สมการกำลังสองโดยใช้วิธีช่วง วิธีการแบบช่วง ตัวอย่าง วิธีแก้ไข

ในบทนี้ เราจะดำเนินการแก้ไขอสมการเชิงตรรกยะต่อไปโดยใช้วิธีช่วงเวลาต่อไป ความไม่เท่าเทียมกันที่ซับซ้อน- ให้เราพิจารณาคำตอบของอสมการกำลังสองเชิงเส้นและเศษส่วนและปัญหาที่เกี่ยวข้องกัน

ทีนี้ กลับมาที่ความไม่เท่าเทียมกันกัน

ลองดูงานที่เกี่ยวข้องกัน

ค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่เล็กที่สุดสำหรับอสมการ

ค้นหาจำนวนวิธีแก้ปัญหาตามธรรมชาติของอสมการ

ค้นหาความยาวของช่วงเวลาที่ประกอบกันเป็นชุดคำตอบของอสมการ

2. พอร์ทัลวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ ()

3. ความซับซ้อนทางการศึกษาและระเบียบวิธีอิเล็กทรอนิกส์สำหรับการเตรียมเกรด 10-11 สำหรับ การสอบเข้าในวิทยาการคอมพิวเตอร์ คณิตศาสตร์ ภาษารัสเซีย ()

5. ศูนย์การศึกษา “เทคโนโลยีการสอน” ()

6. ส่วน College.ru เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ ()

1. มอร์ดโควิช เอ.จี. และอื่น ๆ พีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 9: หนังสือปัญหาสำหรับนักเรียนสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina ฯลฯ - ฉบับที่ 4 - อ.: Mnemosyne, 2002.-143 หน้า: ป่วย ลำดับที่ 28(ข,ค); 29(ข,ค); 35(ก,ข); 37(ข,ค); 38(ก)

จำเป็นต้องเปรียบเทียบปริมาณและปริมาณเมื่อแก้ไขปัญหาเชิงปฏิบัติมาตั้งแต่สมัยโบราณ ในเวลาเดียวกันคำเช่นมากขึ้นและน้อยลง, สูงขึ้นและต่ำ, เบาและหนักขึ้น, เงียบและดังขึ้น, ถูกและแพงมากขึ้น ฯลฯ ปรากฏขึ้นซึ่งแสดงถึงผลลัพธ์ของการเปรียบเทียบปริมาณที่เป็นเนื้อเดียวกัน

แนวคิดเรื่องมากขึ้นเรื่อยๆ เกิดขึ้นจากการนับวัตถุ การวัด และการเปรียบเทียบปริมาณ ตัวอย่างเช่น นักคณิตศาสตร์ในยุคกรีกโบราณรู้ว่าด้านของสามเหลี่ยมใดๆ น้อยกว่าผลรวมของอีกสองด้านที่เหลือ และด้านที่ใหญ่กว่านั้นอยู่ตรงข้ามกับมุมที่ใหญ่กว่าของสามเหลี่ยม ขณะคำนวณเส้นรอบวงของอาร์คิมิดีส พบว่าเส้นรอบวงของวงกลมใดๆ มีค่าเท่ากับสามเท่าของเส้นผ่านศูนย์กลาง โดยส่วนที่เกินนั้นน้อยกว่าหนึ่งในเจ็ดของเส้นผ่านศูนย์กลาง แต่มากกว่าสิบเจ็ดสิบเท่าของเส้นผ่านศูนย์กลาง

เขียนความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขและปริมาณเชิงสัญลักษณ์โดยใช้เครื่องหมาย > และ b บันทึกที่มีตัวเลขสองตัวเชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายตัวใดตัวหนึ่ง: > (มากกว่า) คุณยังพบความไม่เท่าเทียมกันของตัวเลขในเกรดที่ต่ำกว่าอีกด้วย คุณรู้ว่าความไม่เท่าเทียมกันสามารถเป็นจริงได้ หรืออาจเป็นเท็จก็ได้ ตัวอย่างเช่น \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) คืออสมการเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง 0.23 > 0.235 คืออสมการเชิงตัวเลขที่ไม่ถูกต้อง

ความไม่เท่าเทียมกันที่เกี่ยวข้องกับสิ่งไม่รู้อาจเป็นจริงสำหรับค่าบางอย่างของสิ่งที่ไม่รู้และเป็นเท็จสำหรับค่าอื่น ๆ ตัวอย่างเช่น อสมการ 2x+1>5 เป็นจริงสำหรับ x = 3 แต่เป็นเท็จสำหรับ x = -3 สำหรับความไม่เท่าเทียมกันกับสิ่งที่ไม่รู้จัก คุณสามารถกำหนดงานได้: แก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน ปัญหาการแก้ไขอสมการในทางปฏิบัตินั้นถูกวางและแก้ไขไม่น้อยไปกว่าปัญหาการแก้สมการ ตัวอย่างเช่น ปัญหาทางเศรษฐกิจมากมายเกิดขึ้นที่การศึกษาและการแก้ปัญหาระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น ในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ อสมการเป็นเรื่องธรรมดามากกว่าสมการ

อสมการบางอย่างทำหน้าที่เป็นวิธีช่วยเพียงวิธีเดียวในการพิสูจน์หรือพิสูจน์การมีอยู่ของวัตถุบางอย่าง เช่น รากของสมการ

อสมการเชิงตัวเลข

คุณสามารถเปรียบเทียบจำนวนเต็มได้หรือไม่? ทศนิยม- รู้กฎเกณฑ์ในการเปรียบเทียบเศษส่วนสามัญที่มีตัวส่วนเหมือนกันแต่มีตัวเศษต่างกัน กับ ตัวเศษที่เหมือนกัน, แต่ ตัวส่วนที่แตกต่างกัน- ที่นี่คุณจะได้เรียนรู้วิธีการเปรียบเทียบตัวเลขสองตัวใดๆ โดยการค้นหาสัญลักษณ์ของความแตกต่าง

การเปรียบเทียบตัวเลขมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในทางปฏิบัติ ตัวอย่างเช่น นักเศรษฐศาสตร์เปรียบเทียบตัวบ่งชี้ที่วางแผนไว้กับตัวบ่งชี้ที่เกิดขึ้นจริง แพทย์จะเปรียบเทียบอุณหภูมิของผู้ป่วยกับอุณหภูมิปกติ ช่างกลึงจะเปรียบเทียบขนาดของชิ้นส่วนที่กลึงกับมาตรฐาน ในกรณีดังกล่าวทั้งหมด จะมีการเปรียบเทียบตัวเลขบางจำนวน ผลจากการเปรียบเทียบตัวเลขทำให้เกิดความไม่เท่าเทียมกันทางตัวเลข

คำนิยาม.หมายเลข ก จำนวนมากขึ้นข ถ้า ความแตกต่าง a-bเชิงบวก. หมายเลข ก จำนวนน้อยลง b ถ้าผลต่าง a-b เป็นลบ

ถ้า a มากกว่า b แสดงว่า: a > b; ถ้า a น้อยกว่า b ก็เขียนว่า: a ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกัน a > b หมายความว่าความแตกต่าง a - b เป็นบวก นั่นคือ a - b > 0. อสมการ a สำหรับตัวเลขสองตัวใดๆ a และ b จากความสัมพันธ์สามค่าต่อไปนี้ a > b, a = b, a ในการเปรียบเทียบตัวเลข a และ b หมายถึงการหาว่าเครื่องหมายใด >, = หรือ ทฤษฎีบท.ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c

ทฤษฎีบท.หากคุณบวกเลขเดียวกันทั้งสองด้านของอสมการ เครื่องหมายของอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง
ผลที่ตามมาคำใดๆ สามารถย้ายจากส่วนหนึ่งของความไม่เท่าเทียมกันไปยังอีกส่วนหนึ่งได้โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของคำนี้ไปเป็นคำตรงกันข้าม

ทฤษฎีบท.หากอสมการทั้งสองข้างคูณด้วยจำนวนบวกเท่ากัน เครื่องหมายของอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง หากอสมการทั้งสองข้างคูณด้วยจำนวนลบเท่ากัน สัญญาณของอสมการจะเปลี่ยนไปตรงกันข้าม
ผลที่ตามมาหากอสมการทั้งสองด้านหารด้วยจำนวนบวกเท่ากัน สัญญาณของอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง หากอสมการทั้งสองข้างหารด้วยจำนวนลบเท่ากัน สัญญาณของอสมการจะเปลี่ยนไปตรงกันข้าม

คุณรู้ว่าความเท่าเทียมกันของตัวเลขสามารถบวกและคูณทีละเทอมได้ ต่อไป คุณจะได้เรียนรู้วิธีดำเนินการที่คล้ายกันกับความไม่เท่าเทียมกัน ความสามารถในการบวกและคูณความไม่เท่าเทียมกันแบบคำต่อคำมักใช้ในทางปฏิบัติ การกระทำเหล่านี้ช่วยแก้ปัญหาในการประเมินและเปรียบเทียบความหมายของสำนวน

เมื่อแก้ไขปัญหาต่างๆ มักจำเป็นต้องบวกหรือคูณด้านซ้ายและขวาของอสมการทีละเทอม ในขณะเดียวกันก็มีการกล่าวกันว่าความไม่เท่าเทียมกันนั้นเพิ่มขึ้นหรือทวีคูณ ตัวอย่างเช่น หากนักท่องเที่ยวเดินมากกว่า 20 กม. ในวันแรก และมากกว่า 25 กม. ในวันที่สอง เราสามารถพูดได้ว่าในสองวันเขาเดินมากกว่า 45 กม. ในทำนองเดียวกัน หากความยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้าน้อยกว่า 13 ซม. และความกว้างน้อยกว่า 5 ซม. เราก็บอกได้ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้น้อยกว่า 65 ซม. 2

เมื่อพิจารณาตัวอย่างเหล่านี้ มีการใช้สิ่งต่อไปนี้: ทฤษฎีบทการบวกและการคูณอสมการ:

ทฤษฎีบท.เมื่อบวกความไม่เท่าเทียมกันของเครื่องหมายเดียวกัน จะได้ความไม่เท่าเทียมกันของเครื่องหมายเดียวกัน: ถ้า a > b และ c > d แล้ว a + c > b + d

ทฤษฎีบท.เมื่อคูณอสมการของเครื่องหมายเดียวกันซึ่งมีด้านซ้ายและขวาเป็นบวก จะได้ค่าอสมการของเครื่องหมายเดียวกัน: ถ้า a > b, c > d และ a, b, c, d เป็นจำนวนบวก แล้ว ac > bd

อสมการที่มีเครื่องหมาย > (มากกว่า) และ 1/2, 3/4 b, c พร้อมด้วยเครื่องหมายของอสมการเข้มงวด > และในทำนองเดียวกัน อสมการ \(a \geq b \) หมายความว่าจำนวน a คือ มากกว่าหรือเท่ากับ b นั่นคือ . และไม่น้อยกว่า b

อสมการที่มีเครื่องหมาย \(\geq \) หรือเครื่องหมาย \(\leq \) เรียกว่าไม่เข้มงวด ตัวอย่างเช่น \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) ไม่ใช่อสมการที่เข้มงวด

คุณสมบัติทั้งหมดของอสมการเข้มงวดยังใช้ได้กับอสมการที่ไม่เข้มงวดเช่นกัน ยิ่งกว่านั้น หากสำหรับความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด เครื่องหมาย > ถือว่าตรงกันข้าม และคุณรู้ว่าในการแก้ปัญหาที่ประยุกต์จำนวนหนึ่ง คุณต้องสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบของสมการหรือระบบสมการ ต่อไป คุณจะได้เรียนรู้ว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับการแก้ปัญหาต่างๆ นั้นเป็นความไม่เท่าเทียมกับสิ่งที่ไม่รู้ เราจะแนะนำแนวคิดในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันและแสดงวิธีการตรวจสอบว่า หมายเลขที่กำหนดการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันโดยเฉพาะ

ความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม
\(ax > b, \quad ax โดยให้ a และ b เป็นตัวเลข ส่วน x เป็นค่าที่ไม่รู้จัก เรียกว่า อสมการเชิงเส้นกับค่าที่ไม่รู้จัก.

คำนิยาม.วิธีแก้อสมการโดยมีค่าที่ไม่ทราบคือค่าของค่าที่ไม่ทราบ ซึ่งอสมการนี้จะกลายเป็นอสมการเชิงตัวเลขที่แท้จริง การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันหมายถึงการค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดหรือพิสูจน์ว่าไม่มีเลย

คุณแก้สมการโดยลดให้เหลือสมการที่ง่ายที่สุด ในทำนองเดียวกัน เมื่อแก้ไขอสมการ เราพยายามลดอสมการเหล่านี้ให้อยู่ในรูปของอสมการธรรมดาโดยใช้คุณสมบัติ

การแก้อสมการระดับสองด้วยตัวแปรตัวเดียว

ความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม
\(ax^2+bx+c >0 \) และ \(ax^2+bx+c โดยที่ x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง และ \(a \neq 0 \) เรียกว่า อสมการระดับที่สองกับตัวแปรหนึ่งตัว.

การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน
\(ax^2+bx+c >0 \) หรือ \(ax^2+bx+c ถือได้ว่าเป็นการค้นหาช่วงเวลาที่ฟังก์ชัน \(y= ax^2+bx+c \) รับค่าบวกหรือค่าลบ ค่า ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอที่จะวิเคราะห์ว่ากราฟของฟังก์ชัน \(y= ax^2+bx+c\) อยู่ในระนาบพิกัดอย่างไร: โดยที่กิ่งก้านของพาราโบลาถูกชี้ทิศทาง - ขึ้นหรือลงไม่ว่า พาราโบลาตัดแกน x และถ้ามันตัด แล้วจุดที่ใด

อัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการระดับสองด้วยตัวแปรเดียว:
1) ค้นหาการแบ่งแยกของตรีโกณมิติกำลังสอง \(ax^2+bx+c\) และค้นหาว่าตรีโกณมิติมีรากหรือไม่
2) ถ้าตรีโกณมิติมีราก ให้ทำเครื่องหมายไว้บนแกน x และวาดพาราโบลาแผนผังผ่านจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ โดยกิ่งก้านของมันจะชี้ขึ้นด้านบนสำหรับ a > 0 หรือด้านล่างสำหรับ 0 หรือด้านล่างสำหรับ 3) หาช่วงเวลาบนแกน x ซึ่งมีจุดพาราโบลาอยู่เหนือแกน x (หากพาราโบลาแก้สมการ \(ax^2+bx+c >0\)) หรือต่ำกว่าแกน x (หากพาราโบลาแก้สมการ ความไม่เท่าเทียมกัน
\(ax^2+bx+c การแก้อสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลา

พิจารณาฟังก์ชัน
ฉ(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

โดเมนของฟังก์ชันนี้คือเซตของตัวเลขทั้งหมด ศูนย์ของฟังก์ชันคือตัวเลข -2, 3, 5 โดยแบ่งโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันออกเป็นระยะ \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) และ \( (5; +\infty)\)

ให้เราดูว่าสัญญาณของฟังก์ชันนี้คืออะไรในแต่ละช่วงเวลาที่ระบุ

นิพจน์ (x + 2)(x - 3)(x - 5) เป็นผลคูณของปัจจัย 3 ตัว เครื่องหมายของแต่ละปัจจัยเหล่านี้ในช่วงเวลาที่พิจารณาแสดงอยู่ในตาราง:

โดยทั่วไป ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดโดยสูตร
ฉ(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n)
โดยที่ x คือตัวแปร และ x 1, x 2, ..., xn คือตัวเลขที่ไม่เท่ากัน ตัวเลข x 1 , x 2 , ..., xn เป็นศูนย์ของฟังก์ชัน ในแต่ละช่วงเวลาที่โดเมนของคำจำกัดความถูกหารด้วยศูนย์ของฟังก์ชัน เครื่องหมายของฟังก์ชันจะยังคงอยู่ และเมื่อผ่านศูนย์ เครื่องหมายก็จะเปลี่ยนไป

คุณสมบัตินี้ใช้เพื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) โดยที่ x 1, x 2, ..., xn เป็นตัวเลขที่ไม่เท่ากัน

วิธีพิจารณา การแก้ไขอสมการเรียกว่าวิธีแบบช่วงเวลา

ให้เรายกตัวอย่างการแก้ไขอสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลา

แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน:

\(x(0.5-x)(x+4) แน่นอนว่า ค่าศูนย์ของฟังก์ชัน f(x) = x(0.5-x)(x+4) คือจุด \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)

เราพล็อตค่าศูนย์ของฟังก์ชันบนแกนตัวเลขและคำนวณเครื่องหมายในแต่ละช่วงเวลา:

เราเลือกช่วงเวลาที่ฟังก์ชันน้อยกว่าหรือเท่ากับศูนย์แล้วจดคำตอบไว้

คำตอบ:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

วิธีช่วงเวลาถือเป็นวิธีสากลในการแก้ไขอสมการ บางครั้งวิธีนี้ก็เรียกว่าวิธีช่องว่าง สามารถใช้ทั้งในการแก้อสมการเชิงตรรกศาสตร์กับตัวแปรตัวเดียวและสำหรับอสมการประเภทอื่น ในเนื้อหาของเรา เราพยายามใส่ใจกับทุกแง่มุมของปัญหา

สิ่งที่รอคุณอยู่ในส่วนนี้? เราจะวิเคราะห์วิธีช่วงเวลาและพิจารณาอัลกอริธึมสำหรับการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันโดยใช้วิธีดังกล่าว ให้เราสัมผัสถึงแง่มุมทางทฤษฎีที่เป็นพื้นฐานของการประยุกต์ใช้วิธีการนี้

เราให้ความสนใจเป็นพิเศษกับความแตกต่างของหัวข้อที่ปกติจะไม่ครอบคลุมถึง หลักสูตรของโรงเรียน- ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาหลักเกณฑ์ในการจัดเรียงป้ายตามช่วงเวลาและวิธีการจัดป้ายตามช่วงเวลา ปริทัศน์โดยไม่เกี่ยวข้องกับความไม่เท่าเทียมเชิงเหตุผล

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

อัลกอริทึม

ใครจำวิธีทำความคุ้นเคยกับวิธีการเว้นช่วงได้บ้าง หลักสูตรของโรงเรียนพีชคณิต? โดยปกติแล้วทุกอย่างจะเริ่มต้นด้วยการแก้อสมการในรูปแบบ f (x)< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >หรือ ≥) ในที่นี้ f(x) อาจเป็นพหุนามหรืออัตราส่วนของพหุนามก็ได้ ในทางกลับกัน พหุนามสามารถแสดงได้เป็น:

• ผลคูณของทวินามเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์ 1 สำหรับตัวแปร x
• งาน ตรีโกณมิติกำลังสองโดยมีค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็น 1 และมีการแบ่งแยกรากของพวกมันเป็นลบ

นี่คือตัวอย่างบางส่วนของความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว:

(x + 3) · (x 2 − x + 1) · (x + 2) 3 ≥ 0,

(x - 2) · (x + 5) x + 3 > 0,

(x − 5) · (x + 5) ≤ 0,

(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0

ให้เราเขียนอัลกอริทึมสำหรับแก้ไขอสมการประเภทนี้ดังที่เราได้ให้ไว้ในตัวอย่างโดยใช้วิธีช่วงเวลา:

• เราค้นหาศูนย์ของตัวเศษและส่วนด้วยเหตุนี้เราจึงถือเอาตัวเศษและตัวส่วนของนิพจน์ทางด้านซ้ายของอสมการให้เป็นศูนย์และแก้สมการผลลัพธ์
• เรากำหนดจุดที่สอดคล้องกับศูนย์ที่พบและทำเครื่องหมายด้วยขีดกลางบนแกนพิกัด
• กำหนดสัญญาณการแสดงออก ฉ(x)จากด้านซ้ายของอสมการที่แก้ได้ในแต่ละช่วงแล้วนำมาวางบนกราฟ
• ใช้การแรเงาเหนือส่วนที่ต้องการของกราฟ ตามคำแนะนำของ กฎต่อไปนี้: กรณีความไม่เท่าเทียมกันมีสัญญาณ< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >หรือ ≥ จากนั้นเราจะเน้นด้วยการแรเงาบริเวณที่มีเครื่องหมาย “+”

รูปแบบที่เราจะใช้งานอาจมีมุมมองแผนผัง รายละเอียดที่มากเกินไปอาจทำให้ภาพวาดทำงานหนักเกินไปและทำให้แก้ไขได้ยาก เราจะสนใจเรื่องขนาดเพียงเล็กน้อย พอจะติดได้. ตำแหน่งที่ถูกต้องจุดเมื่อค่าพิกัดเพิ่มขึ้น

เมื่อทำงานกับความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด เราจะใช้สัญลักษณ์ของจุดในรูปของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ไม่มีการเติมเต็ม (ว่างเปล่า) ในกรณีของความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่เข้มงวด เราจะพรรณนาจุดที่ตรงกับศูนย์ของตัวส่วนว่าว่างเปล่า และส่วนที่เหลือทั้งหมดเป็นสีดำธรรมดา

จุดที่ทำเครื่องหมายไว้จะแบ่งเส้นพิกัดออกเป็นช่วงตัวเลขหลายช่วง สิ่งนี้ช่วยให้เราได้การแสดงทางเรขาคณิตของเซตตัวเลข ซึ่งจริงๆ แล้วเป็นวิธีแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันนี้

ศาสตร์แห่งวิธีช่องว่าง

วิธีการที่ใช้เมธอดช่วงเวลาจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่องต่อไปนี้: ฟังก์ชันจะคงเครื่องหมายคงที่ในช่วงเวลา (a, b) ซึ่งฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องและไม่หายไป คุณสมบัติเดียวกันนี้เป็นลักษณะของรังสีตัวเลข (− ∞ , a) และ (ก, + ∞).

คุณสมบัติของฟังก์ชันนี้ได้รับการยืนยันโดยทฤษฎีบทโบลซาโน-คอชี ซึ่งมีอยู่ในหนังสือเรียนหลายเล่มเพื่อเตรียมสอบเข้า

ความคงตัวของเครื่องหมายตามช่วงเวลาสามารถพิสูจน์ได้บนพื้นฐานของคุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลข ตัวอย่างเช่น หาอสมการ x - 5 x + 1 > 0 หากเราหาศูนย์ของทั้งเศษและส่วนแล้วพล็อตพวกมันบนเส้นจำนวน เราจะได้ชุดของช่วงเวลา: (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) และ (5 , + ∞)

ขอให้เราใช้ช่วงเวลาใดๆ และแสดงไว้ว่าตลอดช่วงเวลาทั้งหมด นิพจน์ทางด้านซ้ายของอสมการจะมีเครื่องหมายคงที่ ให้นี่เป็นช่วงเวลา (− ∞ , − 1) ลองหาเลข t ใดๆ จากช่วงนี้กัน มันจะเป็นไปตามเงื่อนไขt< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

การใช้ทั้งผลลัพธ์อสมการและคุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลข เราสามารถสรุปได้ว่า t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения ทีในช่วงเวลา (− ∞ , − 1)

การใช้กฎการหาร ตัวเลขติดลบเราสามารถพูดได้ว่าค่าของนิพจน์ t - 5 t + 1 จะเป็นค่าบวก ซึ่งหมายความว่าค่าของนิพจน์ x - 5 x + 1 จะเป็นค่าบวกสำหรับค่าใดๆ xจากระหว่าง (− ∞ , − 1) - ทั้งหมดนี้ทำให้เรายืนยันได้ว่าในช่วงเวลาที่เป็นตัวอย่าง นิพจน์จะมีเครื่องหมายคงที่ ในกรณีของเรา นี่คือเครื่องหมาย “+”

การหาศูนย์ของทั้งเศษและส่วน

อัลกอริทึมในการค้นหาศูนย์นั้นง่าย: เราถือนิพจน์จากตัวเศษและส่วนให้เป็นศูนย์และแก้สมการผลลัพธ์ หากคุณมีปัญหาใดๆ โปรดดูหัวข้อ “การแก้สมการด้วยการแยกตัวประกอบ” ในส่วนนี้เราจะจำกัดตัวเองอยู่แค่เพียงดูตัวอย่างเท่านั้น

พิจารณาเศษส่วน x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 เพื่อที่จะหาศูนย์ของทั้งเศษและส่วน เราจะทำให้มันเป็นศูนย์เพื่อให้ได้และแก้สมการ: x (x − 0, 6) = 0 และ x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.

ในกรณีแรก เราสามารถไปที่เซตของสมการสองตัว x = 0 และ x − 0, 6 = 0 ซึ่งให้ราก 0 และ 0, 6 กับเราสองตัว เหล่านี้คือศูนย์ของตัวเศษ.

สมการที่สองเทียบเท่ากับเซตของสมการสามตัว x 7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0 . เราทำการแปลงเป็นชุดและรับ x = 0, x 2 + 2 · x + 7 = 0, x + 5 = 0 รากของสมการแรกคือ 0 สมการที่สองไม่มีราก เนื่องจากมีการแบ่งแยกที่เป็นลบ รากของสมการที่สามคือ 5 พวกนี้คือศูนย์ของตัวส่วน.

0 นิ้ว ในกรณีนี้เป็นทั้งศูนย์ของตัวเศษและศูนย์ของตัวส่วน

โดยทั่วไป เมื่อด้านซ้ายของอสมการมีเศษส่วนที่ไม่จำเป็นต้องเป็นตรรกยะ ตัวเศษและส่วนก็จะเท่ากับศูนย์เพื่อให้ได้สมการ การแก้สมการช่วยให้คุณค้นหาศูนย์ของตัวเศษและส่วนได้

การกำหนดเครื่องหมายของช่วงเวลานั้นทำได้ง่าย ในการทำเช่นนี้ คุณสามารถค้นหาค่าของนิพจน์ได้จากด้านซ้ายของอสมการของจุดใดๆ ที่เลือกโดยพลการจากช่วงเวลาที่กำหนด เครื่องหมายผลลัพธ์ของค่านิพจน์ ณ จุดที่เลือกโดยพลการในช่วงเวลาจะตรงกับเครื่องหมายของช่วงเวลาทั้งหมด

ลองดูคำสั่งนี้พร้อมตัวอย่าง

ลองหาอสมการ x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0 กัน นิพจน์ทางด้านซ้ายของอสมการไม่มีเลขศูนย์ในตัวเศษ ศูนย์ของตัวส่วนจะเป็นเลข - 3 เราได้ช่วงสองช่วงบนเส้นจำนวน (− ∞ , − 3) และ (− 3 , + ∞)

เพื่อกำหนดสัญญาณของช่วงเวลา เราคำนวณค่าของนิพจน์ x 2 - x + 4 x + 3 สำหรับคะแนนที่ได้รับโดยพลการในแต่ละช่วงเวลา

ตั้งแต่ช่องว่างแรก (− ∞ , − 3) เอาล่ะ - 4 ที่ x = − 4เรามี (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24 เราได้รับค่าลบ ซึ่งหมายความว่าช่วงเวลาทั้งหมดจะมีเครื่องหมาย "-"

สำหรับช่องว่างนั้น (− 3 , + ∞) เรามาคำนวณจุดที่มีพิกัดเป็นศูนย์กันดีกว่า ที่ x = 0 เรามี 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3 ได้รับ ค่าบวกซึ่งหมายความว่าช่วงเวลาทั้งหมดจะมีเครื่องหมาย “+”

คุณสามารถใช้วิธีอื่นในการกำหนดสัญญาณ ในการทำเช่นนี้เราสามารถค้นหาเครื่องหมายในช่วงเวลาใดช่วงหนึ่งแล้วบันทึกหรือเปลี่ยนแปลงเมื่อผ่านศูนย์ ในการทำทุกอย่างอย่างถูกต้องจำเป็นต้องปฏิบัติตามกฎ: เมื่อผ่านศูนย์ตัวส่วน แต่ไม่ใช่ตัวเศษหรือตัวเศษ แต่ไม่ใช่ตัวส่วนเราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นเครื่องหมายตรงข้ามได้หากระดับของ นิพจน์ที่ให้ศูนย์นี้เป็นเลขคี่ และเราไม่สามารถเปลี่ยนเครื่องหมายได้ ถ้าดีกรีเป็นเลขคู่ หากเราได้รับจุดที่เป็นทั้งศูนย์ของทั้งเศษและส่วน เราจะสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นค่าตรงข้ามได้ก็ต่อเมื่อผลรวมของกำลังของนิพจน์ที่ให้ศูนย์นี้เป็นเลขคี่

หากเราจำความไม่เท่าเทียมกันที่เราตรวจสอบในตอนต้นของย่อหน้าแรกของเนื้อหานี้ เราก็สามารถใส่เครื่องหมาย "+" ทางด้านขวาสุดได้

ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างกัน

หาค่าอสมการ (x - 2) · (x - 3) 3 · (x - 4) 2 (x - 1) 4 · (x - 3) 5 · (x - 4) ≥ 0 แล้วแก้มันโดยใช้วิธีช่วงเวลา . ในการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องค้นหาศูนย์ของทั้งเศษและส่วนและทำเครื่องหมายไว้บนเส้นพิกัด ศูนย์ของตัวเศษจะเป็นคะแนน 2 , 3 , 4 , จุดส่วน 1 , 3 , 4 . เรามาทำเครื่องหมายพวกมันบนแกนพิกัดด้วยเครื่องหมายขีดกลาง

เราทำเครื่องหมายศูนย์ของตัวส่วนด้วยจุดว่าง

เนื่องจากเรากำลังเผชิญกับความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่เข้มงวด เราจึงแทนที่ขีดกลางที่เหลือด้วยจุดธรรมดา

ทีนี้มาวางจุดบนช่วงเวลากัน ช่องว่างขวาสุด (4 , + ∞) จะเป็นเครื่องหมาย +

เลื่อนจากขวาไปซ้ายเราจะติดป้ายบอกช่วงที่เหลือ เราผ่านจุดที่มีพิกัด 4 นี่คือทั้งศูนย์ของตัวเศษและตัวส่วน โดยสรุป ศูนย์เหล่านี้ให้นิพจน์ (x - 4) 2และ x - 4- ลองบวกกำลังของพวกเขา 2 + 1 = 3 แล้วได้เลขคี่ ซึ่งหมายความว่าเครื่องหมายระหว่างการเปลี่ยนภาพในกรณีนี้จะเปลี่ยนไปในทางตรงกันข้าม ช่วงเวลา (3, 4) จะมีเครื่องหมายลบ

เราผ่านไปยังช่วงเวลา (2, 3) ผ่านจุดที่มีพิกัด 3 นี่ยังเป็นศูนย์สำหรับทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย เราได้รับมันด้วยสองนิพจน์ (x − 3) 3 และ (x - 3) 5ซึ่งผลรวมของกำลังคือ 3 + 5 = 8 การหาเลขคู่จะทำให้เครื่องหมายของช่วงเวลาไม่เปลี่ยนแปลง

จุดที่มีพิกัด 2 คือศูนย์ของตัวเศษ พลังของนิพจน์ x - 2 คือ 1 (คี่) หมายความว่าเมื่อผ่านจุดนี้ไปแล้วจะต้องเปลี่ยนป้ายไปฝั่งตรงข้าม

เรามีช่วงเวลาสุดท้ายเหลืออยู่ (− ∞ , 1) จุดที่มีพิกัด 1 คือศูนย์ของตัวส่วน มันได้มาจากการแสดงออก (x - 1) 4ด้วยระดับที่เท่ากัน 4 - ดังนั้นป้ายจึงยังคงเหมือนเดิม ภาพวาดสุดท้ายจะมีลักษณะดังนี้:

วิธีช่วงเวลาจะมีประสิทธิภาพโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อการคำนวณค่าของนิพจน์เกี่ยวข้องกับงานจำนวนมาก ตัวอย่างคือความจำเป็นในการคำนวณค่าของนิพจน์

x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)

ณ จุดใดก็ได้ในช่วง 3 - 3 4, 3 - 2 4

ตอนนี้เรามาเริ่มใช้ความรู้และทักษะที่ได้รับในทางปฏิบัติ

ตัวอย่างที่ 1

แก้อสมการ (x - 1) · (x + 5) 2 (x - 7) · (x - 1) 3 ≤ 0

สารละลาย

ขอแนะนำให้ใช้วิธีช่วงเวลาเพื่อแก้ไขอสมการ ค้นหาศูนย์ของทั้งเศษและส่วน ศูนย์ของตัวเศษคือ 1 และ - 5 ส่วนศูนย์ของตัวส่วนคือ 7 และ 1 ลองทำเครื่องหมายไว้บนเส้นจำนวน เรากำลังเผชิญกับความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่เข้มงวด ดังนั้นเราจะทำเครื่องหมายศูนย์ของตัวส่วนด้วยจุดว่าง และศูนย์ของตัวเศษ - 5 - จะถูกทำเครื่องหมายด้วยจุดที่เต็มปกติ

เรามาใส่เครื่องหมายของช่วงเวลาโดยใช้กฎสำหรับการเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อผ่านศูนย์ เริ่มจากช่วงเวลาขวาสุดก่อน ซึ่งเราจะคำนวณค่าของนิพจน์จากด้านซ้ายของอสมการ ณ จุดที่นำมาจากช่วงเวลาโดยพลการ เราได้รับเครื่องหมาย "+" ลองย้ายตามลำดับผ่านจุดทั้งหมดบนเส้นพิกัด จัดเรียงป้าย และรับ:

เราทำงานกับอสมการแบบไม่เข้มงวดด้วยเครื่องหมาย ≤ ซึ่งหมายความว่าเราจำเป็นต้องทำเครื่องหมายด้วยการแรเงาช่องว่างที่มีเครื่องหมาย "-"

คำตอบ: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมเชิงเหตุผลในกรณีส่วนใหญ่จำเป็นต้องมีการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นเป็น ประเภทที่ถูกต้อง- หลังจากนี้จึงจะสามารถใช้วิธีช่วงเวลาได้ อัลกอริทึมสำหรับการดำเนินการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวจะกล่าวถึงในเนื้อหา "การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล"

เรามาดูตัวอย่างการแปลงตรีโกณมิติกำลังสองเป็นอสมการกัน

ตัวอย่างที่ 2

หาคำตอบของอสมการ (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0

สารละลาย

ลองดูว่าการแบ่งแยกของตรีโกณมิติกำลังสองในรูปแบบอสมการนั้นเป็นลบจริงหรือไม่ นี่จะช่วยให้เราระบุได้ว่ารูปแบบของอสมการนี้ทำให้เราใช้วิธีหาช่วงเพื่อหาคำตอบได้หรือไม่

ลองคำนวณการแบ่งแยกสำหรับตรีโกณมิติกัน x 2 + 3 x + 3: D = 3 2 − 4 1 3 = − 3< 0 . ทีนี้ มาคำนวณการแบ่งแยกสำหรับตรีโกณมิติ x 2 + 2 · x − 8: D ’ = 1 2 − 1 · (− 8) = 9 > 0 อย่างที่คุณเห็น ความไม่เท่าเทียมกันนั้นจำเป็นต้องมีการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแทนค่าตรีโกณมิติ x 2 + 2 x − 8 เป็น (x + 4) · (x − 2)แล้วใช้วิธีการเว้นช่วงเพื่อแก้อสมการ (x 2 + 3 · x + 3) · (x + 3) (x + 4) · (x - 2) > 0

คำตอบ: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

วิธีช่วงเวลาทั่วไปใช้เพื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ f (x)< 0 (≤ , >, ≥) โดยที่ f (x) คือนิพจน์ใดๆ ที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว x.

การดำเนินการทั้งหมดดำเนินการตามอัลกอริธึมบางอย่าง ในกรณีนี้ อัลกอริธึมสำหรับการแก้ไขอสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลาทั่วไปจะแตกต่างเล็กน้อยจากที่เราพูดคุยกันก่อนหน้านี้:

• เราค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน f และค่าศูนย์ของฟังก์ชันนี้
• ทำเครื่องหมายจุดขอบเขตบนแกนพิกัด
• พล็อตศูนย์ของฟังก์ชันบนเส้นจำนวน
• กำหนดสัญญาณของช่วงเวลา
• ใช้การแรเงา;
• เขียนคำตอบ

บนเส้นจำนวนจำเป็นต้องทำเครื่องหมายจุดแต่ละจุดของโดเมนคำจำกัดความเหนือสิ่งอื่นใด ตัวอย่างเช่น โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันคือเซต (− 5, 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) . ซึ่งหมายความว่าเราต้องทำเครื่องหมายจุดด้วยพิกัด − 5, 1, 3, 4 , 7 และ 10 - คะแนน − 5 และ 7 จะแสดงเป็นค่าว่าง ส่วนที่เหลือสามารถไฮไลต์ด้วยดินสอสีเพื่อแยกความแตกต่างจากศูนย์ของฟังก์ชัน

ในกรณีของความไม่เท่าเทียมกันแบบเข้มงวด ค่าศูนย์ของฟังก์ชันจะถูกพล็อตเป็นจุดปกติ (แรเงา) และในกรณีของความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด จะถูกพล็อตเป็นจุดว่าง ถ้าศูนย์ตรงกับจุดขอบเขตหรือจุดแต่ละจุดของขอบเขตคำจำกัดความ ก็สามารถทาสีดำใหม่ได้ ทำให้ว่างหรือแรเงา ขึ้นอยู่กับประเภทของความไม่เท่าเทียมกัน

บันทึกการตอบกลับเป็นชุดตัวเลขที่ประกอบด้วย:

• ช่องว่างที่มีการแรเงา
• แต่ละจุดของโดเมนของคำจำกัดความด้วยเครื่องหมายบวก หากเรากำลังเผชิญกับอสมการที่มีเครื่องหมาย > หรือ ≥ หรือด้วยเครื่องหมายลบ หากอสมการมีเครื่องหมาย< или ≤ .

ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนว่าอัลกอริทึมที่เรานำเสนอในตอนต้นของหัวข้อเป็นกรณีพิเศษของอัลกอริทึมสำหรับการใช้วิธีการช่วงเวลาทั่วไป

ลองพิจารณาตัวอย่างการใช้วิธีช่วงเวลาทั่วไป

ตัวอย่างที่ 3

แก้อสมการ x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .

สารละลาย

เราแนะนำฟังก์ชัน f โดยที่ f (x) = x 2 + 2 · x - 24 - 3 4 · x - 3 x - 7 ลองหาโดเมนของนิยามของฟังก์ชันกัน ฉ:

x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .

ทีนี้ลองหาศูนย์ของฟังก์ชันกัน เพื่อทำสิ่งนี้ เราจะแก้สมการไร้เหตุผล:

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

เราได้ราก x = 12

เพื่อระบุจุดขอบเขตบนแกนพิกัด เราใช้สีส้ม คะแนน - 6, 4 จะถูกกรอกและ 7 จะถูกเว้นว่างไว้ เราได้รับ:

เรามาทำเครื่องหมายศูนย์ของฟังก์ชันด้วยจุดสีดำที่ว่างเปล่า เนื่องจากเรากำลังทำงานกับอสมการที่เข้มงวด

เรากำหนดสัญญาณในแต่ละช่วงเวลา เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้นำจุดหนึ่งจากแต่ละช่วงเวลา เช่น 16 , 8 , 6 และ − 8 และคำนวณค่าของฟังก์ชันในนั้น ฉ:

ฉ (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 ฉ (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 ฉ (- 8) = - 8 2 + 2 · (- 8) - 24 - 3 4 · (- 8) - 3 - 8 - 7 = 24 + 3 - 15< 0

เราวางเครื่องหมายที่กำหนดไว้ใหม่และใช้การแรเงาเหนือช่องว่างด้วยเครื่องหมายลบ:

คำตอบจะเป็นการรวมกันของสองช่วงที่มีเครื่องหมาย "-": (− ∞, − 6 ] ∪ (7, 12)

เพื่อเป็นการตอบสนอง เราได้รวมจุดที่มีพิกัด - 6 ไว้ด้วย นี่ไม่ใช่ศูนย์ของฟังก์ชันซึ่งเราจะไม่รวมไว้ในคำตอบเมื่อแก้ไขอสมการที่เข้มงวด แต่เป็นจุดขอบเขตของโดเมนคำจำกัดความซึ่งรวมอยู่ในโดเมนของคำจำกัดความ ค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้จะเป็นลบ ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันนี้เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน

เราไม่ได้รวมจุดที่ 4 ไว้ในคำตอบ เช่นเดียวกับที่เราไม่รวมช่วงทั้งหมด [4, 7) ณ จุดนี้ เช่นเดียวกับตลอดช่วงที่ระบุทั้งหมด ค่าของฟังก์ชันจะเป็นบวก ซึ่งไม่เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันที่กำลังแก้ไข

มาเขียนสิ่งนี้อีกครั้งเพื่อความเข้าใจที่ชัดเจนยิ่งขึ้น: จะต้องรวมจุดสีไว้ในคำตอบในกรณีต่อไปนี้:

• จุดเหล่านี้เป็นส่วนหนึ่งของช่องว่างฟัก
• จุดเหล่านี้คือจุดแต่ละจุดในโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันซึ่งเป็นค่าของฟังก์ชันที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันที่กำลังแก้ไข

คำตอบ: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

วิธีช่วงเวลา– วิธีง่ายๆ ในการแก้อสมการเชิงตรรกยะแบบเศษส่วน นี่คือชื่อของอสมการที่มีนิพจน์เหตุผล (หรือเศษส่วน-ตรรกยะ) ที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร

1. ลองพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง

วิธีช่วงเวลาช่วยให้คุณแก้ปัญหาได้ภายในไม่กี่นาที

ทางด้านซ้ายของอสมการนี้คือฟังก์ชันเศษส่วน ตรรกยะเนื่องจากไม่มีราก ไซน์ หรือลอการิทึม - มีเพียงนิพจน์ที่เป็นตรรกยะเท่านั้น ทางด้านขวาเป็นศูนย์

วิธีช่วงเวลาจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของฟังก์ชันเศษส่วนตรรกยะต่อไปนี้

ฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายได้ที่จุดที่เท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่เท่านั้น

ให้เรานึกถึงวิธีการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง ซึ่งก็คือการแสดงออกของรูปแบบ

รากอยู่ที่ไหนและอยู่ที่ไหน สมการกำลังสอง.

เราวาดแกนและวางจุดที่ตัวเศษและส่วนไปที่ศูนย์

ศูนย์ของตัวส่วนและเป็นจุดที่ถูกเจาะ เนื่องจาก ณ จุดเหล่านี้ ฟังก์ชันทางด้านซ้ายของอสมการไม่ได้ถูกกำหนดไว้ (คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้) ศูนย์ของตัวเศษและ - จะถูกแรเงา เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันไม่ได้เข้มงวด เมื่อใด และ อสมการของเราจะเป็นที่น่าพอใจ เนื่องจากทั้งสองด้านมีค่าเท่ากับศูนย์

จุดเหล่านี้จะแบ่งแกนออกเป็นช่วงๆ

ขอให้เรากำหนดสัญลักษณ์ของฟังก์ชันเศษส่วนทางด้านซ้ายของอสมการในแต่ละช่วงเหล่านี้ เราจำได้ว่าฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายได้เฉพาะที่จุดที่เท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่เท่านั้น ซึ่งหมายความว่าในแต่ละช่วงเวลาระหว่างจุดที่ตัวเศษหรือส่วนไปที่ศูนย์ สัญลักษณ์ของนิพจน์ทางด้านซ้ายของอสมการจะคงที่ - ไม่ว่าจะเป็น "บวก" หรือ "ลบ"

ดังนั้น เพื่อกำหนดเครื่องหมายของฟังก์ชันในแต่ละช่วงเวลา เราจะหาจุดใดๆ ที่เป็นของช่วงเวลานี้ อันที่สะดวกสำหรับเรา
- ยกตัวอย่างและตรวจสอบเครื่องหมายของนิพจน์ทางด้านซ้ายของอสมการ "วงเล็บ" แต่ละอันเป็นค่าลบ ด้านซ้ายมีป้าย

ช่วงถัดไป: . ลองตรวจสอบป้ายได้ที่ เราเข้าใจแล้ว ด้านซ้ายเปลี่ยนป้ายเป็น.

เอาล่ะ. เมื่อนิพจน์เป็นบวก ดังนั้น จึงเป็นค่าบวกตลอดช่วงตั้งแต่ ถึง

เมื่อด้านซ้ายของอสมการเป็นลบ

และสุดท้าย class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

เราพบว่านิพจน์เป็นบวกในช่วงใด สิ่งที่เหลืออยู่คือการเขียนคำตอบ:

คำตอบ: .

โปรดทราบ: ป้ายจะสลับกันระหว่างช่วงต่างๆ เรื่องนี้เกิดขึ้นเพราะว่า เมื่อผ่านแต่ละจุด ปัจจัยเชิงเส้นตัวใดตัวหนึ่งเปลี่ยนเครื่องหมาย ในขณะที่ส่วนที่เหลือไม่เปลี่ยนแปลง.

เราจะเห็นว่าวิธีช่วงเวลานั้นง่ายมาก เพื่อแก้อสมการเศษส่วน-ตรรกยะโดยใช้วิธีช่วงเวลา เราลดมันให้อยู่ในรูปแบบ:

หรือ class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}หรือหรือ

(ทางด้านซ้ายคือฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน ทางด้านขวาคือศูนย์)

จากนั้นเราทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวนจุดที่ตัวเศษหรือส่วนไปที่ศูนย์
จุดเหล่านี้จะแบ่งเส้นจำนวนทั้งหมดออกเป็นระยะๆ โดยแต่ละจุดจะมีฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะคงเครื่องหมายไว้
สิ่งที่เหลืออยู่คือการค้นหาสัญญาณของมันในแต่ละช่วงเวลา
เราทำเช่นนี้โดยการตรวจสอบเครื่องหมายของนิพจน์ ณ จุดใดๆ ที่เป็นของช่วงเวลาที่กำหนด หลังจากนั้นเราก็เขียนคำตอบ นั่นคือทั้งหมดที่

แต่คำถามก็เกิดขึ้น: สัญญาณต่างๆ สลับกันอยู่เสมอหรือไม่? ไม่ไม่เสมอไป! คุณต้องใช้ความระมัดระวังและไม่วางป้ายโดยกลไกและไร้ความคิด

2. ลองพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันอีกประการหนึ่ง

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ ซ้าย(x-3 \ขวา))>0"> !}

วางจุดบนแกนอีกครั้ง จุดและถูกเจาะเพราะเป็นศูนย์ของตัวส่วน ประเด็นนี้ก็ถูกตัดออกไปเช่นกัน เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด

เมื่อตัวเศษเป็นบวก ตัวประกอบทั้งสองในตัวส่วนจะเป็นลบ ซึ่งสามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ โดยการนำตัวเลขใดๆ จากช่วงเวลาที่กำหนด เช่น ด้านซ้ายมีป้ายว่า

เมื่อตัวเศษเป็นบวก ตัวประกอบตัวแรกในตัวส่วนคือบวก ตัวประกอบที่สองคือลบ ด้านซ้ายมีป้ายว่า

สถานการณ์ก็เหมือนเดิม! ตัวเศษเป็นบวก ตัวประกอบตัวแรกในตัวส่วนเป็นบวก ตัวที่สองเป็นลบ ด้านซ้ายมีป้ายว่า

สุดท้ายด้วย class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

คำตอบ: .

เหตุใดการสลับป้ายจึงหยุดชะงัก? เพราะเมื่อผ่านจุดใดจุดหนึ่งตัวคูณจะ “รับผิดชอบ” ต่อมัน ไม่ได้เปลี่ยนป้าย- ผลก็คือความไม่เท่าเทียมกันด้านซ้ายทั้งหมดของเราจึงไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย

บทสรุป: หากตัวคูณเชิงเส้นเป็นกำลังคู่ (เช่นกำลังสอง) จากนั้นเมื่อผ่านจุดใดจุดหนึ่งเครื่องหมายของนิพจน์ทางด้านซ้ายจะไม่เปลี่ยนแปลง- ในกรณีที่เป็นระดับคี่ เครื่องหมายจะเปลี่ยนไปแน่นอน

3. ลองพิจารณาเพิ่มเติม กรณีที่ยาก- แตกต่างจากครั้งก่อนตรงที่ความไม่เท่าเทียมกันไม่เข้มงวด:

ด้านซ้ายเหมือนกับในปัญหาที่แล้ว ภาพของป้ายจะเหมือนกัน:

บางทีคำตอบอาจจะเหมือนกัน? เลขที่! มีการเพิ่มวิธีแก้ปัญหา สิ่งนี้เกิดขึ้นเพราะทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของอสมการมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น จุดนี้จึงเป็นคำตอบ

คำตอบ: .

ในปัญหาการสอบ Unified State ในทางคณิตศาสตร์ สถานการณ์นี้มักเกิดขึ้น นี่คือจุดที่ผู้สมัครตกหลุมพรางและเสียคะแนน ระวัง!

4. จะทำอย่างไรถ้าตัวเศษหรือส่วนไม่สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเชิงเส้นได้? พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันนี้:

ไม่สามารถแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสองได้: ค่าจำแนกเป็นค่าลบ และไม่มีราก แต่นี่เป็นสิ่งที่ดี! ซึ่งหมายความว่าสัญลักษณ์ของการแสดงออกของทุกคนนั้นเหมือนกันและโดยเฉพาะในเชิงบวก คุณสามารถอ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ในบทความเกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังสอง

และตอนนี้เราสามารถหารอสมการทั้งสองข้างด้วยค่าที่เป็นบวกสำหรับทุกคนได้ ให้เรามาถึงความไม่เท่าเทียมกันที่เท่าเทียมกัน:

ซึ่งแก้ได้ง่ายๆ โดยใช้วิธี Interval

โปรดทราบว่าเราหารความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองด้านด้วยค่าที่เรารู้ว่าเป็นบวก โดยทั่วไปแล้ว คุณไม่ควรคูณหรือหารอสมการด้วยตัวแปรที่ไม่ทราบเครื่องหมาย

5 - ลองพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันอีกประการหนึ่งซึ่งดูเหมือนจะค่อนข้างง่าย:

ผมแค่อยากจะคูณมันด้วย. แต่เราฉลาดอยู่แล้ว และเราจะไม่ทำเช่นนี้ ท้ายที่สุดแล้วมันสามารถเป็นได้ทั้งบวกและลบ และเรารู้ว่าถ้าอสมการทั้งสองข้างคูณด้วยค่าลบ สัญญาณของอสมการก็จะเปลี่ยนไป

เราจะทำมันแตกต่างออกไป - เราจะรวบรวมทุกอย่างไว้ในส่วนเดียวแล้วนำไปสู่ ตัวส่วนร่วม- ด้านขวาจะยังคงเป็นศูนย์:

Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

และหลังจากนั้น - สมัคร วิธีช่วงเวลา.

วิธีช่วงเวลา(หรือที่บางครั้งเรียกว่าวิธีช่วงเวลา) เป็นวิธีสากลในการแก้อสมการ เหมาะสำหรับแก้อสมการต่าง ๆ แต่สะดวกที่สุดในการแก้ไข ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลด้วยตัวแปรตัวหนึ่ง ดังนั้นในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียน วิธีการเว้นช่วงจะเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลโดยเฉพาะ และในทางปฏิบัติแล้วแทบไม่ได้ให้ความสนใจกับการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันอื่น ๆ ด้วยความช่วยเหลือ

ในบทความนี้ เราจะวิเคราะห์วิธีช่วงเวลาโดยละเอียด และสัมผัสถึงความซับซ้อนทั้งหมดของการแก้ไขอสมการโดยใช้ตัวแปรตัวเดียว เริ่มต้นด้วยการนำเสนออัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลา ต่อไปเราจะอธิบายว่ามีแง่มุมทางทฤษฎีอะไรบ้างและวิเคราะห์ขั้นตอนของอัลกอริทึมโดยเฉพาะอย่างยิ่งเราจะดูรายละเอียดเกี่ยวกับการกำหนดสัญญาณตามช่วงเวลา หลังจากนี้ เราจะไปฝึกฝนและแสดงวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างทั่วไปหลายๆ ตัวอย่าง โดยสรุป เราจะพิจารณาวิธีช่วงในรูปแบบทั่วไป (นั่นคือ โดยไม่มีการอ้างอิงถึงอสมการเชิงตรรกยะ) หรืออีกนัยหนึ่งคือวิธีช่วงทั่วไป

การนำทางหน้า

อัลกอริทึม

ความคุ้นเคยกับวิธีช่วงเวลาในโรงเรียนเริ่มต้นด้วยการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม f(x)<0 (знак неравенства может быть и другим ≤, >หรือ ≥) โดยที่ f(x) เป็นอย่างใดอย่างหนึ่ง แสดงเป็นผลิตภัณฑ์ ทวินามเชิงเส้นด้วย 1 สำหรับตัวแปร x และ/หรือ ตรีโกณมิติกำลังสองโดยมีค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็น 1 และมีตัวจำแนกประเภทเป็นลบและดีกรี หรืออัตราส่วนของพหุนามดังกล่าว เพื่อความชัดเจน เราจะยกตัวอย่างความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว: (x−5)·(x+5)≤0 , (x+3)·(x 2 −x+1)·(x+2) 3 ≥0, .

เพื่อให้การสนทนามีสาระสำคัญมากขึ้น เรามาเขียนอัลกอริทึมสำหรับแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันของประเภทข้างต้นทันทีโดยใช้วิธีช่วงเวลา แล้วเราจะหาคำตอบว่าอะไร อย่างไร และเพราะเหตุใด ดังนั้นการใช้วิธีช่วงเวลา:

• ขั้นแรกให้ค้นหาศูนย์ของตัวเศษและศูนย์ของตัวส่วน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ตัวเศษและส่วนของนิพจน์ทางด้านซ้ายของอสมการจะเท่ากับศูนย์ และสมการผลลัพธ์จะถูกแก้ไข
• หลังจากนี้จุดที่ตรงกับศูนย์ที่พบจะถูกทำเครื่องหมายด้วยเครื่องหมายขีดกลาง การวาดแผนผังก็เพียงพอแล้วโดยไม่จำเป็นต้องสังเกตมาตราส่วน สิ่งสำคัญคือการยึดตามตำแหน่งของจุดที่สัมพันธ์กัน: จุดที่มีพิกัดเล็กกว่าจะอยู่ทางด้านซ้ายของจุดโดยมี พิกัดที่ใหญ่กว่า หลังจากนั้นจะชัดเจนว่าควรนำเสนออย่างไร: ปกติหรือเจาะ (โดยมีช่องตรงกลางว่าง) เมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมที่เข้มงวด (มีเครื่องหมาย< или >) ทุกจุดจะแสดงเป็นรอยเจาะ เมื่อแก้ไขอสมการที่ไม่เข้มงวด (ด้วยเครื่องหมาย ≤ หรือ ≥) จุดที่สอดคล้องกับศูนย์ของตัวส่วนจะถูกเจาะ และจุดที่เหลือที่มีเครื่องหมายขีดกลางเป็นจุดปกติ จุดเหล่านี้จะแบ่งเส้นพิกัดออกเป็นช่วงตัวเลขหลายช่วง
• ต่อไป สัญญาณของนิพจน์ f(x) จะถูกกำหนดจากด้านซ้ายของความไม่เท่าเทียมกันที่จะแก้ไขในแต่ละช่วงเวลา (เราจะอธิบายรายละเอียดวิธีการดำเนินการในย่อหน้าใดย่อหน้าหนึ่งต่อไปนี้) และ + หรือ - วางไว้ด้านบน ตามป้ายที่กำหนดไว้
• ในที่สุดเมื่อแก้ไขอสมการที่ลงนามแล้ว< или ≤ изображается штриховка над промежутками, отмеченными знаком −, а при решении неравенства со знаком >หรือ ≥ - เหนือช่องว่างที่มีเครื่องหมาย + ผลลัพธ์คือ ซึ่งเป็นคำตอบที่ต้องการสำหรับอสมการ

โปรดทราบว่าอัลกอริทึมข้างต้นสอดคล้องกับคำอธิบายของวิธีช่วงเวลาในตำราเรียนของโรงเรียน

วิธีการขึ้นอยู่กับอะไร?

วิธีการที่เป็นรากฐานของวิธีการเป็นช่วงเกิดขึ้นเนื่องจากคุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่องต่อไปนี้: ถ้าในช่วงเวลา (a, b) ฟังก์ชัน f มีความต่อเนื่องและไม่หายไป ก็จะยังคงมีเครื่องหมายคงที่ในช่วงเวลานี้ (เราจะ เพิ่มว่าคุณสมบัติที่คล้ายกันนี้เป็นจริงสำหรับรังสีจำนวน (−∞, a) และ (a, +∞) ) และคุณสมบัตินี้ในทางกลับกันตามมาจากทฤษฎีบทโบลซาโน-คอชี (การพิจารณาอยู่นอกเหนือขอบเขตของหลักสูตรของโรงเรียน) การกำหนดและการพิสูจน์ซึ่งหากจำเป็นสามารถพบได้ในหนังสือ

สำหรับนิพจน์ f(x) ที่มีแบบฟอร์มระบุไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า ความคงตัวของเครื่องหมายในช่วงเวลาสามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีอื่นโดยเริ่มจากคุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลขและคำนึงถึงกฎสำหรับการคูณและหารตัวเลขด้วยค่าเดียวกัน ป้ายและป้ายต่างๆ

เป็นตัวอย่างให้พิจารณาความไม่เท่าเทียมกัน ศูนย์ของเศษและส่วนจะแบ่งเส้นจำนวนออกเป็นสามช่วง (−∞, −1), (−1, 5) และ (5, +∞) ให้เราแสดงว่าในช่วงเวลา (−∞, −1) นิพจน์ทางด้านซ้ายของอสมการจะมีเครื่องหมายคงที่ (เราสามารถใช้ช่วงเวลาอื่น การให้เหตุผลจะคล้ายกัน) ลองหาเลข t ใดๆ จากช่วงนี้กัน มันจะสนองความไม่เท่าเทียมกันได้อย่างชัดเจน<−1 , и так как −1<5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t<5 . Из этих неравенств в силу свойств числовых неравенств следует, что t+1<0 и t−5<0. То есть, t+1 и t−5 – отрицательные числа, не зависимо от того, какое конкретно число t мы возьмем из промежутка (−∞, −1) . Тогда позволяет констатировать, что значение выражения будет положительным, откуда следует, что значение выражения будет положительным при любом значении x из промежутка (−∞, −1) . Итак, на указанном промежутке выражение имеет постоянный знак, причем, это знак +.

ดังนั้นเราจึงเข้าหาปัญหาการกำหนดเครื่องหมายในช่วงเวลาได้อย่างราบรื่น แต่เราจะไม่ข้ามขั้นตอนแรกของวิธีช่วงเวลาซึ่งเกี่ยวข้องกับการค้นหาศูนย์ของตัวเศษและตัวส่วน

จะค้นหาศูนย์ของตัวเศษและส่วนได้อย่างไร?

การหาศูนย์ของตัวเศษและส่วนของเศษส่วนประเภทที่ระบุในย่อหน้าแรกมักจะไม่มีปัญหาใดๆ สำหรับสิ่งนี้ นิพจน์จากตัวเศษและส่วนจะถูกตั้งค่าให้เท่ากับศูนย์ และสมการผลลัพธ์จะถูกแก้ไข หลักการแก้สมการประเภทนี้อธิบายไว้โดยละเอียดในบทความ การแก้สมการโดยวิธีแยกตัวประกอบ- ที่นี่เราจะจำกัดตัวเองอยู่เพียงตัวอย่างเท่านั้น

พิจารณาเศษส่วน และหาศูนย์ของทั้งเศษและส่วนของมัน เริ่มจากศูนย์ของตัวเศษกันก่อน เราเปรียบตัวเศษให้เป็นศูนย์ เราได้สมการ x·(x−0.6)=0 จากนั้นเราจะไปยังเซตของสมการสองตัว x=0 และ x−0.6=0 จากจุดที่เราพบรากสองตัวคือ 0 และ 0.6 . สิ่งเหล่านี้คือเลขศูนย์ที่จำเป็นของตัวเศษ ตอนนี้เราพบศูนย์ของตัวส่วนแล้ว มาสร้างสมการกันเถอะ x 7 ·(x 2 +2·x+7) 2 ·(x+5) 3 =0มันเทียบเท่ากับชุดของสมการสามสมการ x 7 =0, (x 2 +2 x+7) 2 =0, (x+5) 3 =0 แล้ว x=0, x 2 +2 x+7 =0 , x+5=0 . รากของสมการแรกของสมการเหล่านี้ชัดเจน มันคือ 0 สมการที่สองไม่มีราก เนื่องจากตัวแยกแยะของมันคือลบ และรากของสมการที่สามคือ −5 ดังนั้นเราจึงพบศูนย์ของตัวส่วน ซึ่งมีสองตัว: 0 และ −5 โปรดทราบว่า 0 กลายเป็นทั้งศูนย์ในตัวเศษและศูนย์ในตัวส่วน

ในการค้นหาศูนย์ของทั้งเศษและส่วนในกรณีทั่วไป เมื่อด้านซ้ายของอสมการเป็นเศษส่วนแต่ไม่จำเป็นต้องเป็นตรรกยะ ตัวเศษและส่วนจะเท่ากับศูนย์ด้วย และสมการที่เกี่ยวข้องจะถูกแก้

จะตรวจสอบสัญญาณตามช่วงเวลาได้อย่างไร?

วิธีที่น่าเชื่อถือที่สุดในการระบุเครื่องหมายของนิพจน์ทางด้านซ้ายของอสมการในแต่ละช่วงเวลาคือการคำนวณค่าของนิพจน์นี้ที่จุดใดจุดหนึ่งในแต่ละช่วงเวลา ในกรณีนี้ เครื่องหมายที่ต้องการในช่วงเวลานั้นเกิดขึ้นพร้อมกับเครื่องหมายของค่าของนิพจน์ที่จุดใดๆ ในช่วงเวลานี้ ลองอธิบายเรื่องนี้ด้วยตัวอย่าง

มาดูความไม่เท่าเทียมกันกัน - นิพจน์ทางด้านซ้ายไม่มีเลขศูนย์ในตัวเศษ และศูนย์ในตัวส่วนคือเลข −3 โดยแบ่งเส้นจำนวนออกเป็นสองช่วง (−∞, −3) และ (−3, +∞) เรามาพิจารณาสัญญาณบนพวกเขากันดีกว่า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้หนึ่งจุดจากช่วงเวลาเหล่านี้และคำนวณค่าของนิพจน์ในนั้น ให้เราทราบทันทีว่าขอแนะนำให้ใช้ประเด็นดังกล่าวเพื่อให้สามารถคำนวณได้ง่าย ตัวอย่างเช่น จากช่วงแรก (−∞, −3) เราสามารถหา −4 ได้ สำหรับ x=−4 เรามี ได้รับค่าที่มีเครื่องหมายลบ (ลบ) ดังนั้นจะมีเครื่องหมายลบในช่วงเวลานี้ เราไปยังการกำหนดเครื่องหมายในช่วงเวลาที่สอง (−3, +∞) สะดวกในการรับ 0 จากนั้น (หากรวม 0 ในช่วงเวลานั้นขอแนะนำให้ใช้เสมอเนื่องจากที่ x=0 การคำนวณจะง่ายที่สุด) ที่ x=0 เรามี - ค่านี้มีเครื่องหมายบวก (บวก) ดังนั้นจะมีเครื่องหมายบวกในช่วงเวลานี้

มีอีกวิธีหนึ่งในการกำหนดสัญญาณซึ่งประกอบด้วยการค้นหาเครื่องหมายในช่วงเวลาใดช่วงหนึ่งและคงไว้หรือเปลี่ยนแปลงเมื่อเคลื่อนที่ไปยังช่วงที่อยู่ติดกันจนถึงศูนย์ คุณต้องปฏิบัติตามกฎต่อไปนี้ เมื่อผ่านศูนย์ของตัวเศษแต่ไม่ใช่ตัวส่วน หรือผ่านศูนย์ของตัวส่วนแต่ไม่ใช่ตัวเศษ เครื่องหมายจะเปลี่ยนถ้าระดับของนิพจน์ที่ให้ศูนย์นี้เป็นเลขคี่ และไม่เปลี่ยนถ้าเป็นเลขคู่ . และเมื่อผ่านจุดที่เป็นทั้งศูนย์ของตัวเศษและศูนย์ของตัวส่วน เครื่องหมายจะเปลี่ยนถ้าผลรวมของกำลังของนิพจน์ที่ให้ศูนย์นี้เป็นเลขคี่ และไม่เปลี่ยนแปลงหากเป็นเลขคู่

อย่างไรก็ตาม หากนิพจน์ทางด้านขวาของอสมการมีแบบฟอร์มระบุไว้ที่จุดเริ่มต้นของย่อหน้าแรกของบทความนี้ ก็จะมีเครื่องหมายบวกที่ช่องว่างขวาสุด

เพื่อให้ทุกอย่างชัดเจนเรามาดูตัวอย่างกัน

ให้มีความไม่เท่าเทียมกันต่อหน้าเรา และเราแก้มันโดยใช้วิธีช่วงเวลา ในการทำเช่นนี้เราจะค้นหาศูนย์ของตัวเศษ 2, 3, 4 และศูนย์ของตัวส่วน 1, 3, 4 ทำเครื่องหมายไว้บนเส้นพิกัดก่อนด้วยเครื่องหมายขีดกลาง

จากนั้นเราจะแทนที่ศูนย์ของตัวส่วนด้วยรูปภาพของจุดที่เจาะทะลุ

และเนื่องจากเรากำลังแก้ไขอสมการแบบไม่เข้มงวด เราจึงแทนที่ขีดที่เหลือด้วยจุดธรรมดา

และแล้วก็มาถึงช่วงเวลาแห่งการระบุสัญญาณเป็นระยะ ดังที่เราได้กล่าวไว้ก่อนหน้าตัวอย่างนี้ ในช่วงเวลาขวาสุด (4, +∞) จะมีเครื่องหมาย +:

เรามาพิจารณาสัญญาณที่เหลือในขณะที่ย้ายจากช่องว่างหนึ่งไปอีกช่องว่างจากขวาไปซ้าย ไปยังช่วงถัดไป (3, 4) เราจะผ่านจุดที่มีพิกัด 4 นี่คือศูนย์ของทั้งตัวเศษและตัวส่วน ศูนย์เหล่านี้ให้นิพจน์ (x−4) 2 และ x−4 ผลรวมของกำลังของพวกมันคือ 2+1=3 และนี่คือเลขคี่ ซึ่งหมายความว่า เมื่อผ่านจุดนี้ต้องเปลี่ยนป้าย ดังนั้นในช่วงเวลา (3, 4) จะมีเครื่องหมายลบ:

เราไปไกลกว่านั้นไปยังช่วงเวลา (2, 3) ในขณะที่ผ่านจุดที่มีพิกัด 3 นี่ยังเป็นศูนย์ของทั้งตัวเศษและตัวส่วน โดยกำหนดได้จากนิพจน์ (x−3) 3 และ (x−3) 5 ผลรวมของกำลังของพวกมันคือ 3+5=8 และนี่คือเลขคู่ ดังนั้นเครื่องหมายจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง:

เราก้าวต่อไปตามช่วงเวลา (1, 2) เส้นทางไปถูกบล็อกโดยจุดที่มีพิกัด 2 นี่คือศูนย์ของตัวเศษ ซึ่งได้มาจากนิพจน์ x−2 ระดับของมันคือ 1 กล่าวคือ มันเป็นเลขคี่ ดังนั้นเมื่อผ่านจุดนี้ เครื่องหมายจะเปลี่ยน:

ท้ายที่สุดก็ยังคงต้องกำหนดเครื่องหมายในช่วงเวลาสุดท้าย (−∞, 1) กว่าจะไปถึงจุดนั้นได้ เราต้องเอาชนะจุดนั้นด้วยพิกัด 1 นี่คือศูนย์ของตัวส่วน ซึ่งได้มาจากนิพจน์ (x−1) 4 ระดับของมันคือ 4 นั่นคือเป็นเลขคู่ ดังนั้นเครื่องหมายจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อผ่านจุดนี้ ดังนั้นเราจึงระบุสัญญาณทั้งหมดแล้วและภาพวาดจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

เป็นที่ชัดเจนว่าการใช้วิธีการที่พิจารณานั้นมีความสมเหตุสมผลโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อการคำนวณค่าของนิพจน์เกี่ยวข้องกับงานจำนวนมาก ตัวอย่างเช่น คำนวณค่าของนิพจน์ ณ จุดใดช่วงหนึ่ง .

ตัวอย่างการแก้ไขอสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลา

ตอนนี้คุณสามารถรวบรวมข้อมูลทั้งหมดที่นำเสนอได้ ซึ่งเพียงพอต่อการแก้ไขอสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลา และวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาจากหลายๆ ตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

แก้ความไม่เท่าเทียมกัน .

สารละลาย.

ให้เราแก้อสมการนี้โดยใช้วิธีช่วงเวลา แน่นอนว่า ศูนย์ของตัวเศษคือ 1 และ −5 และศูนย์ของตัวส่วนคือ 1 เราทำเครื่องหมายไว้บนเส้นจำนวน โดยจุดที่มีพิกัดและ 1 คั่นด้วยศูนย์ของตัวส่วน และศูนย์ที่เหลือของตัวเศษ −5 แสดงเป็นจุดปกติ เนื่องจากเรากำลังแก้ไขอสมการแบบไม่เข้มงวด:

ตอนนี้เราใส่เครื่องหมายตามช่วงเวลาโดยปฏิบัติตามกฎการรักษาหรือเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อผ่านศูนย์ จะมีเครื่องหมาย + อยู่เหนือช่องว่างขวาสุด (สามารถตรวจสอบได้โดยการคำนวณค่าของนิพจน์ทางด้านซ้ายของอสมการที่จุดใดจุดหนึ่งในช่องว่างนี้ เช่น ที่ x=3) เมื่อผ่านเครื่องหมายเราจะเปลี่ยน เมื่อผ่าน 1 เราก็จะคงไว้เหมือนเดิม และเมื่อผ่าน −5 เราก็จะปล่อยเครื่องหมายไว้เหมือนเดิมอีกครั้ง:

เนื่องจากเรากำลังแก้ไขอสมการด้วยเครื่องหมาย ≤ จึงยังคงต้องแรเงาตามช่วงเวลาที่ทำเครื่องหมายด้วยเครื่องหมาย − และจดคำตอบจากภาพที่ได้

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาที่เรากำลังมองหาคือ: .

คำตอบ:

.

เพื่อความเป็นธรรม ให้เราดึงความสนใจของคุณไปที่ความจริงที่ว่าในกรณีส่วนใหญ่ที่ล้นหลาม เมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล สิ่งเหล่านั้นจะต้องถูกแปลงเป็นรูปแบบที่ต้องการก่อน เพื่อที่จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีช่วงเวลา เราจะหารือโดยละเอียดเกี่ยวกับวิธีดำเนินการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวในบทความ การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลและตอนนี้เราจะยกตัวอย่างที่แสดงให้เห็นประเด็นสำคัญประการหนึ่งเกี่ยวกับตรีโกณมิติกำลังสองในการบันทึกอสมการ

ตัวอย่าง.

ค้นหาวิธีแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน .

สารละลาย.

เมื่อดูอสมการนี้ครั้งแรก ดูเหมือนว่ารูปแบบจะเหมาะสมสำหรับการใช้วิธีการหาช่วงเวลา แต่ก็ไม่เสียหายที่จะตรวจสอบว่าการแบ่งแยกของตรีโกณมิติกำลังสองในรูปแบบของเขานั้นเป็นลบจริงๆ หรือไม่ ลองคิดดูเพื่อทำให้จิตสำนึกของเราผ่อนคลายลง สำหรับตรีนาม x 2 +3 x+3 เรามี D=3 2 −4 1 3=−3<0 , а для трехчлена x 2 +2·x−8 получаем D’=1 2 −1·(−8)=9>0 . ซึ่งหมายความว่าจำเป็นต้องมีการเปลี่ยนแปลงเพื่อให้ความไม่เท่าเทียมกันนี้อยู่ในรูปแบบที่ต้องการ ในกรณีนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะแทนตรีนาม x 2 +2 x−8 เป็น (x+4) (x−2) แล้วแก้อสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลา .

คำตอบ:

.

วิธีช่วงเวลาทั่วไป

วิธีช่วงเวลาทั่วไปช่วยให้คุณสามารถแก้ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ f(x)<0 (≤, >, ≥) โดยที่ f(x) เป็นอิสระจากตัวแปร x ตัวเดียว มาเขียนมันลงไปกันดีกว่า อัลกอริธึมสำหรับการแก้ไขอสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลาทั่วไป:

• ก่อนอื่นคุณต้องมี f และศูนย์ของฟังก์ชันนี้
• จุดขอบเขต รวมถึงจุดแต่ละจุด ของขอบเขตคำจำกัดความจะถูกทำเครื่องหมายไว้บนเส้นจำนวน ตัวอย่างเช่น ถ้าโดเมนของฟังก์ชันเป็นเซต (−5, 1]∪(3)∪ (เราไม่ได้กำหนดเครื่องหมายในช่วงเวลา (−6, 4) เนื่องจากไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน) เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ใช้จุดหนึ่ง จากแต่ละช่วง เช่น 16, 8 , 6 และ −8 และคำนวณค่าของฟังก์ชัน f ในนั้น:
  
  

  หากคุณมีคำถามเกี่ยวกับวิธีการค้นหาว่าค่าที่คำนวณได้ของฟังก์ชันเป็นค่าบวกหรือลบให้ศึกษาเนื้อหาในบทความ การเปรียบเทียบตัวเลข.

  เราวางเครื่องหมายที่กำหนดไว้ใหม่และใช้การแรเงาเหนือช่องว่างด้วยเครื่องหมายลบ:
  

  ในคำตอบเราเขียนการรวมกันของสองช่วงด้วยเครื่องหมาย − เรามี (−∞, −6]∪(7, 12) โปรดทราบว่าคำตอบจะรวม −6 ไว้ด้วย (จุดที่สอดคล้องกันคือจุดทึบ ไม่ถูกเจาะ) ความจริงก็คือว่านี่ไม่ใช่ศูนย์ของฟังก์ชัน (ซึ่งเมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวดเราจะไม่รวมไว้ในคำตอบ) แต่เป็นขอบเขตของขอบเขตของคำจำกัดความ (เป็นสี ไม่ใช่สีดำ) และ ค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้จะเป็นค่าลบ (ตามที่เห็นได้จากเครื่องหมายลบ) กล่าวคือ สอดคล้องกับค่าอสมการ แต่ไม่จำเป็นต้องรวม 4 ไว้ในคำตอบ (รวมถึงค่าของช่วงทั้งหมดด้วย) ∪(7, 12) .

  บรรณานุกรม.

  1. พีชคณิต:ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9: การศึกษา เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2552. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-021134-5.
  2. มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov - ฉบับที่ 13 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2011. - 222 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-01752-3.
  3. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และคนอื่น ๆ ; เอ็ด A. N. Kolmogorov - ฉบับที่ 14 - ม.: การศึกษา, 2547 - 384 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-013651-3
  4. คุดรยาฟต์เซฟ แอล.ดี.หลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ (สองเล่ม): หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษามหาวิทยาลัยและวิทยาลัย – ม.: สูงกว่า. โรงเรียน พ.ศ. 2524 เล่ม 1 – 687 หน้า ป่วย