C 8 วิธีแก้ระบบสมการ การแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีบวก การแก้ระบบสมการที่ซับซ้อน

ในวิดีโอนี้ ฉันจะเริ่มชุดบทเรียนเกี่ยวกับระบบสมการโดยเฉพาะ วันนี้เราจะมาพูดถึงการแก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีการบวก- นี่เป็นหนึ่งในวิธีที่ง่ายที่สุด แต่ในขณะเดียวกันก็เป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดวิธีหนึ่ง

วิธีการบวกประกอบด้วยสามขั้นตอนง่ายๆ:

1. ดูที่ระบบและเลือกตัวแปรที่มีค่าสัมประสิทธิ์เหมือนกัน (หรือตรงกันข้าม) ในแต่ละสมการ
2. ดำเนินการลบพีชคณิต (สำหรับจำนวนตรงข้าม - การบวก) ของสมการจากกัน จากนั้นนำพจน์ที่คล้ายกันมา
3. แก้สมการใหม่ที่ได้รับหลังจากขั้นตอนที่สอง

หากทุกอย่างถูกต้องเราจะได้สมการเดียวที่เอาต์พุต ด้วยตัวแปรตัวหนึ่ง— การแก้ไขมันไม่ใช่เรื่องยาก สิ่งที่เหลืออยู่คือการแทนที่รูทที่พบลงในระบบดั้งเดิมและรับคำตอบสุดท้าย

อย่างไรก็ตามในทางปฏิบัติทุกอย่างไม่ง่ายนัก มีสาเหตุหลายประการสำหรับสิ่งนี้:

• การแก้สมการโดยใช้วิธีการบวกหมายความว่าทุกบรรทัดต้องมีตัวแปรที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากันหรือตรงกันข้าม จะทำอย่างไรหากไม่เป็นไปตามข้อกำหนดนี้?
• ไม่เสมอไป หลังจากบวก/ลบสมการตามวิธีที่ระบุ เราจะได้โครงสร้างที่สวยงามซึ่งสามารถแก้ได้อย่างง่ายดาย เป็นไปได้หรือไม่ที่จะทำให้การคำนวณง่ายขึ้นและเพิ่มความเร็วในการคำนวณ?

หากต้องการทราบคำตอบสำหรับคำถามเหล่านี้ และในขณะเดียวกันก็เข้าใจรายละเอียดปลีกย่อยเพิ่มเติมบางประการที่นักเรียนหลายคนล้มเหลว โปรดดูบทเรียนวิดีโอของฉัน:

ในบทเรียนนี้ เราจะเริ่มการบรรยายเกี่ยวกับระบบสมการ และเราจะเริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุด ได้แก่ สมการที่มีสองสมการและตัวแปรสองตัว แต่ละตัวจะเป็นเส้นตรง

ระบบเป็นเนื้อหาเกรด 7 แต่บทเรียนนี้จะเป็นประโยชน์สำหรับนักเรียนมัธยมปลายที่ต้องการทบทวนความรู้ในหัวข้อนี้ด้วย

โดยทั่วไปมีสองวิธีในการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว:

1. วิธีการบวก
2. วิธีการแสดงตัวแปรหนึ่งในแง่ของอีกตัวแปรหนึ่ง

วันนี้เราจะมาจัดการกับวิธีแรก - เราจะใช้วิธีการลบและการบวก แต่เพื่อทำสิ่งนี้ คุณต้องเข้าใจข้อเท็จจริงต่อไปนี้: เมื่อคุณมีสมการสองสมการขึ้นไปแล้ว คุณสามารถนำสมการสองสมการมาบวกกัน พวกเขาจะถูกเพิ่มสมาชิกโดยสมาชิกเช่น มีการเพิ่ม "X's" ใน "X's" และให้สิ่งที่คล้ายกัน "Y's" กับ "Y's" จะคล้ายกันอีกครั้ง และสิ่งที่อยู่ทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับก็จะถูกเพิ่มซึ่งกันและกันด้วย และให้สิ่งที่คล้ายกันที่นั่นด้วย .

ผลลัพธ์ของการใช้เครื่องจักรดังกล่าวจะเป็นสมการใหม่ ซึ่งหากมีราก ก็จะอยู่ในหมู่รากของสมการดั้งเดิมอย่างแน่นอน ดังนั้น งานของเราคือลบหรือบวกในลักษณะที่ $x$ หรือ $y$ หายไป

วิธีบรรลุเป้าหมายนี้และเครื่องมือใดที่จะใช้สำหรับสิ่งนี้ - เราจะพูดถึงเรื่องนี้ตอนนี้

การแก้ปัญหาง่ายๆ โดยใช้การบวก

ดังนั้นเราจึงเรียนรู้ที่จะใช้วิธีการบวกโดยใช้ตัวอย่างนิพจน์ง่ายๆ สองนิพจน์

ภารกิจที่ 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

โปรดทราบว่า $y$ มีค่าสัมประสิทธิ์ $-4$ ในสมการแรก และ $+4$ ในสมการที่สอง พวกมันตรงกันข้ามกัน ดังนั้นจึงมีเหตุผลที่จะสรุปได้ว่าหากเรารวมมันเข้าด้วยกัน ผลลัพธ์ที่ได้คือ "เกม" จะถูกทำลายร่วมกัน เพิ่มและรับ:

มาแก้การก่อสร้างที่ง่ายที่สุด:

เยี่ยมเลย เราเจอ "x" แล้ว เราควรทำอย่างไรกับมันตอนนี้? เรามีสิทธิ์แทนที่มันลงในสมการใดๆ ได้ มาแทนที่ในอันแรก:

\[-4y=12\ซ้าย| :\left(-4 \right) \right.\]

คำตอบ: $\left(2;-3 \right)$.

ปัญหาหมายเลข 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

สถานการณ์ที่นี่คล้ายกันมาก เฉพาะกับ "X's" เท่านั้น มาเพิ่มกัน:

เรามีสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด มาแก้กัน:

ตอนนี้เรามาหา $x$:

คำตอบ: $\left(-3;3 \right)$.

จุดสำคัญ

ดังนั้นเราจึงเพิ่งแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่ายสองระบบโดยใช้วิธีการบวก ประเด็นสำคัญอีกครั้ง:

1. หากตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์ตรงกันข้าม จำเป็นต้องบวกตัวแปรทั้งหมดในสมการ ในกรณีนี้หนึ่งในนั้นจะถูกทำลาย
2. เราแทนตัวแปรที่พบลงในสมการของระบบใดๆ เพื่อหาค่าที่สอง
3. บันทึกการตอบกลับขั้นสุดท้ายสามารถนำเสนอได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น - $x=...,y=...$ หรือในรูปแบบของพิกัดจุด - $\left(...;... \right)$ ตัวเลือกที่สองจะดีกว่า สิ่งสำคัญที่ต้องจำคือพิกัดแรกคือ $x$ และพิกัดที่สองคือ $y$
4. กฎการเขียนคำตอบในรูปแบบพิกัดจุดไม่สามารถใช้ได้เสมอไป ตัวอย่างเช่น ไม่สามารถใช้เมื่อตัวแปรไม่ใช่ $x$ และ $y$ แต่ ตัวอย่างเช่น $a$ และ $b$

ในปัญหาต่อไปนี้ เราจะพิจารณาเทคนิคการลบเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ไม่ตรงกันข้าม

การแก้ปัญหาง่าย ๆ โดยใช้วิธีลบ

ภารกิจที่ 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

โปรดทราบว่าไม่มีสัมประสิทธิ์ที่ตรงกันข้ามตรงนี้ แต่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงลบอันที่สองออกจากสมการแรก:

ตอนนี้เราแทนค่า $x$ ลงในสมการของระบบใดๆ ไปก่อน:

คำตอบ: $\left(2;5\right)$.

ปัญหาหมายเลข 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

เราเห็นค่าสัมประสิทธิ์เดียวกันอีกครั้งที่ $5$ สำหรับ $x$ ในสมการที่หนึ่งและที่สอง ดังนั้นจึงมีเหตุผลที่จะถือว่าคุณต้องลบตัวที่สองออกจากสมการแรก:

เราได้คำนวณตัวแปรหนึ่งตัวแล้ว ทีนี้ เรามาค้นหาอันที่สองกันดีกว่า โดยการแทนที่ค่า $y$ ลงในโครงสร้างที่สอง:

คำตอบ: $\left(-3;-2 \right)$.

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

แล้วเราเห็นอะไร? โดยพื้นฐานแล้ว โครงการนี้ไม่แตกต่างจากโซลูชันของระบบก่อนหน้านี้ ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือเราไม่ได้เพิ่มสมการ แต่ลบออก เรากำลังลบพีชคณิต.

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทันทีที่คุณเห็นระบบที่ประกอบด้วยสมการสองสมการในค่าไม่ทราบค่าสองตัว สิ่งแรกที่คุณต้องดูคือค่าสัมประสิทธิ์ หากเท่ากันทุกจุด สมการจะถูกลบออก และหากอยู่ตรงข้ามกัน จะใช้วิธีบวก สิ่งนี้จะทำเสมอเพื่อให้หนึ่งในนั้นหายไป และในสมการสุดท้ายซึ่งยังคงอยู่หลังจากการลบ จะเหลือเพียงตัวแปรเดียวเท่านั้น

แน่นอนว่านั่นไม่ใช่ทั้งหมด ตอนนี้เราจะพิจารณาระบบที่สมการโดยทั่วไปไม่สอดคล้องกัน เหล่านั้น. ไม่มีตัวแปรในตัวแปรที่เหมือนหรือตรงกันข้าม ในกรณีนี้ มีการใช้เทคนิคเพิ่มเติมในการแก้ระบบดังกล่าว กล่าวคือ การคูณแต่ละสมการด้วยสัมประสิทธิ์พิเศษ วิธีค้นหาและวิธีแก้ไขระบบดังกล่าวโดยทั่วไป เราจะพูดถึงเรื่องนี้ตอนนี้

การแก้ปัญหาด้วยการคูณด้วยสัมประสิทธิ์

ตัวอย่างหมายเลข 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

เราเห็นว่าทั้ง $x$ และ $y$ สัมประสิทธิ์ไม่เพียงแต่ตรงกันข้ามกันเท่านั้น แต่ยังไม่มีความสัมพันธ์กับสมการอื่นด้วย ค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้จะไม่หายไป แต่อย่างใดแม้ว่าเราจะบวกหรือลบสมการออกจากกันก็ตาม ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้การคูณ ลองกำจัดตัวแปร $y$ ออกไป เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะคูณสมการแรกด้วยสัมประสิทธิ์ของ $y$ จากสมการที่สอง และสมการที่สองด้วยสัมประสิทธิ์ $y$ จากสมการแรก โดยไม่ต้องแตะเครื่องหมาย เราคูณและรับระบบใหม่:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

ลองดูที่: ที่ $y$ ค่าสัมประสิทธิ์อยู่ตรงข้าม ในสถานการณ์เช่นนี้จำเป็นต้องใช้วิธีบวก มาเพิ่ม:

ตอนนี้เราต้องค้นหา $y$ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่ $x$ ในนิพจน์แรก:

\[-9y=18\ซ้าย| :\left(-9 \right) \right.\]

คำตอบ: $\left(4;-2 \right)$.

ตัวอย่างหมายเลข 2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

ขอย้ำอีกครั้งว่าค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรใดไม่สอดคล้องกัน ลองคูณด้วยสัมประสิทธิ์ของ $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

ระบบใหม่ของเราเทียบเท่ากับระบบก่อนหน้า แต่ค่าสัมประสิทธิ์ของ $y$ นั้นตรงกันข้ามกัน ดังนั้นจึงเป็นเรื่องง่ายที่จะใช้วิธีการบวกที่นี่:

ทีนี้ มาหา $y$ โดยการแทนที่ $x$ ลงในสมการแรก:

คำตอบ: $\left(-2;1 \right)$.

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

กฎสำคัญมีดังนี้: เราคูณด้วยจำนวนบวกเท่านั้นซึ่งจะช่วยคุณจากข้อผิดพลาดที่โง่เขลาและน่ารังเกียจที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนสัญญาณ โดยทั่วไป รูปแบบการแก้ปัญหาค่อนข้างง่าย:

1. เราดูที่ระบบและวิเคราะห์แต่ละสมการ
2. หากเราเห็นว่าทั้ง $y$ และ $x$ สัมประสิทธิ์ไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ มันไม่เท่ากันหรือตรงกันข้าม จากนั้นเราจะทำดังต่อไปนี้: เราเลือกตัวแปรที่ต้องการกำจัดออก จากนั้นจึงดูค่าสัมประสิทธิ์ของสมการเหล่านี้ หากเราคูณสมการแรกด้วยสัมประสิทธิ์จากสมการที่สองและสมการที่สองคูณด้วยสัมประสิทธิ์จากสมการแรกตามลำดับในที่สุดเราจะได้ระบบที่เทียบเท่ากับสมการก่อนหน้าอย่างสมบูรณ์และค่าสัมประสิทธิ์ $ y$ จะสอดคล้องกัน การกระทำหรือการแปลงทั้งหมดของเรามุ่งเป้าไปที่การรับตัวแปรเพียงตัวเดียวในสมการเดียวเท่านั้น
3. เราพบตัวแปรหนึ่งตัว
4. เราแทนที่ตัวแปรที่พบเป็นสมการหนึ่งในสองสมการของระบบและค้นหาสมการที่สอง
5. เราเขียนคำตอบในรูปแบบของพิกัดจุดถ้าเรามีตัวแปร $x$ และ $y$

แต่แม้แต่อัลกอริธึมธรรมดา ๆ ก็ยังมีรายละเอียดปลีกย่อยของตัวเอง เช่น ค่าสัมประสิทธิ์ของ $x$ หรือ $y$ อาจเป็นเศษส่วนและตัวเลขที่ "น่าเกลียด" อื่นๆ ได้ ตอนนี้เราจะพิจารณากรณีเหล่านี้แยกกันเนื่องจากในกรณีเหล่านี้คุณสามารถดำเนินการแตกต่างไปจากอัลกอริทึมมาตรฐานได้เล็กน้อย

การแก้ปัญหาเรื่องเศษส่วน

ตัวอย่างหมายเลข 1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

ขั้นแรก สังเกตว่าสมการที่สองมีเศษส่วน แต่โปรดทราบว่าคุณสามารถหาร $4$ ด้วย $0.8$ ได้ เราจะได้รับ $5$. ลองคูณสมการที่สองด้วย $5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

เราลบสมการออกจากกัน:

เราพบ $n$ แล้ว ทีนี้มานับ $m$ กัน:

คำตอบ: $n=-4;m=5$

ตัวอย่างหมายเลข 2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ ขวา.\]

เช่นเดียวกับในระบบก่อนหน้านี้ มีค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วน แต่ไม่มีตัวแปรใดเลยที่ค่าสัมประสิทธิ์จะเข้ากันเป็นจำนวนเต็มครั้ง ดังนั้นเราจึงใช้อัลกอริธึมมาตรฐาน กำจัด $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

เราใช้วิธีลบ:

มาหา $p$ โดยการแทนที่ $k$ ลงในโครงสร้างที่สอง:

คำตอบ: $p=-4;k=-2$.

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

นั่นคือการเพิ่มประสิทธิภาพทั้งหมด ในสมการแรก เราไม่ได้คูณสิ่งใดเลย แต่คูณสมการที่สองด้วย $5$ เป็นผลให้เราได้รับสมการที่สม่ำเสมอและเหมือนกันสำหรับตัวแปรแรก ในระบบที่สอง เราปฏิบัติตามอัลกอริธึมมาตรฐาน

แต่คุณจะพบตัวเลขที่ใช้คูณสมการได้อย่างไร? ท้ายที่สุดแล้ว ถ้าเราคูณเศษส่วน เราก็จะได้เศษส่วนใหม่ ดังนั้นเศษส่วนจะต้องคูณด้วยตัวเลขที่จะให้จำนวนเต็มใหม่ และหลังจากนั้นตัวแปรจะต้องคูณด้วยสัมประสิทธิ์ตามอัลกอริทึมมาตรฐาน

โดยสรุปฉันต้องการดึงความสนใจของคุณไปที่รูปแบบการบันทึกการตอบกลับ อย่างที่ผมบอกไปแล้ว เนื่องจากที่นี่เราไม่มี $x$ และ $y$ แต่มีค่าอื่นๆ เราจึงใช้รูปแบบที่ไม่เป็นมาตรฐาน:

การแก้ระบบสมการที่ซับซ้อน

เพื่อเป็นบันทึกสุดท้ายของวิดีโอสอนวันนี้ เรามาดูระบบที่ซับซ้อนจริงๆ สองสามระบบกัน ความซับซ้อนจะประกอบด้วยความจริงที่ว่าพวกมันจะมีตัวแปรทั้งซ้ายและขวา ดังนั้นเพื่อแก้ปัญหาเหล่านี้เราจะต้องใช้การประมวลผลล่วงหน้า

ระบบหมายเลข 1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

แต่ละสมการมีความซับซ้อนบางอย่าง ดังนั้น เราจะถือว่าแต่ละนิพจน์เหมือนกับการสร้างเชิงเส้นปกติ

โดยรวมแล้วเราได้ระบบสุดท้ายซึ่งเทียบเท่ากับระบบดั้งเดิม:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

ลองดูค่าสัมประสิทธิ์ของ $y$: $3$ พอดีกับ $6$ สองครั้ง ดังนั้นลองคูณสมการแรกด้วย $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

ตอนนี้ค่าสัมประสิทธิ์ของ $y$ เท่ากัน ดังนั้นเราจึงลบค่าที่สองออกจากสมการแรก: $$

ตอนนี้เรามาหา $y$:

คำตอบ: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

ระบบหมายเลข 2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

มาแปลงนิพจน์แรกกัน:

มาจัดการกับอันที่สองกันดีกว่า:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

โดยรวมแล้ว ระบบเริ่มต้นของเราจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

เมื่อดูค่าสัมประสิทธิ์ของ $a$ เราจะเห็นว่าสมการแรกต้องคูณด้วย $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

ลบวินาทีจากการก่อสร้างครั้งแรก:

ตอนนี้เรามาหา $a$:

คำตอบ: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

แค่นั้นแหละ. ฉันหวังว่าวิดีโอบทช่วยสอนนี้จะช่วยให้คุณเข้าใจหัวข้อยากๆ นี้ ซึ่งก็คือการแก้ระบบสมการเชิงเส้นอย่างง่าย ในอนาคตจะมีบทเรียนอีกมากมายในหัวข้อนี้: เราจะดูตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น ซึ่งจะมีตัวแปรมากกว่านี้ และสมการเองก็จะไม่เชิงเส้น แล้วพบกันใหม่!

โดยปกติสมการของระบบจะเขียนในคอลัมน์หนึ่งที่อยู่ด้านล่างอีกคอลัมน์หนึ่งและรวมกับเครื่องหมายปีกกา

ระบบสมการประเภทนี้อยู่ที่ไหน ก ข ค- ตัวเลขและ เอ็กซ์, ย- มีการเรียกตัวแปรต่างๆ ระบบสมการเชิงเส้น.

เมื่อแก้ระบบสมการจะใช้คุณสมบัติที่ถูกต้องสำหรับการแก้สมการ

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีทดแทน

ลองดูตัวอย่าง

1) แสดงตัวแปรในสมการใดสมการหนึ่ง ตัวอย่างเช่น มาแสดงออกกัน ยในสมการแรก เราได้ระบบ:

2) แทนลงในสมการที่สองของระบบแทน ยการแสดงออก 3x-7:

3) แก้สมการที่สองที่ได้:

4) เราแทนที่ผลลัพธ์ที่ได้เป็นสมการแรกของระบบ:

ระบบสมการมีวิธีแก้เฉพาะตัว นั่นคือ ตัวเลขคู่หนึ่ง x=1, y=-4- คำตอบ: (1; -4) เขียนในวงเล็บ โดยให้ค่าอยู่ในตำแหน่งแรก xในวันที่สอง - ย.

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยการบวก

ลองแก้ระบบสมการจากตัวอย่างที่แล้วกัน วิธีการบวก

1) แปลงระบบเพื่อให้ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งตรงกันข้าม ลองคูณสมการแรกของระบบด้วย "3"

2) เพิ่มสมการของเทอมของระบบทีละเทอม เราเขียนสมการที่สองของระบบ (ใดๆ) ใหม่โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง

3) เราแทนที่ผลลัพธ์ที่ได้เป็นสมการแรกของระบบ:

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นแบบกราฟิก

ผลเฉลยแบบกราฟิกของระบบสมการที่มีตัวแปรสองตัวลงมาเพื่อค้นหาพิกัดของจุดร่วมของกราฟของสมการ

กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะเป็นเส้นตรง เส้นตรงสองเส้นบนเครื่องบินสามารถตัดกันที่จุดหนึ่ง ขนานกัน หรือตรงกันได้ ดังนั้น ระบบสมการจึงสามารถ: ก) มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว; b) ไม่มีวิธีแก้ปัญหา; c) มีคำตอบจำนวนอนันต์

2) การแก้ระบบสมการคือจุด (หากสมการเป็นเส้นตรง) ของจุดตัดของกราฟ

โซลูชันกราฟิกของระบบ

วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่

การเปลี่ยนแปลงตัวแปรสามารถนำไปสู่การแก้ระบบสมการที่ง่ายกว่าระบบสมการดั้งเดิม

พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของระบบ

เรามาแนะนำการแทนที่กันดีกว่า

มาดูตัวแปรเริ่มต้นกันดีกว่า

กรณีพิเศษ

หากไม่มีการแก้ระบบสมการเชิงเส้น คุณสามารถกำหนดจำนวนคำตอบได้จากค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่เกี่ยวข้อง

การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) ถือเป็นหัวข้อที่สำคัญที่สุดในหลักสูตรพีชคณิตเชิงเส้นอย่างไม่ต้องสงสัย ปัญหาจำนวนมากจากคณิตศาสตร์ทุกแขนงมาถึงการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ปัจจัยเหล่านี้อธิบายเหตุผลของบทความนี้ เนื้อหาของบทความได้รับการคัดเลือกและจัดโครงสร้างเพื่อให้คุณสามารถทำได้ด้วยความช่วยเหลือ

• เลือกวิธีการที่เหมาะสมที่สุดในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นของคุณ
• ศึกษาทฤษฎีวิธีการที่เลือก
• แก้ระบบสมการเชิงเส้นของคุณโดยการพิจารณาคำตอบโดยละเอียดของตัวอย่างและปัญหาทั่วไป

คำอธิบายโดยย่อของเนื้อหาของบทความ

ขั้นแรก เราจะให้คำจำกัดความ แนวคิด และสัญลักษณ์ที่จำเป็นทั้งหมด

ต่อไป เราจะพิจารณาวิธีการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งจำนวนสมการเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักและมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ประการแรก เราจะเน้นที่วิธีของแครมเมอร์ ประการที่สอง เราจะแสดงวิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ระบบสมการดังกล่าว และประการที่สาม เราจะวิเคราะห์วิธีเกาส์ (วิธีการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับ) เพื่อรวมทฤษฎีนี้เข้าด้วยกัน เราจะแก้ SLAE หลายรายการด้วยวิธีที่ต่างกันออกไปอย่างแน่นอน

หลังจากนี้เราจะเข้าสู่การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นรูปแบบทั่วไป ซึ่งจำนวนสมการไม่ตรงกับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก หรือเมทริกซ์หลักของระบบเป็นเอกพจน์ ขอให้เรากำหนดทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี ซึ่งช่วยให้เราสามารถสร้างความเข้ากันได้ของ SLAE ได้ ให้เราวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของระบบ (หากเข้ากันได้) โดยใช้แนวคิดเรื่องพื้นฐานรองของเมทริกซ์ เราจะพิจารณาวิธีเกาส์ด้วยและอธิบายรายละเอียดวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่าง

เราจะอาศัยโครงสร้างของคำตอบทั่วไปของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันอย่างแน่นอน ขอให้เราให้แนวคิดเกี่ยวกับระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา และแสดงให้เห็นว่าคำตอบทั่วไปของ SLAE เขียนโดยใช้เวกเตอร์ของระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาอย่างไร เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้น เรามาดูตัวอย่างกัน

โดยสรุป เราจะพิจารณาระบบสมการที่สามารถลดให้เป็นสมการเชิงเส้นได้ รวมถึงปัญหาต่างๆ ในการแก้ปัญหาที่ SLAE เกิดขึ้น

การนำทางหน้า

คำจำกัดความ แนวคิด การกำหนด

เราจะพิจารณาระบบของสมการพีชคณิตเชิงเส้น p ที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก n ตัว (p สามารถเท่ากับ n) ของรูปแบบ

ตัวแปรที่ไม่รู้จัก - ค่าสัมประสิทธิ์ (จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนบางตัว) - เงื่อนไขอิสระ (เช่น จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน)

SLAE รูปแบบการบันทึกนี้เรียกว่า ประสานงาน.

ใน รูปแบบเมทริกซ์การเขียนระบบสมการนี้มีรูปแบบ
ที่ไหน - เมทริกซ์หลักของระบบ - เมทริกซ์คอลัมน์ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก - เมทริกซ์คอลัมน์ของเทอมอิสระ

หากเราเพิ่มเมทริกซ์-คอลัมน์ของเทอมอิสระให้กับเมทริกซ์ A เป็นคอลัมน์ที่ (n+1) เราจะได้สิ่งที่เรียกว่า เมทริกซ์ขยายระบบสมการเชิงเส้น โดยทั่วไปแล้วเมทริกซ์แบบขยายจะแสดงด้วยตัวอักษร T และคอลัมน์ของคำศัพท์อิสระจะถูกคั่นด้วยเส้นแนวตั้งจากคอลัมน์ที่เหลือนั่นคือ

การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นเรียกว่าชุดค่าของตัวแปรที่ไม่รู้จักซึ่งเปลี่ยนสมการทั้งหมดของระบบให้เป็นอัตลักษณ์ สมการเมทริกซ์สำหรับค่าที่กำหนดของตัวแปรที่ไม่รู้จักก็จะกลายเป็นเอกลักษณ์เช่นกัน

หากระบบสมการมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำตอบ ระบบจะเรียกมันว่า ข้อต่อ.

ถ้าระบบสมการไม่มีคำตอบก็จะถูกเรียก ไม่ใช่ข้อต่อ.

ถ้า SLAE มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ก็จะถูกเรียก แน่ใจ- หากมีมากกว่าหนึ่งวิธี ดังนั้น – ไม่แน่นอน.

ถ้าเงื่อนไขอิสระของสมการทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ จากนั้นระบบจะถูกเรียก เป็นเนื้อเดียวกัน, มิฉะนั้น - ต่างกัน.

การแก้ระบบเบื้องต้นของสมการพีชคณิตเชิงเส้น

หากจำนวนสมการของระบบเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักและดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักไม่เท่ากับศูนย์ SLAE ดังกล่าวจะถูกเรียก ระดับประถมศึกษา- ระบบสมการดังกล่าวมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว และในกรณีของระบบเอกพันธ์ ตัวแปรที่ไม่รู้จักทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์

เราเริ่มศึกษา SLAE ดังกล่าวในโรงเรียนมัธยมปลาย เมื่อทำการแก้โจทย์ เราใช้สมการหนึ่ง แสดงตัวแปรที่ไม่รู้จักตัวหนึ่งในรูปของตัวแปรอื่นๆ แล้วแทนที่มันลงในสมการที่เหลือ จากนั้นจึงนำสมการถัดไป แสดงตัวแปรที่ไม่รู้จักตัวถัดไปแล้วแทนที่เป็นสมการอื่น เป็นต้น หรือใช้วิธีการบวก กล่าวคือ เพิ่มสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไปเพื่อกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักบางตัว เราจะไม่เจาะลึกวิธีการเหล่านี้โดยละเอียด เนื่องจากโดยพื้นฐานแล้วเป็นวิธีการปรับเปลี่ยนวิธีเกาส์

วิธีการหลักในการแก้ระบบเบื้องต้นของสมการเชิงเส้นคือวิธีแครมเมอร์ วิธีเมทริกซ์ และวิธีเกาส์ มาจัดเรียงกันดีกว่า

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครเมอร์

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

โดยจำนวนสมการเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่ทราบ และดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบแตกต่างจากศูนย์ กล่าวคือ

อนุญาต เป็นตัวกำหนดเมทริกซ์หลักของระบบ และ - ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้มาจาก A โดยการแทนที่ ที่ 1, 2, …, นคอลัมน์ตามลำดับไปยังคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ:

ด้วยสัญลักษณ์นี้ ตัวแปรที่ไม่รู้จักจะถูกคำนวณโดยใช้สูตรของวิธี Cramer เช่น - นี่คือวิธีการหาคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีของแครมเมอร์

ตัวอย่าง.

วิธีการของแครมเมอร์ .

สารละลาย.

เมทริกซ์หลักของระบบมีรูปแบบ - มาคำนวณดีเทอร์มิแนนต์กัน (หากจำเป็น ดูบทความ):

เนื่องจากดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบไม่เป็นศูนย์ ระบบจึงมีคำตอบเฉพาะที่สามารถพบได้โดยวิธีของแครมเมอร์

มาเขียนและคำนวณปัจจัยกำหนดที่จำเป็นกัน (เราได้รับดีเทอร์มิแนนต์โดยการแทนที่คอลัมน์แรกในเมทริกซ์ A ด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ ดีเทอร์มิแนนต์โดยการแทนที่คอลัมน์ที่สองด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ และโดยการแทนที่คอลัมน์ที่สามของเมทริกซ์ A ด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ) : :

การค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จักโดยใช้สูตร :

คำตอบ:

ข้อเสียเปรียบหลักของวิธีของแครมเมอร์ (หากเรียกได้ว่าเป็นข้อเสีย) คือความซับซ้อนในการคำนวณปัจจัยกำหนดเมื่อจำนวนสมการในระบบมากกว่าสาม

การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์ (โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน)

ให้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นกำหนดไว้ในรูปแบบเมทริกซ์ โดยที่เมทริกซ์ A มีมิติ n คูณ n และดีเทอร์มิแนนต์ของมันคือไม่เป็นศูนย์

เนื่องจาก เมทริกซ์ A กลับด้านได้ นั่นคือ มีเมทริกซ์ผกผัน หากเราคูณทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันทางซ้าย เราจะได้สูตรสำหรับค้นหาคอลัมน์เมทริกซ์ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก นี่คือวิธีที่เราได้คำตอบสำหรับระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์

ตัวอย่าง.

แก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีเมทริกซ์

สารละลาย.

ลองเขียนระบบสมการใหม่ในรูปแบบเมทริกซ์:

เพราะ

ดังนั้น SLAE สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีเมทริกซ์ การใช้เมทริกซ์ผกผันสามารถหาคำตอบของระบบนี้ได้ดังนี้ .

มาสร้างเมทริกซ์ผกผันโดยใช้เมทริกซ์จากการเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบของเมทริกซ์ A (หากจำเป็น ดูบทความ):

ยังคงต้องคำนวณเมทริกซ์ของตัวแปรที่ไม่รู้จักโดยการคูณเมทริกซ์ผกผัน ไปยังคอลัมน์เมทริกซ์ของสมาชิกอิสระ (หากจำเป็น ดูบทความ):

คำตอบ:

หรือในรูปแบบอื่น x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1

ปัญหาหลักในการหาคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์คือความซับซ้อนในการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน โดยเฉพาะเมทริกซ์จัตุรัสที่มีลำดับสูงกว่าอันดับสาม

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์

สมมติว่าเราจำเป็นต้องค้นหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น n ตัวแปรที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก n ตัว
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักซึ่งแตกต่างจากศูนย์

สาระสำคัญของวิธีเกาส์ประกอบด้วยการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับ: ตัวแรก x 1 ถูกแยกออกจากสมการทั้งหมดของระบบ เริ่มจากตัวที่สอง จากนั้น x 2 ก็ถูกแยกออกจากสมการทั้งหมด เริ่มจากตัวที่สาม และต่อไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งเหลือเพียงตัวแปรที่ไม่รู้จัก x n เท่านั้น สมการสุดท้าย กระบวนการแปลงสมการของระบบเพื่อกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับนี้เรียกว่า วิธีเกาส์เซียนโดยตรง- หลังจากลากเส้นไปข้างหน้าของวิธีเกาส์เซียนเสร็จแล้ว จะพบ x n จากสมการสุดท้าย โดยใช้ค่านี้จากสมการสุดท้าย จากนั้นจึงคำนวณ x n-1 และต่อๆ ไป จะได้ x 1 จากสมการแรก กระบวนการคำนวณตัวแปรที่ไม่รู้จักเมื่อย้ายจากสมการสุดท้ายของระบบไปยังสมการแรกเรียกว่า ผกผันของวิธีเกาส์เซียน.

ให้เราอธิบายสั้น ๆ เกี่ยวกับอัลกอริทึมสำหรับการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก

เราจะถือว่า เนื่องจากเราสามารถบรรลุเป้าหมายนี้ได้ตลอดเวลาโดยการแลกเปลี่ยนสมการของระบบ ลองกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 ออกจากสมการทั้งหมดของระบบ โดยเริ่มจากตัวที่สอง ในการดำเนินการนี้ เราบวกสมการแรก คูณด้วย สมการแรก คูณด้วย สมการที่สาม บวกสมการแรก คูณด้วย และอื่นๆ เข้ากับสมการที่ n บวกสมการแรก คูณด้วย ระบบสมการหลังจากการแปลงดังกล่าวจะอยู่ในรูปแบบ

ที่ไหนและ .

เราคงจะได้ผลลัพธ์เดียวกันถ้าเราแสดง x 1 ในรูปของตัวแปรที่ไม่รู้จักอื่นๆ ในสมการแรกของระบบ และแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการอื่นๆ ทั้งหมด ดังนั้นตัวแปร x 1 จึงไม่รวมอยู่ในสมการทั้งหมด โดยเริ่มจากสมการที่สอง

ต่อไปเราดำเนินการในลักษณะเดียวกัน แต่เพียงส่วนหนึ่งของระบบผลลัพธ์ซึ่งมีการทำเครื่องหมายไว้ในรูปเท่านั้น

ในการทำเช่นนี้ เราบวกสมการที่สองเข้ากับสมการที่สามของระบบ บวกสมการที่สองคูณด้วย เข้ากับสมการที่สี่ บวกสมการที่สอง คูณด้วย และต่อไปเรื่อยๆ เข้ากับสมการที่ n บวกสมการที่สอง คูณด้วย ระบบสมการหลังจากการแปลงดังกล่าวจะอยู่ในรูปแบบ

ที่ไหนและ - ดังนั้นตัวแปร x 2 จึงไม่รวมอยู่ในสมการทั้งหมด โดยเริ่มจากสมการที่สาม

ต่อไปเราดำเนินการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จัก x 3 ในขณะที่เราทำหน้าที่คล้ายกับส่วนของระบบที่ทำเครื่องหมายไว้ในรูป

ดังนั้นเราจึงดำเนินการก้าวหน้าโดยตรงของวิธีเกาส์เซียนต่อไปจนกระทั่งระบบเกิดรูปแบบ

จากนี้ไป เราจะเริ่มต้นการย้อนกลับของวิธีเกาส์เซียน: เราคำนวณ x n จากสมการสุดท้ายเป็น โดยใช้ค่าที่ได้รับของ x n เราจะหา x n-1 จากสมการสุดท้าย และต่อไป เราจะพบ x 1 จากสมการแรก .

ตัวอย่าง.

แก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีเกาส์

สารละลาย.

ให้เราแยกตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 ออกจากสมการที่สองและสามของระบบ ในการทำเช่นนี้ เราได้บวกส่วนที่สอดคล้องกันของสมการแรกเข้ากับทั้งสองด้านของสมการที่สองและสาม คูณด้วยและด้วย ตามลำดับ:

ตอนนี้เรากำจัด x 2 ออกจากสมการที่สามโดยบวกด้านซ้ายและด้านขวาของสมการที่สอง คูณด้วย:

นี่เป็นการสิ้นสุดจังหวะไปข้างหน้าของวิธีเกาส์ เราจะเริ่มจังหวะย้อนกลับ

จากสมการสุดท้ายของระบบสมการผลลัพธ์ที่เราพบ x 3:

จากสมการที่สองเราได้

จากสมการแรก เราจะพบตัวแปรที่ไม่ทราบค่าที่เหลืออยู่ และด้วยเหตุนี้จึงทำการย้อนกลับของวิธีเกาส์ให้สมบูรณ์

คำตอบ:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1

การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นแบบทั่วไป

โดยทั่วไป จำนวนสมการของระบบ p ไม่ตรงกับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก n:

SLAE ดังกล่าวอาจไม่มีวิธีแก้ปัญหา มีวิธีแก้ไขปัญหาเดียว หรือมีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน ข้อความนี้ยังใช้กับระบบสมการที่มีเมทริกซ์หลักเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและเป็นเอกพจน์ด้วย

ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี

ก่อนที่จะหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น จำเป็นต้องสร้างความเข้ากันได้ของระบบก่อน คำตอบสำหรับคำถามเมื่อ SLAE เข้ากันได้และเมื่อใดที่ไม่สอดคล้องกันจะได้รับจาก ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี:
เพื่อให้ระบบสมการ p ที่ไม่ทราบค่า n (p สามารถเท่ากับ n) มีความสอดคล้องกัน จำเป็นและเพียงพอที่อันดับของเมทริกซ์หลักของระบบจะเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยาย นั่นคือ , อันดับ(A)=อันดับ(T)

ให้เราพิจารณาตัวอย่างการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลีเพื่อกำหนดความเข้ากันได้ของระบบสมการเชิงเส้น

ตัวอย่าง.

ค้นหาว่าระบบสมการเชิงเส้นมีหรือไม่ โซลูชั่น

สารละลาย.

- เรามาใช้วิธีการแบ่งเขตผู้เยาว์กันดีกว่า ผู้เยาว์ลำดับที่สอง แตกต่างจากศูนย์ ลองดูผู้เยาว์ลำดับที่สามที่อยู่ติดกับ:

เนื่องจากผู้เยาว์ที่มีขอบเขตทั้งหมดของลำดับที่สามมีค่าเท่ากับศูนย์ อันดับของเมทริกซ์หลักจึงเท่ากับสอง

ในทางกลับกัน อันดับของเมทริกซ์ขยาย เท่ากับสาม เนื่องจากผู้เยาว์อยู่ในลำดับที่สาม

แตกต่างจากศูนย์

ดังนั้น, รัง(A) ดังนั้น เมื่อใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี เราสามารถสรุปได้ว่าระบบสมการเชิงเส้นดั้งเดิมไม่สอดคล้องกัน

คำตอบ:

ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ดังนั้นเราจึงได้เรียนรู้ที่จะสร้างความไม่สอดคล้องกันของระบบโดยใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี

แต่จะหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับ SLAE ได้อย่างไรหากมีการสร้างความเข้ากันได้

ในการทำสิ่งนี้ เราจำเป็นต้องมีแนวคิดเรื่องพื้นฐานรองของเมทริกซ์และทฤษฎีบทเกี่ยวกับอันดับของเมทริกซ์

เรียกว่าค่ารองของลำดับสูงสุดของเมทริกซ์ A ซึ่งแตกต่างจากศูนย์ ขั้นพื้นฐาน.

จากคำจำกัดความของฐานรอง จะตามมาว่าลำดับของมันเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ สำหรับเมทริกซ์ A ที่ไม่ใช่ศูนย์ อาจมีเมทริกซ์รองได้หลายตัวเสมอ

ตัวอย่างเช่น พิจารณาเมทริกซ์ .

ตัวรองอันดับสามทั้งหมดของเมทริกซ์นี้มีค่าเท่ากับศูนย์ เนื่องจากองค์ประกอบของแถวที่สามของเมทริกซ์นี้เป็นผลรวมขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวที่หนึ่งและแถวที่สอง

ผู้เยาว์ลำดับที่สองต่อไปนี้เป็นข้อมูลพื้นฐาน เนื่องจากไม่ใช่ศูนย์

ผู้เยาว์ ไม่ใช่พื้นฐาน เนื่องจากมีค่าเท่ากับศูนย์

ทฤษฎีบทอันดับเมทริกซ์

หากอันดับของเมทริกซ์ของลำดับ p คูณ n เท่ากับ r ดังนั้น องค์ประกอบแถว (และคอลัมน์) ทั้งหมดของเมทริกซ์ที่ไม่ได้สร้างพื้นฐานรองที่เลือกจะถูกแสดงเชิงเส้นตรงในแง่ขององค์ประกอบแถว (และคอลัมน์) ที่สอดคล้องกันที่สร้าง พื้นฐานรอง

ทฤษฎีบทอันดับเมทริกซ์บอกอะไรเรา

ตามทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี หากเราได้กำหนดความเข้ากันได้ของระบบแล้ว เราจะเลือกพื้นฐานรองใดๆ ของเมทริกซ์หลักของระบบ (ลำดับของมันเท่ากับ r) และแยกสมการทั้งหมดที่ทำ ไม่ถือเป็นเกณฑ์รองที่เลือก SLAE ที่ได้รับในลักษณะนี้จะเทียบเท่ากับสมการดั้งเดิม เนื่องจากสมการที่ถูกละทิ้งยังคงซ้ำซ้อน (ตามทฤษฎีบทอันดับเมทริกซ์ พวกมันคือผลรวมเชิงเส้นของสมการที่เหลือ)

เป็นผลให้หลังจากละทิ้งสมการที่ไม่จำเป็นของระบบไปแล้ว จะเป็นไปได้สองกรณี

ถ้าจำนวนสมการ r ในระบบผลลัพธ์เท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก มันจะแน่นอนและสามารถหาคำตอบได้เพียงวิธีเดียวโดยวิธีแครมเมอร์ วิธีเมทริกซ์ หรือวิธีเกาส์

ตัวอย่าง.

.

สารละลาย.

อันดับของเมทริกซ์หลักของระบบ มีค่าเท่ากับสอง เนื่องจากผู้เยาว์อยู่ในลำดับที่สอง แตกต่างจากศูนย์ อันดับเมทริกซ์แบบขยาย ก็เท่ากับสองเช่นกัน เนื่องจากรองอันดับสามเพียงอันดับสามเท่านั้นที่เป็นศูนย์

และผู้เยาว์ลำดับที่สองที่พิจารณาข้างต้นแตกต่างจากศูนย์ จากทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี เราสามารถยืนยันความเข้ากันได้ของระบบสมการเชิงเส้นดั้งเดิมได้ เนื่องจากอันดับ(A)=อันดับ(T)=2

เป็นพื้นฐานรองที่เราใช้ - มันถูกสร้างขึ้นโดยค่าสัมประสิทธิ์ของสมการที่หนึ่งและที่สอง:


สมการที่สามของระบบไม่ได้มีส่วนร่วมในการสร้างฐานรอง ดังนั้นเราจึงแยกมันออกจากระบบตามทฤษฎีบทอันดับของเมทริกซ์:


นี่คือวิธีที่เราได้รับระบบเบื้องต้นของสมการพีชคณิตเชิงเส้น เรามาแก้มันโดยใช้วิธีของ Cramer:


คำตอบ:

x 1 = 1, x 2 = 2

หากจำนวนสมการ r ใน SLAE ผลลัพธ์น้อยกว่าจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก n ดังนั้นทางด้านซ้ายของสมการเราจะปล่อยเงื่อนไขที่เป็นฐานรองไว้และเราถ่ายโอนเงื่อนไขที่เหลือไปทางด้านขวาของ สมการของระบบที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม

เรียกว่าตัวแปรที่ไม่รู้จัก (r ในจำนวนนั้น) ที่เหลืออยู่ทางด้านซ้ายของสมการ หลัก.

ตัวแปรที่ไม่รู้จัก (มี n - r ชิ้น) ที่อยู่ทางด้านขวาเรียกว่า ฟรี.

ตอนนี้เราเชื่อว่าตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระสามารถรับค่าที่กำหนดเองได้ ในขณะที่ตัวแปรที่ไม่รู้จักหลัก r จะถูกแสดงผ่านตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระในลักษณะเฉพาะ นิพจน์เหล่านี้สามารถพบได้โดยการแก้ค่า SLAE ที่เป็นผลลัพธ์โดยใช้วิธี Cramer, วิธีเมทริกซ์ หรือวิธี Gauss

ลองดูด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

แก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น .

สารละลาย.

ลองหาอันดับของเมทริกซ์หลักของระบบกัน โดยวิธีการกั้นเขตผู้เยาว์ สมมติว่า 1 1 = 1 เป็นจำนวนรองที่ไม่เป็นศูนย์ของลำดับแรก มาเริ่มค้นหาผู้เยาว์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของลำดับที่สองที่อยู่ติดกับผู้เยาว์นี้:


นี่คือวิธีที่เราพบค่ารองที่ไม่เป็นศูนย์ของลำดับที่สอง มาเริ่มค้นหารองลำดับที่สามที่ไม่เป็นศูนย์:


ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์หลักคือสาม อันดับของเมทริกซ์แบบขยายก็เท่ากับสามเช่นกันนั่นคือระบบมีความสอดคล้องกัน

เรานำอันดับรองที่ไม่เป็นศูนย์ของลำดับที่สามที่พบมาเป็นฐาน

เพื่อความชัดเจน เราจะแสดงองค์ประกอบที่เป็นพื้นฐานรอง:


เราทิ้งเงื่อนไขที่เกี่ยวข้องกับพื้นฐานรองไว้ทางด้านซ้ายของสมการระบบ และโอนส่วนที่เหลือที่มีเครื่องหมายตรงข้ามไปทางด้านขวา:


ให้ค่าตัวแปรที่ไม่รู้จักฟรี x 2 และ x 5 กันนั่นคือเรายอมรับ , ที่ไหนเป็นตัวเลขที่กำหนดเอง ในกรณีนี้ SLAE จะอยู่ในรูปแบบ


ให้เราแก้ระบบประถมศึกษาที่เป็นผลลัพธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีของแครมเมอร์:


เพราะฉะนั้น, .

ในคำตอบของคุณ อย่าลืมระบุตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระ

คำตอบ:

ตัวเลขที่กำหนดเองอยู่ที่ไหน

มาสรุปกัน

ในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นทั่วไป ก่อนอื่นเราต้องพิจารณาความเข้ากันได้ของระบบโดยใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี หากอันดับของเมทริกซ์หลักไม่เท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยายแล้วเราจะสรุปได้ว่าระบบเข้ากันไม่ได้

หากอันดับของเมทริกซ์หลักเท่ากับอันดับของเมทริกซ์แบบขยายเราจะเลือกฐานรองและละทิ้งสมการของระบบที่ไม่มีส่วนร่วมในการก่อตัวของฐานรองที่เลือก

ถ้าลำดับของฐานรองเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก SLAE ก็มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ซึ่งสามารถพบได้โดยวิธีการใดๆ ก็ตามที่เรารู้จัก

หากลำดับของฐานรองน้อยกว่าจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักจากนั้นทางด้านซ้ายของสมการของระบบเราจะปล่อยเงื่อนไขไว้กับตัวแปรที่ไม่รู้จักหลักโอนเงื่อนไขที่เหลือไปทางด้านขวาและให้ค่าตามอำเภอใจ ตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระ จากระบบผลลัพธ์ของสมการเชิงเส้น เราค้นหาตัวแปรหลักที่ไม่รู้จักโดยใช้วิธีแครเมอร์ วิธีเมทริกซ์ หรือวิธีเกาส์

วิธีเกาส์สำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นรูปแบบทั่วไป

วิธีเกาส์สามารถใช้เพื่อแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นชนิดใดก็ได้ โดยไม่ต้องทดสอบความเข้ากันได้ก่อน กระบวนการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับทำให้สามารถสรุปเกี่ยวกับทั้งความเข้ากันได้และความไม่เข้ากันของ SLAE และหากมีวิธีแก้ไข ก็จะทำให้สามารถค้นหาได้

จากมุมมองทางการคำนวณ ควรใช้วิธีเกาส์เซียนมากกว่า

ดูคำอธิบายโดยละเอียดและตัวอย่างที่วิเคราะห์ในบทความวิธีเกาส์สำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นในรูปแบบทั่วไป

การเขียนคำตอบทั่วไปของระบบพีชคณิตเชิงเส้นแบบเอกพันธ์และแบบไม่เอกพันธ์โดยใช้เวกเตอร์ของระบบพื้นฐานของคำตอบ

ในส่วนนี้ เราจะพูดถึงระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันพร้อมกันซึ่งมีคำตอบจำนวนอนันต์

ให้เราจัดการกับระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันก่อน

ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้น p ที่ไม่มีตัวแปรที่ไม่รู้จักคือชุดของคำตอบอิสระเชิงเส้น (n – r) ของระบบนี้ โดยที่ r คือลำดับของฐานรองของเมทริกซ์หลักของระบบ

หากเราแสดงว่าคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นของ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกันเป็น X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) เป็นเมทริกซ์เรียงเป็นแนวที่มีมิติ n โดย 1) จากนั้นคำตอบทั่วไปของระบบเอกพันธ์นี้จะแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ของระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ตามอำเภอใจ C 1, C 2, ... , C (n-r) นั่นคือ .

คำว่าคำตอบทั่วไปของระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้น (ออโรสเลา) หมายถึงอะไร

ความหมายนั้นง่าย: สูตรระบุวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ SLAE ดั้งเดิมหรืออีกนัยหนึ่งคือรับชุดค่าใด ๆ ของค่าคงที่ตามอำเภอใจ C 1, C 2, ... , C (n-r) โดยใช้สูตรที่เราจะ รับหนึ่งในวิธีแก้ปัญหาของ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกันดั้งเดิม

ดังนั้น หากเราพบระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา เราก็สามารถกำหนดคำตอบทั้งหมดของ SLAE เอกพันธ์นี้ได้เป็น

ให้เราแสดงกระบวนการสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาสำหรับ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกัน

เราเลือกฐานรองของระบบดั้งเดิมของสมการเชิงเส้น แยกสมการอื่นๆ ทั้งหมดออกจากระบบ และโอนพจน์ทั้งหมดที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระไปทางด้านขวามือของสมการของระบบที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม ลองให้ค่าตัวแปรที่ไม่รู้จักฟรีเป็น 1,0,0,...,0 และคำนวณค่าที่ไม่รู้จักหลักโดยการแก้ระบบประถมศึกษาที่เป็นผลลัพธ์ของสมการเชิงเส้นในทางใดทางหนึ่ง เช่น โดยใช้วิธี Cramer ซึ่งจะส่งผลให้ X (1) - คำตอบแรกของระบบพื้นฐาน หากเราให้ค่าที่ไม่รู้จักฟรีแก่ค่า 0,1,0,0,…,0 และคำนวณค่าที่ไม่รู้จักหลัก เราจะได้ X (2) และอื่นๆ หากเรากำหนดค่า 0.0,...,0.1 ให้กับตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระและคำนวณค่าที่ไม่รู้จักหลัก เราจะได้ X (n-r) . ด้วยวิธีนี้ ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาสำหรับ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกันจะถูกสร้างขึ้น และสามารถเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปได้ในรูปแบบ

สำหรับระบบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการพีชคณิตเชิงเส้น วิธีการแก้ปัญหาทั่วไปจะแสดงอยู่ในรูปแบบ โดยที่ คือคำตอบทั่วไปของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันที่สอดคล้องกัน และเป็นคำตอบเฉพาะของ SLAE ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันดั้งเดิม ซึ่งเราได้รับจากการให้ค่าที่ไม่ทราบค่าอิสระ ​0,0,…,0 และการคำนวณค่าของไม่ทราบหลัก

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

ค้นหาระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและคำตอบทั่วไปของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน .

สารละลาย.

อันดับของเมทริกซ์หลักของระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้นจะเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยายเสมอ เรามาค้นหาอันดับของเมทริกซ์หลักโดยใช้วิธีกำหนดขอบเขตรอง เนื่องจากไม่ใช่ศูนย์รองของลำดับแรก เราจะหาองค์ประกอบ 1 1 = 9 ของเมทริกซ์หลักของระบบ เรามาค้นหาขอบเขตรองที่ไม่ใช่ศูนย์ของลำดับที่สองกันดีกว่า:

พบลำดับรองรองซึ่งแตกต่างจากศูนย์ มาดูผู้เยาว์ลำดับที่สามที่อยู่ติดกับมันเพื่อค้นหาสิ่งที่ไม่ใช่ศูนย์:

ผู้เยาว์ที่มีขอบลำดับที่สามทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์หลักและเมทริกซ์ขยายจะเท่ากับสอง เอาล่ะ เพื่อความชัดเจน ให้เราสังเกตองค์ประกอบของระบบที่ประกอบขึ้นเป็น:

สมการที่สามของ SLAE ดั้งเดิมไม่ได้มีส่วนร่วมในการสร้างฐานรอง ดังนั้นจึงสามารถแยกออกได้:

เราทิ้งคำศัพท์ที่มีสิ่งที่ไม่รู้หลักไว้ทางด้านขวาของสมการ และโอนคำศัพท์ที่มีสิ่งที่ไม่รู้ฟรีไปทางด้านขวา:

ให้เราสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์ดั้งเดิม ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาของ SLAE นี้ประกอบด้วยสองวิธีแก้ปัญหา เนื่องจาก SLAE ดั้งเดิมมีตัวแปรที่ไม่รู้จักสี่ตัวแปร และลำดับของรองพื้นฐานจะเท่ากับสอง ในการค้นหา X (1) เราให้ค่าตัวแปรที่ไม่รู้จักฟรี x 2 = 1, x 4 = 0 จากนั้นเราจะค้นหาตัวแปรหลักจากระบบสมการ
.

สมการเชิงเส้น – สมการที่อยู่ในรูปแบบ a x = b โดยที่ x เป็นตัวแปร a และ b คือตัวเลขจำนวนหนึ่ง และ a ≠ 0

ตัวอย่างของสมการเชิงเส้น:

1. 3 x = 2

1. 2 7 x = − 5

สมการเชิงเส้นไม่เพียงถูกเรียกว่าสมการในรูปแบบ a x = b เท่านั้น แต่ยังรวมถึงสมการใด ๆ ที่ถูกลดขนาดลงเป็นรูปแบบนี้ด้วยความช่วยเหลือของการแปลงและลดความซับซ้อน

จะแก้สมการที่ลดรูปให้อยู่ในรูป a x = b ได้อย่างไร? แค่หารด้านซ้ายและด้านขวาของสมการด้วยค่า a ก็เพียงพอแล้ว เป็นผลให้เราได้คำตอบ: x = b a

จะทราบได้อย่างไรว่าสมการตามอำเภอใจนั้นเป็นเชิงเส้นหรือไม่? คุณต้องใส่ใจกับตัวแปรที่มีอยู่ในนั้น หากกำลังนำที่ตัวแปรยืนอยู่มีค่าเท่ากับ 1 สมการดังกล่าวก็จะเป็นสมการเชิงเส้น

เพื่อแก้สมการเชิงเส้น คุณต้องเปิดวงเล็บ (ถ้ามี) เลื่อนตัว "X" ไปทางซ้าย ตัวเลขไปทางขวา แล้วนำคำที่คล้ายกันมา ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการในรูปแบบ a x = b วิธีแก้สมการเชิงเส้นนี้คือ: x = b a

ตัวอย่างของการแก้สมการเชิงเส้น:

1. 2 x + 1 = 2 (x − 3) + 8

นี่คือสมการเชิงเส้นเนื่องจากตัวแปรเป็นกำลังแรก

ลองแปลงให้อยู่ในรูปแบบ a x = b:

ก่อนอื่นมาเปิดวงเล็บ:

2 x + 1 = 4 x − 6 + 8

พจน์ทั้งหมดที่มี x จะถูกโอนไปทางด้านซ้าย และตัวเลขทางด้านขวา:

2 x − 4 x = 2 − 1

ทีนี้ลองหารด้านซ้ายและด้านขวาด้วยตัวเลข (-2):

− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0.5

คำตอบ: x = − 0.5

1. x 2 − 1 = 0

สมการนี้ไม่ใช่สมการเชิงเส้นเพราะกำลังสูงสุดของตัวแปร x คือสอง

1. x (x + 3) - 8 = x - 1

สมการนี้มีลักษณะเชิงเส้นเมื่อมองแวบแรก แต่หลังจากเปิดวงเล็บ กำลังนำจะเท่ากับ 2:

x 2 + 3 x − 8 = x − 1

สมการนี้ไม่ใช่สมการเชิงเส้น

กรณีพิเศษ(ไม่พบพวกเขาในภารกิจที่ 4 ของ OGE แต่การรู้จักพวกเขาก็มีประโยชน์)

ตัวอย่าง:

1. 2 x - 4 = 2 (x − 2)

2 x - 4 = 2 x − 4

2 x − 2 x = − 4 + 4

แล้วเราจะหา x ตรงนี้ได้อย่างไรถ้ามันไม่มี?

หลังจากดำเนินการแปลงแล้ว เราได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง (เอกลักษณ์) ซึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปร x ไม่ว่าเราจะแทนค่า x ใด ๆ ลงในสมการดั้งเดิม ผลลัพธ์ที่ได้จะส่งผลให้เกิดความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง (ตัวตน) เสมอ หมายความว่า x อาจเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้ ลองเขียนคำตอบของสมการเชิงเส้นนี้ลงไป

1. คำตอบ: x ∈ (− ∞ ;  + ∞)

2 x - 4 = 2 (x − 8)

นี่คือสมการเชิงเส้น ลองเปิดวงเล็บ เลื่อน X ไปทางซ้าย และตัวเลขไปทางขวา:

2 x - 4 = 2 x − 16

2 x − 2 x = − 16 + 4

จากผลของการแปลง x ลดลง แต่ผลลัพธ์ที่ได้คือความเท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง เนื่องจาก ไม่ว่าเราจะแทนค่า x ลงในสมการเดิมเท่าใด ผลลัพธ์ก็จะเท่ากับค่าที่ไม่ถูกต้องเสมอไป ซึ่งหมายความว่าไม่มีค่า x ใดที่ความเท่าเทียมกันจะกลายเป็นจริง ลองเขียนคำตอบของสมการเชิงเส้นนี้ลงไป

คำตอบ: x ∈ ∅

สมการกำลังสอง สมการกำลังสอง

– สมการที่อยู่ในรูปแบบ a x 2 + b x + c = 0 โดยที่ x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง และ a ≠ 0

1. อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสอง:
2. เปิดวงเล็บ เลื่อนพจน์ทั้งหมดไปทางซ้ายเพื่อให้สมการอยู่ในรูปแบบ: a x 2 + b x + c = 0
3. เขียนว่าสัมประสิทธิ์เท่ากับจำนวนเท่าใด: a = … b = … c = …
4. คำนวณการแบ่งแยกโดยใช้สูตร: D = b 2 − 4 a c
5. ถ้า D = 0 จะมีหนึ่งรูตซึ่งพบได้จากสูตร: x = − b 2 a
6. ถ้า D< 0, решений нет: x ∈ ∅

ตัวอย่างของการแก้สมการกำลังสอง:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0

ก = - 1, b = 6, c = 7

D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ (− 1) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D > 0 – จะมีรากที่แตกต่างกันสองแบบ:

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ (− 1) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7

คำตอบ: x 1 = − 1, x 2 = 7

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0

ก = − 1, ข = 4, ค = − 4

D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ (− 1) ⋅ (− 4) = 16 − 16 = 0

D = 0 – จะมีหนึ่งรูท:

x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ (− 1) = − 4 − 2 = 2

คำตอบ: x = 2

1. 2 x 2 − 7 x + 10 = 0

a = 2, b = − 7, c = 10

D = b 2 − 4 a c = (− 7) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31

ดี< 0 – решений нет.

จากผลของการแปลง x ลดลง แต่ผลลัพธ์ที่ได้คือความเท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง เนื่องจาก ไม่ว่าเราจะแทนค่า x ลงในสมการเดิมเท่าใด ผลลัพธ์ก็จะเท่ากับค่าที่ไม่ถูกต้องเสมอไป ซึ่งหมายความว่าไม่มีค่า x ใดที่ความเท่าเทียมกันจะกลายเป็นจริง ลองเขียนคำตอบของสมการเชิงเส้นนี้ลงไป

นอกจากนี้ยังมี สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ (นี่คือสมการกำลังสองโดยที่ b = 0 หรือ c = 0 หรือ b = c = 0) ชมวิดีโอวิธีแก้สมการกำลังสองเหล่านี้!

แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง

สามารถแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสองได้ดังนี้

A x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2)

โดยที่ a คือตัวเลข ซึ่งเป็นค่าสัมประสิทธิ์ก่อนค่าสัมประสิทธิ์นำหน้า

x – ตัวแปร (เช่น ตัวอักษร)

x 1 และ x 2 คือตัวเลข รากของสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c = 0 ซึ่งหาได้จากการแบ่งแยก

หากสมการกำลังสองมีเพียงรากเดียว การขยายตัวจะมีลักษณะดังนี้:

a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 0) 2

ตัวอย่างของการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1,  x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = (− 1) ⋅ (x − (− 1)) (x − 7) = − (x + 1) (x − 7) = (x + 1) (7 − x)

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = (− 1) ⋅ (x − 2) 2 = − (x − 2) 2

หากตรีโกณมิติกำลังสองไม่สมบูรณ์ ((b = 0 หรือ c = 0) ก็สามารถแยกตัวประกอบได้ด้วยวิธีต่อไปนี้:

• ค = 0 ⇒ a x 2 + b x = x (a x + b)

• b = 0 ⇒ ใช้กับผลต่างของกำลังสอง

สมการตรรกยะเศษส่วน

ให้ f (x) และ g (x) เป็นฟังก์ชันบางอย่าง ขึ้นอยู่กับตัวแปร x

สมการตรรกยะเศษส่วน เป็นสมการที่อยู่ในรูปแบบ f (x) g (x) = 0

ในการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน เราต้องจำไว้ว่า ODZ คืออะไรและเกิดขึ้นเมื่อใด

โอดีซ– ช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร

ในนิพจน์เช่น f (x) g (x) = 0

ODZ: g (x) ≠ 0 (ตัวส่วนของเศษส่วนไม่สามารถเท่ากับศูนย์)

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน:

1. เขียน ODZ: g (x) ≠ 0
2. นำเศษของเศษส่วนมาเทียบกับศูนย์ f (x) = 0 แล้วหาราก

ตัวอย่างของการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน:

แก้สมการตรรกยะเศษส่วน x 2 − 4 2 − x = 1

สารละลาย:

เราจะดำเนินการตามอัลกอริทึม

1. ลดนิพจน์ให้อยู่ในรูปแบบ f (x) g (x) = 0

เราย้ายหน่วยไปทางซ้าย เขียนตัวประกอบเพิ่มเติมเข้าไปเพื่อนำทั้งสองเทอมมาหารด้วยตัวส่วนร่วมตัวเดียว:

x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0

x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0

x 2 − 4 − (2 − x) 2 − x = 0

x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0

x 2 + x − 6 2 - x = 0

ขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมเสร็จสมบูรณ์แล้ว

1. เขียน ODZ:

เราวางกรอบ ODZ อย่าลืม: x ≠ 2

1. เท่ากับตัวเศษของเศษส่วนให้เป็นศูนย์ f (x) = 0 และค้นหาราก:

x 2 + x − 6 = 0 – สมการกำลังสอง เราแก้ปัญหาด้วยการแยกแยะ

ก = 1, ข = 1, ค = − 6

D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 6) = 1 + 24 = 25

D > 0 – จะมีรากที่แตกต่างกันสองแบบ

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3

[ x 1 = 2 x 2 = - 3

1. ระบุรากจากตัวเศษในคำตอบของคุณ ไม่รวมรากที่อยู่ใน ODZ

รากที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้า:

[ x 1 = 2 x 2 = - 3

ซึ่งหมายความว่าคำตอบมีเพียงหนึ่งรากเท่านั้น x = − 3

คำตอบ: x = − 3

ระบบสมการ

ระบบสมการ เรียกสมการสองสมการที่มีไม่ทราบค่าสองตัว (โดยปกติแล้วไม่ทราบค่าจะแสดงแทน x และ y) ซึ่งรวมกันเป็นระบบทั่วไปด้วยเครื่องหมายปีกกา

ตัวอย่างระบบสมการ

( x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

แก้ระบบสมการ – หาคู่ของตัวเลข x และ y ซึ่งเมื่อแทนที่ในระบบสมการ จะทำให้เกิดความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริงในสมการทั้งสองของระบบ

มีสองวิธีในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น:

1. วิธีการทดแทน
2. วิธีการบวก

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีการทดแทน:

1. ค้นหาสิ่งที่เหลืออยู่ที่ไม่รู้จัก

ตัวอย่าง:

แก้ระบบสมการโดยใช้วิธีทดแทน

( x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

สารละลาย:

1. แสดงตัวแปรหนึ่งในรูปของอีกตัวแปรหนึ่งจากสมการใดๆ

( x = 8 − 2 ปี 3 x − y = − 4

1. แทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการอื่นแทนตัวแปรที่แสดง

( x = 8 − 2 ปี 3 x − y = − 4

( x = 8 − 2 ปี 3 (8 − 2 ปี) − y = − 4

1. แก้สมการด้วยอันที่ไม่รู้จัก

3 (8 − 2 ปี) − y = − 4

24 − 6 ปี - y = − 4

− 7 ปี = − 4 − 24

− 7 ปี = − 28

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

1. ค้นหาสิ่งที่เหลืออยู่ที่ไม่รู้จัก

x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0

คำตอบสามารถเขียนได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งจากสามวิธี:

1. x = 0, y = 4
2. ( x = 0 ปี = 4
3. (0 ;   4)

การแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีบวก

วิธีการบวกจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติต่อไปนี้:

(ก + ค) = (ข + ง)

แนวคิดเบื้องหลังวิธีการบวกคือการกำจัดตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งออกไปโดยการบวกสมการเข้าด้วยกัน

ตัวอย่าง:

แก้ระบบสมการโดยใช้วิธีการบวก

( x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

ลองกำจัดตัวแปร x ในตัวอย่างนี้ออกไป สาระสำคัญของวิธีนี้คือการมีค่าสัมประสิทธิ์ตรงกันข้ามหน้าตัวแปร x ในสมการที่หนึ่งและสอง ในสมการที่สอง x นำหน้าด้วยสัมประสิทธิ์ 3 เพื่อให้วิธีการบวกทำงานได้ ตัวแปร x ต้องมีสัมประสิทธิ์ (- 3) อยู่ข้างหน้า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณด้านซ้ายและด้านขวาของสมการแรกด้วย (- 3)

แก้ระบบสมการ- นี่หมายถึงการหาคำตอบทั่วไปสำหรับสมการทั้งหมดของระบบหรือทำให้แน่ใจว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ในการแก้ระบบสมการ คุณต้องกำจัดสมการหนึ่งที่ไม่ทราบ นั่นคือจากสมการสองสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว ให้สร้างสมการหนึ่งโดยที่ไม่ทราบค่าหนึ่ง มีสามวิธีในการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จัก: การแทนที่ การเปรียบเทียบ การบวก หรือการลบ

วิธีการทดแทน

ในการแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีการทดแทน คุณจะต้องแสดงสมการที่ไม่รู้จักในสมการหนึ่งผ่านอีกสมการหนึ่งและแทนที่ผลลัพธ์เป็นอีกสมการหนึ่ง ซึ่งจะมีสมการที่ไม่รู้จักเพียงสมการเดียวเท่านั้น จากนั้นเราจะหาค่าของค่าที่ไม่ทราบนี้และแทนที่มันลงในสมการแรก หลังจากนั้นเราจะหาค่าของค่าที่ไม่ทราบค่าที่สอง

ลองพิจารณาแก้ระบบสมการ:

เราแก้สมการผลลัพธ์เพื่อค้นหาสิ่งที่เท่ากับ ย- คุณสามารถดูวิธีการแก้สมการที่ไม่รู้จักได้ในหัวข้อที่เกี่ยวข้อง

3(2 + 4ย) - 2ย = 16

6 + 12ย - 2ย = 16

6 + 10ย = 16

10ย = 16 - 6

10ย = 10

ย = 10: 10

ย = 1

เราได้พิจารณาแล้วว่า ย= 1. ทีนี้ เพื่อค้นหาค่าตัวเลข x, แทนค่า ยลงในสมการแรกที่แปลงแล้ว ซึ่งก่อนหน้านี้เราพบแล้วว่านิพจน์ใดจะเท่ากับ x:

x = 2 + 4ย= 2 + 4 1 = 2 + 4 = 6

คำตอบ: x = 6, ย = 1.

วิธีการเปรียบเทียบ

วิธีการเปรียบเทียบเป็นกรณีพิเศษของการทดแทน ในการแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีเปรียบเทียบ คุณจำเป็นต้องค้นหาสมการทั้งสองว่านิพจน์ที่ไม่รู้จักเหมือนกันจะเท่ากับและนำนิพจน์ผลลัพธ์มาเทียบกัน สมการผลลัพธ์ช่วยให้คุณค้นหาค่าของค่าที่ไม่รู้จัก เมื่อใช้ค่านี้ ค่าของค่าที่ไม่รู้จักอันที่สองจะถูกคำนวณ

ตัวอย่างเช่น วิธีแก้ปัญหาของระบบ:

เราเขียนสมการจากนิพจน์ที่ได้รับ:

2 - x = 32 - 6x 2 - x + 6x = 32 - 2 5x = 30 x = 30: 5 x = 6

ตอนนี้เราแทนค่าแล้ว xเข้าไปในสมการแรกหรือสมการที่สองของระบบแล้วหาค่า ย:

คำตอบ: x = 6, ย = 1.

วิธีการบวกหรือการลบ

ในการแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีการบวก คุณต้องสร้างสมการหนึ่งจากสองสมการโดยการเพิ่มด้านซ้ายและด้านขวา ในขณะที่ค่าไม่ทราบค่าตัวใดค่าหนึ่งจะต้องแยกออกจากสมการผลลัพธ์ สิ่งที่ไม่ทราบสามารถกำจัดได้โดยการปรับค่าสัมประสิทธิ์ในทั้งสองสมการให้เท่ากัน

พิจารณาระบบ:

ตอนนี้เราเพิ่มทั้งสองสมการทีละส่วนเพื่อให้ได้สมการที่ไม่ทราบค่า:

ตอนนี้ลบสมการที่สองจากสมการแรกทีละส่วนเพื่อให้ได้สมการที่ไม่ทราบค่า:

คำตอบ: x = 6, ย = 1.

ในการแก้ระบบสมการที่กล่าวถึงข้างต้น ใช้วิธีการบวกซึ่งอิงตามคุณสมบัติต่อไปนี้:

สมการใดๆ ของระบบสามารถถูกแทนที่ด้วยสมการที่ได้รับโดยการบวก (หรือลบ) สมการที่อยู่ในระบบ สิ่งนี้ทำให้เกิดระบบสมการที่มีคำตอบเหมือนกับระบบสมการดั้งเดิม