ไม่แม้แต่. ฟังก์ชันคู่และคี่ ฟังก์ชันคาบ

กลับไปข้างหน้า

ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้น และอาจไม่ได้แสดงถึงคุณลักษณะทั้งหมดของงานนำเสนอ หากสนใจงานนี้กรุณาดาวน์โหลดฉบับเต็ม

เป้าหมาย:

• สร้างแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันและความแปลกประหลาดของฟังก์ชัน สอนความสามารถในการกำหนดและใช้คุณสมบัติเหล่านี้เมื่อใด การวิจัยฟังก์ชั่น, การวางแผน;
• พัฒนากิจกรรมสร้างสรรค์ของนักเรียน การคิดเชิงตรรกะความสามารถในการเปรียบเทียบสรุป;
• ปลูกฝังการทำงานหนักและวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ พัฒนาทักษะการสื่อสาร .

อุปกรณ์:การติดตั้งมัลติมีเดีย, ไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ, เอกสารประกอบคำบรรยาย

รูปแบบการทำงาน:หน้าผากและกลุ่มที่มีองค์ประกอบของกิจกรรมการค้นหาและการวิจัย

แหล่งข้อมูล:

1. พีชคณิตชั้น 9 A.G. Mordkovich หนังสือเรียน.
2. พีชคณิตเกรด 9 A.G. Mordkovich หนังสือปัญหา.
3. พีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 งานเพื่อการเรียนรู้และการพัฒนาของนักเรียน เบเลนโควา อี.ยู. เลเบดินต์เซวา อี.เอ.

ความก้าวหน้าของบทเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กร

การกำหนดเป้าหมายและวัตถุประสงค์สำหรับบทเรียน

2. ตรวจการบ้าน

หมายเลข 10.17 (หนังสือปัญหาเกรด 9 A.G. Mordkovich)

ก) ที่ = ฉ(เอ็กซ์), ฉ(เอ็กซ์) =

ข) ฉ (–2) = –3; ฉ (0) = –1; ฉ(5) = 69;

ค) 1. ง( ฉ) = [– 2; + ∞)
2. อี( ฉ) = [– 3; + ∞)
3. ฉ(เอ็กซ์) = 0 ณ เอ็กซ์ ~ 0,4
4. ฉ(เอ็กซ์) >0 เมื่อ เอ็กซ์ > 0,4 ; ฉ(เอ็กซ์) < 0 при – 2 < เอ็กซ์ < 0,4.
5. ฟังก์ชั่นจะเพิ่มขึ้นเมื่อ เอ็กซ์ € [– 2; + ∞)
6. ฟังก์ชั่นถูกจำกัดจากด้านล่าง
7. ที่นาม = – 3, ที่นาอิบไม่มีอยู่จริง
8. ฟังก์ชั่นต่อเนื่อง

(คุณใช้อัลกอริธึมการสำรวจฟังก์ชันหรือไม่) สไลด์

2. เรามาตรวจสอบตารางที่คุณถูกถามจากสไลด์กันดีกว่า

กรอกตาราง
	โดเมนของคำจำกัดความ	ฟังก์ชันศูนย์	ช่วงของความคงตัวของสัญญาณ		พิกัดจุดตัดของกราฟกับออย
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) อ คุณ(2;∞)	x € (–∞;–5) อ ยู (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) อ คุณ(2;∞)	x € (–∞;–5) อ ยู (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) อ คุณ(2;∞)	x € (–5; 2)

3. อัพเดทความรู้

– มีการกำหนดฟังก์ชันต่างๆ
– ระบุขอบเขตคำจำกัดความของแต่ละฟังก์ชัน
– เปรียบเทียบค่าของแต่ละฟังก์ชันสำหรับค่าอาร์กิวเมนต์แต่ละคู่: 1 และ – 1; 2 และ – 2.
– สำหรับฟังก์ชันใดเหล่านี้ในโดเมนของคำจำกัดความที่มีความเท่าเทียมกัน ฉ(– เอ็กซ์) = ฉ(เอ็กซ์), ฉ(– เอ็กซ์) = – ฉ(เอ็กซ์)? (ป้อนข้อมูลที่ได้รับลงในตาราง) สไลด์

		ฉ(1) และ ฉ(– 1)	ฉ(2) และ ฉ(– 2)	กราฟิก	ฉ(– เอ็กซ์) = –ฉ(เอ็กซ์)	ฉ(– เอ็กซ์) = ฉ(เอ็กซ์)
1. ฉ(เอ็กซ์) =
2. ฉ(เอ็กซ์) = เอ็กซ์ 3
3. ฉ(เอ็กซ์) = | เอ็กซ์ |
4.ฉ(เอ็กซ์) = 2เอ็กซ์ – 3
5. ฉ(เอ็กซ์) =	เอ็กซ์ ≠ 0
6. ฉ(เอ็กซ์)=	เอ็กซ์ > –1		และไม่ได้กำหนดไว้

4. วัสดุใหม่

– ในขณะที่ทำงานนี้ พวกเราได้ระบุคุณสมบัติอื่นของฟังก์ชันที่ไม่คุ้นเคยสำหรับคุณ แต่ก็มีความสำคัญไม่น้อยไปกว่าคุณสมบัติอื่น ๆ - นี่คือความสม่ำเสมอและความแปลกประหลาดของฟังก์ชัน เขียนหัวข้อของบทเรียน: “ฟังก์ชันคู่และคี่” งานของเราคือเรียนรู้ที่จะหาความสม่ำเสมอและความคี่ของฟังก์ชัน เพื่อค้นหาความสำคัญของคุณสมบัตินี้ในการศึกษาฟังก์ชันและการพล็อตกราฟ
เรามาค้นหาคำจำกัดความในหนังสือเรียนแล้วอ่านกัน (หน้า 110) - สไลด์

Def. 1การทำงาน ที่ = ฉ (เอ็กซ์) ที่กำหนดไว้บนเซต X เรียกว่า สม่ำเสมอหากมีค่าใดๆ เอ็กซ์Є X ถูกดำเนินการ ความเท่าเทียมกัน f(–x)= f(x) ยกตัวอย่าง.

Def. 2การทำงาน ย = ฉ(x)ที่กำหนดบนเซต X เรียกว่า แปลกหากมีค่าใดๆ เอ็กซ์Є X ความเท่าเทียมกัน f(–х)= –f(х) ถืออยู่ ยกตัวอย่าง.

เราพบคำว่า "คู่" และ "คี่" ที่ไหน?
คุณคิดว่าฟังก์ชันใดต่อไปนี้จะเท่ากัน? ทำไม อันไหนแปลก? ทำไม
สำหรับฟังก์ชั่นใดๆของแบบฟอร์ม ที่= เอ็กซ์เอ็น, ที่ไหน n– เลขจำนวนเต็มสามารถโต้แย้งได้ว่าฟังก์ชันเป็นเลขคี่เมื่อใด n– คี่และฟังก์ชันเป็นคู่เมื่อ n- สม่ำเสมอ.
– ดูฟังก์ชั่น ที่= และ ที่ = 2เอ็กซ์– 3 ไม่เป็นคู่หรือคี่เพราะว่า ความเท่าเทียมไม่พอใจ ฉ(– เอ็กซ์) = – ฉ(เอ็กซ์), ฉ(– เอ็กซ์) = ฉ(เอ็กซ์)

การศึกษาว่าฟังก์ชันเป็นคู่หรือคี่เรียกว่าการศึกษาฟังก์ชันเพื่อความเท่าเทียมกันสไลด์

ในคำจำกัดความ 1 และ 2 เรากำลังพูดถึงค่าของฟังก์ชันที่ x และ – x ดังนั้นจึงถือว่าฟังก์ชันถูกกำหนดที่ค่าด้วย เอ็กซ์และที่ – เอ็กซ์.

def3ถ้าเซตตัวเลขที่มีสมาชิก x แต่ละตัวประกอบกันด้วย มีสมาชิกตรงข้าม –x แสดงว่าเซตนั้น เอ็กซ์เรียกว่าเซตสมมาตร

ตัวอย่าง:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) คือเซตที่สมมาตร และ , [–5;4] เป็นเซตที่ไม่สมมาตร

– ฟังก์ชันคู่มีโดเมนของคำจำกัดความที่เป็นเซตสมมาตรหรือไม่? พวกที่แปลก?
– ถ้า D( ฉ) เป็นเซตอสมมาตร แล้วฟังก์ชันคืออะไร?
– ดังนั้น ถ้าฟังก์ชัน ที่ = ฉ(เอ็กซ์) – คู่หรือคี่ ดังนั้นโดเมนของคำจำกัดความคือ D( ฉ) เป็นเซตสมมาตร ข้อความตรงกันข้ามเป็นจริงหรือไม่: หากโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันเป็นเซตสมมาตร แล้วมันจะเป็นคู่หรือคี่?
– ซึ่งหมายความว่าการมีอยู่ของชุดโดเมนของคำจำกัดความแบบสมมาตรนั้นเป็นเงื่อนไขที่จำเป็น แต่ยังไม่เพียงพอ
– คุณจะตรวจสอบฟังก์ชันเพื่อความเท่าเทียมกันได้อย่างไร? มาลองสร้างอัลกอริทึมกัน

สไลด์

อัลกอริทึมสำหรับศึกษาฟังก์ชันเพื่อความเท่าเทียมกัน

1. พิจารณาว่าโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันมีความสมมาตรหรือไม่ ถ้าไม่เช่นนั้น ฟังก์ชันก็จะไม่เป็นคู่หรือคี่ ถ้าใช่ ให้ไปที่ขั้นตอนที่ 2 ของอัลกอริทึม

2. เขียนสำนวนสำหรับ ฉ(–เอ็กซ์).

3. เปรียบเทียบ ฉ(–เอ็กซ์).และ ฉ(เอ็กซ์):

• ถ้า ฉ(–เอ็กซ์).= ฉ(เอ็กซ์) จากนั้นฟังก์ชันจะเป็นเลขคู่
• ถ้า ฉ(–เอ็กซ์).= – ฉ(เอ็กซ์) ดังนั้นฟังก์ชันจะเป็นเลขคี่
• ถ้า ฉ(–เอ็กซ์) ≠ ฉ(เอ็กซ์) และ ฉ(–เอ็กซ์) ≠ –ฉ(เอ็กซ์) ดังนั้นฟังก์ชันจึงไม่เป็นคู่หรือคี่

ตัวอย่าง:

ตรวจสอบฟังก์ชัน a) เพื่อหาความเท่าเทียมกัน ที่= x 5 +; ข) ที่- วี) ที่= .

สารละลาย.

ก) ชั่วโมง(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞) เซตสมมาตร

2) ชม. (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +)

3) ชั่วโมง(– x) = – ชั่วโมง (x) => ฟังก์ชัน ชั่วโมง(x)= x 5 + คี่

ข) y =,

ที่ = ฉ(เอ็กซ์), D(ฉ) = (–∞; –9)? (–9; +∞) คือเซตอสมมาตร ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันไม่เป็นคู่หรือคี่

วี) ฉ(เอ็กซ์) = , y = ฉ (x),

1) ง( ฉ) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

ตัวเลือกที่ 2

1. เซตที่กำหนดให้มีความสมมาตร: a) [–2;2]; ข) (∞; 0], (0; 7) ?

ก); ข) y = x (5 – x 2) 2. ตรวจสอบฟังก์ชันเพื่อความเท่าเทียมกัน:

ก) y = x 2 (2x – x 3), ข) y =

3. ในรูป. มีการสร้างกราฟแล้ว ที่ = ฉ(เอ็กซ์) สำหรับทุกคน เอ็กซ์, เป็นไปตามเงื่อนไข เอ็กซ์? 0.
กราฟฟังก์ชัน ที่ = ฉ(เอ็กซ์), ถ้า ที่ = ฉ(เอ็กซ์) เป็นฟังก์ชันคู่

3. ในรูป. มีการสร้างกราฟแล้ว ที่ = ฉ(เอ็กซ์) สำหรับทุก x ที่เป็นไปตามเงื่อนไข x? 0.
กราฟฟังก์ชัน ที่ = ฉ(เอ็กซ์), ถ้า ที่ = ฉ(เอ็กซ์) เป็นฟังก์ชันคี่

ร่วมกันตรวจสอบ สไลด์

6. การบ้าน: №11.11, 11.21,11.22;

การพิสูจน์ความหมายทางเรขาคณิตของคุณสมบัติความเท่าเทียมกัน

***(การมอบหมายตัวเลือกการสอบ Unified State)

1. ฟังก์ชันคี่ y = f(x) ถูกกำหนดไว้บนเส้นจำนวนทั้งหมด สำหรับค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปร x ค่าของฟังก์ชันนี้เกิดขึ้นพร้อมกับค่าของฟังก์ชัน g( เอ็กซ์) = เอ็กซ์(เอ็กซ์ + 1)(เอ็กซ์ + 3)(เอ็กซ์– 7) ค้นหาค่าของฟังก์ชัน h( เอ็กซ์) = เมื่อ เอ็กซ์ = 3.

7. สรุป

การทำงานเป็นหนึ่งในแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุด ฟังก์ชั่น - การพึ่งพาตัวแปร ที่จากตัวแปร xถ้าแต่ละค่า เอ็กซ์ตรงกับค่าเดียว ที่- ตัวแปร เอ็กซ์เรียกว่าตัวแปรอิสระหรืออาร์กิวเมนต์ ตัวแปร ที่เรียกว่าตัวแปรตาม ค่าทั้งหมดของตัวแปรอิสระ (variable x) สร้างโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน ค่าทั้งหมดที่ตัวแปรตามใช้ (variable ย) สร้างช่วงของค่าของฟังก์ชัน

กราฟฟังก์ชันเรียกเซตของจุดทั้งหมดของระนาบพิกัดซึ่ง abscissas นั้นเท่ากับค่าของอาร์กิวเมนต์และพิกัดนั้นเท่ากับค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันนั่นคือค่าของ ตัวแปรจะถูกพล็อตไปตามแกนแอบซิสซา xและค่าของตัวแปรจะถูกพล็อตไปตามแกนพิกัด ย- หากต้องการสร้างกราฟฟังก์ชัน คุณจำเป็นต้องทราบคุณสมบัติของฟังก์ชันนั้น คุณสมบัติหลักของฟังก์ชันจะกล่าวถึงด้านล่าง!

ในการสร้างกราฟของฟังก์ชัน เราขอแนะนำให้ใช้โปรแกรมของเรา - ฟังก์ชันกราฟแบบออนไลน์ หากคุณมีคำถามใดๆ ในขณะที่ศึกษาเนื้อหาในหน้านี้ คุณสามารถถามพวกเขาในฟอรัมของเราได้ตลอดเวลา นอกจากนี้ในฟอรั่มยังช่วยคุณแก้ปัญหาในวิชาคณิตศาสตร์ เคมี เรขาคณิต ทฤษฎีความน่าจะเป็น และวิชาอื่นๆ อีกมากมาย!

คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชัน

1) โดเมนฟังก์ชันและช่วงฟังก์ชัน.

โดเมนของฟังก์ชันคือชุดของค่าอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้องทั้งหมด x(ตัวแปร x) ซึ่งฟังก์ชัน ย = ฉ(x)มุ่งมั่น.
พิสัยของฟังก์ชันคือเซตของค่าจริงทั้งหมด ยซึ่งฟังก์ชันยอมรับ

ในคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา ฟังก์ชันจะศึกษาเฉพาะเซตของจำนวนจริงเท่านั้น

2) ฟังก์ชั่นศูนย์.

ค่านิยม เอ็กซ์ซึ่ง ย=0, เรียกว่า ฟังก์ชันศูนย์- สิ่งเหล่านี้คือจุดตัดของจุดตัดของกราฟฟังก์ชันกับแกน Ox

3) ช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชัน.

ช่วงของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชันคือช่วงของค่าดังกล่าว xซึ่งค่าฟังก์ชัน ยเรียกเฉพาะค่าบวกหรือค่าลบเท่านั้น ช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชัน

4) ความน่าเบื่อหน่ายของฟังก์ชัน.

ฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น (ในช่วงเวลาหนึ่ง) เป็นฟังก์ชันที่ มูลค่าที่สูงขึ้นอาร์กิวเมนต์จากช่วงเวลานี้สอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันลดลง (ในช่วงเวลาหนึ่ง) คือฟังก์ชันที่มีค่าอาร์กิวเมนต์ที่มากกว่าจากช่วงเวลานี้สอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน

5) ฟังก์ชันคู่ (คี่).

ฟังก์ชันคู่คือฟังก์ชันที่มีโดเมนของคำจำกัดความสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิดและสำหรับจุดใดๆ เอ็กซ์ ฉ(-x) = ฉ(x)- กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรเกี่ยวกับพิกัด

ฟังก์ชันคี่คือฟังก์ชันที่มีโดเมนของคำจำกัดความสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิดและสำหรับค่าใดๆ เอ็กซ์จากขอบเขตของคำจำกัดความ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง ฉ(-x) = - ฉ(x- กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด

ฟังก์ชั่นสม่ำเสมอ
1) ขอบเขตของคำจำกัดความมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับจุด (0; 0) นั่นคือถ้าจุดนั้น กอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความ แล้วจึงเป็นจุด -กยังอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความด้วย
2) สำหรับค่าใดๆ x ฉ(-x)=ฉ(x)
3) กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน Oy

ฟังก์ชั่นแปลก ๆมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
1) โดเมนของคำจำกัดความมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุด (0; 0)
2) สำหรับค่าใดๆ xที่อยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความความเท่าเทียมกัน ฉ(-x)=-ฉ(x)
3) กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเทียบกับจุดกำเนิด (0; 0)

ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันที่เป็นคู่หรือคี่ ฟังก์ชั่น มุมมองทั่วไป ไม่เป็นคู่หรือคี่

6) ฟังก์ชั่นที่จำกัดและไม่ จำกัด.

ฟังก์ชันจะเรียกว่ามีขอบเขตหากมีจำนวนบวก M โดยที่ |f(x)| ≤ M สำหรับค่าทั้งหมดของ x หากไม่มีตัวเลขดังกล่าว แสดงว่าฟังก์ชันนั้นไม่จำกัด

7) ช่วงเวลาของฟังก์ชัน.

ฟังก์ชัน f(x) จะเป็นคาบหากมีตัวเลข T ที่ไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้นสำหรับ x ใดๆ จากโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน จะคงค่าไว้ดังนี้: f(x+T) = f(x) นี้ จำนวนที่น้อยที่สุดเรียกว่าคาบของฟังก์ชัน ทั้งหมด ฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นช่วงๆ (สูตรตรีโกณมิติ)

การทำงาน ฉเรียกว่าคาบหากมีตัวเลขเช่นนั้นสำหรับค่าใดๆ xจากขอบเขตของคำจำกัดความคือความเท่าเทียมกัน ฉ(x)=ฉ(x-T)=ฉ(x+T). ตคือคาบของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันคาบทุกฟังก์ชันมีจำนวนคาบไม่สิ้นสุด ในทางปฏิบัติมักจะพิจารณาช่วงเวลาที่เป็นบวกน้อยที่สุด

ค่าของฟังก์ชันคาบจะถูกทำซ้ำหลังจากช่วงเวลาเท่ากับคาบ ใช้เมื่อสร้างกราฟ

ฟังก์ชั่นสม่ำเสมอ

สม่ำเสมอเป็นฟังก์ชันที่เครื่องหมายไม่เปลี่ยนเมื่อเครื่องหมายเปลี่ยน x.

xความเท่าเทียมกันถือ ฉ(–x) = ฉ(x- เข้าสู่ระบบ xไม่ส่งผลกระทบต่อเครื่องหมาย ย.

กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกนพิกัด (รูปที่ 1)

ตัวอย่างของฟังก์ชันคู่:

ย=คอส x

ย = x 2

ย = –x 2

ย = x 4

ย = x 6

ย = x 2 + x

คำอธิบาย:
เรามาทำหน้าที่กัน ย = x 2 หรือ ย = –x 2 .
เพื่อความคุ้มค่าใดๆ xฟังก์ชั่นเป็นบวก เข้าสู่ระบบ xไม่ส่งผลกระทบต่อเครื่องหมาย ย- กราฟมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกนพิกัด นี่คือฟังก์ชันคู่

ฟังก์ชั่นแปลก ๆ

แปลกเป็นฟังก์ชันที่เครื่องหมายเปลี่ยนเมื่อเครื่องหมายเปลี่ยน x.

กล่าวอีกนัยหนึ่งสำหรับค่าใดๆ xความเท่าเทียมกันถือ ฉ(–x) = –ฉ(x).

กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเทียบกับจุดกำเนิด (รูปที่ 2)

ตัวอย่างของฟังก์ชันคี่:

ย= บาป x

ย = x 3

ย = –x 3

คำอธิบาย:

ลองใช้ฟังก์ชัน y = – x 3 .
ความหมายทั้งหมด ที่มันจะมีเครื่องหมายลบ นั่นคือสัญญาณ xมีอิทธิพลต่อสัญญาณ ย- ถ้าตัวแปรอิสระเป็นจำนวนบวก ฟังก์ชันจะเป็นค่าบวก ถ้าตัวแปรอิสระเป็นจำนวนบวก จำนวนลบจากนั้นฟังก์ชันจะเป็นลบ: ฉ(–x) = –ฉ(x).
กราฟของฟังก์ชันมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด นี่เป็นฟังก์ชันคี่

คุณสมบัติของคู่และ ฟังก์ชั่นคี่:

บันทึก:

ไม่ใช่ว่าทุกฟังก์ชันจะเป็นเลขคู่หรือคี่ มีฟังก์ชันที่ไม่เป็นไปตามการไล่ระดับดังกล่าว ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันรูท ที่ = √เอ็กซ์ใช้ไม่ได้กับฟังก์ชันคู่หรือคี่ (รูปที่ 3) เมื่อแสดงรายการคุณสมบัติของฟังก์ชันดังกล่าว ควรให้คำอธิบายที่เหมาะสม: ไม่เป็นคู่หรือคี่

ฟังก์ชันคาบ

ดังที่คุณทราบ ช่วงเวลาคือการทำซ้ำของกระบวนการบางอย่างในช่วงเวลาหนึ่ง ฟังก์ชันที่อธิบายกระบวนการเหล่านี้เรียกว่า ฟังก์ชันเป็นระยะ- นั่นคือฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันที่กราฟมีองค์ประกอบที่ทำซ้ำในช่วงเวลาตัวเลขที่แน่นอน

คำนิยาม 1. ฟังก์ชันนี้เรียกว่า สม่ำเสมอ (แปลก ) หากร่วมกับค่าตัวแปรแต่ละตัว
ความหมาย - เอ็กซ์ยังเป็นของ
และความเท่าเทียมกันคงอยู่

ดังนั้น ฟังก์ชันอาจเป็นเลขคู่หรือคี่ก็ได้ก็ต่อเมื่อโดเมนของคำจำกัดความมีความสมมาตรเกี่ยวกับที่มาของพิกัดบนเส้นจำนวน (ตัวเลข เอ็กซ์และ - เอ็กซ์อยู่ในเวลาเดียวกัน
- ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน
ไม่เป็นคู่หรือคี่ เนื่องจากขอบเขตของคำจำกัดความ
ไม่สมมาตรเกี่ยวกับต้นกำเนิด

การทำงาน
แม้กระทั่งเพราะว่า
สมมาตรเกี่ยวกับต้นกำเนิดและ

การทำงาน
แปลกเพราะว่า
และ
.

การทำงาน
ไม่เป็นคู่และคี่ เนื่องจากถึงแม้ว่า
และมีความสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิด ความเท่าเทียมกัน (11.1) ไม่เป็นที่น่าพอใจ ตัวอย่างเช่น,.

กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรรอบแกน โอ้เพราะถ้าตรงประเด็น

อยู่ในกำหนดการด้วย กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด เนื่องจากถ้า
เป็นของกราฟแล้วจึงเป็นจุด
อยู่ในกำหนดการด้วย

เมื่อพิสูจน์ว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่หรือคี่ ข้อความต่อไปนี้จะมีประโยชน์

ทฤษฎีบท 1. a) ผลรวมของฟังก์ชันคู่ (คี่) สองฟังก์ชันคือฟังก์ชันคู่ (คี่)

b) ผลคูณของฟังก์ชันคู่ (คี่) สองฟังก์ชันคือฟังก์ชันคู่

c) ผลคูณของฟังก์ชันคู่และคี่คือฟังก์ชันคี่

ง) ถ้า ฉ– แม้กระทั่งฟังก์ชั่นบนชุด เอ็กซ์และฟังก์ชัน ก ที่กำหนดไว้ในชุด
จากนั้นฟังก์ชัน
- สม่ำเสมอ.

ง) ถ้า ฉ– ฟังก์ชั่นคี่บนเซต เอ็กซ์และฟังก์ชัน ก ที่กำหนดไว้ในชุด
และคู่ (คี่) ตามด้วยฟังก์ชัน
– คู่ (คี่)

การพิสูจน์- ให้เราพิสูจน์เช่น b) และ d)

ข) เอาล่ะ
และ
– แม้กระทั่งฟังก์ชั่น ดังนั้นแล้ว. กรณีของฟังก์ชันคี่จะได้รับการปฏิบัติในทำนองเดียวกัน
และ
.

ง) ให้ ฉ เป็นฟังก์ชันคู่ แล้ว.

ข้อความที่เหลือของทฤษฎีบทสามารถพิสูจน์ได้ในลักษณะเดียวกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 2. ฟังก์ชั่นใดๆ
กำหนดไว้บนชุด เอ็กซ์ที่มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด สามารถแสดงเป็นผลรวมของฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่

การพิสูจน์- การทำงาน
สามารถเขียนเป็นแบบฟอร์มได้

.

การทำงาน
– แม้กระทั่งเพราะว่า
และฟังก์ชัน
– แปลกเพราะว่า ดังนั้น,
, ที่ไหน
– เท่ากัน และ
- ฟังก์ชั่นคี่ ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

คำนิยาม 2. ฟังก์ชั่น
เรียกว่า เป็นระยะๆ ถ้ามีตัวเลข
เช่นนั้นเพื่อสิ่งใดสิ่งหนึ่ง
ตัวเลข
และ
ยังอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความด้วย
และมีความเท่าเทียมกันเป็นที่พอใจ

จำนวนดังกล่าว ตเรียกว่า ระยะเวลา ฟังก์ชั่น
.

จากคำจำกัดความที่ 1 จะได้ว่าถ้า ต– ระยะเวลาของการทำงาน
แล้วหมายเลข – ตเดียวกัน คือคาบของฟังก์ชัน
(ตั้งแต่ตอนเปลี่ยน. ตบน - ตจะรักษาความเท่าเทียมกัน) โดยใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ก็แสดงว่าถ้า ต– ระยะเวลาของการทำงาน ฉ, แล้ว
ก็เป็นช่วงหนึ่งเช่นกัน ตามมาว่าหากฟังก์ชันมีคาบ ก็จะมีคาบจำนวนมากเป็นอนันต์

คำนิยาม 3. คาบบวกที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันเรียกว่า หลัก ระยะเวลา.

ทฤษฎีบท 3. ถ้า ต– ช่วงเวลาหลักของการทำงาน ฉแล้วคาบที่เหลือจะเป็นทวีคูณ

การพิสูจน์- ให้เราถือว่าตรงกันข้ามนั่นคือมีช่วงเวลาหนึ่ง ฟังก์ชั่น ฉ (>0) ไม่ใช่หลายรายการ ต- แล้วแบ่ง บน ตส่วนที่เหลือเราก็ได้
, ที่ไหน
- นั่นเป็นเหตุผล

นั่นคือ – ระยะเวลาของการทำงาน ฉ, และ
และสิ่งนี้ขัดแย้งกับความจริงที่ว่า ต– ช่วงเวลาหลักของการทำงาน ฉ- ข้อความของทฤษฎีบทตามมาจากความขัดแย้งที่เกิดขึ้น ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

เป็นที่ทราบกันดีว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นแบบคาบ ช่วงหลัก
และ
เท่ากับ
,
และ
- ลองหาคาบของฟังก์ชันกัน
- อนุญาต
- ระยะเวลาของฟังก์ชันนี้ แล้ว

(เพราะ
.

หรือ
.

ความหมาย ตซึ่งกำหนดจากความเท่าเทียมกันครั้งแรก จะเป็นช่วงเวลาไม่ได้เนื่องจากขึ้นอยู่กับ เอ็กซ์, เช่น. เป็นฟังก์ชันของ เอ็กซ์และไม่ใช่จำนวนคงที่ ระยะเวลาถูกกำหนดจากความเสมอภาคที่สอง:
- มีหลายช่วงอนันต์ด้วย
จะได้คาบบวกที่น้อยที่สุดที่
:
- นี่คือช่วงเวลาหลักของการทำงาน
.

ตัวอย่างของฟังก์ชันคาบที่ซับซ้อนกว่าคือฟังก์ชันดิริชเลต์

โปรดทราบว่าถ้า ตเป็นจำนวนตรรกยะแล้ว
และ
เป็นจำนวนตรรกยะสำหรับตรรกยะ เอ็กซ์และไม่มีเหตุผลเมื่อไม่มีเหตุผล เอ็กซ์- นั่นเป็นเหตุผล

สำหรับจำนวนตรรกยะใดๆ ต- ดังนั้น จำนวนตรรกยะใดๆ ตคือคาบของฟังก์ชันดิริชเลต์ เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันนี้ไม่มีช่วงเวลาหลัก เนื่องจากมีเป็นบวก จำนวนตรรกยะใกล้ศูนย์โดยพลการ (เช่น สามารถเลือกจำนวนตรรกยะได้ nใกล้กับศูนย์โดยพลการ)

ทฤษฎีบท 4.ถ้าฟังก์ชั่น ฉ ที่กำหนดไว้ในชุด เอ็กซ์และมีช่วงเวลา ตและฟังก์ชัน ก ที่กำหนดไว้ในชุด
แล้วจึงเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน
มีประจำเดือนด้วย ต.

การพิสูจน์- เราจึงมี

นั่นคือ ข้อความของทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างเช่นตั้งแต่ เพราะ x มีช่วงเวลา
แล้วตามด้วยฟังก์ชัน
มีประจำเดือน
.

คำนิยาม 4. ฟังก์ชันที่ไม่ใช่คาบจะถูกเรียก ไม่ใช่เป็นระยะ .

การขึ้นต่อกันของตัวแปร y กับตัวแปร x ซึ่งแต่ละค่าของ x สอดคล้องกับค่า y เดียวเรียกว่าฟังก์ชัน สำหรับการกำหนดให้ใช้สัญลักษณ์ y=f(x) แต่ละฟังก์ชันมีคุณสมบัติพื้นฐานจำนวนหนึ่ง เช่น ความน่าเบื่อ ความเท่าเทียมกัน ระยะเวลา และอื่นๆ

พิจารณา รายละเอียดทรัพย์สินเพิ่มเติมความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชัน y=f(x) จะถูกเรียกแม้ว่าจะเป็นไปตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้:

2. ค่าของฟังก์ชันที่จุด x ซึ่งเป็นโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน จะต้องเท่ากับค่าของฟังก์ชันที่จุด -x นั่นคือ สำหรับจุด x ใดๆ จากโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน จะต้องมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: f(x) = f(-x)

กราฟของฟังก์ชันคู่

หากคุณพล็อตกราฟของฟังก์ชันคู่ กราฟนั้นจะสมมาตรเกี่ยวกับแกน Oy

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y=x^2 เป็นเลขคู่ เรามาตรวจสอบกัน ขอบเขตของคำจำกัดความคือแกนตัวเลขทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าจุด O มีความสมมาตร

ลองหา x=3 อะไรก็ได้ ฉ(x)=3^2=9.

ฉ(-x)=(-3)^2=9. ดังนั้น f(x) = f(-x) ดังนั้น ตรงตามเงื่อนไขทั้งสอง ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่ ด้านล่างนี้คือกราฟของฟังก์ชัน y=x^2

รูปนี้แสดงให้เห็นว่ากราฟมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน Oy

กราฟของฟังก์ชันคี่

ฟังก์ชัน y=f(x) จะถูกเรียกว่าเป็นเลขคี่หากตรงตามเงื่อนไขสองประการต่อไปนี้:

1. โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่กำหนดจะต้องสมมาตรด้วยความเคารพต่อจุด O นั่นคือ ถ้าบางจุด a อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน จุดที่สอดคล้องกัน -a จะต้องอยู่ในโดเมนของคำจำกัดความด้วย ของฟังก์ชันที่กำหนด

2. สำหรับจุด x ใดๆ ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะต้องเป็นไปตามขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชัน: f(x) = -f(x)

กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเทียบกับจุด O ซึ่งเป็นที่มาของพิกัด ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y=x^3 เป็นเลขคี่ เรามาตรวจสอบกัน ขอบเขตของคำจำกัดความคือแกนตัวเลขทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าจุด O มีความสมมาตร

ลองหา x=2 อะไรก็ได้ ฉ(x)=2^3=8.

ฉ(-x)=(-2)^3=-8. ดังนั้น f(x) = -f(x) ดังนั้น ตรงตามเงื่อนไขทั้งสอง ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันเป็นเลขคี่ ด้านล่างนี้คือกราฟของฟังก์ชัน y=x^3

รูปแสดงให้เห็นชัดเจนว่าฟังก์ชันคี่ y=x^3 มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด