วิธีค้นหาจุดเปลี่ยนเว้าของฟังก์ชัน ช่วงความนูนและความเว้าของกราฟของฟังก์ชัน ความนูนของกราฟของตัวอย่างจุดเปลี่ยนเว้าของฟังก์ชัน

1. แนวคิดเรื่องฟังก์ชันนูนและเว้า

เมื่อศึกษาฟังก์ชัน จะเป็นประโยชน์ที่จะพิจารณาว่าช่วงใดที่ฟังก์ชันนูนออกมา และช่วงใดที่ฟังก์ชันนูนขึ้น

ในการกำหนดฟังก์ชันนูนและเว้า เราจะวาดแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดใดก็ได้ เอ็กซ์ 1 และ เอ็กซ์ 2 (รูปที่ 15.1 และ 15.2):

เรียกว่ากราฟของฟังก์ชัน เว้า ในช่วงเวลานั้น หากอยู่เหนือกราฟของฟังก์ชันในช่วงเวลานี้

เรียกว่ากราฟของฟังก์ชัน นูน ในช่วงเวลานั้นหากอยู่ต่ำกว่าแทนเจนต์ใดๆ กับกราฟของฟังก์ชันในช่วงเวลานี้

จุดในกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องที่เรียกว่าธรรมชาติของการเปลี่ยนแปลงความนูน จุดเปลี่ยน - ที่จุดเปลี่ยนเว้า แทนเจนต์จะตัดกับเส้นโค้ง

ฟังก์ชันสามารถมีช่วงนูนและความเว้าได้หลายช่วง และมีจุดเปลี่ยนเว้าหลายจุด เมื่อกำหนดช่วงเวลาของความนูนและความเว้าคำตอบจะถูกเลือกช่วงเวลาของค่า: จุดเปลี่ยนเว้าไม่ได้จัดเป็นช่วงของความนูนหรือช่วงเว้า

ดังนั้นกราฟของฟังก์ชันในรูปที่ 15.3 จะนูนออกมาในช่วงเวลา (- ; เอ็กซ์ 1) และ ( เอ็กซ์ 2 ; - เว้าบน ( เอ็กซ์ 1 ;เอ็กซ์ 2). กราฟของฟังก์ชันมีจุดเปลี่ยนเว้าสองจุด: ( เอ็กซ์ 1 ;ที่ 1) และ ( เอ็กซ์ 2 ;ที่ 2).

1. เกณฑ์สำหรับความนูน-เว้าของฟังก์ชันและจุดเปลี่ยนเว้า

ช่วงเวลาของความนูนและความเว้าของฟังก์ชันหาได้โดยใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท- 1. หากฟังก์ชันมีอนุพันธ์อันดับสองที่เป็นบวก กราฟของฟังก์ชันในช่วงนั้นจะเว้า

2. หากฟังก์ชันมีอนุพันธ์อันดับสองที่เป็นลบ กราฟของฟังก์ชันในช่วงนั้นจะนูนออกมา

ลองจินตนาการดู เกณฑ์สำหรับความนูน-เว้าของฟังก์ชัน ในรูปแบบของแผนภาพ:

ดังนั้น การตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับความนูน-เว้าหมายถึงการค้นหาช่วงของโดเมนของคำจำกัดความที่อนุพันธ์อันดับสองยังคงมีเครื่องหมายอยู่

โปรดทราบว่าสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายได้เฉพาะจุดที่อนุพันธ์อันดับสองมีค่าเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่จริง จุดดังกล่าวมักเรียกว่า จุดวิกฤติประเภทที่สอง .

เฉพาะจุดวิกฤตเท่านั้นที่สามารถเป็นจุดเปลี่ยนเว้าได้ ในการค้นหาจะใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท (เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของจุดเปลี่ยนเว้า- ถ้าอนุพันธ์อันดับสองเมื่อผ่านจุดหนึ่ง xoเครื่องหมายเปลี่ยน จากนั้นจุดบนกราฟที่มีเครื่องหมายแอบซิสซา xoคือจุดเปลี่ยนเว้า

เมื่อตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับจุดนูน-เว้าและจุดเปลี่ยนเว้า คุณสามารถใช้สิ่งต่อไปนี้ อัลกอริทึม :

ตัวอย่างที่ 15.1ค้นหาช่วงของความนูนและความเว้า ซึ่งเป็นจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟของฟังก์ชัน

สารละลาย- 1. ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้บนเซต R

2. ลองหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชัน: = .

3. ค้นหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน: =2 เอ็กซ์-6.

4. กำหนดจุดวิกฤติของประเภทที่สอง ( 0): 2 เอ็กซ์-6= 0 เอ็กซ์=3.

5. ทำเครื่องหมายจุดวิกฤติบนแกนจำนวน เอ็กซ์=3. โดยแบ่งโดเมนคำจำกัดความของฟังก์ชันออกเป็นสองช่วง (-∞;3) และ (3;+∞) ลองจัดเรียงเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน 2 กัน เอ็กซ์-6 ในแต่ละช่วงเวลาผลลัพธ์:

ที่ เอ็กซ์=0 (-∞;3) (0)=-6<0;

ที่ เอ็กซ์=4 (3;+∞) (4)= 2∙4-6=2>0.

ที การผันคำ

6. ตามเกณฑ์ความนูน-เว้า กราฟของฟังก์ชันจะนูนเมื่อ เอ็กซ์(-∞;3) เว้าที่ เอ็กซ์ (3;+ ∞).

ความหมาย เอ็กซ์=3 – abscissa ของจุดเปลี่ยนเว้า ลองคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ เอ็กซ์=3:

2. ดังนั้น จุดที่มีพิกัด (3;2) คือจุดเปลี่ยนเว้า

คำตอบ: กราฟของฟังก์ชันจะนูนออกมาเมื่อใด เอ็กซ์ (-∞;3),

เว้าที่ เอ็กซ์(3;+ ∞); (3;2) – จุดเปลี่ยนเว้า

ตัวอย่างที่ 15.2- ค้นหาช่วงของความนูนและความเว้า ซึ่งเป็นจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟของฟังก์ชัน

สารละลาย- 1. ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้ในกรณีที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์: เอ็กซ์-7≠0 .

2. ค้นหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชัน:

3. หาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน: = =

ลองใส่ 2∙( เอ็กซ์-7) นอกวงเล็บ:

= = = . (7;+∞) (8)= >0.

โวก

6. ตามเกณฑ์ความนูน-เว้า กราฟของฟังก์ชันจะนูนเมื่อ เอ็กซ์(-∞;7) เว้าที่ เอ็กซ์ (7;+ ∞).

จุด Abscissa เอ็กซ์=7 ไม่สามารถเป็นจุดเปลี่ยนเว้าได้ เพราะว่า ณ จุดนี้ฟังก์ชันไม่มีอยู่ (เกิดความไม่ต่อเนื่อง)

คำตอบ: กราฟของฟังก์ชันจะนูนออกมาเมื่อใด เอ็กซ์(-∞;7) เว้าที่ เอ็กซ์ (7;+ ∞).

คำถามเพื่อความปลอดภัย:

คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ได้ จุดเปลี่ยนเว้าและช่วงนูนของกราฟฟังก์ชันด้วยการออกแบบโซลูชันใน Word ไม่ว่าฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว f(x1,x2) จะนูนหรือไม่นั้น ให้ตัดสินใจโดยใช้เมทริกซ์ Hessian

กฎสำหรับการเข้าฟังก์ชั่น:

ทิศทางความนูนของกราฟของฟังก์ชัน จุดเปลี่ยน

คำจำกัดความ: เส้นโค้ง y=f(x) เรียกว่าโค้งลงด้านล่างในช่วงเวลา (a; b) หากเส้นโค้งอยู่เหนือเส้นสัมผัสกัน ณ จุดใดๆ ในช่วงเวลานี้

คำจำกัดความ: เส้นโค้ง y=f(x) กล่าวกันว่านูนขึ้นในช่วงเวลา (a; b) หากเส้นโค้งอยู่ต่ำกว่าเส้นสัมผัสกัน ณ จุดใดๆ ในช่วงเวลานี้

คำจำกัดความ: ช่วงที่กราฟของฟังก์ชันนูนขึ้นหรือลง เรียกว่า ช่วงนูนของกราฟของฟังก์ชัน

ความนูนขึ้นหรือลงของเส้นโค้งที่เป็นกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) มีลักษณะเฉพาะด้วยเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสอง: หากในช่วงเวลาหนึ่ง f''(x) > 0 แสดงว่าเส้นโค้งนั้นนูนออกมา ลงในช่วงเวลานี้ ถ้า f’(x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

คำจำกัดความ: จุดบนกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ที่แยกช่วงนูนของทิศทางตรงกันข้ามของกราฟนี้เรียกว่าจุดเปลี่ยนเว้า

เฉพาะจุดวิกฤติของประเภทที่สองเท่านั้นที่สามารถทำหน้าที่เป็นจุดเปลี่ยนเว้าได้ เช่น จุดที่อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งอนุพันธ์อันดับสอง f’’(x) หายไปหรือมีความต่อเนื่อง

กฎสำหรับการค้นหาจุดเปลี่ยนเว้าในกราฟของฟังก์ชัน y = f(x)

1. ค้นหาอนุพันธ์อันดับสอง f’’(x) .
2. ค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชันประเภทที่สอง y=f(x) เช่น จุดที่ f''(x) หายไปหรือประสบกับความไม่ต่อเนื่อง
3. ตรวจสอบเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสอง f’’(x) ในช่วงที่จุดวิกฤตที่พบแบ่งโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน f(x) ถ้าจุดวิกฤติ x 0 แยกช่วงนูนของทิศทางตรงกันข้าม แล้ว x 0 คือค่า Abscissa ของจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟฟังก์ชัน
4. คำนวณค่าฟังก์ชันที่จุดเปลี่ยนเว้า

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาช่วงนูนและจุดเปลี่ยนเว้าของเส้นโค้งต่อไปนี้: f(x) = 6x 2 –x 3
วิธีแก้: หา f ‘(x) = 12x – 3x 2 , f ‘’(x) = 12 – 6x
มาหาจุดวิกฤตของอนุพันธ์อันดับสองโดยการแก้สมการ 12-6x=0 x=2 .


ฉ(2) = 6*2 2 – 2 3 = 16
คำตอบ: ฟังก์ชันจะนูนขึ้นด้านบนสำหรับ x∈(2; +∞) ; ฟังก์ชันจะนูนลงมาที่ x∈(-∞; 2) ; จุดเปลี่ยนเว้า (2;16) .

ตัวอย่างที่ 2 ฟังก์ชันมีจุดเปลี่ยนเว้าหรือไม่: f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1

ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาช่วงเวลาที่กราฟของฟังก์ชันนูนและโค้ง: f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4

กราฟของฟังก์ชัน ย=ฉ(x)เรียกว่า นูนในช่วงเวลา (ก; ข)หากอยู่ต่ำกว่าแทนเจนต์ใดๆ ในช่วงเวลานี้

กราฟของฟังก์ชัน ย=ฉ(x)เรียกว่า เว้าในช่วงเวลา (ก; ข)หากอยู่เหนือแทนเจนต์ใดๆ ในช่วงเวลานี้

รูปแสดงส่วนโค้งที่นูนออกมา (ก; ข)และเว้าอยู่ (ข;ค).

ตัวอย่าง.

ให้เราพิจารณาเกณฑ์ที่เพียงพอที่ช่วยให้เราสามารถกำหนดได้ว่ากราฟของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กำหนดจะนูนหรือเว้า

ทฤษฎีบท- อนุญาต ย=ฉ(x)แยกแยะได้โดย (ก; ข)- หากทุกจุดของช่วงเวลา (ก; ข)อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน ย = ฉ(x)เชิงลบเช่น ฉ ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же ฉ""(x) > 0 – เว้า

การพิสูจน์- ให้เราถือว่าแน่นอนว่า ฉ""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

ลองใช้ฟังก์ชันบนกราฟกัน ย = ฉ(x)จุดใดก็ได้ M0กับแอบซิสซา x 0 Î ( ก; ข) และลากผ่านจุด M0แทนเจนต์ สมการของเธอ เราต้องแสดงว่ากราฟของฟังก์ชันบน (ก; ข)อยู่ต่ำกว่าแทนเจนต์นี้ กล่าวคือ ในราคาเดียวกัน xพิกัดของเส้นโค้ง ย = ฉ(x)จะน้อยกว่าพิกัดของแทนเจนต์

ดังนั้นสมการของเส้นโค้งคือ ย = ฉ(x)- ให้เราแสดงพิกัดของแทนเจนต์ที่สอดคล้องกับ abscissa x- แล้ว . ดังนั้นความแตกต่างระหว่างพิกัดของเส้นโค้งและแทนเจนต์สำหรับค่าเดียวกัน xจะ .

ความแตกต่าง ฉ(x) – ฉ(x 0)แปลงร่างตามทฤษฎีบทของลากรองจ์ โดยที่ คระหว่าง xและ x 0.

ดังนั้น,

เราใช้ทฤษฎีบทของลากรองจ์กับนิพจน์ในวงเล็บเหลี่ยมอีกครั้ง: , โดยที่ ค 1ระหว่าง ค 0และ x 0- ตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท ฉ ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

ดังนั้น จุดใดๆ บนเส้นโค้งจึงอยู่ใต้เส้นสัมผัสเส้นโค้งของค่าทั้งหมด xและ x 0 Î ( ก; ข) ซึ่งหมายความว่าเส้นโค้งนูนออกมา ส่วนที่สองของทฤษฎีบทก็ได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกัน

ตัวอย่าง.

เรียกว่าจุดบนกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องที่แยกส่วนนูนออกจากส่วนเว้า จุดเปลี่ยน.

แน่นอนว่า ณ จุดเปลี่ยนเว้า ถ้าแทนเจนต์มีอยู่ ตัดกับเส้นโค้ง เพราะ ด้านหนึ่งของจุดนี้ เส้นโค้งอยู่ใต้เส้นสัมผัสกัน และอีกด้านหนึ่ง - อยู่เหนือเส้นสัมผัสนั้น

ขอให้เรากำหนดเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับความจริงที่ว่าจุดที่กำหนดของเส้นโค้งคือจุดเปลี่ยนเว้า

ทฤษฎีบท- ปล่อยให้เส้นโค้งถูกกำหนดโดยสมการ ย = ฉ(x)- ถ้า ฉ ""(x 0) = 0 หรือ ฉ ""(x 0) ไม่มีอยู่แม้ว่าจะผ่านค่าก็ตาม x = x 0อนุพันธ์ ฉ ""(x) เปลี่ยนเครื่องหมาย จากนั้นจุดในกราฟของฟังก์ชันด้วย abscissa x = x 0มีจุดเปลี่ยน

การพิสูจน์- อนุญาต ฉ ""(x) < 0 при x < x 0และ ฉ ""(x) > 0 เมื่อ x > x 0- แล้วที่ x < x 0เส้นโค้งจะนูนออกมาและเมื่อใด x > x 0– เว้า เพราะฉะนั้นประเด็น กนอนอยู่บนโค้งพร้อมกับแอบซิสซา x 0มีจุดเปลี่ยน กรณีที่สองก็ถือได้เช่นเดียวกันเมื่อ ฉ ""(x) > 0 เมื่อ x < x 0และ ฉ ""(x) < 0 при x > x 0.

ดังนั้น ควรค้นหาจุดเปลี่ยนเว้าเฉพาะในจุดที่อนุพันธ์อันดับสองหายไปหรือไม่มีอยู่

ตัวอย่าง.ค้นหาจุดเปลี่ยนเว้าและหาช่วงเวลาของความนูนและความเว้าของเส้นโค้ง

เส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

เมื่อศึกษาฟังก์ชัน สิ่งสำคัญคือต้องสร้างรูปร่างของกราฟที่ระยะห่างจากจุดกราฟจากจุดกำเนิดโดยไม่จำกัด

สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือกรณีที่กราฟของฟังก์ชันเมื่อจุดตัวแปรถูกลบออกจนถึงอนันต์ แล้วเข้าใกล้เส้นตรงเส้นหนึ่งอย่างไม่มีกำหนด

เส้นตรงเรียกว่า เส้นกำกับกราฟิกฟังก์ชั่น ย = ฉ(x)ถ้าระยะห่างจากจุดตัวแปร มกราฟิกไปยังบรรทัดนี้เมื่อลบจุด มถึงอนันต์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เช่น จุดบนกราฟของฟังก์ชัน เนื่องจากมีแนวโน้มว่าจะไม่มีที่สิ้นสุด จึงต้องเข้าใกล้เส้นกำกับอย่างไม่มีกำหนด

เส้นโค้งสามารถเข้าใกล้เส้นกำกับ โดยคงเหลือด้านใดด้านหนึ่งหรืออีกด้านหนึ่ง โดยข้ามเส้นกำกับจำนวนไม่จำกัดครั้ง และเคลื่อนจากด้านหนึ่งไปอีกด้านหนึ่ง

ถ้าเราแทนด้วย d ระยะทางจากจุด มเส้นโค้งไปยังเส้นกำกับ จะเห็นได้ชัดว่า d มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เมื่อจุดเคลื่อนออกไป มถึงอนันต์

เราจะแยกความแตกต่างระหว่างเส้นกำกับแนวตั้งและแนวเฉียงเพิ่มเติม

เส้นกำกับแนวตั้ง

ให้ที่ x→ x 0จากฟังก์ชันด้านใดด้านหนึ่ง ย = ฉ(x)เพิ่มขึ้นไม่จำกัดในมูลค่าสัมบูรณ์ เช่น หรือหรือ - จากคำจำกัดความของเส้นกำกับ มันจะเป็นไปตามเส้นตรง x = x 0เป็นเส้นกำกับ ตรงกันข้ามก็ชัดเจนเช่นกันหากเป็นเส้น x = x 0เป็นเส้นกำกับนั่นคือ -

ดังนั้นเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟของฟังก์ชัน ย = ฉ(x)เรียกว่าเส้นตรงถ้า ฉ(x)→ ∞ ภายใต้เงื่อนไขอย่างน้อยหนึ่งเงื่อนไข x→ x 0– 0 หรือ x → x 0 + 0, x = x 0

ดังนั้น เพื่อหาเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟของฟังก์ชัน ย = ฉ(x)จำเป็นต้องค้นหาค่าเหล่านั้น x = x 0ซึ่งฟังก์ชันไปสู่อนันต์ (ทนทุกข์กับความไม่ต่อเนื่องอันไม่มีที่สิ้นสุด) จากนั้นเส้นกำกับแนวตั้งจะมีสมการ x = x 0.

ตัวอย่าง.

เส้นกำกับเอียง

เนื่องจากเส้นกำกับเป็นเส้นตรง ถ้าเป็นเส้นโค้ง ย = ฉ(x)มีเส้นกำกับเฉียง แล้วสมการของมันจะเป็นดังนี้ ย = เคเอ็กซ์ + ข- หน้าที่ของเราคือการหาค่าสัมประสิทธิ์ เคและ ข.

ทฤษฎีบท- ตรง ย = เคเอ็กซ์ + ขทำหน้าที่เป็นเส้นกำกับเฉียงที่ x→ +∞ สำหรับกราฟของฟังก์ชัน ย = ฉ(x)แล้วและเมื่อเท่านั้น - ข้อความที่คล้ายกันนี้เป็นจริงสำหรับ x → –∞.

การพิสูจน์- อนุญาต ส.ส– ความยาวของส่วนเท่ากับระยะห่างจากจุด มเพื่อเส้นกำกับ ตามเงื่อนไข. ให้เราแสดงด้วย φ มุมเอียงของเส้นกำกับกับแกน วัว- แล้วจาก ∆MNPมันเป็นไปตามนั้น เนื่องจาก φ เป็นมุมคงที่ (φ ≠ π/2) ดังนั้น แต่

เมื่อเราสร้างกราฟฟังก์ชัน การระบุช่วงนูนและจุดเปลี่ยนเว้าเป็นสิ่งสำคัญ เราต้องการพวกมันพร้อมกับช่วงเวลาของการลดลงและการเพิ่มขึ้น เพื่อแสดงฟังก์ชันในรูปแบบกราฟิกอย่างชัดเจน

การทำความเข้าใจหัวข้อนี้ต้องอาศัยความรู้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออะไร และวิธีการคำนวณตามลำดับ รวมถึงความสามารถในการแก้ไขอสมการประเภทต่างๆ

ในตอนต้นของบทความ มีการกำหนดแนวคิดพื้นฐานไว้ จากนั้นเราจะแสดงให้เห็นว่ามีความสัมพันธ์กันอย่างไรระหว่างทิศทางของความนูนกับค่าของอนุพันธ์อันดับสองในช่วงเวลาหนึ่ง ต่อไป เราจะระบุเงื่อนไขที่สามารถกำหนดจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟได้ ข้อโต้แย้งทั้งหมดจะแสดงพร้อมตัวอย่างวิธีแก้ไขปัญหา

คำจำกัดความ 1

ในทิศทางลงในช่วงเวลาหนึ่ง ในกรณีที่กราฟไม่ต่ำกว่าค่าแทนเจนต์ ณ จุดใดๆ ในช่วงเวลานี้

คำจำกัดความ 2

ฟังก์ชันที่ต้องการสร้างความแตกต่างคือนูนขึ้นไปในช่วงเวลาหนึ่ง หากกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดอยู่ไม่สูงกว่าค่าแทนเจนต์ ณ จุดใดๆ ในช่วงเวลานี้

ฟังก์ชันนูนลงสามารถเรียกว่าฟังก์ชันเว้าได้เช่นกัน คำจำกัดความทั้งสองแสดงไว้อย่างชัดเจนในกราฟด้านล่าง:

คำจำกัดความ 3

จุดเปลี่ยนเว้าของฟังก์ชัน– นี่คือจุด M (x 0 ; f (x 0)) ซึ่งมีแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันโดยขึ้นอยู่กับการมีอยู่ของอนุพันธ์ในบริเวณใกล้เคียงของจุด x 0 โดยที่ทางด้านซ้าย และด้านขวาของกราฟของฟังก์ชันจะมีทิศทางของความนูนต่างกัน

พูดง่ายๆ ก็คือ จุดเปลี่ยนเว้าคือตำแหน่งบนกราฟที่มีเส้นสัมผัสกัน และทิศทางของความนูนของกราฟเมื่อผ่านจุดนี้จะเปลี่ยนทิศทางของความนูน หากคุณจำไม่ได้ว่าการมีอยู่ของแทนเจนต์แนวตั้งและไม่ใช่แนวตั้งอยู่ภายใต้เงื่อนไขใด เราขอแนะนำให้ทำซ้ำส่วนแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง

ด้านล่างนี้คือกราฟของฟังก์ชันที่มีจุดเปลี่ยนเว้าหลายจุด ซึ่งไฮไลต์ด้วยสีแดง ให้เราชี้แจงว่าไม่จำเป็นต้องมีจุดเปลี่ยนเว้า บนกราฟของฟังก์ชันหนึ่งสามารถมีได้หนึ่ง สอง หลายหลาย หลายอนันต์ หรือไม่มีก็ได้

ในส่วนนี้ เราจะพูดถึงทฤษฎีบทที่คุณสามารถกำหนดช่วงนูนบนกราฟของฟังก์ชันเฉพาะได้

คำจำกัดความที่ 4

กราฟของฟังก์ชันจะนูนขึ้นหรือลงถ้าฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน y = f (x) มีอนุพันธ์อันจำกัดตัวที่สองในช่วงเวลาที่กำหนด x โดยมีเงื่อนไขว่าความไม่เท่าเทียมกัน f "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f "" (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X) จะเป็นจริง

เมื่อใช้ทฤษฎีบทนี้ คุณสามารถค้นหาช่วงเวลาของความเว้าและความนูนบนกราฟใดๆ ของฟังก์ชันได้ ในการทำเช่นนี้คุณเพียงแค่ต้องแก้อสมการ f "" (x) ≥ 0 และ f "" (x) ≤ 0 บนโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง

ให้เราชี้แจงว่าจุดเหล่านั้นที่ไม่มีอนุพันธ์อันดับสอง แต่มีการกำหนดฟังก์ชัน y = f (x) จะรวมอยู่ในช่วงนูนและเว้า

ลองดูตัวอย่างปัญหาเฉพาะเจาะจงเพื่อดูว่าจะนำทฤษฎีบทนี้ไปใช้อย่างไรให้ถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 1

เงื่อนไข:เมื่อกำหนดฟังก์ชัน y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 . พิจารณาว่ากราฟจะนูนและเว้าในช่วงใด

สารละลาย

ขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด เริ่มต้นด้วยการคำนวณอนุพันธ์อันดับสอง

y " = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 " = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y " " = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2

เราเห็นว่าโดเมนของคำจำกัดความของอนุพันธ์อันดับสองเกิดขึ้นพร้อมกับโดเมนของฟังก์ชันเอง ซึ่งหมายความว่าเพื่อระบุช่วงเวลาของความนูน เราจำเป็นต้องแก้อสมการ f "" (x) ≥ 0 และ f "" (x ) ≤ 0

y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

เราพบว่ากราฟของฟังก์ชันที่กำหนดจะมีความเว้าในส่วน [2; + ∞) และความนูนบนส่วน (- ∞; 2 ] .

เพื่อความชัดเจน เรามาวาดกราฟของฟังก์ชันและทำเครื่องหมายส่วนที่นูนเป็นสีน้ำเงินและส่วนที่เว้าเป็นสีแดง

คำตอบ:กราฟของฟังก์ชันที่กำหนดจะมีความเว้าบนส่วน [ 2 ; + ∞) และความนูนบนส่วน (- ∞; 2 ] .

แต่จะทำอย่างไรถ้าโดเมนของนิยามของอนุพันธ์อันดับสองไม่ตรงกับขอบเขตของนิยามของฟังก์ชัน? ข้อสังเกตที่ทำไว้ข้างต้นจะเป็นประโยชน์สำหรับเรา: เราจะรวมจุดที่ไม่มีอนุพันธ์อันดับสองที่มีขอบเขตจำกัดในส่วนเว้าและส่วนนูนด้วย

ตัวอย่างที่ 2

เงื่อนไข:เมื่อกำหนดฟังก์ชัน y = 8 x x - 1 . กำหนดว่ากราฟจะเว้าในช่วงใดและจะนูนในช่วงใด

สารละลาย

ก่อนอื่น เรามาค้นหาโดเมนของนิยามของฟังก์ชันกันก่อน

x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞)

ตอนนี้เราคำนวณอนุพันธ์อันดับสอง:

ปี " = 8 x x - 1 " = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 ปี "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 " = - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2 " x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 · (x - 1) 3

โดเมนของคำจำกัดความของอนุพันธ์อันดับสองคือเซต x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) เราเห็นว่า x เท่ากับ 0 จะเป็นโดเมนของฟังก์ชันเดิม แต่ไม่ใช่โดเมนของอนุพันธ์อันดับสอง จุดนี้จะต้องรวมไว้ในส่วนเว้าหรือส่วนนูน

หลังจากนี้ เราจำเป็นต้องแก้อสมการ f "" (x) ≥ 0 และ f "" (x) ≤ 0 บนโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่กำหนด เราใช้วิธีช่วงเวลาสำหรับสิ่งนี้: โดยที่ x = - 1 - 2 3 3 data - 2, 1547 หรือ x = - 1 + 2 3 3 data 0, 1547 ตัวเศษ 2 · (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 · x - 1 3 กลายเป็น 0 และตัวส่วนเป็น 0 เมื่อ x เป็นศูนย์หรือหนึ่ง

ลองพล็อตจุดผลลัพธ์บนกราฟและกำหนดเครื่องหมายของนิพจน์ในทุกช่วงเวลาที่จะรวมอยู่ในโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันดั้งเดิม พื้นที่นี้แสดงโดยการแรเงาบนกราฟ หากค่าเป็นบวก เราจะทำเครื่องหมายช่วงเวลาด้วยเครื่องหมายบวก หากเป็นลบก็จะทำเครื่องหมายด้วยเครื่องหมายลบ

เพราะฉะนั้น,

ฉ "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) และ f "" (x) ≤ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1)

เรารวมจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ก่อนหน้า x = 0 และรับคำตอบที่ต้องการ กราฟของฟังก์ชันดั้งเดิมจะนูนลงมาที่ 0 - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) และขึ้นไป – สำหรับ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

ลองวาดกราฟโดยทำเครื่องหมายส่วนที่นูนเป็นสีน้ำเงินและส่วนที่เว้าเป็นสีแดง เส้นกำกับแนวตั้งจะถูกทำเครื่องหมายด้วยเส้นประสีดำ

คำตอบ:กราฟของฟังก์ชันดั้งเดิมจะนูนลงมาที่ 0 - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) และขึ้นไป – สำหรับ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

เงื่อนไขสำหรับการโก่งตัวของกราฟฟังก์ชัน

เริ่มต้นด้วยการกำหนดเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการโก่งกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง

คำจำกัดความที่ 5

สมมติว่าเรามีฟังก์ชัน y = f (x) ซึ่งเป็นกราฟที่มีจุดเปลี่ยนเว้า ที่ x = x 0 จะมีอนุพันธ์อันดับสองต่อเนื่องกัน ดังนั้นค่าความเท่าเทียมกัน f "" (x 0) = 0 จะยังคงมีอยู่

เมื่อพิจารณาเงื่อนไขนี้ เราควรมองหาจุดเปลี่ยนเว้าระหว่างจุดที่อนุพันธ์อันดับสองจะเปลี่ยนเป็น 0 เงื่อนไขนี้จะไม่เพียงพอ: ไม่ใช่ทุกประเด็นที่เหมาะกับเรา

โปรดทราบด้วยว่าตามคำจำกัดความทั่วไป เราจะต้องมีเส้นสัมผัสแนวตั้งหรือไม่ใช่แนวตั้ง ในทางปฏิบัติ หมายความว่าหากต้องการหาจุดเปลี่ยนเว้า คุณควรหาจุดนั้นที่อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันที่กำหนดเปลี่ยนเป็น 0 ดังนั้นในการค้นหาจุดหักเหของจุดเปลี่ยนเว้า เราจำเป็นต้องนำ x 0 ทั้งหมดจากโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน โดยที่ lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ และ lim x → x 0 + 0 ฉ " (x) = ∞ ส่วนใหญ่แล้ว จุดเหล่านี้คือจุดที่ตัวส่วนของอนุพันธ์อันดับแรกกลายเป็น 0

เงื่อนไขแรกที่เพียงพอสำหรับการดำรงอยู่ของจุดเปลี่ยนเว้าในกราฟของฟังก์ชัน

เราพบค่าทั้งหมดของ x 0 ที่สามารถใช้เป็นจุดหักเหของจุดเปลี่ยนเว้าได้ หลังจากนี้ เราจำเป็นต้องใช้เงื่อนไขการผันกลับที่เพียงพอประการแรก

คำนิยาม 6

สมมติว่าเรามีฟังก์ชัน y = f (x) ซึ่งต่อเนื่องกันที่จุด M (x 0 ; f (x 0)) ยิ่งไปกว่านั้น มันมีแทนเจนต์ ณ จุดนี้ และฟังก์ชันเองก็มีอนุพันธ์อันดับสองอยู่ใกล้จุดนี้ x 0 ในกรณีนี้ หากอนุพันธ์อันดับสองมีเครื่องหมายตรงกันข้ามทางซ้ายและขวา จุดนี้ถือได้ว่าเป็นจุดเปลี่ยนเว้า

เราเห็นว่าเงื่อนไขนี้ไม่จำเป็นต้องมีอนุพันธ์อันดับสอง ณ จุดนี้ การมีอยู่ของมันในบริเวณใกล้กับจุด x 0 ก็เพียงพอแล้ว

สะดวกในการนำเสนอทุกสิ่งที่กล่าวมาข้างต้นในรูปแบบของลำดับการกระทำ

1. ก่อนอื่น คุณต้องหาจุดหักเหทั้งหมด x 0 ของจุดเปลี่ยนเว้าที่เป็นไปได้ โดยที่ f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ .
2. มาดูกันว่าอนุพันธ์จะเปลี่ยนสัญญาณที่จุดใด ค่าเหล่านี้คือค่าขาดของจุดเปลี่ยนเว้าและจุด M (x 0 ; f (x 0)) ที่สอดคล้องกับค่าเหล่านั้นคือจุดเปลี่ยนเว้าเอง

เพื่อความชัดเจน เราจะวิเคราะห์ปัญหาสองประการ

ตัวอย่างที่ 3

เงื่อนไข:เมื่อกำหนดฟังก์ชัน y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x พิจารณาว่ากราฟของฟังก์ชันนี้จะมีจุดเปลี่ยนและจุดนูนตรงจุดใด

สารละลาย

ฟังก์ชันที่ระบุถูกกำหนดให้กับจำนวนจริงทั้งชุด เราคำนวณอนุพันธ์อันดับหนึ่ง:

y" = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x " = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2

ทีนี้ ลองหาโดเมนของนิยามของอนุพันธ์อันดับ 1 กัน ยังเป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมดด้วย ซึ่งหมายความว่าความเท่าเทียมกัน lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ และ lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ ไม่สามารถพอใจกับค่าใด ๆ ของ x 0 .

เราคำนวณอนุพันธ์อันดับสอง:

ปี " " = = 1 10 · x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 · 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 · x 2 - x - 6

y "" = 0 ⇔ 1 10 · (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 = - 2, x 2 = 1 + 25 2 = 3

เราพบจุดขาดของจุดเปลี่ยนเว้าที่เป็นไปได้สองจุด - 2 และ 3 สิ่งที่เราต้องทำคือตรวจสอบว่าจุดใดที่อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมาย ลองวาดเส้นจำนวนแล้ววาดจุดเหล่านี้ลงไป หลังจากนั้นเราจะวางเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสองในช่วงเวลาผลลัพธ์

ส่วนโค้งแสดงทิศทางความนูนของกราฟในแต่ละช่วงเวลา

อนุพันธ์อันดับสองเปลี่ยนเครื่องหมายไปในทางตรงกันข้าม (จากบวกเป็นลบ) ที่จุดที่มี abscissa 3 ผ่านมันจากซ้ายไปขวา และยังทำสิ่งนี้ (จากลบไปบวก) ที่จุดที่มี abscissa 3 ซึ่งหมายความว่าเราสามารถสรุปได้ว่า x = - 2 และ x = 3 คือจุดขาดของจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟฟังก์ชัน พวกเขาจะสอดคล้องกับจุดกราฟ - 2; - 4 3 และ 3; - 15 8 .

ลองมาดูรูปภาพของแกนตัวเลขและสัญญาณผลลัพธ์ตามช่วงเวลาอีกครั้งเพื่อสรุปเกี่ยวกับจุดเว้าและนูน ปรากฎว่าส่วนนูนจะอยู่ที่ส่วน - 2; 3 และความเว้าบนส่วนต่างๆ (- ∞; - 2 ] และ [ 3; + ∞)

วิธีแก้ปัญหานั้นแสดงไว้อย่างชัดเจนบนกราฟ: สีน้ำเงินแสดงถึงความนูน สีแดงแสดงถึงความเว้า สีดำแสดงถึงจุดเปลี่ยนเว้า

คำตอบ:ความนูนจะอยู่ที่ส่วน - 2; 3 และความเว้าบนส่วนต่างๆ (- ∞; - 2 ] และ [ 3; + ∞)

ตัวอย่างที่ 4

เงื่อนไข:คำนวณ abscissa ของจุดเปลี่ยนเว้าทั้งหมดของกราฟของฟังก์ชัน y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 .

สารละลาย

โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่กำหนดคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด เราคำนวณอนุพันธ์:

y " = 1 8 · (x 2 + 3 x + 2) · x - 3 3 5 " = = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 " · (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 · (x - 3) 2 5

ต่างจากฟังก์ชันตรงที่อนุพันธ์อันดับหนึ่งจะไม่ถูกกำหนดด้วยค่า x เท่ากับ 3 แต่:

ลิม x → 3 - 0 ปี " (x) = 13 · (3 - 0) 2 - 6 · (3 - 0) - 39 40 · 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ ลิม x → 3 + 0 ปี " (x) = 13 · (3 + 0) 2 - 6 · (3 + 0) - 39 40 · 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞

ซึ่งหมายความว่าเส้นสัมผัสแนวตั้งของกราฟจะผ่านจุดนี้ไป ดังนั้น 3 อาจเป็นจุดขาดของจุดเปลี่ยนเว้า

เราคำนวณอนุพันธ์อันดับสอง นอกจากนี้เรายังพบโดเมนของคำจำกัดความและจุดที่เปลี่ยนเป็น 0:

y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39 " (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 · x - 3 2 5 " (x - 3) 4 5 = = 1 25 · 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y " " (x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 หยาบคาย 3, 4556, x 2 = 51 - 1509 26 data 0.4675

ตอนนี้เรามีจุดเปลี่ยนที่เป็นไปได้อีกสองจุด เรามาพล็อตพวกมันทั้งหมดบนเส้นจำนวนและทำเครื่องหมายช่วงเวลาผลลัพธ์ด้วยเครื่องหมาย:

ป้ายจะเปลี่ยนเมื่อผ่านจุดที่ระบุแต่ละจุดซึ่งหมายความว่าเป็นจุดเปลี่ยนทั้งหมด

คำตอบ:ลองวาดกราฟของฟังก์ชัน โดยกำหนดจุดเว้าเป็นสีแดง ส่วนนูนเป็นสีน้ำเงิน และจุดเปลี่ยนเว้าเป็นสีดำ:

เมื่อทราบเงื่อนไขแรกที่เพียงพอสำหรับการผันเว้า เราสามารถกำหนดจุดที่จำเป็นซึ่งไม่จำเป็นต้องมีอนุพันธ์อันดับสองอยู่ จากนี้เงื่อนไขแรกถือได้ว่าเป็นสากลที่สุดและเหมาะสมที่สุดสำหรับการแก้ปัญหาประเภทต่างๆ

โปรดทราบว่ายังมีเงื่อนไขการผันกลับอีกสองเงื่อนไข แต่สามารถใช้ได้เมื่อมีอนุพันธ์จำกัดที่จุดที่ระบุเท่านั้น

หากเรามี f "" (x 0) = 0 และ f """ (x 0) ≠ 0 แล้ว x 0 จะเป็น abscissa ของจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟ y = f (x)

ตัวอย่างที่ 5

เงื่อนไข:ให้ฟังก์ชัน y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 พิจารณาว่ากราฟของฟังก์ชันจะมีจุดเปลี่ยนที่จุดที่ 3 หรือไม่ 4 5 .

สารละลาย

สิ่งแรกที่ต้องทำคือต้องแน่ใจว่าจุดนี้จะอยู่ในกราฟของฟังก์ชันนี้

ปี (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5

ฟังก์ชันที่กำหนดถูกกำหนดไว้สำหรับอาร์กิวเมนต์ทั้งหมดที่เป็นจำนวนจริง มาคำนวณอนุพันธ์ตัวแรกและตัวที่สองกัน:

y" = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 " = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 " = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)

เราพบว่าอนุพันธ์อันดับสองจะเป็น 0 ถ้า x เท่ากับ 0 ซึ่งหมายความว่าเงื่อนไขการกลับทิศทางที่จำเป็นสำหรับจุดนี้จะเป็นที่พอใจ ตอนนี้เราใช้เงื่อนไขที่สอง: ค้นหาอนุพันธ์อันดับสามแล้วดูว่าจะเปลี่ยนเป็น 0 ที่ 3 หรือไม่:

ปี " " " = 1 10 (x - 3) " = 1 10

อนุพันธ์อันดับสามจะไม่หายไปจากค่า x ใดๆ ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าจุดนี้จะเป็นจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟฟังก์ชัน

คำตอบ:ลองแสดงวิธีแก้ปัญหาในภาพประกอบ:

สมมติว่า f "(x 0) = 0, f "" (x 0) = 0, ..., f (n) (x 0) = 0 และ f (n + 1) (x 0) ≠ 0 ในกรณีนี้ สำหรับเลขคู่ เราจะได้ว่า x 0 คือจุดหักเหของจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟ y = f (x)

ตัวอย่างที่ 6

เงื่อนไข:เมื่อกำหนดฟังก์ชัน y = (x - 3) 5 + 1 คำนวณจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟ

สารละลาย

ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดให้กับจำนวนจริงทั้งชุด เราคำนวณอนุพันธ์: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . เนื่องจากจะมีการกำหนดค่าจริงทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ด้วย แทนเจนต์ที่ไม่ใช่แนวตั้งจะมีอยู่ที่จุดใดก็ได้ในกราฟ

ทีนี้มาคำนวณว่าอนุพันธ์อันดับสองจะเปลี่ยนเป็น 0 ได้อย่างไร:

y "" = 5 · (x - 3) 4 " = 20 · x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

เราพบว่าที่ x = 3 กราฟของฟังก์ชันอาจมีจุดเปลี่ยนเว้า ลองใช้เงื่อนไขที่สามเพื่อยืนยันสิ่งนี้:

ปี " " " = 20 · (x - 3) 3 " = 60 · x - 3 2 , ปี " " " (3) = 60 · 3 - 3 2 = 0 ปี (4) = 60 · (x - 3) 2 " = 120 · (x - 3) , ปี (4) (3) = 120 · (3 - 3) = 0 ปี (5) = 120 · (x - 3) " = 120 , ปี (5) (3 ) = 120 ≠ 0

เรามี n = 4 ตามเงื่อนไขที่เพียงพอข้อที่สาม นี่คือเลขคู่ ซึ่งหมายความว่า x = 3 จะเป็นจุดหักล้างของจุดเปลี่ยนเว้าและจุดกราฟของฟังก์ชัน (3; 1) สอดคล้องกับจุดนั้น

คำตอบ:นี่คือกราฟของฟังก์ชันนี้ซึ่งมีจุดนูน ความเว้า และจุดเปลี่ยนเว้ากำกับไว้:

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

แนวคิดเรื่องความนูนของฟังก์ชัน

พิจารณาฟังก์ชัน \(y = f\left(x \right),\) ซึ่งถือว่าต่อเนื่องในช่วงเวลา \(\left[ (a,b) \right].\) ฟังก์ชัน \(y = f\ เรียกว่า left(x \right )\) นูนลง (หรือเพียงแค่ นูน) หากจุดใดๆ \((x_1)\) และ \((x_2)\) จาก \(\left[ (a,b) \right]\) ความไม่เท่าเทียมกัน \ หากความไม่เท่าเทียมกันนี้เข้มงวดสำหรับ \(( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) โดยที่ \((x_1) \ne (x_2),\) จากนั้นฟังก์ชัน \(f\left(x \right) \) ถูกเรียก นูนลงอย่างเคร่งครัด

ฟังก์ชันนูนขึ้นถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชัน \(f\left(x \right)\) ถูกเรียก นูนขึ้น (หรือ เว้า) หากจุดใดๆ \((x_1)\) และ \((x_2)\) ของส่วน \(\left[ (a,b) \right]\) ความไม่เท่าเทียมกัน \ หากความไม่เท่าเทียมกันนี้เข้มงวดสำหรับ \ ใดๆ (( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) โดยที่ \((x_1) \ne (x_2),\) จากนั้นฟังก์ชัน \(f\left(x \ ขวา) \) ถูกเรียก นูนขึ้นอย่างเคร่งครัด บนส่วน \(\left[ (a,b) \right].\)

การตีความทางเรขาคณิตของความนูนของฟังก์ชัน

คำจำกัดความที่แนะนำของฟังก์ชันนูนมีการตีความทางเรขาคณิตอย่างง่าย

สำหรับฟังก์ชันนั้น นูนลง (รูปที่ \(1\)) จุดกึ่งกลาง \(B\) ของคอร์ดใดๆ \((A_1)(A_2)\) อยู่ สูงกว่า

ในทำนองเดียวกันสำหรับฟังก์ชัน นูนขึ้น (รูปที่ \(2\)) จุดกึ่งกลาง \(B\) ของคอร์ดใดๆ \((A_1)(A_2)\) อยู่ ด้านล่างจุดที่สอดคล้องกัน \((A_0)\) ของกราฟฟังก์ชันหรือเกิดขึ้นพร้อมกับจุดนี้

ฟังก์ชันนูนมีคุณสมบัติทางภาพอื่นซึ่งเกี่ยวข้องกับตำแหน่ง แทนเจนต์ ไปยังกราฟของฟังก์ชัน ฟังก์ชัน \(f\left(x \right)\) คือ นูนลง บนเซ็กเมนต์ \(\left[ (a,b) \right]\) ถ้าหากกราฟของมันอยู่ไม่ต่ำกว่าแทนเจนต์ที่วาดไปที่จุดใดๆ \((x_0)\) ของเซ็กเมนต์ \(\left [ (a ,b) \right]\) (รูปที่ \(3\))

ดังนั้น ฟังก์ชัน \(f\left(x \right)\) คือ นูนขึ้น บนเซกเมนต์ \(\left[ (a,b) \right]\) ถ้ากราฟของมันอยู่ไม่สูงกว่าค่าแทนเจนต์ที่วาดไปที่จุดใดๆ \((x_0)\) ของเซ็กเมนต์ \(\left [ (a ,b) \right]\) (รูปที่ \(4\)) คุณสมบัติเหล่านี้ประกอบขึ้นเป็นทฤษฎีบทและสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้คำจำกัดความของความนูนของฟังก์ชัน

เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการนูน

ปล่อยให้ฟังก์ชัน \(f\left(x \right)\) มีอนุพันธ์อันดับหนึ่ง \(f"\left(x \right)\) อยู่ในช่วง \(\left[ (a,b) \right], \) และอนุพันธ์อันดับสอง \(f""\left(x \right)\) - ในช่วงเวลา \(\left((a,b) \right).\) ดังนั้นเกณฑ์ที่เพียงพอต่อไปนี้สำหรับความนูนจึงใช้ได้:

ถ้า \(f""\left(x \right) \ge 0\) สำหรับ \(x \in \left((a,b) \right),\) ทั้งหมด แล้วฟังก์ชัน \(f\left(x \ ขวา )\) นูนลง บนส่วน \(\left[ (a,b) \right];\)

ถ้า \(f""\left(x \right) \le 0\) สำหรับ \(x \in \left((a,b) \right),\) ทั้งหมด แล้วฟังก์ชัน \(f\left(x \ ขวา )\) นูนขึ้น บนส่วน \(\left[ (a,b) \right].\)

ในกรณีที่อนุพันธ์อันดับสองมีค่ามากกว่า (น้อยกว่า) ศูนย์อย่างเคร่งครัด เราจะพูดถึงตามลำดับ ความนูนที่เข้มงวดลดลง (หรือ ขึ้น ).

ขอให้เราพิสูจน์ทฤษฎีบทข้างต้นสำหรับกรณีของฟังก์ชันนูนลง ปล่อยให้ฟังก์ชัน \(f\left(x \right)\) มีอนุพันธ์อันดับสองที่ไม่เป็นลบในช่วงเวลา \(\left((a,b) \right):\) \(f""\left(x \right) \ge 0.\) ให้เราแสดงด้วย \((x_0)\) จุดกึ่งกลางของส่วน \(\left[ ((x_1),(x_2)) \right].\) สมมติว่าความยาวของ ส่วนนี้เท่ากับ \(2h.\) จากนั้นพิกัด \((x_1)\) และ \((x_2)\) สามารถเขียนเป็น: \[(x_1) = (x_0) - h,\;\; (x_2) = (x_0) + h.\] ให้เราขยายฟังก์ชัน \(f\left(x \right)\) ที่จุด \((x_0)\) ให้เป็นอนุกรม Taylor โดยมีเทอมที่เหลืออยู่ในรูปลากรองจ์ . เราได้นิพจน์ต่อไปนี้: \[ (f\left(((x_1)) \right) = f\left(((x_0) - h) \right) ) = (f\left(((x_0)) \right ) - f"\left(((x_0)) \right)h + \frac((f""\left(((\xi _1)) \right)(h^2)))((2},} \] \[ {f\left({{x_2}} \right) = f\left({{x_0} + h} \right) } = {f\left({{x_0}} \right) + f"\left({{x_0}} \right)h + \frac{{f""\left({{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},} \] где \({x_0} - h !}
ลองบวกทั้งสองความเท่าเทียมกัน: \[ (f\left(((x_1)) \right) + f\left(((x_2)) \right) ) = (2f\left(((x_0)) \right) + \ frac (((h^2)))(2)\left[ (f""\left(((\xi _1)) \right) + f""\left(((\xi _2)) \right) ) \right].) \] เนื่องจาก \((\xi _1),(\xi _2) \in \left((a,b) \right),\) ดังนั้นอนุพันธ์อันดับสองทางด้านขวาจึงไม่เป็นลบ . ดังนั้น \ หรือ \ นั่นคือ ตามคำจำกัดความ ฟังก์ชัน \(f\left(x \right)\) นูนลง .

โปรดสังเกตว่าเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับความนูนของฟังก์ชัน (นั่นคือ ทฤษฎีบทโดยตรงที่ ตัวอย่างเช่น จากเงื่อนไขความนูนลงมาจะเป็นไปตามที่ \(f""\left(x \right) \ge 0\)) พอใจเฉพาะความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่เข้มงวดเท่านั้น ในกรณีที่มีการนูนอย่างเข้มงวด โดยทั่วไปแล้วเงื่อนไขที่จำเป็นคือไม่พอใจ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน \(f\left(x \right) = (x^4)\) มีลักษณะนูนลงอย่างเคร่งครัด อย่างไรก็ตาม ณ จุด \(x = 0\) อนุพันธ์อันดับสองของมันจะเท่ากับศูนย์ นั่นคือ อสมการที่เข้มงวด \(f""\left(x \right) \gt 0\) ไม่ถือในกรณีนี้

คุณสมบัติของฟังก์ชันนูน

ให้เราแสดงรายการคุณสมบัติของฟังก์ชันนูน โดยสมมติว่าฟังก์ชันทั้งหมดถูกกำหนดและต่อเนื่องกันในช่วงเวลา \(\left[ (a,b) \right].\)

หากฟังก์ชัน \(f\) และ \(g\) นูนขึ้น (ขึ้น) ดังนั้นฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่ง การรวมกันเชิงเส้น \(af + bg,\) โดยที่ \(a\), \(b\) เป็นจำนวนจริงบวก ก็จะนูนลง (ขึ้นด้านบน) เช่นกัน

ถ้าฟังก์ชัน \(u = g\left(x \right)\) นูนลง และฟังก์ชัน \(y = f\left(u \right)\) นูนลงและไม่ลดลง ดังนั้น ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) ก็จะนูนลงเช่นกัน

ถ้าฟังก์ชัน \(u = g\left(x \right)\) นูนขึ้น และฟังก์ชัน \(y = f\left(u \right)\) นูนลงและไม่เพิ่มขึ้น ดังนั้น ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) จะนูนลง

สูงสุดในท้องถิ่น ฟังก์ชันนูนขึ้นที่กำหนดในช่วงเวลา \(\left[ (a,b) \right],\) ก็เช่นกัน มูลค่าสูงสุด ในส่วนนี้

ขั้นต่ำในท้องถิ่น ฟังก์ชันนูนลงที่กำหนดในช่วงเวลา \(\left[ (a,b) \right],\) ก็เช่นกัน ค่าต่ำสุด ในส่วนนี้