำหนดลำดับการแบ่ง? ด้วยวงเล็บหรือ (ตามนี้) ด้วยความยาวของเส้นแนวนอน พัฒนาสายตาของคุณ และหากไม่มีวงเล็บหรือขีดกลาง เช่น:

แล้วหารและคูณ ตามลำดับจากซ้ายไปขวา!

และอีกเทคนิคที่ง่ายและสำคัญมาก การกระทำที่มีองศาจะเป็นประโยชน์กับคุณมาก! ลองหารหนึ่งด้วยเศษส่วนใดๆ เช่น 13/15:

ช็อตพลิกแล้ว! และสิ่งนี้ก็เกิดขึ้นเสมอ เมื่อหาร 1 ด้วยเศษส่วนใดๆ ผลลัพธ์ที่ได้คือเศษส่วนเดียวกัน กลับหัวเท่านั้น

นั่นคือการดำเนินการกับเศษส่วน สิ่งนี้ค่อนข้างง่าย แต่ก็มีข้อผิดพลาดมากเกินพอ โปรดทราบ คำแนะนำการปฏิบัติและจะมีน้อยลง (ข้อผิดพลาด)!

เคล็ดลับการปฏิบัติ:

1. สิ่งที่สำคัญที่สุดในการทำงานกับนิพจน์ที่เป็นเศษส่วนคือความแม่นยำและความเอาใจใส่! นี่ไม่ใช่คำทั่วไป ไม่ใช่ความปรารถนาดี! นี่เป็นความจำเป็นอย่างยิ่ง! ทำการคำนวณทั้งหมดในการสอบ Unified State เป็นงานที่เต็มเปี่ยม มุ่งเน้นและชัดเจน การเขียนสองบรรทัดเพิ่มเติมในแบบร่าง ดีกว่าทำให้สับสนเมื่อคำนวณทางจิต

2. ในตัวอย่างด้วย ประเภทต่างๆเศษส่วน - ไปที่เศษส่วนสามัญ

3. เราลดเศษส่วนทั้งหมดจนกว่าจะหยุด

4. เราลดนิพจน์เศษส่วนหลายระดับให้เหลือเพียงนิพจน์ทั่วไปโดยใช้การหารผ่านสองจุด (เราตามลำดับของการหาร!)

5. หารหน่วยด้วยเศษส่วนในหัวของคุณ เพียงแค่พลิกเศษส่วนกลับ

นี่คืองานที่คุณต้องแก้ไขอย่างแน่นอน คำตอบจะได้รับหลังจากงานทั้งหมด ใช้เนื้อหาในหัวข้อนี้และเคล็ดลับการปฏิบัติ ประมาณจำนวนตัวอย่างที่คุณสามารถแก้ได้อย่างถูกต้อง ครั้งแรกเลย! โดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข! และได้ข้อสรุปที่ถูกต้อง...

จำไว้ว่า - คำตอบที่ถูกต้องคือ ที่ได้รับจากครั้งที่สอง (โดยเฉพาะครั้งที่สาม) ไม่นับ!ชีวิตที่โหดร้ายก็เป็นเช่นนั้น

ดังนั้น, แก้ในโหมดการสอบ - นี่ถือเป็นการเตรียมการสำหรับการสอบ Unified State อยู่แล้ว เราแก้ตัวอย่าง ตรวจสอบ แก้อันต่อไป เราตัดสินใจทุกอย่าง - ตรวจสอบอีกครั้งตั้งแต่ต้นจนจบ และเท่านั้น แล้วดูคำตอบ

คำนวณ:

คุณตัดสินใจแล้วหรือยัง?

เรากำลังมองหาคำตอบที่ตรงกับคุณ ฉันจงใจเขียนมันลงในความระส่ำระสาย ห่างไกลจากการล่อลวง ดังนั้น... นี่คือคำตอบที่เขียนด้วยเครื่องหมายอัฒภาค

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

ตอนนี้เราได้ข้อสรุปแล้ว หากทุกอย่างเรียบร้อยดี ฉันยินดีด้วย! การคำนวณเศษส่วนขั้นพื้นฐานไม่ใช่ปัญหาของคุณ! คุณสามารถทำสิ่งที่จริงจังกว่านี้ได้ ถ้าไม่...

ดังนั้นคุณมีปัญหาหนึ่งในสองข้อ หรือทั้งสองอย่างพร้อมกัน) ขาดความรู้ และ (หรือ) การไม่ตั้งใจ แต่...นี่. แก้ได้ ปัญหา.

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

การคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วนไม่ใช่เรื่องยาก แต่มีรายละเอียดปลีกย่อยที่คุณอาจเข้าใจที่โรงเรียนแต่กลับลืมไปแล้ว

วิธีคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน - คำศัพท์ไม่กี่คำ

หากคุณจำได้ว่าตัวเศษและส่วนคืออะไร และเศษส่วนแท้แตกต่างจากเศษส่วนเกินอย่างไร ให้ข้ามย่อหน้านี้ไป มันมีไว้สำหรับผู้ที่ลืมทฤษฎีไปหมดแล้ว

ตัวเศษคือ ส่วนบนเศษส่วนคือสิ่งที่เราหาร ตัวส่วนจะต่ำกว่า นี่คือสิ่งที่เราหารด้วย
เศษส่วนแท้คือเศษส่วนที่มีตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน เศษส่วนเกินคือเศษส่วนที่มีตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน

วิธีคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน

กฎการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วนนั้นง่ายมาก - เราคูณตัวเศษด้วยจำนวนเต็ม แต่อย่าแตะต้องตัวส่วน ตัวอย่างเช่น: สองคูณด้วยหนึ่งในห้า - เราได้สองในห้า สี่คูณด้วยสามที่สิบหกเท่ากับสิบสองที่สิบหก

การลดน้อยลง

ในตัวอย่างที่สอง เศษส่วนผลลัพธ์สามารถลดลงได้
มันหมายความว่าอะไร? โปรดทราบว่าทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนนี้หารด้วยสี่ลงตัว หารตัวเลขทั้งสองด้วย ตัวหารร่วมและเรียกว่าการลดเศษส่วน เราได้สามในสี่

เศษส่วนเกิน

แต่สมมติว่าเราคูณสี่ด้วยสองในห้า. ปรากฏว่าเป็นเวลาแปดในห้า นี่คือเศษส่วนเกิน.
เธอต้องถูกพาไปอย่างแน่นอน ชนิดที่ถูกต้อง- ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องเลือกบางส่วนจากส่วนนั้น
ในที่นี้คุณต้องใช้การหารกับเศษ เราได้หนึ่งกับสามเป็นเศษเหลือ.
หนึ่งส่วนสามส่วนเป็นเศษส่วนแท้ของเรา.

การนำเลขสามสิบห้ามาอยู่ในรูปแบบที่ถูกต้องนั้นยากขึ้นเล็กน้อย จำนวนที่ใกล้เคียงที่สุดกับสามสิบเจ็ดที่หารด้วยแปดลงตัวคือสามสิบสอง เมื่อแบ่งออกเราจะได้สี่ ลบสามสิบสองจากสามสิบห้าแล้วเราได้สาม ผลลัพธ์: สี่ทั้งหมดและสามในแปด

ความเท่าเทียมกันของทั้งเศษและส่วน และที่นี่ทุกอย่างเรียบง่ายและสวยงามมาก หากตัวเศษและส่วนเท่ากัน ผลลัพธ์ก็จะมีเพียงตัวเดียว

) และตัวส่วนตามตัวส่วน (เราจะได้ตัวส่วนของผลคูณ)

สูตรการคูณเศษส่วน:

ตัวอย่างเช่น:

ก่อนที่คุณจะเริ่มคูณทั้งเศษและส่วน คุณต้องตรวจสอบว่าเศษส่วนนั้นสามารถลดจำนวนลงได้หรือไม่ หากคุณสามารถลดเศษส่วนได้ การคำนวณเพิ่มเติมก็จะง่ายขึ้น

การหารเศษส่วนร่วมด้วยเศษส่วน

การหารเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ

มันไม่น่ากลัวอย่างที่คิด ในกรณีของการบวก เราจะแปลงจำนวนเต็มให้เป็นเศษส่วนโดยให้ 1 เป็นตัวส่วน ตัวอย่างเช่น:

การคูณเศษส่วนคละ

กฎการคูณเศษส่วน (คละ):

• แปลงเศษส่วนคละเป็นเศษส่วนเกิน
• การคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วน
• ลดเศษส่วน;
• หากคุณได้เศษส่วนเกิน เราจะแปลงเศษส่วนเกินให้เป็นเศษส่วนคละ

ใส่ใจ!หากต้องการคูณเศษส่วนคละด้วยเศษส่วนคละอื่น คุณต้องแปลงให้เป็นเศษส่วนเกินก่อน แล้วจึงคูณตามกฎการคูณเศษส่วนสามัญ

วิธีที่สองในการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ

การใช้วิธีคูณวิธีที่สองอาจสะดวกกว่า เศษส่วนทั่วไปต่อหมายเลข

ใส่ใจ!หากต้องการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ คุณต้องหารตัวส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนนี้ และปล่อยให้ตัวเศษไม่เปลี่ยนแปลง

จากตัวอย่างข้างต้น เห็นได้ชัดว่าตัวเลือกนี้สะดวกกว่าเมื่อหารตัวส่วนของเศษส่วนโดยไม่มีเศษเหลือด้วยจำนวนธรรมชาติ

เศษส่วนหลายชั้น

ในโรงเรียนมัธยมปลาย มักพบเศษส่วนสามชั้น (หรือมากกว่า) ตัวอย่าง:

หากต้องการให้เศษส่วนดังกล่าวอยู่ในรูปปกติ ให้ใช้การหารผ่าน 2 จุด:

ใส่ใจ!ในการหารเศษส่วน ลำดับการหารมีความสำคัญมาก ระวังมันง่ายที่จะสับสนที่นี่

โปรดทราบ ตัวอย่างเช่น:

เมื่อหารหนึ่งด้วยเศษส่วนใดๆ ผลลัพธ์จะเป็นเศษส่วนเดียวกัน กลับด้านเท่านั้น:

เคล็ดลับการปฏิบัติสำหรับการคูณและหารเศษส่วน:

1. สิ่งที่สำคัญที่สุดในการทำงานกับนิพจน์ที่เป็นเศษส่วนคือความแม่นยำและความเอาใจใส่ ทำการคำนวณทั้งหมดอย่างรอบคอบและแม่นยำ มีสมาธิและชัดเจน เป็นการดีกว่าที่จะเขียนบรรทัดเพิ่มเติมสองสามบรรทัดในร่างของคุณ ดีกว่ามัวแต่มัวแต่คิดคำนวณในใจ

2. ในงานที่มีเศษส่วนประเภทต่างๆ ให้ไปที่ประเภทของเศษส่วนสามัญ

3. เราลดเศษส่วนทั้งหมดจนไม่สามารถลดได้อีกต่อไป

4. เราแปลงนิพจน์เศษส่วนหลายระดับให้เป็นนิพจน์ธรรมดาโดยใช้การหารถึง 2 จุด

5. หารหน่วยด้วยเศษส่วนในหัวของคุณ เพียงแค่พลิกเศษส่วนกลับ