Y 3x 1 กราฟ ฟังก์ชันกำลังสองและลูกบาศก์

การสร้างกราฟของฟังก์ชันที่มีโมดูลมักจะทำให้เกิดปัญหาอย่างมากสำหรับเด็กนักเรียน อย่างไรก็ตามทุกอย่างก็ไม่ได้เลวร้ายนัก ก็เพียงพอแล้วที่จะจดจำอัลกอริธึมสองสามตัวในการแก้ปัญหาดังกล่าว และคุณสามารถสร้างกราฟของฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่สุดได้อย่างง่ายดาย เรามาดูกันว่าอัลกอริธึมเหล่านี้คืออะไร

1. เขียนกราฟของฟังก์ชัน y = |f(x)|

โปรดทราบว่าชุดของค่าฟังก์ชัน y = |f(x)| : y ≥ 0 ดังนั้น กราฟของฟังก์ชันดังกล่าวจึงอยู่ในระนาบครึ่งบนเสมอ

การพล็อตกราฟของฟังก์ชัน y = |f(x)| ประกอบด้วยสี่ขั้นตอนง่ายๆ ดังต่อไปนี้

1) สร้างกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) อย่างระมัดระวังและรอบคอบ

2) ปล่อยจุดทั้งหมดบนกราฟที่อยู่เหนือหรือบนแกน 0x ไว้ไม่เปลี่ยนแปลง

3) แสดงส่วนของกราฟที่อยู่ต่ำกว่าแกน 0x อย่างสมมาตรสัมพันธ์กับแกน 0x

ตัวอย่างที่ 1 วาดกราฟของฟังก์ชัน y = |x 2 – 4x + 3|

1) เราสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 – 4x + 3 แน่นอนว่ากราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลา ลองหาพิกัดของทุกจุดตัดของพาราโบลากับแกนพิกัดและพิกัดของจุดยอดของพาราโบลากัน

x 2 – 4x + 3 = 0

x 1 = 3, x 2 = 1

ดังนั้น พาราโบลาจะตัดแกน 0x ที่จุด (3, 0) และ (1, 0)

ปี = 0 2 – 4 0 + 3 = 3

ดังนั้น พาราโบลาจะตัดแกน 0y ที่จุด (0, 3)

พิกัดจุดยอดพาราโบลา:

x ใน = -(-4/2) = 2, y ใน = 2 2 – 4 2 + 3 = -1

ดังนั้น จุด (2, -1) คือจุดยอดของพาราโบลานี้

วาดพาราโบลาโดยใช้ข้อมูลที่ได้รับ (รูปที่ 1)

2) ส่วนของกราฟที่อยู่ต่ำกว่าแกน 0x จะแสดงแบบสมมาตรสัมพันธ์กับแกน 0x

3) เราได้กราฟของฟังก์ชันดั้งเดิม ( ข้าว. 2ปรากฏเป็นเส้นประ)

2. การสร้างกราฟฟังก์ชัน y = f(|x|)

โปรดทราบว่าฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ y = f(|x|) จะเป็นคู่:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x) ซึ่งหมายความว่ากราฟของฟังก์ชันดังกล่าวมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน 0y

การพล็อตกราฟของฟังก์ชัน y = f(|x|) ประกอบด้วยลำดับการกระทำอย่างง่ายดังต่อไปนี้

1) สร้างกราฟฟังก์ชัน y = f(x)

2) ปล่อยส่วนของกราฟซึ่งมี x ≥ 0 ซึ่งก็คือส่วนของกราฟที่อยู่ในระนาบครึ่งขวา

3) แสดงส่วนของกราฟที่ระบุในจุด (2) แบบสมมาตรกับแกน 0y

4) เป็นกราฟสุดท้าย ให้เลือกการรวมกันของเส้นโค้งที่ได้รับในจุด (2) และ (3)

ตัวอย่างที่ 2 วาดกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 – 4 · |x| + 3

เนื่องจาก x 2 = |x| 2 แล้วฟังก์ชันเดิมสามารถเขียนใหม่ได้เป็น แบบฟอร์มต่อไปนี้: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. ตอนนี้เราสามารถใช้อัลกอริธึมที่เสนอข้างต้นได้แล้ว

1) เราสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 – 4 x + 3 อย่างระมัดระวังและรอบคอบ (ดูเพิ่มเติม ข้าว. 1).

2) เราปล่อยให้ส่วนของกราฟมี x ≥ 0 ซึ่งก็คือส่วนของกราฟที่อยู่ในระนาบครึ่งขวา

3) การแสดงผล ด้านขวากราฟิกมีความสมมาตรกับแกน 0y

(รูปที่ 3).

ตัวอย่างที่ 3 วาดกราฟของฟังก์ชัน y = log 2 |x|

เราใช้รูปแบบที่ให้ไว้ข้างต้น

1) สร้างกราฟของฟังก์ชัน y = log 2 x (รูปที่ 4).

3. การพล็อตฟังก์ชัน y = |f(|x|)|

โปรดทราบว่าฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ y = |f(|x|)| ก็ยังเท่ากัน แท้จริงแล้ว y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |ฉ(|x|)| = y(x) ดังนั้น กราฟของพวกมันจึงสมมาตรรอบแกน 0y ชุดค่าของฟังก์ชันดังกล่าว: y ≥ 0 ซึ่งหมายความว่ากราฟของฟังก์ชันดังกล่าวจะอยู่ในระนาบครึ่งบนทั้งหมด

ในการพล็อตฟังก์ชัน y = |f(|x|)| คุณต้อง:

1) สร้างกราฟของฟังก์ชัน y = f(|x|) อย่างระมัดระวัง

2) ปล่อยส่วนของกราฟที่อยู่เหนือหรือบนแกน 0x ไว้ไม่เปลี่ยนแปลง

3) แสดงส่วนของกราฟที่อยู่ด้านล่างแกน 0x แบบสมมาตรสัมพันธ์กับแกน 0x

4) เป็นกราฟสุดท้าย ให้เลือกการรวมกันของเส้นโค้งที่ได้รับในจุด (2) และ (3)

ตัวอย่างที่ 4 วาดกราฟของฟังก์ชัน y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) โปรดทราบว่า x 2 = |x| 2. ซึ่งหมายความว่าแทนที่จะเป็นฟังก์ชันเดิม y = -x 2 + 2|x| – 1

คุณสามารถใช้ฟังก์ชัน y = -|x| 2 + 2|x| – 1 เนื่องจากกราฟตรงกัน

เราสร้างกราฟ y = -|x| 2 + 2|x| – 1. สำหรับสิ่งนี้ เราใช้อัลกอริทึม 2

ก) สร้างกราฟฟังก์ชัน y = -x 2 + 2x – 1 (รูปที่ 6).

b) เราปล่อยส่วนของกราฟที่อยู่ในครึ่งระนาบด้านขวาไว้

c) เราแสดงส่วนผลลัพธ์ของกราฟแบบสมมาตรกับแกน 0y

d) กราฟผลลัพธ์จะแสดงเป็นเส้นประในรูป (รูปที่ 7).

2) ไม่มีจุดที่อยู่เหนือแกน 0x เราปล่อยให้จุดบนแกน 0x ไม่เปลี่ยนแปลง

3) ส่วนของกราฟที่อยู่ด้านล่างแกน 0x จะแสดงแบบสมมาตรสัมพันธ์กับ 0x

4) กราฟผลลัพธ์จะแสดงในรูปด้วยเส้นประ (รูปที่ 8).

ตัวอย่างที่ 5 สร้างกราฟฟังก์ชัน y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) ก่อนอื่นคุณต้องพล็อตฟังก์ชัน y = (2|x| – 4) / (|x| + 3) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรากลับไปที่อัลกอริทึม 2

a) พลอตฟังก์ชัน y = (2x – 4) / (x + 3) อย่างระมัดระวัง (รูปที่ 9).

โปรดทราบว่า ฟังก์ชั่นนี้เป็นเศษส่วนเชิงเส้นและกราฟของมันคือไฮเปอร์โบลา ในการพล็อตเส้นโค้ง คุณต้องหาเส้นกำกับของกราฟก่อน แนวนอน – y = 2/1 (อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ของ x ในตัวเศษและส่วนของเศษส่วน), แนวตั้ง – x = -3

2) เราจะปล่อยให้ส่วนของกราฟที่อยู่เหนือแกน 0x หรือบนนั้นไม่เปลี่ยนแปลง

3) ส่วนของกราฟที่อยู่ด้านล่างแกน 0x จะแสดงแบบสมมาตรสัมพันธ์กับ 0x

4) กราฟสุดท้ายจะแสดงในรูป (รูปที่ 11).

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

บทเรียนในหัวข้อ: "กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชัน $y=x^3$ ตัวอย่างการพล็อตกราฟ"

วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7
หนังสือเรียนอิเล็กทรอนิกส์สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 "พีชคณิตใน 10 นาที"
ศูนย์การศึกษา 1C "พีชคณิตเกรด 7-9"

คุณสมบัติของฟังก์ชัน $y=x^3$

มาอธิบายคุณสมบัติของฟังก์ชันนี้:

1. x เป็นตัวแปรอิสระ y เป็นตัวแปรตาม

2. โดเมนของคำจำกัดความ: เห็นได้ชัดว่าสำหรับค่าใด ๆ ของอาร์กิวเมนต์ (x) สามารถคำนวณค่าของฟังก์ชัน (y) ได้ ดังนั้น โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้คือเส้นจำนวนทั้งหมด

3. ช่วงของค่า: y สามารถเป็นอะไรก็ได้ ดังนั้นช่วงของค่าจึงเป็นเส้นจำนวนทั้งหมดด้วย

4. ถ้า x= 0 แล้ว y= 0

กราฟของฟังก์ชัน $y=x^3$

1. มาสร้างตารางค่ากัน:

2. สำหรับ ค่าบวกกราฟ x ของฟังก์ชัน $y=x^3$ คล้ายกับพาราโบลามาก โดยมีกิ่งก้านของกราฟที่ "กด" ไปที่แกน OY มากกว่า

3. เนื่องจากค่าลบของ x ฟังก์ชัน $y=x^3$ มีค่าตรงกันข้าม กราฟของฟังก์ชันจึงมีความสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิด

ตอนนี้เรามาทำเครื่องหมายจุดบนระนาบพิกัดและสร้างกราฟ (ดูรูปที่ 1)

เส้นโค้งนี้เรียกว่าลูกบาศก์พาราโบลา

ตัวอย่าง

I. บนเรือลำเล็กมันจบลงแล้ว น้ำจืด- จำเป็นต้องนำน้ำจากตัวเมืองมาในปริมาณที่เพียงพอ สั่งน้ำล่วงหน้าและจ่ายเงินเต็มลูกบาศก์แม้ว่าคุณจะเติมน้อยกว่าเล็กน้อยก็ตาม ฉันควรสั่งซื้อลูกบาศก์จำนวนกี่ก้อนเพื่อไม่ให้จ่ายเงินมากเกินไปสำหรับลูกบาศก์พิเศษและเติมให้เต็มถัง เป็นที่รู้กันว่าถังมีความยาวความกว้างและความสูงเท่ากันซึ่งเท่ากับ 1.5 ม. ให้เราแก้ปัญหานี้โดยไม่ต้องคำนวณ

สารละลาย:

1. ลองพลอตฟังก์ชัน $y=x^3$ กัน
2. หาพิกัดจุด A, x ซึ่งเท่ากับ 1.5 เราจะเห็นว่าพิกัดของฟังก์ชันอยู่ระหว่างค่า 3 ถึง 4 (ดูรูปที่ 2) ดังนั้นคุณต้องสั่ง 4 ก้อน

ฟังก์ชัน y=x^2 เรียกว่าฟังก์ชันกำลังสอง กำหนดการ ฟังก์ชันกำลังสองคือพาราโบลา มุมมองทั่วไปพาราโบลาแสดงในรูปด้านล่าง

ฟังก์ชันกำลังสอง

รูปที่ 1 มุมมองทั่วไปของพาราโบลา

ดังที่เห็นได้จากกราฟ มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน Oy แกนออยเรียกว่าแกนสมมาตรของพาราโบลา ซึ่งหมายความว่าหากคุณวาดเส้นตรงบนกราฟขนานกับแกน Ox เหนือแกนนี้ จากนั้นมันจะตัดพาราโบลาที่จุดสองจุด ระยะห่างจากจุดเหล่านี้ถึงแกน Oy จะเท่ากัน

แกนสมมาตรแบ่งกราฟของพาราโบลาออกเป็นสองส่วน ส่วนเหล่านี้เรียกว่ากิ่งก้านของพาราโบลา และจุดของพาราโบลาซึ่งอยู่บนแกนสมมาตรเรียกว่าจุดยอดของพาราโบลา นั่นคือแกนสมมาตรผ่านจุดยอดของพาราโบลา พิกัดของจุดนี้คือ (0;0)

คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันกำลังสอง

1. ที่ x =0, y=0 และ y>0 ที่ x0

2. ฟังก์ชันกำลังสองถึงค่าต่ำสุดที่จุดยอด อีมินที่ x=0; ควรสังเกตด้วยว่าฟังก์ชันไม่มีค่าสูงสุด

3. ฟังก์ชั่นลดลงตามช่วงเวลา (-∞;0] และเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา)