ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีลักษณะอย่างไร ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง คุณสมบัติ และกราฟ

บทเรียนหมายเลข2

เรื่อง: ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคุณสมบัติและกราฟของมัน

เป้า:ตรวจสอบคุณภาพของการเรียนรู้แนวคิดของ "ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง" เพื่อพัฒนาทักษะและความสามารถในการจดจำฟังก์ชันเลขชี้กำลัง การใช้คุณสมบัติและกราฟ สอนให้นักเรียนใช้รูปแบบการวิเคราะห์และกราฟิกในการเขียนฟังก์ชันเลขชี้กำลัง จัดให้มีสภาพแวดล้อมการทำงานในห้องเรียน

อุปกรณ์:บอร์ดโปสเตอร์

แบบฟอร์มบทเรียน: บทเรียนในชั้นเรียน

ประเภทบทเรียน: บทเรียนภาคปฏิบัติ

ประเภทบทเรียน: บทเรียนทักษะและความสามารถการสอน

แผนการสอน

1. ช่วงเวลาขององค์กร

2. ทำงานอิสระและตรวจสอบ การบ้าน

3. การแก้ปัญหา

4. สรุป

5. การบ้าน

ความคืบหน้าของบทเรียน.

1. ช่วงเวลาขององค์กร :

สวัสดี เปิดสมุดบันทึกของคุณ จดวันที่ของวันนี้ และหัวข้อบทเรียน "ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง" วันนี้เราจะมาศึกษาฟังก์ชันเลขชี้กำลัง คุณสมบัติ และกราฟกันต่อไป

2.ทำงานอิสระและตรวจการบ้าน .

เป้า:ตรวจสอบคุณภาพของความเชี่ยวชาญของแนวคิด "ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง" และตรวจสอบความสมบูรณ์ของส่วนทฤษฎีของการบ้าน

วิธี:งานทดสอบการสำรวจหน้าผาก

ในการบ้าน คุณได้รับตัวเลขจากหนังสือโจทย์และย่อหน้าจากหนังสือเรียน เราจะไม่ตรวจสอบการใช้ตัวเลขจากหนังสือเรียนตอนนี้ แต่คุณจะต้องส่งสมุดบันทึกเมื่อสิ้นสุดบทเรียน ตอนนี้ทฤษฎีจะถูกทดสอบในรูปแบบของการทดสอบขนาดเล็ก งานจะเหมือนกันสำหรับทุกคน: คุณจะได้รับรายการฟังก์ชั่นคุณต้องค้นหาว่าฟังก์ชั่นใดที่บ่งบอกถึง (ขีดเส้นใต้) และถัดจากฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล คุณต้องเขียนว่าจะเพิ่มขึ้นหรือลดลง

ตัวเลือกที่ 1 คำตอบ ข) D) - เอ็กซ์โปเนนเชียลลดลง	ตัวเลือกที่ 2 คำตอบ D) - เอ็กซ์โปเนนเชียลลดลง ง) - เอ็กซ์โปเนนเชียลเพิ่มขึ้น
ตัวเลือกที่ 3 คำตอบ ก) - เอ็กซ์โปเนนเชียลเพิ่มขึ้น ข) - เอ็กซ์โปเนนเชียลลดลง	ตัวเลือกที่ 4 คำตอบ ก) - เอ็กซ์โปเนนเชียลลดลง ใน) - เอ็กซ์โปเนนเชียลเพิ่มขึ้น

ทีนี้มาจำกันว่าฟังก์ชันใดเรียกว่าเลขชี้กำลัง?

ฟังก์ชันของรูปแบบ ที่ไหน และ เรียกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชั่นนี้มีขอบเขตอะไรบ้าง?

จำนวนจริงทั้งหมด

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีพิสัยเท่าใด

จำนวนจริงบวกทั้งหมด

ลดลงถ้าฐานของกำลังมากกว่าศูนย์แต่น้อยกว่าหนึ่ง

ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลลดลงในโดเมนคำจำกัดความในกรณีใด

เพิ่มขึ้นถ้าฐานของอำนาจมากกว่าหนึ่ง

3. การแก้ปัญหา

เป้า: เพื่อพัฒนาทักษะในการจำแนกฟังก์ชันเลขชี้กำลังโดยใช้คุณสมบัติและกราฟ สอนให้นักเรียนใช้รูปแบบการวิเคราะห์และกราฟิกในการเขียนฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

วิธี: สาธิตโดยครูแก้ปัญหาทั่วไป งานปากเปล่า งานกระดานดำ งานในสมุดบันทึก บทสนทนาระหว่างครูกับนักเรียน

สามารถใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเมื่อเปรียบเทียบตัวเลข 2 ตัวขึ้นไป ตัวอย่างเช่น: หมายเลข 000 เปรียบเทียบค่าและถ้าก) ..gif" width="37" height="20 src="> นี่เป็นงานที่ค่อนข้างซับซ้อน: เราจะต้องหารากที่สามของ 3 และ 9 แล้วเปรียบเทียบ แต่เรารู้ว่ามันเพิ่มขึ้น ในทางกลับกันหมายความว่าเมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นค่าของฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นนั่นคือเราเพียงแค่ต้องเปรียบเทียบค่าของอาร์กิวเมนต์และ เห็นได้ชัดว่า (สามารถสาธิตได้บนโปสเตอร์ที่แสดงฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่เพิ่มขึ้น) และเสมอเมื่อแก้ไขตัวอย่างดังกล่าว คุณจะต้องกำหนดฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลังก่อน เปรียบเทียบกับ 1 กำหนดความซ้ำซ้อน และดำเนินการเปรียบเทียบอาร์กิวเมนต์ต่อไป ในกรณีของฟังก์ชันลดลง: เมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้น ค่าของฟังก์ชันจะลดลง ดังนั้นเราจึงเปลี่ยนเครื่องหมายของความไม่เท่าเทียมกันเมื่อย้ายจากความไม่เท่าเทียมกันของอาร์กิวเมนต์ไปเป็นความไม่เท่าเทียมกันของฟังก์ชัน ต่อไปเราจะแก้ปากเปล่า: b)

-

ใน)

-

ช)

-

- หมายเลข 000 เปรียบเทียบตัวเลข ก) และ

ดังนั้นฟังก์ชันจึงเพิ่มขึ้นแล้ว

ทำไม ?

เพิ่มฟังก์ชันและ

ดังนั้นฟังก์ชันจึงลดลงแล้ว

ฟังก์ชันทั้งสองเพิ่มขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความ เนื่องจากเป็นเลขชี้กำลังที่มีฐานกำลังมากกว่าหนึ่ง

ความหมายเบื้องหลังคืออะไร?

เราสร้างกราฟ:

ฟังก์ชั่นไหนเพิ่มเร็วขึ้นเมื่อพยายาม https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

ฟังก์ชั่นใดลดลงเร็วขึ้นเมื่อพยายาม https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

ในช่วงเวลาที่มีฟังก์ชันใด มูลค่าที่สูงขึ้นณ จุดใดจุดหนึ่ง?

D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src="> ก่อนอื่น เรามาดูขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันเหล่านี้กันก่อน พวกเขาตรงกันหรือเปล่า?

ใช่ โดเมนของฟังก์ชันเหล่านี้เป็นจำนวนจริงทั้งหมด

ตั้งชื่อขอบเขตของแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้

ช่วงของฟังก์ชันเหล่านี้ตรงกัน: จำนวนจริงบวกทั้งหมด

กำหนดประเภทของความน่าเบื่อของแต่ละฟังก์ชัน

ฟังก์ชันทั้งสามจะลดลงตลอดขอบเขตคำจำกัดความ เนื่องจากเป็นเลขชี้กำลังที่มีฐานของกำลังน้อยกว่าหนึ่งและมากกว่าศูนย์

มีจุดพิเศษอะไรอยู่ในกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง?

ความหมายเบื้องหลังคืออะไร?

ไม่ว่าระดับของฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะเป็นพื้นฐานของอะไรก็ตาม หากเลขชี้กำลังมี 0 ค่าของฟังก์ชันนี้ก็จะเท่ากับ 1

เราสร้างกราฟ:

มาวิเคราะห์กราฟกัน กราฟของฟังก์ชันมีจุดตัดกันกี่จุด?

ฟังก์ชั่นใดลดลงเร็วขึ้นเมื่อพยายาม https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

ฟังก์ชั่นไหนเพิ่มเร็วขึ้นเมื่อพยายาม https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

ในช่วงระยะเวลาหนึ่ง ฟังก์ชันใดมีค่ามากกว่า ณ จุดใดจุดหนึ่ง

ในช่วงระยะเวลาหนึ่ง ฟังก์ชันใดมีค่ามากกว่า ณ จุดใดจุดหนึ่ง

เหตุใดจึงมีฟังก์ชันเลขชี้กำลังด้วย ด้วยเหตุผลที่แตกต่างกันมีจุดตัดเพียงจุดเดียวเหรอ?

ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลมีความซ้ำซากจำเจอย่างเคร่งครัดตลอดขอบเขตคำจำกัดความ ดังนั้นจึงสามารถตัดกันที่จุดเดียวเท่านั้น

งานต่อไปจะเน้นไปที่การใช้คุณสมบัตินี้ หมายเลข 000 ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด ฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงเวลาที่กำหนด ก) โปรดจำไว้ว่าฟังก์ชันที่ซ้ำซากจำเจอย่างเคร่งครัดจะใช้ค่าต่ำสุดและสูงสุดที่ส่วนท้ายของกลุ่มที่กำหนด และถ้าฟังก์ชันเพิ่มขึ้น มันก็เป็นอย่างนั้น มูลค่าสูงสุดจะอยู่ที่ด้านขวาสุดของเซ็กเมนต์ และเล็กที่สุดที่ด้านซ้ายสุดของเซ็กเมนต์ (การสาธิตบนโปสเตอร์ โดยใช้ตัวอย่างฟังก์ชันเลขชี้กำลัง) หากฟังก์ชันลดลง ค่าที่ใหญ่ที่สุดจะอยู่ที่ปลายด้านซ้ายของเซ็กเมนต์ และค่าน้อยที่สุดจะอยู่ทางด้านขวาสุดของเซ็กเมนต์ (การสาธิตบนโปสเตอร์ โดยใช้ตัวอย่างฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล) ฟังก์ชั่นกำลังเพิ่มขึ้นเพราะฉะนั้นค่าที่เล็กที่สุดของฟังก์ชั่นจะอยู่ที่จุด https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" >. คะแนน ข ) , วี) d) แก้ไขสมุดบันทึกด้วยตัวเอง เราจะตรวจสอบด้วยวาจา

นักเรียนแก้ไขงานในสมุดบันทึก

ฟังก์ชั่นลดลง

ฟังก์ชั่นลดลง ค่าสูงสุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

ฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้น ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ ค่าสูงสุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

- หมายเลข 000 ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงเวลาที่กำหนด a) - งานนี้เกือบจะเหมือนกับงานก่อนหน้า แต่สิ่งที่ให้ไว้ที่นี่ไม่ใช่ส่วน แต่เป็นรังสี เรารู้ว่าฟังก์ชันกำลังเพิ่มขึ้น และไม่มีค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือเล็กที่สุดในเส้นจำนวนทั้งหมด https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20"> และมีแนวโน้มที่ เช่น บนรังสี ฟังก์ชันที่มีแนวโน้มที่จะเป็น 0 แต่ไม่มีของตัวเอง ค่าต่ำสุดแต่มีค่ามากที่สุด ณ จุดนั้น - คะแนน ข) , วี) , ก) แก้โน้ตบุ๊กด้วยตัวเองเราจะตรวจสอบด้วยวาจา

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นลักษณะทั่วไปของผลิตภัณฑ์ของจำนวน n เท่ากับ:
ย (n) = n = a·a·a···a,
ถึงเซตของจำนวนจริง x:
ย (x) = ขวาน.
โดยที่ a เป็นจำนวนจริงคงที่ ซึ่งเรียกว่า พื้นฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง.
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐาน a ก็เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า เลขชี้กำลังของฐาน a.

ลักษณะทั่วไปดำเนินการดังนี้
สำหรับธรรมชาติ x = 1, 2, 3,... ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือผลคูณของตัวประกอบ x:
.
นอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติ (1.5-8) () ซึ่งเป็นไปตามกฎการคูณตัวเลข สำหรับค่าศูนย์และค่าลบของจำนวนเต็ม ฟังก์ชันเลขชี้กำลังถูกกำหนดโดยใช้สูตร (1.9-10) สำหรับค่าเศษส่วน x = m/n จำนวนตรรกยะ จะถูกกำหนดโดยสูตร (1.11) สำหรับค่าจริง ฟังก์ชันเลขชี้กำลังถูกกำหนดให้เป็นขีดจำกัดของลำดับ:
,
โดยที่ลำดับของจำนวนตรรกยะมาบรรจบกันเป็น x:
ด้วยคำจำกัดความนี้ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลถูกกำหนดไว้สำหรับ all และเป็นไปตามคุณสมบัติ (1.5-8) เช่นเดียวกับค่า x ตามธรรมชาติ

สูตรทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดของคำจำกัดความของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลและการพิสูจน์คุณสมบัติมีระบุไว้ในหน้า “คำจำกัดความและการพิสูจน์คุณสมบัติของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล”

คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y = a x มีคุณสมบัติต่อไปนี้บนเซตของจำนวนจริง ():
(1.1) กำหนดและต่อเนื่อง สำหรับ , สำหรับทั้งหมด ;
(1.2) สำหรับ ≠ 1 มีหลายความหมาย
(1.3) เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดที่ , ลดลงอย่างเคร่งครัดที่ ,
คงที่ที่ ;
(1.4) ที่ ;
ที่ ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

สูตรที่มีประโยชน์อื่นๆ
.
สูตรการแปลงเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานเลขชี้กำลังต่างกัน:

เมื่อ b = e เราได้นิพจน์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังผ่านเลขชี้กำลัง:

ค่านิยมส่วนตัว

, , , , .

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ย (x) = ขวาน
สำหรับสี่ค่า ฐานระดับ:ก= 2 , ก = 8 , ก = 1/2 และ ก = 1/8 - จะเห็นได้ว่าสำหรับ > 1 ฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลจะเพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากจำเจ ยิ่งฐานของระดับ a มีขนาดใหญ่เท่าใด การเติบโตก็จะยิ่งแข็งแกร่งขึ้นเท่านั้น ที่ 0 < a < 1 ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลจะลดลงแบบซ้ำซากจำเจ ยิ่งเลขชี้กำลัง a น้อยเท่าใด ค่าลดลงก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

ขึ้น,ลง

ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลเป็นแบบโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัด ดังนั้นจึงไม่มีเอ็กซ์ตรีม คุณสมบัติหลักแสดงอยู่ในตาราง

	y = a x , a > 1	y = ขวาน 0 < a < 1
โดเมนของคำจำกัดความ	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
ช่วงของค่า	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
โมโนโทน	เพิ่มขึ้นอย่างน่าเบื่อ	ลดลงอย่างน่าเบื่อ
ศูนย์, y = 0	เลขที่	เลขที่
จุดตัดกับแกนพิกัด x = 0	ย = 1	ย = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

ฟังก์ชันผกผัน

ค่าผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐาน a คือลอการิทึมของฐาน a

ถ้าอย่างนั้น
.
ถ้าอย่างนั้น
.

การหาความแตกต่างของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

หากต้องการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล ฐานของมันจะต้องลดลงเหลือจำนวน e ใช้ตารางอนุพันธ์และกฎสำหรับการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน

ในการทำเช่นนี้ คุณต้องใช้คุณสมบัติของลอการิทึม
และสูตรจากตารางอนุพันธ์คือ
.

ให้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้รับ:
.
เรานำมันไปที่ฐาน e:

ลองใช้กฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนกันดีกว่า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ แนะนำตัวแปร

แล้ว

จากตารางอนุพันธ์ที่เรามี (แทนที่ตัวแปร x ด้วย z):
.
เนื่องจากเป็นค่าคงที่ อนุพันธ์ของ z เทียบกับ x จะเท่ากับ
.
ตามกฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:
.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

.
อนุพันธ์ของลำดับที่ n:
.
การหาสูตร > > >

ตัวอย่างการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ย = 3 5 x

สารละลาย

ลองแสดงฐานของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลผ่านตัวเลข e กัน
3 = อี อิน 3
แล้ว
.
ป้อนตัวแปร
.
แล้ว

จากตารางอนุพันธ์เราพบว่า:
.
เนื่องจาก 5อิน3เป็นค่าคงที่ ดังนั้นอนุพันธ์ของ z เทียบกับ x จะเท่ากับ:
.
ตามกฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน เราจะได้:
.

คำตอบ

บูรณาการ

นิพจน์ที่ใช้จำนวนเชิงซ้อน

พิจารณาฟังก์ชันจำนวนเชิงซ้อน z:
ฉ (z) = ก
โดยที่ z = x + iy; 2 = - 1 .
ฉัน
ให้เราแสดงค่าคงที่เชิงซ้อน a ในรูปของโมดูลัส r และอาร์กิวเมนต์ φ:
แล้ว


.
a = r e ฉัน φ
φ = φ อาร์กิวเมนต์ φ ไม่ได้ถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะ โดยทั่วไปแล้ว,
0 + 2 πn โดยที่ n คือจำนวนเต็ม ดังนั้นฟังก์ชัน f(ซ)
.

ยังไม่ชัดเจน ความสำคัญหลักมักได้รับการพิจารณา

.

การขยายซีรีส์
วรรณกรรมที่ใช้:

ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552 การตัดสินใจส่วนใหญ่ปัญหาทางคณิตศาสตร์ มีความเกี่ยวข้องกับการแปลงนิพจน์เชิงตัวเลข พีชคณิต หรือเชิงฟังก์ชันในทางใดทางหนึ่ง ข้อความข้างต้นมีผลใช้กับการตัดสินใจโดยเฉพาะ ในเวอร์ชันของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ ปัญหาประเภทนี้จะรวมถึงงาน C3 โดยเฉพาะ การเรียนรู้ที่จะแก้ปัญหางาน C3 มีความสำคัญไม่เพียงแต่เพื่อความสำเร็จเท่านั้นผ่านการสอบ Unified State

แต่ด้วยเหตุผลที่ว่าทักษะนี้จะมีประโยชน์เมื่อเรียนวิชาคณิตศาสตร์ในโรงเรียนมัธยมปลายด้วย เมื่อเสร็จสิ้นภารกิจ C3 คุณต้องตัดสินใจประเภทต่างๆ สมการและอสมการ ในหมู่พวกเขามีโมดูลที่มีเหตุผล, ไม่ลงตัว, เอ็กซ์โปเนนเชียล, ลอการิทึม, ตรีโกณมิติ, ที่มี (ค่าสัมบูรณ์ ) เช่นเดียวกับที่รวมกัน บทความนี้จะกล่าวถึงประเภทหลักของสมการเอ็กซ์โพเนนเชียลและอสมการเช่นกันวิธีการต่างๆ การตัดสินใจของพวกเขา อ่านเกี่ยวกับการแก้สมการและอสมการประเภทอื่น ๆ ในส่วน "" ในบทความเกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหา C3 จากตัวเลือกการสอบ Unified State

ในวิชาคณิตศาสตร์ ก่อนที่เราจะเริ่มวิเคราะห์เจาะจงในฐานะครูสอนคณิตศาสตร์ ฉันขอแนะนำให้คุณทบทวนเนื้อหาทางทฤษฎีที่เราจำเป็นต้องใช้

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคืออะไร?

หน้าที่ของแบบฟอร์ม ย = เอ็กซ์, ที่ไหน ก> 0 และ ก≠ 1 ถูกเรียก ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง.

ขั้นพื้นฐาน คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ย = เอ็กซ์:

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือ เลขชี้กำลัง:

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (เลขชี้กำลัง)

การแก้สมการเลขชี้กำลัง

บ่งชี้เรียกว่าสมการซึ่งตัวแปรที่ไม่รู้จักจะพบได้เฉพาะในเลขยกกำลังบางค่าเท่านั้น

เพื่อแก้ปัญหา สมการเลขชี้กำลังคุณต้องรู้และสามารถใช้ทฤษฎีบทง่ายๆ ต่อไปนี้ได้:

ทฤษฎีบท 1สมการเลขชี้กำลัง ก ฉ(x) = ก ก(x) (ที่ไหน ก > 0, ก≠ 1) เทียบเท่ากับสมการ ฉ(x) = ก(x).

นอกจากนี้ยังเป็นประโยชน์ในการจดจำสูตรพื้นฐานและการดำเนินการด้วยองศา:

Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}

ตัวอย่างที่ 1แก้สมการ:

สารละลาย:เราใช้สูตรและการทดแทนข้างต้น:

สมการจะกลายเป็น:

แยกแยะของที่ได้รับ สมการกำลังสองเชิงบวก:

Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}

ซึ่งหมายความว่าสมการนี้มีสองราก เราพบพวกเขา:

ไปสู่การทดแทนแบบย้อนกลับเราจะได้:

สมการที่สองไม่มีราก เนื่องจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นบวกอย่างเคร่งครัดตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด มาแก้อันที่สองกัน:

เมื่อคำนึงถึงสิ่งที่กล่าวไว้ในทฤษฎีบทที่ 1 เราจะไปยังสมการที่เทียบเท่ากัน: x= 3 นี่จะเป็นคำตอบของงาน

คำตอบ: x = 3.

ตัวอย่างที่ 2แก้สมการ:

สารละลาย:ข้อจำกัดในพื้นที่ ค่าที่ยอมรับได้สมการไม่ได้เป็นเช่นนั้น เนื่องจากนิพจน์รากสมเหตุสมผลกับค่าใดๆ x(ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ย = 9 4 -xบวกและไม่เท่ากับศูนย์)

เราแก้สมการด้วยการแปลงที่เท่ากันโดยใช้กฎการคูณและการหารยกกำลัง:

การเปลี่ยนแปลงครั้งล่าสุดดำเนินการตามทฤษฎีบทที่ 1

คำตอบ:x= 6.

ตัวอย่างที่ 3แก้สมการ:

สารละลาย:ทั้งสองด้านของสมการดั้งเดิมสามารถหารด้วย 0.2 x- การเปลี่ยนแปลงนี้จะเท่ากัน เนื่องจากนิพจน์นี้มีค่ามากกว่าศูนย์สำหรับค่าใดๆ x(ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นบวกอย่างเคร่งครัดในโดเมนของคำจำกัดความ) จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ:

คำตอบ: x = 0.

ตัวอย่างที่ 4แก้สมการ:

สารละลาย:เราลดความซับซ้อนของสมการให้เป็นสมการเบื้องต้นโดยใช้การแปลงที่เท่ากันโดยใช้กฎการหารและการคูณกำลังที่ให้ไว้ตอนต้นของบทความ:

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 4 xดังเช่นในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เป็นการแปลงที่เทียบเท่ากัน เนื่องจากนิพจน์นี้ไม่เท่ากับศูนย์สำหรับค่าใดๆ x.

คำตอบ: x = 0.

ตัวอย่างที่ 5แก้สมการ:

สารละลาย:การทำงาน ย = 3xยืนอยู่ทางด้านซ้ายของสมการกำลังเพิ่มขึ้น การทำงาน ย = —x-2/3 ทางด้านขวาของสมการกำลังลดลง ซึ่งหมายความว่าหากกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้ตัดกัน จะมีจุดมากที่สุดเพียงจุดเดียว ใน ในกรณีนี้เดาได้ไม่ยากว่ากราฟตัดกันที่จุดนั้น x= -1. จะไม่มีรากอื่น

คำตอบ: x = -1.

ตัวอย่างที่ 6แก้สมการ:

สารละลาย:เราทำให้สมการง่ายขึ้นด้วยการแปลงที่เท่ากัน โดยคำนึงถึงทุกที่ว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีค่ามากกว่าศูนย์สำหรับค่าใดๆ อย่างเคร่งครัด xและใช้กฎในการคำนวณผลคูณและผลหารของกำลังที่ให้ไว้ตอนต้นบทความ:

คำตอบ: x = 2.

การแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล

บ่งชี้เรียกว่าอสมการซึ่งมีตัวแปรที่ไม่รู้จักอยู่ในเลขยกกำลังบางค่าเท่านั้น

เพื่อแก้ปัญหา อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลจำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท 2ถ้า ก> 1 แล้วความไม่เท่าเทียมกัน ก ฉ(x) > ก ก(x) เทียบเท่ากับอสมการที่มีความหมายเดียวกัน: ฉ(x) > ก(x- ถ้า 0< ก < 1, то อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล ก ฉ(x) > ก ก(x) เทียบเท่ากับอสมการที่มีความหมายตรงกันข้าม: ฉ(x) < ก(x).

ตัวอย่างที่ 7แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

สารละลาย:ขอนำเสนอความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมในรูปแบบ:

ลองหารทั้งสองข้างของอสมการนี้ด้วย 3 2 กัน xในกรณีนี้ (เนื่องจากผลบวกของฟังก์ชัน ย= 3 2x) เครื่องหมายอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง:

ลองใช้การทดแทน:

จากนั้นความไม่เท่าเทียมกันจะเกิดขึ้น:

ดังนั้น คำตอบของอสมการคือช่วง:

เมื่อย้ายไปที่การทดแทนแบบย้อนกลับเราจะได้:

ความไม่เท่าเทียมกันด้านซ้ายจะเป็นไปตามค่าบวกของฟังก์ชันเลขชี้กำลังโดยอัตโนมัติ การเอาเปรียบ ทรัพย์สินที่รู้จักลอการิทึม เราจะดำเนินการกับอสมการที่เท่ากัน:

เนื่องจากฐานของระดับเป็นตัวเลขที่มากกว่า 1 เทียบเท่า (ตามทฤษฎีบท 2) จึงเป็นการเปลี่ยนไปสู่อสมการต่อไปนี้:

ในที่สุดเราก็ได้ คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 8แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

สารละลาย:โดยใช้คุณสมบัติของการคูณและการหารยกกำลัง เราเขียนอสมการใหม่ในรูปแบบ:

ขอแนะนำตัวแปรใหม่:

เมื่อคำนึงถึงการทดแทนนี้ ความไม่เท่าเทียมกันจะอยู่ในรูปแบบ:

เมื่อคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย 7 เราจะได้อสมการที่เทียบเท่ากันดังต่อไปนี้:

ดังนั้นค่าของตัวแปรต่อไปนี้จึงเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน ที:

จากนั้นเมื่อย้ายไปที่การทดแทนแบบย้อนกลับเราจะได้:

เนื่องจากฐานของระดับนี้มากกว่า 1 การเปลี่ยนไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันจึงจะเท่ากัน (ตามทฤษฎีบท 2):

ในที่สุดเราก็ได้ คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 9แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

สารละลาย:

เราแบ่งอสมการทั้งสองด้านด้วยนิพจน์:

ค่านี้จะมากกว่าศูนย์เสมอ (เนื่องจากค่าบวกของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง) ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ เราได้รับ:

t อยู่ในช่วง:

เมื่อพิจารณาถึงการทดแทนแบบย้อนกลับ เราพบว่าอสมการเดิมแบ่งออกเป็นสองกรณี:

อสมการประการแรกไม่มีทางแก้ได้เนื่องจากค่าบวกของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง มาแก้อันที่สองกัน:

ตัวอย่างที่ 10แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

สารละลาย:

สาขาพาราโบลา ย = 2x+2-x 2 ชี้ลง ดังนั้นจึงถูกจำกัดจากด้านบนด้วยค่าที่มาถึงที่จุดยอด:

สาขาพาราโบลา ย = x 2 -2x+2 ในตัวบ่งชี้ชี้ขึ้นด้านบน ซึ่งหมายความว่ามันถูกจำกัดจากด้านล่างด้วยค่าที่มันมาถึงที่จุดยอด:

ในขณะเดียวกัน ฟังก์ชันก็ปรากฏว่ามีขอบเขตจากด้านล่างด้วย ย = 3 x 2 -2x+2 ซึ่งอยู่ทางด้านขวาของสมการ มันถึงค่าที่น้อยที่สุดที่จุดเดียวกับพาราโบลาในเลขชี้กำลัง และค่านี้คือ 3 1 = 3 ดังนั้น อสมการดั้งเดิมจะเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อฟังก์ชันทางด้านซ้ายและฟังก์ชันทางด้านขวาใช้ค่านั้น เท่ากับ 3 (จุดตัดของช่วงค่าของฟังก์ชันเหล่านี้คือตัวเลขนี้เท่านั้น) เงื่อนไขนี้จบที่จุดเดียว x = 1.

คำตอบ: x= 1.

เพื่อเรียนรู้ที่จะตัดสินใจ สมการเลขชี้กำลังและอสมการจำเป็นต้องฝึกฝนการแก้ปัญหาเหล่านี้อย่างต่อเนื่อง สิ่งต่างๆ มากมายสามารถช่วยคุณในงานที่ยากลำบากนี้ได้ คู่มือระเบียบวิธี, หนังสือปัญหาคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา , ชุดปัญหาการแข่งขัน , ชั้นเรียนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน รวมถึงบทเรียนตัวต่อตัวกับครูสอนพิเศษมืออาชีพ ฉันขอให้คุณประสบความสำเร็จในการเตรียมตัวและผลการสอบที่ยอดเยี่ยม

เซอร์เกย์ วาเลรีวิช

ป.ล. เรียนแขกทุกท่าน! กรุณาอย่าเขียนคำขอเพื่อแก้สมการของคุณในความคิดเห็น น่าเสียดายที่ฉันไม่มีเวลาสำหรับเรื่องนี้เลย ข้อความดังกล่าวจะถูกลบ โปรดอ่านบทความ บางทีคุณอาจพบคำตอบสำหรับคำถามที่ไม่อนุญาตให้คุณแก้ไขงานด้วยตัวเองในนั้น

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันของรูปแบบ y = a x โดยที่ a มากกว่าศูนย์และ a ไม่เท่ากับ 1 เรียกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลัง คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:

1. โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะเป็นเซตของจำนวนจริง

2. ช่วงของค่าของฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะเป็นเซตของจำนวนจริงบวกทั้งหมด บางครั้งชุดนี้จะแสดงเป็น R+ เพื่อความกระชับ

3. ถ้าในฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล ฐาน a มากกว่า 1 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด หาก a เป็นไปตามฟังก์ชันเลขชี้กำลังของฐาน เงื่อนไขต่อไป 0

4. คุณสมบัติพื้นฐานขององศาทั้งหมดจะสามารถใช้ได้ คุณสมบัติหลักขององศาแสดงด้วยความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

ก x *ก ย =ก (x+y) ;

(ก x )/(ก ย ) = ก (x-y) ;

(ก*ข) x = (ก x )*(ก ย );

(ก/ข) x =ก x /ข x ;

(ก x ) ย =ก (x * ย) .

ความเท่าเทียมกันเหล่านี้จะใช้ได้กับค่าจริงทั้งหมดของ x และ y

5. กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะผ่านจุดที่มีพิกัด (0;1) เสมอ

6. ขึ้นอยู่กับว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังเพิ่มขึ้นหรือลดลง กราฟจะมีรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งจากสองรูปแบบ

รูปต่อไปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่เพิ่มขึ้น: a>0

รูปต่อไปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังลดลง: 0

ทั้งกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่เพิ่มขึ้นและกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังลดลงตามคุณสมบัติที่อธิบายไว้ในย่อหน้าที่ห้า จะผ่านจุด (0;1)

7. ฟังก์ชันเลขชี้กำลังไม่มีจุดปลายสุด กล่าวคือ ไม่มีจุดต่ำสุดและสูงสุดของฟังก์ชัน หากเราพิจารณาฟังก์ชันในส่วนใดส่วนหนึ่งฟังก์ชันจะใช้ค่าต่ำสุดและสูงสุดเมื่อสิ้นสุดช่วงเวลานี้

8. ฟังก์ชันไม่เป็นเลขคู่หรือคี่ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือฟังก์ชัน มุมมองทั่วไป- สิ่งนี้สามารถเห็นได้จากกราฟ ไม่มีกราฟใดที่มีความสมมาตรทั้งกับแกน Oy หรือเทียบกับที่มาของพิกัด

ลอการิทึม

ลอการิทึมได้รับการพิจารณามาโดยตลอด หัวข้อที่ซับซ้อนวี หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์. มีคำจำกัดความของลอการิทึมที่แตกต่างกันมากมาย แต่ด้วยเหตุผลบางประการ หนังสือเรียนส่วนใหญ่จึงใช้คำเหล่านี้ที่ซับซ้อนที่สุดและไม่ประสบความสำเร็จ

เราจะนิยามลอการิทึมอย่างเรียบง่ายและชัดเจน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาสร้างตารางกัน:

ดังนั้นเราจึงมีพลังของทั้งสอง หากคุณนำตัวเลขมาจากบรรทัดล่างสุด คุณจะพบพลังที่คุณจะต้องยกสองขึ้นเพื่อให้ได้ตัวเลขนี้ได้อย่างง่ายดาย ตัวอย่างเช่น หากต้องการได้ 16 คุณต้องยกสองยกกำลังสี่ และเพื่อให้ได้ 64 คุณต้องยกสองยกกำลังหก ดังที่เห็นได้จากตาราง

และตอนนี้ - จริงๆ แล้ว คำจำกัดความของลอการิทึม:

คำนิยาม

ลอการิทึมฐาน a ของอาร์กิวเมนต์ x คือพลังที่ต้องยกจำนวนขึ้นก เพื่อรับหมายเลข x.

การกำหนด

บันทึก a x = b
โดยที่ a เป็นฐาน x คืออาร์กิวเมนต์ b - อันที่จริง ลอการิทึมเท่ากับเท่าใด

ตัวอย่างเช่น 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (ลอการิทึมฐาน 2 ของ 8 คือ 3 เพราะ 2 3 = 8) ด้วยความสำเร็จเดียวกัน บันทึก 2 64 = 6 เนื่องจาก 2 6 = 64

การดำเนินการค้นหาลอการิทึมของตัวเลขไปยังฐานที่กำหนดเรียกว่าลอการิทึม - เรามาเพิ่มบรรทัดใหม่ให้กับตารางของเรา:

น่าเสียดายที่ไม่ใช่ทุกลอการิทึมจะคำนวณได้ง่ายนัก ตัวอย่างเช่น ลองค้นหาบันทึก 2 5 ตัวเลข 5 ไม่ได้อยู่ในตาราง แต่ตรรกะกำหนดว่าลอการิทึมจะอยู่ที่ไหนสักแห่งในช่วงเวลา เพราะ 2 2< 5 < 2 3 , а чем ระดับมากขึ้นสองยิ่งจำนวนมากขึ้น

ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ: ตัวเลขที่อยู่หลังจุดทศนิยมสามารถเขียนได้ไม่จำกัด และจะไม่มีวันซ้ำกัน หากลอการิทึมกลายเป็นแบบไม่ลงตัว ก็ควรปล่อยไว้อย่างนั้นดีกว่า: log 2 5, log 3 8, log 5 100

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าลอการิทึมคือนิพจน์ที่มีตัวแปรสองตัว (ฐานและอาร์กิวเมนต์) ในตอนแรก หลายคนสับสนว่าอะไรเป็นพื้นฐานและข้อโต้แย้งอยู่ที่ไหน เพื่อหลีกเลี่ยงความเข้าใจผิดที่น่ารำคาญ เพียงแค่ดูภาพ:

ก่อนหน้าเราไม่มีอะไรมากไปกว่าคำจำกัดความของลอการิทึม ข้อควรจำ: ลอการิทึมคือกำลัง ซึ่งจะต้องสร้างฐานเพื่อให้ได้ข้อโต้แย้งเป็นฐานที่ยกกำลังขึ้น - ในภาพเน้นด้วยสีแดง ปรากฎว่าฐานอยู่ด้านล่างเสมอ! นี้ กฎที่ยอดเยี่ยมฉันบอกนักเรียนในบทเรียนแรก - และไม่มีความสับสน

เราได้ทราบคำจำกัดความแล้ว - สิ่งที่เหลืออยู่คือการเรียนรู้วิธีนับลอการิทึม เช่น กำจัดเครื่องหมาย "บันทึก" เริ่มต้นด้วยเราทราบว่า จากคำจำกัดความมี 2 สิ่งตามมา ข้อเท็จจริงที่สำคัญ:

อาร์กิวเมนต์และฐานต้องมากกว่าศูนย์เสมอ สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความของระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ซึ่งคำจำกัดความของลอการิทึมจะลดลง

ฐานจะต้องแตกต่างจากฐานหนึ่ง เนื่องจากระดับหนึ่งถึงระดับใดยังคงเป็นหนึ่งด้วยเหตุนี้ คำถามที่ว่า “คนๆ หนึ่งจะต้องเพิ่มพลังเท่าใดจึงจะได้สอง” จึงไม่มีความหมาย ไม่มีปริญญาขนาดนั้น!

ข้อจำกัดดังกล่าวถูกเรียกว่า ช่วงของค่าที่ยอมรับได้(ODZ). ปรากฎว่า ODZ ของลอการิทึมมีลักษณะดังนี้: logก x = ข ⇒ x > 0, ก > 0, ก ≠ 1

โปรดทราบว่า ไม่มีข้อจำกัดด้านจำนวนข (ค่าลอการิทึม) ไม่ทับซ้อนกัน ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมอาจเป็นลบ: log 2 0.5 = −1 เพราะ 0.5 = 2 −1

อย่างไรก็ตาม ตอนนี้เรากำลังพิจารณาเฉพาะนิพจน์ตัวเลข โดยไม่จำเป็นต้องทราบ VA ของลอการิทึม ผู้เขียนปัญหาได้คำนึงถึงข้อจำกัดทั้งหมดแล้ว แต่เมื่อสมการลอการิทึมและอสมการเข้ามามีบทบาท ข้อกำหนด DL จะกลายเป็นข้อบังคับ ท้ายที่สุดแล้ว พื้นฐานและการโต้แย้งอาจมีโครงสร้างที่แข็งแกร่งมากซึ่งไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับข้อจำกัดข้างต้น

ตอนนี้ พิจารณาส่วนรวม โครงการคำนวณลอการิทึม ประกอบด้วยสามขั้นตอน:

ให้เหตุผล a และอาร์กิวเมนต์ x ในรูปของกำลังที่มีฐานขั้นต่ำที่เป็นไปได้มากกว่าหนึ่ง ระหว่างทางควรกำจัดทศนิยมออกไปจะดีกว่า

แก้โจทย์ด้วยความเคารพต่อตัวแปรสมการ b: x = a b ;

หมายเลขผลลัพธ์ขจะเป็นคำตอบ

แค่นั้นแหละ! หากลอการิทึมกลายเป็นจำนวนตรรกยะ สิ่งนี้จะมองเห็นได้ในขั้นตอนแรก ข้อกำหนดที่ว่าฐานต้องมากกว่าหนึ่งมีความสำคัญมาก ซึ่งจะช่วยลดโอกาสที่จะเกิดข้อผิดพลาดและทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก เช่นเดียวกับ ทศนิยม: หากคุณแปลงเป็นปกติทันที จะมีข้อผิดพลาดน้อยลงมาก

มาดูกันว่าโครงการนี้ทำงานอย่างไร ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง:

คำนวณลอการิทึม: บันทึก 5 25

ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังของห้า: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

มาสร้างและแก้สมการกัน:
บันทึก 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

เราได้รับคำตอบ: 2.

คำนวณลอการิทึม:

ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังของสาม: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 −1 = (3 4) −1 = 3 −4 ;

มาสร้างและแก้สมการกัน:

เราได้รับคำตอบ: −4

−4

คำนวณลอการิทึม: บันทึก 4 64

ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังสอง: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;

มาสร้างและแก้สมการกัน:
บันทึก 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;

เราได้รับคำตอบ: 3.

คำนวณลอการิทึม: log 16 1

ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังสอง: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;

มาสร้างและแก้สมการกัน:
บันทึก 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;

เราได้รับคำตอบ: 0.

คำนวณลอการิทึม: บันทึก 7 14

ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังของเจ็ด: 7 = 7 1 ; 14 ไม่สามารถแสดงเป็นกำลังของ 7 ได้ เนื่องจาก 7 1< 14 < 7 2 ;

จากย่อหน้าก่อนหน้า ตามมาว่าไม่นับลอการิทึม

คำตอบคือไม่มีการเปลี่ยนแปลง: บันทึก 7 14

บันทึก 7 14

หมายเหตุเล็ก ๆ เกี่ยวกับตัวอย่างสุดท้าย คุณจะแน่ใจได้อย่างไรว่าตัวเลขนั้นไม่ใช่กำลังที่แน่นอนของอีกจำนวนหนึ่ง? ง่ายมาก - แค่แยกตัวประกอบเป็นปัจจัยเฉพาะ ถ้าการขยายตัวมีปัจจัยที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองปัจจัย ตัวเลขจะไม่ใช่กำลังที่แน่นอน

ค้นหาว่าตัวเลขนั้นเป็นเลขยกกำลังที่แน่นอนหรือไม่: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - องศาที่แน่นอน เพราะ มีตัวคูณเพียงตัวเดียวเท่านั้น
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ไม่ใช่กำลังที่แน่นอน เนื่องจากมีปัจจัยสองประการ: 3 และ 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - ระดับที่แน่นอน;
35 = 7 · 5 - ไม่ใช่กำลังที่แน่นอนอีกครั้ง
14 = 7 · 2 - ไม่ใช่ระดับที่แน่นอนอีกครั้ง

8, 81 - ระดับที่แน่นอน; 48, 35, 14 - ไม่

ให้เราสังเกตด้วยว่าเราเอง หมายเลขเฉพาะมีระดับที่แน่นอนของตัวเองอยู่เสมอ

ลอการิทึมทศนิยม

ลอการิทึมบางตัวเป็นเรื่องธรรมดามากจนมีชื่อและสัญลักษณ์พิเศษ

คำนิยาม

ลอการิทึมทศนิยมจากอาร์กิวเมนต์ x คือลอการิทึมของฐาน 10 เช่น พลังที่ต้องยกเลข 10 ถึงจะได้เลข x.

การกำหนด

แอลจีเอ็กซ์

ตัวอย่างเช่น บันทึก 10 = 1; แอลจี 100 = 2; lg 1,000 = 3 - ฯลฯ

จากนี้ไปเมื่อมีวลีเช่น “Find lg 0.01” ปรากฏในหนังสือเรียน โปรดทราบว่านี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด นี่คือลอการิทึมทศนิยม อย่างไรก็ตาม หากคุณไม่คุ้นเคยกับสัญกรณ์นี้ คุณสามารถเขียนใหม่ได้ตลอดเวลา:
บันทึก x = บันทึก 10 x

ทุกอย่างที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมธรรมดาก็เป็นจริงสำหรับลอการิทึมฐานสิบเช่นกัน

ลอการิทึมธรรมชาติ

มีลอการิทึมอื่นที่มีการกำหนดของตัวเอง ในบางแง่ มันสำคัญกว่าทศนิยมด้วยซ้ำ มันเกี่ยวกับเกี่ยวกับลอการิทึมธรรมชาติ

คำนิยาม

ลอการิทึมธรรมชาติจากอาร์กิวเมนต์ x คือลอการิทึมของฐานจ , เช่น. อำนาจที่ต้องเพิ่มจำนวนจ เพื่อรับหมายเลข x.

การกำหนด

ใน x

หลายคนจะถามว่า ตัวเลข e คืออะไร? นี่เป็นจำนวนอตรรกยะ ไม่สามารถหาค่าที่แน่นอนและจดบันทึกไว้ได้ ฉันจะให้เฉพาะตัวเลขแรกเท่านั้น:
อี = 2.718281828459...

เราจะไม่ลงรายละเอียดว่าหมายเลขนี้คืออะไรและเหตุใดจึงต้องมี แค่จำไว้ว่าอี - ฐานของลอการิทึมธรรมชาติ:
ln x = บันทึก อี x

ดังนั้น ln e = 1; ใน อี 2 = 2; ใน e 16 = 16 - ฯลฯ ในทางกลับกัน ln 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยทั่วไปลอการิทึมธรรมชาติของค่าใดๆ จำนวนตรรกยะไม่มีเหตุผล ยกเว้น อย่างหนึ่ง: ln 1 = 0

สำหรับ ลอการิทึมธรรมชาติกฎทั้งหมดที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมสามัญนั้นถูกต้อง

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถบวก ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดาทุกประการ จึงมีกฎของตัวเอง ซึ่งเรียกว่าคุณสมบัติพื้นฐาน

คุณจำเป็นต้องรู้กฎเหล่านี้อย่างแน่นอน - หากไม่มีกฎเหล่านี้ก็จะไม่สามารถแก้ไขปัญหาลอการิทึมร้ายแรงได้แม้แต่ข้อเดียว นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - คุณสามารถเรียนรู้ทุกสิ่งได้ภายในวันเดียว มาเริ่มกันเลย

การบวกและการลบลอการิทึม

พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: log a x และบันทึก a y - จากนั้นจึงสามารถบวกและลบได้ และ:

บันทึกเอ็กซ์ + บันทึกใช่ =บันทึกก ( x · ย );

บันทึกเอ็กซ์ - บันทึกใช่ =บันทึกก ( x : ย ).

ดังนั้น, ผลรวมของลอการิทึมเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างเท่ากับลอการิทึมของผลหารโปรดทราบ: จุดสำคัญนี่คือเหตุผลเดียวกัน หากเหตุผลแตกต่าง กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้!

สูตรเหล่านี้จะช่วยคุณคำนวณ นิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าแต่ละส่วนจะไม่นับก็ตาม (ดูบทเรียน “ - ดูตัวอย่างและดู:

ค้นหาค่าของนิพจน์: log 6 4 + log 6 9

เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
บันทึก 6 4 + บันทึก 6 9 = บันทึก 6 (4 9) = บันทึก 6 36 = 2

ค้นหาค่าของนิพจน์: log 2 48 − log 2 3

ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
บันทึก 2 48 - บันทึก 2 3 = บันทึก 2 (48: 3) = บันทึก 2 16 = 4

ค้นหาค่าของนิพจน์: log 3 135 − log 3 5

ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
บันทึก 3 135 - บันทึก 3 5 = บันทึก 3 (135: 5) = บันทึก 3 27 = 3

อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึม "ไม่ดี" ซึ่งไม่ได้คำนวณแยกกัน แต่หลังจากการเปลี่ยนแปลงกลับกลายเป็นว่าค่อนข้างมาก ตัวเลขปกติ- หลายคนถูกสร้างขึ้นจากข้อเท็จจริงนี้ การทดสอบ- ใช่ สำนวนที่เหมือนการทดสอบมีการนำเสนออย่างจริงจังทุกประการ (บางครั้งแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ) ในการสอบ Unified State

แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นกำลัง? แล้ว เลขชี้กำลังของระดับนี้สามารถนำออกมาเป็นเครื่องหมายของลอการิทึมในได้ กฎต่อไปนี้:

จะเห็นได้ง่ายว่ากฎข้อสุดท้ายเป็นไปตามสองข้อแรก แต่ยังไงก็ดีกว่าที่จะจำไว้ - ในบางกรณีมันจะลดจำนวนการคำนวณลงอย่างมาก

แน่นอน กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากปฏิบัติตาม ODZ ของลอการิทึม: a > 0, a ≠ 1, x > 0 และอีกอย่างหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมดไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวาเท่านั้น แต่ยังในทางกลับกันอีกด้วย เช่น คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนที่ลอการิทึมจะลงชื่อเข้าใช้ลอการิทึมได้ นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด

ค้นหาค่าของนิพจน์: log 7 49 6 .

กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
บันทึก 7 49 6 = 6 บันทึก 7 49 = 6 2 = 12

ค้นหาความหมายของสำนวน:

โปรดทราบว่าตัวส่วนประกอบด้วยลอการิทึม ฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังที่แน่นอน: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. เรามี:

ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องมีการชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้ายที่เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น เรานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่อยู่ตรงนั้นในรูปแบบของกำลังและนำเลขชี้กำลังออกมา - เราได้เศษส่วน "สามชั้น"

ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและส่วนมีตัวเลขเดียวกัน: log 2 7 เนื่องจากบันทึก 2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎของเลขคณิตแล้วทั้งสี่สามารถโอนไปยังตัวเศษซึ่งเป็นสิ่งที่ทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นย้ำเป็นพิเศษว่ากฎเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น จะทำอย่างไรถ้าเหตุผลต่างกัน? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันไม่ใช่เลขยกกำลังที่เท่ากัน?

สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้รากฐานใหม่มาช่วยเหลือ ให้เรากำหนดพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบท:

ทฤษฎีบท

ให้บันทึกลอการิทึมเอ็กซ์ - แล้วสำหรับเลขอะไรก็ตาม c โดยที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

โดยเฉพาะถ้าเราใส่ c = x เราได้รับ:

จากสูตรที่สองเป็นไปตามว่าสามารถสลับฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมได้ แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมดจะ "พลิกกลับ" เช่น ลอการิทึมจะปรากฏในตัวส่วน.

สูตรเหล่านี้หาได้ยากในสูตรทั่วไป การแสดงออกทางตัวเลข- มีความเป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการเท่านั้น

แต่มีปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลยนอกจากการย้ายฐานรากใหม่ ลองดูสองสามสิ่งเหล่านี้:

ค้นหาค่าของนิพจน์: log 5 16 log 2 25

โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองมีกำลังที่แน่นอน มาดูตัวบ่งชี้กันดีกว่า: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; บันทึก 2 25 = บันทึก 2 5 2 = 2 บันทึก 2 5;

ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:

เนื่องจากผลคูณไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อจัดเรียงปัจจัยใหม่ เราจึงคูณสี่และสองอย่างใจเย็น จากนั้นจึงจัดการกับลอการิทึม

ค้นหาค่าของนิพจน์: log 9 100 lg 3

ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกคือกำลังที่แน่นอน มาเขียนสิ่งนี้และกำจัดตัวบ่งชี้:

ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยการย้ายไปยังฐานใหม่:

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด ในกรณีนี้สูตรต่อไปนี้จะช่วยเรา:

ในกรณีแรกคือหมายเลข n กลายเป็นเครื่องบ่งชี้ระดับการยืนหยัดในการโต้แย้ง ตัวเลข n สามารถเป็นอะไรก็ได้อย่างแน่นอน เพราะมันเป็นแค่ค่าลอการิทึม

สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นี่คือสิ่งที่เรียกว่า:เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน.

อันที่จริง จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเลข b ยกกำลังจนเลข b ยกกำลังนี้ให้เลข a? ถูกต้อง: ผลลัพธ์คือเลข a เดียวกัน อ่านย่อหน้านี้อย่างละเอียดอีกครั้ง หลายๆ คนอาจติดอยู่กับเรื่องนี้

เช่นเดียวกับสูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่ บางครั้งเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานก็เป็นวิธีแก้ปัญหาเดียวที่เป็นไปได้

งาน

ค้นหาความหมายของสำนวน:

สารละลาย

โปรดทราบว่าบันทึก 25 64 = บันทึก 5 8 - แค่เอากำลังสองจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม เมื่อคำนึงถึงกฎในการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน เราได้รับ:

200

ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

โดยสรุป ฉันจะให้สองตัวตนที่แทบจะเรียกได้ว่าเป็นคุณสมบัติไม่ได้ - แต่เป็นผลสืบเนื่องมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม สิ่งเหล่านี้มักเกิดปัญหาอยู่เสมอ และน่าประหลาดใจที่ยังสร้างปัญหาให้กับนักเรียน "ขั้นสูง" อีกด้วย

บันทึก a = 1 คือ หน่วยลอการิทึม- จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆก จากฐานนี้เท่ากับหนึ่ง

บันทึก 1 = 0 คือ ศูนย์ลอการิทึม- ฐานก สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีอย่างใดอย่างหนึ่ง ลอการิทึมจะเท่ากับศูนย์! เพราะ 0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากคำจำกัดความ

นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนการนำไปปฏิบัติ!