บทความนี้ยังคงพูดถึงสมการของเส้นตรงบนระนาบ: เราจะถือว่าสมการประเภทนี้เป็นสมการทั่วไปของเส้น ให้เรานิยามทฤษฎีบทและพิสูจน์มัน เรามาดูกันว่าสมการทั่วไปของเส้นตรงที่ไม่สมบูรณ์คืออะไร และจะเปลี่ยนจากสมการทั่วไปไปเป็นสมการเส้นประเภทอื่นได้อย่างไร เราจะเสริมกำลังทฤษฎีทั้งหมดด้วยภาพประกอบและวิธีแก้ไขปัญหาเชิงปฏิบัติ
ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1
ให้ระบุระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y บนระนาบ
ทฤษฎีบท 1
สมการของดีกรี 1 ใดๆ ซึ่งมีรูปแบบ A x + B y + C = 0 โดยที่ A, B, C เป็นจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง (A และ B ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน) ให้นิยามเส้นตรงใน ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนเครื่องบิน ในทางกลับกัน เส้นตรงใด ๆ ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบจะถูกกำหนดโดยสมการที่มีรูปแบบ A x + B y + C = 0 สำหรับชุดค่า A, B, C จำนวนหนึ่ง
การพิสูจน์
ทฤษฎีบทนี้ประกอบด้วยสองประเด็น เราจะพิสูจน์แต่ละข้อ
ให้มีจุดหนึ่ง M 0 (x 0 , y 0) ซึ่งพิกัดสอดคล้องกับสมการ A x + B y + C = 0 ดังนั้น: A x 0 + B y 0 + C = 0 ลบออกจากด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ A x + B y + C = 0 ด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ A x 0 + B y 0 + C = 0 เราได้สมการใหม่ที่ดูเหมือน A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . มันเทียบเท่ากับ A x + B y + C = 0
จำเป็นต้องมีสมการผลลัพธ์ A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 และ สภาพที่เพียงพอความตั้งฉากของเวกเตอร์ n → = (A, B) และ M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) ดังนั้น เซตของจุด M (x, y) จะกำหนดเส้นตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่ตั้งฉากกับทิศทางของเวกเตอร์ n → = (A, B) เราสามารถสรุปได้ว่าไม่เป็นเช่นนั้น แต่เวกเตอร์ n → = (A, B) และ M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) จะไม่ตั้งฉาก และความเท่าเทียมกัน A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 จะไม่เป็นจริง
ดังนั้น สมการ A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 กำหนดเส้นตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบ ดังนั้นสมการที่เทียบเท่า A x + B y + C = 0 จึงกำหนด เส้นเดียวกัน นี่คือวิธีที่เราพิสูจน์ส่วนแรกของทฤษฎีบท
ขอให้เรากำหนดเส้นตรง a ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบ จุด M 0 (x 0 , y 0) ที่เส้นนี้ผ่าน เช่นเดียวกับเวกเตอร์ปกติของเส้นนี้ n → = (A, B) .
ให้มีจุด M (x, y) เป็นจุดลอยตัวบนเส้นตรงด้วย ในกรณีนี้ เวกเตอร์ n → = (A, B) และ M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) ตั้งฉากกัน และผลคูณสเกลาร์ของพวกมันคือศูนย์:
n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0
มาเขียนสมการใหม่ A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, กำหนด C: C = - A x 0 - B y 0 และด้วยผลลัพธ์สุดท้ายเราจะได้สมการ A x + B y + C = 0.
เราได้พิสูจน์ส่วนที่สองของทฤษฎีบทแล้ว และเราได้พิสูจน์ทฤษฎีบททั้งหมดโดยรวมแล้ว
คำจำกัดความ 1
สมการของแบบฟอร์ม A x + B y + C = 0 - นี้ สมการทั่วไปของเส้นตรงบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมอ็อกซี่.
จากทฤษฎีบทที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว เราสามารถสรุปได้ว่าเส้นตรงและสมการทั่วไปที่กำหนดบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคงที่นั้นเชื่อมโยงกันอย่างแยกไม่ออก กล่าวอีกนัยหนึ่ง เส้นเดิมสอดคล้องกับสมการทั่วไป สมการทั่วไปของเส้นตรงสอดคล้องกับเส้นที่กำหนด
จากการพิสูจน์ทฤษฎีบทยังตามมาด้วยว่าสัมประสิทธิ์ A และ B สำหรับตัวแปร x และ y คือพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรง ซึ่งกำหนดโดยสมการทั่วไปของเส้น A x + B y + C = 0.
ลองพิจารณาดู ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมสมการทั่วไปของเส้นตรง
ให้สมการ 2 x + 3 y - 2 = 0 ซึ่งสอดคล้องกับเส้นตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด เวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นนี้คือเวกเตอร์ n → = (2 , 3) . ลองวาดเส้นตรงที่กำหนดในภาพวาด
นอกจากนี้เรายังสามารถระบุสิ่งต่อไปนี้: เส้นตรงที่เราเห็นในภาพวาดถูกกำหนดโดยสมการทั่วไป 2 x + 3 y - 2 = 0 เนื่องจากพิกัดของจุดทั้งหมดบนเส้นตรงที่กำหนดสอดคล้องกับสมการนี้
เราสามารถหาสมการ แล · · A x + แล · B y + แล · C = 0 ได้โดยการคูณทั้งสองข้างของสมการทั่วไปของเส้นด้วยตัวเลข แลม ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์ สมการที่ได้จะเทียบเท่ากับสมการทั่วไปดั้งเดิม ดังนั้น มันจะอธิบายเส้นตรงเส้นเดียวกันบนระนาบ
คำจำกัดความ 2แก้สมการทั่วไปของเส้นตรง– เช่นสมการทั่วไปของเส้นตรง A x + B y + C = 0 ซึ่งตัวเลข A, B, C แตกต่างจากศูนย์ มิฉะนั้นสมการจะเป็น ไม่สมบูรณ์.
ให้เราวิเคราะห์ความแปรผันทั้งหมดของสมการทั่วไปของเส้นตรงที่ไม่สมบูรณ์
ขอให้เราแสดงสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ของเส้นตรงทุกประเภทข้างต้นเป็นกราฟิก
ตัวอย่างที่ 1
เป็นที่ทราบกันว่าเส้นตรงที่กำหนดนั้นขนานกับแกนกำหนดและผ่านจุด 2 7, - 11 จำเป็นต้องเขียนสมการทั่วไปของเส้นที่กำหนด
สารละลาย
เส้นตรงขนานกับแกนพิกัดกำหนดโดยสมการในรูปแบบ A x + C = 0 โดยที่ A ≠ 0 เงื่อนไขยังระบุพิกัดของจุดที่เส้นผ่านและพิกัดของจุดนี้ตรงตามเงื่อนไขของสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ A x + C = 0 เช่น ความเท่าเทียมกันเป็นจริง:
ก 2 7 + ค = 0
จากนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะกำหนด C หากเราให้ค่า A ที่ไม่ใช่ศูนย์ เช่น A = 7 ในกรณีนี้ เราได้: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2 เรารู้ทั้งค่าสัมประสิทธิ์ A และ C แทนที่พวกมันลงในสมการ A x + C = 0 และรับสมการเส้นตรงที่ต้องการ: 7 x - 2 = 0
คำตอบ: 7 x - 2 = 0
ตัวอย่างที่ 2
ภาพวาดแสดงเส้นตรง คุณต้องเขียนสมการของมัน
สารละลาย
ภาพวาดที่กำหนดช่วยให้เรานำข้อมูลเริ่มต้นมาแก้ไขปัญหาได้อย่างง่ายดาย เราเห็นในภาพวาดว่าเส้นตรงที่กำหนดนั้นขนานกับแกน O x และผ่านจุด (0, 3)
เส้นตรงซึ่งขนานกับเส้น Abscissa ถูกกำหนดโดยสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ B y + C = 0 มาหาค่าของ B และ C กัน พิกัดของจุด (0, 3) เนื่องจากเส้นที่กำหนดผ่านไปจะเป็นไปตามสมการของเส้น B y + C = 0 ดังนั้นความเท่าเทียมกันจึงถูกต้อง: B · 3 + C = 0 ลองตั้งค่า B ให้เป็นค่าอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ สมมติว่า B = 1 ซึ่งในกรณีนี้จากความเท่าเทียมกัน B · 3 + C = 0 เราสามารถหา C: C = - 3 เราใช้ ค่านิยมที่ทราบ B และ C เราได้สมการที่ต้องการของเส้นตรง: y - 3 = 0
คำตอบ: y - 3 = 0 .
ปล่อยให้เส้นที่กำหนดผ่านจุด M 0 (x 0 , y 0) จากนั้นพิกัดของมันสอดคล้องกับสมการทั่วไปของเส้นนั่นคือ ความเท่าเทียมกันเป็นจริง: A x 0 + B y 0 + C = 0 ให้เราลบด้านซ้ายและด้านขวาของสมการนี้ออกจากด้านซ้ายและด้านขวาของสมการทั่วไปของเส้นตรง เราได้รับ: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0 สมการนี้เทียบเท่ากับสมการทั่วไปดั้งเดิมผ่านจุด M 0 (x 0, y 0) และมีค่าปกติ เวกเตอร์ n → = (A, B) .
ผลลัพธ์ที่เราได้รับทำให้สามารถเขียนสมการทั่วไปของเส้นตรงได้ พิกัดที่ทราบเวกเตอร์ปกติของเส้นและพิกัดของจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นนี้
ตัวอย่างที่ 3
กำหนดจุด M 0 (- 3, 4) ที่เส้นผ่าน และเวกเตอร์ปกติของเส้นนี้ n → = (1 , - 2) . จำเป็นต้องเขียนสมการของเส้นที่กำหนด
สารละลาย
เงื่อนไขเริ่มต้นทำให้เราได้รับข้อมูลที่จำเป็นในการรวบรวมสมการ: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4 แล้ว:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0
ปัญหาสามารถแก้ไขได้แตกต่างออกไป สมการทั่วไปของเส้นตรงคือ A x + B y + C = 0 เวกเตอร์ปกติที่กำหนดช่วยให้เราได้รับค่าสัมประสิทธิ์ A และ B จากนั้น:
A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0
ตอนนี้เรามาหาค่าของ C โดยใช้จุด M 0 (- 3, 4) ที่ระบุโดยเงื่อนไขของปัญหาซึ่งเป็นเส้นตรงที่ผ่านไป พิกัดของจุดนี้สอดคล้องกับสมการ x - 2 · y + C = 0 เช่น - 3 - 2 4 + C = 0. ดังนั้น C = 11 สมการเส้นตรงที่ต้องการจะอยู่ในรูปแบบ: x - 2 · y + 11 = 0
คำตอบ: x - 2 ปี + 11 = 0 .
ตัวอย่างที่ 4
ให้เส้นตรง 2 3 x - y - 1 2 = 0 และจุด M 0 นอนอยู่บนเส้นนี้ ทราบเฉพาะค่าแอบซิสซาของจุดนี้เท่านั้น และมีค่าเท่ากับ - 3 จำเป็นต้องกำหนดพิกัดของจุดที่กำหนด
สารละลาย
ให้เรากำหนดพิกัดของจุด M 0 เป็น x 0 และ y 0 . ข้อมูลต้นฉบับระบุว่า x 0 = - 3 เนื่องจากจุดเป็นของเส้นที่กำหนด พิกัดจึงสอดคล้องกับสมการทั่วไปของเส้นนี้ จากนั้นความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:
2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0
กำหนด y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2
คำตอบ: - 5 2
ดังที่เราทราบ มีสมการหลายประเภทสำหรับเส้นตรงเส้นเดียวกันบนระนาบ การเลือกประเภทของสมการขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของปัญหา คุณสามารถเลือกอันที่สะดวกกว่าในการแก้ไขได้ ทักษะในการแปลงสมการประเภทหนึ่งเป็นสมการประเภทอื่นมีประโยชน์มากที่นี่
อันดับแรก ลองพิจารณาการเปลี่ยนจากสมการทั่วไปในรูปแบบ A x + B y + C = 0 ไปเป็นสมการมาตรฐาน x - x 1 a x = y - y 1 a y
ถ้า A ≠ 0 เราจะโอนเทอม B y ไปที่ ด้านขวาสมการทั่วไป ทางด้านซ้ายเรานำ A ออกจากวงเล็บ ผลลัพธ์ที่ได้คือ: A x + C A = - B y
ความเท่าเทียมกันนี้สามารถเขียนเป็นสัดส่วน: x + C A - B = y A
ถ้า B ≠ 0 เราจะเหลือเพียงพจน์ A x ทางด้านซ้ายของสมการทั่วไป แล้วย้ายที่เหลือไปทางด้านขวา เราจะได้: A x = - B y - C เราเอา – B ออกจากวงเล็บแล้ว: A x = - B y + C B .
ลองเขียนความเท่าเทียมกันใหม่ในรูปแบบของสัดส่วน: x - B = y + C B A
แน่นอนว่าไม่จำเป็นต้องจำสูตรผลลัพธ์ การรู้อัลกอริธึมของการกระทำก็เพียงพอแล้วเมื่อย้ายจากสมการทั่วไปไปเป็นสมการมาตรฐาน
ตัวอย่างที่ 5
จะได้สมการทั่วไปของเส้นตรง 3 y - 4 = 0 มีความจำเป็นต้องแปลงให้เป็นสมการทางบัญญัติ
สารละลาย
ลองเขียนสมการดั้งเดิมเป็น 3 y - 4 = 0 ต่อไปเราดำเนินการตามอัลกอริทึม: คำว่า 0 x ยังคงอยู่ทางด้านซ้าย และทางด้านขวาเราใส่ - 3 ออกจากวงเล็บ เราได้รับ: 0 x = - 3 ปี - 4 3 .
ลองเขียนผลลัพธ์ความเท่าเทียมกันเป็นสัดส่วน: x - 3 = y - 4 3 0 . ดังนั้นเราจึงได้สมการของรูปแบบบัญญัติ
คำตอบ: x - 3 = y - 4 3 0.
ในการแปลงสมการทั่วไปของเส้นให้เป็นพาราเมตริก ขั้นแรกให้ทำการเปลี่ยนเป็นรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นจึงเปลี่ยนจากสมการมาตรฐานของเส้นไปเป็นสมการพาราเมตริก
ตัวอย่างที่ 6
เส้นตรงได้มาจากสมการ 2 x - 5 y - 1 = 0 เขียนสมการพาราเมตริกของเส้นนี้
สารละลาย
ให้เราเปลี่ยนจากสมการทั่วไปไปเป็นสมการมาตรฐาน:
2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2
ตอนนี้เราหาสมการทางบัญญัติผลลัพธ์ทั้งสองด้านเท่ากับ แล จากนั้น:
x 5 = แลมบ์ y + 1 5 2 = แลมบ์ ⇔ x = 5 แลมบ์ y = - 1 5 + 2 แลมบ์ , แลมบ์ ∈ R
คำตอบ:x = 5 แลมบ์ y = - 1 5 + 2 แลมบ์ , แลมบ์ ∈ R
สมการทั่วไปสามารถแปลงเป็นสมการของเส้นตรงที่มีความชัน y = k · x + b ได้ แต่เฉพาะเมื่อ B ≠ 0 เท่านั้น สำหรับการเปลี่ยนผ่าน เราจะปล่อยคำว่า B y ไว้ทางด้านซ้าย ส่วนที่เหลือจะถูกโอนไปทางขวา เราได้รับ: B y = - A x - C . ลองหารทั้งสองข้างของผลลัพธ์ที่เท่ากันด้วย B ซึ่งต่างจากศูนย์: y = - A B x - C B
ตัวอย่างที่ 7
จะได้สมการทั่วไปของเส้นตรง: 2 x + 7 y = 0 คุณต้องแปลงสมการนั้นเป็นสมการความชัน
สารละลาย
มาดำเนินการที่จำเป็นตามอัลกอริทึม:
2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x
คำตอบ:ย = - 2 7 x .
จากสมการทั่วไปของเส้นตรง แค่ได้สมการในส่วนของรูปแบบ x a + y b = 1 ก็เพียงพอแล้ว ในการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว เราย้ายตัวเลข C ไปทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน หารทั้งสองด้านของผลลัพธ์ที่เท่ากันด้วย – C และสุดท้าย โอนสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปร x และ y ไปยังตัวส่วน:
A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1
ตัวอย่างที่ 8
จำเป็นต้องแปลงสมการทั่วไปของเส้น x - 7 y + 1 2 = 0 เป็นสมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ
สารละลาย
ลองย้าย 1 2 ไปทางด้านขวา: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .
ลองหารทั้งสองข้างของความเท่ากันด้วย -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1
คำตอบ: x - 1 2 + ปี 1 14 = 1 .
โดยทั่วไปแล้ว การเปลี่ยนกลับด้านก็ทำได้ง่ายเช่นกัน: จากสมการประเภทอื่นไปเป็นสมการทั่วไป
สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ และสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมสามารถแปลงเป็นสมการทั่วไปได้ง่ายๆ เพียงรวบรวมพจน์ทั้งหมดทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน:
x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
สมการทางบัญญัติจะถูกแปลงเป็นสมการทั่วไปตามรูปแบบต่อไปนี้:
x - x 1 a x = y - y 1 ay x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
หากต้องการย้ายจากพารามิเตอร์พาราเมตริก ขั้นแรกให้ย้ายไปที่ Canonical แล้วจึงไปที่ทั่วไป:
x = x 1 + a x · แลมบ์ y = y 1 + a y · แลมบ์ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 ay ⇔ A x + B y + C = 0
ตัวอย่างที่ 9
จะได้สมการพาราเมตริกของเส้นตรง x = - 1 + 2 · แลมบ์ y = 4 จำเป็นต้องเขียนสมการทั่วไปของเส้นนี้
สารละลาย
ให้เราเปลี่ยนจากสมการพาราเมตริกไปเป็นสมการบัญญัติ:
x = - 1 + 2 · แลมบ์ด = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · แลมบ์ = 4 + 0 · แลมบ์ ⇔ แลมบ์ดา = x + 1 2 แลมบ์ = ย - 4 0 ⇔ x + 1 2 = ย - 4 0
เรามาเปลี่ยนจาก Canonical ไปเป็น General:
x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0
คำตอบ: y - 4 = 0
ตัวอย่างที่ 10
จะได้สมการของเส้นตรงในส่วน x 3 + y 1 2 = 1 มีความจำเป็นต้องทำการเปลี่ยนผ่านเป็น ลักษณะทั่วไปสมการ
สารละลาย:
เราเพียงแค่เขียนสมการใหม่ในรูปแบบที่ต้องการ:
x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0
คำตอบ: 1 3 x + 2 ปี - 1 = 0 .
เราได้กล่าวไว้ข้างต้นว่าสมการทั่วไปสามารถเขียนได้ด้วยพิกัดที่ทราบของเวกเตอร์ปกติและพิกัดของจุดที่เส้นผ่าน เส้นตรงดังกล่าวถูกกำหนดโดยสมการ A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 เรายังวิเคราะห์ตัวอย่างที่เกี่ยวข้องอีกด้วย
ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น ซึ่งก่อนอื่นเราต้องกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ปกติก่อน
ตัวอย่างที่ 11
ให้เส้นขนานกับเส้น 2 x - 3 y + 3 3 = 0 จุด M 0 (4, 1) เป็นที่รู้กันว่าเส้นที่กำหนดผ่าน จำเป็นต้องเขียนสมการของเส้นที่กำหนด
สารละลาย
เงื่อนไขเริ่มต้นบอกเราว่าเส้นตรงขนานกัน จากนั้นเวกเตอร์ปกติของเส้นตรงที่ต้องเขียนสมการนั้น เราจะหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง n → = (2, - 3): 2 x - 3 ปี + 3 3 = 0. ตอนนี้เรารู้ข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดแล้วในการสร้างสมการทั่วไปของเส้นตรง:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0
คำตอบ: 2 x - 3 ปี - 5 = 0 .
ตัวอย่างที่ 12
เส้นที่กำหนดจะลากผ่านจุดกำเนิดตั้งฉากกับเส้น x - 2 3 = y + 4 5 จำเป็นต้องสร้างสมการทั่วไปสำหรับเส้นที่กำหนด
สารละลาย
เวกเตอร์ปกติของเส้นตรงที่กำหนดจะเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง x - 2 3 = y + 4 5
จากนั้น n → = (3, 5) . เส้นตรงผ่านจุดกำเนิดเช่น ผ่านจุด O (0, 0) มาสร้างสมการทั่วไปสำหรับเส้นที่กำหนด:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0
คำตอบ: 3 x + 5 ปี = 0 .
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
สมการมาตรฐานของเส้นในปริภูมิคือสมการที่กำหนดเส้นที่ผ่าน จุดนี้เส้นตรงกับเวกเตอร์ทิศทาง
ให้จุดและเวกเตอร์ทิศทางถูกกำหนดไว้ จุดใดจุดหนึ่งอยู่บนเส้น ลเฉพาะในกรณีที่เวกเตอร์และเป็นเส้นตรง กล่าวคือ เป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับพวกมัน:
.
สมการข้างต้นเป็นสมการมาตรฐานของเส้นตรง
ตัวเลข ม , nและ พีคือเส้นโครงของเวกเตอร์ทิศทางไปยังแกนพิกัด เนื่องจากเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ จึงเป็นตัวเลขทั้งหมด ม , nและ พีไม่สามารถเท่ากับศูนย์พร้อมกันได้ แต่หนึ่งหรือสองคนอาจกลายเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น ในเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ อนุญาตให้ใช้รายการต่อไปนี้:
,
ซึ่งหมายความว่าเส้นโครงของเวกเตอร์บนแกน เฮ้ยและ ออนซ์มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นทั้งเวกเตอร์และเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการบัญญัติจึงตั้งฉากกับแกน เฮ้ยและ ออนซ์เช่น เครื่องบิน คุณออซ .
ตัวอย่างที่ 1เขียนสมการของเส้นตรงในอวกาศที่ตั้งฉากกับระนาบ และผ่านจุดตัดของระนาบนี้กับแกน ออนซ์ .
สารละลาย. ลองหาจุดตัดของระนาบนี้กับแกนกัน ออนซ์- เนื่องจากจุดใดๆ ที่วางอยู่บนแกน ออนซ์มีพิกัด แล้วสมมติในสมการที่กำหนดของระนาบ x = ย = 0 เราได้ 4 z- 8 = 0 หรือ z= 2 . ดังนั้นจุดตัดของระนาบนี้กับแกน ออนซ์มีพิกัด (0; 0; 2) . เนื่องจากเส้นที่ต้องการตั้งฉากกับระนาบ จึงขนานกับเวกเตอร์ปกติ ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงจึงสามารถเป็นเวกเตอร์ปกติได้ เครื่องบินที่ได้รับ
ทีนี้มาเขียนสมการที่ต้องการของเส้นตรงที่ผ่านจุดหนึ่งกัน ก= (0; 0; 2) ในทิศทางของเวกเตอร์:
เส้นตรงสามารถกำหนดได้ด้วยจุดสองจุดที่วางอยู่บนเส้นนั้น และ ในกรณีนี้ เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงสามารถเป็นเวกเตอร์ได้ จากนั้นสมการมาตรฐานของเส้นตรงจะเกิดขึ้น
.
สมการข้างต้นกำหนดเส้นที่ผ่านสอง คะแนนที่ได้รับ.
ตัวอย่างที่ 2เขียนสมการของเส้นในปริภูมิที่ผ่านจุด และ
สารละลาย. ให้เราเขียนสมการเส้นตรงที่ต้องการในรูปแบบที่ให้ไว้ข้างต้นในการอ้างอิงทางทฤษฎี:
.
เนื่องจาก ดังนั้นเส้นตรงที่ต้องการจึงตั้งฉากกับแกน เฮ้ย .
เส้นตรงในอวกาศสามารถนิยามได้ว่าเป็นเส้นตัดกันของระนาบที่ไม่ขนานกัน 2 ระนาบ และนั่นคือ เซตของจุดที่เป็นไปตามระบบสมการเชิงเส้น 2 สมการ
สมการของระบบเรียกอีกอย่างว่าสมการทั่วไปของเส้นตรงในอวกาศ
ตัวอย่างที่ 3เขียนสมการมาตรฐานของเส้นตรงในปริภูมิที่กำหนดโดยสมการทั่วไป
สารละลาย. ในการเขียนสมการบัญญัติของเส้นตรงหรือสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด คุณจะต้องค้นหาพิกัดของจุดสองจุดใดๆ บนเส้นตรง พวกเขาสามารถเป็นจุดตัดกันของเส้นตรงกับระนาบพิกัดสองระนาบใดก็ได้ คุณออซและ xออซ .
จุดตัดของเส้นตรงและระนาบ คุณออซมีแอบซิสซา x= 0 . ดังนั้นหากสมมุติในระบบสมการนี้ x= 0 เราจะได้ระบบที่มีตัวแปรสองตัว:
การตัดสินใจของเธอ ย = 2 , z= 6 ร่วมกับ x= 0 กำหนดจุด ก(0; 2; 6) เส้นที่ต้องการ แล้วสมมติในระบบสมการที่กำหนด ย= 0 เราได้ระบบ
การตัดสินใจของเธอ x = -2 , z= 0 ร่วมกับ ย= 0 กำหนดจุด บี(-2; 0; 0) จุดตัดของเส้นตรงกับระนาบ xออซ .
ทีนี้ลองเขียนสมการของเส้นที่ผ่านจุดต่างๆ กัน ก(0; 2; 6) และ บี (-2; 0; 0) :
,
หรือหลังจากหารตัวส่วนด้วย -2:
,
1. สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด ก(x 1 , ย 1) ในทิศทางที่กำหนดซึ่งกำหนดโดยความชัน เค,
ย - ย 1 = เค(x - x 1). (1)
สมการนี้กำหนดเส้นดินสอที่ลากผ่านจุดหนึ่ง ก(x 1 , ย 1) ซึ่งเรียกว่าศูนย์กลางลำแสง
2. สมการของเส้นที่ผ่านจุดสองจุด: ก(x 1 , ย 1) และ บี(x 2 , ย 2) เขียนดังนี้:
ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุดถูกกำหนดโดยสูตร
3. มุมระหว่างเส้นตรง กและ บีคือมุมที่ต้องหมุนเส้นตรงเส้นแรก กบริเวณจุดตัดของเส้นเหล่านี้ทวนเข็มนาฬิกาจนตรงกับเส้นที่สอง บี- ถ้าเส้นตรงสองเส้นถูกกำหนดโดยสมการที่มีความชัน
ย = เค 1 x + บี 1 ,
บทเรียนจากชุด “อัลกอริทึมทางเรขาคณิต”
สวัสดีผู้อ่านที่รัก!
วันนี้เราจะมาเริ่มเรียนรู้อัลกอริธึมที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิต ความจริงก็คือมีปัญหาโอลิมปิกในวิทยาการคอมพิวเตอร์ค่อนข้างมากที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตเชิงคำนวณและการแก้ปัญหาดังกล่าวมักจะทำให้เกิดปัญหา
ตลอดบทเรียนหลายบท เราจะพิจารณางานย่อยเบื้องต้นจำนวนหนึ่งซึ่งเป็นพื้นฐานของการแก้ปัญหาส่วนใหญ่ในเรขาคณิตเชิงคำนวณ
ในบทเรียนนี้เราจะสร้างโปรแกรมสำหรับ การหาสมการของเส้นตรงผ่านมาให้ สองจุด- ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต เราจำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงคำนวณบ้าง เราจะอุทิศส่วนหนึ่งของบทเรียนเพื่อทำความรู้จักกับพวกเขา
เรขาคณิตเชิงคำนวณเป็นสาขาหนึ่งของวิทยาการคอมพิวเตอร์ที่ศึกษาอัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต
ข้อมูลเริ่มต้นสำหรับปัญหาดังกล่าวอาจเป็นชุดของจุดบนระนาบ ชุดของส่วน รูปหลายเหลี่ยม (ระบุตามรายการจุดยอดตามลำดับตามเข็มนาฬิกา) เป็นต้น
ผลลัพธ์อาจเป็นคำตอบสำหรับคำถามบางข้อ (เช่น จุดหนึ่งเป็นของเซ็กเมนต์หรือไม่ มี 2 ส่วนตัดกัน ...) หรือวัตถุทางเรขาคณิตบางอย่าง (เช่น รูปหลายเหลี่ยมนูนที่เล็กที่สุดที่เชื่อมต่อจุดที่กำหนด พื้นที่ของ รูปหลายเหลี่ยม ฯลฯ)
เราจะพิจารณาปัญหาของเรขาคณิตเชิงคำนวณเฉพาะบนระนาบและในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเท่านั้น
เวกเตอร์และพิกัด
ในการใช้วิธีการคำนวณเรขาคณิต จำเป็นต้องแปลภาพเรขาคณิตเป็นภาษาของตัวเลข เราจะสมมติว่าเครื่องบินมีระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ซึ่งทิศทางการหมุนทวนเข็มนาฬิกาเรียกว่าค่าบวก
ตอนนี้วัตถุทางเรขาคณิตได้รับการแสดงออกเชิงวิเคราะห์ ดังนั้นเพื่อระบุจุดก็เพียงพอที่จะระบุพิกัดของมัน: คู่ของตัวเลข (x; y) ส่วนสามารถระบุได้โดยการระบุพิกัดของจุดสิ้นสุด สามารถระบุเส้นตรงได้โดยระบุพิกัดของคู่ของจุด
แต่เครื่องมือหลักของเราในการแก้ปัญหาคือเวกเตอร์ ฉันจึงขอจำข้อมูลบางอย่างเกี่ยวกับพวกเขา
เซ็กเมนต์ เอบีซึ่งมีประเด็น กถือเป็นจุดเริ่มต้น (จุดสมัคร) และจุด ใน– สิ้นสุด เรียกว่าเวกเตอร์ เอบีและแสดงด้วยอักษรตัวใดตัวหนึ่งหรือตัวพิมพ์เล็กตัวหนาเป็นต้น ก .
เพื่อแสดงความยาวของเวกเตอร์ (นั่นคือความยาวของส่วนที่สอดคล้องกัน) เราจะใช้สัญลักษณ์มอดุลัส (เช่น )
เวกเตอร์ที่กำหนดเองจะมีพิกัดเท่ากับความแตกต่างระหว่างพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้น:
,
นี่คือประเด็น กและ บี มีพิกัด ตามลำดับ
สำหรับการคำนวณเราจะใช้แนวคิดนี้ มุมที่มุ่งเน้นนั่นคือมุมที่คำนึงถึงตำแหน่งสัมพัทธ์ของเวกเตอร์
มุมเชิงระหว่างเวกเตอร์ ก และ ข เป็นบวกถ้าการหมุนมาจากเวกเตอร์ ก ถึงเวกเตอร์ ข จะดำเนินการในทิศทางบวก (ทวนเข็มนาฬิกา) และเชิงลบในอีกกรณีหนึ่ง ดูรูปที่ 1a, รูปที่ 1b ว่ากันว่าเป็นเวกเตอร์คู่หนึ่ง ก และ ข มุ่งเน้นเชิงบวก (เชิงลบ)
ดังนั้นค่าของมุมเชิงจะขึ้นอยู่กับลำดับของเวกเตอร์ที่อยู่ในรายการและสามารถรับค่าในช่วงเวลาได้
ปัญหาหลายประการในเรขาคณิตเชิงคำนวณใช้แนวคิดเกี่ยวกับผลคูณของเวกเตอร์ (เอียงหรือเทียม) ของเวกเตอร์
ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a และ b คือผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้กับไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้:
.
ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ในพิกัด:
นิพจน์ทางด้านขวาเป็นตัวกำหนดลำดับที่สอง:
ต่างจากคำจำกัดความที่ให้ไว้ในเรขาคณิตวิเคราะห์ มันคือสเกลาร์
เครื่องหมายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์กำหนดตำแหน่งของเวกเตอร์ที่สัมพันธ์กัน:
ก และ ข มุ่งเน้นเชิงบวก
หากค่าเป็น แสดงว่าเวกเตอร์คู่หนึ่ง ก และ ข มุ่งเน้นเชิงลบ
ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์จะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อพวกมันอยู่ในแนวเดียวกัน ( - ซึ่งหมายความว่าพวกมันอยู่บนเส้นเดียวกันหรือเส้นคู่ขนาน
ลองดูปัญหาง่ายๆ สองสามข้อที่จำเป็นเมื่อแก้ไขปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น
ลองหาสมการของเส้นตรงจากพิกัดสองจุดกัน
สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดที่แตกต่างกันซึ่งระบุโดยพิกัด
ให้จุดที่ไม่ตรงกันสองจุดบนเส้นตรง: ด้วยพิกัด (x1; y1) และด้วยพิกัด (x2; y2) ดังนั้น เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุดหนึ่งและจุดสิ้นสุดที่จุดหนึ่งจะมีพิกัด (x2-x1, y2-y1) ถ้า P(x, y) เป็นจุดใดๆ บนเส้นตรงของเรา แล้วพิกัดของเวกเตอร์จะเท่ากับ (x-x1, y – y1)
การใช้ผลคูณเวกเตอร์ เงื่อนไขสำหรับความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์และสามารถเขียนได้ดังนี้
เหล่านั้น. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0
(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0
เราเขียนสมการสุดท้ายใหม่ดังนี้:
ขวาน + โดย + c = 0, (1)
ค = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)
ดังนั้น เส้นตรงสามารถระบุได้ด้วยสมการในรูปแบบ (1)
ปัญหาที่ 1. ให้พิกัดของจุดสองจุด ค้นหาการเป็นตัวแทนในรูปแบบ ax + by + c = 0
ในบทเรียนนี้ เราได้เรียนรู้ข้อมูลบางอย่างเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงคำนวณ เราแก้ไขปัญหาการหาสมการของเส้นจากพิกัดของจุดสองจุด
ในบทต่อไป เราจะสร้างโปรแกรมเพื่อค้นหาจุดตัดของเส้นตรงสองเส้นที่กำหนดโดยสมการของเรา
ให้สองคะแนน ม.1 (x1,ปี1)และ ม.2 (x2,ปี2)- ให้เราเขียนสมการของเส้นตรงในรูปแบบ (5) โดยที่ เคยังไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์:
ตั้งแต่จุด ม.2เป็นของเส้นที่กำหนด จากนั้นพิกัดของมันจะเป็นไปตามสมการ (5): - แสดงจากที่นี่และแทนที่เป็นสมการ (5) เราจะได้สมการที่ต้องการ:
ถ้า สมการนี้สามารถเขียนใหม่ในรูปแบบที่สะดวกกว่าในการท่องจำ:
(6)
ตัวอย่าง.เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 (1,2) และ M 2 (-2,3)
สารละลาย. - การใช้คุณสมบัติของสัดส่วนและทำการแปลงที่จำเป็นจะได้สมการทั่วไปของเส้นตรง:
มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น
พิจารณาเส้นตรงสองเส้น ล. 1และ ลิตร 2:
ล. 1: , , และ
ลิตร 2: , ,
φ คือมุมระหว่างพวกเขา () จากรูปที่ 4 ชัดเจน: .
จากที่นี่ , หรือ
การใช้สูตร (7) คุณสามารถกำหนดมุมใดมุมหนึ่งระหว่างเส้นตรงได้ มุมที่สองเท่ากับ
ตัวอย่าง- เส้นตรงสองเส้นได้มาจากสมการ y=2x+3 และ y=-3x+2 หามุมระหว่างเส้นเหล่านี้
สารละลาย- จากสมการจะเห็นได้ชัดว่า k 1 =2 และ k 2 =-3 เราพบการแทนที่ค่าเหล่านี้เป็นสูตร (7)
- ดังนั้น มุมระหว่างเส้นเหล่านี้จึงเท่ากับ
เงื่อนไขความขนานและความตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้น
ถ้าตรง ล. 1และ ลิตร 2ขนานกันแล้ว φ=0 และ tgφ=0- จากสูตร (7) ตามนั้น เหตุใด เค 2 = เค 1- ดังนั้น เงื่อนไขของการขนานกันของเส้นตรงสองเส้นคือความเท่าเทียมกันของสัมประสิทธิ์เชิงมุม
ถ้าตรง ล. 1และ ลิตร 2ตั้งฉากกัน φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . - ดังนั้น เงื่อนไขสำหรับการตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้นคือสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงทั้งสองมีขนาดผกผันและมีเครื่องหมายตรงกันข้าม
ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกบรรทัด
ทฤษฎีบท. หากกำหนดจุด M(x 0, y 0) ดังนั้นระยะทางถึงเส้น Ax + Bу + C = 0 จะถูกกำหนดเป็น
การพิสูจน์. ให้จุด M 1 (x 1, y 1) เป็นฐานของจุดตั้งฉากที่ตกลงจากจุด M ไปยังเส้นตรงที่กำหนด จากนั้นระยะห่างระหว่างจุด M และ M 1:
พิกัด x 1 และ y 1 สามารถพบได้โดยการแก้ระบบสมการ:
สมการที่สองของระบบคือสมการของเส้นที่ผ่านจุดที่กำหนด M 0 ซึ่งตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด
หากเราแปลงสมการแรกของระบบให้อยู่ในรูปแบบ:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + ขวาน 0 + โดย 0 + C = 0,
จากนั้นเมื่อแก้ไขเราจะได้:
เมื่อแทนนิพจน์เหล่านี้เป็นสมการ (1) เราจะพบว่า:
ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
ตัวอย่าง.กำหนดมุมระหว่างเส้น: y = -3x + 7; y = 2x + 1
กิโล 1 = -3; k 2 = 2 แทนจ= ; เจ = หน้า/4
ตัวอย่าง.แสดงว่าเส้นตรง 3x – 5y + 7 = 0 และ 10x + 6y – 3 = 0 ตั้งฉากกัน
เราพบว่า: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1 ดังนั้น เส้นตรงทั้งสองจึงตั้งฉากกัน
ตัวอย่าง.ให้ไว้คือจุดยอดของสามเหลี่ยม A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) ค้นหาสมการของความสูงที่ดึงมาจากจุดยอด C
เราพบสมการของด้าน AB: ; 4x = 6ป – 6;
2x – 3y + 3 = 0;
สมการความสูงที่ต้องการมีรูปแบบ: Ax + By + C = 0 หรือ y = kx + b
เค= . แล้ว ย = . เพราะ ความสูงผ่านจุด C จากนั้นพิกัดของมันเป็นไปตามสมการนี้: โดยที่ b = 17 ผลรวม:
คำตอบ: 3x + 2y – 34 = 0
ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งถูกกำหนดโดยความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง
หากเส้นขนานกับระนาบการฉายภาพ (ซ | | หน้า 1)แล้วจึงกำหนดระยะห่างจากจุดนั้น กเป็นเส้นตรง ชม.จำเป็นต้องลดแนวตั้งฉากลงจากจุด กไปยังแนวนอน ชม..
ลองพิจารณาตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น เมื่อเส้นตรงเกิดขึ้น ตำแหน่งทั่วไป- ปล่อยให้จำเป็นต้องกำหนดระยะห่างจากจุดหนึ่ง มเป็นเส้นตรง กตำแหน่งทั่วไป
ภารกิจการกำหนด ระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานได้รับการแก้ไขเช่นเดียวกับครั้งก่อน จุดหนึ่งถูกถ่ายบนบรรทัดหนึ่งและตั้งฉากกับอีกบรรทัดหนึ่ง ความยาวของเส้นตั้งฉากเท่ากับระยะห่างระหว่างเส้นขนาน
เส้นโค้งลำดับที่สองเป็นเส้นที่กำหนดโดยสมการระดับที่สองสัมพันธ์กับพิกัดคาร์ทีเซียนปัจจุบัน ในกรณีทั่วไป Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0
โดยที่ A, B, C, D, E, F เป็นจำนวนจริงและมีอย่างน้อยหนึ่งตัวเลข A 2 + B 2 + C 2 ≠0
วงกลม
ศูนย์กลางวงกลม– นี่คือตำแหน่งเรขาคณิตของจุดในระนาบที่มีระยะห่างเท่ากันจากจุดในระนาบ C(a,b)
วงกลมได้มาจากสมการต่อไปนี้:
โดยที่ x,y คือพิกัดของจุดใดก็ได้บนวงกลม R คือรัศมีของวงกลม
สัญลักษณ์ของสมการของวงกลม
1. คำที่มี x, y หายไป
2. ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ x 2 และ y 2 เท่ากัน
วงรี
วงรีเรียกว่าตำแหน่งเรขาคณิตของจุดในระนาบ ผลรวมของระยะทางที่แต่ละจุดจากจุดที่กำหนดสองจุดของระนาบนี้เรียกว่า foci (ค่าคงที่)
สมการทางบัญญัติของวงรี:
X และ y อยู่ในวงรี
a – กึ่งแกนเอกของวงรี
b คือแกนกึ่งรองของวงรี
วงรีมี 2 แกนสมมาตร OX และ OU แกนสมมาตรของวงรีคือแกนของมัน จุดตัดกันคือจุดศูนย์กลางของวงรี แกนที่จุดโฟกัสอยู่เรียกว่า แกนโฟกัส- จุดตัดของวงรีกับแกนคือจุดยอดของวงรี
อัตราส่วนกำลังอัด (แรงดึง): ε = ส/ก– ความเยื้องศูนย์ (แสดงลักษณะรูปร่างของวงรี) ยิ่งมีขนาดเล็กเท่าไร วงรีก็จะขยายไปตามแกนโฟกัสน้อยลงเท่านั้น
หากจุดศูนย์กลางของวงรีไม่ได้อยู่ที่จุดศูนย์กลาง C(α, β)
ไฮเปอร์โบลา
อติพจน์เรียกว่าตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดต่างๆ ในระนาบ ค่าสัมบูรณ์ความแตกต่างในระยะทาง ซึ่งแต่ละจุดจากจุดที่กำหนดสองจุดของระนาบนี้ เรียกว่าจุดโฟกัส มีค่าคงที่แตกต่างจากศูนย์
สมการไฮเปอร์โบลาแบบบัญญัติ
ไฮเปอร์โบลามีแกนสมมาตร 2 แกน:
a – กึ่งแกนจริงของสมมาตร
b – กึ่งแกนจินตภาพของสมมาตร
เส้นกำกับของไฮเปอร์โบลา:
พาราโบลา
พาราโบลาคือตำแหน่งของจุดต่างๆ ในระนาบซึ่งมีระยะห่างเท่ากันจากจุดที่กำหนด F เรียกว่าโฟกัส และเส้นที่กำหนดเรียกว่าไดเรกตริกซ์
สมการบัญญัติของพาราโบลา:
У 2 =2рх โดยที่ р คือระยะห่างจากโฟกัสถึงไดเรกตริกซ์ (พารามิเตอร์พาราโบลา)
ถ้าจุดยอดของพาราโบลาคือ C (α, β) แล้วสมการของพาราโบลา (y-β) 2 = 2р(x-α)
หากใช้แกนโฟกัสเป็นแกนกำหนดสมการของพาราโบลาจะอยู่ในรูปแบบ: x 2 =2qу