ฟังก์ชันใดลดลงตามเส้นพิกัดทั้งหมด ฟังก์ชันเชิงเส้น

งานคุณสมบัติและกราฟ ฟังก์ชันกำลังสองทำให้เกิดความยากลำบากร้ายแรงดังที่แสดงให้เห็นในทางปฏิบัติ นี่ค่อนข้างแปลกเพราะพวกเขาศึกษาฟังก์ชันกำลังสองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 จากนั้นตลอดไตรมาสแรกของชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 พวกเขา "ทรมาน" คุณสมบัติของพาราโบลาและสร้างกราฟสำหรับพารามิเตอร์ต่างๆ

นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าเมื่อบังคับให้นักเรียนสร้างพาราโบลาพวกเขาไม่ได้อุทิศเวลาในการ "อ่าน" กราฟนั่นคือพวกเขาไม่ได้ฝึกทำความเข้าใจข้อมูลที่ได้รับจากรูปภาพ เห็นได้ชัดว่าสันนิษฐานว่าหลังจากสร้างกราฟหนึ่งหรือสองกราฟแล้ว นักเรียนที่ฉลาดจะค้นพบและกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างค่าสัมประสิทธิ์ในสูตรและ รูปร่างกราฟิก ในทางปฏิบัติสิ่งนี้ไม่ได้ผล สำหรับภาพรวมดังกล่าวจำเป็นต้องมีประสบการณ์ที่จริงจังในการวิจัยขนาดเล็กทางคณิตศาสตร์ซึ่งแน่นอนว่านักเรียนเกรดเก้าส่วนใหญ่ไม่มี ในขณะเดียวกันผู้ตรวจการของรัฐเสนอให้กำหนดสัญญาณของค่าสัมประสิทธิ์โดยใช้ตาราง

เราจะไม่เรียกร้องสิ่งที่เป็นไปไม่ได้จากเด็กนักเรียนและจะเสนออัลกอริธึมหนึ่งในการแก้ปัญหาดังกล่าว

ดังนั้นฟังก์ชันของแบบฟอร์ม y = ขวาน 2 + bx + cเรียกว่าสมการกำลังสอง กราฟของมันคือพาราโบลา ตามชื่อหมายถึงคำหลักคือ ขวาน 2- นั่นก็คือ กไม่ควรเท่ากับศูนย์ ค่าสัมประสิทธิ์ที่เหลือ ( ขและ กับ) สามารถเท่ากับศูนย์ได้

เรามาดูกันว่าสัญญาณของค่าสัมประสิทธิ์ส่งผลต่อรูปลักษณ์ของพาราโบลาอย่างไร

การพึ่งพาค่าสัมประสิทธิ์ที่ง่ายที่สุด ก- เด็กนักเรียนส่วนใหญ่ตอบอย่างมั่นใจ:“ ถ้า ก> 0 แล้วกิ่งของพาราโบลาจะชี้ขึ้น และถ้า ก < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой ก > 0.

y = 0.5x 2 - 3x + 1

ใน ในกรณีนี้ ก = 0,5

และตอนนี้สำหรับ ก < 0:

y = - 0.5x2 - 3x + 1

ในกรณีนี้ ก = - 0,5

ผลกระทบของสัมประสิทธิ์ กับนอกจากนี้ยังง่ายต่อการติดตาม สมมติว่าเราต้องการหาค่าของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง เอ็กซ์= 0 แทนศูนย์ลงในสูตร:

ย = ก 0 2 + ข 0 + ค = ค- ปรากฎว่า ย = ค- นั่นก็คือ กับคือพิกัดของจุดตัดของพาราโบลากับแกน y โดยทั่วไปแล้ว จุดนี้จะหาได้ง่ายบนกราฟ และพิจารณาว่าอยู่เหนือศูนย์หรือต่ำกว่า นั่นก็คือ กับ> 0 หรือ กับ < 0.

กับ > 0:

y = x 2 + 4x + 3

กับ < 0

y = x 2 + 4x - 3

ตามนั้น ถ้า กับ= 0 ดังนั้นพาราโบลาจะต้องผ่านจุดกำเนิด:

y = x 2 + 4x

ยากขึ้นด้วยพารามิเตอร์ ข- จุดที่เราจะพบนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับเท่านั้น ขแต่ยังมาจาก ก- นี่คือยอดพาราโบลา Abscissa ของมัน (พิกัดแกน เอ็กซ์) พบได้จากสูตร x ใน = - b/(2a)- ดังนั้น, b = - 2ax นิ้ว- นั่นคือเราดำเนินการดังนี้: เราค้นหาจุดยอดของพาราโบลาบนกราฟ กำหนดเครื่องหมายของ abscissa นั่นคือเรามองไปทางขวาของศูนย์ ( x เข้า> 0) หรือไปทางซ้าย ( x เข้า < 0) она лежит.

อย่างไรก็ตาม นั่นไม่ใช่ทั้งหมด เราต้องใส่ใจกับสัญลักษณ์ของสัมประสิทธิ์ด้วย ก- นั่นคือ ดูว่ากิ่งก้านของพาราโบลาหันไปทางไหน และหลังจากนั้นตามสูตรเท่านั้น b = - 2ax นิ้วกำหนดสัญญาณ ข.

ลองดูตัวอย่าง:

กิ่งก้านชี้ขึ้นซึ่งหมายความว่า ก> 0 พาราโบลาตัดแกน ที่ต่ำกว่าศูนย์นั่นคือ กับ < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x เข้า> 0. ดังนั้น b = - 2ax นิ้ว = -++ = -. ข < 0. Окончательно имеем: ก > 0, ข < 0, กับ < 0.

>>คณิตศาสตร์: ฟังก์ชันเชิงเส้นและกราฟ

ฟังก์ชันเชิงเส้นและกราฟ

อัลกอริทึมสำหรับการสร้างกราฟของสมการ ax + by + c = 0 ซึ่งเรากำหนดไว้ใน§ 28 นักคณิตศาสตร์ไม่ชอบความชัดเจนและแน่นอนทั้งหมด พวกเขามักจะอ้างสิทธิ์เกี่ยวกับสองขั้นตอนแรกของอัลกอริทึม ทำไมพวกเขาถึงบอกว่าแก้สมการสองครั้งสำหรับตัวแปร y: อันดับแรก ax1 + โดย + c = O จากนั้น ax1 + โดย + c = O ไม่ดีไปกว่าการแสดง y จากสมการทันที ax + by + c = 0 แล้วการคำนวณจะง่ายกว่า (และที่สำคัญที่สุดคือเร็วกว่า)? เรามาตรวจสอบกัน มาพิจารณากันก่อน สมการ 3x - 2y + 6 = 0 (ดูตัวอย่างที่ 2 จาก§ 28)

ด้วยการให้ค่าเฉพาะ x ทำให้ง่ายต่อการคำนวณค่า y ที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อ x = 0 เราจะได้ y = 3; ที่ x = -2 เรามี y = 0; สำหรับ x = 2 เรามี y = 6; สำหรับ x = 4 เราได้: y = 9

คุณจะเห็นว่าพบจุด (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) และ (4; 9) ได้ง่ายและรวดเร็วเพียงใดซึ่งถูกเน้นไว้ในตัวอย่างที่ 2 จาก§ 28

ในทำนองเดียวกัน สมการ bx - 2y = 0 (ดูตัวอย่างที่ 4 จาก § 28) สามารถแปลงเป็นรูปแบบ 2y = 16 -3x เพิ่มเติม y = 2.5x; การค้นหาคะแนน (0; 0) และ (2; 5) เป็นไปตามสมการนี้ไม่ใช่เรื่องยาก

สุดท้ายสมการ 3x + 2y - 16 = 0 จากตัวอย่างเดียวกันสามารถแปลงเป็นรูปแบบ 2y = 16 -3x แล้วจะหาคะแนน (0; 0) และ (2; 5) ที่ตรงใจได้ไม่ยาก

ให้เราพิจารณาการแปลงที่ระบุเป็น มุมมองทั่วไป.

ดังนั้นสมการเชิงเส้น (1) ที่มีตัวแปร x และ y สองตัวจึงสามารถแปลงเป็นรูปแบบได้เสมอ
y = kx + m,(2) โดยที่ k,m คือตัวเลข (สัมประสิทธิ์) และ

เราจะเรียกสมการเชิงเส้นชนิดนี้ว่าฟังก์ชันเชิงเส้น

การใช้ความเท่าเทียมกัน (2) ทำให้ง่ายต่อการระบุค่า x เฉพาะและคำนวณค่า y ที่สอดคล้องกัน ยกตัวอย่างว่า

y = 2x + 3 จากนั้น:
ถ้า x = 0 ดังนั้น y = 3;
ถ้า x = 1 ดังนั้น y = 5;
ถ้า x = -1 ดังนั้น y = 1;
ถ้า x = 3 ดังนั้น y = 9 เป็นต้น

โดยปกติแล้วผลลัพธ์เหล่านี้จะแสดงในรูปแบบ ตาราง:

ค่า y จากแถวที่สองของตารางเรียกว่าค่าของฟังก์ชันเชิงเส้น y = 2x + 3 ตามลำดับที่จุด x = 0, x = 1, x = -1, x = - 3.

ในสมการ (1) ตัวแปร hnu เท่ากัน แต่ในสมการ (2) ไม่เท่ากัน: เรากำหนดค่าเฉพาะให้กับหนึ่งในนั้น - ตัวแปร x ในขณะที่ค่าของตัวแปร y ขึ้นอยู่กับค่าที่เลือกของตัวแปร x ดังนั้นเราจึงมักจะบอกว่า x เป็นตัวแปรอิสระ (หรืออาร์กิวเมนต์) y คือตัวแปรตาม

โปรดทราบว่าฟังก์ชันเชิงเส้นคือสมการเชิงเส้นชนิดพิเศษที่มีตัวแปรสองตัว กราฟสมการ y - kx + m ก็เหมือนกับสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว นั่นคือเส้นตรง หรือเรียกอีกอย่างว่ากราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น y = kx + m ดังนั้นทฤษฎีบทต่อไปนี้จึงใช้ได้

ตัวอย่างที่ 1สร้างกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น y = 2x + 3

สารละลาย. มาทำตารางกันเถอะ:

ในสถานการณ์ที่สอง ตัวแปรอิสระ x ซึ่งเช่นเดียวกับในสถานการณ์แรกหมายถึงจำนวนวันสามารถรับค่าได้เพียง 1, 2, 3, ... , 16 เท่านั้น ถ้า x = 16 จากนั้นใช้สูตร y = 500 - 30x เราพบ : y = 500 - 30 16 = 20 ซึ่งหมายความว่าในวันที่ 17 จะไม่สามารถเอาถ่านหิน 30 ตันออกจากโกดังได้เนื่องจากภายในวันนี้มีเพียง 20 ตันจะยังคงอยู่ในคลังสินค้าและจะต้องหยุดกระบวนการกำจัดถ่านหิน ดังนั้น แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับการปรับปรุงของสถานการณ์ที่สองจึงมีลักษณะดังนี้:

y = 500 - ZOD: โดยที่ x = 1, 2, 3, .... 16.

ในสถานการณ์ที่สาม เป็นอิสระ ตัวแปรตามทฤษฎีแล้ว x สามารถรับค่าที่ไม่เป็นลบได้ (เช่น ค่า x = 0, ค่า x = 2, ค่า x = 3.5 เป็นต้น) แต่ในทางปฏิบัติแล้ว นักท่องเที่ยวไม่สามารถเดินด้วยความเร็วคงที่โดยไม่นอนหลับและพักผ่อนไม่ว่าจำนวนเท่าใด ของเวลา เราจึงต้องตั้งข้อจำกัดที่สมเหตุสมผลกับ x เช่น 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

จำได้ว่าแบบจำลองทางเรขาคณิตของอสมการสองเท่าแบบไม่เข้มงวด 0< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

ให้เราตกลงที่จะเขียนแทนวลี "x เป็นของเซต X" (อ่าน: "องค์ประกอบ x เป็นของเซต X" e คือสัญลักษณ์ของการเป็นสมาชิก) อย่างที่คุณเห็น ความคุ้นเคยกับภาษาคณิตศาสตร์ของเรานั้นดำเนินไปอย่างต่อเนื่อง

หากไม่ควรพิจารณาฟังก์ชันเชิงเส้น y = kx + m ไม่ใช่สำหรับค่าทั้งหมดของ x แต่สำหรับค่า x จากช่วงตัวเลขที่แน่นอนเท่านั้น X จากนั้นพวกเขาจะเขียน:

ตัวอย่างที่ 2 สร้างกราฟฟังก์ชันเชิงเส้น:

วิธีแก้ปัญหา a) มาสร้างตารางสำหรับฟังก์ชันเชิงเส้น y = 2x + 1 กัน

มาสร้างจุด (-3; 7) และ (2; -3) บนระนาบพิกัด xOy แล้วลากเส้นตรงผ่านจุดเหล่านั้น นี่คือกราฟของสมการ y = -2x: + 1 จากนั้นเลือกส่วนที่เชื่อมต่อจุดที่สร้างขึ้น (รูปที่ 38) ส่วนนี้คือกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น y = -2x+1 โดยที่ xe [-3, 2]

พวกเขามักจะพูดแบบนี้: เราได้พลอตฟังก์ชันเชิงเส้น y = - 2x + 1 บนเซ็กเมนต์ [- 3, 2]

b) ตัวอย่างนี้แตกต่างจากตัวอย่างก่อนหน้าอย่างไร ฟังก์ชันเชิงเส้นจะเหมือนกัน (y = -2x + 1) ซึ่งหมายความว่าเส้นตรงเส้นเดียวกันทำหน้าที่เป็นกราฟ แต่ - ระวัง! - คราวนี้ x e (-3, 2) เช่น ไม่พิจารณาค่า x = -3 และ x = 2 ซึ่งไม่อยู่ในช่วง (- 3, 2) เราทำเครื่องหมายจุดสิ้นสุดของช่วงเวลาบนเส้นพิกัดได้อย่างไร วงกลมไฟ (รูปที่ 39) เราพูดถึงเรื่องนี้ใน§ 26 ในทำนองเดียวกันจุด (- 3; 7) และ B; - 3) จะต้องทำเครื่องหมายบนภาพวาดด้วยวงกลมสีอ่อน สิ่งนี้จะเตือนเราว่าเฉพาะจุดเหล่านั้นของเส้นตรง y = - 2x + 1 เท่านั้นที่อยู่ระหว่างจุดที่ทำเครื่องหมายด้วยวงกลม (รูปที่ 40) อย่างไรก็ตาม บางครั้งในกรณีเช่นนี้ พวกเขาจะใช้ลูกศรแทนวงกลมแสง (รูปที่ 41) นี่ไม่ใช่พื้นฐาน สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจสิ่งที่กำลังพูด

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันเชิงเส้นบนเซ็กเมนต์
สารละลาย. มาสร้างตารางสำหรับฟังก์ชันเชิงเส้นกันดีกว่า

มาสร้างจุด (0; 4) และ (6; 7) บนระนาบพิกัด xOy แล้ววาดเส้นตรงผ่านจุดเหล่านั้น - กราฟของฟังก์ชัน x เชิงเส้น (รูปที่ 42)

เราต้องพิจารณาว่าฟังก์ชันเชิงเส้นนี้ไม่ใช่ทั้งหมด แต่พิจารณาเป็นเซ็กเมนต์ เช่น สำหรับ x e

ส่วนที่เกี่ยวข้องของกราฟจะถูกเน้นไว้ในภาพวาด เราสังเกตเห็นว่าคะแนนที่ใหญ่ที่สุดของส่วนที่เลือกมีค่าเท่ากับ 7 - นี่คือ มูลค่าสูงสุดฟังก์ชันเชิงเส้นบนเซ็กเมนต์ โดยปกติจะใช้สัญกรณ์ต่อไปนี้: y สูงสุด =7

เราสังเกตว่าลำดับที่เล็กที่สุดของจุดที่เป็นส่วนหนึ่งของเส้นที่เน้นในรูปที่ 42 เท่ากับ 4 - นี่คือ ค่าที่น้อยที่สุดฟังก์ชันเชิงเส้นบนเซ็กเมนต์
โดยปกติจะใช้สัญกรณ์ต่อไปนี้: ชื่อ y = 4.

ตัวอย่างที่ 4ค้นหา y naib และ y naim สำหรับฟังก์ชันเชิงเส้น y = -1.5x + 3.5

ก) ในส่วน; b) ในช่วงเวลา (1.5);
c) ในช่วงเวลาครึ่ง

สารละลาย. มาสร้างตารางสำหรับฟังก์ชันเชิงเส้น y = -l.5x + 3.5:

เรามาสร้างจุด (1; 2) และ (5; - 4) บนระนาบพิกัด xOy แล้วลากเส้นตรงผ่านจุดเหล่านั้น (รูปที่ 43-47) ให้เราเลือกส่วนที่สอดคล้องกับค่า x จากส่วน (รูปที่ 43) จากช่วง A, 5) (รูปที่ 44) จากช่วงครึ่ง (รูปที่ 47) บนเส้นตรงที่สร้างขึ้น

ก) จากรูปที่ 43 ทำให้ง่ายต่อการสรุปว่า y สูงสุด = 2 (ฟังก์ชันเชิงเส้นถึงค่านี้ที่ x = 1) และ y นาที = - 4 (ฟังก์ชันเชิงเส้นถึงค่านี้ที่ x = 5)

b) จากรูปที่ 44 เราสรุปได้ว่าฟังก์ชันเชิงเส้นนี้ไม่มีค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดในช่วงเวลาที่กำหนด ทำไม ความจริงก็คือไม่เหมือนกับกรณีก่อนหน้านี้ ปลายทั้งสองด้านของเซ็กเมนต์ซึ่งถึงค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดจะไม่รวมอยู่ในการพิจารณา

c) จากรูปที่ 45 เราสรุปได้ว่า y สูงสุด = 2 (เช่นในกรณีแรก) และฟังก์ชันเชิงเส้นไม่มีค่าต่ำสุด (เช่นในกรณีที่สอง)

d) จากรูปที่ 46 เราสรุปได้ว่า: y สูงสุด = 3.5 (ฟังก์ชันเชิงเส้นถึงค่านี้ที่ x = 0) และ y สูงสุด ไม่มีอยู่จริง

e) จากรูปที่ 47 เราจะสรุปได้ว่า: y max. = -1 (ฟังก์ชันเชิงเส้นถึงค่านี้ที่ x = 3) และไม่มีค่า y max.

ตัวอย่างที่ 5 สร้างกราฟฟังก์ชันเชิงเส้น

y = 2x - 6 ใช้กราฟเพื่อตอบคำถามต่อไปนี้:

ก) ค่า x จะ y = 0 เป็นเท่าใด
b) ค่า x จะ y > 0 สำหรับค่าใด
c) ค่า x จะเป็น y เท่าใด< 0?

วิธีแก้ปัญหา มาสร้างตารางสำหรับฟังก์ชันเชิงเส้น y = 2x-6 กัน:

ผ่านจุด (0; - 6) และ (3; 0) เราวาดเส้นตรง - กราฟของฟังก์ชัน y = 2x - 6 (รูปที่ 48)

a) y = 0 ที่ x = 3 กราฟตัดแกน x ที่จุด x = 3 นี่คือจุดที่มีพิกัด y = 0
b) y > 0 สำหรับ x > 3 ในความเป็นจริงถ้า x > 3 เส้นตรงจะอยู่เหนือแกน x ซึ่งหมายความว่าพิกัดของจุดที่สอดคล้องกันของเส้นตรงนั้นเป็นค่าบวก

แมว< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

โปรดทราบว่าในตัวอย่างนี้ เราใช้กราฟเพื่อแก้ปัญหา:

ก) สมการ 2x - 6 = 0 (เราได้ x = 3)
b) อสมการ 2x - 6 > 0 (เราได้ x > 3)
c) อสมการ 2x - 6< 0 (получили х < 3).

ความคิดเห็น ในรัสเซียวัตถุเดียวกันมักเรียกต่างกันเช่น "บ้าน" "อาคาร" "โครงสร้าง" "กระท่อม" "คฤหาสน์" "ค่ายทหาร" "กระท่อม" "กระท่อม" ในภาษาคณิตศาสตร์ สถานการณ์จะใกล้เคียงกันโดยประมาณ สมมติว่าความเท่าเทียมกันที่มีตัวแปรสองตัว y = kx + m โดยที่ k, m เป็นตัวเลขเฉพาะ เรียกว่าฟังก์ชันเชิงเส้นได้ เรียกว่าฟังก์ชันเชิงเส้นได้ สมการเชิงเส้นด้วยตัวแปร x และ y สองตัว (หรือตัวแปร x และ y ที่ไม่รู้จักสองตัว) สามารถเรียกได้ว่าเป็นสูตร สามารถเรียกได้ว่าเป็นความสัมพันธ์ที่เชื่อมโยง x และ y ในที่สุดก็สามารถเรียกได้ว่าเป็นการพึ่งพาระหว่าง x และ y ไม่สำคัญ สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าในทุกกรณี เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ y = kx + m

.

พิจารณากราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นที่แสดงในรูปที่ 49 ก ถ้าเราเลื่อนไปตามกราฟนี้จากซ้ายไปขวา พิกัดของจุดบนกราฟจะเพิ่มขึ้นตลอดเวลา ราวกับว่าเรากำลัง "ปีนขึ้นเนินเขา" ในกรณีเช่นนี้ นักคณิตศาสตร์ใช้คำว่า เพิ่ม และบอกว่า ถ้า k>0 ฟังก์ชันเชิงเส้น y = kx + m จะเพิ่มขึ้น

พิจารณากราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นที่แสดงในรูปที่ 49 ข ถ้าเราเลื่อนไปตามกราฟนี้จากซ้ายไปขวา พิกัดของจุดบนกราฟจะลดลงตลอดเวลา ราวกับว่าเรากำลัง "ลงเนิน" ในกรณีเช่นนี้ นักคณิตศาสตร์ใช้คำว่า "ลดลง" และพูดว่า: ถ้า k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

ฟังก์ชั่นเชิงเส้นในชีวิต

ตอนนี้ขอสรุปหัวข้อนี้ เราคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องฟังก์ชันเชิงเส้นแล้ว เรารู้คุณสมบัติของมันและเรียนรู้วิธีสร้างกราฟ นอกจากนี้ คุณยังพิจารณากรณีพิเศษของฟังก์ชันเชิงเส้นและเรียนรู้ว่าตำแหน่งสัมพัทธ์ของกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นขึ้นอยู่กับอะไร แต่ปรากฎว่าในตัวเรา ชีวิตประจำวันเรายังตัดกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์นี้อย่างต่อเนื่อง

ลองคิดดูว่าสถานการณ์ในชีวิตจริงใดบ้างที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดเช่นฟังก์ชันเชิงเส้น? และระหว่างปริมาณเท่าใดหรือ สถานการณ์ชีวิตบางทีอาจสร้างความสัมพันธ์เชิงเส้นตรง?

หลายท่านคงยังไม่เข้าใจว่าเหตุใดจึงต้องศึกษาฟังก์ชันเชิงเส้น เพราะมันไม่น่าจะมีประโยชน์ในภายหลัง แต่ที่นี่คุณคิดผิดอย่างลึกซึ้ง เพราะเราพบกับฟังก์ชั่นต่างๆ ตลอดเวลาและทุกที่ เพราะแม้แต่ค่าเช่ารายเดือนปกติก็ยังเป็นฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรหลายตัว และตัวแปรเหล่านี้ได้แก่ พื้นที่เป็นตารางฟุต จำนวนผู้อยู่อาศัย อัตราภาษี การใช้ไฟฟ้า ฯลฯ

แน่นอนว่า ตัวอย่างที่พบบ่อยที่สุดของฟังก์ชันการพึ่งพาเชิงเส้นที่เราพบคือในบทเรียนคณิตศาสตร์

คุณกับฉันแก้ไขปัญหาโดยพบว่ารถยนต์ รถไฟ หรือคนเดินเท้าเดินทางด้วยความเร็วระดับหนึ่ง สิ่งเหล่านี้เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของเวลาการเคลื่อนที่ แต่ตัวอย่างเหล่านี้ไม่เพียงแต่ใช้ได้กับคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังมีอยู่ในชีวิตประจำวันของเราด้วย

ปริมาณแคลอรี่ของผลิตภัณฑ์นมขึ้นอยู่กับปริมาณไขมัน และการพึ่งพาดังกล่าวมักเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น ตัวอย่างเช่นเมื่อเปอร์เซ็นต์ไขมันในครีมเพิ่มขึ้นปริมาณแคลอรี่ของผลิตภัณฑ์ก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน

ตอนนี้เรามาคำนวณและค้นหาค่าของ k และ b โดยการแก้ระบบสมการ:

ตอนนี้เรามาดูสูตรการพึ่งพากัน:

เป็นผลให้เราได้รับความสัมพันธ์เชิงเส้น

หากต้องการทราบความเร็วของการแพร่กระจายของเสียงขึ้นอยู่กับอุณหภูมิ คุณสามารถหาได้จากสูตร: v = 331 +0.6t โดยที่ v คือความเร็ว (เป็น m/s) t คืออุณหภูมิ หากเราวาดกราฟความสัมพันธ์นี้เราจะเห็นว่ากราฟนั้นเป็นเส้นตรง กล่าวคือ จะแสดงเป็นเส้นตรง

และเช่นนั้น การใช้งานจริงความรู้ในการประยุกต์ใช้การพึ่งพาฟังก์ชันเชิงเส้นสามารถแสดงได้เป็นเวลานาน เริ่มจากค่าโทรศัพท์ ความยาวและการเจริญเติบโตของเส้นผม และแม้กระทั่งสุภาษิตในวรรณคดี และรายการนี้ก็มีมาเรื่อยๆ

การวางแผนตามปฏิทินในวิชาคณิตศาสตร์ วิดีโอในวิชาคณิตศาสตร์ออนไลน์ ดาวน์โหลดคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน

A. V. Pogorelov เรขาคณิตสำหรับเกรด 7-11 หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษา

เรียนรู้การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันอนุพันธ์แสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งซึ่งอยู่บนกราฟของฟังก์ชันนี้ ในกรณีนี้ กราฟอาจเป็นเส้นตรงหรือเส้นโค้งก็ได้ นั่นคืออนุพันธ์แสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง จดจำ กฎทั่วไปโดยการนำอนุพันธ์มาใช้แล้วทำตามขั้นตอนต่อไปเท่านั้น

• อ่านบทความ
• อธิบายวิธีการหาอนุพันธ์ที่ง่ายที่สุด เช่น อนุพันธ์ของสมการเลขชี้กำลัง การคำนวณที่นำเสนอในขั้นตอนต่อไปนี้จะขึ้นอยู่กับวิธีการที่อธิบายไว้ในนั้น

เรียนรู้ที่จะแยกแยะปัญหาที่ต้องคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ความชันโดยใช้อนุพันธ์ของฟังก์ชันปัญหาไม่ได้ขอให้คุณค้นหาความชันหรืออนุพันธ์ของฟังก์ชันเสมอไป ตัวอย่างเช่น คุณอาจถูกขอให้ค้นหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันที่จุด A(x,y) คุณอาจถูกขอให้หาความชันของเส้นสัมผัสที่จุด A(x,y) ในทั้งสองกรณี จำเป็นต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ให้มาไม่จำเป็นต้องสร้างกราฟที่นี่ คุณเพียงต้องการสมการของฟังก์ชันเท่านั้น ในตัวอย่างของเรา หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน หาอนุพันธ์ตามวิธีการที่ระบุไว้ในบทความที่กล่าวถึงข้างต้น:

• อนุพันธ์:

แทนที่พิกัดของจุดที่กำหนดให้กับอนุพันธ์ที่พบเพื่อคำนวณความชันอนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับความชันที่จุดใดจุดหนึ่ง กล่าวอีกนัยหนึ่ง f"(x) คือความชันของฟังก์ชันที่จุดใดๆ (x,f(x)) ในตัวอย่างของเรา:

• ค้นหาความชันของฟังก์ชัน f (x) = 2 x 2 + 6 x (\รูปแบบการแสดงผล f(x)=2x^(2)+6x)ที่จุด A(4,2)
• อนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
  • f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
• แทนค่าของพิกัด “x” ของจุดนี้:
  • f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
• ค้นหาความชัน:
• ฟังก์ชั่นความลาดชัน f (x) = 2 x 2 + 6 x (\รูปแบบการแสดงผล f(x)=2x^(2)+6x)ที่จุด A(4,2) เท่ากับ 22

ถ้าเป็นไปได้ ให้ตรวจสอบคำตอบของคุณบนกราฟโปรดจำไว้ว่าไม่สามารถคำนวณความชันได้ทุกจุด แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ตรวจสอบฟังก์ชันที่ซับซ้อนและกราฟที่ซับซ้อนซึ่งไม่สามารถคำนวณความชันได้ทุกจุด และในบางกรณี จุดนั้นไม่ได้อยู่บนกราฟเลย หากเป็นไปได้ ให้ใช้เครื่องคิดเลขกราฟเพื่อตรวจสอบว่าความชันของฟังก์ชันที่คุณได้รับนั้นถูกต้อง มิฉะนั้น ให้วาดแทนเจนต์ให้กับกราฟ ณ จุดที่กำหนด และพิจารณาว่าค่าความชันที่คุณพบตรงกับที่คุณเห็นบนกราฟหรือไม่

• แทนเจนต์จะมีความชันเท่ากับกราฟของฟังก์ชันที่จุดใดจุดหนึ่ง หากต้องการวาดเส้นสัมผัสกันที่จุดที่กำหนด ให้เลื่อนไปทางซ้าย/ขวาบนแกน X (ในตัวอย่างของเรา 22 ค่าไปทางขวา) จากนั้นขึ้นหนึ่งค่าบนแกน Y ทำเครื่องหมายจุดนั้นแล้วเชื่อมต่อกับ จุดที่มอบให้กับคุณ ในตัวอย่างของเรา เชื่อมต่อจุดต่างๆ ด้วยพิกัด (4,2) และ (26,3)

“จุดวิกฤตของฟังก์ชัน” - จุดวิกฤต ในบรรดาจุดวิกฤติก็มีจุดสุดขั้วอยู่ ข้อกำหนดเบื้องต้นสุดขั้ว คำตอบ: 2. คำจำกัดความ แต่ถ้า f" (x0) = 0 ก็ไม่จำเป็นว่าจุด x0 จะเป็นจุดสุดขีด จุดสุดขีด (การซ้ำซ้อน) จุดวิกฤตของฟังก์ชัน จุดสุดขีด

“พิกัดระนาบ ป.6” - คณิตศาสตร์ ป.6 1. X. 1. ค้นหาและจดพิกัด จุด A, B, ค,ดี: -6. พิกัดเครื่องบิน. อ. -3. 7. คุณ

“ฟังก์ชันและกราฟ” - ความต่อเนื่อง ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน แนวคิดของฟังก์ชันผกผัน เชิงเส้น ลอการิทึม โมโนโทน ถ้า k > 0 มุมที่เกิดขึ้นจะเป็นมุมแหลม ถ้า k< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

“ฟังก์ชันเกรด 9” - การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ถูกต้องบนฟังก์ชัน [+] – การบวก, [-] – การลบ, [*] – การคูณ, [:] – การหาร ในกรณีเช่นนี้ เราพูดถึงการระบุฟังก์ชันแบบกราฟิก การก่อตัวของคลาสของฟังก์ชันเบื้องต้น ฟังก์ชันกำลัง y=x0.5 Iovlev Maxim Nikolaevich นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ของ RMOU Raduzhskaya Secondary School

“บทเรียนสมการแทนเจนต์” - 1. ชี้แจงแนวคิดเรื่องแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ไลบ์นิซพิจารณาถึงปัญหาในการวาดเส้นสัมผัสกันเป็นเส้นโค้งตามอำเภอใจ อัลกอริทึมสำหรับการพัฒนาสมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) หัวข้อบทเรียน: ทดสอบ: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน สมการแทนเจนต์ ฟลักซ์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 ถอดรหัสสิ่งที่ไอแซก นิวตันเรียกว่าฟังก์ชันอนุพันธ์

“สร้างกราฟของฟังก์ชัน” - ได้รับฟังก์ชัน y=3cosx กราฟของฟังก์ชัน y=m*sin x กราฟฟังก์ชัน สารบัญ: ด้วยฟังก์ชัน: y=sin (x+?/2) การยืดกราฟ y=cosx ไปตามแกน y เพื่อดำเนินการต่อคลิกที่ l ปุ่มเมาส์ เมื่อกำหนดฟังก์ชัน y=cosx+1 การกระจัดของกราฟ y=sinx ในแนวตั้ง เมื่อพิจารณาฟังก์ชัน y=3sinx การกระจัดในแนวนอนของกราฟ y=cosx

มีการนำเสนอทั้งหมด 25 หัวข้อ

1) โดเมนฟังก์ชันและช่วงฟังก์ชัน.

โดเมนของฟังก์ชันคือชุดของค่าอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้องทั้งหมด x(ตัวแปร x) ซึ่งฟังก์ชัน ย = ฉ(x)มุ่งมั่น. พิสัยของฟังก์ชันคือเซตของค่าจริงทั้งหมด ยซึ่งฟังก์ชันยอมรับ

ในคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา ฟังก์ชันจะศึกษาเฉพาะเซตของจำนวนจริงเท่านั้น

2) ฟังก์ชั่นศูนย์.

ฟังก์ชันศูนย์คือค่าของอาร์กิวเมนต์ที่มีค่าของฟังก์ชันเท่ากับศูนย์

3) ช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชัน.

ช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชันคือชุดของค่าอาร์กิวเมนต์ซึ่งค่าฟังก์ชันเป็นเพียงค่าบวกหรือค่าลบเท่านั้น

4) ความน่าเบื่อหน่ายของฟังก์ชัน.

ฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น (ในช่วงเวลาหนึ่ง) เป็นฟังก์ชันที่ มูลค่าที่สูงขึ้นอาร์กิวเมนต์จากช่วงเวลานี้สอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันลดลง (ในช่วงเวลาหนึ่ง) คือฟังก์ชันที่มีค่าอาร์กิวเมนต์ที่มากกว่าจากช่วงเวลานี้สอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน

5) ฟังก์ชันคู่ (คี่).

ฟังก์ชันคู่คือฟังก์ชันที่มีโดเมนของคำจำกัดความสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิดและสำหรับจุดใดๆ เอ็กซ์จากขอบเขตของคำจำกัดความคือความเท่าเทียมกัน ฉ(-x) = ฉ(x)- กำหนดการ แม้กระทั่งฟังก์ชั่นสมมาตรเกี่ยวกับแกนพิกัด

ฟังก์ชันคี่คือฟังก์ชันที่มีโดเมนของคำจำกัดความสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิดและสำหรับค่าใดๆ เอ็กซ์จากขอบเขตของคำจำกัดความ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง ฉ(-x) = - ฉ(x- กำหนดการ ฟังก์ชั่นคี่สมมาตรเกี่ยวกับต้นกำเนิด

6) ฟังก์ชั่นที่จำกัดและไม่ จำกัด.

ฟังก์ชันจะเรียกว่ามีขอบเขตหากมีจำนวนบวก M โดยที่ |f(x)| ≤ M สำหรับค่าทั้งหมดของ x หากไม่มีตัวเลขดังกล่าว แสดงว่าฟังก์ชันนั้นไม่จำกัด

7) ช่วงเวลาของฟังก์ชัน.

ฟังก์ชัน f(x) จะเป็นคาบหากมีตัวเลข T ที่ไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้นสำหรับ x ใดๆ จากโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน จะคงค่าไว้ดังนี้: f(x+T) = f(x) จำนวนที่น้อยที่สุดนี้เรียกว่าคาบของฟังก์ชัน ทั้งหมด ฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นช่วงๆ (สูตรตรีโกณมิติ)

19. ฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น คุณสมบัติ และกราฟ การประยุกต์ฟังก์ชันทางเศรษฐศาสตร์

ฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น คุณสมบัติและกราฟของพวกเขา

1. ฟังก์ชันเชิงเส้น

ฟังก์ชันเชิงเส้น เรียกว่าฟังก์ชันในรูปแบบ โดยที่ x เป็นตัวแปร a และ b เป็นจำนวนจริง

ตัวเลข กเรียกว่า ความลาดชันเส้นตรง เท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงนี้กับทิศทางบวกของแกนแอบซิสซา กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะเป็นเส้นตรง มันถูกกำหนดโดยสองจุด

คุณสมบัติของฟังก์ชันเชิงเส้น

1. โดเมนของคำจำกัดความ - เซตของจำนวนจริงทั้งหมด: D(y)=R

2. ชุดค่าคือชุดของจำนวนจริงทั้งหมด: E(y)=R

3. ฟังก์ชันจะใช้ค่าศูนย์เมื่อหรือ

4. ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น (ลดลง) ทั่วทั้งขอบเขตคำจำกัดความ

5. ฟังก์ชันเชิงเส้นมีความต่อเนื่องตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด สามารถหาอนุพันธ์ได้ และ

2. ฟังก์ชันกำลังสอง

ฟังก์ชันในรูปแบบที่ x เป็นตัวแปร เรียกว่าสัมประสิทธิ์ a, b, c เป็นจำนวนจริง กำลังสอง