วิธีแก้พีชคณิตคืออะไร ลักษณะทั่วไปของประสบการณ์ ปัญหาข้อความในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน วิธีทางคณิตศาสตร์สำหรับการแก้ปัญหา โจทย์เลขคณิตง่ายๆ ทั้งหมดแบ่งออกเป็นสองกลุ่มใหญ่

จุดประสงค์ของบทเรียนของเรา

อองรี ปัวน์กาเร นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่กล่าวว่า “คณิตศาสตร์เป็นศิลปะในการตั้งชื่อสิ่งต่าง ๆ ให้เหมือนกัน” คำพังเพยอันน่าขบขันนี้มีความหมายลึกซึ้ง

ทำงานกับหนังสือเรียน

เมื่อปัญหาได้รับการแก้ไขโดยพีชคณิต สิ่งแรกสุดคือเงื่อนไขของปัญหาจะถูกแปลเป็นภาษาคณิตศาสตร์ พื้นฐานของการแปลขั้นตอนแรกคือการแนะนำตัวอักษรเพื่อระบุปริมาณที่ไม่ทราบจำนวน

การแปลมักจะส่งผลให้เกิดความเท่าเทียมกันที่มีตัวอักษร ความเท่าเทียมกันนี้ดังที่คุณทราบแล้วเรียกว่า สมการ .

วิธีแก้เลขคณิตสำหรับปัญหา:

อายุของเด็กสี่คนรวมกัน ในปี 2000 อายุของแต่ละคนจะน้อยกว่า 2 ปี ซึ่งหมายความว่าอายุรวมของพวกเขาจะน้อยกว่า 2 · 4 = 8 (ปี) ดังนั้นในปี 2000 ฝาแฝดจึงมีอายุรวมกัน 50 – 8 = 42 (ปี)

หากพวกเขาอายุน้อยกว่าทั้งหมด ในปี 2000 พวกเขาก็จะเป็นเช่นนั้น

รวมกัน 42 – 3 2 = 36 (ปี) ซึ่งหมายความว่าผู้ที่อายุน้อยที่สุดในปี 2000 คือ

36: 4 = 9 (ปี) และอายุมากกว่าคือ 9 + 3 = 12 (ปี)

วิธีพีชคณิตในการแก้ปัญหา

ครอบครัวนี้มีฝาแฝดสองคู่ เกิดห่างกันสามปี ในปี 2012 ทุกคนมีอายุครบ 50 ปีด้วยกัน แฝดแต่ละคู่อายุเท่าไหร่ในปี 2010?

วิธีแก้ปัญหาพีชคณิต:

ให้เราแสดงโดย เอ็กซ์อายุของแฝดคนเล็กในปี 2010 จากนั้นแฝดคนโตก็คนละคน x+ 3 ปี ในปี 2012 หรืออีก 2 ปีต่อมา ก็มีฝาแฝดคนเล็กเป็นคนละคน x+ 2 ปีขึ้นไป - โดย x+ 5 ปี

ตามเงื่อนไขของปัญหา อายุรวมของฝาแฝดในปี 2555 คือ

อายุ 50 ปี. วิธี, ( เอ็กซ์ + 2) + ( เอ็กซ์ + 2) + ( เอ็กซ์ + 5) + ( เอ็กซ์ + 5) = 50.

ดังนั้นสมการจึงเสร็จสมบูรณ์

หากต้องการค้นหาตัวเลขที่ไม่รู้จัก x จะต้องแก้สมการนี้

สมุดงานหมายเลข 79

การประชุมเชิงปฏิบัติการ

สมุดงานหมายเลข 80

x สห x สหกรณ์

12 ส.ค. 12 ส.ค

(x – 12)สหกรณ์ (x + 12)สหกรณ์

3(x – 12) = (x + 12)

สมุดงานหมายเลข 81

x + 8 = 3x

การประชุมเชิงปฏิบัติการ

ตำราเรียนหมายเลข 336

ให้เราแทนด้วย x คน. – อยู่ในรถม้า 1 คัน,

จากนั้นมีคน (x + 14) คนอยู่ในรถม้า 2

ตามเงื่อนไขของปัญหา จำนวนคนในตู้โดยสารสองตู้คือ 86 คน

มาสร้างสมการกันดีกว่า: x + (x + 14) = 86

1 สมการ

2 สมการ

ให้เราแทนด้วย x คน. – มันอยู่ในรถม้าคันที่ 2,

มาสร้างสมการกันดีกว่า: x + (x – 14) = 86

ตำราเรียนหมายเลข 337

ให้เราแสดงด้วย x จำนวนแผ่นในชุดแรก

แล้วมี 4 แผ่นใน 2 แพ็ค.

ตามเงื่อนไขของปัญหา จำนวนแผ่นในสองแพ็คคือ 350

มาสร้างสมการกันดีกว่า: x + 4x = 350

1 สมการ

2 สมการ

แทนด้วย x จำนวนแผ่นงานในชุดที่สอง เรามาสร้างสมการกัน: x + x:4 = 350

ตำราเรียนหมายเลข 343

ให้เราแสดงด้วยอายุ x ปีของ Petya

อายุของพ่อคือ 3 ปี และคุณปู่อายุ 6 ปี

ตามเงื่อนไขของปัญหา อายุรวมของ Petya พ่อและปู่คือ 110 ปี

ดังนั้น 6x + 3x + x = 110

1 สมการ

2 สมการ

มาสร้างสมการกันดีกว่า: 110 – (6x + 3x) = x

3 สมการ

มาสร้างสมการกันดีกว่า: 110 – 6x = 3x + x

ตำราเรียนหมายเลข 345

สมการ

ตำราเรียนหมายเลข 338

(x + 11) : 2 = x + 2

ขวา

(x + 3) + x = 21; 21 – (x + 3) = x;

x + 1.5x = 15; 15 – 1.5x = x;

การบ้าน

ลำดับที่ 336, 337, 343, 345 ทางปาก: หน้า 103-104

แก้ปัญหาคณิตศาสตร์- นี่หมายถึงการค้นหาลำดับของหลักการทั่วไปของคณิตศาสตร์ โดยประยุกต์กับเงื่อนไขของปัญหาที่เราได้รับสิ่งที่เราต้องค้นหา - คำตอบ

วิธีการหลักในการแก้ปัญหาคำศัพท์ เป็นวิธีการทางคณิตศาสตร์และพีชคณิตเช่นเดียวกับวิธีการรวมกัน

แก้ไขปัญหา วิธีทางคณิตศาสตร์ - หมายถึงการค้นหาคำตอบของปัญหาโดยดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวเลขที่กำหนดในปัญหา ปัญหาเดียวกันนี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีทางคณิตศาสตร์ที่ต่างกัน พวกเขาแตกต่างกันในเรื่องตรรกะของการให้เหตุผลในกระบวนการแก้ไขปัญหา

แก้ไขปัญหา วิธีพีชคณิต - หมายถึง การหาคำตอบต่อความต้องการของปัญหาโดยการเขียนและแก้สมการหรือระบบสมการ

แก้โจทย์โดยใช้วิธีพีชคณิตตามรูปแบบต่อไปนี้:

1) ระบุปริมาณที่กล่าวถึงในเนื้อหาของปัญหาและสร้างความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขา

2) แนะนำตัวแปร (แสดงปริมาณที่ไม่รู้จักด้วยตัวอักษร)

3) การใช้ตัวแปรและข้อมูลที่ป้อนปัญหาจะสร้างสมการหรือระบบสมการ

4) แก้สมการหรือระบบผลลัพธ์

5) ตรวจสอบค่าที่พบตามเงื่อนไขของปัญหาและจดคำตอบ

รวม วิธีการแก้มีทั้งวิธีแก้ทางคณิตศาสตร์และพีชคณิต

ในโรงเรียนประถมศึกษา งานจะถูกแบ่งตามจำนวนการกระทำ เมื่อแก้โจทย์แบบง่ายและแบบผสม ปัญหาที่ต้องดำเนินการเพียงครั้งเดียวเพื่อตอบคำถามเรียกว่า เรียบง่าย. หากต้องการตอบคำถามของงานที่คุณต้องดำเนินการตั้งแต่สองอย่างขึ้นไปงานดังกล่าวจะถูกเรียก สารประกอบ.

ปัญหาที่ซับซ้อนก็เหมือนกับปัญหาง่ายๆ ที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการต่างๆ

งาน.ชาวประมงจับปลาได้ 10 ตัว ในจำนวนนี้ 3 ตัวเป็นทรายแดง 4 ตัวเป็นคอนส่วนที่เหลือเป็นหอก ชาวประมงจับหอกได้กี่อัน?

วิธีปฏิบัติ.

เรามาทำเครื่องหมายปลาแต่ละตัวด้วยวงกลม มาวาดกันเถอะ 10 วงกลมแล้วระบุปลาที่จับได้

แอล แอล โล โอ โอ โอ

เพื่อตอบคำถามของปัญหาคุณไม่จำเป็นต้องดำเนินการทางคณิตศาสตร์เนื่องจากจำนวนหอกที่จับได้นั้นสอดคล้องกับวงกลมที่ไม่มีเครื่องหมาย - มีสามอัน .

วิธีเลขคณิต

1) 3+4=7(p) - ปลาที่จับได้;

2) 10 - 7 = 3(p) - หอกที่จับได้

วิธีพีชคณิต

ให้ x เป็นหอกที่จับได้ จากนั้นสามารถเขียนจำนวนปลาทั้งหมดได้เป็น: 3 + 4 + x ตามเงื่อนไขของปัญหาทราบว่าชาวประมงจับปลาได้เพียง 10 ตัวเท่านั้น ซึ่งหมายความว่า: 3 + 4 + x = 10 เมื่อแก้สมการนี้แล้วเราจะได้ x = 3 และตอบคำถามของปัญหา

วิธีกราฟิก.

ทรายแดงคอนหอก

วิธีการนี้เช่นเดียวกับวิธีปฏิบัติจะช่วยให้คุณสามารถตอบคำถามของปัญหาได้โดยไม่ต้องดำเนินการทางคณิตศาสตร์

สิ่งต่อไปนี้เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปในวิชาคณิตศาสตร์ การแบ่งกระบวนการแก้ไขปัญหา :

1) การวิเคราะห์ข้อความของปัญหา การบันทึกแผนผังของปัญหา การวิจัยปัญหา

2) ค้นหาวิธีแก้ปัญหาและจัดทำแผนการแก้ปัญหา

3) การดำเนินการตามแผนที่พบ

4) การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาที่พบการตรวจสอบ

วิธีการหาแนวทางแก้ไขปัญหาสามารถเรียกได้ดังต่อไปนี้:

1) การวิเคราะห์: ก) เมื่อการใช้เหตุผลเปลี่ยนจากสิ่งที่ต้องการไปยังข้อมูลของปัญหา b) เมื่อทั้งหมดถูกแบ่งออกเป็นส่วน ๆ

2) การสังเคราะห์: ก) เมื่อย้ายจากข้อมูลงานไปยังข้อมูลที่ต้องการ
b) เมื่อองค์ประกอบถูกรวมเข้าด้วยกัน

3) การปฏิรูปปัญหา (กำหนดงานระดับกลางที่เกิดขึ้นระหว่างการค้นหาวิธีแก้ไขอย่างชัดเจน)

4) วิธีการแก้ปัญหาแบบอุปนัย: ตามการวาดที่แม่นยำกำหนดคุณสมบัติของรูปสรุปและพิสูจน์มัน

5) การประยุกต์ใช้การเปรียบเทียบ (จำงานที่คล้ายกัน)

6) การพยากรณ์ - การคาดการณ์ผลลัพธ์ที่อาจนำไปสู่การค้นหา

มาดูกันดีกว่า กระบวนการแก้ไขปัญหา:

งานเคลื่อนย้าย.เรือเดินทางระยะทางเลียบแม่น้ำระหว่างท่าเรือสองแห่งภายใน 6 ชั่วโมงและกลับภายใน 8 ชั่วโมง การล่องแพไปตามแม่น้ำจะเดินทางเป็นระยะทางระหว่างท่าเรือนานแค่ไหน?

การวิเคราะห์งานปัญหาเกี่ยวข้องกับวัตถุสองอย่าง: เรือและแพ เรือมีความเร็วของตัวเอง และแพและแม่น้ำที่เรือและแพลอยอยู่นั้นมีความเร็วการไหลที่แน่นอน ด้วยเหตุนี้เรือจึงแล่นไปตามแม่น้ำได้ในเวลาอันสั้น (6 ชม.)มากกว่าต่อต้านกระแส (8 ชม.)แต่ความเร็วเหล่านี้ไม่ได้ระบุไว้ในปัญหา เช่นเดียวกับที่ไม่ทราบระยะห่างระหว่างท่าเรือ อย่างไรก็ตามไม่จำเป็นต้องค้นหาสิ่งแปลกปลอมเหล่านี้ แต่ต้องค้นหาเวลาที่แพจะเดินทางไกลขนาดนี้

สัญกรณ์แผนผัง:

เรือ 6 ชั่วโมง

เรือแพ

8

ต้องหาทางแก้ไขปัญหาเราต้องหาเวลาที่ใช้ในการล่องแพเพื่อเดินทางระยะทางระหว่างท่าเทียบเรือ กและ ข. จะหาครั้งนี้ต้องรู้ระยะทางด้วย เอบีและความเร็วของกระแสน้ำ ไม่ทราบทั้งสองค่า ดังนั้นเรามาแทนระยะทาง AB ด้วยตัวอักษรกัน ส (กม.)และความเร็วในปัจจุบัน และกม./ชม.หากต้องการเชื่อมโยงสิ่งที่ไม่ทราบเหล่านี้กับข้อมูลที่เป็นปัญหา คุณจำเป็นต้องทราบความเร็วของเรือเอง ยังไม่ทราบ สมมุติว่ามันเท่ากัน โวลต์ กม./ชม.ดังนั้นแผนการแก้ปัญหาจึงเกิดขึ้น ซึ่งประกอบด้วยการสร้างระบบสมการสำหรับสิ่งที่ไม่ทราบที่แนะนำ

การดำเนินการแก้ไขปัญหาปล่อยให้มีระยะห่าง ส (กม.)ความเร็วการไหลของแม่น้ำ กม./ชม.ความเร็วของเรือเอง โวลต์ กม./ชมและระยะเวลาที่ต้องการในการเคลื่อนที่ของแพก็เท่ากับ x ชม.

แล้วความเร็วของเรือเลียบแม่น้ำคือ (V+a) กม./ชม.สำหรับ 6ชมเรือแล่นไปด้วยความเร็วเท่านี้ก็แล่นไปได้ไกลถึง ส (กม.)ดังนั้น 6( วี + ก) =ส(1). เรือลำนี้จะทวนกระแสด้วยความเร็ว ( วี-เอ)กม./ชมและเธอก็ผ่านเส้นทางนี้ไป 8 ชมดังนั้น 8( วี-เอ) =ส(2). แพลอยไปตามความเร็วของแม่น้ำ กม./ชม.ว่ายน้ำเป็นระยะทาง ส (กม.)สำหรับ เอ็กซ์ สเพราะฉะนั้น, โอ้ =ส (3).

สมการที่ได้จะก่อให้เกิดระบบสมการที่ไม่ทราบค่า ก, x, ส, วีเนื่องจากคุณจำเป็นต้องค้นหาเท่านั้น เอ็กซ์จากนั้นเราจะพยายามแยกสิ่งที่ไม่รู้ที่เหลืออยู่ออก

เมื่อต้องการทำเช่นนี้จากสมการ (1) และ (2) เราพบว่า: วี + ก = , วี - ก = .ลบสมการที่สองจากสมการแรก เราจะได้: 2 ก= - . จากที่นี่ ก = . ลองแทนที่นิพจน์ที่พบเป็นสมการ (3): x = .ที่ไหน x= 48 .

การตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาเราพบว่าแพจะครอบคลุมระยะทางระหว่างท่าใน 48 ชั่วโมง ดังนั้นความเร็วของแพจะเท่ากับความเร็วของกระแสน้ำจึงเท่ากับ . ความเร็วของเรือเลียบแม่น้ำเท่ากับ กม./ชม.และต่อต้านกระแส กม./ชมเพื่อตรวจสอบความถูกต้องของวิธีแก้ปัญหา ก็เพียงพอที่จะตรวจสอบว่าความเร็วของเรือที่พบในสองวิธีเท่ากันหรือไม่: + และ
- . เมื่อทำการคำนวณแล้วเราได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง: = . ซึ่งหมายความว่าปัญหาได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง

คำตอบ:แพจะเดินทางระยะทางระหว่างท่าเรือภายใน 48 ชั่วโมง

การวิเคราะห์โซลูชัน- เราได้ลดวิธีแก้ปัญหานี้ลงเหลือเพียงการแก้ระบบสมการสามสมการในสี่สิ่งที่ไม่ทราบ อย่างไรก็ตาม จะต้องพบสิ่งหนึ่งที่ไม่รู้จัก ดังนั้นจึงเกิดความคิดว่าวิธีแก้ปัญหานี้ไม่ประสบความสำเร็จมากที่สุดถึงแม้ว่ามันจะง่ายก็ตาม เราสามารถเสนอวิธีแก้ปัญหาอื่นได้

เมื่อรู้ว่าเรือเดินทางเป็นระยะทาง AB ไปตามแม่น้ำใน 6 ชั่วโมง และทวนแม่น้ำใน 8 ชั่วโมง เราพบว่าภายใน 1 ชั่วโมง เรือจะแล่นไปตามแม่น้ำ ครอบคลุมส่วนหนึ่งของระยะทางนี้ และทวนกระแสน้ำ แล้วความแตกต่างระหว่างพวกมัน - = คือ 2 เท่าของระยะทาง AB ที่แพครอบคลุมใน 1 ชั่วโมง วิธี. แพจะครอบคลุมระยะทาง AB บางส่วนใน 1 ชั่วโมง ดังนั้นแพจะเดินทางครอบคลุมระยะทาง AB ทั้งหมดภายใน 48 ชั่วโมง

ด้วยวิธีนี้ เราไม่จำเป็นต้องสร้างระบบสมการ อย่างไรก็ตาม วิธีแก้ปัญหานี้ซับซ้อนกว่าวิธีที่ให้ไว้ข้างต้น (ไม่ใช่ทุกคนที่จะเข้าใจความแตกต่างระหว่างความเร็วของเรือล่องท้ายน้ำและกับกระแสน้ำที่ไหล)

แบบฝึกหัดสำหรับงานอิสระ

1. นักท่องเที่ยวล่องแพไปตามแม่น้ำระยะทาง 12 กม. กลับขึ้นเรือด้วยความเร็วน้ำนิ่ง 5 กม./ชม. ใช้เวลาตลอดการเดินทาง 10 ชั่วโมง จงหาความเร็วของแม่น้ำ

2. เวิร์คช็อปแห่งหนึ่งจะต้องเย็บชุด 810 ชุด และอีกชุดจะต้องเย็บ 900 ชุดในช่วงเวลาเดียวกัน คำสั่งซื้อที่เสร็จสมบูรณ์ครั้งแรก 3 วัน และ 6 วันก่อนถึงกำหนด แต่ละเวิร์คช็อปเย็บกี่ชุดต่อวัน ถ้าชุดที่สองเย็บมากกว่าชุดแรก 4 ชุดต่อวัน

3. รถไฟ 2 ขบวนวิ่งเข้าหากันจาก 2 สถานี ระยะทางระหว่าง 400 กม. หลังจากผ่านไป 4 ชั่วโมง ระยะห่างระหว่างพวกเขาลดลงเหลือ 40 กม. หากรถไฟขบวนใดออกเร็วกว่าอีกขบวนหนึ่ง 1 ชั่วโมง พวกเขาจะพบกันในระหว่างการเดินทาง กำหนดความเร็วของรถไฟ

4. ในคลังสินค้าแห่งหนึ่งมีถ่านหิน 500 ตันและอีกแห่ง - 600 ตัน คลังสินค้าแห่งแรกจัดหาถ่านหิน 9 ตันต่อวันและแห่งที่สอง - 11 ตัน ภายในกี่วันถ่านหินจะเข้าโกดังเท่ากัน?

5. ผู้ฝากรับเงิน 25% จากธนาคารออมสินจากนั้น 64,000 รูเบิล หลังจากนั้น 35% ของเงินทั้งหมดยังคงอยู่ในบัญชี มีส่วนร่วมอะไรบ้าง?

6. ผลคูณของตัวเลขสองหลักและผลรวมของตัวเลขคือ 144 ค้นหาตัวเลขนี้หากหลักที่สองมากกว่าหลักแรก 2

7. แก้ไขปัญหาต่อไปนี้โดยใช้วิธีทางคณิตศาสตร์:

ก) เรือยนต์ใช้เวลาเดินทางในแม่น้ำ 6 ชั่วโมง และเดินทางกลับ 10 ชั่วโมง ความเร็วของเรือในน้ำนิ่งคือ 16 กม./ชม. ความเร็วของแม่น้ำไหลเป็นเท่าใด?

c) ความยาวของสนามสี่เหลี่ยมคือ 1,536 ม. และความกว้างคือ 625 ม. คนขับรถแทรกเตอร์คนหนึ่งสามารถไถนาสนามนี้ได้ภายใน 16 วัน และอีกคนสามารถไถนาได้ใน 12 วัน คนขับรถแทรกเตอร์ทั้งสองคนจะไถในพื้นที่เท่าใดขณะทำงานเป็นเวลา 5 วัน?

• แนะนำวิธีการแก้ไขปัญหาต่างๆ
• ให้แนวคิดเกี่ยวกับวิธีการแก้พีชคณิต
• สอนให้เด็กเลือกวิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างกันและสร้างปัญหาผกผัน

• พัฒนาความคิดเชิงตรรกะ
• พัฒนาการปฏิบัติการทางจิต เช่น การวิเคราะห์ การสังเคราะห์

ความคืบหน้าของบทเรียน

1. อุ่นเครื่อง

(นักเรียนยืนที่ที่นั่ง ครูถามคำถาม หากนักเรียนตอบถูกก็นั่งลง)

• สมการคืออะไร?
• การค้นหารากของสมการหมายความว่าอย่างไร
• จะหาตัวคูณที่ไม่รู้จักได้อย่างไร? ตัวแบ่ง? มินูเอนด์?
• ต่อด้วยคำจำกัดความ: ความเร็วคือ...
  เพื่อค้นหาระยะทางที่คุณต้องการ...
  หากต้องการหาเวลา คุณต้อง...

2. ตรวจการบ้าน

(ที่บ้านเด็กๆ มองหาคำจำกัดความในหนังสืออ้างอิง: พีชคณิต , เลขคณิต เรขาคณิต)

พีชคณิตศึกษาอะไร? เลขคณิต? เรขาคณิต?

• พีชคณิต – วิทยาศาสตร์ที่ศึกษาคำถามเกี่ยวกับสมการและอสมการ
• เรขาคณิต- หนึ่งในส่วนที่เก่าแก่ที่สุดของคณิตศาสตร์ ศึกษาความสัมพันธ์เชิงพื้นที่และรูปร่างของร่างกาย
• เลขคณิต– ศาสตร์แห่งตัวเลขและการปฏิบัติการกับพวกมัน

(เราจะต้องใช้คำศัพท์เหล่านี้ในบทเรียนภายหลัง)

3. รับฟังปัญหา

แต่ละเซลล์ทั้งสี่ประกอบด้วยสัตว์ 1 ตัว

• แต่ละเซลล์มีคำจารึก แต่ไม่มีเซลล์ใดตรงกับความเป็นจริง ระบุว่าใครอยู่ในแต่ละเซลล์ วางสัตว์ไว้ในเซลล์ของตน (เด็กแต่ละคนมีชุดผืนผ้าใบและการ์ดที่มีรูปสัตว์) แสดงให้ฉันเห็นว่าคุณได้รับอะไร คุณให้เหตุผลอย่างไร?
• (ตรวจสอบบนกระดาน) คุณแก้ไขปัญหานี้ได้อย่างไร?.
• (การใช้เหตุผล การคิดอย่างมีเหตุผล) งานนี้คืออะไร?

(ตรรกะ).

แต่ส่วนใหญ่ในบทเรียนคณิตศาสตร์เราจะแก้ปัญหาที่จำเป็นในการแปลงทางคณิตศาสตร์

1. 4. อ่านปัญหา
2. อูฐสองตัวถูกตัดขนหนัก 12 กิโลกรัม อันที่สองตัดมากกว่าอันแรก 3 เท่า
3. อูฐแต่ละตัวตัดขนได้กี่กิโลกรัม?

เสือดาวหนัก 340 กิโลกรัม ยีราฟหนักกว่าเสือดาว 3 เท่า และสิงโตเบากว่ายีราฟ 790 กิโลกรัม เสือดาวหนักกว่าสิงโตกี่กิโลกรัม?

• ยีราฟสองตัววิ่งเข้าหากัน คนหนึ่งวิ่งด้วยความเร็ว 12 เมตร/วินาที อีกคนหนึ่งวิ่งด้วยความเร็ว 15 เมตร/วินาที
• พวกเขาจะพบกันหลังจากผ่านไปกี่วินาทีหากระยะห่างระหว่างพวกเขาคือ 135 เมตร?
• เปรียบเทียบงาน มีอะไรเหมือนกัน? ความแตกต่างของพวกเขาคืออะไร?
• อ่านปัญหาที่จะแก้โดยการเขียนสมการ

อ่านปัญหาที่ต้องแก้ไขด้วยการกระทำหรือไม่?

ปัญหาใดสามารถแก้ไขได้สองวิธี?

กำหนดหัวข้อบทเรียนของเรา

วิธีการแก้ปัญหาที่แตกต่างกัน

• 5. แก้ไขปัญหาด้วยการจดบันทึกสั้นๆ (ในรูปตาราง รูปวาด)
• คนสองคนกำลังทำงานอยู่ที่คณะกรรมการ การตรวจสอบ
• คุณแก้ไขปัญหาแรกได้อย่างไร? (สมการ).
• สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาสมการชื่ออะไรคะ? (พีชคณิต).
• (พีชคณิต). ปัญหาที่สองและสามได้รับการแก้ไขอย่างไร?
• (โดยการกระทำ) เรื่องนี้เรียนคณิตสาขาไหนคะ?

(แขวนไว้บนกระดาน):

6. เขียนปัญหาผกผันกับข้อมูลและแก้ไขโดยใช้วิธีพีชคณิตและเลขคณิต

7. งานที่มีประสิทธิผลเพื่อทำซ้ำความรู้ใหม่

ถามคำถามกับชั้นเรียนเกี่ยวกับหัวข้อที่คุณศึกษา

• วิธีการแก้ปัญหาใดเรียกว่าพีชคณิต?
• เลขคณิตไหน?
• วิธีการแก้โจทย์ปัญหาโดยใช้สมการชื่ออะไร

8. การบ้าน

เขียนโจทย์เกี่ยวกับสัตว์ที่สามารถแก้โจทย์พีชคณิตได้

ครูโรงเรียนประถมศึกษาเพียงแค่ต้องรู้ว่ามีงานประเภทใดบ้าง วันนี้คุณจะได้เรียนรู้เกี่ยวกับปัญหาทางคณิตศาสตร์ข้อความอย่างง่าย ปัญหาทางคณิตศาสตร์แบบข้อความธรรมดาคือปัญหาที่สามารถแก้ไขได้ด้วยการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ครั้งเดียว- เมื่อเราอ่านปัญหา เราจะเชื่อมโยงปัญหานั้นกับประเภทใดประเภทหนึ่งโดยอัตโนมัติ และจากนั้นจะเข้าใจได้ง่ายในทันทีว่าควรใช้การดำเนินการใดในการแก้ไข

ฉันจะให้คุณไม่เพียง แต่จำแนกปัญหาคำศัพท์ง่ายๆ เท่านั้น แต่ยังให้ตัวอย่างและบอกคุณเกี่ยวกับการแก้ปัญหาคำศัพท์โดยใช้วิธีทางคณิตศาสตร์ด้วย ฉันเอาตัวอย่างทั้งหมดจากหนังสือเรียนคณิตศาสตร์สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 2 (ตอนที่ 1 ตอนที่ 2) ซึ่งใช้ในโรงเรียนในเบลารุส

ปัญหาทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายทั้งหมดแบ่งออกเป็นสองกลุ่มใหญ่:

— AD I (+/-) นั่นคือสิ่งที่ได้รับการแก้ไขโดยการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ลำดับที่หนึ่ง (การบวกหรือการลบ)

— AD II (*/:) นั่นคือสิ่งที่แก้ไขได้ด้วยการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ลำดับที่สอง (การคูณหรือการหาร)

ลองพิจารณากลุ่มแรกของปัญหาทางคณิตศาสตร์ข้อความอย่างง่าย (AD I):

1) ปัญหาที่เปิดเผยความหมายเฉพาะของการบวก (+)

เด็กหญิง 4 คน และเด็กชาย 5 คน เข้าร่วมการแข่งขันวิ่ง มีนักเรียนในชั้นเรียนเข้าร่วมการแข่งขันกี่คน?

หลังจากที่ Sasha แก้ไขได้ 9 ตัวอย่างแล้ว เขายังมีอีก 3 ตัวอย่างที่ต้องแก้ไข Sasha ต้องแก้ตัวอย่างกี่ตัวอย่าง?

ปัญหาต่อไปนี้แก้ไขได้ด้วยการบวก: a+b=?

2) ปัญหาที่เปิดเผยความหมายเฉพาะของการลบ (-)

แม่อบพาย 15 ชิ้น กินครบ 10 พายแล้วจะเหลือพายกี่พาย?

ในขวดมีน้ำผลไม้ 15 แก้ว เราดื่มไป 5 แก้วในมื้อเที่ยง น้ำผลไม้เหลืออยู่กี่แก้ว?

ปัญหาต่อไปนี้แก้ไขได้ด้วยการลบ: a-b=?

3) ปัญหาความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบกับผลการบวกหรือการลบ:

ก) เพื่อค้นหาเทอมที่ 1 ที่ไม่รู้จัก (?+a=b)

เด็กชายใส่ดินสอ 4 แท่งในกล่อง ในกล่องมีดินสออยู่ทั้งหมด 13 แท่ง?

ในการแก้ปัญหานี้ คุณต้องลบเทอมที่ 2 ที่รู้จักกันดีออกจากผลลัพธ์ของการกระทำ: b-a=?

b) เพื่อค้นหาเทอมที่ 2 ที่ไม่รู้จัก (a+?=b)

เทน้ำ 13 แก้วลงในกระทะและกาต้มน้ำ ถ้าเทน้ำ 5 แก้วลงในกระทะ จะต้องเทน้ำไปกี่แก้ว?

ปัญหาประเภทนี้แก้ไขได้ด้วยการลบ เทอมแรกที่ทราบจะถูกลบออกจากผลลัพธ์ของการกระทำ: b-a=?

c) เพื่อค้นหา minuend ที่ไม่รู้จัก (?-a=b)

Olga เก็บช่อดอกไม้ เธอใส่แจกัน 3 สี เหลืออีก 7 ดอก ช่อดอกไม้มีกี่ดอก?

ในทางคณิตศาสตร์ ปัญหาคำประเภทนี้จะได้รับการแก้ไขโดยการบวกผลลัพธ์ของการกระทำและเครื่องหมายย่อย: b+a=?

d) เพื่อค้นหาจุดย่อยที่ไม่รู้จัก (a-?=b)

เราซื้อไข่ 2 โหล หลังจากเอาไข่ไปอบหลายฟอง เหลือไข่อยู่กี่ฟอง?

ปัญหาเหล่านี้แก้ไขได้ด้วยการลบ: จาก minuend เราลบผลลัพธ์ของการกระทำ: a-b=?

4) งานที่จะลดลง / เพิ่มขึ้นหลายหน่วยในรูปแบบทางตรงและทางอ้อม

ตัวอย่างปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการลดหลายหน่วยในรูปแบบโดยตรง:

กล่องหนึ่งบรรจุกล้วยได้ 20 กิโลกรัม และกล่องที่สองบรรจุกล้วยน้อยกว่า 5 กิโลกรัม กล่องที่สองมีกล้วยกี่กิโลกรัม?

ชั้นหนึ่งเก็บแอปเปิ้ลได้ 19 กล่อง และชั้นสองเก็บได้น้อยกว่า 4 กล่อง ชั้นสองเก็บแอปเปิ้ลได้กี่กล่อง?

ปัญหาเหล่านี้แก้ไขได้ด้วยการลบ (a-b=?)

ฉันไม่พบตัวอย่างปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการลดรูปแบบทางอ้อมและการเพิ่มขึ้นในรูปแบบทางตรงหรือทางอ้อมในหนังสือเรียนวิชาคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 2 หากจำเป็น เขียนความคิดเห็นแล้วฉันจะเสริมบทความด้วยตัวอย่างของฉันเอง

5) ปัญหาการเปรียบเทียบความแตกต่าง

น้ำหนักของห่านคือ 7 กก. และไก่คือ 3 กก. ไก่มีน้ำหนักน้อยกว่าห่านกี่กิโลกรัม?

กล่องแรกมีดินสอ 14 แท่ง และกล่องที่สองมี 7 แท่ง กล่องแรกมีดินสอมากกว่ากล่องที่สองกี่แท่ง?

การแก้ปัญหาคำที่เกี่ยวข้องกับการเปรียบเทียบความแตกต่างทำได้โดยการลบจำนวนที่น้อยกว่าออกจากจำนวนที่มากขึ้น

เราได้จัดการกับปัญหาทางคณิตศาสตร์แบบข้อความธรรมดาของกลุ่ม 1 เสร็จแล้ว และกำลังเข้าสู่ปัญหาของกลุ่ม 2 ต่อไป หากมีสิ่งใดไม่ชัดเจนสำหรับคุณให้ถามในความคิดเห็น

กลุ่มที่สองของปัญหาทางคณิตศาสตร์ข้อความอย่างง่าย (AD II):

1) ปัญหาที่เปิดเผยความหมายเฉพาะของการคูณ

สุนัขสองตัวมีกี่ขา? สุนัขสามตัว?

มีรถสามคันจอดอยู่ใกล้บ้าน รถแต่ละคันมี 4 ล้อ รถสามคันมีกี่ล้อ?

ปัญหาเหล่านี้แก้ไขได้ด้วยการคูณ: a*b=?

2) งานที่เปิดเผยความหมายเฉพาะของการแบ่ง:

ก) ตามเนื้อหา

แจกเค้กให้เด็กๆ 10 ชิ้น คนละ 2 ชิ้น มีเด็กกี่คนที่ได้รับเค้ก?

ถุง 2 กก. มีแป้ง 14 กก. มีกี่แพ็คเกจ?

ในปัญหาเหล่านี้ เราจะพบว่ามีชิ้นส่วนจำนวนเท่าใดที่มีเนื้อหาเท่ากัน

b) เป็นส่วนเท่า ๆ กัน

แถบยาว 10 ซม. ถูกตัดออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน แต่ละส่วนยาวแค่ไหน?

นีน่าแบ่งเค้ก 10 ชิ้นออกเป็น 2 จานเท่าๆ กัน หนึ่งจานมีเค้กกี่ชิ้น?

และจากปัญหาเหล่านี้ เราจะพบว่าเนื้อหาของส่วนที่เท่ากันส่วนหนึ่งคืออะไร

อาจเป็นไปได้ว่าปัญหาทั้งหมดเหล่านี้ได้รับการแก้ไขด้วยการหาร: a:b=?

3) ปัญหาเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบกับผลลัพธ์ของการคูณและการหาร:

ก) เพื่อค้นหาปัจจัยแรกที่ไม่ทราบ: ?*a=b

ตัวอย่างของตัวเอง:

หลายกล่องมีดินสอ 6 แท่ง ในกล่องมีดินสอทั้งหมด 24 แท่ง กี่กล่องคะ?

แก้ไขโดยการหารผลคูณด้วยปัจจัยที่สองที่ทราบ: b:a=?

b) เพื่อค้นหาปัจจัยที่สองที่ไม่รู้จัก: a*?=b

ในร้านกาแฟคุณสามารถนั่งได้ 3 คนต่อโต๊ะเดียว ถ้ามา 15 คนจะเต็มโต๊ะกี่โต๊ะ?

แก้ไขโดยการหารผลคูณด้วยปัจจัยแรกที่ทราบ: b:a=?

c) เพื่อค้นหาเงินปันผลที่ไม่ทราบ: ?:a=b

ตัวอย่างของตัวเอง:

Kolya นำขนมมาชั้นเรียนและแบ่งให้นักเรียนทุกคนเท่าๆ กัน ในชั้นเรียนมีเด็ก 16 คน ทุกคนได้รับลูกอม 3 อัน Kolya นำขนมมากี่ชิ้น?

แก้ได้โดยการคูณผลหารด้วยตัวหาร: b*a=?

d) เพื่อค้นหาตัวหารที่ไม่รู้จัก: a:?=b

ตัวอย่างของตัวเอง:

วิทยานำลูกอม 44 ชิ้นมาที่ชั้นเรียนและแบ่งให้นักเรียนทุกคนเท่าๆ กัน ทุกคนได้รับลูกอม 2 อัน มีนักเรียนกี่คนในชั้นเรียน?

แก้ไขโดยการหารเงินปันผลด้วยผลหาร: a:b=?

4) งานที่จะเพิ่ม / ลดหลายครั้งในรูปแบบทางตรงหรือทางอ้อม

ไม่พบตัวอย่างปัญหาทางคณิตศาสตร์ของข้อความดังกล่าวในหนังสือเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 2

5) ปัญหาการเปรียบเทียบหลายรายการ

แก้ได้ด้วยการหารขนาดใหญ่ด้วยขนาดเล็ก

เพื่อน ๆ การจำแนกปัญหาคำศัพท์ง่าย ๆ ข้างต้นทั้งหมดเป็นเพียงส่วนหนึ่งของการจำแนกปัญหาคำศัพท์ทั้งหมดที่มีขนาดใหญ่ขึ้น นอกจากนี้ยังมีปัญหาในการหาเปอร์เซ็นต์ที่ฉันไม่ได้บอกคุณอีกด้วย คุณสามารถเรียนรู้ทั้งหมดนี้ได้จากวิดีโอนี้:

และความกตัญญูของฉันจะคงอยู่กับคุณ!

§ 1 วิธีแก้ไขปัญหาคำศัพท์

มีหลายวิธีในการแก้ปัญหาคำศัพท์:

· วิธีเลขคณิตเป็นวิธีการแก้ปัญหาคำโดยใช้ตัวเลขและเครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของการบวก ลบ การคูณและการหาร กล่าวคือ การใช้การดำเนินการหลายอย่างกับตัวเลขที่เชื่อมโยงถึงกัน

· วิธีพีชคณิตเป็นวิธีการแก้ปัญหาคำศัพท์โดยการแนะนำตัวแปรและร่างสมการหรืออสมการที่สอดคล้องกันหรือระบบสมการหรืออสมการ

· วิธีเรขาคณิตเป็นวิธีการแก้ปัญหาคำศัพท์โดยใช้ความรู้ทางเรขาคณิต

· วิธีแผนผังเป็นวิธีการแก้ปัญหาคำศัพท์โดยใช้ไดอะแกรม

· วิธีกราฟิกเป็นวิธีการแก้ปัญหาข้อความโดยใช้กราฟในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม

แต่ละวิธีเกี่ยวข้องกับการแปลเงื่อนไขของปัญหาเป็นภาษาคณิตศาสตร์ การกระทำทางคณิตศาสตร์นี้เรียกว่าการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ผลลัพธ์ของการกระทำนี้เรียกว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เมื่อใช้วิธีการแก้ปัญหาที่แตกต่างกัน จะได้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน ในวิธีทางคณิตศาสตร์ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือนิพจน์เชิงตัวเลข นั่นคือตัวอย่างเชิงตัวเลขที่มีการกระทำหลายอย่าง และผลลัพธ์สุดท้ายของการคำนวณจะเป็นวิธีแก้ปัญหา ในวิธีพีชคณิต แบบจำลองทางคณิตศาสตร์มักเป็นสมการ และการแก้สมการจะเป็นวิธีแก้ปัญหา ในวิธีทางเรขาคณิต แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สามารถเป็นรูปทรงเรขาคณิตได้ และตัวอย่างการแก้ปัญหาอาจเป็นองค์ประกอบหนึ่งที่พบของรูปนี้ได้ ในวิธีแผนผัง แบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือไดอะแกรมที่ช่วยแก้ปัญหาได้ ในวิธีกราฟิก แบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือกราฟที่สร้างขึ้นตามเงื่อนไขของปัญหา ด้วยวิธีนี้ วิธีแก้ปัญหาอาจเป็นพิกัดของจุดใดจุดหนึ่งบนกราฟ

§ 2 ตัวอย่างการแก้ปัญหาคำโดยใช้วิธีทางคณิตศาสตร์

ในบทนี้เราจะมาดูวิธีการทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาอย่างละเอียดยิ่งขึ้น

การแก้ปัญหาโดยใช้วิธีทางคณิตศาสตร์หมายถึงการค้นหาคำตอบของคำถามหลักของปัญหาโดยดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับข้อมูลตัวเลขจากเงื่อนไขของปัญหา ปัญหาเดียวกันนี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีทางคณิตศาสตร์ที่ต่างกัน พวกเขาแตกต่างกันในจำนวนการกระทำและลำดับที่การกระทำเหล่านี้ดำเนินการในกระบวนการแก้ไขปัญหา

ตัวอย่างเช่น. ลองพิจารณาปัญหาต่อไปนี้ Sasha, Kolya และ Vitya เพื่อนสามคนกำลังเก็บเห็ดอยู่ในป่า Kolya เก็บเห็ดน้อยกว่า Sasha 2 เท่า Vitya เก็บเห็ดได้มากกว่า Kolya 6 เท่า เพื่อนสามคนรวบรวมเห็ดได้กี่ตัวถ้า Sasha เก็บเห็ดได้ 22 ดอก

ช่วยในการกำหนดแนวทางการใช้เหตุผลเชิงตรรกะที่ถูกต้องโดยการบันทึกเงื่อนไขของปัญหาโดยย่อในรูปแบบของตาราง

มาแก้ไขปัญหานี้ด้วยการกระทำหรือวิธีการที่เรียกว่าการแก้ปัญหาด้วยคำถาม ก่อนอื่น เรามาตอบคำถามแรกกันก่อน: “Kolya เก็บเห็ดได้กี่เห็ด?”

ตามเงื่อนไขของปัญหา “ Kolya เก็บเห็ดน้อยกว่า Sasha 2 เท่า” ซึ่งหมายความว่าในการตอบคำถามคุณต้องหาร 22 ด้วย 2 ผลปรากฏว่า Kolya เก็บเห็ดได้ 11 ตัว (22:2=11 (เห็ด) - เก็บ Kolya)

ขั้นต่อไปคือการตอบคำถามข้อที่สอง “วิทยาเก็บเห็ดได้กี่ดอก” ตามเงื่อนไขของปัญหา “ Vitya เก็บเห็ดได้มากกว่า Kolya 6 ตัว” ซึ่งหมายความว่าในการตอบคำถามคุณต้องเพิ่ม 6 ถึง 11 ผลปรากฎว่า Vitya เก็บเห็ดได้ 17 ตัว

22+22:2+(22:2+6)=50 เห็ดถูกรวบรวมโดยเพื่อนสามคนด้วยกัน

ความสามารถในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยใช้นิพจน์ตัวเลขบ่งบอกถึงระดับการเตรียมทางคณิตศาสตร์ที่สูงกว่าเมื่อเปรียบเทียบกับความสามารถในการแก้ปัญหาคำศัพท์โดยใช้การกระทำ

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้:

1. จี.เอ็น. Timofeev คณิตศาสตร์สำหรับผู้ที่เข้ามหาวิทยาลัย คู่มือการศึกษา ปัญหาข้อความ – ยอชการ์-โอลา: มี.ค. สถานะ มหาวิทยาลัย 2549
2. V. Bulynin การประยุกต์วิธีกราฟิกในการแก้ปัญหาข้อความ – หนังสือพิมพ์การศึกษาและระเบียบวิธีรายสัปดาห์ “คณิตศาสตร์” ฉบับที่ 14, 2548
3. เอ็นไอ โปปอฟ, A.N. ปัญหาของมาราซานอฟในการเขียนสมการ คู่มือการศึกษา ยอชการ์-โอลา: มี.ค. สถานะ มหาวิทยาลัย 2546
4. เอ็น.เอ. โปรแกรมวิชาเลือก Zaripova "ปัญหาข้อความ" http://festival.1september.ru/articles/310281/
5. เอ็น.เอ. ระเบียบวิธีของ Zaripova สำหรับการแก้ปัญหาของกลุ่ม vts สื่อการสอนสำหรับวิชาเลือก "การแก้ปัญหาคำศัพท์" http://festival.1september.ru/articles/415044/

รูปภาพที่ใช้: